Capítulo 1 Sistemas de ecuaciones y matrices (continuación)

8
8
§1.2 OPERACIONES EN
n
En la sección anterior utilizamos funciones de
n
en . Intentemos definir algunas operaciones en
el primer conjunto y estudiar sus propiedades.
Recordemos de cursos anteriores que tomamos al conjunto de los complejos como
2
y definimos
la suma:
( , ) ( , ) ( , )x y x y x x y y  = + +
,
( , ),( , )x y x y
, probando posteriormente que
( )
,
es un grupo conmutativo.
Parece razonable definir "suma" en
n
de la siguiente manera:
( )
()()
1 2 1 2 1 1 2 2
, ,......, , ,......, , ,......,
n n n n
x x x x x x x x x x x x  = + + +
Ejercicios
1) Probar que
( )
,
n
es un grupo conmutativo.
2) Anotemos
0
n
al conjunto de todas las n-plas de reales en las cuales son nulas todas
sus componentes salvo eventualmente la primera, i.e.
( )
0 1 2 2
, , , : 0
nn
nn
x x x x x=  = = =
.
Demostrar que
0
:n f→
definida por
( )
( ) ,0,..,0f x x=
es un isomorfismo entre los grupos
( )
,+
y
( )
0,
n
; esto es, f es biyectiva y
( )
( ) ( )f x y f x f y+ = +
.
Al igual que sucede con los complejos, el mencionado isomorfismo permite simplificar la notación
escribiendo + en lugar de
. En otras palabras, a partir de ahora anotaremos de la misma manera la
suma de reales que la suma de n-plas.
Por otra parte, observemos que esta idea la podemos aplicar sobre cualquier grupo. Pudiendo así
extender la suma de enteros, racionales o complejos a la suma de n-plas de enteros, racionales o
complejos.
Para el caso
2n=
la representación geométrica de la suma coincide con la que hacíamos para
vectores en el plano. (fig.1)
fig. 1 fig. 2
Recordemos que además de poder sumar vectores los podemos "multiplicar" un vector por un
número real (fig.2).
La definición formal sería:
22
·: →
tal que
( ) ( )
1 2 1 2
. , ,x x x x =
Con lo cual también parece razonable definir el producto de un real por una n-pla de la siguiente
forma,
:nn   →
tal que
( ) ( )
11
. , , , ,
nn
x x x x =
.
O
( )
12
x ,x
( )
12
y ,y
( )
1 1 2 2
x y ,x y++
O
( )
12
x ,x
( )
12
x , x

9
9
Ejercicio
Probar:
i)
( ) ( )
11
. . , , ( ). , ,
nn
x x x x =
,
,
,
( )
1,, n n
xx
.
ii)
( ) ( ) ( )
1 1 1
, , , , , ,
n n n
x x x x x x + = +
,
,
,
( )
1,, n n
xx
.
iii)
( ) ( ) ( ) ( )
1 1 1 1
. , , , , , , , ,
n n n n
x x y y x x y y + = +
,
,
( ) ( )
11
, , , , , n
nn
x x y y
.
iv)
( ) ( )
11
1. , , , ,
nn
x x x x=
,
( )
1,, n n
xx
.
Observación
Lo hecho con
( )
, , ,
n+
lo podemos extender a
( )
, , ,
n
KK+
a partir de un cuerpo
cualquiera
( )
,,K+
.
Ejercicio
Investigue bibliográficamente si es posible extender el producto de pares de reales
realizado para el producto de complejos a
;3
nn
. Sugerimos por ejemplo: "Elementos de
Análisis Algebraico" de Rey Pastor.
§1.3 MATRICES
Observemos que cuando trabajamos con sistemas de ecuaciones lineales el escribir reiteradamente
las incógnitas es innecesario. Toda la información que precisamos está en los coeficientes de las
mismas y en los términos independientes. Intentando ser más explícitos trabajemos con un caso
particular.
El sistema
4 7 12
2 3 5 11
3 2 8 31
x y z
xyz
x y z
+ − = −
−+=
+ + =
determina y queda determinado por los arreglos rectangulares
1 4 7
2 3 5
3 2 8
−
−
y
12
11
31
−
o también por
1 4 7 12
2 3 5 11
3 2 8 31
 − − 
−
Dichos arreglos rectangulares reciben el nombre de matrices. A la primera de ellas
1 4 7
2 3 5
3 2 8
−
−
la
llamamos matriz de los coeficientes del sistema y a la última
1 4 7 12
2 3 5 11
3 2 8 31
 − − 
−
matriz ampliada
del sistema.

