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Cours et exercices de mathématiques M. CUAZ, http://mathscyr.free.fr
FONCTIONS EXPONENTIELLES
EXERCICES CORRIGES
Exercice n°1. Résoudre dans les équations suivantes 
1) 2) x e−= 3) e
32x
e+=e7 0 290
x
−
=
4) 5) 1 0
x
e+=
(
)
4
xx
− = 0ee 6) ee
260 xx
+
−=
7) 8) x
e= 9) ln eln( 3) 0
x
e− = 12ln 1
−11 x+
=
Exercice n°2.
1) Déterminer les racines du polynôme
2
() 4 5PX X X=+−
2) En déduire les solutions de l’équation e
245 x x
e+=
3) Résoudre les équations suivantes :
a) b) ee c) ee
22 0 xx
ee+−=21 12
xxe ++
+−=002 1
xx−
−
+=
Exercice n°3. - Equations mêlant logarithmes et exponentielles
1) Développer l’expression :
(
)
(
)
(
)
(
)
11Ax x x x 2
=
−+−
2) Résoudre les équations suivantes : (a) (b) ee
32
2 2
xxx
eee−−+ = 0x
32
22xx
+
+
=
Exercice n°4. Résoudre les systèmes d'équations suivant :
1) 2)  3)
5
3
xy
xy
ee
ee
+=
−=
2
0
xy
ee
xy
+=
+=
3
2
15
xy
xy
ee e
−
=−
=
Exercice n°5. Résoudre dans les inéquations suivantes : 
32x
e+≤e 7 0
x
e
−
< 290
x
e
−
≥
1 0
x
e+>
(
)
4
xx
ee− < 0 260
xx
ee
+
−≤
Exercice n°6. A l’aide de polynômes bien choisis, résoudre les inéquations suivantes :
1) 2) ee 3) ee
22 0 xx
ee+−≥232
xx
−+≤0 0
xx−
−
>
Exercice n°7. Le nombre d’habitants d’une région ayant un fort taux de natalité est donné par la fonction exponentielle
0,05
:12t
f
t e→ où f(t) est la population exprimée en millions d’habitants pour l’année 2000+t
1) A partir de quelle date la population aura-t-elle plus que triplé ?
2) Cette région ne peut pas nourrir plus de vingt millions de personnes. Pendant combien d’années après 1990 la
nourriture sera-t-elle suffisante ?
Exercice n°8. Déterminer les limites suivantes : a)
(
)
2
lim
x
x
x
e
→+∞+ b)
(
)
lim 4
x
x
x
e
→−∞−+ c) 1
m 3li
x
x
e
x
→+∞−
Exercice n°9. Etudiez les limites de la fonction f donnée aux bornes de son ensemble de définition D, et trouver les
asymptotes éventuelles à la courbe représentative de f.
1) 2) ( ) 4
x
fx e− = − 3
() 1
x
fx 3)
e
=+( ) 2
x
f
xx xe=−+ 4) 1
() 1
x
fx e =−
Exercice n°10.
On considère la fonction numérique f définie sur par f(x) = e
e
x
x
+
1.
1) Déterminer la limite de f(x) quand x tend vers – ∞.
2) Montrer que f(x)= x
e− +1
1, et calculer la limite de f(x) quand x tend vers + ∞.
3) En déduire l’existence de deux asymptotes de la courbe C.
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Exercice n°
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11. Déterminer l’ensemble de définition, l’ensemble de dérivabilités et les fonctions dérivées de chacune des
fonctions proposées :
1) ( ) 3
x
f
xx e=+− 2) ( )
x
f
x xe= 3)
(
)
() 2 1
x
f
xx=+e 4) ()
x
e
fx
x
=
5) ( )
x
f
x e− = 6) () 2 3 5
x
x
f
xe e= − 7) () 3 5
x
f
xe
+
= 8) fx e21 () x
−
+
=
9) ()
x
f
x e= 10) () 2 2
x
f
xxe− = 11) fx( ) ln( 1)
x
e
=
+ 12) ()
x
x
x
x
e e
ee
fx
−
−
−
=+
Exercice n°12.
Soit f la fonction définie sur par : 
()
21x
f
xxe
−
=. On désigne par C sa courbe représentative dans un repère
orthonormal
(
d’unité graphique 2 cm.
)
;;Oi j
1) Déterminer les limites de f en
−
∞ et . Quelle conséquence graphique pour C peut-on en tirer ? +∞
2) Montrer que f est dérivable sur . Déterminer sa fonction dérivée 
f
′
3) Dresser le tableau de variations de f et tracer sa courbe C.
