Chapitre 2:
Intégrales simples et primitives
Boua Hamid
Faculté polydisciplinaire-SafiModule: Analyse 2
SMP-SMC
2 mai 2021
Pr. Boua Hamid (UMP)
FPN
2 mai 2021
1 / 21
Sommaire
1
Intégrales et Sommes de Riemann
2
Propriétés des intégrales
3
Primitives
Pr. Boua Hamid (UMP)
FPN
2 mai 2021
2 / 21
Sommaire
1
Intégrales et Sommes de Riemann
2
Propriétés des intégrales
3
Primitives
Pr. Boua Hamid (UMP)
FPN
2 mai 2021
3 / 21
Définition
On appelle subdivision d’ordre n de l’intervalle [a, b] toute partie finie,
σ = {x0 , x1 , ...xn } de [a, b] telle que a = x0 < x1 < x2 < ... < xn−1 < xn = b.
◦ On note Ik = [xk , xk +1 ] un intervalle de la subdivision et lk = xk +1 − xk sa
longueur.
◦ Le nombre Πσ = max lk est dit pas de la subdivision.
0≤k ≤n−1
Exemple
La subdivision équidistante d’ordre n est la subdivision obtenue en découpant
b−a
l’intervalle [a, b] en n intervalle de même longeur : xk = a + k
avec
n
b−a
b−a
et Πσ =
k = 0, ..., n, lk =
n
n
Pr. Boua Hamid (UMP)
FPN
2 mai 2021
4 / 21
Définition
Soit f une fonction définie sur un segment [a, b], soit
σ = (a = x0 < x1 < · · · < xn = b) une subdivision de [a, b], et soit ξ1 , . . . , ξn
des réels tels que, pour chaque i, ξi ∈ [xi −1 , xi ]. On appelle somme de
Riemann de f associée à σ et aux ξi la somme définie par :
n
S (f , σ, ξ) =
∑ (xi − xi −1 )f (ξi )
i =1
Théorème
Soit f : [a, b] → R une fonction continue. Alors, lorsque le pas de la subdivision
tend vers 0, la somme de Riemann S (f , σ, ξ) tend vers une limite finie, cette
Z b
limite est noté par
f (x )dx et est appelée l’intégrale de f sur [a, b]
a
Pr. Boua Hamid (UMP)
FPN
2 mai 2021
5 / 21
Corollaire
Soit f : [a, b] → R une fonction continue. Alors,
lim
n
b−a
n→+∞
n
a+k
∑f
k =1
b−a
n
Z
b
=
f (t )dt
a
Exemple
Soit un =
n
un =
1
n+1
1
1
+
n+2
n
+ ... +
1
1
, calculer lim un .
n→+∞
n+n
1 n
1
∑ n + k = ∑ n(1 + k ) = n ∑ 1 + k
k =1
k =1
1
k =1
n
1
n
n
k
on a : un =
f( )
1+x
n k =1 n
Z 1
Z 1
1
lim un =
f (x )dx =
dx = [log(1 + x )]10 = log(2)
n→+∞
0
0 1+x
Soit f (x ) =
Pr. Boua Hamid (UMP)
∑
FPN
2 mai 2021
6 / 21
Sommaire
1
Intégrales et Sommes de Riemann
2
Propriétés des intégrales
3
Primitives
Pr. Boua Hamid (UMP)
FPN
2 mai 2021
7 / 21
Proposition
Soit c ∈]a, b[ et f une fonction continue sur [a, b], alors on a la relation de
Chasles :
Z b
Z c
Z b
f (x )dx =
f (x )dx +
f (x )dx
a
a
c
Propsition
Soient f et g deux fonctions continues sur [a, b], alors on a :
Z b
Z b
Z b
1
(f + g )(x )dx =
f (x )dx +
g (x )dx.
a
a
a
Z b
Z b
2
Pour tout λ réel,
λf (x )dx = λ
f (x )dx.
a
a
Z b
3
Si f ≥ 0 sur [a, b] alors
f (x )dx ≥ 0
a
Z b
Z b
4
Si f ≤ g sur [a, b] alors
f (x )dx ≤
g (x )dx
a
Pr. Boua Hamid (UMP)
a
FPN
2 mai 2021
8 / 21
Convention
a
Z
1
f (x )dx = 0
Z b
Z
Si a > b et si f est continue sur [b, a] alors
f (x )dx = −
Si f est définie au point a alors
a
2
a
a
f (x )dx
b
Corollaire
Si f est continue sur [a, b], on a : |
Z
b
f (x )dx | ≤
a
Pr. Boua Hamid (UMP)
Z
b
|f (x )|dx.
