dm23

Lycée Louis-Le-Grand, Paris Pour le 05/06/2023
MP2I – Mathématiques
A. Troesch
DM no23 : Séries
Suggestion de travail supplémentaire (à ne pas me rendre) : Problème 10 de la sélection.
Problème 1 –Convergence au sens d’Abel et Cesàro, et O-théorème de Hardy et Littlewood
Le but de ce problème est d’étudier des propriétés de convergence des séries de type řanxn(séries entières) au bord
du domaine de convergence. On se place dans le cas d’une étude au point 1, ce à quoi on peut toujours se ramener
(sauf si le domaine de convergence est Rentier, ou réduit à t0u), par changement de variable linéaire.
Pour une série entière ř
nPN
anxnconvergeant pour toute valeur de xdans r0,1r, on note, pour tout xP r0,1r,
fpxq “
`8
ÿ
n“0
anxn,
et pour tout NPN, on désigne par ANla somme partielle
AN“
N
ÿ
n“0
an,et pour xP r0,1r,SNpxq “
N
ÿ
n“0
anxn.
On note également, en cas de convergence :
RN“
`8
ÿ
k“N`1
an,et pour xP r0,1r,RNpxq “
`8
ÿ
n“N`1
anxn.
Enfin, on notera :
A1
N“
N
ÿ
n“0
An,
la somme partielle de la série des sommes partielles. Ces notations seront conservées pendant tout le problème.
On distingue alors trois types de convergence de la série entière řanxnen 1:
‚la convergence au sens usuel vers Sen 1, si la série řanest convergente, de somme S;
‚la convergence au sens d’Abel vers Sen 1, si fpxqadmet une limite lorsque xÑ1´, égale à S;
‚la convergence au sens de Cesàro vers Sen 1, si la moyenne 1
N`1
N
ÿ
n“0
Andes sommes partielles tend vers S,
donc si 1
N`1A1
NÑS.
Le réel Ssera appelé somme de la série en 1(au sens usuel, au sens d’Abel ou au sens de Cesàro) dans chacun de ces
cas.
Le but du problème est de comparer ces trois types de convergence, sous des hypothèses qu’on précisera en cours de
problème. Nous montrerons notamment le O-théorème de Hardy et Littlewood affirmant que si an“Op1
nq, alors la
convergence au sens d’Abel vers ℓimplique la convergence au sens usuel vers ℓ.
On pourra admettre dans tout le problème, les résultats suivants, qu’on a déjà rencontrés, ou qui seront vus en Spéciale :
‚Théorème de la moyenne de Cesàro : si punqest une suite convergeant vers ℓPR, alors
1
N`1
N
ÿ
n“0
unÝÑ
NÑ`8
ℓ.
‚Approximation continue des fonctions intégrables : Soit fune fonction Riemann-intégrable sur un segment
ra, bs. Alors pour tout εą0, il existe une fonction continue gtelle que
żb
a
|gptq ´ fptq| dtăε.
1

‚Théorème de Weierstrass (approximation polynomiale uniforme d’une fonction continue) : soit fune fonction
continue sur un segment ra, bs. Pour tout εą0, il existe un polynôme Ptel que
@xP ra, bs,|fpxq ´ Ppxq| ă ε.
Dans tout le problème, on se donne řanxnune série entière à coefficients réels.
Partie I – Rayon de convergence d’une série entière
Soit R“suptxPR`| panxnqnPNbornéeu
1. Justifier l’existence de Rdans R`Y 8.
2. Justifier que si |x| ą R, alors řanxndiverge.
3. Soit xtel que |x| ă R. Montrer qu’il rPs|x|, Rset Mtels que pour tout nPN,|anxn| ď Mˆ|x|
r˙n
. En déduire
la convergence absolue de řanxn.
Ainsi, le domaine de convergence de la série entière est un intervalle de bornes ´Ret R, pouvant contenir zéro, une
ou ses deux bornes. Le réel (éventuellement infini) Rest appelé rayon de convergence de la série entière řanxn.
4. Donner un exemple de série entière de rayon de convergence `8
5. Donner trois exemple de série entière de rayon de convergence 1, l’un avec convergence en 1et ´1, un deuxième
avec convergence uniquement en une borne, le troisième avec divergence en 1et ´1.
6. Donner un exemple de série entière de rayon de convergence nul.
Partie II – Convergence uniforme et continuité des sommes des séries entières
Soit pgnqune suite de fonctions d’un intervalle Ide Rdans R, et gune fonction définie sur I. On dit que pgnqconverge
uniformément vers gsi pour tout εą0, il existe n0PN(indépendant de x) tel que :
@něn0,@xPI, |gnpxq ´ gpxq| ă ε.
1. Montrer que si pgnqconverge uniformément vers gsur I, et si les fonctions gnsont continues sur I, alors gest
continue sur I.
2. Soit řanxnune série entière de rayon de convergence 1(mais tout autre rayon conviendrait aussi). Les notations
utilisées sont celles introduites dans le préambule.
(a) Soit rP r0,1r. Montrer que pRNpxqqNPNconverge uniformément vers la fonction nulle sur r´r, rs. Que dire
de la convergence de Snpxqvers f?
(b) En déduire que fest continue sur s ´ 1,1r.
Partie III – La convergence usuelle est la plus forte, la convergence d’Abel est la moins forte
On suppose désormais que R“1, et on s’intéresse aux propriétés de convergence au point 1.
1. Justifier que si řanxnest convergente au sens usuel en 1, elle est convergente au sens de Cesàro, de même
somme.
2. On suppose dans cette question que řanest convergente, de somme S.
(a) Quelle est la limite de pRnq?
(b) Justifier que pour tout xPs ´ 1,1r,řRnxnconverge.
(c) Montrer que pour tout xP r0,1s,
Rnpxq “
`8
ÿ
k“n`1
Rk¨ pxk`1´xkq ` Rnxn`1
(on pourra étudier séparément les cas xă1et x“1)
(d) En déduire que pRnpxqqnPNconverge uniformément vers 0sur r0,1s.
2

