Physique stellaire Jérôme Pétri Observatoire Astronomique M2 Astrophysique - Strasbourg Jérôme Pétri (Observatoire Astronomique) Physique stellaire M2 Astrophysique - Strasbourg 1 / 277 F IGURE – Jérôme Pétri (Observatoire Astronomique) Physique stellaire M2 Astrophysique - Strasbourg 2 / 277 Le Soleil : une étoile typique F IGURE – Le Soleil vu par le satellite SOHO/NASA à gauche et en rayon X à droite. Jérôme Pétri (Observatoire Astronomique) Physique stellaire M2 Astrophysique - Strasbourg 2 / 277 Le Soleil : les présentations Paramètre âge masse rayon densité moyenne température de surface température centrale luminosité distance Terre-Soleil gravité de surface vitesse de libération période de rotation à l’équateur moment cinétique perte de masse température effective Valeur 4.6 × 109 ans 1.99 × 1030 kg 696.000 km 1.400 kg/m3 5770 K 107 K 3.86 × 1026 W 1.496 × 1011 m g = 274 m/s2 618 km/s 26.24 jours 1.7 × 1041 kg m2 /s 109 kg/s 5785 K composition chimique 73% d’hydrogène 25% d’Hélium 0,8% de Carbone le reste d’autres éléments. détermination à partir du spectre d’absorption Physique stellaire du Soleil. Jérôme Pétri (Observatoire Astronomique) F IGURE – Le spectre du soleil. M2 Astrophysique - Strasbourg 3 / 277 Le Soleil : son spectre de lumière des milliers de raies = transition entre deux niveaux atomiques. chaque élément chimique possède ses propres raies => identification de ces éléments F IGURE – Le spectre du Soleil (LESIA/OBSPM). Jérôme Pétri (Observatoire Astronomique) Physique stellaire M2 Astrophysique - Strasbourg 4 / 277 Le Soleil : sa structure interne Les différentes régions du soleil couronne photosphère : approximativement un corps noir chromosphère : raies d’absorption (et d’émission visibles lors d’une éclipse) zone convective zone radiative cœur nucléaire ou noyau assombrissement bord-centre : indication de la présence d’un gradient de température F IGURE – La structure interne du Soleil. Jérôme Pétri (Observatoire Astronomique) au loin le vent solaire : perte de masse (mais négligeable par rapport à M⊙ ) Physique stellaire M2 Astrophysique - Strasbourg 5 / 277 Le Soleil : un peu de physique rayonne comme un corps noir mais des écarts existent => pas d’équilibre thermodynamique parfait. => absorption possible. raies d’émission et d’absorption température augmente dans la chromosphère et diminue dans la photosphère. région de transition entre la chromosphère et la couronne => remontée de la température chauffage de la couronne ? rôle important du champ magnétique. éruption solaire = libération de matière. cycle de 11 ans = inversion de la polarité magnétique (minimum en 1996) minimum historique de Maunder dans la période 1645-1710 (absence de tâche solaire) Jérôme Pétri (Observatoire Astronomique) Physique stellaire M2 Astrophysique - Strasbourg 6 / 277 Les éruptions solaires F IGURE – Une éruption solaire. Jérôme Pétri (Observatoire Astronomique) Physique stellaire M2 Astrophysique - Strasbourg 7 / 277 Le cycle magnétique du Soleil F IGURE – Les cycles du soleil. Jérôme Pétri (Observatoire Astronomique) Physique stellaire M2 Astrophysique - Strasbourg 8 / 277 Le Soleil : ses vibrations F IGURE – Un mode propre d’oscillation dans une sphère. F IGURE – Observations des oscillations du Soleil (SOHO/MDI) L’héliosismologie et en général l’astérosismologie ont plusieurs objectifs observer les oscillations du Soleil extraire le spectre des fréquences comparer aux modes propres de pression et de gravité d’une sphère fluide en déduire la vitesse du son dans l’étoile et donc sa densité sa structure interne à partir des modes détectés en surface ! Jérôme Pétri (Observatoire Astronomique) Physique stellaire M2 Astrophysique - Strasbourg 9 / 277 Sommaire 1 Introduction 2 Structure interne des étoiles 3 Transport de l’énergie 4 Les équations d’état 5 Les réactions nucléaires 6 Les modèles d’intérieur stellaire 7 Le vent stellaire 8 Astérosismologie Jérôme Pétri (Observatoire Astronomique) Physique stellaire M2 Astrophysique - Strasbourg 10 / 277 1 Introduction 2 Structure interne des étoiles 3 Transport de l’énergie 4 Les équations d’état 5 Les réactions nucléaires 6 Les modèles d’intérieur stellaire 7 Le vent stellaire 8 Astérosismologie Jérôme Pétri (Observatoire Astronomique) Physique stellaire M2 Astrophysique - Strasbourg 11 / 277 Introduction Dans cette introduction, on rappelle