8 §1.2 OPERACIONES EN n En la sección anterior utilizamos funciones de el primer conjunto y estudiar sus propiedades. n en . Intentemos definir algunas operaciones en Recordemos de cursos anteriores que tomamos al conjunto de los complejos como 2 y definimos la suma: ( x, y) ( x, y ) = ( x + x, y + y ) , ( x, y),( x, y ) , probando posteriormente que ( ,) es un grupo conmutativo. Parece razonable definir "suma" en n de la siguiente manera: ( x1, x2 ,......, xn ) x1 , x2 ,......, xn = x1 + x1, x2 + x2,......, xn + xn ) ( ( Ejercicios 1) Probar que 2) Anotemos ( n n 0 , ) es un grupo conmutativo. al conjunto de todas las n-plas de reales en las cuales son nulas todas sus componentes salvo eventualmente la primera, i.e. → Demostrar que f : ( , +) y ( n 0 ) n 0 n 0 = ( x1 , x2 , , xn ) n : x2 = = xn = 0 . definida por f ( x) = ( x,0,..,0) es un isomorfismo entre los grupos , ) ; esto es, f es biyectiva y f ( x + y ) = f ( x) + f ( y) . Al igual que sucede con los complejos, el mencionado isomorfismo permite simplificar la notación escribiendo + en lugar de . En otras palabras, a partir de ahora anotaremos de la misma manera la suma de reales que la suma de n-plas. Por otra parte, observemos que esta idea la podemos aplicar sobre cualquier grupo. Pudiendo así extender la suma de enteros, racionales o complejos a la suma de n-plas de enteros, racionales o complejos. Para el caso n = 2 la representación geométrica de la suma coincide con la que hacíamos para vectores en el plano. (fig.1) ( x1 + y1 ,x2 + y2 ) ( x1 ,x2 ) ( x1 , x2 ) ( y1 , y2 ) ( x1 ,x2 ) O O fig. 1 fig. 2 Recordemos que además de poder sumar vectores los podemos "multiplicar" un vector por un número real (fig.2). La definición formal sería: · : 2 → 2 tal que .( x1, x2 ) = ( x1, x2 ) Con lo cual también parece razonable definir el producto de un real por una n-pla de la siguiente forma, : n → n tal que .( x1, , xn ) = ( x1, , xn ) . 8 9 Ejercicio Probar: i) . . ( x1 , ii) + ( x1, , xn ) = ( ). ( x1 , , xn ) = ( x1, , xn ) , , , xn ) + ( x1, iii) . ( x1 , , xn ) + ( y1 , , yn ) = ( x1 , ( x1 , , xn ) , ( y1, , yn ) n . iv) 1.( x1, , xn ) = ( x1, Observación Lo hecho con ( n , xn ) , ( x1, , ( x1 , , xn ) , , , xn ) + ( y1 , , xn ) n , xn ) n . , ( x1 , , xn ) n . , yn ) , , . , +, , ) lo podemos extender a ( K n , +, K , ) a partir de un cuerpo cualquiera ( K , +, ) . Ejercicio Investigue bibliográficamente si es posible extender el producto de pares de reales realizado para el producto de complejos a n ; n 3 . Sugerimos por ejemplo: "Elementos de Análisis Algebraico" de Rey Pastor. §1.3 MATRICES Observemos que cuando trabajamos con sistemas de ecuaciones lineales el escribir reiteradamente las incógnitas es innecesario. Toda la información que precisamos está en los coeficientes de las mismas y en los términos independientes. Intentando ser más explícitos trabajemos con un caso particular. x + 4 y − 7 z = −12 El sistema 2 x − 3 y + 5 z = 11 determina y queda determinado por los arreglos rectangulares 3x + 2 y + 8 z = 31 1 4 −7 −12 2 −3 5 y 11 o también por 3 2 8 31 1 4 −7 −12 2 −3 5 11 3 2 8 31 1 4 −7 Dichos arreglos rectangulares reciben el nombre de matrices. A la primera de ellas 2 −3 5 la 3 2 8 1 4 −7 −12 llamamos matriz de los coeficientes del sistema y a la última 2 −3 5 11 matriz ampliada 3 2 8 31 del sistema. 