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Sujets optique géométrique
ATS Centrale
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SUJETS OPTIQUE GEOMETRIQUE
PROBLEME N°1 : FIBRE OPTIQUE
Le guidage de la lumière peut être assuré par des
fibres optiques. Une fibre optique est constituée
d’un cylindre de verre ou de plastique appelé
cœur, entouré d’une gaine transparente
d’indice de réfraction plus faible. La gaine
contribue non seulement aux propriétés
mécaniques de la fibre, mais évite aussi les fuites
de lumière vers l’extérieur.
Actuellement, le diamètre du cœur d’une fibre
va de 3 à 200 μm et le diamètre de la gaine peut
aller jusqu’à 400 μm.
A) Fibre à Saut d’Indice
Une fibre est constituée d’un cœur cylindrique de rayon a et d’indice n1, entouré d’une gaine de rayon
extérieur de rayon b et d’indice n2 < n1. Les faces d’entrée et de sortie sont perpendiculaires à l’axe de
révolution (Oz) commun au cœur et à la gaine.
La fibre est plongée dans l’air, d’indice de réfraction n0 = 1,0000.
Un rayon lumineux arrive en un point I de l’axe (Oz) sur la face d’entrée de la fibre, avec un angle d’incidence
. On note r l’angle de réfraction en I.
1) Montrer que le rayon lumineux est guidé dans le cœur (c'est‐à‐dire qu’il n’en sort pas) si l’angle i est
supérieur à une valeur critique iC. Expliquer à l’aide d’un schéma détaillé de quelle manière le rayon
est alors guidé dans le cœur
2) Exprimer iC en fonction de n1 et n2. Calculer iC pour n1 = 1,456 (silice) et n2 = 1,410 (silicone).
3) En déduire l’intervalle des valeurs de  permettant à la lumière de rester confinée dans la fibre.
4) Soit m l’angle d’incidence maximale qui permet la propagation guidée de la lumière dans la fibre. On
appelle ouverture numérique ON de la fibre la quantité sin( m). Calculer  m et ON pour les mêmes
indices qu’à la question A)2)
5) Quelle est la valeur de l’ON pour une fibre à base d’arséniure de gallium pour lequel n1 = 3,9 et n2 = 3,0 ?
Commenter.
6) L’atténuation de la lumière dans les fibres optiques est due à l’absorption et à la diffusion de la lumière
par le matériau constitutif du cœur et par ses impuretés (Fe2+, Cu2+, HO‐). Elle se mesure en décibels

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par kilomètre : AdB/km = 
 log ( ) où Φ1 et Φ2 désignent les flux lumineux dans des plans de front
successifs distants de D (plans orthogonaux à l’axe Oz). On parvient couramment à réaliser des fibres
dans lesquelles le flux lumineux, après un parcours de 50 km, représente 10% du flux incident. Calculer
l’atténuation de telles fibres.
B) Transmission par fibre optique à saut d’indice
Lorsqu’on émet une impulsion lumineuse extrêmement brève au niveau du point I de la face d’entrée de
la fibre, des rayons lumineux sont émis dans toutes les directions de propagation possible. Il se pose alors
le problème de l’élargissement temporel au niveau de la face de sortie, puisque tous les rayons n’arrivent
pas en même temps : certains ont un trajet plus long à parcourir que d’autres.
On note L la longueur totale de la fibre et c la vitesse de la lumière dans le vide.
1) Exprimer en fonction de L, c et n1 la durée de propagation Δt d’un rayon qui suit l’axe (Oz) sur toute la
longueur de la fibre.
2) On considère le rayon d’angle d’incidence maximale m qui «zigzague» dans la fibre sur toute la
longueur de la fibre. Exprimer la longueur L’ du trajet qu’il suit en fonction de L et de l’angle de
réfraction rm en I.
3) Soit Δt’ la durée de propagation de ce rayon zigzaguant. Montrer que Δt’= 
 Δt
4) Calculer la différence δtmax des durées de propagation des deux rayons particuliers envisagés.
Données : L = 1 km, n1 = 1,456, n2 = 1,410, et c = 3.108 m.s‐1.
5) On envoie alors en entrée de la fibre des impulsions lumineuses très brèves avec une période T.
Dessiner de la même manière l’allure des impulsions reçues en sortie de la fibre, en supposant que celles‐
ci ne se recouvrent pas.
6) A quelle fréquence maximale fmax peut-on émettre des impulsions lumineuses en entrée qui soient
«séparées » en sortie ? Calculer la valeur numérique de fmax.
7) En transmission numérique, on exprime le résultat en nombre maximum d’éléments binaires – une
impulsion codant un bit 1, une absence d’impulsion un bit 0 – qu’on peut transmettre par seconde.