certaines notions sur les plasmas. ainsi que les différents régimes possibles. fonction des conditions physiques régnant à l’intérieur des étoiles. On évoquera aussi succinctement les phases d’évolution d’un nuage de gaz. de contraction d’un nuage de gaz. pour former une planète. une étoile au sens habituel. un objet compact. Jérôme Pétri (Observatoire Astronomique) Physique stellaire M2 Astrophysique - Strasbourg 12 / 277 Généralités Pourquoi les étoiles brillent-elles ? Cette question apparemment anodine soulève néanmoins de nombreux problèmes, non encore tous résolus. En effet, l’intérieur des étoiles est caractérisé par de fortes températures des densités élevées. Le comportement de la matière dans de telles conditions est complexe, mettant en jeu des notions empruntées à différentes branches de la physique et à ce titre reste encore mal compris de nos jours (les équations d’état). Toutefois, nous allons tenter de répondre à cette première interrogation sur la nature la structure interne des étoiles en donnant une vue d’ensemble de nos connaissances actuelles. Jérôme Pétri (Observatoire Astronomique) Physique stellaire M2 Astrophysique - Strasbourg 13 / 277 Les différentes notions de physique utilisées La compréhension du fonctionnement d’une étoile fait intervenir différentes notions toutes complémentaires telles que l’hydrodynamique et la mécanique des fluides les réactions (thermo)nucléaires la thermodynamique le transfert du rayonnement la mécanique quantique la relativité générale Nous introduirons les concepts nécessaires au fur et à mesure de la progression du cours. Jérôme Pétri (Observatoire Astronomique) Physique stellaire M2 Astrophysique - Strasbourg 14 / 277 Le problème fondamental Le problème fondamental de la théorie de la structure interne est le suivant. Étant donnée une étoile de rayon R de masse M de luminosité L 1 de composition chimique bien définie il s’agit d’établir la distribution de températureT (r ) de densité ρ(r ) à l’intérieur de l’astre. Ceci permettra entre autre de trouver la relation entre la masse et la luminosité d’un tel objet : cette dépendance est une loi importante pour confirmer la théorie de la structure interne car la masse et le rayon 2 sont des observables facilement accessibles. 1. la quantité totale d’énergie libérée par unité de temps. 2. ou des grandeurs associées telles que la température de surface et le type spectral, synthétisées dans un diagramme de Hertzsprung-Russel, voir plus loin. Jérôme Pétri (Observatoire Astronomique) Physique stellaire M2 Astrophysique - Strasbourg 15 / 277 Le problème fondamental Dans son état stationnaire, l’étoile est en équilibre sous l’influence de différentes forces antagonistes la contraction gravitationnelle contrebalancée par exemple par l’échauffement du gaz lui conférant une pression suffisante pour résister à la gravité. Signalons que suivant la nature de l’étoile considérée, différents types de pression, non nécessairement d’origine thermique, peuvent exercer une force travaillant contre l’autogravité. On distingue notamment la pression thermique cinétique, c’est le cas du Soleil et de la plupart des étoiles la pression due aux interactions entre atomes, (météorites, planètes) la pression de dégénérescence quantique des électrons (naines blanches) la pression de dégénérescence quantique des neutrons (étoiles à neutrons) Jérôme Pétri (Observatoire Astronomique) Physique stellaire M2 Astrophysique - Strasbourg 16 / 277 Le problème fondamental Les naines blanches et les étoiles à neutrons appartiennent à une classe particulière d’étoiles appelées objets compacts car leur rayon est beaucoup plus faible que celui d’une étoile classique, à masse comparable, respectivement RNB = 10.000 km REN = 10 km rappel pour le Soleil R⊙ = 700.000 km. Jérôme Pétri (Observatoire Astronomique) Physique stellaire M2 Astrophysique - Strasbourg 17 / 277 Le problème fondamental L’équilibre mécanique entre les différentes couches adjacentes est une condition nécessaire mais non suffisante pour décrire une étoile en régime stationnaire 3 . Elle doit encore satisfaire l’équilibre thermique. En effet, la chaleur provoquée par les réactions nucléaires se produisant au coeur de l’étoile est évacuée par des mécanismes de transport d’énergie tels que la convection : déplacement du fluide la conduction : collision entre particules le rayonnement : par émission photonique. La luminosité de l’étoile qui en découle constitue alors une perte importante d’énergie. C’est une grandeur accessible aux mesures. Dans certaines situations pour lesquelles une violente explosion se produit, une fraction non négligeable d’énergie est transportée par l’émission de neutrinos. C’est le cas des supernovae, mais pour des étoiles classiques comme le Soleil cette perte reste faible et nous la négligerons totalement. Toutefois, d’autres formes de perte de masse existent par exemple la formation d’un vent stellaire emportant une certaine quantité de la masse (voir fin du cours). 