9 10 En la resolución del sistema planteado (lo cual hicimos en la sección anterior bajo el título de ejemplo 1) escribíamos: x + 4 y − 7 z = −12 2 x − 3 y + 5 z = 11 3x + 2 y + 8 z = 31 x + 4 y − 7 z = −12 −11 y + 19 z = 35 129 z = 387 (−2).E1 + E2 → E2 (−3).E1 + E3 → E3 x + 4 y − 7 z = −12 − 11 y + 19 z = 35 − 10 y + 29 z = 67 (−10).E2 + 11.E3 → E3 x = 1 y = 2 z = 3 Lo cual podemos sintetizar: 1 4 −7 −12 1 4 −7 −12 1 4 −7 −12 1 0 0 1 → 0 −11 19 35 ⎯ → 0 −11 19 35 ⎯ → 0 1 0 2 2 −3 5 11 ⎯ 3 0 −10 29 67 0 0 0 1 3 2 8 31 0 129 387 Ejercicio Indique las transformaciones que llevan de una matriz a otra. Si quiere profundizar en esta notación encontrará una bibliografía más que abundante al respecto. Personalmente le recomendamos "Álgebra y Geometría" de E. Hernández y "Geometría y Álgebra lineal 1" del I.M.E.R.L (CEI 2005). En este último encontrará también aplicaciones muy interesantes sobre sistemas de ecuaciones lineales. Detengámonos en el concepto de matriz. La primera pregunta que surge es ¿Qué es una matriz? Decir que una matriz m n es un arreglo rectangular de m filas por n columnas, no es una definición formal. A lo sumo es una descripción que hace referencia a su aspecto. Para definirlo apropiadamente comencemos por analizar un caso particular. Fila 1 1 1 2 2 2 3 −2 4 Si A = podemos "leerla” 1 0 5 Columna 1 2 3 1 2 3 O también: (1,1) (1, 2) (1, 3) 3 −2 4 1 (2,1) (2, 2) (2, 3) 0 5 10 3 -2 4 1 0 5 11 Si n * y anotamos I n = x :1 x n (conjuntos llamados secciones inferiores de naturales) podemos considerar a la matriz A como una función de I 2 I 3 → . Es inmediato que esta consideración se puede realizar (con los ajustes necesarios) sobre cualquier matriz. En consecuencia, es razonable realizar la siguiente definición. Definición Consideramos: H un conjunto no vacío, m, n * . Llamamos matriz de orden m n en H a una función de I m I n en H. Al conjunto de todas las matrices de m n en H lo anotamos M mn ( H ) . Nota Si A M mn ( H ) entonces A es una función de I m I n → H . Si la imagen de (i, j ) I m I n es z suele anotarse: aij = z y A = ( ai j ) , notación muy similar a la utilizada en sucesiones. Con esta notación si A, B Mmn ( H ) , A = ( aij ) y B = (bij ) , entonces A = B ai j = bi j , (i, j ) I m I n , lo que no es otra cosa que la igualdad de funciones. §1.4 TRANSFORMACIONES LINEALES Recordemos que en los cursos de Secundaria llamábamos funciones lineales a las funciones f: → tal que f ( x) = k. x dado que su gráfico es una recta por el origen. A veces también se les llama funciones lineales a las de la forma g : g ( x) = a x + b . Preferimos reservar el nombre de lineales para las primeras. Intentemos generalizar esta noción a funciones de n en m . Consideraremos como tales las funciones para las cuales las componentes de la correspondiente de una n- pla son combinación lineal de las componentes de dicha n-pla. definida por T ( x, y, z) = ( x + y − 2z , 2x + z ) . Investiguemos si T es sobreyectiva. T es sobreyectiva sii ( , ) 2 , ( x, y, z ) 3 / T ( x, y, z ) = ( , ) . Es decir, T es sobreyectiva Por ejemplo T : 3 → 2 x + y − 2z = sii el sistema es compatible ( , ) 2 . 