Que vaut le débit en bit/s de cette fibre ? Le comparer au débit du standard téléphone Numéris
(64kbit/s) et au standard télévision (100Mbit/s).

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C) Problème d’installation
La fibre est maintenant coudée, comme sur la figure ci‐contre.
1) Expliquez, à l’aide d’un schéma pourquoi une partie des
rayons guidés dans la tranche rectiligne ne le sont plus dans
la partie coudée.
2) On suppose que la fibre optique prend une position extrême
en tournant sur elle‐même de 180° (voir ci-contre). Trouver
la relation entre n1, n2, et les rayons a et b du cœur et de la
gaine, qui assure la réflexion totale, dans la partie coudée,
du rayon arrivant en incidence normale au point I de la face
d’entrée de la fibre optique ( = 0°).
3) Calculer la valeur minimale de b correspondante pour a =
100 μm et les indices de la silice et du silicone. Commenter.
PROBLEME N°2 : CAMERA DE CONTROLE DES PLAQUES D’IMMATRICULATION
Remarques préliminaires importantes : il est rappelé aux candidat(e)s que les explications des phénomènes
étudiés interviennent dans la notation au même titre que les développements analytiques et les
applications numériques ;
Tout au long de l’énoncé, les paragraphes en italique ont pour objet d’aider à la compréhension du
problème ; tout résultat fourni dans l’énoncé peut être admis et utilisé par la suite, même s’il n’a pas été
démontré par le (la) candidat(e).
Par ailleurs, de nombreuses questions sont indépendantes.
Le document-réponse (recto-verso) devra être complété puis remis avec la copie.
Pour diminuer le nombre de véhicules circulant dans le centre-ville et réduire ainsi les embouteillages, la
pollution et le bruit qu’ils engendrent, plusieurs grandes agglomérations (Londres, Singapour, Stockholm)
utilisent un système de péage urbain.
Différentes technologies sont mises en œuvre pour détecter les véhicules entrant dans la zone de circulation
taxée. Le système londonien, appelé London Congestion Charge (mis en place en 2003) utilise un réseau de
500 caméras installées à chaque point permettant d’entrer ou de sortir de la zone payante. Les images
obtenues sont ensuite analysées par un algorithme LAPI (Lecture Automatique des Plaques
d’Immatriculation) qui génère une liste des véhicules ayant circulé dans le centre-ville, ce qui déclenche la
facturation d’une taxe.
Ces systèmes doivent être robustes, peu coûteux, ne nécessiter
aucun réglage et être fonctionnels dans des conditions de
luminosité très variées.
Le modèle retenu (ci-contre) comporte deux caméras identiques :
l’une enregistrant dans le domaine visible et l’autre dans le proche
infrarouge grâce un filtre stoppant les radiations visibles. Un
ensemble de diodes électroluminescentes (DEL) émettant des flashes
de longueur d’onde respective 810 nm et 950 nm entoure les caméras
et permet d’illuminer la plaque d’immatriculation.
Les spécifications du constructeur sont les suivantes :
≈ 10 cm
Objectifs des caméras
DEL infrarouges
caméra P362 de la société PIPS®

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Le capteur CCD (Charge Coupled Device) de ces caméras est un rectangle de diagonale 1/4 " (0,635 cm) et
est découpé en 752 x 582 pixels (largeur x hauteur) ; les pixels sont des carrés tous identiques, de côté a.
Pour réduire le coût, les risques de panne et les réglages lors de l’installation, ces caméras ont une distance
focale image f’ fixe. Le constructeur propose différents modèles destinés à enregistrer les plaques
d’immatriculation à une distance de mesure déterminée L. Le tableau ci-dessous ou tableau 1 suivant
résume les modèles disponibles :
La norme britannique concernant les plaques d’immatriculation est la suivante :
Les plaques doivent mesurer 110 mm de hauteur et 520 mm
de largeur. Les caractères doivent avoir une hauteur de
79 mm et une largeur de 50 mm, l’épaisseur du trait
étant fixée à 14 mm.
A) DIMENSIONNEMENT DES CAMÉRAS
Les caméras sont identiques et constituées d’une lentille d’objectif de distance focale image f’ qui forme sur
le capteur CCD une image de la plaque d’immatriculation.
La figure 1 illustre cette configuration (les échelles relatives ne sont pas respectées).
1) Donner la condition que doivent vérifier f’ (distance focale image de la lentille) et  (distance entre
l’objet réel et son image réelle) pour que cette opération soit possible. On ne demande pas de justifier.
Comment s’appelle la réalisation de l’image réelle d’un objet réel ?
2) Exprimer la distance  en fonction de L =  et f’. Justifier pourquoi la lentille doit nécessairement
être convergente.