3. on parle de régime staionnaire lorsque les grandeurs décrivant le système sont indépendantes du temps. Jérôme Pétri (Observatoire Astronomique) Physique stellaire M2 Astrophysique - Strasbourg 18 / 277 Le diagramme HR Les propriétés des étoiles sont généralement synthétisées dans un diagramme montrant la luminosité absolue en fonction de la température effective ou de la couleur des étoiles c’est le diagramme de Hertzsprung-Russel ou diagramme HR, fig. 9. Il exsite différentes variantes de ce diagramme qui ne sont pas toujours rigoureusement équivalentes à cause d’incertitudes sur certains paramètres comme la composition chimique la pression la structure de l’atmosphère. Jérôme Pétri (Observatoire Astronomique) Physique stellaire M2 Astrophysique - Strasbourg 19 / 277 Le diagramme HR F IGURE – Le diagramme de Hertzsprung-Russel, à gauche avec les données Hipparcos (ESA), et à droite une représentation schématique. Un point représente une étoile (T.Lombry.) Jérôme Pétri (Observatoire Astronomique) Physique stellaire M2 Astrophysique - Strasbourg 20 / 277 Le diagramme HR Néanmoins, une tendance nette se dégage du diagramme HR, quelques soient les grandeurs employées. En effet, les étoiles se regroupent majoritairement sur une ligne plus ou moins épaisse, la séquence principale partant en haut à gauche, c’est-à-dire les étoiles chaudes et lumineuses vers le bas à droite, celles qui sont froides et sombres, sur la fig. 9. Dans ce stade, l’étoile brûle son hydrogène contenu en son cœur par réaction thermonucléaire pour le convertir en hélium. Cette phase est la plus longue de la vie d’une étoile. La dispersion sur la séquence principale s’explique par plusieurs phénomènes d’une part la composition chimique au sein des étoiles peut varier fortement avec une métallicité plus ou moins élevée influençant la luminosité totale d’autre part, la présence d’un champ magnétique et/ou la rotation de l’étoile peut étaler la distribution sur le diagramme. Une bonne approximation est donnée par L ∝ Mη (1) avec η ≈ 3.9 pour les étoiles de faible masse < 10 M⊙ η ≈ 3.2 pour les étoiles de forte masse > 10 M⊙ . Jérôme Pétri (Observatoire Astronomique) Physique stellaire M2 Astrophysique - Strasbourg 21 / 277 Le diagramme HR On distingue une deuxième population d’étoiles au-dessus de la séquence principale, donc beaucoup plus lumineuses, les géantes rouges. Ce sont des étoiles en fin de vie qui, ayant consommée tout leur stock d’hydrogène, commencent à fusionner l’hélium en carbone et en azote. Elles se trouvent sur la branche horizontale et ont une durée de vie beaucoup plus faible que les étoiles de la séquence principale parce que l’hélium est transformé plus rapidement que l’hydrogène et elles sont instables. En bas à gauche se trouvent les naines blanches, des étoiles de très faible luminosité avec un rayon de l’ordre de 10.000 km mais de masse comparable à celle du Soleil. Bien que leur température de surface puisse être élevée (Ts ≈ 105 K), leur petite superficie émettrice entraîne une faible magnitude absolue et un refroidissement très lent pour dégager leur énergie thermique, ce qui explique leur place dans le diagramme. Insistons sur le fait que la répartition ordonnée des étoiles dans le diagramme HR est un aspect absolument essentiel pour toute théorie de la structure interne. Toute théorie doit être en mesure d’expliquer la relation masse-luminosité pour les étoiles d’une classe donnée. Jérôme Pétri (Observatoire Astronomique) Physique stellaire M2 Astrophysique - Strasbourg 22 / 277 Approche qualitative Après ce bref survol sur la présentation des étoiles nous attaquons une description qualitative plus détaillée. Les grandeurs déterminant la structure et l’évolution d’une étoile