2 x + z = 1 1 −2 Representándolo matricialmente tenemos: . Resolviendo dicho sistema tenemos que 1 2 0 se trata de un sistema compatible indeterminado ( , ) 2 cuyo conjunto solución es: S = ( x, −5x + + 2 , −2x + ) : x Por lo tanto T es sobreyectiva. 1 1 −2 En la resolución del problema anterior aparece la matriz B = cuya primera fila está 2 0 1 formada por los coeficientes de x, y y z en la primera componente de T ( x, y, z ) y análogamente la segunda fila. Esta matriz de alguna manera representa a la función T pues contiene toda la información acerca de ella. 11 12 c c c Recíprocamente considerada la matriz C = 11 12 13 M23 ( ) , podemos definir la función c21 c22 c23 G : 3 → 2 tal que G( x, y, z) = ( c11 x + c12 y + c13 z , c21 x + c22 y + c23 z ) . a1n a11 a12 a21 a22 a2 n En general dada la matriz A = Mmn ( ) podemos definir la función amn am1 am 2 F : n → m tal que F ( x1 , , xn ) = ( a11 x1 + a12 x2 + + a1n xn , , am1 x1 + am2 x2 + + amn xn ) . A dicha función la llamaremos transformación lineal asociada con A. Ejercicios Hallar la transformación lineal asociada con A en cada uno de los siguientes casos: 1 0 0 1 0 0 1 0 i) A = ii) A = 0 1 0 iii) A = 0 1 0 0 −1 0 0 0 0 0 1 Interpretar geométricamente. Observación tal que f ( x) = k. x . Ahora f ( x + y ) = k ( x + y ) = kx + ky = f ( x) + f ( y) , x, y , x . Consideramos f : → y f ( x ) = k x = f ( x) , Estas dos propiedades son las que caracterizan a las funciones lineales en . Veremos ahora que esta caracterización se extiende a las transformaciones lineales que acabamos de definir. Proposición Si f : n → m es una transformación lineal asociada a la matriz A entonces: 1) f ( x + y ) = f ( x ) + f ( y ) x, y n . 2) f ( x ) = f ( x ) x n . Dem: a b con A = . c d y y = ( y1 , y2 ) , entonces x + y = ( x1 + y1 , x2 + y2 ) . Por comodidad hagamos la demostración para f : Denominamos x = ( x1 , x2 ) 2 → 2 a b Como f es la transformación lineal asociada con A = , tenemos: c d f ( x + y ) = f ( x1 + y1 , x2 + y2 ) = ( a ( x1 + y1 ) + b ( x2 + y2 ) , c ( x1 + y1 ) + d ( x2 + y2 )) f ( x + y ) = ( ax1 + ay1 + bx2 + by2 , cx1 + cy1 + dx2 + dy2 ) = ( ax1 + bx2 , cx1 + dx2 ) + ( ay1 + by2 , cy1 + dy2 ) = = f ( x1 , x2 ) + f ( y1 , y2 ) = f ( x ) + f ( y ) Análogamente se prueba el punto 2).♣ 12 13 Nota Si El teorema anterior es equivalente a decir: f : n → m es una transformación lineal entonces: , , x , y n f ( x + y ) = f ( x ) + f ( y ) , . Veamos ahora que el recíproco del teorema anterior también es cierto. En otras palabras, que toda función f : n → m que cumpla 1) f ( x + y ) = f ( x ) + f ( y ) x, y n y 2) f ( x ) = f ( x ) x n es una transformación lineal asociada a una matriz A que determinaremos. 2 Por comodidad trabajemos con f : Primero observemos que ( x1, x2 ) → 2 . ( x1, x2 ) = ( x1,0) + (0, x2 ) = x1 (1,0) + x2 (0,1) 2 f ( x1, x2 ) = x1 f (1,0) + x2 f ( 0,1) . Si llamamos (a, c) a f (1,0) y (b, d ) a f (0,1) tenemos que: f ( x1, x2 ) = x1 (a, c) + x2 (b, d ) = ( ax1 + bx2 , cx1 + dx2 ) y por lo tanto f es la transformación lineal a b asociada a la matriz A = . c d Observación La matriz A tiene por primera columna f (1,0) y por segunda f (0,1) . Ejercicio Hallar la matriz asociada a una rotación de centro O(0, 0) y ángulo en sentido 2 antihorario. Nota Si tenemos f : n → m denominamos ei = ( 0,0,.....,0,1,0,....,0) n