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Matrices de Gram
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Matrices de Gram
Dans tout le probl`eme Eest un espace euclidien de dimension n>1.
On note (x|y) le produit scalaire de deux vecteurs de E.
1. On se donne u, v dans Eet on note ∆(u, v) = 
(u|u) (u
|
v)
(v|u) (v|v)
.
Montrer que ∆(u, v)>0, et que ∆(u, v) = 0 si et et seulement si u, v sont li´es.
2. On se donne u, v, w dans Eet on note ∆(u, v, w) = 
(u|u) (u
|
v) (u|w)
(v
|
u) (v|v) (v|w)
(w
|
u) (w|v) (w
|
w)
.
(a) Montrer que ws’´ecrit de mani`ere unique comme la somme d’un vecteur acombinaison
lin´eaire de u, v et d’un vecteur borthogonal `a uet `a v.
(b) Montrer que ∆(u, v, a) = 0.
(c) Prouver que ∆(u, v, w) = ∆(u, v)kbk2.
(d) Montrer que ∆(u, v, w)>0, avec ∆(u, v, w) = 0 si et seulement si u, v, w sont li´es.
3. On va g´en´eraliser les notations et les r´esultats pr´ec´edents.
On note mun entier strictement positif quelconque.
Pour tous vecteurs u1, u2, . . . , umde E, on note G(u1, . . . , um) la matrice carr´ee d’ordre met
de terme g´en´eral (ui|uj) (`a l’intersection de la ligne iet de la colonne j).
On note ∆(u1, . . . , um) = det(G(u1, . . . , um)).
(a) On note Fle sous-espace de Eengendr´e par u1, . . . , um−1.
Soit um=a+b(avec a∈F) la d´ecomposition de umsur E=F⊕F⊥.
Montrer que ∆(u1, . . . , um−1, a) = 0.
(b) Prouver que ∆(u1, . . . , um−1, um) = ∆(u1, . . . , um−1)kbk2.
(c) En d´eduire ∆(u1, . . . , um)>0 (avec ∆(u1, . . . , um) = 0 ⇔u1, . . . , umsont li´es).
4. Soit Fun sous-espace de E, de base u1, . . . , um.
Soit d(x, F ) la distance d’un vecteur x`a F. Montrer que d(x, F )2=∆(u1, . . . , um, x)
∆(u1, . . . , um).
5. Soit (e) = e1, e2, . . . , enune base de E.
Soit (ε) = ε1, ε2, . . . , εnune famille de nvecteurs de E.
Montrer que les deux propositions suivantes sont ´equivalentes :
(a) Il existe une isom´etrie vectorielle fde Etel que : ∀k∈ {1, . . . , n}, f(ek) = εk.
(b) Les matrices G(e1, . . . , en) et G(ε1, . . . , εn) sont ´egales.