ARCHI-CM04

LOGIQUE
PROPOSITIONNELLE
CM 4
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ARCHI – Architecture des ordinateurs
Sylvain Brandel
2022 –2023
[e-mail]

Logique propositionnelle
Pourquoi ?
•Niveau matériel = modèle logique
•Niveau programme : preuve de propriété = logique
•Niveau applicatif, BD : vérification de propriétés = logique
• …
•Plus généralement
–Criticité : sécurité, sureté …
–Financier
–Pas d’ambiguïté
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Logique propositionnelle
Syntaxe
•𝑉 = {𝑥!, 𝑥", … , 𝑥#, … } un ensemble infini de variables propositionnelles
•Ensemble ℱdes formules du calcul propositionnel : ensemble inductif
–!variable propositionnelle alors !" #
–$" #
–Si % " # alors &% " #
–Si % " # et ' " # alors %(' " #, %)' " #, %*' " #
•Notation : 𝐴⟺𝐵: 𝐴 ⇒ 𝐵 ∧ (𝐵 ⇒ 𝐴)
•Priorités : ¬>∧>∨>⇒
•Associativité : à gauche pour ∧et ∨, à droite pour ⇒
•Ex : 𝑝 ∨ 𝑞 ⇒ 𝑟
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Logique propositionnelle
Sémantique
•Sens des formules àinterprétation dans l’algèbre de Boole
•Interprétation du calcul propositionnel : fonction 𝐼 ∶ 𝑉 → 𝔹
–+ , -!!. !". / . !#. / 0 : variables
–1 , 2.3
•𝐼étendue à ℱ
–Cas des variables déjà traité
–4 $ , 2
–% " # alors 4 &% , 45%6
–% " # et ' " # alors 4 % ( ' , 4 % 7 45'6
–% " # et ' " # alors 4 % ) ' , 4 % 8 45'6
–% " # et ' " # alors 4 % * ' , 4 % 9 * 45'6
Seule vérité autorisée
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Algèbre de Boole
•George Boole 1815 –1864 (Royaune-Uni)
•Booléens : oui, non ; 0, 1 ; haut, bas ; rouge, noir ; etc.
•Relation d’ordre : 0 < 1
•Soit 𝔹 = 0,1 . Opérations :
–:; 1 < 1 complément
–7 = 1 > 1 < 1 ?, ou, disjonction, max
–8 = 1 > 1 < 1 ∩, et, conjonction, min
–9 *; 1 > 1 < 1 si … alors, implication
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