a
FPN
2 mai 2021
9 / 21
Proposition
Soient f et g deux fonctions continues sur [a, b]. On suppose que g garde un
signe constant sur [a, b], alors il existe c ∈ [a, b] tel que
Z
b
Z
f (x )g (x )dx = f (c )
a
b
g (x )dx
a
Corollaire
Soit f une fonction continue sur [a, b] alors il existe c ∈ [a, b] tel que
Z b
f (x )dx = (b − a)f (c )
a
Pr. Boua Hamid (UMP)
FPN
2 mai 2021
10 / 21
Sommaire
1
Intégrales et Sommes de Riemann
2
Propriétés des intégrales
3
Primitives
Pr. Boua Hamid (UMP)
FPN
2 mai 2021
11 / 21
Soit I un intervalle de R et f : I −→ R.
Définition
Une fonction F : I −→ R est une primitive de f sur I si : F est dérivable sur I et
∀x ∈ I : F 0 (x ) = f (x ).
Proposition
Soit I un intervalle de R. Si F est une primitive de f sur I alors :
1
F + K , avec K ∈ R, est une primitive de f sur I.
2
Toute primitive G de f sur I est de la forme G = F + K , avec K ∈ R.
Une
primitive de f est appelée intégrale indéfinie de f et est notée
Z
f (x ) = F + K .
Théorème
Si f est continue
sur I et a ∈ I, alors la fonction F définie sur I par
Z x
F (x ) =
f (t )dt est une primitive de f sur I
a
Pr. Boua Hamid (UMP)
FPN
2 mai 2021
12 / 21
Proposition
Soit f une fonction continue sur I.
1
Pour toute primitive G de f sur I, on a :
Z
x
f (x )dx = G(x ) − G(a)
a
x
Z
2
f (x )dx est la seule primitive de f qui s’annule au point a.
F (x ) =
a
Corollaire
Soient f une fonction continue sur [a, b] et u et v deux fonctions dérivables à
Z v (x )
valeurs dans [a, b]. Alors si F (x ) =
f (t )dt on a
u (x )
F 0 (x ) = v 0 (x )f (v (x )) − u 0 (x )f (u (x )).
Z
2x 5
Exemple Calculer la dérivé de h(x ) =
On a : h0 (x ) =
esin(t ) dt
−x 2
2
5
2xesin(−x ) + 10x 4 esin(2x )
Pr. Boua Hamid (UMP)
FPN
2 mai 2021
13 / 21
Primitives
des fonctions usuelles
Z
x α+1
α
x dx =
+ K pour α ∈ R \ {−1}
α+1
Z
1
dx = log |x | + K
x
Z
cos(x )dx = sin(x ) + K
Z
sin(x )dx = − cos(x ) + K
Z
dx
= tan(x ) + K
2
Z cos (x )
−dx
= cotant (x ) + K
2
Z sin (x )
ex dx = ex + K
Z
chx dx = shx + K
Pr. Boua Hamid (UMP)
FPN
2 mai 2021
14 / 21
Z
shxdx = chx + K
Z
Z
ln(x )dx = x ln(x ) − x + K
dx
2
Z 1+x
dx
Z
Z
= arctan x + K
√
= arcsin x + K
√
= argshx + K = log(x +
p
√
= argchx + K = log(x +
p
1 − x2
dx
1 + x2
dx
x2 − 1
Pr. Boua Hamid (UMP)
1 + x 2) + K
x 2 − 1) + K
FPN
2 mai 2021
15 / 21
Théorème
Soit I un intervalle de I. Si f et g ont
surZ I alors f + λg admet
Z des primitives
Z
aussi une primitive sur I et on a : f + λg = f + λ g
Théorème (Intégration par parties)
Soient f et g deux fonctions de classe C 1 sur [a, b], on a alors :
Z
Z
0
1
