COURS DE PROPAGATION

REPUBLIQUE DE COTE D'IVOIRE
UNION - DISCIPLINE - TRAVAIL
UNITE DE FORMATION ET DE RECHERCHE
SCIENCES DES STRUCTURES DE LA MATIERE
ET DE TECHNOLOGIE
MINISTERE DE L'ENSEIGNEMENT SUPERIEUR
ET DE LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE
UNIVERSITE DE CO CODY
Laboratoire de physique de l’Atmosphère
22 B.P.582 Abidjan 22
COURS DE
PROPAGATION DES ONDES
Licence de Physique
KOBEA TOKA Arsène: Maître de Recherche
Edition 2006-2007
Avant propos
Ce cours destiné aux étudiants de second cycle est dispensé dans le cadre de
l’Unité de Valeur de Propagation des Ondes à l’Unité de Formation et de Recherche de
Sciences des Structures de la Matière et des Technologies (UFR SSMT) de l’Université de
Cocody à Abidjan.
Il est l’œuvre des synthèses successives élaborées par feu le Professeur Alain
Proutière, le Professeur ACHY SEKA Antoine et le Professeur KOBEA TOKA Arsène.
L’exposé s’articule en cinq chapitres.
Le premier commence naturellement par les généralités sur la propagation des
Ondes Electromagnétiques (OEM) en partant des rappels mathématiques pour en venir
aux définitions générales relatives à la propagation des ondes.
Le second chapitre traite des caractères généraux des OEM. Il rappelle les bases
de la théorie des OEM avec l’étude incontournable des équations de Maxwell qui décrivent
les variations spatio-temporelles des champs à partir des sources qui les créent. Il évoque
enfin les conséquences de ces équations telles que la propagation des champs, leurs
propriétés d’amplitude de phase et polarisation ainsi que la puissance transportée par
l’onde.
Le chapitre III
est consacré à la propagation des ondes dans les lignes de
conducteurs. Il introduit les équations de propagation dans les lignes à partir des équations
de Maxwell puis à partir de la loi d’Ohm généralisée.
Le chapitre IV décrit la propagation des OEM dans les guides d’onde.
Enfin le chapitre V est dédié aux antennes. Après avoir exposé les définitions et les
propriétés caractéristiques communes à tout type d’antenne, nous avons choisi de traiter :
Les antennes à dipôles rayonnants toujours employées pour la radiodiffusion FM, la
radionavigation et qui connaissent un regain d’intérêt avec les mobiles.
Les ouvertures rayonnantes circulaires dont les cornets électromagnétiques obtenus
à partir d’un guide d’alimentation de même géométrie sont un excellent exemple.
Nous n’abordons pas dans le cadre de cet exposé l’optique électromagnétique, la
propagation des ondes dans les milieux anisotropes, dans les fluides (compressibles et
incompressibles) et dans un milieu solide.
L’usage de ce document aidera l’étudiant à assimiler plus aisément le cours grâce à
un travail personnel de recherche préalable.
i
TABLE DES MATIERES
pages
CHAPITRE I : INTRODUCTION - GENERALITES SUR LA PRODUCTION DES ONDES
INTRODUCTION
I – RAPPELS D’ANALYSE : LA SERIE ET L’INTEGRALE DE FOURIER
II –EQUATION ET FONCTION DE PROPAGATION D’UNE ONDE TRANSVERSALE
PLANE DE L’EBRANLEMENT LE LONG D’UNE CORDE TENDUE
1 – Equation de propagation générale
2 – Recherche de l’équation de propagation à partir de l’étude du phénomène
physique spécifique
3 – La solution de la propagation
III – EQUATIONS ET FONCTIONS DE PROPAGATION PLUS GENERALES
1 – Cas général
2 – Cas d’une onde sphérique dans un milieu isotrope
2.1 – Cas d’une onde longitudinale sphérique (onde sonore par exemple)
2.2 – Cas d’une onde transversale sphérique (onde lumineuse par exemple)
2.3 – Cas d’une onde quelconque possédant à la fois une composante longitudinale
et transversale
IV – DEFINITIONS GENERALES RELATIVES A LA PROPAGATION D’UNE ONDE
1 – Les termes « longitudinale », « transversale»
2 – Les termes « plane », « sphérique»
3 – L’amplitude de l’onde
4 – La vitesse de phase vϕ
4.1 – Dans le cas d’une onde simple
4.2 – Dans le cas d’une onde amortie
5 – La vitesse de groupe ou vitesse d’un train d’onde
5.1-Cas de deux vibrations simples se propageant simultanément
5.2-Cas général de deux vibrations sinusoïdales (non amorties)
CHAPITRE II : PROPAGATION DES ONDES ELECTROMAGNETIQUES (O.E.M) –
CARACTERES GENERAUX
I – INTRODUCTION : NATURE DES ONDES ELECTROMAGNETIQES
II – BASE DE LA THEORIE - EQUATIONS DE MAXWELL - LOI OU EQUATION DE
PROPAGATION
r
r
1 – Rappel des résultats obtenus par les études préliminaires sur E et H
1.1 – Rappels mathématiques (voir compléments de math)
1.2 – Rappels d’électrostatique
a)- Vecteurs fondamentaux
b)- Relations
1.3- Rappels de magnétostatique
a)- Vecteurs fondamentaux
b)- Relations
2 – Introduction du temps dans les grandeurs précédentes - équations de Maxwell
2 .1 – Approximation
2.2 – Les phénomènes d’induction
2.3 – Densité de courant total
2.4 – Les relations de Maxwell
3 – Equations de propagation des champs (dans les milieux isotropes)
III – CARACTERISTIQUES GENERALES DES ONDES ELECTROMAGNETIQUES
1- Vitesse de propagation (dans le vide et dans un diélectrique)
r
r
2- Transversalité des ondes planes et orientations respectives de E et H
2.1 – Transversalité
1
1
3
3
4
4
6
6
7
8
8
8
9
9
9
10
10
10
10
11
11
12
14
14
15
15
15
15
15
15
15
15
16
16
16
16
17
17
18
18
18
19
19
ii
2.2 – Orientation, sens, amplitudes
19
3 – Conditions aux limites imposées par un conducteur parfait
4 – Ondes stationnaires provoquées par la réflexion sur un conducteur parfait
5- Energie et puissance transportées par l’O.E.M vecteur de Poynting
6 – Remarques sur le cas des milieux anisotropes et des milieux dispersifs
7- Conclusion
CHAPITRE III : PROPAGATION DES ONDES ELECTROMAGNETIQUES (O.E.M)
DANS LES LIGNES DE CONDUCTEURS
I – INTRODUCTION
II – EQUATIONS DE PROPAGATION DANS LES LIGNES
1 – A partir des équations de Maxwell
2 – A partir de la loi d’Ohm généralisée
3 – Cas des lignes parfaites : solution de la propagation de V et I
III – ONDES STATIONNAIRES DANS LES LIGNES PARFAITES
1 – Introduction - coefficient de réflexion
2 – Etude du lien entre l’impédance terminale et le régime d’ondes stationnaires
(en régime sinusoïdal)
2.1 – Impédance réduite terminale Z’ et impédance réduite d’un point quelconque Z’
(rapport des coefficients de réflexion)2.2 – Cas particuliers d’impédances terminales
a)-
Z1' = 1 impédance terminale = impédance caractéristique
'
1=
'
1=
'
1=
b)-
Z
0 Court-circuit
c)-
Z
∞ Ligne ouverte
'
r
25
25
25
25
27
28
29
29
30
30
31
31
31
31
'
r
'
1
d)- Z
jR :( R réelle) ; Z imaginaire pure
e)- Cas spécial de régime stationnaire : la résonance
3 – Taux d’ondes stationnaires (T.O.S)
4 – Applications pratiques des relations précédentes : déterminations
de Z 1' , Γ1 ou Z et Γ
4.1 – Problèmes concernant les mesures d’impédance
Z1 et Γ1
IV – QUELQUES PRORIETES AUX PARTICULARITES DES LIGNES PARFAITES
1 – Puissance dégagée dans la charge (régime sinusoïdal)
2 – Adaptation d’impédance (ou adaptation de ligne)
2.1 – Par un tronçon de ligne
21
22
23
24
24
λ
4
(quart d’onde)
2.2 – Par un transformateur
2.3 – Par un « stub » (« morceau » de ligne)
V – LES LIGNES REELLES OU LIGNES AVEC PERTES
1 – Solution de l’équation générale de propagation (en régime sinusoïdal)
2 – Etude de la solution dans quelques cas particuliers
2.1 – Dans le cas général
2.2 – Cas de l’adaptation des phases
2.3 – Cas des faibles pertes
3 – Ondes stationnaires dans les lignes avec pertes (en régime sinusoïdal)
3.1- Coefficient de réflexion et impédance
3.2- Atténuation sur la ligne (unités)
CHAPITRE IV : PROPAGATION DES O.E.M DANS LES GUIDES D’ONDES
I – INTRODUCTION : ANALOGIE AVEC LES LIGNES DE CONDUCTEUR-NATURE
SPECIFIQUE DES PHENOMENES
1 – Définition générale des guides d’ondes, analogie avec les lignes
2 – Différence entre la propagation dans les lignes et dans les guides d’ondes
« fermés»
32
32
33
34
34
36
36
37
37
38
38
39
39
40
40
40
41
42
42
42
44
44
44
44
iii
2.1 – La nature du signal étudié
2.2 – Le processus de propagation le long de l’axe
2.3 – La forme générale de la solution de propagation (en régime sinusoïdal)
2.4 – Limitation du domaine de fréquence dans un guide et intérêt des guides fermés
45
45
45
46
II – EQUATIONS SPECIFIQUES DE LA PROPAGATION GUIDEE (En régime sinusoïdal)
1 – Equation générale de propagation
2 – Relation entre les composantes transversales ( E z et H z ) et les composante
longitudinales ( E x , E y , H x et H y )
47
47
48
III – SOLUTION COMPLETE DE LA PROPAGATION DANS LE CAS D’UNE ONDE T.M. AU
VOISINAGE DE LA PAROI
50
1 – Caractéristiques du cas particulier étudié et conditions aux limites
50
1.1 –L’onde considérée et les approximations utilisées
1.2 – Les conditions aux limites particulières
1.3 – Nature de l’onde
2 – Expressions de E zo ( x, y ) , E z ( x, y ) , H yo ( x, y ) , H y ( x, y ) à partir des équations
(1) en (II.1) et des équations (2) en (II.2)
3 – Expression de k en fonction des caractéristiques du guide
4 – Expression finale de la solution dans le cas de l’O.T.M. au voisinage de la paroi
4.1 – Expression de
µà
et
µ
4.2 – Les expressions finales des composantes
50
51
51
52
52
53
53
E z ( x , y , z , t ) = E z ( x, y ) e
j (ωt − kz )
5 – Application de la solution obtenue
5.1 – Relation entre composantes des champs5.2 – Surface équiphase et équiamplitude
IV – CALCUL DU COEFFICIENT D’ATTENUATION ( α ) LE LONG DU GUIDE
1 – Perte d’énergie par effet joule dans la paroi conductrice
2 – Expression du coefficient α
V – EXEMPLE DU GUIDE D’ONDE RECTANGULAIRE
r
r
1 – Calcul des cartes de champ E ( x, y ) et H ( x, y )
1.1 – Détermination des ondes T.M.
1.2 – Détermination des ondes T.E.
2 – Les modes d’ondes
3 – Facteur de propagation k et fréquence de coupure f c
4 – Dispersion des guides d’ondes - vitesse de groupe et de phase
5- L’évaluation pratique du coefficient d’affaiblissement ou d’atténuation α
CHAPITRE V : PROPAGATION DE O.E.M RAYONNEES PAR LES ANTENNES
I-INTRODUCTION
II – RAYONNEMENT DU DOUBLET ELECTRIQUE
1 – Doublet ou dipôle électrique
2 – Calcul du potentiel vecteur
3 – Calcul de l’induction magnétique
4 – Calcul de V
r
5 – Calcul du champ électrique E
et
µ
54
54
54
54
55
55
56
57
57
58
59
60
61
61
62
64
64
64
64
65
65
66
67
5.1 – Calcul de
Ey
67
5.2 – Calcul de
Ez
67
6 – Intensité des champs au voisinage du doublet
7 – Intensité des champs aux grandes distances
III – THEOREME SIMPLIFIE DE L’ANTENNE: GENERLITES ET DEFINITIONS
1 – Introduction
2 – Hauteur effective d’une antenne d’émission
2.1 – Définition
68
69
71
71
71
71
iv
2.2 – Calcul de
heff pour un fil isolé de longueur l
IV – FONCTION CARACTERISTIQUE ET DIAGRAMME DE RAYONNEMENT
1 – Cas du doublet
2 – Généralisation
V – RESISTANCE DE RAYONNEMENT
1 – Définition
2 – Cas du doublet
2.1 – Doublet isolé dans l’espace
2.2 – Doublet vertical avec base au sol
4.1 – Premier procédé de calcul de Rr
4.2 – Deuxième procédé (approché) - Procédé graphique
4.3 – Troisième procédé (approché) - Procédé graphique
VI – GAIN D’UN ANTENNE
1 – Intensité du rayonnement
2 – Gain absolu d’une antenne
3 – Gain en champ d’une antenne
4 – Gain en puissance d’une antenne
5 – Expression générale du gain
6 – Exemple
VII – IMPEDANCE D’ENTREE D’UNE ANTENNE
1 – Définition
2 – Calcul de l’impédance d’entrée par la méthode de la ligne équivalente avec pertes
2.3 – Détermination de
α
Zc
2.4 – Expressions générales de R0 et X0
3 – Calcul de l’impédance d’entrée d’une antenne biconique
3.1 – L’antenne biconique infinie
3.2 – Impédance d’entrée d’une antenne biconique finie
4 – Etude des antennes cylindriques
4.1 – L’antenne cylindrique quelconque
4.2 – Cas particulier de l’antenne filaire
5 – Influence d’une charge réative sur l’accord d’une antenne
5.1 – Rôle d’une self à la base
5.2 – Rôle d’une capacité au sommet
Bibliographie
Annexe
73
73
73
74
74
74
74
75
3 – Relation entre les résistances de rayonnement et la fonction caractéristique
4 – Détermination de la résistance de rayonnement
2.1 – Calcul de la constante de longueur d’onde
2.2 – Calcul de l’affaiblissement linéaire β
71
75
76
76
76
77
77
77
77
78
79
79
80
80
80
83
83
83
84
84
86
86
86
87
87
88
89
89
91
93
94
v
vi
CHAPITRE I
INTRODUCTION – GENERALITES SUR LA PROPAGATION DES ONDES
INTRODUCTION
On peut définir une onde comme une vibration susceptible de se propager dans l'espace
(dans l'espace vide ou dans l'espace matière).
Cette vibration fonction du temps (Ex. : y = a cos(ωt + ϕ) peut représenter une grandeur ou
r
un phénomène physique. ( E , I& ou déformation mécanique etc.).
Le terme onde peut englober le phénomène de vibration et sa propagation ou désigner
simplement le phénomène vibratoire lui même (onde électromagnétique, onde sonore, etc.)
L'étude de la propagation de l'onde nous conduira à caractériser cette onde par une fonction
du temps et de l'espace f ( x, y, z , t ) par f ( x, y , z , t ) = a cos(ωt + ϕ) .
Mais a et ϕ sont fonctions des variables x, y, z et t . Ainsi f ( x, y, z, t ) permettra de
caractériser un phénomène ondulatoire en un point de l'espace et en un temps donné.
En pratique, l'étude du phénomène ondulatoire permet d'établir une équation différentielle
aux dérivées partielles appelée équation de propagation et f ( x, y, z , t ) est la solution de cette
équation.
Les études de Fourier en analyse montrent que dans la plupart des cas on peut ramener
l'étude d'une fonction quelconque à celle d'une fonction sinusoïdale.
I – RAPPELS D'ANALYSE : LA SERIE ET L'INTEGRALE DE FOURIER
Seuls les résultats sont donnés, le détail de l'établissement des formules sera vue dans des
compléments de mathématiques.
1 – LA SERIE DE FOURIER
Les conditions d'application des résultats sont pour, une fonction f (t ) ; t étant en général la
variable temps :
f (t ) est bornée dans l'intervalle (θ , θ + T ) ;
dans cet intervalle (θ , θ + T ) les points de discontinuité et les extrema sont en nombre
limité.
Selon les résultats, nous avons la possibilité d'écrire f (t ) sous les formes suivantes, dans
-
l'intervalle (θ , θ + T ) .
a) f (t ) = b0 +
avec b0 =
∞
∑a
n =1
θ +T
1
T ∫θ
∞
n
sin nϖt + ∑ bn cos nϖt
f (t )dt ,
Cours de Propagation des Ondes
A. KOBEA
n =1
an =
2 θ +T
2 θ +T
(
)
f
t
sin
n
ϖ
tdi
et
b
=
f (t )cos nϖtdt
n
T ∫θ
T ∫θ
-1-
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b) En notation complexe :
On peut écrire :
(
∞
)
(
∞
d n njωt
b
e − e − njωt + ∑ n e njωt + e − njωt
n =1 2 j
n =1 2
f (t ) = ∑
)
Les coefficients étant donné par les formules précédentes :
1 θ +T
f (t )dt
T ∫θ
2 θ +T
an = ∫ f (t )sin nωtdt
T θ
b0 =
bn =
2 θ +T
f (t )cos nωtdt
T ∫θ
bn − jan 1 θ +T
1 θ +T
= ∫ f (t )(cos nωt − j sin nωt )dt = ∫ f (t )e − njωt dt
2
T θ
T θ
bn + jan 1 θ +T
= ∫ f (t )e njωt dt
2
T θ
La fonction f (t ) peut s'écrire :
Il vient
∞ 
b − ja n e njωt bn + ja n e − njωt 
f (t ) = b0 + ∑  2
+

2
2
n =1 

c) Autre notation :
∞
f (t ) = b0 + ∑ S n cos(nωt − ϕ n )
n =1
avec S n =
a n2 + bn2
ϕ n = Arctg
et
an
bn
L'intérêt de ces résultats est que ces développements peuvent être étendus sur tout
l'intervalle de variation si f (t ) est périodique.
2 – L'INTEGRALE DE FOURIER
Les conditions d'application sont les mêmes que pour la série avec la condition
supplémentaire :
T
lim ite
T →∞
1 2
T f (t )dt = 0
T ∫− 2
Les résultats sont la possibilité d'écrire f (t ) sous les formes suivantes :
a) f (t ) = B0 +
avec B0 = 0 ,
∫ A(ω )sin ωtdω + ∫ B(ω )cos ωtdω
∞
∞
0
0
A(ω ) =
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1
π∫
∞
−∞
f (t )sin ωtdt et B(ω ) =
-2-
1 ∞
f (t )csωtdt
π ∫− ∞
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b) En notation complexe :
∞
f (t ) = ∫ C (ω)e jϖt dω , avec C (ω ) =
−∞
1 ∞
f (t )e − jϖt dt
∫
−
∞
2π
c) Autre notation :
f (t ) = B0 + ∫ S (ω) cos[ωt − φ(ϖ )]dω
∞
0
avec S (ω) =
A 2 (ω) + B 2 (ω)
et
φ(ω) = Arctg
A(ω)
B(ω)
L'avantage de ces résultats est qu'ils sont applicables même si f (t ) n'est pas périodique.
II – EQUATION ET FONCTION DE PROPAGATION D'UNE ONDE TRANSVERSALE
PLANE DE L'EBRANLEMENT LE LONG D'UNE CORDE TENDUE
L'exemple de l'ébranlement le long de la corde tendue est pris ici pour faciliter la
compréhension de l'exposé.
Les conclusions que l'on en déduit sont générales et peuvent être appliqués à n'importe quel
type d'onde plane : (un champ électrique par exemple)
1 – EQUATION DE PROPAGATION GENERALE
Considérons une corde élastique tendue OB. Imprimons à l’aide de la main une série de
déplacement à l'extrémité O. Levons la vivement de O en A puis de A en O. La courte vibration
ainsi provoquée en A peut-être décrite par la fonction y = f (t ) .
y
y
Fig 1
A
O
x
M
B
Y0
x
O
A
A'
Y0 = AA'
Forme de y = f (t ) en A
t
L'expérience montre que le déplacement imprimé au point O se transmet de proche en
proche le long de la corde avec une vitesse uniforme V qui ne dépend que de la nature de la corde
et de la tension (V ne dépend pas de y = f (t ) ). Pour parcourir une longueur OM = x, l'ébranlement
met un temps τ =
x
et s'il n'y a pas d'atténuation, le mouvement du point M reproduit celui du point
v
O avec un retard τ .
Ainsi la forme de l'onde qui se propage selon ox en un point M est :
 x
y = f (t − τ) = f  t − 
 v
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Les dérivées secondes de y en fonction de x et t sont :
∂2 y
∂ 2 y 1 ''  x 
x
'' 
= f  t −  et
=
f t − 
∂t 2
∂x 2 v 2
 v
 v
2
2
∂ y
2 ∂ y
d' où l'équation de propagation
=
v
(1)
∂t 2
∂x 2
où v est la vitesse de propagation.
Y la fonction caractérisant l'onde en un point quelconque.
2 – RECHERCHE DE L'EQUATION DE PROPAGATION A PARTIR DE L'ETUDE DU PHENOMENE
PHYSIQUE SPECIFIQUE
La figure 2 représente la déformation de la corde en un endroit quelconque.
On considère la portion élémentaire de corde MM'
y
et on suppose MM' ≈ dx.
M'
θ
Cette portion de corde se comporte comme
dy
un point matériel de masse µdx ; µ est la masse
par unité de longueur ; T est la tension de la corde M.
La résultante des forces agissant sur M est due aux
forces de tension car on néglige l'action de la pesanteur.
T
O
M
dx
Fig. 2
.
x
De plus on ne considère que sa composante selon oy (direction de la vibration) soit
T cos θ = T
dy
dy
dy
en fait cos θ =
.
≈
'
dx
dx
MM
La résultante des forces agissant sur l'élément dx est :
∂2 y
 dy  ∂  dy 
d (T cos ) = d  T
=
T
dx
=
T
dx



∂x 2
 dx  ∂x  dx 
et d'après la relation fondamentale de la dynamique
∂2 y
∂2 y
dx
=
µ
dx
∂x 2
dt 2
∂2 y T ∂2 y
=
D'où l'équation de propagation
(2)
∂t 2 µ ∂x 2
dF = d (mγ ) = dmγ ⇔ T
L'identification avec (1) montre que la vitesse de propagation est v = V
T
; elle ne dépend
µ
effectivement que de la nature de la corde ( µ ) et de la tension ( T ).
3 – LA SOLUTION DE LA PROPAGATION
On cherche la solution y = f ( x, y , z , t ) de cette équation.
La solution générale de l'équation de propagation (1) :
 x
 x
y = f 1  t −  + f 2  t +  (3)
 v
 v
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D'après notre étude, on en déduit que la solution générale comporte :
-


Une partie incidente f 1  t −
x
 qui caractérise l'onde se déplaçant vers + ox donc
v
s'éloignant de la source ;
-
 x
f 2  t +  qui caractérise l'onde se déplaçant vers – ox , donc
 v
Une partie réfléchie
revenant vers la source.
Cas d'une vibration sinusoïdale.
Si f (t ) = a cos ωt , alors la solution incidente est :
 x
 t x
y = a cos ω t −  ou encore y = a cos 2π −  ; les différentes grandeurs sont connues :
 v
T λ
a = OA est l'amplitude du mouvement a = cste
1
ω = pulsation ; T = période ; λ = longueur d'onde ; f = = fréquence.
T
En complexe :
La forme générale complexe suivante peut-être utilisée :
 x
y = ae jϕ où la phase ϕ = ω t −  .
 v
Le mouvement d'un point M de la corde est représenté au cours du temps par la sinusoïde
suivante :
y
T
+a
O
-a
t
Et la forme de la corde à un instant t est représentée par la sinusoïde suivante :
λ = v ×T
y
λ
+a
O
x
-a


x
 x
 ; elle est réfléchie sous la forme f 2  t +  par l'extrémité de
v
 v
 x
 x
la corde et alors y = f 1  t −  + f 2  t +  est une superposition de deux fonctions sinusoïdales et
 v
 v
Si l'onde incidente est f 1  t −
il s'établit un régime d'onde stationnaire.
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Nous avons étudié dans ce paragraphe, le cas simple d'une onde plane transversale.
Transversale car le vecteur caractéristique de l'onde (déformation y) est perpendiculaire (ou
transversal) à la direction de propagation (ox).


