DL10
Matrices de Gram
Matrices de Gram
Dans tout le problème E est un espace euclidien de dimension n > 1.
On note (x | y) le produit scalaire de deux vecteurs de E.
1. On se donne u, v dans E et on note ∆(u, v) =
(u | u)
(u | v)
(v | u)
(v | v)
.
Montrer que ∆(u, v) > 0, et que ∆(u, v) = 0 si et et seulement si u, v sont liés.
(u | u)
(u | v)
(u | w)
2. On se donne u, v, w dans E et on note ∆(u, v, w) = (v | u)
(v | v)
(v | w) .
(w | u)
(w | v)
(w | w)
(a) Montrer que w s’écrit de manière unique comme la somme d’un vecteur a combinaison
linéaire de u, v et d’un vecteur b orthogonal à u et à v.
(b) Montrer que ∆(u, v, a) = 0.
(c) Prouver que ∆(u, v, w) = ∆(u, v) kbk2 .
(d) Montrer que ∆(u, v, w) > 0, avec ∆(u, v, w) = 0 si et seulement si u, v, w sont liés.
3. On va généraliser les notations et les résultats précédents.
On note m un entier strictement positif quelconque.
Pour tous vecteurs u1 , u2 , . . . , um de E, on note G(u1 , . . . , um ) la matrice carrée d’ordre m et
de terme général (ui | uj ) (à l’intersection de la ligne i et de la colonne j).
On note ∆(u1 , . . . , um ) = det(G(u1 , . . . , um )).
(a) On note F le sous-espace de E engendré par u1 , . . . , um−1 .
Soit um = a + b (avec a ∈ F ) la décomposition de um sur E = F ⊕ F ⊥ .
Montrer que ∆(u1 , . . . , um−1 , a) = 0.
(b) Prouver que ∆(u1 , . . . , um−1 , um ) = ∆(u1 , . . . , um−1 ) kbk2 .
(c) En déduire ∆(u1 , . . . , um ) > 0 (avec ∆(u1 , . . . , um ) = 0 ⇔ u1 , . . . , um sont liés).
4. Soit F un sous-espace de E, de base u1 , . . . , um .
∆(u1 , . . . , um , x)
Soit d(x, F ) la distance d’un vecteur x à F . Montrer que d(x, F )2 =
.
∆(u1 , . . . , um )
5. Soit (e) = e1 , e2 , . . . , en une base de E.
Soit (ε) = ε1 , ε2 , . . . , εn une famille de n vecteurs de E.
Montrer que les deux propositions suivantes sont équivalentes :
(a) Il existe une isométrie vectorielle f de E tel que : ∀ k ∈ {1, . . . , n}, f (ek ) = εk .
(b) Les matrices G(e1 , . . . , en ) et G(ε1 , . . . , εn ) sont égales.
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