donde el 1 ocupa el i-ésimo lugar, así e1 = (1,0,...,0) , e2 = ( 0,1,0,..,0) .... , etc. Consideramos f: ahora n → m transformación lineal con matriz asociada a11 a12 a a22 A = 21 am1 am 2 a1n a2 n . amn Entonces f (e1 ) = ( a111 + a12 0 + ... + a1n 0, a211 + a22 0 + ... + a2n 0,...., am11 + am2 0 + ... + amn 0) f (e1 ) = ( a11, a21,...., am1 ) que es la primera columna de la matriz A. f (e2 ) = ( a11 0 + a121 + ... + a1n 0, a21 0 + a221 + ... + a2n 0,...., am1 0 + am21 + ... + amn 0) = ( a12 , a22 ,...., am2 ) que es la segunda columna de A. ( ) Así f (e j ) = a1 j , a2 j ,....., am j que es la j-ésima columna de A. 13 14 El teorema que hemos probado motiva la siguiente definición: Definición Consideramos T : n → m función. Decimos que T es una transformación lineal si y sólo si: 1) T ( x + y ) = T ( x ) + T ( y ) , x, y 2) T ( x ) = T ( x ) , , x n n De esta forma independizamos la definición de transformación lineal del concepto de matriz. §1.5 OPERACIONES CON TRANSFORMACIONES LINEALES Recordemos que para funciones de en definimos la suma de dos funciones f y g como ( f g )( x) = f ( x) + g ( x), x y definimos el producto de una función f por un real como ( f )( x) = . f ( x), x . Esta idea puede extenderse a funciones en cuyo codominio esté definido una suma y el producto por un escalar. Por ejemplo, a funciones de n en m . Analicemos ahora las propiedades de las operaciones recién definidas. Denominemos H al conjunto formado por todas las funciones de n en m . Proposición ( H , ) es un grupo conmutativo. Dem: 1) Asociativa ( f g ) h = f ( g h), f , g , h H . Tengamos en cuenta que si , H , = ( x ) = ( x ) , x Entonces: . ( f g ) h = f ( g h) ( f g ) h ( x) = f ( g h) ( x), x ( f g ) h ( x ) = ( f g )( x ) + h( x ) = f ( x ) + g ( x ) + h( x ) =() = f ( x ) + ( g h)( x ) = f ( g h) ( x ), x n . (*) Asociativa de la suma en n 2) Conmutativa f g = g f Ahora: n f , g H n ( f g )( x) = f ( x) + g ( x) =(*) g ( x) + f ( x) = ( g f )( x), x (*) Conmutativa de la suma en n . 14 . f ( x ) + g ( x ) + h( x ) . f g = g f ( f g )( x ) = ( g f )( x ), x n n 15 3) Existencia de neutro H / f = f , f H Definimos : función nula. n → m tal que ( x ) = (0, 0, ( f )( x ) = f ( x ) + ( x ) = f ( x ) + (0, 0, razonamiento válido f H . 4) Existencia de opuesto Definimos − f : n → , 0) m , x , 0) = f ( x ), x n n , a la cual denominaremos f = f . f H , − f H / f (− f ) = m tal que (− f )( x ) = − f ( x ), x n . ( f (− f )) ( x) = f ( x) + (− f )( x) = f ( x) − f ( x) = (0,0,...,0) = ( x), x n f (− f ) = .♣ Nota Al igual que para las operaciones en símbolos usuales + y . n evitaremos recargar la notación y utilizaremos los Ejercicio Probar: 1) ( f ) = ( ) f , , , f H . 2) ( f + g ) = ( f ) + ( g ) , , f , g H . 3) ( + ) f = ( f ) + ( f ) , , , f H . 4) 1 f = f , f H . Obsérvese que en la parte 3) de este ejercicio el símbolo + representa en el miembro izquierdo de la igualdad la suma de reales y en el miembro derecho de la igualdad la suma de funciones. Proposición Si f y g son transformaciones lineales de i) f + g es una transformación lineal. ii) f es una transformación lineal. n en m y , entonces: Dem: i) (f + g )( x + y ) = f ( x + y ) + g ( x + y ) = f = prop. de m y g lineales f (x) + f ( y) + g (x) + g ( y) = ( f ( x ) + g ( x ) ) + ( f ( y ) + g ( y ) ) = ( f + g )( x ) + ( f + g )( y ) , , ii) A cargo del lector.