Plane car les lieux géométriques où la phase ϕ = ω t −
x
 a une valeur constante (ou
v
surface d'onde) sont des plans d'équation x = cste.
III – EQUATIONS ET FONCTIONS DE PROPAGATION PLUS GENERALES
1 – DANS LE CAS LE PLUS GENERALE
r
En reprenant le raisonnement du paragraphe II.1, y devient un vecteur S fonction de
x, y, z et t et l'onde au point M n'est plus la simple reproduction de celle de la source O en
remplaçant t par t - τ car il y a des phénomènes d'amortissement et de dispersion (variation de
fréquence) due au milieu de la propagation.
r
En outre l'onde S peut-être en fait un ensemble d'ondes issues simultanément de la source
qui se superpose en formant un paquet d'ondes.
L'équation (1) prend ainsi une forme plus compliquée telle que :
r
r
r
∂2S
2
(
)
−
v
∆
S
+
G
x
,
y
,
z
,
t
+
G
1
2 ( x, y , z , t ) + ....... = 0
∂t 2
r
où ∆S est le Laplacien de S qui comporte trois composantes ∆S x , ∆S y et ∆S z .
La solution générale peut-être mise dans le cas de vibrations sinusoïdales et pour une onde
incidente sous la forme complexe.
r
r
S ( x, y, z , t ) = S 0 (x, y, z , t )e jϕ (4)
rr
La phase ϕ = ωt − k l est une grandeur réelle.
ω = pulsation de l'onde simple monochromatique (λ, T ) qui compose le paquet d'ondes.
r
k = vecteur d'onde ou facteur de propagation.
r
l = le vecteur précisant le sens et la direction de la propagation.
r
L'amplitude S 0 ( x, y , z , t ) est une grandeur réelle.
Dans le cas simple de l'onde plane transversale :
S 0 = a = constante
ω 2π
=
v
λ
l=x
k=
D'où
r
r
k et l
S = y = ae
sont colinéaires
  x 
j  ω t −  
  v 
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2 – CAS D'UNE ONDE SPHERIQUE DANS UN MILIEU ISOTROPE
C'est par exemple le cas d'une onde obéissant à l'équation :
r
∂2S
= v 2 ∆S (5)
2
∂t
r
r
(Les termes G1 et G 2 etc. disparaissent du fait du milieu isotrope.
La définition de ∆S indique que la propagation est identique selon les 3 directions de
r
l'espace ( x, y, z ) donc S conserve une valeur constante sur une même sphère d'où le nom d'onde
sphérique.
Le choix d'ondes sphériques r , θ et ϕ s'impose alors:
x = r sin θ cos ϕ ; y = r sin θ sin ϕ ; z = r cos ϕ ;
z
r
SL
r
ST
M
θ
r
Figure : 5
y
O
ϕ
r
sT
m
L'expression du Laplacien en
coordonnées sphériques est la suivante:
∆S =
1 ∂  2 ∂S 
1
1
∂2S
∂ 
∂S 
θ
sin
+
r
+




∂θ  r 2 sin 2 θ ∂ϕ 2
r 2 ∂r  ∂r  r 2 sin θ ∂θ 
Dans ce système de coordonnées, S ne dépend que de r et de t d'où
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-7-
∂S ∂S
=
=0.
∂θ ∂ϕ
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2.1 – Cas d'une onde longitudinale sphérique (onde sonore par exemple)
r
r
Une telle onde a son vecteur caractéristique S dirigé selon OM ( S L sur le schéma),
longitudinalement à la propagation. La composante selon oz est S z = S cos θ et pour cette
composante, (5) s'écrit :
∂ (S cos θ ) 
∂ 2 (S cos θ ) 
∂ 2 [S cos θ ]
∂ 
1
1

2 1 ∂  2 ∂
θ
=
(
)
+
+
v
r
S
cos
sin
θ
 2

 r 2 sin 2 θ

 r 2 sin θ ∂θ 
∂θ
∂t 2
∂ϕ 2



 r ∂r  ∂r

soit cos θ


 2 ∂S ∂ 2 S 
∂2S
S
2
(cos θ sin θ + sin θ cos θ ) + 0
θ
=
v
cos
+ 2 − 2


2
∂t
 r ∂r ∂r  r sin θ


D'où l'équation en simplifiant par cosθ :
∂2S
∂ 2 S 2S 
2  2 ∂S
=
v
+
− 2  (5')

2
∂t 2
r 
 r ∂r ∂r
2.2 – Cas d'une onde transversale sphérique (onde lumineuse par exemple)
r
r
Une telle onde a son vecteur caractéristique S dirigé perpendiculairement à OM ( S T sur le
schéma), tranversalement à la propagation.
r
La composante selon ox est S x = S sin θ cos ϕ car on choisit de placer S T dans le plan
mOM . (cela n'enlève rien à la généralité de la démonstration puisque en fin de calcul, on constate
que la seule variable est r ).
Pour cette composante on écrit l'équation (5) :
1
1
∂ 2 [S sin θ cos ϕ ]
∂ 
∂ 
∂2 
2 1 ∂  2 ∂ 
v
r
sin
=
+
+
θ
 2 
 r 2 sin θ ∂θ 
 r 2 sin 2 θ ∂ϕ 2  x S cos θ cos ϕ
r
r
r
θ
∂t 2
∂
∂
∂






En effectuant des calculs analogues à ceux du cas précédent (2.1) on aboutit à la même équation (5').
(Il faut considérer également S z = S sin θ ).
2.3 – Cas d'une onde quelconque possédant à la fois une composante longitudinale
et transversale
Une telle onde obéit à l'équation (5'). La résolution de (5') (en consultant les ouvrages
spécialisées) montre que la forme générale d'une onde sphérique incidente est :
S=
∂f ( x )
v  r  1 ' r 
et pour une vibration sinusoïdale de
f  t −  + f  t −  (6) avec f ' ( x ) =
2
∂x
r
 v r  v
période T :
S=
A λ
t r A
t r
sin 2π −  + cos 2π −  (6')
2
r T
T λ  r
T λ 
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A est une constance.
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NB1 : Très loin de l'origine 0 :
(5') devient
et (6')
où
r
2
∂2S
2 ∂ S
=
v
∂t 2
∂r 2
t r
S = a cos 2π − 
T λ 
A
a = est pratiquement une constante.
r
C'est le cas d'une onde pratiquement plane.
NB2 : Loin de l'origine 0 :
(5') devient
et (6')
r
2
∂2S
2 ∂S 
2∂ S


=
v
+
2
2

r ∂r 
∂t
 ∂r
A
t r
S = cos 2π − 
r
T λ 
(7)
NB3 : Près de l'origine 0 :
(6') devient
S=
Aλ
t r
sin 2π −  (8)
2
Tr
T λ 
NB4 : Déphasage au passage par un foyer
Si O représente un foyer
(c'est le cas des ondes lumineuses),
A
on peut déduire des 2 précédentes remarques
(et compte tenu du sens de propagation
r
par rapport à l'origine des r ) que les phases
aux points A, B, C et D sont respectivement :
t r
ϕ A = 2π +  ,
T λ 
t r π
ϕ B = 2π +  + ,
T λ  2
B
C
O
D
t r
t r π
ϕ C = 2π −  − et ϕ D = 2π − 
T λ  2
T λ 
Entre les points A et D éloignés du foyer, l'onde subit donc un déphasage π ou décalage
λ
.
2
IV – DEFINITIONS GENERALES RELATIVES A LA PROPAGATION D'UNE ONDE
1 – LES
TERMES "LONGITUDINALE", "TRANSVERSALE"
Les qualificatifs "longitudinale" et "transversale" sont relatifs à l'orientation du vecteur
r
r
caractérisant l'onde (champ E ou H par exemple) qui ont été expliqués en I et II.
2 – LES TERMES"PLANE", "SPHERIQUE" OU AUTRE SONT RELATIFS AUX SURFACES D'ONDES
Les surfaces équiphases : Ce sont des lieux géométriques des points où la phase est
constante.
Les surfaces équiamplitudes : Ce sont les lieux géométriques des points où l'amplitude
S 0 est constante.
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Dans les cas simples, évoqués en II et III, ces surfaces sont identiques et constituent les
surfaces d'ondes. Dans certains cas plus complexes de paquets d'ondes, par exemple pour les
ondes résultantes propagées dans les guides, ces surfaces ne coïncident pas.
3 – L'AMPLITUDE DE L'ONDE
r
r
r
Elle est représentée par S 0 dans (4) S ( x, y, z , t ) = S 0 (x, y, z , t )e (ou a dans la vibration
simple du paragraphe II). Le carré de l'amplitude est proportionnel à l'énergie transportée par
l'onde, c'est dans le cas général une fonction décroissante de la distance r parcourue par l'onde
(Cf. III.2) (6').
Pour des ondes plus complexes se propageant dans un milieu absorbant, cette fonction est
exponentielle (Cf. les ondes guidées dans les lignes avec pertes ou les guides fermés).
jϕ
4 – LA VITESSE DE PHASE v ϕ
C'est la vitesse de variation de la phase définie dans la relation (4). On peut définir v comme
 dl 
 pour
 dt 
rr
ϕ = ωt − k l
r
suit : v ϕ = 
Or
d ϕ = 0 (9)
r r
dϕ = ωdt − k dl et dϕ = 0
r
ω
 dl 
= vϕ =
(10) (dans le sens k )
 
k
 dt  dϕ =0
Donc
4.1 – Dans le cas d'une onde simple
 
x 
j  ω t −  
  x 
S = a cos ω t −  ou
S = ae   v  
  v 
ω
et vϕ = v = vitesse de propagation.
k=
v
4.2 – Dans le cas d'une onde amortie de la forme
S =e
− ( α 1 + jα 2 ) x
.e
 x
jω t − 
 v
La forme générale (4) doit s'écrire :
S =e
− α1 x
.e

ω
 
j  ωt −  + α 2  x 
v
 

ω

ω

+ α 2  x d'où dϕ = 0 entraîne ωdt =  + α 2 dx
v

v

v
v
et la phase est ϕ = ωt − 
dx
ω
= vϕ =
=
ω
dt
+ α 2 1+ α 2
v
ω
Ainsi selon le signe de α 2 , v ϕ sera v ϕ > v ou v ϕ < v .
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5 – LA VITESSE DE GROUPE OU VITESSE D'UN TRAIN D'ONDE
r
Dans la forme générale (4) S = S 0 ( x, y , z , t )e jϕ peut représenter la résultante d'un groupe,
paquet ou train d'onde.
r
La vitesse de groupe v g sera la vitesse de propagation de l'amplitude S 0 de ce groupe. Ainsi
si S 0 est identique entre le point l où elle passe à l'instant t et le point l + dl où elle passe à
r
l'instant t + dt , v g sera égal par définition : v
g
 dl 

= 
 dt 


(11)
dS
o
= 0
Remarque importante : La définition (11) ne tient pas compte d'un amortissement éventuel et il y a
lieu d'être prudent : le terme d'amortissement peut ne pas être considéré. De plus cette définition
n'a aucun sens pour une onde unique.
5.1 – Cas de deux vibrations simples se propageant simultanément
x
 t x
 t
S = y = a sin 2π −  et S ' = y ' = a sin 2π  ' − '  de caractéristiques voisines.
T λ 
T λ 
Dans le cas général, le milieu est dispersif, cela signifie que les vitesses v et v ' dépendent de la
longueur d'onde (si v = v ' alors v g = v = v ' donc pas de problème pour v g ).
Graphique 1
Par exemple λ' > λ et v ' > v . Ce premier graphique représente y en fonction de x pour
les 2 ondes ( – pour S ' et + pour S ) à un instant t .
Graphique 2
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Le deuxième graphique représente au même instant la superposition de S et S ' . La courbe
en pointillés est l'enveloppe de la résultante R et constitue le train d'onde. L'amplitude maximale
en valeur absolue est observée au point M quand S et S ' sont en parfaite coïncidence en
A = A ' (= M ) .
Si l'on reproduit les mesures graphiques (3ème et 4ème courbes) à un instant
t1 = t + dt , la
coïncidence a lieu en un point M 1 plus éloigné car S et S se sont déplacés vers + ox .
'
Les vitesses v et v ' étant différentes, les points A et A ' occupent alors les positions A1 et
'
A1 et ne sont plus en coïncidence. Par contre les points
B et B ' , à
B1 (= M ) .
t , sont maintenant en B1 et
'
La vitesse du train résultant, ou vitesse de groupe, qui est la vitesse de propagation de
l'amplitude R (en fait sa valeur absolue, directement liée à l'énergie du groupe) est par définition :
MM 1 .
Vg =
dt
D'après les graphiques représentatifs
MM
d
λ
d
λ
Or v − v dt = λ − λ ⇒ dt =
⇒
= dv
dv
dt
D'où vg = vdt − λ = v − λ
dt
dt
dv ϕ
dv
vg = v − λ
ou
vg = v − λ
dλ
dλ
(
'
)
1
= AB 1 = AA 1 − B 1 A 1 = vdt − λ
'
(car
v = vϕ
)
5.2 – Cas général de deux vibrations sinusoïdales (non amorties)
et S ' = ae j (ω t − k l )
La résultante R est S + S ' = a [cos ϕ + cos ϕ ' + j (sin ϕ + sin ϕ ' )] (avec ϕ = ω t − kl et
ϕ ' = ω ' t − k ' l ).
S = ae
j (ω t − kl
)
'

'
 ϕ + ϕ'   ϕ − ϕ' 
 cos
+
 2   2 
  ϕ + ϕ '   ϕ − ϕ '  
j sin 
 cos
 
  2   2  
D'où R = 2a cos

 ϕ − ϕ'
ϕ + ϕ'
et S 0 = 2a cos
2
 2
Or les caractéristiques étant voisines : Ψ ≈ ϕ
R = S0e jψ avec Ψ =
(ω
) (
)
−ω t − k' − k l
δω .t − δ k .l
=
2
2
2
 δω .t − δ k .l  j ϕ
et R = 2 a cos 
e
2


 δω .t − δ k .l 
D'après la définition (11) : dS 0 = 0 signifie : a sin 
 d (δω .t − δ k .l ) = 0
2


et
ϕ' −ϕ



=
'
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r r
soit, indépendamment des variables t et x : d (δω.t − δk .l ) = 0 soit δω.dt = δk .dl , ainsi (en
r
r
 dl 
δω  k 
r
 .
reprenant le signe vectoriel) v g =  
=
 dt 
 
  dSo =0 δk  k 
r
dω
Etant donné les caractéristiques voisines, v g =
(13) selon k et d'après (10) :
dk
d (kv ϕ )
 dv ϕ 
 (14)
vg =
⇒ v g = v ϕ + k 

dk
 dk 
2π
, on retrouve le résultat de 5.1.
Dans le cas où v ϕ = v et k =
λ
N.B. : Ces résultats (13) et (14) peuvent être appliqués à plus de deux ondes.
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CHAPITRE II
PROPAGATION DES ONDES ELECTROMAGNETIQUES (O.E.M) – CARACTERES
GENERAUX
I – INTRODUCTION ; NATURE DES ONDES ELECTROMAGNETIQUES
Des travaux de nombreux physiciens (Hertz, Rubens, Maxwell …) ont mis en évidence
l'identité de la nature des ondes radio, infrarouge, visibles, ultraviolettes x et γ . Ces ondes qui ne
se différencient que par la fréquence sont toutes constituées, d'après la théorie électromagnétique,
r
r
de deux vecteurs E (champ électrique) et H (champ magnétique) associés qui se propagent dans
l'espace.
Le tableau ci-dessous donne le spectre connu de ces ondes.
Fréquence (Hz)
Longueur d'onde ( λ )
Caractéristique
3.000 m
λ longues
10
6
300 m
10
7
30 m
λ moyennes
λ courtes
105
Appellation des
ondes
Ondes
3m
λ utra-courtes
10
9
30 cm
λ
10
10
3 cm
10
11
3 mm
10
12
0,3 mm
10
13
0,03 mm
Ondes infra-rouge
0,003 mm
(I – R)
108
1014
3,75 10
14
centimétriques
8.000 Å
Rouge
7,5 10
4.000 Å
Violet
15
3.000 Å
14
10
1016
0,3 Å
1021
0,003 Å
(hyperfréquences)
Ondes visibles
Ondes ultra-violettes
(U.V)
300 Å
1019
Hertziennes
Des
rayons
X
Des rayons
γ
Rayons
Cosmiques
1032
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Rappelons nous que la théorie électromagnétique des ondes n'est qu'une théorie. C'est-àdire une interprétation de la réalité. Pour interpréter certains phénomènes on sait qu'à l'onde
lumineuse par exemple, on doit associer des quanta d'énergie (les photons).
II –BASES DE LA THEORIE – EQUATIONS DE MAXWELL – LOI OU EQUATION DE
PROPAGATION
r
r
La propagation est l'étude de la variation de E et H en fonction de l'espace et du temps.
Pour atteindre cet objectif, trois étapes sont nécessaires :
r
r
1 – RAPPEL DES RESULTATS OBTENUS PAR LES ETUDES PRELIMINAIRES SUR E et H
1.1 – Rappel mathématiques (voir compléments de math)
1.2 – Rappels électrostatique
a) – Vecteurs fondamentaux :
Ce sont :
r
r
r
le champ électrique statique E S , le vecteur polarisation P , l'induction électrique D avec
r r
r
P = D − ε0 ES .
b) – Relations :
r
r
E S dérive d'un potentiel uniforme V : E S = − gradV ⇒ rotE S = 0 en un point où les
propriétés sont continues et où existe ρ =densité volumique de charges.
r
Théorème de Gauss divD = ρ
Condition de continuité à la surface de séparation de 2 milieux différents :
r
r
ET ,1 = E T , 2
D N , 2 − D N ,1 = σ
condition en un point d'une surface de discontinuité de densité de charge σ (orienté de 1 vers 2)
( T = tangente et N = normal à la surface).
r
r
D = εE , dans un diélectrique parfait, isotrope.
Equation de Poisson :
∆V +
ρ
1
= 0 et si ε = cte : V =
ε
4 πε
∫∫∫ ρ
τ
dτ
( τ volume)
r
1.3 – Rappels de magnétostatique
a) – Vecteurs fondamentaux :
Ce sont :
r
r
r
r
r B
r
Le champ magnétique H , l'aimantation J , l'induction B et J =
−H .
µ0
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b) – Relations :
-
r
Le flux de B est conservatif à travers une surface fermée en un point où les propriétés de
r
r
la matière sont continues et ou il existe la densité de courant i =
-
r
divB = 0
r
r
r
A étant un potentiel vecteur, B = rotA
I
.
S
r
Théorème d'Ampère rotH = i
r
r
r v
H T , 2 − H T ,1 = i s ∧ n
( n = vecteur unitaire ⊥ S , orienté de 1 vers 2)
B N ,1 = B N , 2
En un point d'une surface de discontinuité où circule i s
r
r
(densité surfacique de courant)
r
r
B = µH dans un corps magnétique parfait, isotrope.
r
r
µ
Equation de Poisson : ∆A + µi = 0 et si µ = Cte ⇒ A =
4π
∫∫∫
τ
r dτ
( τ volume)
i
r
2 – INTRODUCTION DU TEMPS DANS LES GRANDEURS PRECEDENTES – EQUATIONS DE MAXWELL
2.1 – Approximation
Afin de pouvoir utiliser les résultats précédents (1.2 et 1.3), nous nous mettrons dans
l'approximation des états quasi-stationnaires : si toutes les distances considérées dans
l'établissement des relations précédentes (circuits, dispositions de charges) sont négligeables
devant la longueur d'ondes, ces relations restent valables, car les phénomènes dus à la
propagation (variation dans l'espace et le temps) sont négligeables.
2.2 – Phénomènes d'induction
r
Les phénomènes d’induction font intervenir le temps, le champ électrique E total ne pourra pas
r
dériver simplement d'un potentiel scalaire uniforme V . Il sera constitué par E S = − gradV et par
r
E i = champ électromoteur d'induction.
r
dφ
Ei
rend
compte
de
et
par
Si
e=−
dt
r
r r
dφ
d
e = ∫ E i dl = −
= −
rot A .d S
et
d'après
le
∫∫
C
dt
dt S
r
r r
r
d
E
d
l
=
−
A
dl .
i
∫C
dt ∫ C
une partie
analogie
Ei =
de
dl
théorème
de
Stokes
alors
:
La variation du circuit en fonction du temps étant faible,
r
r
r r
r
∂A r
∂A
∫C E i d l = − ∫C ∂ t d l ⇒ E i = − ∂ t
r
∂A
E total = − grad V −
∂t
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2.3 – Densité de courant total
r
r
De même qu’en introduisant le temps, on doit lier à E S un E i "d'origine magnétique", il est
r
r
naturel de penser que l'on doit lier à i un i P d'origine électrostatique :
r
r
i P est dû à D (l'indice P comme polarisation).
Cette densité de courant est due au déplacement des charges de polarisation dans une
r
direction l .
Si q P sont les charges de polarisation, par définition I P =
dq P
.
dt
Or la densité de charge en volume est d'après le théorème de Gauss (1.2).
r
ρ = divD , d'où dq
(
)
r
= ρ d τ = div D . d τ (volume dτ )
r
 ∂D 
r
 dD 
d
 d τ (a)
 .d τ = div 
div . D .d τ = div 
et dI P =



dt
dt
∂
t




di
dτ
P
.d τ = divi P .d τ (b)
or par définition, I P = i P .dS = i P
soit dI P =
dl
dl
r
r ∂D
En identifiant les deux expressions de dI P il vient i P =
; finalement la densité totale de
∂t
r
r
r ∂D
.
courant est : i total = i +
∂t
P
(
)
2.4 – Les relations de Maxwell
r
r
∂A
D'après E = − gradV −
∂t
r
 ∂A 
∂
rotE = rotE S − rot   = 0 −
rotA ,
∂t
 ∂t 
r
∂B
rotE = −
(Maxwell-Faraday) 1ère équation principale
∂t
( )
r
r ∂D
La généralisation du Théorème d'Ampère donne la rotH = i +
2ème équation principale.
∂t
D'où les équations de Maxwell :
r
∂B
rotE = −
∂t
r
divD = ρ
r
r ∂D
rotH = i +
∂t
r
divB = 0
(
)
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r
r
ET ,1 = ET , 2
et à la séparation
de deux milieux,
on doit tenir compte
des conditions :
- 17 -
DN , 2 − DN ,1 = σ
B N ,1 = B N , 2
r
r
r v
H T , 2 − H T ,1 = i s ∧ n
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3 – EQUATIONS DE PROPAGATION DES CHAMPS (DANS LES MILIEUX ISOTROPES)
Dans un diélectrique parfait électriquement et magnétiquement et s'il n'y a pas de charges
r
spatiales ρ ni de courant i , µ et ε = cstes et ρ = 0 = i , on a :
r
r
r
r
D = εE et divD = ρ = 0 ⇒ divE = 0
r
r
r
r
∂B
∂H
⇒ rotE = −µ
B = µH et rotE = −
∂t
∂t
r
r
divB = 0 ⇒ divH = 0
r
v
∂D
∂E
rotH = i +
⇒ rotH = ε
∂t
∂t
La dernière relation devient : rot
∂H
∂2E
=ε 2
∂t
∂t
rotrotE = −µε
La deuxième relation devient : rot (rotE ) = −µ rot
µε est homologue à une vitesse (V)-2
∂H
∂t
or rot (rotE ) = −∆E + graddivE = −∆E ; d'où ∆E −
De même ∆H −
∂2E
∂t 2
1 ∂2E
=0
v 2 ∂t 2
1 ∂2H
=0
v 2 ∂t 2
Ces équations (paragraphe III) correspondent dans le cas général à la propagation d'ondes
sphériques.
III –CARACTERISTIQUES GENERALES DES ONDES ELECTROMAGNETIQUES
1 – VITESSE DE PROPAGATION (DANS LE VIDE ET DANS UN DIELECTRIQUE)
1
v=
µε
, d'après l'équation de propagation.
Dans le vide ε 0 =
1
et µ 0 = 4π.10 −7 , ce qui donne v = 3.10 8 m / s = vitesse de la
9
36π.10
lumière C .
C
.
v
Par définition l'indice de réfraction est
n=
Dans le vide n = 1 ⇒ v = C .
Mais dans un diélectrique n > 1 donc
v<C .
C
Les équations de Maxwell conduisent à
2
=
1
µ 0ε0
et
v2 =
1
⇒
µε
µ ε
µ
ε
C 
et ε r =
. = µrεr ⇒ µr =
  =
µ0 ε0
µ0
ε0
v
2
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- 18 -
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Si
µr =1⇒ εr = n2
Mais ceci n'est valable que pour des composés faiblement polaires (ou presque pas de dipôle
électrique permanents) ou pour composés polaires quand la longueur d'onde est suffisamment
grande.
Dans ce cas plus général, il y a un problème de dispersion dont il faut tenir compte.
r
r
2 – TRANSVERSALITE DES ONDES PLANES ET ORIENTATIONS RESPECTIVES DE E et H
2.1 – Transversalité
D'après nos études du Paragraphe III du Chapitre I, nous pourrons considérer dans la
plupart des cas, les O.E.M. comme des ondes planes c'est-à-dire des ondes dont la propagation
se fait dans une direction fixée (et dont la surface d'onde est dans un plan).
La fonction d'onde sera une solution de l'équation de propagation qui ne dépend alors que
r
d'une coordonnée x, y ou z : par exemple ∆E −
r


1 ∂2E
∂2E 1 ∂2E
=
0
devient
−
=0 .
v 2 ∂t 2
∂z 2 v 2 ∂t 2
z
v
La solution incidente est : E = f  t −  en particulier on peut choisir un régime sinusoïdal.
r r
z r

E = E0 cos ω  t −  ( E 0 étant un vecteur constant)
 v
r
∂E z ω
z

or divE = 0 (voir II.3) devient
= E0 z sin ω  t −  = 0 pour un diélectrique parfait et
∂z
v
 v
isotrope.
r
r
E 0 z = 0 quel que soit t et z ( E 0 z composante de E 0 selon oz )
r
E est ⊥ à la direction de propagation oz il est transversal.
r
r
Choisissons E 0 = E ox pour la suite du raisonnement ; que devient le champ magnétique H ?
Les relations sont les mêmes.
r
r


z
v
Donc H = H 0 cos ω t −  avec H 0 z = 0 (car H = 0 ).
r
H est aussi ⊥ à la direction de propagation, donc transversal, de plus, il est en phase avec E .
2.2 – Orientation, sens, amplitudes
Nous avons aussi les relations :
 0
 ∂E
rotE  x
 ∂z
 0
 ∂H x
 ∂t

∂H  ∂H y
= −µ

∂t  ∂t
 0

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et
 ∂H y
−
 ∂z
∂E
 ∂H x
=ε
rotH 
∂t
 ∂z
 0

- 19 -
 ∂E x
 ∂t

 0
 0


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.----.
~-~
 ∂H x
=0

∂t

∂H y ∂E x

D'où − µ
=
∂t
∂z

0


et
 ∂H y
∂E
=ε x
−
∂t
 ∂z
 ∂H x
=0

∂z

0


r
r
r
Donc H x = Cste = 0 car H n'est pas constant : E et H sont ⊥


z
v


z
v
Avec H = H y = H oy cos ω t −  et E = E x = E ox cos ϖ t − 
--'----
On obtient d'après − µ
∂H y
∂t
=
∂E x
:
∂z
Figure : 1
x
z
ω
 z
 z
+ µH oy ω sin ω t −  = E ox sin ω t −  d'où :
v
 v
 v
E0x
µH oy =
= E 0 x εµ
v
µ H 02 = ε E 02 relation entre les amplitudes des champs.
soit
Nous constatons que pour une O.E.M. plane, la situation dans l'espace à un instant t des
r r r
r
vecteurs E , H , v est, dans cet ordre, celle d'un trièdre direct orthonormé ( E est suivant
r
r
ox, H suivant oy et la vitesse de propagation v selon oz ) :
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Le choix E 0 = E 0 x au début du raisonnement indique que nous avons traité le cas d'onde
r
plane polarisée rectilignement (car E est polarisé dans la direction ox ). En réalité ce choix facilite
les calculs mais les résultats précédents sont valables pour une onde plane non polarisée. Une
r
telle onde E possède deux composantes E x et E y ≠ 0 .
 z
 z