Exercice n°13.
Soient f et g définies par :
(
)
x
x
f
x e e− =+ et
(
)
x
x
g
xee
−
=−
1) Déterminer les domaines de définitions de f et g ainsi que leur parité éventuelle.
2) Déterminer les limiets aux bornes du domaines d’étude de chacune des fonctions f et g.
3) Déterminer les dérivées des fonctions f et g. ; en déduire leur tableau de variations.
4) Calculer, a étant un réel quelconque :
() ()
22
f
a g a
−
5) Exprimer pour a et bdeux réels, en fonction de
(
)
g
a b
+
:
(
)
(
)
(
)
(
)
f
agb g a f b+
Exercice n°14.
1) Développer
()
.
()
2
1 2xxx−+−8
2) Factoriser en produit de polynômes du premier degré 32
10 8
x
xx
+
−+
3) Soit f la fonction définie pour x différent de 4
5
ln par
31 2 1
() 54
xx
x
ee
fx e
+
+
+
=−
Donner la limite de f en moins l'infini.
4) Résoudre l'équation f(x)=2e.
5) Soit Cf la courbe représentative de f dans un repère orthonormal. Donner une équation de la tangente à Cf au point
d'abscisse 0.
Exercice n°15. Déterminez une primitive de la fonction f proposée sur l'intervalle I donné :
1) 1
() 4
x
f
x=e sur 2) ( )
x
f
x e− = sur 3) ()2 3
x
f
xe
+
= sur 
4) 2
()
x
f
xxe= sur 5) () 1
x
x
e
e
=+ fx sur 
Exercice n°16. Soit f la fonction définie sur IR par
(
)
() 2
x
f
xx e=+
Déterminez les nombres a et b tels que la fonction F, définie sur IR, par
(
)
()
x
F
xax b e=+ soit une primitive de f.
Exercice n°17. Soit f la fonction définie sur par 3
() 1
x
fx e− =
+
1) Vérifiez que pour tout x de , on a 3
() 1
x
x
e
fx e =
+
2) Déduisez en la primitive F de f qui s'annule pour x=0

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Exercice n°
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18.
Calculez les intégrales suivantes :
1) 2) −
∫ 3) 2 ∫ 4) ∫
5
2
x
edx
∫5
2
x
e dx
−
2
21
0
x
e d
−x dt
()
1
2
2
23
tt
ee+−
5) 6)
1
31
1
x
e dx
+
−
∫1
01
x
xdx
e+
e
∫ 7) ee ∫ 8)
( )
ln10
ln 3
3
xx dx−
1
0
2
x
xdx
e
−−e
∫
Exercice n°19.
Calculez l’intégrale
1
0
1
1
x
I
dx
e
=+
∫ (indication : 11
11
x
xx
e
ee
=−
+
+)
Exercice n°20.
Calculez l'intégrale I en utilisant la formule d'intégration par parties:
1)
0
1
x
I
xe dx
−
=∫ 2)
0
1
(2)x
I
x e d
−
∫x=+ 3)
0
1
1
(2)x
I
xed
+
−
∫x=+
Exercice n°21.
Calculez l'intégrale I en utilisant deux fois le théorème de l'intégration par parties:
1)
0
sin
x
I
e xd
π
=∫x 2) 2
0
cos
x
I
ex
π
∫dx=
Exercice n°22.
L’atmosphère terrestre contient de l’azote qui est transformé sous l’effet du rayonnement cosmique, en carbone 14,
radioactif, noté 14C. Les êtres vivants contiennent donc du 14C qui est renouvelé constamment. A leur mort, il n’y a plus
d’emprunt de 14C à l’extérieur et le carbone 14C qu’ils contiennent se désintègre. Le temps écoulé depuis la mort d’un être
peut donc être évalué en mesurant la proportion de 14C qui lui reste.
Soit le nombre d’atomes de )(tN 14C existant à l’instant t, exprimé en années, dans un échantillon de matière organique ;
On montre que )(0001238,0)(' tNtN −=
La vitesse de désintégration est donc proportionnelle au nombre d’atomes présents.
1) En appelant N0 le nombre d’atomes de 14C initial, démontrer que
t
eNtN 0001238,0
0
)( − =
2) Quel est le pourcentage d’atomes de carbone perdus au bout de 20 000 ans ?
3) On appelle période (ou demi-vie) du carbone 14C, le temps au bout duquel la moitié des atomes se sont désintégrés.