sont principalement régies par la masse de celle-ci M et dans une moindre mesure par son rayon R. L’estimation des temps et des longueurs caractéristiques au sein d’une étoile permet déjà de comprendre de manière qualitative le rôle joué par les différents processus physiques susceptibles de s’y dérouler. Dans tout ce paragraphe, on s’attachera à donner des ordres de grandeur des quantités physiques mises en jeu (un peu à la manière de l’analyse dimensionnelle). Jérôme Pétri (Observatoire Astronomique) Physique stellaire M2 Astrophysique - Strasbourg 23 / 277 Ordre de grandeur thermodynamique Commençons par l’évaluation des grandeurs thermodynamiques importantes que sont la densité et la pression. La densité volumique moyenne de l’étoile peut s’estimer à l’aide de la relation ci-dessous en supposant une composition homogène ρ̃ = M (2) R3 Et de même, un ordre de grandeur pour la pression au sein de l’étoile sera donné par l’équilibre mécanique entre gravité et pression, ~∇ p = ρ~g, selon P̃ = ρ̃ g̃ R = G M2 (3) R4 => La pression est donc fortement sensible aux variations du rayon. Une faible variation du rayon peut entraîner une forte modification de l’équilibre mécanique. Jérôme Pétri (Observatoire Astronomique) Physique stellaire M2 Astrophysique - Strasbourg 24 / 277 Ordre de grandeur thermodynamique A partir de ces estimations, la dépendance de la température en fonction des paramètres de l’étoile, c’est-à-dire sa masse M et son rayon R, en découle naturellement. On distinguera principalement deux sources de pression d’une part, si elle provient de l’agitation thermique du gaz, alors elle sera proportionnelle à la densité et à la température de sorte que Pg ∝ ρ T d’autre part, si le rayonnement est à l’origine de la force contrebalançant la gravité, en prenant l’approximation du corps noir, on trouve une pression de rayonnement Prad ∝ T 4 . On en déduit la température en fonction des paramètres (M , R ) par T∝ M √R M R pression gazeuse dominante (4) pression de rayonnement dominante => Une étoile est d’autant plus chaude que sa masse est élevée. Jérôme Pétri (Observatoire Astronomique) Physique stellaire M2 Astrophysique - Strasbourg 25 / 277 Temps de chute libre I Si la température à l’intérieur de l’étoile est faible de sorte que la pression thermique ou toute autre force soit négligeable comparée à l’attraction gravitationnelle, l’étoile s’effondrera sur elle-même de part sa propre gravité en un temps caractéristique estimé par la loi de Newton (pour des astres non relativistes). D’après la formule de la chute libre d’un corps, pour que l’étoile se contracte de la moitié de son rayon, il faut un temps de l’ordre de τff = s R3 GM = s 1 (5) Gρ que l’on obtient à partir de l’accélération d 2r dt 2 =− GM (6) r2 dont la solution sous forme paramétrique avec η ∈ [0, π] est r= t= r0 2 s (1 + cos η) r03 8GM (7a) (η + sin η) (7b) (7c) Jérôme Pétri (Observatoire Astronomique) Physique stellaire M2 Astrophysique - Strasbourg 26 / 277 Temps de chute libre II avec r (t = 0) = r0 et dr /dt (t = 0) = 0, le temps de chute jusqu’au centre devient τff = π s r03 (8) 8GM Appliqué au Soleil, avec M⊙ = 1, 99 × 1030 kg et R⊙ = 696.000 km, ce temps vaut à peu près τff = 1600 secondes soit 27 minutes ! ⇒ Il est donc évident que l’effondrement est empêché par une force, qu’il reste à élucider, agissant contre la gravité. Jérôme Pétri (Observatoire Astronomique) Physique stellaire M2 Astrophysique - Strasbourg 27 / 277 Durée de vie chimique Avant la réalisation de l’importance des réactions nucléaires, on pensait que le soleil tirait son énergie des réactions chimiques comme par exemple la combustion du carbone C + 2 O → CO2 (9) L’énergie libérée par cette réaction chimique est de l’ordre de 30 MJ/kg de carbone. C’est aussi l’énergie disponible. => temps de vie chimique τchim ≈ 104 ans. => trop faible pour expliquer la durée de vie du Soleil Exercice : retrouver cet ordre de grandeur de la durée de vie du Soleil. Jérôme Pétri (Observatoire Astronomique) Physique stellaire M2 Astrophysique - Strasbourg 28 / 277 Durée de contraction gravitationnelle Nous allons estimer la durée de vie de l’étoile si la seule source d’énergie provient de sa contraction gravitationnelle. Cette contraction implique une diminution du rayon de l’astre donc une augmentation de son énergie potentielle gravitationnelle. Le théorème du viriel