E x = E 0 x cos ω t −  et E y = E 0 y cos ω t − + ϕ 
 v
 v

r
On peut montrer que l'extrémité du vecteur E décrit une ellipse perpendiculaire à oz et
inclinée par rapport aux axes ox et oy . Son équation est :
y
E x2
E ox2
−
2E x E y
E ox E oy
cos ϕ +
E y2
E oy2
r
= sin 2 ϕ (valable aussi pour H )
z
x
Figure : 2
r
Si on considère E à un instant t donné, nous avons le droit de choisir un système d'axes tel
r
que ox soit confondu avec E , pour cette raison, les résultats précédents sont valables à chaque
instant.
3 – CONDITIONS AUX LIMITES IMPOSEES PAR UN CONDUCTEUR PARFAIT
Les conditions à la surface de séparation de deux milieux ont été rappelées dans le
paragraphe II.2.4. Or si le milieu noté 1 est un conducteur parfait, nous pouvons montrer que
r
E1 = 0 .
En effet, dans une portion de conducteur de surface dS de longueur dl (le volume est
dτ = dS .dl ), on peut écrire l'expression de la puissance due à un courant d'intensité I& de la façon
2
1
(dS )2 dl i 2 = i dτ ( γ = conductivité).
γ
dS
γ
Or d'après la loi d'ohm élémentaire i = γE1 d'où dP = γE12 dτ .
r
dP
La densité volumique d'énergie
étant une grandeur finie, comme γ → ∞ , E1 → 0 et
dτ
r
r
r
d'après les relations de Maxwell D1 , ρ1 , H 1 et B1 tendent aussi vers 0.
suivante : dP = RI 2 =
Ainsi les conditions aux limites deviennent :
r
r
ET 1 = ET 2 = 0
D N 2 − D N1 = σ = D N 2
B N 2 = B N1 = 0
que l'on peut écrire
r
r r r
H T 2 − H T1 = iS ∧ n = H T 2
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- 21 -
r
ET = 0
BN = 0
DN = D = σ
r
r r r
H T = H = iS ∧ n
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r r r r
r
E , H , D , B représentent des vecteurs au voisinage immédiat du conducteur. σ et i S
représentent les densités de charges et de courant à la surface du conducteur.
r
N.B. : Quand le régime est sinusoïdal, la condition H T = 0 suffit à faire l'étude complète de
l'onde dans un milieu non conducteur, c'est le cas du paragraphe suivant.
4 – ONDES STATIONNAIRES PROVOQUEES PAR LA REFLEXION SUR UN CONDUCTEUR PARFAIT
Nous étudierons le cas d'une onde plane polarisée suivant oz (E = E x ) . Elle est de la forme :
2πz 

E x = E 0 cos ωt +
 et se propage vers − oz .
λ 

La partie gauche de l'espace est occupée par un conducteur parfait, la surface de séparation
étant le plan xoy .
x
r
E
r
H
Conducteur
parfait
o
z
r
E'
r
H'
y
Espace vide
Figure : 3
r
Quand E atteint l'origine, conformément à la figure, l'onde ne peut se propager dans le
conducteur et revient dans le sens + oz , en accord avec la solution générale de la propagation


sous la forme E x' = E o' cos ωt −
Ex
2πz 
'
 (on suppose que la réflexion est parfaite) donc E 0 = E 0 .
λ 
Ainsi dans l'espace vide voisin du conducteur, l'onde totale est la superposition de
et E x' ; et d'après la condition paragraphe III.3, le champ tangentielle à la surface xoy se
(
réduit à E T = E x + E x'
)
z =0
= 0 soit E 0' = − E 0 .
r
La réflexion a donc lieu avec un changement de signe pour E et l'onde stationnaire
2πz
sin ωt .
λ
r
r
r r
Le cas de H se déduit simplement de celui de E en sachant que E , H et la direction de
r
r
propagation doivent former un trièdre direct et que E et H sont au départ en concordance de
résultante est (après calcul) E S = E x + E x' = −2 E 0 sin
phase :


vers − oz : H = H y = − H o cos ωt +
2πz 
.
λ 


après réflexion vers + oz : H ' = H y' = − H o cos ωt −
r
2πz 
.
λ 
Il n'y a pas de changement de signe pour H , et l'onde stationnaire résultante est :
H S = H y + H y' = −2 H o cos
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2πz
cos ωt .
λ
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Les expressions de l'O.E.M. stationnaire montrent que E S et H S sont en quadrature de


phase  ∆ϕ =
π
.
2
nλ
2πz 
; de
 est nulle en z = 0 et pour z =
λ 
2
λ
façon générale (nœuds de E S ). Elle est maximale pour z = (2n + 1) (ventre de E S ).
(n est un
4
entier >0). Les nœuds de H S coïncident avec les ventres de E S et vice-versa.


L'amplitude du champ électrique  2 E 0 sin
5 – ENERGIE ET PUISSANCE TRANSPORTEES PAR L'O.E.M. VECTEUR DE POINTING
Des deux équations principales de Maxwell dans un milieu où ε et µ sont indépendantes du
r
r
∂E
temps,
rotH = i + ε
∂t
r
r r ∂  E 2
E.rotH − H rotE = E.i +  ε
∂t  2
r
∂H
et
on
en
déduit
rotE = −µ
∂t
  H 2 
 .
 +  µ
2

 
r
r r
Or (voir le paragraphe I.1.1) E.rotH − H rotE = div E ∧ H soit en définitif le vecteur
r
r
r
R = E∧H ,
Poynting
r
(
rr
∫∫∫ div R d τ = − ∫∫∫ E .i d τ − P
EH
τ
τ
:
)
( τ = volume considéré)
r
r
1
1
PEH est la puissance fournie par les champs E et H au diélectrique car εE 2 + µH 2 est
2
2
l'énergie par unité de volume emmagasinée par le diélectrique.
r
dl
De plus, comme dτ = dl.dS
∫∫∫τ
r r
E .i d τ =
∫∫∫τ
EdlidS
=
∫ E .dl . ∫∫ idS
l
.
dτ
dS
r
( dl étant selon la direction de propagation)
Figure : 4
rr
&
D'où ∫∫∫ E.i dτ = VI = Pq est la puissance due au déplacement des charges réelles (ou au
S
τ
courant) et finalement d'après le théorème de Green
∫∫
S
r
R .dS = − (Pq + P EH ) .
Le flux du vecteur de Poynting à travers une surface fermée est égale, au signe près, à la
puissance totale transportée dans le volume τ intérieur à S . Cette puissance totale est constituée
de :
-
la puissance diélectrique
d
dt
εE 2
dτ
∫∫∫
2
τ
= PEH
-
la puissance magnétique
d
dt
∫∫∫
τ
µH
dτ
2
2
la puissance électrique VI = Pq
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6 – REMARQUES SUR LE CAS DES MILIEUX ANISOTROPES ET DES MILIEUX DISPERSIFS
Le cas le plus général est celui où la permittivité ε et la perméabilité µ sont des tenseurs de
rang 2, cela correspond à un milieu anisotrope électriquement et magnétiquement. Les relations
entre inductions et champ s'inscrivent sous la forme de produits de matrices :
 D x   ε 11
  
 D y  =  ε 21
 D  ε
 z   31
ε 12
ε 22
ε 32
ε 13  E x 
 B x   µ 11
 
  
ε 23  E y  et  B y  =  µ 21
 B  µ
ε 33  E z 
 z   31
µ 12
µ 22
µ 32
µ 13  H x 


µ 23  H y 
µ 33  H z 
Cependant la plupart des corps anisotropes étudiés dans la propagation des O.E.M. sont des
cristaux transparents pour lesquels le tenseur des perméabilités se réduit à une seule valeur égale
à µ0 .
Une complication supplémentaire survient quand les corps sont dispersifs, c'est-à-dire quand
les constantes diélectriques ε ij sont fonctions de la fréquence de l'O.E.M.
CONCLUSION
Outre les quelques caractéristiques générales étudiées dans ce chapitre, il existe de
nombreux autres caractères aux O.E.M. : l'émission, la réception, la réflexion, les interférences,
etc.
Cependant ces caractères généraux présentent des différences importantes selon la nature
des O.E.M. considérées (ondes lumineuses ou ondes radioélectriques par exemple). Il est donc
préférable de traiter l'étude de ces caractéristiques dans les chapitres différents selon le domaine
de fréquence particulier ou la nature spécifique de la propagation des O.E.M.
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CHAPITRE III
PROPAGATION DES ONDES ELECTROMAGNETIQUES (O.E.M)
DANS LES LIGNES DE CONDUCTEURS
I – INTRODUCTION
Une ligne de conducteurs, ou ligne électrique, peut être définie de façon très générale
comme un ensemble de conducteurs cylindriques à génératrices parallèles. Cette définition
correspond à celle d'un guide d'ondes (voir chapitre IV) et d'ailleurs le rôle d'une ligne électrique
r r
est de guider, ou transmettre, une O.E.M. ( E , H ) émise par une source S à un appareillage A .
D'où le nom également utilisé de lignes de transmission dans ce chapitre.
Conducteurs
Conducteurs
x
A
isolant
S
Figure : 1
Les lignes forment une catégorie de circuits électriques analogues à ceux étudiés dans le
cadre de l'électricité ou de l'électromagnétisme classique. Dans ces études antérieures, on
supposait négligeable le temps de propagation des signaux électromagnétiques le long des
circuits. Ici, on prend en considération les phénomènes de propagation (en particulier le temps de
propagation) ce qui permet d'étendre les lois habituelles régissant les circuits aux cas de circuits de
grandes dimensions (circuit téléphonique télégraphique par exemple) ou aux cas de fréquences
élevées (exemple : domaine de la radioélectricité).
On peut décrire simplement les phénomènes au niveau d'une ligne de transmission de la
façon suivante. La ligne est par exemple le câble d'alimentation reliant un générateur (ou une "prise
de courant") à un appareil (exemple : téléviseur).
Le signal sortant du générateur est constitué d'une vibration, décrivant les variations de la
tension électrique V ou de l'intensité du courant I . En réalité d'après la théorie des ondes
électromagnétiques on sait que les mouvements de charges caractérisant V et I sont toujours
r
r
associés à des champs électriques et magnétiques E et H et le signal peut-être caractérisé
également par une vibration électromagnétique susceptible de se propager formant ainsi une
O.E.M. L'étude de la propagation du signal le long de la ligne pourra donc se faire à partir des
r r
équations de Maxwell. Mais nous savons que dans les conducteurs E = H =0, cela signifie que
l'O.E.M. associée se propage dans l'isolant entourant les conducteurs. De plus, nous utiliserons
r
pour caractériser le signal les potentiels V et A plus facilement accessibles à la mesure dans les
lignes.
II – EQUATIONS DE PROPAGATION DANS LES LIGNES
1/ A partir des équations de Maxwell
L'isolant diélectrique est supposé isotrope et parfait : ε et µ = Cstes.
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r
r
r
∂A
D'après divD = ρ , et E = − gradV −
, on peut écrire :
∂t
r
r
r
 ∂A 
ρ
∂
∂ 2V
ρ
= divE = −div grdV − div  , d'où
= −∆V −
divA et en ajoutant – εµ 2 des
ε
∂t
ε
∂t
 ∂t 
∂ 2V ρ
∂ r
∂V 
deux côtés de l'égalité : ∆V − εµ 2 + = −  divA + εµ
 (1).
ε
∂t 
∂t 
∂t
r
r
r
r
r ∂D
∂A
D'après rotH = i +
, B = rotA et E = − gradV −
∂t
∂t
(
)
(
)
On peut écrire :
r
rr
 r ε∂
ε∂ 2 A 
rotrot A = µ i −
gradV −

∂
t
∂t 2 

r
r
rr
Comme rotrot A = grad divA − ∆A
r
r
r
∂2 A
∂V 
 r
∆A − εµ 2 + µi = grad  divA + εµ
 (2)
∂t 
∂t

r
∂V
= 0 (relation de H.A. LORENTZ).
Montrons que divA + εµ
∂t
(
)
D'après les équations de Poisson (Chapitre II, Paragraphe II.1.2. et II.1.3)
r
∂V
µ
 r ∂ρ  dτ
divA + εµ
=
 divi + 
∂t 4π ∫∫∫
∂t  r
τ 
r
Si Q représente des charges réelles à l'origine du courant de densité i , alors
ρ,
r
di
∂
divi dτ = dτ = di.dS = dI& = (dQ )
dl
∂t
Si q P représente les charges de polarisation à l'origine de la densité volumique de charge
∂ρ
∂
dτ = (dq P )
∂t
∂t
∂
 r ∂ρ 
ainsi :  divi +
dτ = (dQ + dq P )
∂t 
∂t

or, en l'absence de facteurs extérieurs influençant, on peut considérer que la somme totale
des charges Q + q P se conserve, donc d (Q + q P ) = 0 ; en conséquence :
r
∂V
divA + εµ
= 0 (3) ; c'est la relation de Jauge de Lorentz.
∂t
Les relations (1) et (2) deviennent :
∂ 2V ρ
+ = 0 (4)
ε
∂t 2
r
2
r
r
∂ A
∆ A − εµ 2 + µi = 0 (5)
∂t
∆ V − εµ
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r
ce sont les équations de propagation de V et A
- 26 -
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(le long de la ligne on ne devra considérer que la variable x ), l'intérêt de ces équations
r
théoriques est limité en pratique car l'évaluation de ε, µ, ρ et A n'est pas toujours aisée. On préfère
utiliser les notions de résistance, self, capacité, intensité de courant plus directement accessibles
aux mesures.
2 – A PARTIR DE LA LOI D'OHM GENERALISEE
La ligne est schématisée par un conducteur traversé par un courant I& et caractérisée par 4
paramètres spécifiques (noté avec l'indice s ) :
- La résistance par unité de longueur R S
B
A
R
L
x
Rf = (Gs dx)-1
C
Fig : 2
R = R S .dx est la résistance d'une longueur dx ;
-
L'auto-inductance par unité de longueur L S
L = L S .dx est l'auto-inductance de dx ;
-
Sa capacité par unité de longueur C S
C = C S .dx pour dx ;
-
La conductance (inverse de la résistance de fuite) due à un isolement imparfait : G S
G = G S .dx pour une longueur dx ;
Pour un élément AB = dx de ligne, la loi d'ohm s'écrit :
Pour la différence de potentiel entre A et B :
dI
(le signe – précise la chute de tension) mais on sait que :
− dV = RS .dx.I& + LS .dx
dt
∂V
dV =
dx (seule variable x).
∂x
∂V
dI&
(6).
−
= RsI& + LS
∂x
dt
D'autre part, le courant principal I est diminué de la quantité.
Or
− dI& = dI&condensateur + dI Résis tan ce de fuite
dI c = courant dans C
dQc
dV
= C S dx
dt
dt
V
= G Vdx
(GS dx )−1 S
dI
∂I&
∂V
(7)
−
= − = GS .V + C S
dx
∂x
∂t
dI fuite =
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En dérivant les expressions (6) et (7) par rapport à x et t on obtient :
∂ 2V
∂I
∂2I
∂2I
∂V
∂ 2V
et
, d'où :
=
+
R
L
−
=
G
+
C
S
S
S
S
∂x
∂t∂x
∂x∂t
∂t
∂x 2
∂t 2
∂ 2V
∂V
∂ 2V
(
)
=
R
G
V
+
R
C
+
L
G
+
L
C
(8) c'est l'équation des télégraphistes et
S S
S S
S S
S S
∂x 2
∂t
∂t 2
−
des téléphonistes.
C'est la même équation de propagation que celle déduite des équations de Maxwell. Dans le
cas d'une onde plane (direction de propagation linéaire suivant x ) et à condition de remplacer εµ
par LS C S et
ρ
∂V
par RS GS V + (RS C S + LS GS )
∂t
ε
On peut ainsi d'après (7) et (8) déduire :
∂2I
∂I
∂2I
(
)
=
R
G
I
+
R
C
+
L
G
+
L
C
S S
S S
S S
S S
∂t
∂x 2
∂t 2
(10)
3 – CAS DES LIGNES PARFAITES : SOLUTION DE LA PROPAGATION DE V et I&
Du point de vue de la propagation des O.E.M. on parlera de lignes parfaites ou sans pertes si
le diélectrique est parfait (parfaitement isolant, pas de charges de polarisation ni permanentes
entre autres …) ε et µ = Cte et i = ρ = 0 .
∂ 2V
∂2 A
et
=
0
∆
A
−
εµ
=0
∂t 2
∂t 2
Dans ce cas, i est la densité de courant dans l'isolant diélectrique : Il s'agit donc du courant
∆V − εµ
de fuite.
Du point de vue classique ( V et I selon la loi d'ohm) une ligne est parfaite si R S = 0
(conducteurs parfaits) et si G S = 0 (isolant parfait) aucune perte. Cela correspond à :
∂2I
∂2I
−
L
C
=0
S
S
∂x 2
∂t 2
(11) et
∂ 2V
∂ 2V
−
L
C
= 0 (12)
S
S
∂x 2
∂t 2
Nous savons que la solution générale d'une telle onde plane est (chapitre I) :
x
x


I& = f 1  t −  + f 2  t +  (13)
v
v


La vitesse de propagation étant : v =
1
LS C S
=
1
µε
d'après les équations précédentes, ce
qui confirme le caractère d'O.E.M. or d'après la relation (6) :
  x
  x
∂V
 x 
 x 
= − L S  f 1'  t −  + f 2'  t +  , d'où V = L S v  f 1  t −  − f 2  t + 
∂x
 v 
 v 
  v
  v
 
 
et V = Z C  f 1  t −
où Z C =
x
 x 
 − f 2  t +  (14)
v
 v 
LS
est l'impédance caractéristique de la ligne ; Z C est une grandeur toujours
CS
réelle (homogène à une résistance).
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- 28 -
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III – ONDES STATIONNAIRES DANS LES LIGNES PARFAITES
1 – INTRODUCTION-COEFFICIENT DE REFLEXION
La généralisation d'ondes stationnaires (chapitre 2 paragraphe 4) est liée à l'existence d'un
phénomène de réflexion.
• Mathématiquement :


L'expression est évidente car la superposition du signal de l'onde incidente f 1  t −


signal réfléchie f 2  t +
•
x
 et du
v
x
 est la définition de la solution générale.
v
Physiquement :
Il s'agit d'une onde guidée par la ligne électrique (dans la direction ox ).
L'onde telle que nous l'étudions ne peut se propager que le long de la ligne de longueur x1 .
Ainsi quand elle arrive à l'extrémité, matérialisée par l'impédance terminale Z 1
(qui peut être celle de l'appareil A alimenté par la ligne), trois possibilités s'offrent à elle :
x1'
Z1
Figure : 3
x
-


Si l'adaptation entre la ligne et Z 1 est parfaite, tout le signal incidente f 1  t −
x
 est
v
absorbé par Z 1 et ainsi toute l'énergie de la source est transmise intégralement à Z 1 ;
-
-
Si par contre la ligne n'est pas adaptée, le signal incident ne peut se transmettre dans Z 1
et il est intégralement réfléchi (c'est la seule possibilité de propagation de l'O.E.M.
associée) ;
Dans le cas général, la ligne est imparfaitement adaptée et une partie du signal


incident est absorbée tandis que le reste du signal est réfléchi selon f 2  t +
x
.
v
Le coefficient de réflexion Γ sera par définition le rapport du signal réfléchi sur le signal
incident :
 x
f 2 t + 
 v
Γ=
(15)
 x
f1  t − 
 v
En un point d'abscisse x de la ligne, l'impédance vaut :


1 − f2 t +
LS 
V

Z= =

&I
CS

1 + f2 t +


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x

 / f1  t −
v

x

 / f1  t −
v

x
1−

v
= ZC ×
x
1+

v 
- 29 -
f2
f1
. (16)
f2
f1
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On définit : Z ' =
1− Γ
1− Z '
Z
et inversement Γ =
=
Z C 1+ Γ
1+ Z '
Z ' est l'impédance réduite de la ligne (en un point x ).
Cas des ondes sinusoïdales :
Nous utiliserons les notations complexes : f 1 = ae
 x
jω t − 
 v
et f 2 = be
 x
jω t + 
 v
, a et b étant des
réels.
− jω
x
jω
x
e jωt ae v − be v
Z ' = j ωt ×
x
x
− jω
jω
e
v
v
ae
+ be
ω
b 2jvx
ω

2j x
1
−
e

a − be v
a
:
;
≈
≈

ω
ω
2j x
b 2jvx

v
a + be
1+ e

a
'
On voit que Z et Γ ne dépendent pas de t
 jω vx
e
On obtient en multipliant par 
x
 e jω v

2 – ETUDE DU LIEN ENTRE L'IMPEDANCE TERMINALE ET LE REGIME D'ONDES
STATIONNAIRES (EN REGIME SINUSOÏDAL)
2.1 – Impédance réduite terminale Z 1' et impédance réduite d'un point quelconque
Z ' (rapport des coefficients de réflexion)
Pour le bout de la ligne x1 , Γ1 et Z 1'
Fig. 4
x1
x
Z
'
1
Z 1' =
a − be
2 jω
a + be
x1
v
2 jω
x1
v
b 1 − Z 1' − 2 jω v1
=
e
a 1 + Z 1'
x
⇒
ou
− 2 jω
b
= Γ1 e
a
x1
v
Pour un point d'abscisse x , Γ et Z '
x
b 2 jω
ω
− 2 j ( x1 − x )
1− e v
v
1
−
Γ
e
a
1
Z' =
=
x
ω
− 2 j ( x1 − x )
b 2 jω v
1+ e
1 + Γ1 e v
a
ω
et Γ =
− 2 j ( x1 − x )
1− Z '
v
=
Γ
e
=Γ
1
'
1+ Z
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avec Γ1 = Γ
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2.2 – Cas particuliers d'impédances terminales
a) Z 1 = 1 impédance terminale = impédance caractéristique
'
Γ1 = 0 et Γ = 0 pas d'onde réfléchie et V et I& en phase en un point quelconque.
'
b) Z 1 = 0 Court-circuit
Γ1 = 1 : réflexion totale ondes stationnaires.
Z' =
1− e
1+ e
2j
ω
v
−2 j
( x1 − x )
ω
v
( x1 − x )
ω

j sin  ( x1 − x)
v
v
ν

ν

=
ω
ω
ω

ω

cos ( x1 − x ) + j ' sin ( x1 − x ) + cos  ( x1 − x) − j sin  ( x1 − x )
v
v
ν

ν

cos
ω
(x1 − x ) +
j sin
ω
(x1 − x ) − cos ω ( x1 − x) +
ω
(x1 − x )
ω
'
v
Z =
= jtg ( x1 − x ) = Z ' (17)
ω
v
2 cos ( x1 − x )
v
+ 2 j sin
Z ' est imaginaire ou nulle.
Un nombre imaginaire correspond à ϕ =
π
π
en argument, V et I sont donc déphasés de
2
2
(en quadrature).
Pour une ligne quart d'onde dans le cas du court-circuit :
x1 − x =
λ
 2π λ T 
⇒ Z ' = 2 jtg 
=∞
4
 T 4 λ
(18)
L'impédance est donc infinie à une distance de
longueur totale de
c)
λ
, son impédance d'entrée est ∞ .
4
λ
du court-circuit. Ainsi, si la ligne a une
4
Z 1' = ∞ : ligne ouverte
Γ1 = −1 → réflexion totale ondes stationnaires avec changement de signe (ou déphase de
1
π ) et Z ' =
(19)
ω
jtg ( x1 − x )
v
Z ' imaginaire ou nulle : V et I déphasés de ϕ =
π
comme p = VI cos ϕ : pas d'énergie
2
active transmise.
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d)
Z 1' = jR r' : ( Rr' réelle) : Z 1' = imaginaire pure
D'après Γ1 =
1 − jR r'
1 + jR r'
:
Γ1 = 1
L'amplitude de l'onde réfléchie est donc égale à l'amplitude de l'onde incidente, et il y a une
réflexion totale au bout de la ligne.
Etude de déphase en bout de ligne :
 ωl 
 R’ r résistance réduite (avec comme limite) :
 v 
π ωl π
vπ
vπ
2π '
d'où avec Tv = λ ; ω =
− ≤
≤ →−
≤l ≤
2 v
2
2ω
2ω
T
λ
λ
− ≤l≤
4
4
soit : R r' = tg 
La nature possible de l'impédance terminale est :
-
−j
λ
= jR r' → R r' ≤ 0 donc pour une capacité − ≤ l ≤ 0
Cω
4
λ
Une self : : Z 1' = jLω = jR r' → R r' ≥ 0 0 ≤ l ≤
pour une Self.
4
Une capacité : Z 1' =
e) Cas spécial de régime stationnaire : la résonance (Figure 5)
l
Z 0' = jR0'
Z 1' = jR1'
Il s'agit d'une ligne fermée aux 2 extrémités par 2
impédances imaginaires pures Z 0' = jR 0' et Z 1' = jR1' (
Z 0' et Z 1' sont des impédance réduites, ce sont des
réelles).
Un signal est émis dans cette ligne, étant donné qu'il n'y a aucune perte (ni du fait de la ligne,
ni du fait des impédances Z 0' et Z 1' ), il y a possibilité de se réfléchir indéfiniment successivement
aux extrémités. En réalité, s'il n'y a pas de concordance de phase entre les ondes qui se
superposent (brouillage de phase), l'onde résultante s'atténue et devient nulle au bout d'un certain
temps. Par contre, s'il y a concordance de phase, une onde stationnaire non atténuée s'établit,
c'est le phénomène de résonance. La concordance correspond à un déphasage de 2kπ entre les
ondes incidentes et réfléchies après deux réflexions (une en Z 1' et une en Z 0' ) ; de plus l'onde
réfléchie a parcouru à ce moment là deux fois la longueur de la ligne ce qui introduit un déphasage
supplémentaire de
θ1 + θ 0 −
2lω
, d'où la condition :
v
2lω
= 2kπ (k est un entier et θ1 et θ 0 sont les arguments des coefficients de réflexion).
v
On peut mettre cette condition sous la forme :
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Γ1 Γ0 e jθ1 e jθ 0 e
 1 − Z 1'

1 + Z '
0

 1 − Z 0'

 1 + Z '
0

−j
2 lω
v
= e j 2 kπ
Γ1 = Γ0 = 1 d'après d), soit
or
Γ1 Γ0 e
−j
2 lω
v
= 1 ou
2 lω
−j

