EM 4
Corrigé des exercices sur le calcul de primitives
Remarque : dans les calculs ci-dessous, nous donnons à chaque fois une primitive des fonctions pro-
posées.
1) On peut intégrer par parties :
Z(x2−x) sin x dx =−(x2−x) cos x+Z(2x−1) cos x dx ,
puis
Z(2x−1) cos x dx = (2x−1) sin x−Z2 sin x dx
= (2x−1) sin x+ 2 cos x
d’où Z(x2−x) sin x dx = (−x2+x+ 2) cos x+ (2x−1) sin x .
2) On peut intégrer par parties, ou procéder par identification. La fonction admet une primitive de la
forme
P(x) = (ax3+bx2+cx +d)e−x.
On calcule la dérivée
P′(x) = (−ax3+ (3a−b)x2+ (2b−c)x+ (c−d))e−x,
et l’on identifie. Puisque l’on veut
P′(x) = (x3−2x+ 1)e−x,
on obtient le système
−a= 1
3a−b= 0
2b−c=−2
c−d= 1
,
d’où l’on tire facilement (a, b, c, d) = (−1,−3,−4,−5). Une primitive vaut donc
P(x) = −(x3+ 3x2+ 4x+ 5)e−x.