♣ 15 , x , y n 16 Ejercicio Probar que la suma de transformaciones lineales y el producto de un real por una transformación lineal cumple las mismas propiedades que vimos en H (conjunto de todas las funciones de n en m ). Para ser más preciso, si denominamos L ( n , m ) al conjunto de todas n las transformaciones lineales de ( 1) L ( n m , en m probar que: ) , + ) es un grupo conmutativo. 2) i) ( f ) = ( ) f , , , f L ( ii) ( f + g ) = ( f ) + ( g ) , , iii) ( + ) f = ( f ) + ( f ) , , iv) 1 f = f , f L ( n m , ). ). f , g L ( , f L ( n , m n m , n , ). ). m §1.6 OPERACIONES CON MATRICES Intentemos definir una suma de matrices de tal forma que la matriz asociada a la suma f + g de dos transformaciones lineales sea la suma de las matrices asociadas a f y g, y el producto de un escalar por una matriz para que la matriz asociada a f sea por la matriz asociada a f. Consideramos f , g L ( n , m ) ( ) a la matriz asociada a f y B = (b ) a la denominamos A = ai j ij asociada a g. La matriz asociada a f + g tiene por j-ésima columna ( f + g ) ( e j ) . Por como definimos la suma de funciones: ( f + g ) ( e j ) = f ( e j ) + g ( e j ) ( ) B = ( b ) a la matriz asociada a g Ya que llamamos A = ai j a la matriz asociada a f ij g (e j ) = ( b1 j , b2 j , Por lo tanto: ( f + g ) ( e j ) = f ( e j ) + g ( e j ) = a1 j , a2 j ,...., am j + b1 j , b2 j , ( ) ( f (e j ) = ( a1 j , a2 j , , am j ) , , bm j ) . , bm j ) = ( a1 j + b1 j , a2 j + b2 j , , am j + bm j ) Como esto es válido para cualquier columna j tenemos que la matriz asociada a f + g es a11 + b11 a21 + b21 am1 + bm1 a12 + b12 a22 + b22 am 2 + bm 2 a1n + b1n a2 n + b2 n Mmn ( ) o más sintéticamente ( ai j + bi j ) . amn + bmn Lo cual hace razonable la siguiente definición: Definición Consideramos A, B Mmn ( C de Mmn ( ) ( ) ), A = ( ai j ) y B = ( bi j ) . Definimos A + B como la matriz tal que C = ci j con ci j = ai j + bi j , i de 1 a m, j de 1 a n. 16 17 Observación Con esta definición logramos el propósito de que la matriz asociada a la suma sea la suma de las matrices asociadas. También observemos que podemos sumar dos matrices reales únicamente cuando ambas tienen la misma cantidad de filas y la misma cantidad de columnas. Análogamente definimos Definición Consideramos D = ( di j ) Mmn ( Ejercicio Nota ) tal que ( ) y una matriz A = ai j Mmn ( ) . Definimos αA como la matriz d i j = ai j , i de 1 a m, j de 1 a n. Verificar que la matriz asociada a f es el producto de por la matriz asociada a f. Consideremos : L ( n , m ) → M ( ) tal que ( f ) es la matriz asociada a f. O sea mn es la función que a cada aplicación lineal le hace corresponder su matriz asociada. Por lo visto anteriormente efectivamente es una función ya que dada una transformación lineal existe y es única su matriz asociada. Y además dicha función es biyectiva, ya que cada matriz es la matriz asociada a una y a sólo una transformación lineal. También conserva la suma y el producto por un escalar. Para ser más precisos: ( f + g ) = ( f ) + ( g ) f , g L ( n , m ) y ( f ) = ( f ) , , f L ( n , m ). Se puede observar que todas las propiedades vistas para la suma de transformaciones lineales y el producto de un