=e v


De la dernière relation on déduit :
e
−2 j
e
 ωl  R + R
tg   =
'
 v  R R1 − 1
'
0
'
0
'
1
2j
lω
v
lω
v
−1
+1
Z 0' + Z 1'
et finalement
=
1 + Z 0' Z 1'
R0' et R1' sont fonctions de ω et la résolution peut se faire
graphiquement.
-
Si la ligne est court-circuitée aux deux extrémités :
R1' = R0' = 0 tg
-
ωl
ωl
kλ
= 0 et
= kπ d'où l = 2
v
4
v
Si la ligne est ouverte aux deux extrémités :
R1' =
R0' = ∞ tg ωl = 0
v
et l = 2
kλ
4
Ce cas diffère du précédent par l'emplacement des nœuds et des ventes de
-
V
ou
I& .
Si la ligne est ouverte à une extrémité et fermée à l'autre :
R1' =
'
∞ et R0 = 0 tg ωl → ∞
v
et l = (2k + 1)
λ
4
Ce sont de telles lignes qui seront utilisées comme antennes (Chapitre V).
3 – TAUX D'ONDES STATIONNAIRES (T.O.S.)
Par définition le T.O.S. est le rapport r de l'amplitude maximale sur l'amplitude minimale de
l'onde stationnaire. Deux cas : cas des intensités I& et cas des tensions
V.
Le cas des tensions :
1 + Γ1
V max 1 + Γ

f 
V = Z e ( f 1 − f 2 ) = Z e f 1 1 − 2  et rV =
=
= r=
1 − Γ1
f1 
V min 1 − Γ

(20)
Le cas des intensités de courant :

f 
I = f 1 1 + 2 
f1 

La relation r =
1 + Γ1
1 − Γ1
est toujours valable mais Vmax , Vmin , I max , I min ne sont pas réalisés
aux mêmes points car d'après les définitions :

f 
V = Z e f 1 1 − 2 
f1 

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
f 
I = f 1 1 + 2 
f1 

les maximums de
V
correspondent aux minimums de
I& et inversement ; de plus, d'après la
période angulaire (2π) : deux ventes sont distants de ∆x tel que 2
un ventre et un nœud sont distants de
ω∆x
λ
= 2π → ∆x =
v
2
λ
(le détail des calculs est élémentaire).
4
4 – APPLICATIONS PRATIQUES DES RELATIONS PRECEDENTES : DETERMINATIONS DE
Z 1' et Γ 1 ou Z et Γ
4.1 – Problèmes concernant les mesures d'impédance Z 1 et Γ1
La mesure directe de Z est souvent difficile et on a recours à l'étude des ondes
stationnaires la plupart du temps.
La mesure du T.O.S. est relativement facile (mesure de V max et V min sur la ligne). Cette
1 + Γ1
r −1
or Γ1 = Γ1 e jθ1 . On détermine θ1
1 − Γ1
r +1
de la façon suivante : On établit au préalable la fonction définissant V en un point quelconque de la
mesure donne la valeur de r =
donc celle de Γ1 =
ligne :
2ω

ω

( x1 − x ) 
j  θ1 −
− 2 j (x − x )

f2 
v

 

V = f 1 1 −  = f 1 1 − Γ1 e
car Γ = Γ1 e v
.


f
1 



Si la valeur maximale de V plus proche de Z 1 se trouve à une distance ∆x = x1 − x de
l'impédance (ou charge).
θ1 −
∆x
2ω∆x
= π d'où : θ1 = π + 4π
λ
v
On en déduit alors Z 1' =
1 − Γ1
(les solutions graphiques ont été longtemps utilisées et le sont
1 + Γ1
parfois encore).
Exemple pratique :
Soit une ligne d'impédance caractéristique
Z C = 22Ω alimentant par un signal H.F. de
longueur d'onde λ , un appareil d'impédance
comme Z 1 que l'on veut déterminer.
ZC
Z1
Figure :6
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On mesure 1er Max de V = 80 volts à 10 cm de Z 1
Puis un 2ème Max de V = 80 volts à 40 cm de Z 1
Le 1er Min est obtenu à 25 cm de Z 1 et vaut 20 volts.
Figure : 7
Z1
40 cm
25 cm
10 cm
Des mesures ci-dessus on déduit les grandeurs suivantes :
Le T.O.S. :
r=
80
=4
20
Γ1 =
r −1 3
= = 0,6
r +1 5
Figure : 8
Γ1 = Γ1 e jθ1
∆x
2ω
(x1 − x ) = θ1 − 2ω ∆x = π
θ1 −
v
v
θ1 = π +
θ1 =
x1
θ1 = π +
∆x = 10 cm
1er ventre
2ω
2π
4π
∆x = π + 2
∆x = π +
∆x
v
Tv
λ
4π
4π
2π
×10 = π +
= π+
60
6
3
5π
soit
3
θ1 = 300°
Γ1 = Γ1 e jθ1 = Γ1 (cos θ1 + j sin θ1 )
Γ1 = 0,6(0,5 − 0,866 j )
1 − Γ1
Z
on a : Z 1' =
; Z 1' = Z 1' Z C puisque Z C = 1'
1 + Γ1
Z1
'
Z 1 = 0,36 + 0,53 j
et Z 1 = 7,18 + 11,7 j
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IV – QUELQUES PARTICULARITÉS DES LIGNES PARFAITES
Le rôle essentiel des lignes étudiées dans ce chapitre est de transmettre un signal
électromagnétique, donc une puissance électromagnétique, d'une source à un dispositif d'utilisation
(l'impédance terminale ou la charge).
Cette transmission est parfaitement réalisée quand la puissance est intégralement
transmise à la charge. Dans ce cas on dit que la ligne est parfaitement adaptée. La qualité de
la transmission dépend de l'état du régime stationnaire sur la ligne.
1 – PUISSANCE
DEGAGEE DANS LA CHARGE (REGIME SINUSOÏDAL)
D'après les études classiques, nous savons que l'expression générale de la puissance
effective peut se mettre sous la forme complexe :
~ VI *
P=
2
(21) ( I * est l'expression complexe conjuguée de I ).
1
permet d'obtenir les valeurs efficaces de tension et de courant. Dans le cas du
2
courant alternatif classique étudié dans les années antérieures, on obtient, pour V = V 0 e jωt et
N.B. : Le rapport
I = I 0e j (ωt +ϕ ) .
, ϕ déphasage entre V et I .
V I
~ 1
P = V 0 e jωt .I 0 e − j (ωt + ϕ ) = 0 0 (cos ϕ + j sin ϕ) .
2
2
~
Ainsi la partie réelle de P représente la puissance active (effet Joule) et la partie imaginaire la
puissance réactive.
Dans le cas de la ligne de transmission en un point x :
2ω



j  θ1 − ( x1 − x ) 
v


V = aZ C e
1 − Γ1 e



2ω
 x



j ω t − 
j  θ1 − ( x1 − x ) 
v
 v


I = ae
1 + Γ1 e
 d'où


2ω


 x

− j ω t − 
− j  θ1 − ( x1 − x ) 
v


I* = ae  v 
1
+
Γ
e


1


et sur la charge x1 = x
 x
j ω t − 
 v
V = Z C ae
~
d'où P =
 x
j ω t − 
 v
[1 − Γ e ]
jθ1
1
{
et
I * = ae
 x
− jω  t − 
 v
[1 + Γ e ]
− jθ1
1
}
ZCa2
2
1 − Γ1 − 2 Γ1 j sin θ1 ( a est l'amplitude de I& ).
2
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La puissance active effective est donc : (dans la charge ) :
Pa =
(
ZC a2
1 − Γ1
2
2
)
(22)
ZC a2
Z a2
représente la partie incidente et C
Γ1
2
2
2
la partie réfléchie. Si Γ1 = 0 alors toute la
puissance active est transmise à la charge et inversement si Γ1 = 1 , la charge ne reçoit aucune
énergie active.
2 – ADAPTATION D'IMPEDANCE (OU ADAPTATION DE LIGNE)
Une adaptation sera parfaite si l'énergie transmise est maximale, donc si
Γ1 = 0 ce qui correspond à
Z1
= 1 . Dans les trois adaptations suivantes, nous avons au départ en présence une ligne d'impédance
ZC
caractéristique Z C et une charge Z 1 telles que Z 1 ≠ Z C . Notre objectif est de réaliser au bout de la ligne
caractéristique Z C la condition Γ = 0 par un dispositif particulier intercalé entre la ligne et Z 1
λ
2.1 – Par un tronçon de ligne (quart d'onde)
4
λ
λ
A
B
Un tronçon de ligne de longueur
de
4
4
Z1
(ZC)
caractéristique (Z C1 ) est intercalé entre la ligne
(ZC1)
Z 1' =
x1
(Z C ) et
Adaptaté
Z1 .
Z C = Z A Adaptateur
Figure : 9
Les ondes stationnaires seront supprimée dans la ligne origine ( Z C ) si en A l'impédance est
Z A = Z C . Or en un point x du tronçon AB :
−2 j
ω
(xB − x )
1 − ΓB e v
Z
Z' =
=
ω
− 2 j ( xB − x )
Z C1
1 + ΓB e v
Donc en B : x = x B → Z B' =
Et en A : x B − x =
Z 1 1 − ΓB
=
Z C1 1 + ΓB
1 + ΓB
Z
λ
2ω
→
(x B − x ) = π ⇒ Z A' = A =
4
v
Z C1 1 − ΓB
Or e − jπ = cos π − j sin π = −1
D'où : Z A =
Z C21
Z1
et l'adaptation est réalise pour Z C Z 1 = Z C21 (en pratique on agit sur Z C1 ).
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2.2 – Par un transformateur
Le problème est le même, l'adaptation sera réalisée si : Z A' =
ZA
=1
ZC
Or Z A est l'impédance d'entrée du transformateur :
e1
= Z A ( e1 = tension en A ; I 1 = intensité en A ).
I1
(Z C )
A n1
n2 B
Z1
et Z 1 l'impédance de sortie du transformateur :
e2
= Z 1 ( e 2 = tension en B ; I 2 = intensité en B ).
I2
n
n
Nous savons que : e 2 = 2 .e1 et I 2 = 1 .I 1
n1
n2
2
Figure : 10
2
n 
e n  e
Z A = 1 =  1  . 2 =  1  .Z 1
I 1  n2  I 2  n2 
adaptation si : Z
C
 n
=  1
 n2
2

 .Z

1
(on agit sur
n1
)
n2
2.3 – Par un "stub" ("morceau" de ligne
(I)
(ZC)
Un "stub" est un tronçon de ligne
analogue à la ligne principale, branché
en parallèle et dont l'extrémité est en
court-circuit.
A
Z
B
Z1
ZS
Figure : 11
Le problème est toujours le même, l'adaptation sera réalisée si Z A' =
ZA
=1
ZC
Or si Z S est l'impédance du "Stub" en A (voir le cas de la ligne en court-circuit) et Z
l'impédance de la terminaison en A également alors :
1
1
1
=
+
Z A ZS Z
La condition est :
1
1
1
=
+
on agit sur Z (qui est fonction de Z 1 et de la position) et
Ze
ZS
Z
sur Z S .
N.B. : On a vu que Z S d'une ligne le court-circuit était soit imaginaire pure soit nulle résolutions graphiques spéciales.
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V – LES LIGNES REELLES OU LIGNES AVEC PERTES
1 – SOLUTION DE L'EQUATION GENERALE DE PROPAGATION (EN REGIME SINUSOÏDAL)
∂2I
∂2I
∂I
(
)
− RS G S I − R S C S + LS G S
− LS C S 2 = 0 (23)
∂t
x2
∂t
Les pertes (dans les conducteurs : R S et dans l'isolant
l'atténuation de l'amplitude du signal en fonction de x .
G S ) ont pour conséquence
En régime sinusoïdal nous savons que la solution dans les lignes sans perte est de la forme
:
I = ae
 x
jω  t − 
 v
+ be
 x
j ω t + 
 v
Dans les lignes avec perte, les amplitudes a et b seront dans le cas général des fonctions
de la forme (puisque la forme exponentielle est toujours solution) :
a( x ) = ae − (α + jβ )x et b( x ) = be + (α + jβ )x ( a , b , α et β sont des grandeurs réelles positives).
Remarque 1 : Pour l'onde incidente, on retrouve ainsi la forme générale : S = S 0 e j (ωt − kx ) du
Chapitre I. § II.1) avec S 0 = ae − αx et k =
ω
+β.
v



Remarque 2 : L'amplitude peut se mettre sous la forme ae −αx = a1 − αx +
(αx )2 + ... 
2


Selon la grandeur relative des termes du développement, on peut retrouver la forme des
différents cas de variation de l'amplitude avec la distance de propagation étudiés dans le Chapitre
I, § III.2 :
a , − aα x , +
aα 2 x 2 aα 3 x 3
,−
... etc.
2
6
La solution générale de la propagation de I est donc :
I = ae − αx e j (ωt − kx ) + be αx e j (ωt + kx ) (24)
Cherchons la solution de V
D'après la relation (4) du § II.2
−
∂I
∂V
(25)
= GSV + CS
∂x
∂t
la remarque 1 nous indique la forme générale de V telle que :
∂V
∂I
= jω.V ; d'où − = (G S + jωC S )V
∂t
∂x
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V =
(α + jk )
(G S + jωC S
[ae
)
− αx
e j (ωt − kx ) − be αx e j (ωt + kx )
]
(26)
(α + jk ) .I&
∂V
d'où
=−
(G S + jωC S )
∂x
2
et d'après la relation (3) du § II.2 :
−
∂V
∂I
= R S I + LS
∂x
∂t
∂V
= −(R S + jωL S )I
∂x
on a : On en déduit :
(α + jk )2 = (R S + jωLS )(G S + jωC1 )
[
V = Z C ae − α x e
et
j (ω t − kx
)
− be α x e
avec l'impédance caractéristique : Z C =
j (ω t + kx
)
]
(27)
(28)
R S + jωL S
G S + jωC S
2 – ETUDE DE LA SOLUTION DANS QUELQUES CAS PARTICULIERS
2.1 – Dans le cas général
L'impédance caractéristique n'est plus un réelle simple et dépend de la fréquence (ou
pulsation ω ).
Les valeurs du coefficient d'atténuation α et du facteur de propagation k en fonction des
grandeurs spécifiques de la ligne se déduisent de l'équation (26) :
α 2 − k 2 + j (2αk ) = R S G S − w 2 L S C S + jω(L S G S + R S C S )
soit à résoudre simultanément :
α 2 − k 2 = RS G S − w 2 LS C S
2αk = ω(L S G S + R S C S )
(27’)
En pratique, certaines simplifications interviennent et facilitent la résolution.
2.2 – Cas de l'adaptation des phases
Afin d'éviter la distorsion des phases liée à la dépendance de Z C avec ω , on ajoute sur la
ligne à intervalle régulier des bobines de self inductance. Ainsi on modifie L S jusqu'à réaliser
l'égalité R S C
S
= G S L S ce qui entraîne :
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
L 
R S 1 + jω S 
RS 
RS
LS

, comme dans une ligne parfaite.
ZC =
=
=
GS
CS

CS 

G S 1 + jω
G S 

Les équations à résoudre sont alors, à partir de (5) :
(α + jk )2

L  
C 
= R S 1 + jω S G S 1 + jω S 
RS  
GS 


L
R S G S 1 + jω S
RS




2
ou

C
R S G S 1 + jω S
GS




2


LS 

 R S G S 1 + jω
R S 


ou,
soit α + jk = 
 R G 1 + jω C S 
 S S 
G S 

donc la solution est :
α = RS G S = RS
k =ω
LC
RS
CS
et
LS
RS GS =
ω LS
v RS
RS GS ω
=
LS C S
v
car la vitesse de propagation dans une ligne parfaite est : v =
1
.
LS C S
Ce résultat implique que β la partie imaginaire des pertes est égal à zéro ce qui, d'après la
définition de k dans la remarque 1 du paragraphe V, montre que la distorsion de phase
correspond à β ≠ 0 .
Conclusion : dans le cas de l'adaptation de phase β = 0 .
2.3 – Cas de faibles pertes
R S et G S sont faibles et on néglige les termes carrés du type : α 2 , R S , G S , R S2 , G S2 dans le
système (5'), qui devient : α 2 − k 2 = −ω 2 L S C S et 2αk = ω(L S G S + R S C S ) .
De la 1ère équation, en négligeant α 2 , on déduit k =
L G + RS C S
ω
, puis de la 2ème α ≈ S S
.
v
2 LS C S
α ne dépend pas de la fréquence.
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3 – ONDES STATIONNAIRES DANS LES LIGNES AVEC PERTES (EN REGIME SINUSOÏDAL)
3.1 – Coefficient de réflexion et impédance
Les définitions de départ sont identiques à celles des lignes parfaites et on obtient en faisant :
f 1 = ae − αx e j (ωt − kx ) et f 2 = be αx e j (ωt + kx ) avec k =
Γ=
ω
+β
v
f 2 b 2αx + 2 jkx
= e
f1 a
−2 (α + jk )( x1 − x )
D'où Γ = Γ1 e
et Z ' =
avec
Γ = Γ1 e − αx ( x1 − x ) (29)
Z
V
1− Γ
=
=
=Z'
ZC ZC I 1+ Γ
Il suffit, dans l'étude des lignes avec pertes de remplacer dans les résultats des lignes
parfaites j
ω
par α + jk .
v
3.2 – Atténuation sur la ligne (unités)
On évalue les pertes en déterminant le rapport des puissances PA et PB entre A et B
distant de δ de la façon suivante :
2
2
I 
PB  V B 
=   =  B  = e − 2 αδ (30)
PA  V A 
IA 
Le rapport est ≤ 1 si δ ≥ 0 , donc si B est situé après A pour une onde progressive (vers
+ ox ).
δ s'exprime en mètre, α s'exprime en Neper par mètre et ainsi αδ s'exprime en Neper.
1
Neper par mètre équivaut donc à une relative de puissance
Un coefficient d'atténuation de
2
P
1 
 .
de P ≈ 7,389 pour une longueur de ligne de 1 mètre  B =
P
7
,
389
 A

On utilise souvent les unités d'atténuation (ou d'intensité relative).
La sensation physiologique produite par un son dans l'oreille humaine étant plutôt
proportionnelle au Log de la puissance du signal sonore, on utilise dans ce cas la grandeur γ
définie comme le log décimal du rapport des puissances :
PA
= 10 .
PB
Plus couramment on utilise le décibel (dB ) ; (10 décibel = 1 bel).
γ = log 10
PA
→ γ = 1 bel si
PB
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N.B. : Dans le cas des ondes sonores, ces unités expriment la puissance par unité de surface du
point PA relativement à la puissance PB prise comme référence ( PB = le seuil d'audibilité à la
fréquence 1000 Hz = 10-12 Watt/m2).
D'après la définition précédente du Neper :
P
γ = log 10  A
 PB

P
1
 =
Log  A
 2,302
 PB
 2αδ
 =
→
 2,302
αδ = 1,151γ (31)
soit 1 Neper correspond à 11,51 dB d'atténuation.
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CHAPITRE IV
PROPAGATION DES O.E.M. DANS LES GUIDES D'ONDES
I – INTRODUCTION : ANALOGIE AVEC LES LIGNES DE CONDUCTEUR – NATURE
SPECIFIQUE DES PHENOMENES
1 – DEFINITION GENERALE DES GUIDES D'ONDES. ANALOGIE AVEC LES LIGNES
Dans l'espace où l'onde se propage, il existe des diélectriques (isolants, air) et des
conducteurs (en général métalliques). Cet ensemble forme un guide d'onde lorsque sa structure
reste invariante quand on effectue une translation quelconque le long de l'une des lignes de
coordonnées auxquelles l'espace est rapporté. Exemple de guides d'ondes :
z'
z
Guide rectangulaire
Intérieur diélectrique
z
Guide cylindrique
z
Guide de forme quelconque
z
z
z
Guide bipolaire blindé
Guide coaxial
Guide bifilaire
z
z
Ruban métallique
Ligne ruban ("strip line")
Les lignes de transmission apparaissent comme un cas particulier des guides d'ondes. Si
nous nous reportons au paragraphe IV.1 du Chapitre III sur les lignes avec pertes c'est-à-dire sur
les "lignes générales" on doit pouvoir adopter la solution générale pour le signal progressant vers
oz en régime sinusoïdal. Soit : S = a( x, y, z )e j (ωt − kz ) .
a = amplitude et k = facteur de propagation.
2 – DIFFERENCES ENTRE LA PROPAGATION DANS LES LIGNES ET DANS LES GUIDES D'ONDES
"FERMES"
Nous choisissons pour le reste de l'étude, le guide rectangulaire (en raison de sa symétrie qui
facilite l'étude de la propagation).
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2.1 – La nature du signal étudié
Dans les lignes, nous étudions essentiellement la propagation du courant I& et du potentiel
r
r
V le long de la ligne ( E et H sont étudiés accessoirement pour mettre en évidence la nature
électromagnétique). Il n'est pas question d'étudier I& et V dans les tubes conducteurs. (l'enceinte
conductrice, n'est pas le siège d'aucun courant sauf dans une faible épaisseur intérieur du tube
(l'effet de Peau).
2.2 – Le processus de propagation le long de l'axe
Dans une ligne, la propagation était analysée selon une seule dimension (l'axe de la ligne). A
r
l'intérieur du guide fermé, il faut absolument considérer les trois dimensions de l'espace : car si E
r
et H sont étudiés comme se propageant selon un seul axe z (l'axe du guide d'onde) du fait du
r
r
rayonnement tridimensionnel de l'onde en réalité E et H existent dans tout le volume intérieur et
de plus doivent obéir sur les parois intérieurs du conducteur aux conditions aux limites imposées
par les conducteurs.
2.3 – La forme générale de la solution de propagation (en régime sinusoïdal)
Schéma de la propagation des
ondes issues de la source S dans le
guide.
D'après les remarques précédentes, l'onde résultante qui progresse dans la direction Sz sera
donc un paquet d'ondes formé par les différentes O.E.M. planes transversales (loin de S ). Cette
onde résultante n'est pas plane transversale et sa forme peut être précisée comme suit : (dans le
cas du champ électrique):
r
r
E( x , y , z ,t ) = E( x , y )e −αz e j (ωt −kz ) .
(
r
-
Le vecteur E ( x , y , z ,t ) a en général 3 composantes ≠ 0 E x , E y , E z
)
r
L'amplitude est fonction de x, y, z : E ( x, y )e − αz , ( α grandeur réelle ≥ 0 ).
Nous avons vu dans le cas des lignes avec pertes, que l'atténuation dans sa forme plus
générale est effectivement e − αz . Dans les lignes, les pertes sont dues à l'imperfection de l'isolant et
du conducteur ( R S et G S ou i et ρ pour les équations de Maxwell), dans le guide elles sont dues
à l'imperfection des réflexions successives qui provoquent une absorption partielle (du point de vue
électrique, ces pertes correspondent à l'effet Joule du courant dans l'épaisseur de peau de la
paroi).
r
La partie vectorielle E ( x, y ) de l'amplitude est appelée carte de champ car elle figure dans la
disposition du champ électrique maximale aux différents points des plans perpendiculaires à Sz .
Conformément aux définitions du chapitre 1 (§ III et IV), k est le facteur de propagation
vϕ =
ω
k
est la vitesse de phase v g =
dω
est la vitesse du groupe ou vitesse de déplacement de
dk
l'amplitude donc de l'énergie du paquet d'onde.
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On peut définir en outre une longueur d'onde du guide λ g par analogie entre la phase
ωt − kz et la phase d'une onde simple ωt −
2π
2πz
: λg =
k
λ
r
N.B.: La forme de la propagation du champ magnétique H ( x, y, z , t ) est identique.
N.B.: En général
r
,
E ( x, y ) = E ( x, y ) e jϕ est un exemple : seul E (x, y ) intervient dans l'amplitude
et ϕ ' fait partie de la phase totale ϕ avec ϖt − kz + ϕ ' = ϕ . Etant donné que la direction de
propagation du groupe est Sz et que ϕ ' ne dépend que de x et y les expression de Vϕ ; V g ; k et
λ g sont donc inchangées.
2.4 – Limitation du domaine de fréquence dans un guide et intérêt des guides fermés
y
Examinons le cas du trajet le plus court
possible
pour
une
des
ondes
monochromatiques λ issues de S qui
forment le paquet d'ondes (θ ≈ 0) et le trajet
entre les 2 parois est la largeur du guide a .
Figure : 1
r
E
z
x
a
θ
D'après la condition aux limites d'un conducteur parfait, la composante tangentielle du champ
électrique doit être nulle sur chaque paroi (E T = 0) , comme il s'agit d'une O.E.M. simple
transversale et que de plus il y a une onde stationnaire ( θ = 0 signifie que l'onde réfléchie se
superpose à l'onde incidente), la longueur d'onde maximale possible pour qu'il y ait effectivement
deux nœuds espacés de a est λ = 2a (voir le chapitre 2).
Ainsi la longueur d'onde des ondes simples issues de la source doit être λ ≤ 2a et la
fréquence, elle, doit f ≥
c
.
2a
En pratique les dimensions d'un guide sont comprises entre quelques mm et quelques cm
(30 cm pour les radars) ce qui limite l'utilisation des guides fermés au domaine des
hyperfréquences (étudié en travaux pratiques).
Dans le domaine des hyperfréquences il est préférable d'utiliser les guides fermés plutôt que
les lignes électriques, (pour lesquelles il n'y a pas de limitation théorique de fréquence) car les
pertes sont moins importantes (le guide est rempli d'air et on dore les parois internes pour
améliorer les réflexions). Dans les lignes, l'O.E.M. se propage dans un diélectrique (plus absorbant
que l'air).
II – EQUATIONS SPECIFIQUES DE LA PROPAGATION GUIDEE (EN REGIME
SINUSOÏDAL)
1 – EQUATION GENERALE DE PROPAGATION
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On admet le milieu interne au guide comme parfait et isotrope : ε et µ sont des constantes
r
et ρ = 0 . Par contre afin de tenir compte de l'absorption au niveau de la paroi, on considère i ≠ 0 .
r
r
r
i est la densité de courant dans l'épaisseur de peau superficielle de la paroi i = σE et σ est la
conductivité de la paroi.
Les équations de Maxwell sont donc :
r
r
r
r
r
∂H
∂E
, divE = 0 , rot H = σE + ε
et divH = 0
rot E = −µ
∂t
∂tr
r
r
∂H
∂E
∂2E
D'où rotrotE = −µrot
= −µσ
− µε 2
∂t
∂t
∂t
r
r
2
r
r
∂E
∂ E
− µε
= 0 (1) (équation identique pour H ).
Soit ∆ E − µσ
2
∂t
∂t
Or en régime sinusoïdal
r
r
r
r
r
∂E
∂2E
j (ωt − Kz )
2
E = E ( x, y )e
avec K = k − jα d'où
= jωE et
=
−
ω
E
∂t
∂t 2
r
r r
 ∂2
∂2
∂2  r
on obtient alors :  2 + 2 + 2  E − jωµσE + ω 2 µεE = O
∂y
∂z 
 ∂x
r
r
r
r
∂E
∂2E
= − jKE et
= −K 2 E
2
∂z
∂z
2
2
r r
∂
∂
2
2 
Soit
 2 + 2 − γ + K E = O
∂y
 ∂x

r
r
2
2
avec γ = −ω µε + jµωσ soit enfin la forme E (et H )
(
)
r
r
 ∂2
∂2
2
2 
 2 + 2 − γ + K  E ( x , y ) = O (2)
∂y
 ∂x