nous dit que la moitié de cette énergie sera dépensée pour chauffer le gaz et augmenter la pression tandis que l’autre moitié sera transformée en rayonnement émis. Explicitement 2T +U = 0 (10) avec T énergie cinétique U énergie potentielle Jérôme Pétri (Observatoire Astronomique) Physique stellaire M2 Astrophysique - Strasbourg 29 / 277 Durée de contraction gravitationnelle : exercice L’énergie maximale atteignable provient d’une contraction depuis l’infini ce qui fournit une énergie potentielle de G M2 Epot ≈ . R (11) Exercice : Estimez la durée de vie du soleil si le réservoir d’énergie est l’énergie potentielle gravitationnelle avec L⊙ = 3.86 × 1026 W. Jérôme Pétri (Observatoire Astronomique) Physique stellaire M2 Astrophysique - Strasbourg 30 / 277 Durée de contraction gravitationnelle : exercice L’énergie maximale atteignable provient d’une contraction depuis l’infini ce qui fournit une énergie potentielle de G M2 Epot ≈ . (11) R Exercice : Estimez la durée de vie du soleil si le réservoir d’énergie est l’énergie potentielle gravitationnelle avec L⊙ = 3.86 × 1026 W. La moitié est responsable de la luminosité L pendant une durée ∆t donnée par L ∆t = Epot /2. Ce temps, encore appelé durée de contraction de Kelvin-Helmholtz est τKH ≈ G M2 2R L ≈ 1.5 × 107 M∗ M⊙ 2 R∗ L∗ R⊙ L⊙ −1 ans (12) Reprenant le cas du Soleil, on trouve une durée de l’ordre de τKH⊙ = 107 ans => Ce temps est bien inférieur à l’âge de la Terre de 4.5 × 109 ans, âge relevé par des indices géologiques et géophysiques. On sait aussi que la vie existait déjà il y a quelques millions d’années. On en déduit donc que la contraction gravitationnelle ne permet pas d’expliquer la source du rayonnement solaire, l’échelle de temps étant trop petite. Nous allons voir que cette longue durée de vie de l’étoile s’explique par les réactions nucléaires. Jérôme Pétri (Observatoire Astronomique) Physique stellaire M2 Astrophysique - Strasbourg 30 / 277 Durée des réactions nucléaires Lorsqu’une réaction nucléaire se produit, elle libère une certaine quantité d’énergie, fonction du type de réaction thermonucléaire de fusion présent au cœur de l’étoile. Par exemple, la combustion de l’hydrogène par la réaction 4 1 H →4 He (13) libère une énergie de 26.7 MeV par nucléon. C’est la réaction de fusion la plus efficace avec un taux de production d’énergie par kilogramme d’H de εH = 6, 35 × 1014 J/kg. La fusion des noyaux plus lourds est moins efficace comme par exemple celle de l’hélium suivant la réaction 3 4 He →12 C (14) qui ne libère que εHe = 2, 40 × 1014 J/kg. Si l’on suppose que la réaction principale dans le cœur de l’étoile est celle de fusion de l’hydrogène, il faut encore estimer la masse du réservoir. Exercice : estimer la durée de vie du soleil en supposant qu’il est formé à 100% d’H. Jérôme Pétri (Observatoire Astronomique) Physique stellaire M2 Astrophysique - Strasbourg 31 / 277 Durée des réactions nucléaires : le Soleil Dans le cas du Soleil, les modèles de structure interne nous apprennent que seul le cœur du Soleil soit 15% de sa masse est concernée par la combustion de l’hydrogène lors de sa formation, seul 70% de sa masse est composée d’hydrogène Si l’on suppose de plus que sa luminosité est constante au cours du temps, la durée de vie des réactions nucléaires de fusion est τnuc = 1, 1 × 10 10 M∗ M⊙ L∗ L⊙ −1 ans (15) En utilisant la relation masse-luminosité des étoiles de faible masse, la dépendance devient τnuc ∝ M∗ M⊙ − 2. 9 (16) Il en découle que les étoiles légères ont des durées de vie beaucoup plus longues que les étoiles plus lourdes. Jérôme Pétri (Observatoire Astronomique) Physique stellaire M2 Astrophysique - Strasbourg 32 / 277 Les échelles caractéristiques Dans une étoile typique comme le Soleil, les différents temps caractéristiques sont rangés dans l’ordre décroissant ci-dessous (17) τnuc ≫ τKH ≫ τff Chacun de ces temps correspond à une étape différente dans la formation d’une étoile. l’effondrement d’un nuage moléculaire se fait en un temps τff où seule la gravité entre en jeu dans une deuxième phase, l’échauffement du gaz provoque un rayonnement durant un temps τKH enfin dans une dernière phase, la combustion de l’hydrogène dure pendant un temps τnuc . Jérôme Pétri (Observatoire Astronomique) Physique stellaire M2 Astrophysique - Strasbourg 33 / 277 Les échelles de temps caractéristiques étoile τdyn (G ρ)−1/2 0.1 