Déterminer, à l’aide d’une calculatrice, la période du 14C (à 1 an près)
4) On analyse des fragments d’os trouvés dans une grotte.
On constate qu’ils ont perdu 30 % de leur teneur en carbone.
Déterminer, à l’aide d’une calculatrice, l’âge du fragment d’os.

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FONCTIONS EXPONENTIELLES
CORRECTION
Ces équations reposent sur deux règles qui traduisent la BIJECTIVITE des fonctions logarithme et exponentielle :
Soient a et b deux nombres strictement positifs. Alors ln lnaba b
=
⇔ =
Soient a et b deux nombres quelconques. Alors ab
ee a b
=
⇔ =
On utilise, en outre, de nombreuses propriétés algébriques de ces deux fonctions
Exercice n°1
1) L’équation est définie sur . Pour tout , x∈32 3 2 1 1
3213
xx
eex x
++ .
ee
=
⇔=⇔ + = ⇔ = − 1
3
S =−
2) L’équation est définie sur . Pour tout , x∈
ln(7)
7
xx
eee=⇔ =ln(7).x⇔= car pour tout a>0, ln( )a e a
=
. Ainsi
{}
ln 7S=
Une autre manière de le rédiger aurait pu être :
(
)
(
){
}
7ln ln 7 ln(7). ln 7
xx
ee x S=⇔ = ⇔ = =
3) L’équation est définie sur . Pour tout , x∈
(
)
()
22
9 0 ln ln 9 2 ln(9)
xx
eex−=⇔ = ⇔ = 1ln(9) ln(3).
2
x⇔= =
{}
ln 3S=
4) L’équation est définie sur . Pour tout , ex∈1 0 1
x x
e
+
=⇔ = − impossible car pour tout , . x∈0
x
e>
Ainsi S=∅
Une autre manière de le rédiger aurait pu être :
Pour tout , e donc e x∈0
x>1 1 0 x
+
>> , donc ne peut être égal = -1, donc S
=
∅
5) L’équation est définie sur . Pour tout , x∈
(
)
40 0 ou 4
xx x x
e e 0ee
−
=⇔ = − = .
Puisque pour tout , (donc ), l ‘équation est équivalente à x∈0
x
e>0≠4 0
x
e
−
=, donc , donc ln 4 2ln 2x==
{}
2ln 2S=
6) L’équation est définie sur . 
En posant
x
X
e=, puisque ee , l’équation devient équivalente à , que l’on a résolu
précédemment :
()
2
2xxX= = 226 0XX+−=
2
X
= ou . En revenant à la variable x on a : 3=−X
22
x
Xe x=⇔ = ⇔ = ln 2
3 3x
X e=− ⇔ = − impossible, car pour tout , x∈0
x
e>
Finalement,
{}
ln 2S=
Exercice n°2
1) On détermine les racines du polynôme P défini par 2
() 4 5PX X X
=
+ − en calculant son discriminant :
()
2
4 4 1 5 16 20 36 6∆= − × × − = + = = 2 d’où l’existence de deux racines réelles distinctes :
1
436 4 6 5
21 2
X−− −−
==
×= − et 2
436 4 6 1
21 2
X−+ −+
==
×=
2) Si on pose x
X
e=, alors
()
2
2x2x
X
e e= = , de sorte que l’équation 24
x x
ee5
+
=
X
devient équivalente à
, équation qui a été résolue dans la question 1) : On a trouvé et
2 2
45 4 5XX+= −0=XX⇔ + 15=− 21X
=
On revient à l’inconnue x en résolvant :
15x
X e=− ⇔ = −5 0 équation qui n’admet pas de solution réelle, et 211
x
X e x
=
⇔=⇔ = . Ainsi
{}
0S=
3) a) Pour résoudre l’équation ee , on pose
22 0 xx
+−=x
X
e
=
, et on se retrouve avec l’équation 220XX
+
−=
équation dont le discriminant vaut
(
)
2 9=
2
14∆= −1× × − , donc qui admet deux solutions réelles distinctes
1
19 42
21 2
X−− −
===
×− et 2
19
21 2
−+ 21
X
=
=
×=. On revient à l’inconnue x en résolvant :
12x
X e=− ⇔ = −2 0 équation qui n’admet pas de solution réelle, et 211
x
X e x
=
⇔=⇔ = . Ainsi
{}
0S=
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0b) En transformant l’écriture du membre de gauche, l’équation ee
21 12 xxe ++
+
− =
0
se réécrit ee ,
donc après division par , est équivalente à
220 xx
ee e×+× − =
0e≠22
xx
ee
+
−=, équation que l’on a déjà résolu. On retrouve
{}
0S=
c) En multipliant les deux membres de l’équation ee2 1
xx−0
−
+= par qui est non nul, l’équation ee
x
e21
xx−0
−
+=
devient équivalente à
()
22
210 2
xx x x x x x
ee e e e e e− + = × ⇔+− =2
x x x
e e e
−−
⇔− +0=0
Exercice n°3
1)
() ( )( )( )
(
)
()
2 3 2
112 1 2 2Ax x x x x x x x x=− + − = − − = − − + 2
2) (a) On pose x
X
e=. L’équation
(
)
(
)
32
32
220 2 2
xxx x x x
eee e e e−−+ = ⇔ − − + = 0 devient alors équivalente à
(
)
(
)
(
)
32
220 1 1 2XXX X X X−−+ = ⇔ − + − = 0 (d’après la factorisation de la question (1))
Pour qu’un produit de facteurs soit nul, il faut et il suffit qu’au moins l’un d’entre eux le soit.