2
2
r
r
∂
∂
2
2 
+
−
γ
+
K
H
=
O
(3)
 2
 ( x, y )
∂y 2
 ∂x

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(
)
(
)
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2 – RELATION ENTRE LES COMPOSANTES TRANSVERSALES ( E z et H z ) ET LES COMPOSANTES
LONGITUDINALES ( E x , E y , H x et H y )
D'après les relations de Maxwell précédentes
r
r
∂H
rotE = −µ
= − jωµH
∂t
∂E z
∂y
∂E x
oy :
∂z
∂E y
oz :
∂x
ox :
Suivant
∂
∂x E x
Hx
∂
⇔
∧ E y = − jωµ H y
∂y
Hz
∂ Ez
∂z
∂E y ∂E z
−
=
+ jKE y = − jωµH x (a)
∂z
∂y
∂E
∂E
− z = − jKE x − z = − jωµH y (b)
∂x
∂x
∂E x
−
= − jωµH z
(c)
∂y
r
rotH = (σ + jωE )E
De même
∂H z ∂H y ∂H z
−
=
+ jKH y = (σ + jωε )E x (d)
∂y
∂z
∂y
∂H x ∂H z
∂H z
oy :
−
= − jKH x −
= (σ + jωε )E y (e)
∂z
∂x
∂x
∂H y ∂H x
(f)
oz :
−
= (σ + jωε )E z
∂x
∂y
ox :
Suivant
(d) donne H y =
∂H z 
1 
(σ + jωε )E x −

jK 
∂ y 
on porte cette valeur dans (b)
∂H
∂E
ωµ 
(σ + jωε )E x − z  = jKE x + z

K 
∂y 
∂x
∂E z ωµ ∂H z
1

2
ωµσ
+
j
ω
µε
−
jK
E
=
+
x
K

∂x
K ∂y


∂E z
∂H z
ωµσ + jω 2 − jK 2 E x = K
+ ωµ
∂x
∂y
(
)
(
)
( jωµσ − ω µε + K )E
2
2
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x
∂H z 
 ∂E z
= j K
+ ωµ
∂y 
 ∂x
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(
)
∂E

∂H 
z
z

soit γ 2 + K 2 E x = j  K
+ ωµ
∂y 
 ∂x
Ex =
j
γ +K2
2
∂H z
 ∂E z
 K
+ ωµ
∂y
 ∂x

 (4)

Puis en remplaçant E x par sa valeur dans (d ) , il vient :
∂H z  ∂H z 
 ∂E z
j
1 
K
−
+ ωµ
(σ + jωε ) 2

2 
jK 
∂y  ∂y 
γ + K  ∂x
 σ + jωε  ∂E z ωµ ∂H z  γ 2 + K 2 ∂H z 
j

+
Hy = 2
+


j
K ∂y 
K
∂y 
γ +K2 
 ∂x

∂E
∂H z 
j
1

= 2
− j (σ + jωε ) z +  γ 2 + K 2 − (σ + jωε )ϖµ
2 
∂x K 
∂y 
γ +K 
∂E
j
1

 ∂H z
Hy = 2
− j (σ + jωε ) z + (γ 2 + K 2 − j ( jωµσ − ω 2 µε ))
2 
∂x
K
γ +K 
 ∂y
Hy =
Hy =
j
γ + K2
2
 ∂H z
∂E 
− j (σ + jωε ) z  (5)
K
∂x 
 ∂y
L'équation (e) donne :
1  ∂H z

+ (σ + jωε )E y 

jK  ∂x

Hx = −
On porte cette valeur de
H x dans (a) :
ωµ  ∂H z
∂Ez

+ jKE y =
+ (σ + jωε )E y 

K  ∂x
∂y

∂E z ωµ ∂H z
1

2
 K ωµσ + jω µε − jK  E y = ∂y − K ∂x


∂E z
∂H z
ωµσ + jω 2 µε − jK 2 E y = K
− ωµ
∂y
∂x
(
)
[(
]
)
∂H z
 ∂E z
= j K
− ωµ
∂x
 ∂y
∂H z 
 ∂E z

γ 2 + K 2 E y = j K
− ωµ
∂x 
 ∂y
[( jωµσ − ω µε)+ K ]E
2
(
2
y



)
Ey =
j
γ +K2
2
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∂H z
 ∂E z
 K
− ωµ
∂x
 ∂y

 (6)

- 49 -
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Edition 2006-2007
Portons la valeur de E y dans (e).
∂H z 
 ∂E z
j
1  ∂H z
K

+ (σ + jωε ) 2
− ωµ

2 
jK  ∂x
∂x 
γ + K  ∂y
 γ 2 + K 2 ∂H z
∂H z 
 ∂E z
j
j

Hx = 2
+ (σ + jωε ) K
− ωµ
2 
∂x
K
∂x 
γ +K  K
 ∂y
∂E z 1 2
∂H z 

j
2
2
(
)
= 2
j
σ
+
j
ωε
+
γ
+
K
+
ω
µε
−
j
ωµσ


∂y K
∂x 
γ +K2 
Hx =
(
Hx =
j
γ +K2
2
)
∂E 
 ∂H z
+ j (σ + jωε ) z  (7)
K
∂y 
 ∂x
γ 2 = jωµσ − ω 2 µε
K = k − jα (2)
avec
 ∂E z

∂
+ ωµ H z 
K
∂y
 ∂x


 ∂E z
j
∂
Ey = 2
K
− ωµ H z 
2 
∂x
γ + K  ∂y

 ∂

j
∂
Hx = 2
K
H z + j (σ + jωε ) E z 
2 
∂y 
γ + K  ∂x
∂E 
 ∂
j
Hy = 2
K
H z − j (σ + jωε ) z 
2 
∂x 
γ + K  ∂y
Ex =
j
γ +K2
2
III – SOLUTION COMPLETE DE LA PROPAGATION DANS LE CAS D'UNE ONDE T.M.
AU VOISINAGE DE LA PAROI
1 – CARACTERISTIQUES DU CAS PARTICULIER ETUDIE ET CONDITIONS AUX LIMITES
1.1 – L'onde considérée et les approximations utilisées
x
La paroi est matérialisé par le plan yoz pour
x > 0 ; l'onde se propage dans le diélectrique de
caractéristiques :
ε o , µ o , σ o (conductivité) pour x < 0 : l'onde se
trouve dans le conducteur imparfait de la paroi de
caractéristiques. ε, µ, σ (conductivité).
Les approximations utilisées : µ = µ 0 , σ 0 = 0 ,
σ >> ωε .
Figure :2
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- 50 -
E x0
E z0
0
y
H y0
z
Ez
Hy
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Dans le diélectrique la quantité γ 2 définie en II.1
devient :
γ 02 ≠ −ω 2 µ 0 ε 0 et dans la paroi γ 2 ≠ j ωµ
0
σ
D'autre part, on admet que la paroi est infiniment grand devant la zone considérée. Ainsi les
variations selon y seront négligeables (pas d'effet de bord) ∂
= 0 .
∂y
L'onde étudiée a dans le diélectrique une composante selon y nulle. E
y0
= 0 .
Nous noterons les composantes des champs avec un deuxième indice o quand on considère
les phénomènes dans le diélectrique intérieur au guide.
1.2 – Etude des conditions aux limites particulières
Afin de rendre compte des pertes par absorption dans la paroi nous ne devons pas
r
r
considérer le conducteur parfait mais un conducteur où les champs E et H parviennent à se
propager dans une faible épaisseur. Ainsi les conditions seront les conditions de base (Chapitre
II).
r
r
ET0 = ET
D N0 − D N = σ
r
r
r r
H T0 − H T = i ∧ n
r
r
ET0 = E T
En
supposant
faibles les quantités D N 0 = D N
r
r
de charges
H T0 = H T
BN0 = BN
BN0 = BN
1.3 – Nature de l’onde
Les composantes des champs étant reliées entre-elles par les relations
(a ) (b ) … ( f ) du paragraphe précédent (II.2), nous en déduisons :
∂E y
∂E z
=−
= 0 donc
∂y
∂z
∂E z 0
(a) − jωµH x =
+ jKE y0 = 0 → H x0 = 0
∂y
∂E x0
∂
(c) − jωµH z 0 =
E y0 −
= 0 → H z0 = 0
∂x
∂y
et d'après les conditions aux limites au voisinage de la paroi ( x = 0 ) .
 E y = E y0 = 0 , E z = E z0
H y = H y0 ≠ 0 , H z = H z0
Pour les composantes tangentielles 
εE x = ε 0 Ex
µH x = µ0 H x = 0

Pour les composantes normales 
0
0
L'onde étudiée dans ce paragraphe est donc T.M. (Transversale Magnétique : H z = H z 0 =0).
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Remarque : C'est en raison de la complexité du problème général que nous sommes amenés à
étudier la solution de la propagation dans ce cas particulier : Cependant, l'onde plus générale peut
se décomposer en une onde T.M. (Transversale Magnétique) et une onde T.E. (Transversale
Electrique) ; il suffit en théorie d'étudier par la suite une onde T.E. pour obtenir la solution la plus
générale. Nous nous contenterons de l'étude de l'O.T.M. qui conduit d'ailleurs à certains résultats
généraux, en particulier en ce qui concerne le coefficient d'atténuation α .
2 – EXPRESSIONS DE E z0 ( x, y ), E z ( x; y ), H y0 ( x, y ) et H y ( x, y ) A PARTIR DES EQUATIONS (1) EN
(II.1) ET DES EQUATIONS (2) (EN (II.2)
∂ 
 = 0 :
 ∂y 
D'après les caractéristiques énumérés en 1
(1) ∂ 2 E z0
(x, y ) − (γ 02 + K 2 )E z (x, y ) = 0
0
∂x
∂ 2 Ez
(x, y ) − (γ 2 + K 2 )E z (x, y ) = 0
2
∂x
et
2
Les solutions de ces équations différentielles sont donc :
(
u = (γ
)
)
E z 0 ( x, y ) = C 0 e − u0 x avec u 0 = γ 02 + K 2
et E z ( x, y ) = Ce + ux avec
2
+K2
1
2
1
2
(dans la paroi, x ≤ 0 ) puis d'après la condition à la
limite de la paroi E z 0 = E z pour x = 0 C = C 0 = E 0
En appliquant la relation (2) concernant H y (en fonction de H z et E z ) à la carte de champ,
qui est une partie de H y ( x, y, z , t ) , le terme e j ( ωt − Kz est identique pour toutes les composantes, on
obtient :
H y 0 ( x, y ) = −
jωε 0
∂E z 0
γ 02 + K 2 ∂x
σ
et H y ( x, y ) = 2
µE 0 e µx
γ +K2
3 – EXPRESSION DE K
( x, y ) = −
jωε 0 µ 0 E 0 e − µ 0 x
γ 02 + K 2
EN FONCTION DES CARACTERISTIQUES DU GUIDE
D'après les conditions à la limite de la paroi :
H y0 = H y pour x = 0 d'où :
jωε 0
(γ
2
0
+K
σ
=
) (γ
1
2 1
2
+K
)
1
2 2
⇒ on élève cette expression au carré
(
)
K 2 ω 2 ε 02 + σ 2 = −σ 2 γ 02 − ω 2 ε 02 γ 2
⇒ γ ≠ ω µ 0 ε 0 et γ ≠ jωµ 0σ
2
0
2
2
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
ω2 ε 2 
0
 = − γ 02 −
soit K 2 1 +
2 
σ 

et en négligeant
ϖ 2 ε 02
ω 2 ε 02 γ 2
σ2
= ω2µ 0 ε 0 − j
ω 2 ε 02
σ2
µ0
devant 1 :
σ2
jωε 0 
1
ω2 
2
K ≈ 2 1 −
, d'où
 car C 2 =
µ0ε0
σ 
C 
ωε 
ω
K = 1 − j 0 
C
2σ 
1
 ωµ 0  2
En définissant la résistance superficielle de la paroi par R P = 
 et l'impédance caractéristique par :
 2σ 
µ
Z 0 =  0
 ε0
1
2
ω
 ; on obtient K = 1 −
C


R
j  P
 Z0



2




(8)
4 – Expression finale de la solution dans le cas de l'O.T.M. au voisinage de la paroi
4.1 – Expressions de µ 0 et µ
2
0
2
ω2
2
 R  ω2
jω 2ε
jω 2ε
u = γ + K = − 2 + 2 − 2 0 = − 2 0 = −2 j  P  2
C
C
Cσ
Cσ
 Z0  C
2
0
R
D'où µ = (1 − j )  P
 Z0
2
0
2
ω
2
 ω2

→
2
 C
µ 0 = (1 − j )
et u 2 = γ 2 + K 2 = jωσµ 0 + ω 2 µ 0 ε 0 −
en
u2 ≈ 2 j
négligeant
ωµ 0 σ
2
≈ (1 + j )
2
ωε 0
et
σ
ωµ 0 σ
2
ω 2 ε 02
σ
2
ω  RP

C  Z 0

 (9)

jω 3 ε 02 µ 0
,
σ
devant
1,
seul
la
1er
terme
subsiste
:
1
 2 2
1
 (10)
D'où u = (1 + j ) avec δ = épaisseur de peau = 
δ
 ωµ 0 σ 
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4.2 – Expressions finales des composantes E z ( x, y, z , t ) = E z ( x, y )e j (ωt − Kz )
E z 0 ( x, y , z , t ) = E 0 e
E z ( x, y , z , t ) = E 0 e
− (1− j )
(1− j )
x
δ
ω RP
x
C Z0
e
e

R
ω
j  ωt − 1− j  P

C
 Z0



R
ω
j  ωt − 1− j  P

C
 Z0











z
 
 
2
(11)

 z
 
 
2
(12)
Les autres composantes peuvent s'exprimer en fonction de E z 0 ( x, y, z , t ) et E z ( x, y , z , t ) à
partir des relations (2) (II.2).
5 – APPLICATION DE LA SOLUTION OBTENUE
5.1 – Relation entre composantes des champs
A l'aide des relations du paragraphe II.2, on peut calculer les rapports suivants :

R
E x0 H y0 = K ωε 0 = Z 0 1 − j  P

 Z0
et E x H y = (1 + j ) σδ = (1 + j )R P



2



En pratique, nous avons par exemple les valeurs numériques suivantes, le conducteur étant
(
)




le cuivre σ = 5,8 ×10 7 Ω −1 m −1 et le diélectrique de l'air  Z 0 = (µ 0 ε 0 ) 2 = 377Ω  . La pulsation de
1
l'onde hyperfréquence ω , est telle que δ = 6,610 −5 m , ce qui entraîne R P =
1
= 2,6.10 −4 Ω .
σδ
Ainsi les valeurs numériques des rapports précédents sont :
E x0 H y0 ≠ 377Ω et E x H y = (1 + j ).2,6.10 −4 Ω
or au voisinage de la paroi, d'après les conditions de continuité :
Ez = Ez 0 et H y = H y 0 , d'où : ( E x0 H y 0 .
Hy
Ez
) = Ex0 Ez 0 =
377.104
(1 + j )2,6
Au voisinage de la paroi, E z 0 << E x0 et l'onde est pratiquement transversale électrique,
comme est déjà aussi transversale magnétique, on peut dire qu'elle est T.E.M. (Transversale
Electro-magnétique).
5.2 – Surface équiphase et équiamplitude
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D'après la forme de E z 0 ( x, y , z , t ) du § III.4.2, pour mettre en évidence la phase ϕ et
l'amplitude S 0 conformément à la forme générale du chapitre I (formule 2 du § III.1).
r
r
S ( x, y, z , t ) = S 0 ( x, y, z , t )e jϕ , il faut séparer les parties réelles et les parties imaginaires, car
S 0 et ϕ sont des grandeurs réelles.
ω R  R  

− . P  x +  P  z 
 S = E e C Z 0   Z 0  
0
 0
D'où pour E z 0 
ω R  
ϕ = ωt −  z −  P  x 
C   Z 0  

R 
Ainsi les surfaces équiphases sont des plans d'équation z −  P  x = cte
 Z0 
(13)
R 
et les surfaces équiamplitudes sont des plans d'équation : x +  P  z = cte (14)
 Z0 
L'onde n'est pas homogène car ces surfaces sont différentes. Dans les cas classiques, les
deux surfaces sont confondues et forment les surfaces d'onde : c'est le cas des ondes
homogènes.
IV – CALCUL DU COEFFICIENT D'ATTENUATION ( α ) LE LONG DU GUIDE
Un des intérêts de l'étude du § III est que l'on peut déduire une expression très générale de
α à partir des résultats obtenus sur l'O.T.M. précédente au voisinage de la paroi. En effet, les
approximations utilisées ne sont pas gênantes pour la généralité du raisonnement car il s'agit
précisément de phénomènes de pertes au voisinage de la paroi dans le conducteur (sous forme
d'effet Joule). Comme nous le verrons dans le cas du guide rectangulaire, il n'y a pas de différence
fondamentale entre une O.T.E. et une O.T.M. en ce qui concerne en particulier l'atténuation.
1 – PERTES D'ENERGIE PAR EFFET JOULE DANS LA PAROI CONDUCTRICE
Nous savons qu'au champ E z dans la paroi est associé un courant électrique de densité
r
r
i = σE z selon oz .
x
D'après le schéma ci-contre représentant
un morceau élémentaire de paroi, l'intensité de
courant à travers la section élémentaire dx.dy est
dI& = idx.dy , la résistance correspondante est
1 dz
.
Figure : 3
dR =
σ dx.dy
(
Et l'énergie perdue par effet Joule est dR dI eff
dI&eff =
z
air
0
dz
dy
)
2
= dW .
y dx
Paroi
dI&
2
car il s'agit d'un courant sinusoïdal (forme de E z )
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d'où dW =
1 dz
σ
2
σE z .dx.dy = dx.dy.dz E z
2σ dx.dy
2
2
ω
C
R
et d'après l'expression E z du paragraphe III.4.2 le module de E z est E 0 e e  P
 Z0
x
δ
2
ω  RP

Comme on peut négliger
C  Z 0
Ez
2
= E 02 e
D'où dW
2

 z .


1
 devant (paragraphe III.5.1)
δ

2x
δ
2x
1
σ dy . dz . E 02 e
=
2
δ
dx
et pour toute l'épaisseur de la paroi (on intègre de x = 0 à x = −∞ ) :
1
∆ W = σ dz . dy . E 02
2
∫
−∞
0
2x
e
δ
. dx = −
δ .σ
4
E 02 . dz . dy
on évalue alors E 0 en fonction de la compos. Tangentielle de H : H Tg de la façon suivante :
D'après la relation établie en III.5.1 :
Ez 1+ j
=
σδ
Hy
Comme H y = H Tg (car H z = 0 )
H Tg =
x
σδE z
σδ
E 0 e δ , d'où H Tg
=
1+ j
2
donc E 0 =
2 H Tg
x=0
=
σδ
2
E 0 pour x = 0
2
x =0
σδ
σδ 2 H Tg x =0
et ∆W = −
.
dz.dy
4
σ 2δ 2
donne finalement : ∆W = −
1
R P H Tg
2
x =0
dz.dy (15)
le signe – car il s'agit d'une perte d'énergie. ( R P est la résistance superficielle déjà définie
RP =
1
en hyperfréquence et H Tg
σδ
x =0
est le module de la composante tangentielle de H sur la
paroi).
2 – EXPRESSION DU COEFFICIENT α
D'après la forme générale de l'onde notée au paragraphe I.2.c :
r r
E = E ( x, y )e − αz e jϕ , l'amplitude est de la forme E ( x, y ) e − αz et l'énergie est de la forme
(proportionnelle au carré de l'amplitude).
W = W0 e −2αz
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dW
= −2αW0 e − 2εz →
dz
d'où
α =−
1 dW dz 2αz
e
2 W0
or d'après l'expression précédente de
∆W
∆w
dW
1
=
= − RP
2
dz
dz
∫
H Tg
2
0= x
dl
l
r
r r
guide),
donc
N.B. : Sur la paroi plan yoz , l = y , on détermine W en fonction de l'expression W =
∫∫ E ∧ H .dS
S
du paragraphe du chapitre sur le vecteur de Poynting.
r
(section transversale du
dS est orienté selon oz
r
r
r r
r
r
E ∧ H .d S = E ∧ H z d S ( z signifie qu'il s'agit de la composante selon oz ).
r r
π
E ∧ H z = E Tr H Tr sin
2
Le
vecteur
(
)
(
)
Donc l'énergie effective (on introduit un facteur 1/2 car en régime sinusoïdal on doit prendre les
valeurs efficaces) est : W =
1
2
∫∫
S
E Tr H
Tr
De plus on définit l'impédance d'onde Z d =
1 RP
α=
2 Zd
∫H
2
Tg
S
E Tr
et on obtient finalement :
H Tr
dl
e
∫∫
ds
(16) expression applicable à un cas très général.
2
H Tr dS
V – EXEMPLE DU GUIDE D'ONDE RECTANGULAIRE
r
r
La forme générale de la solution est : E = E ( x, y )e − αz e j (ωt − kz ) .
D'après le paragraphe IV nous connaissons l'expression de e − αz en fonction des données.
(
r
)
Les deux autres termes sont la carte de champ E ( x, y ) et le facteur de propagation k → e j (ωt − kz ) .
Pour déterminer ces termes nous ne considérerons pas l'atténuation et nous supposerons donc la
paroi comme un conducteur parfait.
r
r
1 – CALCUL DES CARTES DE CHAMP E ( x, y ) ET H ( x, y )
x
a
Figure :4
Si le conducteur de la paroi est parfait, les
conditions aux limites sur la paroi sont (d'après
le paragraphe III du chapitre 2) : E Tg = 0 et
Métal
section
du guide
air
y
z
0
B N = 0 soit H N = 0
b
Section du guide rectangulaire
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r
r
De plus comme α est considéré = 0, dans la recherche de E ( x, y ) , H ( x, y ) et k , le facteur
K = k + jα utilisé dans les relations du paragraphe II se réduit au facteur de propagation k .
r
Les conditions aux limites E Tg = 0 et H N = 0 sur les parois métalliques reviennent à
imposer : E x = 0 , E z = 0 sur les plans y = 0 et y = b et H y = 0 sur ces mêmes plans. E y = 0 ,
E z = 0 sur les plans x = 0 et x = a et H x = 0 .
Comme nous l'avons déjà signalé, ces conditions aux limites jointes aux équations
 ∂2
∂2
+
− γ2 + k2
 2
2
∂
x
∂
y

(
) S (x, y ) = 0
r

r
r
r
avec ( S = E ou H ) permettant de déterminer la carte
des champs (voir paragraphe II.1).
Remarque préliminaire : Les équations précédentes sont des équations linéaires, il est donc
possible de résoudre le problème en décomposant l'onde en une somme de deux ondes que l'on
déterminera séparément :
- Une onde T.M. (Transversale magnétique) avec H z = 0 et une
-
Une onde T.E. (Transversale électrique) avec E z = 0 .
1.1 – Détermination des ondes T.M.
On pose H z ( x, y ) = 0 et on va chercher une fonction, E z ( x, y ) obéissant aux conditions aux
 ∂2
∂
+ 2 − γ 02 + k 2
2
∂y
 ∂x
(
limites et solution de l'équation 
) E (x, y ) = 0 .

z
Nous adoptons la technique la plus simple qui consiste à supposer que :
E z ( x, y ) = e z ( x ).e z ( y )
D'où e z ( y )
1
e z (x )
∂ 2 e z (x )
∂x
2
∂ e z (x )
2
∂x
2
+
+ e z (x )
1
ez (y)
∂ 2ez (y)
∂y
2
∂ ez (y)
2
∂y
2
(
)
− γ 02 + k 2 e z ( x )e z ( y ) = 0
(
= γ 02 + k 2
)
K 1 + K 2 = γ 02 + k 2
1
∂ 2 e z (x )
1
∂x 2
∂ 2ez (y)
e z (x )
ez (y)
∂y 2
La solution de
= K1
avec K 1 et K 2 = constantes (car elles sont
= K2
forcément indépendantes, leur somme est constante)
∂ 2 e z (x )
∂x 2
− K 1 e z ( x ) est e z ( x ) = Cte. sin
et d'après les conditions aux limites
(
)
− K 1 .x =
x = 0 et x = a ).
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- 58 -
[(
)]
− K1 x
nπx
avec
a
− K1 =
nπ
(car E z = 0 pour
a
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nπx
a
y = o
nπy
De même ,
 → Ez = 0 → − K2 y =
y = b
b
mπy
e z ( y ) = Cte. sin
b
e z = Cte. sin
− K2 =
nπ
b
 nπx   mπy 
 nπ   mπ 
2
2
E ( x, y ) = E 0 sin 
 avec   
 sin 
 = − γ0 + k
Donc z
(17)
 a   b 
 a   b 
n et m = entiers ≥ 0
2
2
(
)
Ensuite, on obtient les composantes transversales à l'aide des équations du paragraphe
II.2. jk
nπ
 nπx   mπy 
cos

 sin
2
γ +k a
 a   b 
jk
mπ
 nπx   mπy 
sin 
E y ( x, y ) = E 0 2

 cos
2
b
γ0 + k
 a   b 
H z ( x, y ) = 0
− jωε 0 mπ  nπx   mπy 
H x ( x, y ) = E 0 2
sin 

 cos
γ0 + k 2 b
 a   b 
E x ( x, y ) = E 0
(
)
2
0
(
)
(
)
H y ( x, y ) = E 0
(γ
jωε 0
2
0
+k2
)
nπ
 nπx   mπy 
cos

 sin 
a
 a   b 
1.2 – Détermination des ondes T.E.
On cherche la H z ( x, y ) . On tient un raisonnement analogue et on obtient :
 nπx   mπy 
H z ( x, y ) = H 0 cos

 cos
 a   b 
− jk nπ  nπx   mπy 
H x ( x, y ) = H 0 2
sin 

 cos
γ0 + k 2 a
 a   b 
H y ( x, y ) = H 0
E z ( x, y ) = 0
− jk mπ
 nπx   mπy 
cos


 sin 
γ 02 + k 2 b
 a   b 
E x ( x, y ) = H 0
− jωµ 0 mπ
 nπx   mπy 
cos

 sin
2
2
γ0 + k b
 a   b 
E y ( x, y ) = H 0
jωµ 0 nπ  nπx   mπy 
sin 

 cos
γ 02 + k 2 a
 a   b 
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"
2 – LES MODES D'ONDES
A chaque choix des deux entiers n et m correspondra un type d'onde particulier TM et TE
appelé mode.
On aura ainsi dans un guide rectangulaire des ondes de mode TEnm et TMnm.
Les cartes de champ deviennent de plus en plus compliquées au fur et à mesure que les
indices n et m augmentent. La 1ère figure montre pour ces ondes de base TE11 et TM11 la
disposition des lignes de forces du champ électrique et du champ magnétique. Le mode le plus
simple et le plus fréquemment employé est le mode TE01. On obtient les composantes du champ
de ce mode en faisant n =0 et m = 1 dans les expressions, ce qui donne (2ème figure) :
E z ( x, y ) = 0
""
E x ( x, y ) = H 0
E y ( x, y ) = 0
− jωµ 0 π
 πy 
sin  
2
2
y0 + k b  b 
 πy 
H z ( x, y ) = H 0 cos 
 b 
H x ( x, y ) = 0
− jk π
πy
H y ( x, y ) = H 0 2
sin
2
y0 + k b
b
Figure : 5
Champ E
Champ H
Mode TM 11
Mode TE 11
Champ H
Il ne peut pas exister de mode TM01. En effet si on fait n =0 et m = 1 dans l'expression de
Ez ( x, y ) on trouve Ez ( x, y ) = 0 et par suite puisque l'on a aussi H z ( x, y ) = 0 les formules donnent
les valeurs nulles pour toutes les composantes transversales du champ.
Figure : 6
Champ E
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3 – FACTEUR DE PROPAGATION k
ET FREQUENCE DE COUPURE
fC
D'après le paragraphe 1.1 : K 1 + K 2 = γ 02 + k 2 avec K 1 = −
n2π2
m2π2
,
K
=
−
2
a2
b2
et
ω2
(si le guide est rempli d'air sec).
C2
Le facteur de propagation k défini au début du chapitre vaut donc :
γ 0 = −ω 2 µ 0 ε 0 = −
ω  n π
m π
k = ±  2 −  2 + 2
b
 a
C
2
2
2
2
2
1
2