M⊙ , 0.1 R⊙ , 10−3 L⊙ M⊙ , R⊙ , L⊙ 30 M⊙ , 20 R⊙ , 105 L⊙ géante rouge 1.0 M⊙ , 200 R⊙ , 103 L⊙ naine blanche 1.0 M⊙ , 10−2 R⊙ , 10−3 L⊙ étoile à neutrons 1.4 M⊙ , 10 km, 0.2 L⊙ 5,4 min 54 min 885 min 106 jours τKH G M2 2R L 1, 5 × 109 ans 1, 5 × 107 ans 7 × 103 ans 79 ans 3s 1, 5 × 1012 ans 0.1 ms 1013 ans τnuc 1010 ans 1012 ans 1010 ans 3 × 106 ans M∗ M⊙ L∗ L⊙ −1 TABLE – Les échelles de temps caractéristiques pour les étoiles Jérôme Pétri (Observatoire Astronomique) Physique stellaire M2 Astrophysique - Strasbourg 34 / 277 Temps caractéristique de diffusion des photons I Les photons pouvant évacuer l’énergie produite au sein des étoiles, il est important d’estimer le temps mis par cette lumière pour s’échapper du cœur de l’étoile. Le milieu stellaire étant majoritairement opaque au rayonnement, les photons se fraient un chemin par diffusion (Thomson) sur les atomes du plasma stellaire. Ce mouvement est très bien approximé par une marche aléatoire. On sait que la distance parcourue après N diffusions est de l’ordre de L= √ N lp (18) où lp est le libre parcours moyen. On obtient cette égalité à partir de N ~r = ∑~ri (19) i =1 puis en effectuant la moyenne < r 2 >=<~r ·~r >= N ∑ <~ri ·~ri >= N lp2 et en se rappelant que <~ri ·~rj >= 0 pour i 6= j et <~ri ·~ri >= lp2 . Jérôme Pétri (Observatoire Astronomique) (20) i =1 Physique stellaire M2 Astrophysique - Strasbourg 35 / 277 Temps caractéristique de diffusion des photons II Pour se propager du centre au bord de l’étoile, il faut donc N = (R /lp )2 diffusions. Le temps mis pour parcourir cette distance est donc τdiff = N lp = c R2 (21) c lp Il reste à déterminer le libre parcours moyen donné pour la diffusion Thomson par lp = 1 σT n e (22) . Pour un milieu composé d’hydrogène complètement ionisé, on trouve lp ≈ mp R 3 σT M ≈ 4 mm (23) d’où finalement le temps de diffusion τdiff = σT M (24) c mp R Les valeurs typiques pour le soleil sont τdiff = 10.000 − 20.000 ans Jérôme Pétri (Observatoire Astronomique) Physique stellaire (25) M2 Astrophysique - Strasbourg 36 / 277 Luminosité d’Eddington I À cause de la pression de radiation, les étoiles ne peuvent dépasser une luminosité maximale donnée par la luminosité d’Eddington. En effet, la pression de radiation exerce une force opposée à la gravitation empêchant toute accumulation ultérieure de gaz. De plus LEdd ∝ M ; L ∝ M3 (26) il existe donc une masse limite au-delà de laquelle L > LEdd ce qui est impossible. Quantitativement, les protons ressentent la gravité car beaucoup plus massifs alors que les électrons sont sensibles au rayonnement car section efficace de diffusion plus importante. Pour un électron situé à une distance D de l’étoile de luminosité L, la force ressentie est Frad = L σT (27) 4 π D2 c qui doit être compensée par la gravité Fg = − Jérôme Pétri (Observatoire Astronomique) G M µe mp (28) D2 Physique stellaire M2 Astrophysique - Strasbourg 37 / 277 Luminosité d’Eddington II ce qui se produit à la luminosité d’Eddington telle que LEdd = 4 π G M µe mp c σT = 1.26 × 1031 W µe M M⊙ (29) avec µe le poids moléculaire moyen électronique = masse associé à chaque électron libre en unité de la masse du proton. µe = ρ (30) n e mp Deux exemples gaz d’hydrogène complètement ionisé µe = 1 il y a un proton pour chaque électron libre. gaz d’éléments lourds complètement ionisé µe = 2 il y a deux nucléons pour chaque électron libre. Jérôme Pétri (Observatoire Astronomique) Physique stellaire M2 Astrophysique - Strasbourg 38 / 277 Masse maximale d’une étoile Pour des étoiles de la séquence principale, on sait que L L⊙ ≈ M M⊙ 16/5 L, LEdd (31) avec la normalisation de LEdd telle que LEdd L⊙ ≈ 3.27 × 104 µe M M⊙ (32) Si la luminosité de l’étoile dépasse sa luminosité d’Eddington, alors on trouve une masse maximale de l’ordre de Mmax ≈ 113 M⊙ (avec µe = 1). Exercice : retrouvez cette valeur maintenant ! Jérôme Pétri (Observatoire Astronomique) Mmax M F IGURE – Luminosité stellaire et d’Eddington. Physique stellaire M2 Astrophysique - Strasbourg 39 / 277 Caractéristiques des plasmas stellaires Pour décrire convenablement l’intérieur des étoiles classiques telles que le soleil ainsi que les objets compacts : naines blanches, étoiles à neutrons il faut spécifier le régime dans lequel se trouve le plasma stellaire. Celui-ci est généralement constitué d’électrons d’ions de diverses espèces chimiques. L’équation