escalar por una transformación lineal se trasmiten a la suma de matrices y al producto de un escalar por una matriz. Siendo más explícito: 1) (Mmn ( 2) ) , + ) es un grupo conmutativo. i) ( A) = ( ) A, , , A Mmn ( ) . ii) ( A + B ) = A + B, , A, B Mmn ( ) . iii) ( + ) A = A + A, , , A Mmn ( ) . iv) 1 A = A, A Mmn ( ) . Intentemos ahora definir un producto de matrices de forma que la matriz asociada a la compuesta de dos transformaciones lineales sea el producto de las matrices asociadas. Primero demostremos que la composición de dos transformaciones lineales da como resultado una transformación lineal. Proposición Sean f : n → m y g : m → p transformaciones lineales. Entonces g f : n → p es una transformación lineal. 17 18 Dem: g f ( x + y ) = g ( f ( x + y )) =linealidad de f g ( f ( x ) + f ( y )) =linealidad de g g ( f ( x )) + g ( f ( y )) = = g f ( x ) + g f ( y ) , , , x , y n .♣ Volviendo a la matriz asociada a la compuesta, consideramos f : b b cuya matriz asociada es B = 11 12 y g : b21 b22 a12 a A = 11 . a21 a22 (g 2 → 2 2 → 2 transformación lineal también lineal cuya matriz asociada es f ) ( x, y ) = g ( f ( x, y ) ) = g ( b11 x + b12 y , b21 x + b22 y ) = = ( a11 b11 x + b12 y + a12 b21 x + b22 y , a21 b11 x + b12 y + a22 b21 x + b22 y ) = = ( a11b11 x + a11b12 y + a12 b21 x + a12 b22 y , a21b11 x + a21b12 y + a22 b21 x + a22 b22 y ) = = ( a11b11 + a12 b21 x + a11b12 + a12 b22 y , a21b11 + a22 b21 x + a21b12 + a22 b22 y ) Entonces la matriz asociada a g a b +a b f es 11 11 12 21 a21b11 + a22 b21 En f: general consideramos: B = ( bi j ) Mmn ( ) , g : m → p n → m a11b12 + a12 b22 . a21b12 + a22 b22 transformación lineal de matriz ( ) transformación lineal de matriz asociada A = ai j M pm ( ) . Buscamos la matriz asociada a g f : n → p ( ) a la cual llamaremos C = ci j M pn ( c1 j c2 j La j-ésima columna de C, es ( g f ) ( e j ) . Ahora ( g f ) ( e j ) = g ( f (e j ) ) . c p j Como B = bi j Mmn ( ) es la matriz asociada a f, se tiene f (e j ) = b1 j , b2 j , , bm j ( ) g ( f (e ) ) = g ( b j = ( a11b1 j + a12b2 j + 1j , b2 j , asociada ( , bm j ) = + a1mbmj , a21b1 j + a22b2 j + c1 j a11b1 j + a12b2 j + c2 j a21b1 j + a22b2 j + Por lo tanto = c p j a p1b1 j + a p 2b2 j + + a2 mbmj , , a p1b1 j + a p 2b2 j + + a1mbm j + a2 mbm j ci j = ai1b1 j + ai 2b2 j + + a pmbm j Lo cual motiva la siguiente definición. 18 ) ). + a pmbm j ) + ai mbm j . 19 Definición ( ) ( ) Consideramos A = ai j M pm ( ) y B = bi j Mmn ( ) . ( ) Definimos el producto AB como la matriz C = ci j M pn ( ci j = ai1b1 j + ai 2b2 j + ) tal que: m + ai mbm j = ai k bk j . k =1 Observación Para poder realizar el producto de dos matrices la cantidad de columnas del primer factor debe coincidir con la cantidad de filas del segundo factor A = ( ai j ) M p m ( ) y B = ( bi j ) M m n ( ) . Nota Con esta definición de producto logramos el objetivo que la matriz asociada a la transformación lineal compuesta sea el producto de las matrices asociadas. Con cierto grado de informalidad podemos utilizar la función que a cada transformación lineal le hace corresponder la matriz asociada y escribir ( g f ) = ( g ) . ( f ) . Nótese que fue definida de L ( Mmn ( ) y aquí f L ( n , m ), g L( m , p ) y g f L( n , p ) n , m ) en de modo que en esta igualdad hay tres distintas. Ya que “la función es biyectiva”, esto trae como consecuencia que las propiedades de la composición de aplicaciones lineales se trasmiten al producto de matrices. Ejercicio Probar las siguientes propiedades de transformaciones lineales y su versión matricial. 