 (18)

- Si λ est la longueur d'onde d'une onde T.E.M. de fréquence f dans l'espace libre :
1
2
 (19)


2π
- Si λ < λ C alors k est réel et la longueur d'onde du guide = λ g =
on a bien une onde
k
progressive S = ae j (ωt − kz ) avec k > 0 et avec une longueur d'onde le long du guide λ g telle que
ω 2 4π 2
= 2 et si on écrit :
C2
λ
:
1
1
1
= 2 − 2
2
λg λ
λC
2
2
 1
1
1
 n  m
  +   = 2 alors k = ±2π 2 − 2
λC
 2a   2b 
 λ λC
(20)
- Si λ > λ C alors k est imaginaire et l'onde ne peut plus être progressive dans le guide,
c'est donc la coupure de la propagation d'où le nom de fréquence de coupure pour la valeur
limite de la fréquence de l'O.T.E.M. de départ issue de la fréquence f C =
c
λC
( λ C = longueur
d'onde de coupure).
N.B. : Au paragraphe I.2.d nous avons déjà suggéré une telle limitation ( λ < 2a cas de m = 0
et n = 1 )
4 – DISPERSION DES GUIDES D'ONDES – VITESSE DE GROUPE ET DE PHASE
Dispersion signifie longueurs d'onde différentes ou variables dans nos études de
propagation. De fait les longueurs d'ondes issues de la source peuvent être variables et l'onde
résultante se propageant le long du guide forme un groupe d'ondes comme nous l'avons
signalé au début du chapitre).
Et d'après les définitions :
ω
2π
, λg =
k
k
d (2πf )
VG =
=
 2π 
d  
 λg 
Vϕ =
et V g =
df
 1
d
λ
 g
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



dω
dk
or
1
1
1
1
1
1
= 2 − 2 → 2 = 2 + 2
2
λg λ
λC
λ
λg λC
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1
c
d 
λg
λ
λ =c
d'où VG =
=c
= VG
1
λ
 1 
g
 1
1  2
d 

λ 
+
 g
 λ 2 λ2 
C 
 g
2
λT
λ
c
c2
soit : c
=c
=
=
λg
λ g T 2π kT Vϕ
2
d'où VG .Vϕ = c (21)
Remarque
: La vitesse de propagation de l'énergie (ou de l'amplitude du groupe)
VG ≤ c , donc Vϕ ≥ c . Cette dernière inégalité n'est pas invraisemblable car vitesse de phase
est une expression qui ne représente pas la vitesse de déplacement d'un être concret (comme
la matière ou l'énergie).
5 – L'EVALUATION PRATIQUE DU COEFFICIENT D'AFFAIBLISSEMENT (OU
D'ATTENUATION) α
D'après la relation donnant l'expression de α (paragraphe IV.2), dans la pratique, il nous
faut évaluer les grandeurs Z d , R P ,
∫H
e
2
Tg 0
dl et
∫∫
S
2
H Tr dS pour connaître α . Les deux
intégrales dépendent du mode d'onde (entier n et m), Z d dépend de la nature de l'onde (T.E. ou
T.M.), R P ne dépend que du métal de la paroi et de la fréquence ; par définition :
1
Zd =
ET
HT
 E x2 + E y2  2
 .
= 2
H +H2 
y 
 x
D'après les relations encadrées paragraphe V.1 pour les ondes T.M.
ET
k
=
= Z d (T .M )
H T ωε 0
2π
2π 1
or k =
et ω = 2π C =
λ λ µ ε
λg
0 0
Z d (T .M ) =
λ
Z 0 (22)
λg
De même on montre que Z d (T .E ) =
λg
λ
Z0 .
1
 ωµ 0  2
La résistance superficielle R P par définition : R P = 

 2σ 
1
 ω2
  = π2 f
2
1
1
2
1
 πµ 0 f  2
et R P = 
 .
 σ 
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Le calcul complet des intégrales énergétiques donnerait pour le mode T E01


1 

1  2πε 0 c  2  
α= 3
 
σ  
2 
b



fc
f
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1
2

b  f 
 
 +
2a  f c 

1
  f 2  2
1 −  c  
  f  
1
2
(n = 0, m = 1) :




 (23)




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CHAPITRE V
PROPAGATION DES O.E.M. RAYONNEES PAR LES ANTENNES
I- INTRODUCTION
Notions de circuit fermé et ouvert
Les circuits électriques classiques (étudiés dans les années précédentes) constituent des
circuits fermés : leurs dimensions sont petites par rapport à la longueur d'onde, les éléments
constitutifs (R, L, C …) sont localisés, l'intensité du courant (ou de la tension) est le même à
chaque instant en un point "quelconque" du conducteur et le circuit n'a pas de réaction
correspondant à une perte d'énergie (donc pas de rayonnement).
Par contre les lignes électriques et les antennes sont des circuits ouverts : leurs
dimensions ne sont plus négligeables par rapport à la longueur d'onde, les éléments constitutifs
ne sont plus localisés, l'intensité et la tension mettent un certain temps à parcourir les circuits et
il y a une perte d'énergie donc un rayonnement.
Pour les lignes électriques, ce rayonnement doit être réduit au maximum car il s'agit
d'une énergie perdue. Le transport d'énergie étant le rôle des lignes. Prendre de bons isolants.
Au contraire pour les antennes, ce rayonnement doit être aussi grand que possible ; le rôle des
antennes étant de rayonner (ou de recevoir) un maximum d'énergie électromagnétique.
Nous allons dans un premier temps étudier le rayonnement électromagnétique d'un circuit
dans l'espace environnant.
II – RAYONNEMENT DU DOUBLET ELECTRIQUE
L'étude du doublet électrique ou dipôle de Hertz se fait grâce à la théorie des potentiels
retardés et l'on se place dans le cas du vide.
1-Doublet ou dipôle électrique
z
Fig. 1
M
A
+q
θ
r
i
l
r
B
r1
r
0
r2
y
Ψ
−q
m
B
x
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+ q en A , − q en B , 0 milieu de AB .
Le segment AB est un fil conducteur sans capacité traversé par un courant i qui
alimente d'ailleurs A et B en charge + et – .
En prenant la forme sinusoïdale générale, on a la relation :
q A = Qe jωt , qB = −Qe jωt , avec Q > 0 . Le courant entre A et B est alors i =
avec q = Qe jωt donc i = jωQe jωt = J 0e jϕ avec ϕ =
π
.
2
dq
= Je jωt
dt
r
Le courant i crée, en un point M distant de r du système, une induction magnétique B ,
r
tandis que les charges I&q créent en ce point un champ électrique E .
2-Calcul du potentiel vecteur
Considérons le doublet (fig. 1) placé dans le vide et dirigé suivant la direction oz , du
trièdre rectangle oxyz . Soit un point M de l'espace situé à r du centre 0 et du doublet
z = Mm ordonnée par rapport au centre du doublet.
r
Le Potentiel vecteur A , crée au point M par la circulation d'un courant i dans un
r
r µ 0 i dl
conducteur C est défini par (dans le cas du vide) : A =
.
4π ∫C r
Dans le cas du doublet considéré, le circuit est dirigé suivant oz . Il n'y aura qu'une
composante du potentiel suivant oz et, compte tenu de la propagation, le potentiel vecteur
retardé aura pour valeur au point M :
Az =
µ 0 l j ( ωt − α r )
J e
(1)
4π r
r
Potentiel scalaire voir Calcul de B .
3-Calcul de l'induction magnétique
Figure : 2
z
Soit M un point du plan
méridien yoz . Les composantes de
M
r
l'induction magnétique B en M sont :
+q
r1
θ
r
r2
l
x
0
−q
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∂Az ∂Ay
−
∂y
∂z
r
∂Ax ∂Az
B = rotA By = µH y =
−
∂z
∂x
∂Ay ∂Ax
Bz = µH z =
−
∂x
∂y
Bx = µH x =
Ψ
y
m
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r
r
Comme nous avons vu que A = Az , il en résulte que Ax = Ay = 0 et Bz = 0 .
d'autre part on a r ( x, y, z ) → r 2 = x 2 + y 2 + z 2
donc 2rdr = 2 xdx + 2 ydy + 2 zdz
avec
∂r x ∂r y ∂r z
= ;
= ;
=
∂x r ∂y r ∂z r

ω 
∂
∂r
x ∂Az
µ 1
ω  j  ωt − r  x
=−
=
Jl  2 + j e  v  × .
il vient B y = − ( Az )
∂r
∂x
r ∂r
4π  r
vr 
r
α=
En posant
ω 2π Ω
=
=
v
λ
C
By =
avec
v=
1
on a :
εµ
µ 1
α x
Jl  2 + j  e j (ωt − αr )
4π  r
r r
et comme dans le plan méridien x = 0 , on en déduit B y = 0 .
Enfin Bx = −
µ 1
j α  y j ( ωt − α r )
Jl  2 +
 e
4π  r
r r
or y = r sin θ , donc
B = Bx = −
µ
j α  j (ω t − α r )
 1
Jl sin θ 2 +
(2)
e
4π
r 
r
4-Calcul de V
Le potentiel scalaire au point M provient des charges ± q situées aux extrémités du
Q  e j (ωt − αr1 ) e j (ωt − αr2 ) 
Q
−
( f (r1 ) − f (r2 )) qui s'écrit, en prenant les

 soit V =
4πε0  r1
r2 
4πε 0
e j ( ω t − αr )
1er termes du développement de Taylor de la fonction f (r ) =
,
r
2
r2 − r1 '
(
r2 − r1 ) ''
f [r2 ] = f (r1 ) +
f (r1 ) +
f (r1 ) + .......
1!
2!
doublet : V =
comme (r2 − r1 ) = dr = l cos θ est un infiniment petit devant r , on négligera les termes
infiniment petit du second ordre et d'ordre supérieur.
f (r2 ) − f (r1 ) ≈
d'où
V =
r2 − r1 '
∂
f (r1 ) = [ f (r )]dr
1
∂r
Ql cos θ  1 jα  j (ωt − αr )
 +
e
4πε 0  r 2
r 
comme cos θ =
Qlz  1 jα  j (ωt − αr )
z
, il vient V =
(3)
 +
e
4πε0 r  r 2
r 
r
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r
5-Calcul du champ électrique E
Nous avons vu que :
r
r
∂A
E = − gradV −
∂t
avec Ax = Ay = 0
x ∂V
∂V
∂V ∂r
=−
=−
∂x
∂r ∂x
r ∂r
r
∂V
∂V ∂r
y ∂V
=−
=−
E Ey = −
∂y
∂r ∂y
r ∂r
∂V
∂V ∂r
z ∂V
Ez = −
=−
=−
∂z
∂r ∂z
r ∂r
Ex = −
Ez = −
∂V ∂Az
−
∂z
∂t
Dans le plan méridien, on a x = 0 , donc E
x
= 0 . (4)
5.1-Calcul de E y
Nous avons à partir de E y = −
y ∂V
r ∂r
Ql y ∂  1 jα  j (ωt − αr ) 
z
 +
e

4πε 0 r ∂r  r 3 r 2 

2
Ql y j (ωt − αr )  3 3 jα α 
=
ze
 4+ 3 − 2
4πε 0 r
r
r 
r
Ey = −
soit E y =
 3 3 jα α 2 
Ql
sin θ cos θ 2 + 2 −  e j (ωt − αr ) (5)
4πε 0
r
r 
r
5.2-Calcul de E z
On remarque que : Az =
µ 0 Jl
jωe j (ωt − αr ) et comme J = jωQ
4π r
∂Az
µ ω2 l
= − 0 Q e j ( ωt − α r )
∂t
4π
r
µ 0ω2 = µ 0C 2α 2 =
donc
α 2µ 0 α 2
=
;
ε 0 r0
ε0
α=
2π Ω
= = ω ε 0µ 0
λ
C
∂Az
α 2 Ql j (ωt − αr )
=−
e
∂t
4πε 0 r
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Pour calculer
∂V
∂  Ql  1 jα  j (ωt − αr )
= 
z +
 e
∂z ∂z  4πε 0  r 3 r 2 
Posons V =
Ql
 1 jα 
zf (r ) avec f (r ) =  3 + 2 e j (ωt − αr )
4πε 0
r 
r
il vient alors
∂V
Ql 
∂f (r ) 
=
f (r ) + z

∂z 4πε 0 
∂z 
=
Ql 
∂f (r ) ∂r 
f (r ) + z

4πε 0 
∂r ∂z 
Ql 
z 2 ∂f (r ) 
=
 f (r ) +

4πε 0 
r ∂r 
Ql  1
j α  z 2  3 3 j α α 2   j ( ωt − α r )
=
 +  − − 3 + 2  e
 +
4πε 0  r 3 r 2  r  r 4
r
r 
Ql j (ωt − αt )  1 jα α 2 z 2  3 3 jα α 2 

et E z = −
e
− 2  3 + 2 −
 3+ 2 −
r
r
r
r
r
r
r
4πε 0



et pour cos =
z
il vient
r
(
)
Ez = −

Ql j (ωt − αt ) 1 − 3 cos 2 θ
1 − 3 cos 2 θ α 2
e
+
j
α
−
1 − cos 2 θ 

3
2
4πε 0
r
r
r


=−

 − 2 + 3 sin 2 θ  α 2
Ql j (ωt − αt )  2 + 3 sin 2 θ

 −
e
j
sin 2 θ
−
+
α

3
2
4πε 0
r
r

 r


soit enfin
(
)
 2 − 3 sin 2 θ  α 2 sin 2 
Ql j (ω t − α t )  2 − 3 sin 2 θ
 +
+ j α 
Ez = −
e

 (6)
3
2
4 πε 0
r
r
r 



Le champ électrique est donc dans le plan méridien passant par le point M .
6- Intensité des champs au voisinage du doublet
λ
λ
ou r <<
avec cependant r plus grand que la longueur
2π
6
1
1
1
l du doublet, les termes 2 et 3 sont beaucoup grand que et l'on écrit :
r
r
r
Lorsque αr << 1 , soit r <<
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µ 0 sin θ j (ωt − αr )
Jl 2 e
4π
r
Ql 3 sin θ cos θ j (ωt − αr )
Ey =
e
4πε 0
r3
Ql 2 − 3 sin 2 θ j (ωt − αr )
Ez =
e
4πε 0
r3
J&
J = jωQ ⇒ avec Q =
.
jω
Bx = −
L'amplitude au point M est E =
d'où Eθ =
2
E y + Ez
2
Ql
=
4πε 0
4 − 3 sin 2 θ
r3
Jl
4 − 3 sin 2 θe j (ωt − αr ) ; soit encore Eθ = E e j (ωt − αr ) .
jω4πε 0 r 3
Les expressions de B et E soit réel
E = a sin (ωt − αr )
B = b cos(ωt − αr )
r
r
Ce qui montre que B et E au point M sont déphasés de
Le
vecteur
de
Poynting,
r r r
Ρ= E∧H
a
π
dans le temps.
2
pour
valeur
instantanée
r
ab
sin (ωt − αr ). cos(ωt − αr ) , dont la valeur moyenne au cours d'une période est nulle. P = 0 .
µ0
Donc la puissance totale rayonnée à travers une sphère de rayon r petit, centrée sur un
r
doublet, est nulle ∫ P ds
= 0 .
S ( sphère
)
L'énergie rayonnée par le champ électromagnétique est sensiblement nulle dans cette
région de l'espace. On est dans une zone "réactive" appelée zone de Fresnel.
7-Intensité des champs aux grandes distances
Si αr >> 1 , soit r >>
λ
1
, les termes
deviennent alors prépondérantes dans les
2π
r
expressions des champs :
µ 0 Jl jα sin θ j (ωt − αr )
e
4π
r
Jl cos θ
α 2 j (ωt − αr )
Ey = −
sin θ e
j 4πε 0ω
r
Jl
α2
Ez =
sin 2 θ e j (ωt − αr )
j 4πε 0ω
r
Bx = −
On remarque que
Ey
Ez
=−
1
.
tgθ
r
Le champ électromagnétique E(θ ) au point M est ⊥ au rayon vecteur OM .
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r
r
Les champs E et B sont donc ⊥ et ⊥ à la direction de propagation.
L'amplitude du champ électromagnétique en M vaut E(θ ) =
r
E (θ)
z
r
Ey
-q
Jl α 2
sin θ
4πε 0ω r
r
Ez
θ
r
B
⊗
M
θ
y
+q
Figure : 3
α=
2π Ω
= = ω ε 0µ 0
λ
C
α2
ε 0 µ 0 ω2 µ 0 ω µ 0 2 π
1 µ0
=
=
=
=
Sachant que : 4πωε 0
4πωε 0
4π
4 π λ ε 0 µ 0 2λ ε 0
Bx = µ 0 H x
Les expressions se mettent sous la forme suivante :
1 j
Jl sin θe j (ωt − αr )
2 λr
1 j µ0
=−
Jl sin θe j (ωt − αr )
2 λr ε 0
Hx = −
E(θ )
Comme i = Je jωt et que
µ0
≈ 120π dans l'air, on peut écrire
ε0
H x (θ ) = −
j
il sin θe − jαr (7)
2λ r
j 60πi
E (θ ) = −
l sin θe − jαr (8)
λr
Ces expressions constituent les formules de base de la théorie des aériens.
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- 70 -
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On utilise le plus souvent l'expression du champ électrique dont l'amplitude à grande
J (A )
 l 
π   sin θ
distance s'écrit sous la forme E (θ ) (V ) = 60
m
r (m )  λ 
Soit E (θ ) = 60
J
F (θ) (9)
r
La fonction F (θ) = π sin θ (10) s'appelle fonction caractéristique de rayonnement du
l
λ
doublet.
III – THEORIE SIMPLIFIEE DE L'ANTENNE : GENERALITES ET DEFINITIONS
1 – INTRODUCTION
Tout système matériel, siège de perturbations électromagnétiques, rayonne de l'énergie
et constitue un aérien d'émission ou "antenne". Un fil conducteur parcouru par des courants de
haute fréquence s'appelle une antenne filaire.
L'antenne constitue le dispositif de transition entre le milieu à propagation guidée et
l'espace à propagation libre.
La structure de l'aérien, ainsi que la distribution des perturbations dont il est le siège
r r
(amplitude de I& , E , H ou de phase en différents points), interviennent dans la répartitions du
rayonnement dans l'espace libre, répartition représentée par le "diagramme de rayonnement".
Le calcul du champ rayonné par une antenne filaire nécessite la connaissance de la loi de
la répartition du courant le long de cette antenne.
La principale difficulté réside dans la détermination de cette loi de répartition.
On adopte l'hypothèse de la répartition sinusoïdale des intensités.
2 – HAUTEUR EFFECTIVE D'UNE ANTENNE D'EMISSION
2.1 – Définition
On appelle hauteur effective heff d'une antenne, la hauteur qu'aurait un doublet isolé dans
l'espace parcouru par le courant de référence de l'antenne I M ou I 0 pour produire un champ
égal à celui de l'antenne dans la direction θ =
π
.
2
π  60π &

I M .heff , (11)
=
2  λr

si l'on prend I M comme courant de référence.
On a donc E  θ =
2.2 – Calcul de heff pour un fil isolé de longueur l
Le champ rayonné par le fil dans la direction θ =
π
est la somme des champs
2
élémentaires rayonnés par tous les doublets dans cette même direction :
dE π  =
 
2
60π &
I C dz ;
λr
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avec le courant au point C de l'ordonnée z :
I C = I M sin α(l − z )
60 π
il vient : E  π  =


λr
 2 
soit E π 
 
2
∫
l
0
I C dz
IM
l
60π 1 − cos αl
IM
=
(12)
λr
α
Fig. 4
L'identification des relations (11) et (12) donne
heff =
IM
1 − cos αl
= hM
α
heff
IC
C
Doublet
équivalent
Antenne
Les aires hachurées des fig. 4 ci-dessus représentent respectivement
S =
∫
l
0
I C dz
et S ' = I M .heff
on voit que ces deux aires doivent êtres égales
S = S' .
Remarques :
1) Dans le cas où le courant change de signe le long
de l'antenne au passage par un nœud, les surfaces
introduites dans l'égalité précédente doivent être
affectées d'un signe. On écrira S = S1 − S 2 .
S1
+
2) On aurait pu définir une hauteur effective d'antenne
à partir du courant de référence à la base, c'est-àdire du courant d'alimentation I0, et comme
IC = I0
sin α(l − z )
sin αz
on aurait trouvé heff =
Figure : 5
-
S2
1 − cos αl
= h0 .
α sin αl
Si l est petit, on peut assimiler la courbe de répartition du courant à une droite.
Figure: 6
l
h0 =
I0
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l
2
I0
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IV – FONCTION CARACTERISTIQUE ET DIAGRAMME DE RAYONNEMENT
1 – CAS DU DOUBLET
Nous avons vu que le champ rayonné à grande distance par le doublet avait pour
amplitude E (θ ) =
J
60π
J  πl

Jl sin θ = 60  sin θ  que l'on écrit E (θ ) = 60 F (θ) , où F (θ) est
r
λr
rλ

appelé fonction caractéristique du rayonnement du doublet.
La représentation graphique de la courbe polaire OM = ϕ = F (θ ) dans un plan méridien
s'appelle le diagramme de rayonnement du Doublet dans le plan considéré. Si oz est la
direction du Doublet, son diagramme de rayonnement est constitué de deux cercles de centre C
et C' tangent en o, centre du Doublet (voir fig. 7).
z
M(E,H)
r
H
A
r
E
θ
o
y
c
o
c’
B
Figure : 7
Dans l'espace, le diagramme de rayonnement est la surface engendrée par la rotation des
deux cercles autour oz puisque le rayonnement est de révolution : c'est un tore. Dans le plan
horizontal xoy , le diagramme est circulaire. On dit qu'il est "omnidirectionel".
z
2 – GENERALISATION
Dans le cas général, le champ rayonné à grande
distance par une antenne est fonction des deux angles
θ et Ψ et peut se mettre sous la forme
E (θ, Ψ ) = 60
J
F (θ, Ψ ) ,
r
où
F (θ, Ψ )
θ
s'appelle
fonction caractéristique du rayonnement.
Le diagramme de rayonnement dans l'espace est
une surface représentant la fonction ϕ = F (θ, Ψ ) .
0
Ψ
y
p
Elle caractérise la directivité du rayonnement dans les
différentes directions de l'espace.
x
Figure : 8
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V – RESISTANCE DE RAYONNEMENT
1 – DEFINITION
Soit Wr la puissance totale rayonnée par l'antenne et I& un courant de référence pris
arbitrairement et qui peut être le courant I&M en un ventre de courant ou le courant
d'alimentation de l'antenne. On appelle résistance de rayonnement Rr , la résistance qui,
1
2
parcourue par le courant I& , dissiperait la même puissance Wr : W r = R r I eff
= R r I&M2 .
2
2 – CAS DU DOUBLET
2.1 – Doublet isolé dans l'espace
La puissance instantanée qui traverse l'unité de surface de la sphère de grand rayon r
r r r
est égale à la valeur instantanée du flux du vecteur de Poynting défini par : P = E ∧ H .
On peut écrire l'élongation du vecteur de
Poynting : P = E.H =
E=
z
ε 2
.E , à l'instant t , avec
µ
1 µ Il
sin θ sin (ωt − αr ) ; partie réelle de
2 ε λr
r
E
M
dz=h
r
H
dz
l'expression complexe donnée précédemment,
donc
P=
µ I 2l 2 sin θ2 2
sin (ωt − αr ) ;
ε 4λ2 r 2
r
P
θ
r
0
y
sa valeur moyenne au cours d'une période
est P =
=
µ 1 I 2l 2 sin 2 θ
ε 2 4λ2 r 2
2
2
2
µ I eff l sin θ
W
ε
4 λ2 r 2
(
)
m 2 . (13)
Figure : 9
r
La puissance totale rayonnée peut être obtenue en intégrant P sur la sphère S de centre
O et rayon r.
On utilisera la symétrie du rayonnement par rapport à oz . On prendra comme élément
différentiel, l'élément d'aire dS de la zone sphérique de hauteur h :
2
2
π
µ I eff l
2 π r 2 ∫ sin 3 θ d θ
2 2
0
ε 4λ r
dS = 2πrh = 2πr 2 sin θdθ , donc W =
avec
∫
π
0
sin θ d θ =
d'où W =
3
∫
π
0
(
sin θ − cos
2
)
2 2
µ 2 π I eff l
, soit dans l'air, avec
ε 3λ2
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π

cos3 θ 
4

 = + ,
θ d θ =  − cos θ +
3 0
3

- 74 -
l2
µ0
= 120π W = 80π2 2 I eff2 (14)
λ
ε0
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C'est la même puissance qui serait dissipée par une résistance pure de valeur Rr
parcourue par le même courant, avec Rr =
Rr = 80π2
µ 2π l 2
soit pour le doublet isolé dans l'air,
ε 3 λ2
l2
. (15)
λ2
2.2 – Doublet vertical avec base au sol
Nous supposons le sol parfaitement conducteur. Le champ rayonné par le doublet de
hauteur h en présence du sol est le même que celui qui serait rayonné par le doublet et son
image électrique par rapport au plan (fig. 10).
(∆)
h
Doublet
réel
θ
Figure : 10
Doublet
image
h
Le rayonnement est donc le même que celui du doublet de hauteur 2h, mais seulement
dans le demi-espace supérieur, situé au dessus du plan conducteur.
Il en résulte que le champ au-dessus du sol est doublé : ES (θ) =
120π &
Il sin θ .
λr
Mais la puissance l'est aussi, car l'intégration du flux rayonné ne doit être faite que dans
l'espace situé au-dessus du plan conducteur : W S =
π
2
0
∫
1
(2 l ) I 2 , soit
80 π 2
eff
2
λ2
2
P .dS =
2
l2 2
2 l
I
et
R
=
160
π
.
eff
r
λ2
λ2
WS = 160π 2
La résistance de rayonnement du doublet en présence du sol est égale au double de la
résistance de rayonnement du doublet isolé.
3 – RELATION ENTRE LA RESISTANCE DE RAYONNEMENT ET LA FONCTION
CARACTERISTIQUE
Connaissant le champ à grande distance, E (θ, Ψ ) = 60
I
F (θ, Ψ ) , on peut calculer la
r
1
E eff2 (θ , Ψ )dS , on peut prendre comme
∫
S
120 π
aire dS , l'aire comprise entre θ et θ + dθ et Ψ et Ψ + dΨ (fig. 8) : dS = dΨr sin θrdθ ;
30 I eff2
π
2π
Wr =
F 2 (θ , Ψ )sin θ d θ d Ψ . (17)
Il vient
∫
∫
0
0
π
puissance totale rayonnée : W r =
En
Rr =
30
π
se
π
∫ ∫
0
2π
0
reportant
à
∫ P dS
S
la
=
définition
de
la
résistance Rr ,
on
trouve
F 2 (θ , Ψ )sin θ d θ d Ψ .
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Dans le cas particulier où le rayonnement admet l'axe oz comme axe de révolution, le
champ électrique à grande distance est de la forme E (θ ) = 60
1
Wr =
120 π
d'où
d'où R r = 60
∫
π
0
∫
0
∫
= 60 I eff2
π
π
0
F
2
I
F (θ ) ,
r
2
 60 I&eff