3) Ecrire le grandissement  en fonction de L et f’.
4) En tenant compte des valeurs numériques du tableau 1, simplifier l’expression de  obtenue à la
question 2). Commenter.
5) Simplifier de même l’expression de . Calculer la valeur numérique du grandissement  pour ces cinq
modèles de caméras (répondre avec 3 chiffres significatifs). Commenter.
Pour les questions suivantes,  sera pris égal à la moyenne de ces cinq valeurs.
6) Déterminer la largeur et la hauteur du capteur CCD en millimètres ainsi que la valeur numérique de la
longueur a du côté d’un pixel de ce capteur.
7) En déduire les dimensions du champ de vue dans le plan d’observation. Est-il suffisant d’installer une
caméra par rue permettant d’accéder au centre-ville ?
Modèle de caméra
1
2
3
4
5
Focale 
35,0 mm
25,0 mm
16,0 mm
12,0 mm
8,00 mm
Distance de mesure L
20,0 m
14,5 m
9,0 m
7,0 m
4,5 m
110 mm
520 mm
79 mm
50 mm
Plaque
d’immatriculation
Capteur CCD
+
O
P
C
Lentille d’objectif de distance focale
image f’ et de diamètre D
Caméra
Plan d’observation
Figure 1

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8) Déterminer les dimensions de l’image d’un des caractères de la plaque d’immatriculation sur le capteur
CCD en micromètres, puis en pixels.
9) Le dimensionnement de la caméra est imposé par une valeur optimale de  qui repose sur un
compromis entre deux contraintes antagonistes : préciser lesquelles.
10) Quels problèmes se poseraient si le dispositif ne filmait que dans le domaine visible ? Quels sont les
avantages à filmer une seconde image en infrarouge ?
Les lentilles de ces caméras ont un diamètre D = 1,00 cm. Elles se comportent donc comme une pupille
circulaire qui diffracte la lumière. L’image d’une source ponctuelle n’est donc pas un point mais présente
une certaine étendue spatiale due à la diffraction.
11) Calculer, pour la caméra de modèle 1, l’ordre de grandeur de la largeur de la tache de diffraction de
l’image d’un point sur le capteur CCD pour le rayonnement infrarouge utilisé.
Comparer ce phénomène à la pixellisation de l’image. Limite-t-il la résolution ?
B) PROFONDEUR DE CHAMP
Bien que ces caméras ne disposent pas de dispositif de mise au point (leur distance focale est fixe), il est
néanmoins possible de visualiser des plaques d’immatriculation qui ne sont pas rigoureusement situées à la
distance L spécifiée par le constructeur (cf. Tableau 1).
Le but de cette partie est de déterminer la profondeur de champ Z, c'est-à-dire la longueur de la zone de
l’espace où l’objet peut-être placé afin que la caméra en fournisse une image considérée comme nette.
Le document-réponse « Optique », à rendre avec la copie, comporte différentes figures sur lesquelles un
objet ponctuel est situé sur l’axe optique (les constructions ne sont pas à l’échelle et ont pour seul but
d’illustrer le phénomène). Le diamètre de la lentille est D = 1,00 cm.
Sur la première figure, l’objet est situé en P0, à la distance L spécifiée par le constructeur.
1) Compléter cette figure en représentant le trajet des deux rayons lumineux issus de P0 et frappant la
lentille en deux points extérieurs diamétralement opposés. Représenter la position de l’image C0 de ce
point P0 par la lentille d’objectif. (Un soin particulier est attendu dans la réalisation de la construction
dont la démarche doit être rigoureusement justifiée.)
Le capteur CCD est positionné dans le plan perpendiculaire à l’axe optique et passant par C0. L’objet ponctuel
P1 est maintenant placé à une distance Δ1 =  > 0 de P0.
2) Compléter la seconde figure du document-réponse en y représentant : le plan du capteur CCD (en
reportant le point C0 de la construction de la question 1), le trajet des deux rayons lumineux issus de
P1 et frappant la lentille en deux points extérieurs diamétralement opposés. Son image est notée C1.
Ce faisceau ne forme pas une image ponctuelle sur le capteur mais un disque de diamètre d1 > 0 qui doit
être inférieur à la taille a d’un pixel pour que l’image soit nette : 0 < d1 < a.
3) Montrer que le diamètre de la tache image, noté d1, peut s’exprimer sous la forme :
d1 = D 
4) Compléter la troisième figure, dans le cas où  = - Δ2 < 0 (Δ2 > 0 est une distance).
On admet que le diamètre de la tache image peut alors s’exprimer sous la forme : d2 = D 
5) Simplifier les expressions de d1 et d2 sachant que f’ << L