d’état du plasma P (ρ, T ) (33) c’est-à-dire son comportement en fonction de la densité et de la température, fait intervenir quelques longueurs et paramètres fondamentaux que nous détaillons ci-dessous. Jérôme Pétri (Observatoire Astronomique) Physique stellaire M2 Astrophysique - Strasbourg 40 / 277 L’évolution d’une sphère gazeuse I Une étoile se forme à partir d’un nuage de gaz du milieu interstellaire se contractant. Cette sphère de gaz passe par différents états d’équilibre qui n’aboutissent pas toujours à des conditions propices à la formation d’un astre. Nous allons déterminer de manière qualitative ces états d’équilibre et chercher ceux qui sont favorables à l’allumage des réactions de fusion thermonucléaire (idée proposée à l’origine par Jean Perrin) et donc aboutir à la formation d’une étoile. Jérôme Pétri (Observatoire Astronomique) Physique stellaire M2 Astrophysique - Strasbourg 41 / 277 L’évolution d’une sphère gazeuse II F IGURE – Formation d’un disque. Crédit : ENS-Lyon - F. Kalfoun Jérôme Pétri (Observatoire Astronomique) Physique stellaire M2 Astrophysique - Strasbourg 42 / 277 L’instabilité de Jeans I Considérons une sphère de gaz homogène, sans rotation ni champ magnétique, composée d’hydrogène, de masse M, de rayon R et de température T . L’autogravitation comprime le gaz et le chauffe, augmentant sa température donc sa pression. L’équilibre mécanique est atteint lorsque les forces de pression thermique compensent l’attraction gravitationnelle. Un argument physique simple permet de comprendre l’effondrement d’un nuage de gaz. En effet, pour que le système puisse se maintenir à l’équilibre, toute perturbation doit rester stable. La pression doit donc réagir en un temps plus court que les variations provoquées par la gravité. Les perturbations en pression se propageant à la vitesse du son cs , le temps nécessaire pour informer tout le volume de l’étoile, qui est aussi le temps de réaction de la sphère pour s’adapter à la perturbation, est τs = R /cs . Or le temps caractéristique imposé par la gravité étant celui de la chute libre τff , l’équilibre ne peut être maintenu que si τs < τff . Par conséquent, la condition d’effondrement, ou d’instabilité est R 1 >√ (34) cs Gρ On peut employer un autre argument dont voici l’explication. Le nuage se contracte si la force de gravité parvient à contrebalancer la dispersion en vitesse du gaz, autrement dit, si l’énergie 3 G M2 potentielle gravitationnelle Eg = − est plus grande en valeur absolue que l’énergie 5 R Jérôme Pétri (Observatoire Astronomique) Physique stellaire M2 Astrophysique - Strasbourg 43 / 277 L’instabilité de Jeans II cinétique Ec = c-à-d 3 2 kT M mH . L’effondrement du nuage se traduit donc par la condition |Eg | > Ec R < RJ = 2 G M mH 5 (35) kT La densité, supposée homogène au sein du gaz, est ρ = 3 M 4 π R3 être convertie en condition sur la masse par (le critère de Jeans) M > MJ = 5 kT 2 GM 3/2 3 4π 1/2 . La condition sur le rayon peut ρ−1/2 (36) La valeur critique MJ est appelée masse de Jeans. Un nuage de masse inférieure à MJ se disperse tandis qu’un nuage de masse supérieure à MJ se contracte et s’effondre. Jérôme Pétri (Observatoire Astronomique) Physique stellaire M2 Astrophysique - Strasbourg 44 / 277 L’instabilité de Jeans : milieu interstellaire Prenons le cas du milieu interstellaire froid, dont la température est de l’odre de 100 K, constitué d’hydrogène neutre de densité de l’ordre de 106−8 atomes par m3 . La masse critique de Jeans vaut environ MJ = 103−4 M⊙ . Lorsque le critère de Jeans est vérfié, l’étoile puise sa source d’énergie dans la contraction gravitationnelle du gaz. En fonction des conditions physiques règnant à l’intérieur de ce gaz, le nuage réagira de diverses manières en passant par différentes phases de compression jusqu’à un état final où toute évolution ultérieure sera impossible. La manière dont cette énergie est convertie au sein du nuage dépend de l’équation d’état du gaz. Nous passons brièvement en revue les phases de cette contraction. Jérôme Pétri (Observatoire Astronomique) Physique stellaire M2 Astrophysique - Strasbourg 45 / 277 Traitement plus rigoureux à partir des équations de l’hydrodynamique I Une analyse quantitative plus précise consiste à prendre les équations de l’hydrodynamique et à les perturber au premier ordre pour trouver la relation de dispersion des ondes. C’est