F (θ ) 2 π r 2 sin θ d θ

 r

F
2
(θ )sin
(θ )sin
θ d θ = R r I eff2
θ d θ (18)
Remarque : Si l'antenne est verticale avec la base au sol, le rayonnement n'a lieu que dans le
demi-espace libre et l'intégrale doit être prise entre 0 et
π
. D'autre part la fonction
2
caractéristique n'est pas la même et l'on peut prévoir dans le cas général la
modification de la résistance de rayonnement.
4 – DETERMINATION DE LA RESISTANCE DE RAYONNEMENT
4.1 – Premier procédé de calcul de Rr
On essaie de calculer l'intégrale précédente. Les calculs sont compliqués et font
apparaître des fonctions sinus intégral et cosinus intégral définies par :
si x =
∫
x
0
sin t
dt
t
et
Cix
= −
∫
∞
x
cos t
dt .
t
On effectue le calcul en utilisant des tables des fonctions précédentes. Quelquefois,
apparaît une 3ème fonction appelée intégrale modifiée et définie par :
Cimx
=
∫
1 − cos t
dt .
0
t
x
4.2 – Deuxième procédé (approche) – Procédé graphique
On trace la courbe y = F 2 (θ )sin θ en fonction
de θ , exprimé en radian, avec 0 < θ < π pour
l'antenne isolé.
y = F 2 (θ )sin θ
0<θ<
Fig. 11
π
pour l'antenne avec la base au sol.
2
Soit S l'aire hachurée fig. 6. La résistance de
rayonnement est alors donnée par l'expression
Rr = 60S (en ohms).
O
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π
θ
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4.3 – Troisième procédé (approché) – Procédé graphique
On trace en coordonnée polaire la courbe : ϕ = F (θ ) sin θ .
L'aire balayée par le rayon ϕ est S
'
=
1
2
∫
π
0
ϕ 2dθ =
1
2
∫
π
0
F
2
(θ )sin
θdθ .
La résistance de rayonnement est alors donnée par l'expression : Rr = 120S ' (en Ohms).
Le tracé de la courbe précédente est facilité si l'on possède au préalable un graphique de
réseau de courbes ϕ = A sin θ correspondant à différentes valeurs de A .
Le point de la courbe ϕ = F (θ)sin θ se trouve à l'intersection de la droite
x
= tgθ et de la
y
courbe A sin θ du réseau correspondant à A = F (θ ) .
VI – GAIN D'UNE ANTENNE
1 – INTENSITE
DE RAYONNEMENT
On appelle intensité de rayonnement U (θ, Ψ )
d'une antenne dans une direction donnée ∆(θ, Ψ ) , la
puissance rayonnée par l'unité d'angle solide dans
cette direction.
U (θ, Ψ ) =
dW
(en watt par stéradian)
dΩ
or on peut écrire : dW = P .dS et dΩ =
O
dS
r2
dΩ
r
Figure : 12
il vient alors : U (θ , Ψ
)=
dS
. r 2 = P . r 2 (19)
dS
1
Mais on sait que P est proportionnel 2 , et alors on note que l'intensité de rayonnement
r
est indépendante de r . C'est une grandeur caractéristique de l'antenne dans la direction
∆(θ, Ψ ) , ∀ la distance r considérée.
P
2 – GAIN ABSOLU D'UNE ANTENNE
Le gain absolu est défini par rapport à un élément de référence qui est la source
isotropique, source rayonnant un champ identique dans toutes les directions et possédant donc
un digramme de rayonnement sphérique.
Soit une antenne A , alimenté par une puissance W ; dans la direction ∆(θ, Ψ ) , son
intensité de rayonnement s'écrit : U = P .r 2 .
Considérons alors une source isotropique, alimentée par la même puissance W.
Par définition, W = 4πr 2 P0 et elle sera caractérisée par une intensité de rayonnement.
U 0 = P0 .r 2 =
W
(20)
4π
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On appelle alors "gain absolu G0 " de l'antenne A dans la direction ∆(θ, Ψ ) , le rapport
de ces deux intensités de rayonnement : G0 =
U
P
=
.
U 0 P0
Soit Eeff (θ, Ψ ) la valeur efficace du champ rayonné, à la distance r , par l'antenne A ,
r
r
r
dans la direction considérée. Le vecteur de Poynting P = E ∧ H , dans cette direction et à cette
Eeff2
1
distance, a pour valeur moyenne P = E.H = Eeff .H eff =
.
2
120π
Le gain absolu peut alors s'écrire sous la forme G0 =
d'où G 0 =
E
2
eff
(θ , Ψ )
30 W
Eeff2
120π
r2
4π
W
.r 2 . (21)
3 – GAIN EN CHAMP D'UNE ANTENNE
On appelle "gain en champ" dans une direction ∆(θ, Ψ ) donnée, le rapport des valeurs
efficaces des champs rayonnés, dans cette direction et à la même distance r , par l'antenne A
considérée et par une antenne de référence, ces 2 antennes étant alimentés par la même
puissance W .
gC =
Eeff
EReff
Pour l'antenne de référence, on peut choisir, suivant le cas :
- le doublet élémentaire dont le diagramme de rayonnement est composé de 2 cercles
tangents dans le plan méridien ;
- l'antenne filaire demi-onde lorsque l'on cherche le gain d'un réseau ou rideau
d'antennes, directif et composé d'assemblages de fils demi-onde ;
- la source isotropique.
Dans le cas de la source isotropique, il vient : g C =
P=
Eeff2
120π
et P0 =
2
EOeff
P
1
2
Eeff
EOeff
mais nous avons vu que
ce qui entraîne g C =   = (G0 )2 .
120π
 P0 
1
On peut alors introduire les valeurs en décibels de ces gains et définir :
-
-
 Eeff
E
 0eff
P
pour le gain absolu : G0 (dB ) = 10 Log   .
 P0 
pour le gain en champ : GC (dB ) = 20 Log 

 , (22)


(23)
Dans ces conditions, la valeur en décibel du gain absolu est égal à la valeur en décibel du
gain en champ, lorsque l'antenne de référence est la source isotropique : G0 (dB ) = GC (dB ) .
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4 – GAIN EN PUISSANCE D'UNE ANTENNE
On appelle "gain en puissance" dans une direction donnée le rapport de la puissance à
fournir à l'antenne de référence pour produire un champ donné dans la direction considérée, à
la puissance à fournir à l'antenne étudié pour produire le même champ dans la même direction
et à la même distance : g P =
WR
.
W
Comme précédemment, il y a un choix à effectuer pour l'antenne de référence.
A l'instar des définitions précédentes, la quantité de référence se trouve au numérateur,
afin de conserver au gain une valeur supérieure à l'unité.
Physiquement, on conçoit effectivement qu'il faudra fournir plus de puissance à la source
isotropique pour produire le même champ dans la même direction et à la même distance.
Si l'o choisit encore l'antenne isotropique comme élément de référence, il vient :
gP =
WR
.
W
Or l'antenne A alimenté par W rayonne, à la distance r dans la direction ∆(θ, Ψ ) , une
puissance P =
Eeff2
120π
.
Pour que la source isotropique rayonne, dans les mêmes conditions, la même puissance
elle
doit
être
alimenté
par
W0 = 4πr 0 P0 = 4πr 2 P , il vient alors
P0 = P ,
gP =
4 π r 2 E eff2
4 πr 2 P
=
W
120 π W
soit g P =
Eeff2 r 2
30W
.
Il ressort que le gain en puissance par rapport à la source isotropique est égal au gain
absolu.
En décibel, les trois gains que l'on vient de définir sont identiques à condition de prendre
la source isotropique en référence.
Remarque : Lorsqu'on ne précise pas la direction dans laquelle on désire connaître le gain
d'une antenne, on prendra la direction dans laquelle le champ rayonné est
maximal. C'est généralement la direction d'utilisation.
5 – EXPRESSION GENERALE DU GAIN
Nous venons de déterminer que G0 =
Eeff2 r 2
30W
.
Nous pouvons alors expliciter le champ et la puissance W par Eeff = 60
W = Rr .I eff2 , il vient alors G0 = 120
F 2 (θ, Ψ )
.
Rr
Or nous avons montré que R r =
G
0
=
∫ ∫
0
2π
0
F
π
∫ ∫
0
2π
0
(θ , Ψ )
2
(θ , Ψ )sin θ d θ d Ψ
4πF
π
30
π
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F
2
(θ , Ψ )sin
I eff
r
F (θ, Ψ ) et
θ d θ d Ψ , il vient alors
2
- 79 -
. (24)
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Cas particulier
Si le rayonnement est de révolution autour de l'axe oz , le gain s'écrit :
G0 =
F (θ )sinθ
2
2F
∫
π
0
F
2
2
(θ )
(θ )sin
θdθ
On peut alors calculer G0 par un
procédé graphique. On trace la courbe
F 2 (θ)sin θ en fonction de θ et l'on
mesure l'aire S par planimétrie d'où
Fig. 13
S
θ
O
2 F 2 (θ )
G0 =
.
S
6 – EXEMPLE
Gain du doublet par rapport à la source isotropique dans la direction θ =
Pour le double, on a : E (θ ) =
60π &
I .l sin θ ,
λr
π
.
2
π
Eeff2  .r 2
l
 π  60π
π
 2  = 3 = 1,5 .
donc Eeff   =
I eff l et W = 80π2 2 I eff2 , d'où G0   =
λ
30W
2
 2  λr
2
2
VII – IMPEDANCE D'ENTREE D'UNE ANTENNE
1 – DEFINITION
Soit A et B les deux bornes d'entrée d'un
aérien filaire, l'une des bornes pouvant être la
masse. Soit v0 la différence de potentiel entre
A
v0
A et B , i0 le courant d'alimentation.
Par définition, on appelle impédance
d'entrée de l'antenne le rapport :
B
Fig. 14
Z0 =
v0
= R 0 + jX
i0
0
(25)
Pour l'utilisation, la connaissance de cette caractéristique est primordiale, car l'antenne
doit être considérée comme un des éléments de la chaîne d'émission. A ce titre, il faut donc
l'adapter avec l'élément précédent, afin d'assurer la meilleure transmission de la puissance.
On appellera "impédance propre" d'entrée de l'antenne, la valeur de Z 0 lorsque l'aérien
sera isolé de l'influence de tout autre conducteur. L'antenne filaire étant un circuit ouvert, son
impédance d'entrée varie beaucoup sous l'influence de conducteurs environnants.
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La puissance fournie à l'antenne s'écrit : W0 = Wa + jWa'
1
R0 I 02 : puissance active fournie
2
1
Wa' = X 0 I 02 : échanges réactifs entre la source (ou feeder) et l'antenne.
2
Wa =
Avec
La puissance active fournie à l'antenne se partage entre :
-
la puissance rayonnée
-
la puissance dissipée
1
Rr I 02 ,
2
1
WP = RP I 02
2
Wr =
où RP est définie comme la résistance de perte de l'antenne. Il vient alors R0 = Rr + RP .
Le rendement de l'antenne peut s'écrire ainsi : η =
Wr
Rr
=
.
Wa Rr + RP
Il faut donc choisir des antennes pour lesquelles Rr >> R p . Dans ces conditions, le calcul
de Rr donne une bonne approximation de la valeur de la résistance d'entrée R0 ≈ Rr .
La puissance réactive s'annule lorsque X 0 = 0 ; on dit alors que l'antenne est accordée
ou résonnante.
X0
l=
O
λ
4
Q
P
R0
l=
l << λ
λ
2
L'impédance d'entrée Z 0 est
donc une grandeur bien définie,
accessible à l'expérience. La courbe
expérimentale
représentant
les
variations de l'impédance d'une
antenne simple avec base au sol, en
fonction de la fréquence ou de la
longueur d'onde est représenté. (fig.
18)
Figure : 15
Pour les fréquences faibles (grandes longueurs d'ondes), l'impédance d'entrée est
capacitive. L'impédance devient réelle pour la fréquence correspondant à un point tel que l ≈
λ
4
: X 0 = 0 et l'antenne est accordée. La longueur d'onde correspondante est appelée longueur
d'onde de résonance.
La résistance d'entrée est R0 ≈ Rr ≈ 36,6 ohms.
L'antenne est dite "quart d'onde".
En fait, pour la valeur de la longueur d'onde telle que l =
trouve Z 0 = (36 , 6 + j 21 , 25 )Ω .
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- 81 -
λ
exactement (fig. 19), on
4
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L'impédance
d'entrée présente
une
réactance de Self. Si l'on continue à diminuer la
longueur d'onde jusqu'au point Q voisin de
l=
λ
, l'impédance d'entrée devient très grande
2
Fig. 16
(plusieurs milliers d'ohms). L'antenne est à l’antirésonance.
I M = I0
Z0
IM
IM
Fig. 17
Z0
En présence du sol
l=
isolé dans l'espace
λ
2
l=
Anti-résonance
Z 0 : plusieurs milliers
λ
, alimenté au centre
2
Antenne symétrique dans les conditions
usuelles d'alimentation
Z 0 = (73 , 2 + j 42 , 5 )Ω
Remarques :
On constate que l'impédance d'entrée de l'antenne
double de celle de l'antenne
λ
avec base au sol.
4
λ
, isolé dans l'espace, est égale au
2
Ce résultat peut se généralisé pour une antenne de hauteur quelconque 2l , isolé dans
l'espace et alimenté au centre. Son impédance d'entrée se déduit de celle de l'antenne de
hauteur l avec base au sol et alimentée à la base, par la relation Z i (2 l ) = 2 Z 0 (l ) .
Le diagramme expérimental d'impédance d'entrée de l'antenne filaire ressemble au
diagramme d'impédance d'entrée d'une ligne ouverte avec perte et suggère l'idée de rechercher
une ligne ouverte avec perte équivalente.
Si cette ligne existe, elle présente une impédance d'entrée Z 0 = Z C Coth γ l soit
Z 0 = Z C Coth
(β
+ j α )l .
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2 – CALCUL DE L'IMPEDANCE D'ENTREE PAR LA METHODE DE LA LIGNE EQUIVALENTE
AVEC PERTES
SIEGEL et LABUS ont développé un calcul en utilisant les 2 hypothèses suivants :
- Ils assimilent la puissance rayonnée par l'antenne à la puissance dissipée par effet
Joule dans la ligne équivalente, ce qui nécessite le calcul du coefficient
d'affaiblissement linéique β .
- Ils remplacent l'impédance caractéristique variable de l'antenne par une impédance
caractéristique moyenne Z C .
Le problème revient donc à déterminer les caractéristiques β, α, Z C de la ligne amortie
équivalente.
2.1 – Calcul de la constante de longueur d'onde α
On peut prendre en première approximation, α =
2π
. (26)
λ
2.2 – Calcul de l'affaiblissement linéique β
On commence par déterminer la résistance linéique R1 , en assimilant la puissance
rayonnée par l'antenne réelle à la puissance dissipée par effet Joule dans la ligne avec perte
équivalente.
En supposant encore la répartition sinusoïdale du courant (ligne avec faibles pertes),
iz = I&M sin α(l − z )
on peut écrire la puissance rayonnée : Wr =
1 &2
Rr I M .
2
Rr étant la résistance de rayonnement par rapport au courant I&M de référence en un
ventre de courant. La puissance moyenne dissipée dans la ligne amortie équivalente s'écrirait
:
1 l
R 1 I& M2 sin 2 α (l − z )dz
2 ∫0
R I& 2 l
= 1 M ∫ (1 − cos 2 α (l − z ))dz
0
4
2
R I& 
sin 2 α l 
= 1 N l −

4 
2α 
nλ
soit, pour une ligne de longueur l =
, avec n =1, 2, 3, …., pair ou impaire,
4
R I&2
Wd = 1 M l .
4
W
d
=
En écrivant Wd = Wr , on trouve R1 =
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2 Rr
.
l
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La valeur trouvée correspond à celle d'une ligne avec faibles pertes pour laquelle
β≠
Rr
R1
d'où β =
.
l .R C
2 RC
2.3 – Détermination de Z C
Les formules approchées des lignes à faibles pertes donnent la valeur de l'impédance


caractéristique, au 1er ordre près Z C ≈ R C  1 − j
β 
 . (27)
α
Le problème consiste donc à déterminer la valeur de RC , à partir de l'impédance
caractéristique R ( z ) en chaque point d'abscisse z de l'antenne, les auteurs définissent
l'impédance caractéristique moyenne pour toute l'antenne : R C =
1
l
∫
l
0
R ( z )dz .
Pour une antenne isolée dans l'espace, symétrique (alimentée en son centre), de hauteur
l
1
2l 

2l et de diamètre 2a , ils aboutissent à l'expression RC = 120 Log − 1 − Log  .
λ
a
2

2l
Figure : 18
2a
Dans le cas d'une antenne où a << l << λ , cette formule devient RC = 120 Log
l
.
a
2.4 – Expressions générales de R0 et X 0
A partir des expressions Z 0 = R0 + jX 0 = Z C Coth(β + jα )l , on peut déterminer les parties
réelles et imaginaires de l'impédance d'entrée :
Z0 =
=
Chβl cos αl + jShβ l sin αl
ZC
Shβl cos αl + jChβl sin αl
(Chβl cos αl +
jShβ l sin αl )(Shβ l cos αl − jChβ l sin αl )
.Z C
Sh 2βl cos 2 αl + Ch 2β l sin 2 αl
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=
Chβ lShβ l − j sin αl cos αl
ZC
Sh 2β l + sin 2 αl
1
(Sh2βl − j sin 2αl ) 
β
= 2
.RC 1 − j  ,
1
α
(Ch2βl − cos 2αl ) 
2
d'où
β
sin 2αl
α
R0 = RC
(28)
Ch 2β l − cos 2αl
β
Sh 2βl + sin 2αl
X 0 = − RC α
(29)
Ch 2β l − cos 2αl
Sh 2β l −
où l est la longueur de la ligne équivalente égale à la hauteur totale de l'antenne.
Z 0 = R0 + jX 0 = Z c coth (β + jα )l z,
on peut déterminer les parties réelles et imaginaires de l’impédance d’entrée :
Z0 =
=
=
Chβ l cos αl + jShβl sin αl
.Zc
Shβl cos αl + jChβ l sin αl
(Chβl cos αl + jShβl sin αl )(Shβl cos αl − jChβl sin αl ) .Z
Sh 2 βl cos2 αl + Ch 2 β l sin2 αl
Chβ lShβ l − j sin αl cos αl
Sh 2 β l + sin2 αl
c
.Zc
1
(Sh2βl − j sin 2αl ) 
β
= 2
.Zc 1 − j 
1
α
(Ch2βl − cos 2αl ) 
2
d’où
R0 = Rc
β
sin 2αl
α
Ch2βl − cos 2αl
Sh2β l −
β
Sh2β l + sin 2αl
X 0 = −Rc α
Ch2β l − cos 2αl
(30)
(31)
où l est la longueur de la ligne équivalente égale à la hauteur totale de l’antenne.
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3°) Calcul de l’impédance d’entrée d’une antenne bi conique
Cette étude qui, moyennant certaines approximations, peut s’étendre aux antennes filaires, a
été développée par S.A. Schelkunoff.
3.1- L’antenne biconique infinie
Elle est constituée par deux cônes de longueur infinie et dont les axes sont dans le
prolongement l’un de l’autre f(25).
Schelkunoff a montré qu’à une distance r du sommet 0, la tension V(r) et le courant I(r)
s’écrivent sous la forme :
ψ
V (r ) = 2 Z H l − jαr LogCotg ,
i
0
2
I&(r ) = 2πH 0l − jαr ,
Zi étant l’impédance du milieu dans lequel se propage
l’onde ( Zi = 120π dans l’air) et H 0 la valeur du champ
a
M
magnétique sinusoïdale au point 0.
Le rapport
V (r )
représente alors l’impédance sur la
I&(r )
Cône entre les deux points M et M ' situés à la distance
r.
Z (r ) = 120 LogCotg
ψ
r
O
α
2
Pour une cône d’ouverture ψ donné, cette valeur
Fig. 19
est indépendante de la position des points M et M ' et
définit l’impédance caractéristique de l’antenne
biconique.
Remarque : Si ψ est faible, l’impédance caractéristique
devient :
Z c ≈ 120 Log
2
ψ
= 120 Log
M’
2l
a
ψ
3.2 - Impédance d’entrée d’une antenne biconique finie
Dans la pratique l’antenne biconique finie peut-être considérée comme ligne de
transmission finie chargée par une impédance Zl (fig. 26).
l
(II)
O
(I)
Z0
ZL
Fig. 20
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ZL
l
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Considérant la sphère de centre O et de rayon l, l’auteur définit Z L comme l’impédance
équivalente à la transition entre la région (I) entourant l’antenne et la région (II) extérieure à la
sphère.
Cette impédance Z L étant déterminée, l’impédance d’entre Z 0 s’obtient par application de la
formule des lignes sans pertes : Z 0 = Z e
Z L + jZ ctgαl
Z c + jZ Ltgαl
Schelkunoff a montré que l’impédance de charge Z L s’exprimait simplement en fonction
d’une impédance :
Z2
Z L = C , avec
ZS
RS = 60Cim 2αl + 30(cos 2αl ){Cimαl + Ciαl − 2Ci 2αl + Ci 4αl } + 30(sin 2αl ){Si 4αl − 2 Si 2αl} et
X S = 60 Si 2αl + 30(sin 2αl ){Ci 4αl − Ciαl − Cimαl } − 30(cos 2αl )Si 4αl
Z S = RS + jX S par
En reportant dans l’expression précédente, on obtient finalement l’impédance d’entrée de
l’antenne biconique finie :
Z0 = Zc
{(Z c − X S tgαl ) + jRS tgαl} (32)
RS + j ( X S + Z ctgαl )
4°) Etude des antennes cylindriques
Une des premières théories concernant les antennes cylindriques d’épaisseur non
négligeable a été développée E. HALLEN.
4.1 - L’antenne cylindrique quelconque
L’objectif de HALLEN a été de trouver la relation la distribution de courant d’une antenne
cylindre symétrique et ses caractéristiques géométriquement diamètre et longueur.
Pour ce faire, il détermine le champ électrique à l’intérieur du conducteur en fonction de la
résistance superficielle, ainsi qu’à l’extérieur de l’antenne en fonction du potentiel vecteur crée
par le courant qui la parcourt. En écrivant alors qu’à la surface de l’antenne, les composantes
r
tangentielles de E sont égales, on obtient l’équation intégrale de I&( z ) , dite "équation de
Hallen".
A la faveur de certaines approximations, King et Harrison proposent la solution
approchée.
V
I&( z ) = j e
60Ω
sin α (l − z ) +
cos αl +
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d
Ω
b
Ω
où
Ω = 2 Log
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2l
a
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b et d sont des fonctions complexes calculées par les auteurs.
L’impédance d’entrée s’obtient en calculant
2a
Ve
pour Z = 0 ;
I( )
l
Z
Ve
Fig. 21
d
cos αl +
Ω
ZO = − j 60Ω
b
sin αl +
Ω
2a
Les figures 25 à 29 donnent les courbes de King
représentant la partie réelle et partie imaginaire de
l’impédance d’entrée en fonction de :
L = αl et Ω = 2 Log
2l
a
4.2 - Cas particulier de l’antenne filaire
Pour une antenne mince, l >> a et les termes en
1
deviennent négligeables dans
Ω
l’expression du courant qui s’écrit alors :
V sin α (l − z )
I&( z ) = j e
60Ω cos αl
On remarque que dans ces conditions, les distributions de courant est sinusoïdale et
conduit à courant d’entrée de la forme :
V
I&(e ) = j e tgαl ,
60Ω
qui détermine l’impédance d’entrée de l’antenne :
ZO = − j 60 cot gαl
Cette approximation ne fait pas apparaître la partie réelle dûe aux pertes. Elle permet
cependant de déterminer l’impédance caractéristique moyenne de la ligne.
En effet, l’expression de ZO est identique à celle d’une ligne ouverte d’impédance
caractéristique.
ZC = 60Ω = 120 Log
2l
a
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Cette dernière valeur peut ainsi être utilisée dans la méthode de la ligne avec pertes,
équivalente à une antenne filaire symétrique.
En supposant encore que l >> a , elle conduit à des formules très proches de celles
établies par Schelkunoff et par Siegel et Labus.
Les courbes de la fig(28) montrent qu’autour de la fréquence d’accord, la réactance
d’entrée X O , varie d’autant moins que le rapport
a
λ
est plus élevé.
Une antenne épaisse présente donc une bande passante plus large qu’une antenne fine.
Pour les antennes d’émission en bandes métriques ; on choisit généralement des rapports
de l’ordre de 3.10-2, 100 MHz, soit λ = 300 cm, on utilisera une antenne symétrique de longueur
2l =
λ
2
= 150 cm ; réalisée à partir d’un conducteur de rayon
a = 3.10 −2 λ = 9 cm.
5 – Influence d’une charge réactive sur l’accord d’une antenne
5.1. Rôle d’une self à la base
ZO = RO + jX O
Sur la courbe de la fig .18 (courbe expérimentale de la variation d’impédance), on note
que pour des longueurs d’antenne l >> λ , ce qui correspond aux ondes longues,
l’impédance d’entrée ZO présente une partie capacitive X O non négligeable.
l
Pour accorder l’aérien, on peut ajouter à l’entrée une self de
réactance Lw = X O et de très faible résistance, de façon à ne
pas augmenter les pertes déjà élevées en ondes longues.
α
Fig. 22
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x
x
tg
2
I
I
I
(I&)
(V)
II
A’L
O
B’L
1 A’C
C’L
3
2
B’C
4
5
λO
λ
I&M
II’
Les solutions obtenus sont A’1, B’1, C’1 etc… il n’y a plus de proportionnalité simple entre
la fondamentale A’1 et les harmoniques B’1, C’1, etc…
La fondamentale est λO = 4 L
Or, en 1ère approximation, X O = − jZC cot gαl .
L’accord sera réalisé quand
jZC cot gαl = jLw = jL
2π
λ
Vϕ , car w = 2πVϕ
où Vϕ est la vitesse de phase. On a (avec α =
tg
2π
λ
):
2πl
Z
λ
= C
;
λ
L 2πVϕ
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posons
2πl
λ
= x ; il vient pour
ZC l 1
L Vϕ x
=
tgx
y1 = f1( x )
ZC  λ  l
Z l 1
= C


