Cours et exercices de mathématiques M. CUAZ, http://mathscyr.free.fr
FONCTIONS EXPONENTIELLES
CORRECTION
Ces équations reposent sur deux règles qui traduisent la BIJECTIVITE des fonctions logarithme et exponentielle :
Soient a et b deux nombres strictement positifs. Alors ln lnaba b
⇔ =
Soient a et b deux nombres quelconques. Alors ab
ee a b
⇔ =
On utilise, en outre, de nombreuses propriétés algébriques de ces deux fonctions
Exercice n°1
1) L’équation est définie sur . Pour tout , x∈32 3 2 1 1
3213
xx
eex x
++ .
ee
⇔=⇔ + = ⇔ = − 1
3
S
=−
2) L’équation est définie sur . Pour tout , x∈
ln(7)
7
xx
eee=⇔ =ln(7).x⇔= car pour tout a>0, ln( )a
e a
. Ainsi
{}
ln 7S=
Une autre manière de le rédiger aurait pu être :
){
7ln ln 7 ln(7). ln 7
xx
ee x S=⇔ = ⇔ = =
3) L’équation est définie sur . Pour tout , x∈
(
()
22
9 0 ln ln 9 2 ln(9)
xx
eex−=⇔ = ⇔ = 1ln(9) ln(3).
2
x⇔= =
{}
ln 3S=
4) L’équation est définie sur . Pour tout , ex∈1 0 1
x x
e
=⇔ = − impossible car pour tout , . x∈0
x
e>
Ainsi S=∅
Une autre manière de le rédiger aurait pu être :
Pour tout , e donc e
x∈0
x>1 1 0
x
>> , donc ne peut être égal = -1, donc S
∅
5) L’équation est définie sur . Pour tout , x∈
40 0 ou 4
xx x x
e e 0ee
=⇔ = − = .
Puisque pour tout , (donc ), l ‘équation est équivalente à
x∈0
x
e>0≠4 0
x
e
=, donc , donc ln 4 2ln 2x==
{}
2ln 2S=
6) L’équation est définie sur .
En posant
e=, puisque ee , l’équation devient équivalente à , que l’on a résolu
précédemment :
()
2
2xxX= = 226 0XX+−=
2
= ou . En revenant à la variable x on a : 3=−X
22
x
Xe x=⇔ = ⇔ = ln 2
3
3x
X e=− ⇔ = − impossible, car pour tout , x∈0
x
e>
Finalement,
{}
ln 2S=
Exercice n°2
1) On détermine les racines du polynôme P défini par 2
() 4 5PX X X
+ − en calculant son discriminant :
()
2
4 4 1 5 16 20 36 6∆= − × × − = + = = 2 d’où l’existence de deux racines réelles distinctes :
1
436 4 6 5
21 2
X−− −−
==
×= − et 2
436 4 6 1
21 2
X−+ −+
==
×=
2) Si on pose x
e=, alors
()
2
2x2x
e e= = , de sorte que l’équation 24
x x
ee5
=
X
devient équivalente à
, équation qui a été résolue dans la question 1) : On a trouvé et
2 2
45 4 5XX+= −0=XX⇔ + 15=− 21X
On revient à l’inconnue x en résolvant :
15x
X e=− ⇔ = −5 0 équation qui n’admet pas de solution réelle, et 211
x
X e x
⇔=⇔ = . Ainsi
{}
0S=
3) a) Pour résoudre l’équation ee , on pose
22 0
xx
+−=x
e
, et on se retrouve avec l’équation 220XX
−=
équation dont le discriminant vaut
)
2 9=
2
14∆= −1× × − , donc qui admet deux solutions réelles distinctes
1
19 42
21 2
X−− −
===
×− et 2
19
21 2
−+ 21
X
=
×=. On revient à l’inconnue x en résolvant :
12x
X e=− ⇔ = −2 0 équation qui n’admet pas de solution réelle, et 211
x
X e x
⇔=⇔ = . Ainsi
{}
0S=
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