(e) En déduire que la convergence au sens usuel en 1implique la convergence au sens d’Abel, vers la même
somme.
3. Un lemme.
Soit řunxnet řvnxndeux séries entières, de rayon de convergence 1, et de sommes respectives upxqet vpxq.
On suppose que vně0pour tout nPN, et un„
`8 vn. On suppose de plus que vpxq Ñ `8 lorsque xÑ1´.
(a) Justifier que pour tout εą0, il existe n0tel que pour tout xP r0,1r,
|upxq ´ vpxq| ď
n0
ÿ
n“0
|un´vn| ` ε
2vpxq.
(b) En déduire que upxq „
xÑ1´
vpxq.
4. On suppose dans cette question que řanest convergente au sens de Cesàro en 1, de somme S.
(a) Montrer que pour tout Ně2,
SNpxq “
N´1
ÿ
n“0
A1
np1´xqxn´
N´2
ÿ
n“0
A1
np1´xqxn`1`ANxN.
On pourra commencer par écrire anen fonction de Anet An´1, et recommencer.
(b) Montrer que pour tout xPs ´ 1,1r,řA1
nxnconverge.
(c) Déduire des deux questions précédentes que la suite pAnxnqconverge. Montrer que sa limite est nulle.
(d) En déduire que :
fpxq “ p1´xq2
`8
ÿ
n“0
A1
nxn,
puis que lim
xÑ1´
fpxq “ S.
(On pourra étudier séparément les cas S“0et S‰0. Dans le second cas, remarquez qu’on connaît un
équivalent simple de A1
N.)
Partie IV – Théorème de Tauber et O-théorème de Hardy-Littlewood
On étudie ici la réciproque d’une des implications montrées dans la partie précédente. Plus précisément, on montre que
sous certaines hypothèses, la convergence au sens d’Abel entraîne la convergence au sens usuel. On se donne toujours
une série entière řanxnde rayon de convergence 1, de somme fpxq, et on suppose, dans toute cette partie, que
fpxq Ñ S, lorsque xÑ1. On montre que dans ce cas, řanconverge, de somme S, dans les 3 cas suivants : aně0,
ou an“o`1
n˘(théorème de Tauber), ou an“O`1 n˘(O-théorème de Hardy-Littlewood).
1. Dans cette question, on suppose que pour tout nPN,aně0. Montrer que
`8
ř
n“0
an“S.
2. Dans cette question, on suppose que an“o`1
n˘. On définit mn“suptk|ak|;kąnu.
(a) Justifier que pour tout nPN,mnPR.
(b) Montrer que pour tout xP r0,1s,
ˇˇˇˇˇ
fpxq ´
n
ÿ
k“0
akˇˇˇˇˇ
ď p1´xqnm0`mn
n`1¨1 1´x.
(c) En appliquant l’inégalité ci-dessus à une suite pxnqbien choisie de valeurs de x, en déduire que řanconverge,
de somme S(théorème de Tauber)
3. Dans cette question, on suppose que an“O`1
n˘, et on pose ala fonction de R`dans Rdéfinie par apxq “ an
si xP rn, n `1r.
(a) Déterminer une fonction g:R`ÑRtelle que pour tout nPN,
An“nż`8
0
apntqgpe´tqdt.
(b) Soit δą0. Justifier l’existence d’un polynôme Qvérifiant Qp0q “ 0, et tel que
ż`8
0ˇˇˇˇ
gpe´tq ´ Qpe´tq
1´e´tˇˇˇˇ
dtďδ.
3

(c) En déduire que pour tout εą0, il existe des constantes c1,...,cdtelles que
@nPN˚,ˇˇˇˇˇ
An´1´
d
ÿ
k“1
cknż`8
0
apntqe´kt dtˇˇˇˇˇ
ďε.
(d) En déduire que AnÑS(O-théorème de Hardy-Littlewood)
Partie V – Convergence au sens d’Abel implique convergence au sens de Cesàro
On suppose dans cette dernière partie que řanxn, de rayon de convergence 1, converge au sens d’Abel vers Sen 1.
On suppose de plus que fp0q “ 0, (ce à quoi on peut toujours se ramener en remplaçant a0par 0). On suppose de plus
que pAnqest bornée. On pose wn“
n
ÿ
k“1
kaket vn“wn
npn`1q.
1. Montrer que pour Ną0,
N
ÿ
n“1
vn“A1
N
N`1.
2. Exprimer wnen fonction de A0,...,An, et en déduire que vn“O`1
n˘.
En déduire que la fonction g:xÞÑ
`8
ÿ
n“1
vnxn`1est bien définie sur r0,1r.
3. En admettant qu’on peut dériver une série entière terme à terme, justifier que gpxq ` p1´xqg1pxq “ fpxq.
4. En déduire que řanxnest convergente (en 1) au sens de Cesàro, de somme S.
4