f (x )g (x )dx = f (x )g (x ) − f (x )g 0 (x )dx
Z b
Z b
0
2
f (x )g (x )dx = f (b)g (b) − f (a)g (a) −
f (x )g 0 (x )dx
a
Pr. Boua Hamid (UMP)
a
FPN
2 mai 2021
16 / 21
Exemple
Z
1) Calculer
x 2 ex dx
On pose f (x ) = ex et g (xZ) = x 2 donc f 0 (x ) = ex etZg 0 (x ) = 2x
Z
x 2 ex dx = f (x )g 0 (x ) − f (x )g 0 (x )dx = x 2 ex − 2xex dx
x
0
x
0
On
Z pose f (x ) = e et g (xZ) = 2x donc f (x ) = e etZ g (x ) = 2
x 2 ex dx = f (x )g 0 (x ) − f (x )g 0 (x )dx = 2xex − 2ex dx
Z
Donc x 2 ex dx = 2xex − 2ex + K , d’où
Z
x 2 ex dx = x 2 ex − 2xex + 2ex + K = (x 2 − 2x + 2)ex + K
Pr. Boua Hamid (UMP)
FPN
2 mai 2021
17 / 21
Z
2) Calculer
sin(x )ex dx
On pose f (x ) = sin(x ), g (x ) = ex f 0 (x ) = cos(x ), g 0 (x ) = ex
Z
sin(x )ex dx = ex sin(x ) −
x
Z
cos(x )ex dx
x
= e sin(x ) − (e cos(x ) +
= ex sin(x ) − ex cos(x ) −
Z
Z
ex sin(x )dx )
sin(x )ex dx
Z
Donc 2 sin(x )ex dx = ex sin(x ) − ex cos(x )
Z
1
D’où sin(x )ex dx = (sin(x ) − cos(x ))ex + K
2
Pr. Boua Hamid (UMP)
FPN
2 mai 2021
18 / 21
Remarque
Z
Pour calculer
Z
P (x ) cos(βx ),
Z
P (x ) sin(βx ) ou
P (x )eαx avec P un
polynôme à coefficient réels, on fait des intégration par parties pour diminuer le
degré du polynôme P jusqu’à sa disparition.
Théorème (Changement de variables)
Soient f : [a, b] −→ R continue et ϕ : [α, β] −→ [a, b] de classe C 1 alors
Z β
f (ϕ(t ))ϕ0 (t )dt =
α
Z ϕ(β)
f (x )dx
ϕ(α)
Remarque
Dans la pratique, il suffit d’écrire x = ϕ(t ) et dx = ϕ0 (t )dt.
Si t = α alors x = ϕ(α)
Si t = β alors x = ϕ(β)
Z β
Z ϕ(β)
f (ϕ(x ))ϕ0 (t )dt =
f (x )dx.
α
ϕ(α)
Pr. Boua Hamid (UMP)
FPN
2 mai 2021
19 / 21
Exemples
Z
1) Calculer
1
et
dt
1 + e2t
On pose x = et , on a dx = et dt.
t = 0 alors x = 1
tZ = 1 alors x = eZ
e
1
1
et
dt
=
dx = [arctan(x )]e1 = arctan(e) − arctan(1)
2t
2
1 1+x
0 1+e
Z π
2
2) Calculer
sin3 (t )dt
0
0
Z
I=
π
2
Z
3
sin (t )dt =
0
π
2
sin2 (t ) sin(t )dt
0
Z
=
π
2
(1 − cos2 (t )) sin(t )dt
0
On pose x = cos(t ), dx = − sin(t )dt
Z 0
Z 1
x3
1
2
I=−
(1 − x 2 )dx =
(1 − x 2 )dx = [x − ]10 = 1 − =
3
3
3
1
0
Pr. Boua Hamid (UMP)
FPN
2 mai 2021
20 / 21
Exemples
π
Z
2
1) Calculer
cos2 (t ) sin(t )dt.
0
On pose x = cos(t ), dx = − sin(t ).
Z π
Z 0
Z 1
2
x3
1
cos2 (t ) sin(t )dt = −
x 2 dx =
x 2 dx = [ ]10 = .
3
3
0
1
0
Z π
2
5
cos (t )dt.
2) Calculer
0
Z π
Z π
Z π
2
2
2
cos5 (t )dt =
cos4 (t ). cos(t )dt =
(1 − sin2 (t ))2 cos dt.
0
0
0
On pose x = sin(t ), dx = cos(t )dt.
Z
π
2
cos5 (t )dt =
0
Z
0
(1 − x 2 )2 dx =
1
= [x +
Pr. Boua Hamid (UMP)
Z
1
(1 + x 4 − 2x 2 )dx
0
x5
5
−2
FPN
x3
3
1
2
5
3
]10 = 1 + −
=
8
15
2 mai 2021
21 / 21