L  2πl  Vϕ
L Vϕ x
y2 = f 2 ( x )
L’intersection des deux courbes représentatives de y1 = f1( x ) et
donnent les solutions de l’accord fig. 31.
La 1ère solution s’écrit : x1 =
2πl
λ1
<
π
y2 = f 2 ( x )
λ
soit l < 1 .
2
4
La self à la base a donc pour effet d’augmenter
la longueur d’onde de résonance et ramener le
ventre de courant au pied de l’antenne.
λ
4
λ1
4
α
Fig. 23
I&M
2. Rôle d’une capacité au sommet
l'
En ondes longues et en ondes moyennes, λ
étant élevée, la principale difficulté consiste à
construire des antennes accordées.
A
l
Un des moyens utilisés alors pour augmenter
artificiellement la longueur de l’aérien est de
placer une capacité à son sommet.
Soit l la hauteur de l’antenne et l ' la hauteur de
l’antenne équivalente à la capacité au sommet.
On peut écrire pour le brin ouvert,
O
Fig. 24
ZA = −
j
= − jZC cot gαl
C' w
Or l’impédance d’entrée de l’antenne chargée s’écrit en 1er approximation :
Z + jZC tgαl
ZO = ZC R
ZC + jZ Rtgαl
= ZC
− jZ C cot αl '+ jZC tgαl
Z C + j (− jZ C cot αl '.tgαl )
ZO = jZ C
tgZ R + jZC tgαl
(34)
1 + cot gαl ' tgαl
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Cette réactance s’annule pour tgαl = cot gαl ' , correspondant à l’accord de l’antenne par
la capacité au sommet, ce qui s’écrit :
ZC tgαl =
1
C'w
Posons de nouveau x =
tgx =
2πl
λ
, il vient
l
1
.
Z C C 'Vϕ x
Cette expression est de la même forme que celle calculée précédemment et une étude
graphique similaire conduit à
x1 =
2πl
λ1
<
π
2
λ
soit l < 1
4
La capacité au sommet semble allongée l’antenne, ou augmenter la longueur d’onde de
résonance.
λ1 > 4l
α
Fig. 24
I&M
Pratiquement, la capacité au sommet est réalisée par une nappe de fils parallèles au sol,
de 400 mètres de largeur environ et de 1 km à 2 km de longueur ; la valeur de la capacité ainsi
obtenu varie entre 10 nF et 100 nF.
Remarque : Dans la réalisation d’une antenne pour grandes ondes, on est souvent amené à
combiner les deux solutions précédentes.
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BIBLIOGRAPHIE
1. "Mécanique" G. Bruhat, 6ème édition (FOCH) (cours de ∅ gale), Masson et Cie, 1961.
2. “Electricité” G. Bruhat, 8ème édition (Goudet) (cours de ∅ gale), Masson et Cie, 1963.
3. "Physique" de J. FRANEAU, DUNOD, Paris, 1963.
4. “Optique” G. Bruhat, 6ème édition (Kastler) (cours de ∅ gale), Masson et Cie, 1965.
5. "Cours de Radioélectricité I" R.RIGAL et Y. PLACE, EYROLLES, 1966.
6. "Vibrations et Phénomènes de Propagation" R. Gabillard, Dunod Paris, 1969.
7. "Propagation des Ondes Electromagnétiques" M. Perrot et J. Oualid, CRDP Marseille –
1970.
8. "Berkeley Cours de Physique, Volume 3 : Ondes" Collect. U., Armand Colin, Paris 1972.
9. "Vibrations et Phénomènes de Propagation" Tome 2 : "ondes", J.P. Mathieu – Masson et
Cie 1974.
10. "Phénomènes de Vibration et de Propagation, Tome II, Phénomènes de Propagation"
H.W. Drawin, librairie de l’enseignement technique. Paris, 1975.
11. "Cours de Physique des Vibrations" (oscillations–propagations) A. Fouille et P. Deréthé.
Ed. Eyrolles – Paris 1977.
12. "Propagation d’ondes" P. Deneve, Ellipses, (exercices), 1979.
13. "Propagation Libre et Guidée des OEM. Rayonnement" G Dubost, (exercices) Masson,
1980.
14. "Electromagnétisme Classique dans la Matière" C. Vassallo, Dunod, 1980.
15. " Micro-Ondes , 2-Circuits Passifs, Propagation, Antennes" Cours et Exercices, Paul
F. Combes, Dunod, 1997.
Cette liste n’est pas exhaustive et nombre d’ouvrages récents sont parus depuis son
établissement.
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ANNEXE
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Problème corrigé sur les Taux d’Ondes stationnaires
Superposition de deux ondes de directions apposées
Taux d’onde stationnaire
ω
, polarisées rectilignement, se propagent dans
2π
le vide en sens inverse suivant la direction Ox du référentiel Oxyz de base orthonormée
Deux ondes planes de même fréquence f =
(u , u
x
y
, u z ) ; les champs électriques de ces deux ondes sont, en notation complexe en
M (x, y, z ) à l’instant t :
E1 = E0 e j (ωt −kx )u y et E2 = αE0 e j (ωt −kx )u y
( E0 et α réels positifs, et j 2 = −1 ). On désignera c la célérité de la lumière dans le vide.
1) a) Exprimer les champs E (M , t ) et B(M , t ) de l’onde résultante en M , l’instant t .
b) Exprimer en fonction de E0 , α , c, k et x , les amplitudes des champs E et B en
M ( x, y , z ) .
2)
a) On appelle taux d’onde stationnaire le rapport S =
E max
des amplitudes maximale et
E min
minimale du champ électrique. Exprimer ce taux S en fonction de α .
b) Déterminer les positions des plans d’onde.
* où l’amplitude de E est maximale ;
* où l’amplitude de E est minimale.
3) Déterminer, en fonction de α , k et x , le déphasage en M ( x, y, z ) du champ B par rapport
au champ E .
Solution
1) a) Les deux ondes 1 et 2 pilotées par les vecteurs d’onde respectifs k = ku x et − k = − ku x ,
se superposent en M ( x, y, z ) pour donner une onde résultante :
y
−k
k
0
ONDE
1
ONDE
x
2
Figure
z
* de champ électrique E = E1 + E2 , soit :
(
)
E (M , t ) = E0 e − jkx + αe jkx e jωt u x
E0 j (ωt − kx )
e
u z , le
c
signe + de B1 et le signe – de B2 tiennent compte respectivement du fait que les trièdres k ,
E1 , B1 et − k , E2 , B2 sont directs, donc :
* de champ magnétique B = B1 + B2 , avec B1 = +
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- 95 -
E0 j (ωt −kx )
e
u z et
c
B2 = −α
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(
B (M , t ) =
)
E0 − jkx
e
− αe jkx e jωt u z
c
b) * L’amplitude complexe du champ E (M , t ) est, d’après (1) et compte tenu de
e jX = cos X + j sin X ,
soit
(
)
C ( x ) = E0 e − jkX + αe jkX
C ( x ) = E0 [(1 + α )cos(kx ) + j (α − 1)sin (kx )]
L’amplitude du champ E est donc :
C = E0 (1 + α ) cos 2 kx + (α − 1) sin 2 (kx )
2
2
(
soit
C = E0 1 + α 2 + 2α cos2 kx − sin 2 kx
ou
C = E0 1 + α 2 + 2α . cos(2kx )
)
* L’amplitude complexe du champ B(M , t ) est, d’après (2),
B(x ) =
E0 − jkx
E
(
e
− αe jkx ) = 0 [(1 − α )cos(kx ) − j (1 + α )sin (kx )]
c
c
(5)
L’amplitude du champ magnétique est donc :
(1 − α )2 cos 2 kx + (1 + α1)2 sin 2 kx
B =
E0
c
soit
B =
E0
1 − α 2 − 2α (cos 2 kx − sin 2 kx )
c
ou
B =
E0
1 + α 2 − 2α cos(2kx )
c
2) a) D’après (4), on a :
Emax = 1 + α 2 + 2α = 1 + α
et
Emax = 1 + α 2 − 2α = 1 − α
Le taux d’ondes stationnaires est donc :
S=
Emax 1 + α
=
Emin 1 − α
b) L’amplitude de E est maximale si, d’après (4), cos(2kx ) = 1 , soit, avec N entier,
2kx = N .2π ou x = N
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π
k
- 96 -
(7)
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L’amplitude de E est minimale (et celle de B est maximale) si, d’après (4), cos(2kx ) = −1 soit,
avec N entier,
1 π

x = N + 
2 k

2kx = (2 N + 1)π ou
(8)
Les relations (7) et (8) définissent donc les positions respectives des plans d’onde de champ
E maximal (donc B minimal) et de champ E minimal (donc B maximal).
3) * L’amplitude complexe de E peut s’écrire, d’après (3),
B = B e jϕ E , avec
tgϕ E =
α −1
tg (kx )
α +1
(9)
* L’amplitude complexe de B peut s’écrire, d’après (5)
B = B e jϕ B , avec
tgϕ B =
α +1
tg (kx )
α −1
(10)
Le déphasage ϕ = ϕ B − ϕ E entre les champs B et la champ E est tel que d’après (9) et (10) :
 α + 1 α −1
−

tg (kx )
tgϕ B − tgϕ E
α −1 α +1

tgϕ = tg (ϕ B − ϕ E ) =
=
1 + tgϕ B .tgϕ E
1 + tg 2 (kx )
ou
tgϕ =
soit
tgϕ =
[(α + 1) − (α − 1) ]tgkx.cos
2
2
2
kx
α −1
2
2α
sin (2kx )
α 2 −1
Problème corrigé sur les guides d’ondes
Modes T.E.m,n de propagation dans un guide d’onde rectangulaire.
Impédance d’onde
Soit un guide d’onde, d’axe parallèle à Oz , de section droite rectangulaire de dimension
a (suivant Ox ) et b (suivant Oy ), à parois métalliques supposées parfaites.
Figure
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On désire étudier la propagation suivant Oz , dans la cavité vide, d’une onde électromagnétique
T.E. de haute fréquence dont le champ électrique (transversal) en M ( x, y, z ) est donné par ses
composantes(∗) :
j (ωt − k gz )

E x = E0 . cos(αx ). sin (β y ).e

α

j (ωt − k gz )
E  E y = − E0 sin (αx ). cos(β y ).e
β

Ez = 0

avec α = m.
π
a
et β = n.
π
b
( m et n sont deux entiers).
1. Déterminer les composantes Bx , B y , Bz du champ magnétique B en M ( x, y, z ) , à l’instant t ,
dans ce guide d’onde rectangulaire.
2. Etablir l’équation de dispersion k g (ω ) dans ce guide d’onde.
3. Exprimer, pour un mode de propagation T.E. caractérisé par les entiers m et n ,
l’impédance d’onde Z (w) définie par Z = µ0
E⊥
, où E⊥ et B⊥ sont les composantes de E
B⊥
et B perpendiculairement à la direction Oz de propagation.
4. Pour chacun des modes T.E.m,n correspondant aux entiers m et n , il existe une fréquence
de coupure f cm , n au-dessous de laquelle l’onde ne peut plus se propager.
Exprimer f cm , n en fonction de a , b, c, m et n .
5. Exprimer la vitesse de phase vϕ et la vitesse de groupe vg des modes T.E.m, n. Vérifier que
vϕ .vg = c 2 .
6. Exprimer la longueur d’onde apparente λg de propagation dans le guide en fonction de
a, b, m, n et de la longueur d’onde λ0 =
c
dans ce vide infini.
f
Solution
1) L’équation locale de Maxwell-Faraday rotE = ∇ ∧ E = −
∂
 ∂Bx 
 
∂
x
E
−



x
∂
∂t 



  ∧ E y = − ∂B y

 ∂y    
∂
B




0
z
∂  
− ∂t 
 
 ∂z 
soit
∂B
s’écrit :
∂t
 ∂E y
∂B
=− x
−
∂t
 ∂z
∂By
 ∂E x
=−

∂t
 ∂z
 ∂E y ∂E x
∂B
−
=− z

∂y
∂t
 ∂z
donc
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
∂E y
k
dt = − jk g ∫ E y .dt = − g E y
 Bx = ∫
ω
∂z

kg
∂Ex

dt = jk g ∫ Ex .dt =
Ex
By = − ∫
ω
z
∂


 ∂E y ∂Ex 
α2 + β2
j (ωt − k g z )
dt = E0
−
. cos(αx ). cos(βy )∫ e
dt
 Bz = − ∫ 
∂y 
β

 ∂x

α k g E0
j (ωt − k g z )
sin (αx ). cos(β y ).e
 Bx = .
β ω

k g E0

j (ωt − k g z )
B(M , t ) By =
cos(αx ). sin (β y ).e
ω


E0 α 2 + β 2
j (ωt − k g z )
cos(αx ). cos(β y ).e
 Bz = − j
βω

soit
(
(1)
)
2) Dans le vide, à l’intérieur du guide d’onde, le champ E obéit à l’équation de propagation
∆E =
1 ∂2E
, soit en projection sur Ox :
c 2 ∂t 2
1 ∂ 2 Ex
∂ 2 E x ∂ 2 Ex ∂ 2 E x
1 ∂ 2 Ex
∆Ex = 2
, ou
+
+
= 2
c ∂t 2
∂x 2
∂y 2
∂z 2
c ∂t 2
(
)
soit − α − β − k g E x = −
2
2
2
ω2
c2
Ex
d’où l’équation de dispersion de l’onde dans ce guide d’onde :
kg =
2
ω2
c
2
(
)
− α2 + β2
(2)
3) L’impédance d’onde pour le mode T.E.m,n de propagation dans ce guide est :
(Ex )2 + (E y )2
Z = µ0
(Bx )2 + (By )2
soit, d’après les expressions de E x et E y de l’énoncé et d’après (1),
Z = µ0
ω2
kg
2
= µ0
µ 0c
soit Z =
1−
c2
ω2
(α
ω2
ω
c2
2
(
− α +β
+ β2
Cours de propagation des Ondes
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)
2
2
, avec
)
d’après (2),
α=
mπ
a
- 99 -
et
β=
nπ
,
b
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µ 0c
Z (ω ) =
donc
(3)
c π  m2 n2 
1 − 2  2 + 
b 
ω a
2
2
Remarque : L’impédance Z 0 d’une onde plane (transversale : E ⊥ Oz et B ⊥ Oz ) qui se
propage suivant Oz dans le vide illimité est, puisque B0 =
fréquence f =
ω
:
2π
E0
, indépendante de la
c
E0
= µ0 .c = 120π
B0
donc, d’après (3), l’impédance d’onde Z (ω ) dans le guide est toujours supérieure à celle
Z 0 du vide illimité :
Z 0 = µ0
 c 2  m 2 n 2 
Z (ω ) = Z 0 1 − 2  2 + 2 
b 
 ω a
−
1
2
(Z
> Z0 )
4) La transmission de l’onde dans le guide n’est possible que pour k g > 0 , soit d’après (2)
2
avec α =
kg
2
mπ
nπ
et β
,
a
b
 mπ  2  nπ  2 
= 2 − 
 +
 >0
c
 a   b  
ω2
2
2
m n
d’où la condition ω > ωc = πc   +   ,
 a  b
On en déduit la fréquence de coupure f c =
c
fc =
2
2
m n
  + 
 a  b
5) La vitesse de phase de l’onde est vϕ =
vϕ = c
ωc
en mode m, n de l’onde T.E. :
2π
2
ω
kg
, ou :
π 2  m2
n2 
1 + 2  2 + 2 
b 
kg  a
Différenciation la relation (4) : 2k g .dk g = 2ω.
dω
, d’où la vitesse de groupe ou vitesse de
c2
propagation de l’énergie :
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- 100 -
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vg =
dω
c2 c
=
=
=
ω vg
dk g
kg
c
π 2  m2
n2 
1 + 2 
+ 
b 
kg  a
Remarque : La relation vϕ .vg = c est vérifiée chaque fois que la relation de dispersion est
2
de la forme k 2 =
ω2
c2
+ Cte , car alors en différentiant, on obtient :
2k .dk =
2ω.dω
c2
6) La longueur d’onde λg apparente de l’onde guidée est définie par λg =
1
λg 2
soit
1
λg 2
2π
soit, d’après (4),
kg
2
2
2
 ω   m   n  
=
=
 −   +    ,
4π 2  2πc   2a   2b  
kg
2
 m  2  n  2 
= 2 −   +    ,
λ0  2a   2b  
1
N.B. : L’étude du mode T.M.m, n de propagation d’une onde transversale magnétique
(Bz = 0, Ez ≠ 0) dans le guide s’entreprend avec les mêmes méthodes que celles
développées dans ce problème pour l’onde T.E.m,n.
Problème corrigés sur les antennes
Rayonnement dipolaire à charge q mobile, à des distances r > π et diagramme de
rayonnement r < λ
Un dipôle oscillant est modélisé par une charge − q fixée au centre O du référentiel Oxyz et par
une charge + q animée le long de l’axe Oz d’un mouvement sinusoïdal d’équation :
Z = OC = a0 . cosωt = ℜe(a0 .e jωt )
La vitesse de la charge q est petite devant la célérité c de la lumière dans le vide. Tous les
vecteurs seront exprimés par leurs composantes sur la base orthonormée ur , uθ , uϕ associée
aux coordonnées sphériques.
1. Exprimer les composantes du potentiel-vecteur A(M , t ) , en notation complexe, au point
M de l’espace vide repéré par ses coordonnées sphériques r = OM > a0 , θ = (Oz, OM ) et
ϕ à l’instant t .
2. exprimer les composantes du champ magnétique B(M , t ) , en notation complexe, en M à
l’instant t . On admettra la relation générale : rot (αV ) = αrotV + gradα ∧ V , où α est un
scalaire et V un champ de vecteur.
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3. On se place dans le cas où les distances entre le dipôle et le point d’observation M sont
grandes devant la longueur d’onde λ de l’oscillateur (r > λ ) : le champ électromagnétique
en M possède alors localement la structure d’une onde plane.
a) Donner les expressions approchées des champs magnétiques B(M , t ) et électrique
E (M , t ) en notation réelle.
b) Exprimer l’intensité de rayonnement I du dipôle oscillant (c’est-à-dire la puissance
moyenne rayonnée par unité d’angle solide) en fonction de p0 , ω , r ,θ et des
constantes du vide. Tracer l’allure du diagramme de rayonnement I (θ ) dans un plan
ϕ = Cte .
c) Exprimer la puissance totale moyenne P rayonnée par le dipôle en fonction de
q, a0 , ω et des constants du vide.
4. On se place maintenant dans le cas où les distances entre le dipôle et le point d’observation
M sont faibles devant la longueur d’onde (r < λ ) .
Exprimer le champ B(M , t ) en fonction de p(t ) , valeur algébrique instantanée du moment
dipolaire. Conclure et déterminer les composantes du champ E (M , t ) en fonction de p(t ) .
Solution
1. * Le système (− q,+ q ) constitue un dipôle de moment dipolaire complexe :
p(t ) = q.OC (t ) = q.a0 .e jωt u z
* Le mouvement de la charge q de vitesse v(t ) est équivalent à l’élément de courant :
q.v (t ) = q.
dOC dp
=
dt
dt
Figure
Le potentiel-vecteur retardé observé en M à l’instant t est donc, puisque CM ≈ OM = r
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- 102 -
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 r
qv t − 
µ
µ  dp 
c
= 0  
A(M , t ) = 0 . 
4π
r
4πr  dt t − r
c
 dp 
 = jωqa0e
 dt t − r
avec, d’après (1), 
 r
j ωt  t − 
 c
uz
c
A(M , t ) = j
soit

r
µ0ωqa0 1 jω  t − c 
. .e
uz
4π
r
* Puisque u z = ur cos θ − uθ sin θ (figure), les composantes radiale, orthoradiale et azimutale de
A sont :
 r

µ0ωqa0 cosθ 1 jω  t − c 
. .e
 Ar = j
4π
r

 r

µ ωqa0 sin θ 1 jω  t − c 

A Aθ = − j 0
. .e
4π
r

 Aϕ = 0


Le potentiel-vecteur en M est donc dans le plan méridien (ur , uθ ) de M .
Remarque : D’après (1) et (2), le potentiel-vecteur est lié au moment dipolaire p(t ) par la
relation :
A(M , t ) = j
− jω
µ0ω e
.
4π
r
r
c
p (t )
2. Le champ magnétique B(M , t ) est lié au potentiel-vecteur A(M , t ) par la relation locale
B = rotM A soit, d’après (2) et puisque :
rot (αu z ) = α rot u z + grad α ∧ u z
=0
 − jω cr 
 − jω cr


e
µ ωqa0 jωt
µ ωqa0 jωt
e
B= j 0
.e .rotM 
uz  = j 0
.e .gradM 
4π
4π
 r

 r



 − jω rc
e
avec grad 
 r


 − jω r
 ∂ e c
= 
 ∂r  r




 ∧ uz



ω

1
ωr  − j c r
ur
ur = − 2 1 + j e
r 
c 


En reportant dans B , il apparaît le produit vecteur u r ∧ u z = − sin θ .uϕ donc :
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
r
µ ωqa0 sin θ  1 jω  jω  t − c 
B (M , t ) = j 0
uϕ
 2+
e
4π
cr 
r
Le champ B en M est azimutal, donc perpendiculaire au plan méridien en M .
3. a) A grande distance du dipôle
(r > λ ) ,
on a :
notation complexe se réduit donc au terme en
ω
cr
=
2π
1
> 2 ; et l’expression (3) en
λr r
1
:
r

r
µ ω 2 qa0 sin θ 1 jω  t − c 
B (M , t ) ≈ − 0
. e
uϕ
4πc
r
soit en notations réelles,
µ0ω 2 qa0 sin θ 1
 r
B (M , t ) ≈ −
cosω  t − uϕ
4πc
r
 c
(4)
* Le champ (E, B ) a localement la structure d’une onde plane qui se propage suivant la
direction OM de vecteur unitaire ur , donc E (M , t ) = cB ∧ ur soit, d’après (4) puisque
uϕ ∧ ur = uθ ,
E (M , t ) = −
µ0ω 2 qa0 sin θ 1
 r
cos ω  t − uθ
4π
r
 c
Le champ E est donc orthoradial et son module est tel que
E
B
(5)
= c.
b) Le vecteur de Poynting de l’onde rayonnée est radial (car B est azimutal et E est
orthoradial) :
E∧B
R=
µ0
2
µ0ω 4 q 2 a0 2 sin 2 θ
 r
=
ur =
cos 2 ω  t − ur
2
2
16π cr
µ 0c
 c
E
(6)
* L’intensité du rayonnement est :
⟨ dP⟩ ⟨ R ⟩.dS ⊥
=
= r 2 .⟨ R ⟩
dS ⊥
dΩ
r2
I=
où dS⊥ est la surface élémentaire perpendiculaire à la direction radiale donc, d’après (6) et
1
ω r 
−  = ,
2
 t c
puisque cos 2 
I =
µ0ω 4 q 2 a0 2 2
sin θ
32π 2c
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- 104 -
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* Le diagramme de rayonnement I (θ ) dans le plan XOz (ou ϕ = Cte ) met en évidence


une intensité de rayonnement maximale dans le plan équatorial  θ =
nulle le long de l’axe Oz du dipôle oscillant (θ = 0) .
π
 et une intensité
2
Figure
c) La puissance totale moyenne rayonnée est :
P =
∫
dΩ =
avec
dP = ∫ I (θ ).dΩ
dS ⊥ rdθ .r sin θdϕ
=
= sin θ .dθ .dϕ
r2
r2
donc, d’après (7) et (8),
P=
2π
µ0ω 4 q 2 a0 2 π 3
sin θdθ .∫ dϕ
2
∫
0
0
32π c 1
4243 1
23
=
soit
P=
= 2π
4
3
µ0ω 4 q 2 a0 2
.
12πc
4
N.B. : La puissance rayonnée est proportionnelle à ω a0 , donc au carré de l’accélération
de la charge mobile q .
2
4. A faible distance du dipôle (r < λ ) , dans l’expression générale (3) du champ qui peut
s’écrire :

r
µ ωqa0 sin θ 
ωr  jω  t − c 
B (M , t ) = j 0
1
+
j
uϕ

e
4πr 2
c 

on a ω
r 2πr
=
< 1 , donc :
c
λ
B (M , t ) ≈ j
soit
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µ0ωqa0 sin θ jωt
e uϕ avec p (t ) = qa0 e jωt ,
4πr 2
B (M , t ) = j
µ0 jωp (t )sin θ
uϕ
4π
r2
- 105 -
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Remarque : On a, si v(t ) est la vitesse de la charge q mobile.
 dp 
jωp(t ) =   = qv(t )
 dt t
B (M , t ) =
donc
(cf. 1ère question).
µ0 qv(t ) ∧ r
4π
r3
On retrouve ainsi la loi de Biot et Savart : en effet, à faible distance l’effet du potentiel retardé
est négligeable et on est en régime quasi stationnaire, il est donc prévisible que le champ
électrique E dans ce cas (r < λ ) soit donné à chaque instant par les expressions du champ
électrostatique du dipôle (approximation des régimes quasi stationnaires), soit :
1 2 p(t )cos θ

 Er = 4πε
r3
0


1 p(t )sin θ
E  Eθ =
4πε 0
r3

 Eϕ = 0


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- 106 -
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