1) ( h g ) f = h ( g f ) 1’) ( A.B ) .C = A. ( B.C ) + g ) = (h f ) + (h g ) 2’) A( B + C ) = AB + AC 3) ( h + g ) f = ( h f ) + ( g f ) 3’) ( A + B ) .C = AC + BC 4) ( g ) f = ( g f ) 4’) ( A) .B = ( AB ) 2) h (f Las proposiciones 1), 2), 3) y 4) se cumplen y f , g , h lineales en las cuales puedan realizarse las operaciones indicadas. Análogamente con sus propiedades homólogas. Nota Dado el sistema de ecuaciones lineal de m ecuaciones con n incógnitas al cual podemos representar: a11 x1 + a12 x2 + + a1n xn = b1 a x +a x + +a x =b 21 1 22 2 2n n 2 am1 x1 + am 2 x2 + + amn xn = bm 19 20 a11 a Si llamamos A = 21 am1 a1n x1 b1 a2 n x2 b Mmn ( ) , X = Mn1 ( ) y B = 2 Mm1 ( ) . amn xn bm a12 a22 am 2 Al sistema lo podemos escribir: AX = B . 2x + y − z = 1 Así por ejemplo el sistema queda escrito matricialmente x + 2 y = −2 x 2 1 −1 1 y = . 1 2 0 z −2 §1.7 NEUTRO E INVERSO EN EL PRODUCTO DE MATRICES La función identidad Id : L( ( Id n , n ) ya que ( f n → n tal que Id ( x ) = x, x Id )( x ) = f ( Id ( x )) = f ( x ) , x f )( x ) = Id ( f ( x )) = f ( x ) , x n n n es neutro de la composición en f Id = f y Id f = f . Falta verificar que Id es una aplicación lineal lo que dejamos a cargo del lector. Por ende, la matriz asociada a Id va a ser neutro de (Mnn ( ) , ) . A dicha matriz la denominaremos matriz identidad y la anotaremos I. Como Id (e1 ) = e1 , Id (e2 ) = e2 , tenemos 1 0 0 1 I = 0 0 , Id (en ) = en , 0 0 . Así que existe I M nn ( ) tal que A I = I A = A para toda A M nn ( ) . 1 Veamos ahora que sucede con la inversa. De aquí en más a M nn ( ) lo notaremos por brevedad como M n ( ) . Proposición Si f : n → n es una transformación lineal invertible entonces f −1 : también una transformación lineal invertible. n → n es Dem: Hay que demostrar que f −1 es lineal. Ya sabemos que la función inversa es también biyectiva. Debemos probar entonces que f −1 ( x + y ) = f −1 ( x ) + f −1 ( y ) , , , x, y n . Ya que por hipótesis f es biyectiva, dos elementos son iguales si y solo si sus imágenes son iguales. Entonces f −1 ( x + y ) = f −1 ( x ) + f −1 ( y ) f ( f −1 ( x + y ) ) = f ( f −1 ( x ) + f −1 ( y ) ) . Ahora f ( f −1 ( x + y ) ) = x + y . 20 21 Por otra parte, por la linealidad de f f ( f −1 ( x ) + f −1 ( y ) ) = podemos escribir = f ( f −1 ( x ) ) + f ( f −1 ( y ) ) = x + y . Con lo cual queda demostrado que f −1 es lineal.♣ Nota Utilizando nuevamente que la : L( función n , n ) →M ( ) ( g f ) = ( g ) . ( f ) , como para toda transformación lineal biyectiva f de f −1 L ( n , n ) tal que f verifica n n en n , existe f −1 = f −1 f = Id , entonces para toda AM n ( ) asociada a una transformación lineal biyectiva existe A−1 M n ( ) tal que AA−1 = A−1 A = I . A la matriz A−1 como se imaginará la denominaremos matriz inversa de A. Obsérvese que no todas las matrices cuadradas tienen inversa; la tienen únicamente aquellas asociadas a transformaciones lineales invertibles. Veamos como calcular la matriz inversa de una matriz dada. 2 1 Consideremos A = . Queremos averiguar si A tiene inversa y en caso afirmativo hallarla. 