Intégrales simples et primitives

Chapitre 2:
Intégrales simples et primitives
Boua Hamid
Faculté polydisciplinaire-Safi-
Module: Analyse 2
SMP-SMC
2 mai 2021
Pr. Boua Hamid (UMP) FPN 2 mai 2021 1 / 21

Sommaire
1Intégrales et Sommes de Riemann
2Propriétés des intégrales
3Primitives
Pr. Boua Hamid (UMP) FPN 2 mai 2021 2 / 21

Sommaire
1Intégrales et Sommes de Riemann
2Propriétés des intégrales
3Primitives
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Définition
On appelle subdivision d’ordre nde l’intervalle [a,b]toute partie finie,
σ={x0,x1, ...xn}de [a,b]telle que a=x0<x1<x2< ... < xn−1<xn=b.
◦On note Ik= [xk,xk+1]un intervalle de la subdivision et lk=xk+1−xksa
longueur.
◦Le nombre Πσ= max
0≤k≤n−1lkest dit pas de la subdivision.
Exemple
La subdivision équidistante d’ordre nest la subdivision obtenue en découpant
l’intervalle [a,b]en nintervalle de même longeur : xk=a+kb−a
navec
k=0, ..., n,lk=b−a
net Πσ=b−a n
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Définition
Soit fune fonction définie sur un segment [a,b], soit
σ= (a=x0<x1<··· <xn=b)une subdivision de [a,b], et soit ξ1,...,ξn
des réels tels que, pour chaque i,ξi∈[xi−1,xi]. On appelle somme de
Riemann de fassociée à σet aux ξila somme définie par :
S(f,σ,ξ) =
n
∑
i=1
(xi−xi−1)f(ξi)
Théorème
Soit f: [a,b]→Rune fonction continue. Alors, lorsque le pas de la subdivision
tend vers 0, la somme de Riemann S(f,σ,ξ)tend vers une limite finie, cette
limite est noté par Zb
a
f(x)dx et est appelée l’intégrale de fsur [a,b]
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