10
10
En la resolución del sistema planteado (lo cual hicimos en la sección anterior bajo el título de
ejemplo 1) escribíamos:
4 7 12
2 3 5 11
3 2 8 31
x y z
xyz
x y z
+ − = −
−+=
+ + =
1 2 2
1 3 3
( 2).
( 3).
E E E
E E E
− + →
− + →
4 7 12
11 19 35
10 29 67
x y z
yz
yz
+ − = −
− + =
− + =
2 3 3
( 10). 11.E E E − + →
4 7 12 1
11 19 35 2
129 387 3
x y z x
y z y
zz
+ − = − =
− + =  =
==
Lo cual podemos sintetizar:
1 4 7 12 1 4 7 12 1 4 7 12
2 3 5 11 0 11 19 35 0 11 19 35
3 2 8 31 0 10 29 67 0 0 129 387
 − −   − −   − − 
− ⎯→ − ⎯→ − ⎯→
−
1 0 0 1
0 1 0 2
0 0 1 3
Ejercicio
Indique las transformaciones que llevan de una matriz a otra.
Si quiere profundizar en esta notación encontrará una bibliografía más que abundante al respecto.
Personalmente le recomendamos "Álgebra y Geometría" de E. Hernández y "Geometría y Álgebra
lineal 1" del I.M.E.R.L (CEI 2005). En este último encontrará también aplicaciones muy
interesantes sobre sistemas de ecuaciones lineales.
Detengámonos en el concepto de matriz.
La primera pregunta que surge es ¿Qué es una matriz? Decir que una matriz
mn
es un arreglo
rectangular de m filas por n columnas, no es una definición formal. A lo sumo es una descripción
que hace referencia a su aspecto. Para definirlo apropiadamente comencemos por analizar un caso
particular.
Si
3 2 4
1 0 5
A− =
podemos "leerla”
O también:
Fila
Columna
1
1
3
1
2
-2
1
3
4
2
1
1
2
2
0
2
3
5
(1,1)
(1,2)
(1,3)
(2,1)
(2,2)
(2,3)
3
2
4
1
0
5
−