4 3 x z Parece razonable tomar B = e intentar hallar x, y, z, t para que AB = I . y t 2 1 x 4 3 y 2x + y = 1 4x + 3y = 0 z 1 0 = t 0 1 2z + t = 0 4 z + 3t = 1 2x + y = 1 2z + t = 0 Sistema que podemos resolver considerando por separado y . 4x + 3 y = 0 4 z + 3t = 1 2 1 1 2 1 1 2 0 3 1 0 32 En forma matricial: → → → ⎯⎯ ⎯⎯ ⎯⎯ 4 3 0 0 1 −2 0 1 −2 0 1 −2 Por lo tanto x = 32 , y = −2 . Vamos al otro sistema: 2 1 0 2 1 0 2 0 −1 1 0 → → → ⎯⎯ ⎯⎯ ⎯⎯ 4 3 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 1 −2 Entonces: z = − 12 , t = 1 . 3 En consecuencia, la matriz A es invertible y A−1 = 2 −2 21 1 1 −2 22 Observemos que la matriz de los coeficientes de ambos sistemas es la misma. Solamente cambia la columna de los términos independientes. Con lo cual las transformaciones realizadas para resolver ambos sistemas son las mismas. Podemos entonces resolver ambos sistemas simultáneamente, escribiendo: 2 1 1 0 2 1 1 0 2 0 3 −1 1 0 32 ⎯⎯ → ⎯⎯ → ⎯⎯ → 4 3 0 1 0 1 −2 1 0 1 −2 1 0 1 −2 . 1 1 −2 Observemos que la matriz de 2 2 que quedó a la derecha de la barra vertical es A−1 . También tengamos en cuenta que lo hecho no es otra cosa que resolver ambos sistemas simultáneamente aprovechando que tienen la misma matriz de coeficientes. Entonces: Para calcular la inversa de A reducimos la matriz ( A I ) a ( I B ) mediante “operaciones elementales”. Si esto es posible A es invertible y A−1 = B . Nota Hemos llamado operaciones elementales a las siguientes: 1) Sustituir una fila por un múltiplo no nulo de ella. 2) Intercambiar dos filas. 3) Sustituir una fila por una combinación lineal de las filas de la matriz; con el único requisito que la fila sustituida no tenga coeficiente 0. Ejemplo 2 0 1 1 3 es invertible y en caso afirmativo hallar A−1 . Analizar si A = 0 2 −1 −8 1 2 0 1 0 0 1 2 0 1 0 0 1 2 0 1 0 0 1 3 0 1 0 ⎯⎯ → 0 1 3 0 1 0 ⎯⎯ → 0 1 3 0 1 0 ⎯⎯ → 0 2 −1 −8 0 0 1 0 −5 −8 −2 0 1 0 0 7 −2 5 1 1 2 0 0 1 3 0 0 1 1 0 0 1 2 0 0 1 0 ⎯⎯ →0 1 0 5 2 1 0 0 1 − 7 7 7 − 75 Por lo tanto, A es invertible y A−1 = 76 −2 7 1 0 6 7 8 −7 5 7 2 −7 16 7 8 −7 5 7 0 1 0 0 3 − 7 ⎯⎯ →0 1 0 1 0 0 1 7 5 −7 6 7 2 − 7 16 7 8 −7 5 7 1 7 6 7 3 −7 . 1 7 6 7 3 −7 Observación Frente a un sistema de ecuaciones lineal y cuadrado (con la misma cantidad de ecuaciones que de incógnitas) su expresión matricial AX = B en caso de que A sea invertible nos permite "despejar" X. Quedando X = A−1 B . 22 23 Ejemplo x + 2 y = 14 Resolver: y + 3 z = 7 2 x − y − 8z = 0 2 0 x 14 2 0 1 x 1 1 3 y = 7 y = 0 1 3 0 2 −1 −8 z 0 z 2 −1 −8 −1 14 − 75 6 7 = 7 0 − 2 7 16 7 8 −7 5 7 14 6 7 = 4 1 1 7 0 6 7 3 −7 Por lo tanto, el sistema es compatible determinado y su solución es S = ( 6, 4,1) . Finalizamos este capítulo introduciendo la noción de matriz traspuesta. Definición ( ) Sea A Mmn ( ) y notemos A = ai j . Llamamos matriz traspuesta de A, a la matriz ( ) A M nm ( ) tal que si notamos At = bi j , se tiene bi j = a ji para todo i y para todo j. t Ejercicio 1) ( A Probar las siguientes propiedades: ) t t = A , A Mmn ( ) . 2) ( A + B ) = At + Bt , A, B M mn ( ) . t 3) ( A) = At , , A Mmn ( ) . t 4) ( A. B ) = Bt . At , A Mmn ( ) , B M n p ( ) . t 5) ( A −1 ) = ( At ) , para toda matriz cuadrada invertible. t −1 23
