L3MEC tdmeca

L3 Physique et M´ecanique Universit´e Paris Sud 11
— Phys M301 —
M´ecanique
Travaux dirig´es
(Version du 23 mai 2014)
Caroline Nore & Luc Pastur
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Table des mati`eres
1 Cin´ematique et Dynamique 3
1.1 Vitesse, acc´el´eration et ´energie cin´etique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Int´egralesmultiples.................................... 3
1.3 L’oscillateurharmonique................................. 4
2´ Energie 5
2.1 Travail, ´energie et puissance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2 Lependulesimple .................................... 5
2.3 Stabilit´ed’un´equilibre.................................. 5
2.4 Lachaˆınetombante ................................... 6
3 Moment cin´etique 7
3.1 Dangerm´et´eorite..................................... 7
3.2 L’effetpatineuse ..................................... 8
3.3 Momentsd’inertie .................................... 8
3.4 Frottement sur des ailettes en rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
4 Dynamique dans un r´ef´erentiel non galil´een 10
4.1 Poids apparent dˆu `a la rotation de la Terre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
4.2 La bille dans un rail tournant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
4.3 Lad´eviationversl’est .................................. 11
5 Forces centrales 12
5.1 L’´etoiletriple ....................................... 12
5.2 L’halt`ereenorbite .................................... 13
6 Cin´ematique du solide 14
6.1 Quelques tenseurs d’inertie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
6.2 Axes principaux d’inertie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
6.3 L’ellipso¨ıdetournant ................................... 15
6.4 Rotationd’uneplaque .................................. 15
7 Dynamique du solide en rotation 17
7.1 Pr´ecession d’une toupie rapide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7.2 Rotationd’unœuf .................................... 18
7.3 Rotation libre d’une toupie sym´etrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
7.4 Rotation d’une raquette de tennis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
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Chapitre 1
Cin´ematique et Dynamique
1.1 Vitesse, acc´el´eration et ´energie cin´etique
1. ´ Ecrire la vitesse, l’acc´el´eration et l’´energie cin´etique en coordonn´ees cart´esiennes, polaires
et cylindriques. Interpr´etez chacun des termes de l’acc´el´eration en coordonn´ees polaires.
2. ´ Ecrire la vitesse et l’´energie cin´etique en coordonn´ees sph´eriques.
x
y
z
~r
φ
θ
~eθ
~eφ
~er
3. Une particule se d´eplace `a vitesse ||~v|| constante. Montrer que son acc´el´eration est toujours
perpendiculaire `a la vitesse.
1.2 Int´egrales multiples
1. Rappeler l’expression d’un ´el´ement infi-
nit´esimal de volume d3Ven coordonn´ees
cart´esiennes, cylindriques et sph´eriques.
2. Retrouver le volume d’un cylindre de
rayon Ret de hauteur H; d’un cˆone de
rayon Ret de hauteur H.
H
z
R
H
z
R
3

1.3 L’oscillateur harmonique
On consid`ere une masse mpouvant se d´eplacer horizontalement et sans frottement sur un axe
Ox. Cette masse est fix´ee `a l’extr´emit´e d’un ressort de raideur ket de longueur `a vide x0dont
l’autre extr´emit´e est fix´ee `a un support.
x
z
k
m
x0
1. ´ Ecrire le Principe Fondamental de la Dynamique (PFD), et identifier par analyse dimen-
sionnelle la pulsation propre ω0de l’oscillateur en fonction des param`etres du probl`eme.
Donner la loi x(t) sachant que la masse est lˆach´ee sans vitesse initiale `a une distance A0de
sa position d’´equilibre.
2. On suppose maintenant qu’il existe une force de frottement ~ f=−h~v, o`u hest une constante
positive (frottement fluide de type visqueux). Le signe moins signifie que cette force est
oppos´ee `a la direction du mouvement. En supposant que la nouvelle trajectoire soit de la
forme x(t)−x0=Aeαt, montrer que αv´erifie l’´equation caract´eristique suivante :
α2+ 2λα +ω2
0= 0.
Dans le cas ω0λ(frottement faible), ´ecrire la solution sous la forme d’une oscillation
amortie x(t) = A0e−t/τ cos ωt, o`u l’on identifiera τ. Que devient la pseudo-p´eriode ωdans
la limite λ→ω0? Donner l’allure de la fonction ω=f(λ).
3. On revient au mouvement horizontal sans frottement. On suppose maintenant que la masse
subit une excitation p´eriodique de pulsation Ω, impos´ee de l’ext´erieur, lui communiquant
ainsi une force suppl´ementaire ~ F(t) = F0cos Ωt ~ex(il peut s’agir par exemple d’une charge
dans un champ ´electrique, d’une membrane dans une onde acoustique. . . ). La pulsation
naturelle ω0de l’oscillateur va donc ˆetre “d´erang´ee” par la nouvelle pulsation Ω, a priori
diff´erente de ω0, qu’on essaie de lui imposer.
En admettant que l’oscillation du syst`eme se synchronise avec la fr´equence d’excitation Ω
choisie, on pourra ´ecrire x(t) = Acos Ωt.´ Ecrire l’amplitude de l’oscillation Aen fonction
de la pulsation propre ω0et de la pulsation impos´ee par l’ext´erieur Ω. Donner l’allure de
la courbe A=f(Ω), et discuter les situations Ω ω0et Ω ω0. Le comportement pour
Ω∼ω0est-il physique ? Connaissez-vous des illustrations de ce ph´enom`ene ?
4

Chapitre 2
´
Energie
2.1 Travail, ´energie et puissance
On ´el`eve `a une hauteur h, avec une acc´el´eration constante a, un objet de masse minitialement
pos´e sur le sol.
1. Quel travail doit-on fournir ? Pourquoi est-il sup´erieur `a mgh ? Sous quelle forme est son
´energie m´ecanique totale ?
2. Quelle puissance est n´ecessaire pour ´elever cet objet ? Comment la minimiser ?
2.2 Le pendule simple
Une bille de masse mest suspendue par une
tige de masse n´egligeable `a un support fixe. On
note la position de la bille par l’angle θqu’elle
fait avec la verticale.
1. Discuter les forces dans ce probl`eme, et
justifier que le syst`eme est conservatif.
De la conservation de l’´energie, d´eduire
l’´equation diff´erentielle v´erifi´ee par θ.
2. R´esoudre cette ´equation dans l’approxi-
mation des petites oscillations (sin θ'θ)
si l’on lˆache la bille avec un angle θ0sans
vitesse initiale. Tracer l’allure de l’´energie
cin´etique et de l’´energie potentielle en
fonction du temps.
O
`
m
z
x
θ
~g
2.3 Stabilit´e d’un ´equilibre
Une perle de masse mglisse sans frotter le
long d’un cercle de rayon R. Elle est soumise `a
son poids m~g, ainsi qu’`a la force de rappel d’un
ressort, fix´e en A, de raideur ket de longueur
`a vide nulle. La position de la bille est rep´er´ee
par l’angle θqu’elle fait avec la direction hori-
zontale.
km
Aθ
O
~g
5