11
11
Si
*
n
y anotamos
:1
n
I x x n=   
(conjuntos llamados secciones inferiores de
naturales) podemos considerar a la matriz A como una función de
23
II→
. Es inmediato que
esta consideración se puede realizar (con los ajustes necesarios) sobre cualquier matriz. En
consecuencia, es razonable realizar la siguiente definición.
Definición
Consideramos: H un conjunto no vacío,
*
,mn
. Llamamos matriz de orden
mn
en
H a una función de
mn
II
en H. Al conjunto de todas las matrices de
mn
en H lo anotamos
()
mn H
M
.
Nota
Si
()
mn
AH M
entonces A es una función de
mn
I I H→
.
Si la imagen de
( , ) mn i j I I
es z suele anotarse:
ij
az=
y
()
ij
Aa=
, notación muy similar a la
utilizada en sucesiones.
Con esta notación si
, ( )
mn
A B H M
,
()
ij
Aa=
y
()
ij
Bb=
, entonces
i j i j
A B a b=  =
,
( , ) mn i j I I  
, lo que no es otra cosa que la igualdad de funciones.
§1.4 TRANSFORMACIONES LINEALES
Recordemos que en los cursos de Secundaria llamábamos funciones lineales a las funciones
:f→
tal que
( ) .f x k x=
dado que su gráfico es una recta por el origen.
A veces también se les llama funciones lineales a las de la forma
: ( )g g x a x b=+
. Preferimos
reservar el nombre de lineales para las primeras.
Intentemos generalizar esta noción a funciones de
n
en
m
. Consideraremos como tales las
funciones para las cuales las componentes de la correspondiente de una n- pla son combinación
lineal de las componentes de dicha n-pla.
Por ejemplo
32
:T→
definida por
( )
( , , ) 2 , 2T x y z x y z x z= + − +
.
Investiguemos si T es sobreyectiva.
T es sobreyectiva sii
( ) ( ) ( ) ( )
23
, , , , / , , ,x y z T x y z     =
. Es decir, T es sobreyectiva
sii el sistema
2
2
x y z
xz
+ − =
+=
es compatible
( )
2
,
.
Representándolo matricialmente tenemos:
1 1 2
2 0 1
 − 
. Resolviendo dicho sistema tenemos que
se trata de un sistema compatible indeterminado
( )
2
,
cuyo conjunto solución
es:
( )
, 5 2 , 2 := − + + − + S x x x x
Por lo tanto T es sobreyectiva.
En la resolución del problema anterior aparece la matriz
1 1 2
2 0 1
−
= B
cuya primera fila está
formada por los coeficientes de x, y y z en la primera componente de
( , , )T x y z
y análogamente la
segunda fila. Esta matriz de alguna manera representa a la función T pues contiene toda la
información acerca de ella.

12
12
Recíprocamente considerada la matriz
11 12 13 23
21 22 23
()
c c c
Cc c c  = M
, podemos definir la función
32
:G→
tal que
( )
11 12 13 21 22 23
( , , ) ,G x y z c x c y c z c x c y c z= + + + +
.
En general dada la matriz
11 12 1
21 22 2
12
()
n
nmn
m m mn
a a a
a a a
A
a a a
= M
podemos definir la función
:nm F→
tal que
( ) ( )
1 11 1 12 2 1 1 1 2 2
, , , ,
n n n m m mn n
F x x a x a x a x a x a x a x= + + + + + +
.
A dicha función la llamaremos transformación lineal asociada con A.
Ejercicios
Hallar la transformación lineal asociada con A en cada uno de los siguientes casos:
i)
10
01
A =
−
ii)
1 0 0
0 1 0
000
A =
iii)
1 0 0
0 1 0
0 0 1
A =
Interpretar geométricamente.
Observación
Consideramos
:f→
tal que
( ) .f x k x=
.
Ahora
( ) ( )
( ) ( )f x y k x y kx ky f x f y+ = + = + = +
,
,xy
y
( )
()f x k x f x ==
,
,
x
.
Estas dos propiedades son las que caracterizan a las funciones lineales en . Veremos ahora que
esta caracterización se extiende a las transformaciones lineales que acabamos de definir.
Proposición
Si
:nm f→
es una transformación lineal asociada a la matriz A entonces:
1)
( ) ( ) ( )
,n f x y f x f y x y+ = +  
.
2)
( ) ( )
n
f x f x x =    
.
Dem:
Por comodidad hagamos la demostración para
22
:f→
con
ab
Acd =
.
Denominamos
( )
12
,x x x=
y
( )
12
,y y y=
, entonces
( )
1 1 2 2
,x y x y x y+ = + +
.
Como f es la transformación lineal asociada con
ab
Acd =
, tenemos:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2
,,f x y f x y x y a x y b x y c x y d x y+ = + + = + + + + + + 
( ) ( ) ( ) ( )
1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2
, , ,f x y ax ay bx by cx cy dx dy ax bx cx dx ay by cy dy + = + + + + + + = + + + + + =
( ) ( ) ( ) ( )
1 2 1 2
,,f x x f y y f x f y= + = +
Análogamente se prueba el punto 2).♣