Ainsi
(
)
(
)
(
)
1 1 2 0 1 ou 1 ou 2XXX X X X−+− = ⇔ = = − = . En « revenant » à l’inconnue
x
, on a donc
. Puisque pour tout réel x , , l’équation e
1 ou 1 ou 2
xx x
ee e==− = 0
x
e>1
x
=
− n’admet pas de solutions réelle. En
revanche et e. Ainsi 1 0
x
ex=⇔ =2 ln 2
xx=⇔=
{
}
0;ln 2
a
S=
(b) Par bijectivité de la fonction exponentielle, ee
32
22323 2
22 2 2 0
xxxx x x x x x ++
=
⇔+= + ⇔− − + =
D’après la factorisation de la question (1),
(
)
(
)
(
)
32
220 1 1 2xxx x x x−−+ = ⇔ − + − = 0. Pour qu’un produit de facteurs
soit nul, il faut et il suffit qu’au moins l’un d’entre eux le soit.
Ainsi
(
)
(
)
(
)
1 1 2 0 1 ou 1 ou 2xxx x x x−+− = ⇔ = = − = . Donc
{
}
1;1;2
b
S=−
Exercice n°4
1) En posant x
X
e= et Y, le système
y
e=5
3
xy
xy
ee
ee
+
=
−
=
1
2 1
devient équivalent à
11
221
5 4 1
328 4
55
X
YL X L Y LY
X
YL L X L
+ = =−=
⇔⇔
−= + = + X
=−
=L L
ln 0
.
On revient aux inconnues x et y en résolvant : et Ye44
x
Xe x=⇔ =⇔=411ln1
yy
=
⇔=⇔ = =
Le système admet donc pour solution
{}
ln 4;0S=
2) En posant x
X
e= et Y, le système
y
e=23
0
xy
ee
xy
+
=
+=
 devient équivalent à
11
22
23 3
03
2 1 2
2
3
X
YL L Y LY L L
X
YL Y L X L
+= − = −
⇔
+ = =− X
=
⇔=− .
On revient aux inconnues x et y en résolvant : 3x
X e 3
=
−⇔ = − qui n’admet pas de solution dans 
Le système n’admet donc pas de solution réelle.
3) Puisque , on aura . Le système
xy x y
ee e+ =22
xy
ee e x y
−
=⇔+ = − 2
15
xy
xy
ee e
−
=−
=
22
2
22
 est donc équivalent au système
()
11
22
15 215 15 0
2
xy xx
1
2
2
L1
2
215L
x
xL x
xy yxL x
=− −− = − =
+= =− − −
x
y
+ −
⇔= −
L
L
0
4
L −yxL
= − −−
⇔⇔
−=−
On résout l’équation en calculant son discriminant :
2215xx+−=
()
2
241 15 6∆= − × × − = , donc l’équation 2215 0xx
+
− = admet deux solutions réelles distinctes
1
2645
21
x−− ==−
× et 2
2643
21
x−+ ==
×. Si 1
x5
=
−, alors
(
)
11
225yx 3
=
−− = − − − = .
Si alors . Les solutions du système
23x=22
223yx=− − = − − =−52
15
xy
xy
ee e
−
=−
=
 sont donc
()
{
}
5; 3 ;(3; 5)S=− −.
Puisqu’elles jouent des rôles symétriques on peut affirmer que les deux nombres cherchés sont –5 et 3