une technique d’analyse de la stabilité linéaire communément employée et qu’il est bon de connaître. Partons donc d’un gaz autogravitant maintenu en équilibre grâce à l’agitation thermique des particules qui fournit une pression gazeuse. À partir de la conservation de l’impulsion et de la masse on écrit ∂ρ + div (ρ~v ) ∂t ∂~v +~v · ~∇~v ρ ∂t = 0 (37) = −ρ ~∇ Φ − ~∇ p (38) Le potentiel gravitationnel est solution de ∆Φ = 4 π G ρ (39) 2~ ~ et le gradient de pression est relié au gradient de densité par ∇ p = cs ∇ ρ. On suppose un milieu infini à l’équilibre et sans mouvement de sorte que ~v0 = 0, Φ0 = 0. Un développement au premier ordre ψ = ψ0 + ψ1 avec ψ1 ≪ ψ0 donne ∂ρ1 + div (ρ0~v1 ) ∂t ∂~v1 ρ0 ∂t ∆Φ1 Jérôme Pétri (Observatoire Astronomique) = 0 (40) = −ρ0 ~∇ Φ1 − ~∇ p1 = −ρ0 ~∇ Φ1 − cs2 ~∇ ρ1 (41) = 4 π G ρ1 (42) Physique stellaire M2 Astrophysique - Strasbourg 46 / 277 Traitement plus rigoureux à partir des équations de l’hydrodynamique II ~ On cherche des solutions sous la forme d’onde plane ei (k ·~r −ω t ) donc −i ω ρ1 + i ρ0~k ·~v1 = 0 (43) = (44) −k 2 Φ1 = −i ~k ρ0 Φ1 − i cs2~k ρ1 −i ω ρ0~v1 4 π G ρ1 (45) En ne gardant que ρ1 comme inconnue principale, on obtient la relation de dispersion ω2 = cs2 k 2 − 4 π G ρ0 = cs2 (k 2 − kJ2 ) (46) où le nombre d’onde de Jeans est kJ2 = 4 π G ρ0 /cs2 . Des solutions instables existent pour k < kJ et la solution croît exponentiellement. Jérôme Pétri (Observatoire Astronomique) Physique stellaire M2 Astrophysique - Strasbourg 47 / 277 Première phase : contraction gravitationnelle I On considère initialement un gaz froid d’hydrogène neutre (sous forme d’atomes de rayon a0 = 10−10 m correspondant à la première orbite de Bohr). La contraction se poursuit jusqu’au stade où ces atomes se touchent pour former une sphère de gaz neutre possèdant un rayon R1 et une température T1 . Si l’échauffement du nuage reste insuffisant pour ioniser l’hydrogène, c-à-d si (par exemple l’énergie d’ionisation de l’H est 13.6 eV soit ≈ 105 K.) T1 < Tion ≈ 105 K le gaz restera neutre, sans évolution et se stabilisera sous forme d’un solide ou d’un liquide. Le produit final sera une planète. Si en revanche, T1 atteint des valeurs supérieures à la température d’ionisation, les électrons se séparent de leur noyau d’hydrogène (les protons). Le plasma d’électrons et de protons occupant un volume bien moindre que les atomes d’hydrogène neutre, la contraction se poursuit vers un nouveau stade décrit au prochain paragraphe. Estimons la masse de gaz à partir de laquelle le nuage s’ionise. Soit N le nombre total d’atomes d’hydrogène contenu dans le nuage et mp = mH la masse d’un atome (on néglige la masse de Jérôme Pétri (Observatoire Astronomique) Physique stellaire M2 Astrophysique - Strasbourg 48 / 277 Première phase : contraction gravitationnelle II l’électron). La masse totale du nuage est M = N mp . L’ensemble des particules occupe un volume minimal donné par 4 N a03 = π R13 3 (47) En se contractant, le nuage acquiert une énergie potentielle gravitationnelle EG = − 3 G M2 5 R =− 3 G ( N mH ) 2 5 (48) R Les particules sont chauffées à une température T et possède chacune une énergie cinétique 3/2 kB T . Le théorème du viriel montre que cette énergie est extraite du potentiel gravitationnel. Plus précisément on a 2 Ec + EG 3 N kB T = = 0 (49) 3 G ( N mH ) 2 5 (50) R La relation entre la masse et la température de contraction finale est M= Jérôme Pétri (Observatoire Astronomique) r 3 4π 5 kB T a0 G Physique stellaire 3/2 1 (51) 2 mH M2 Astrophysique - Strasbourg 49 / 277 Première phase : contraction gravitationnelle III Appliqué à l’hydrogène, on trouve une masse critique de M1 = 6 × 1027 kg ≈ 10−3 M⊙ On en conclut qu’un nuage de gaz de masse inférieure à M1 se transformera en planète en conservant la structure atomique de l’hydrogène. Pour une masse supérieure à M1 le nuage est ionisé et continue son effondrement. F IGURE – Planètes Jérôme Pétri (Observatoire Astronomique) Physique stellaire M2 Astrophysique - Strasbourg 50 / 277 Deuxième phase : nuage ionisé en effondrement I Le milieu ionisé étant moins encombrant que le milieu neutre, l’effondrement du gaz se poursuit jusqu’à l’apparition de phénomènes quantiques dûs aux électrons et limitant la compression du nuage. Si de plus, la contraction augmente de manière significative la température jusqu’au seuil de réaction thermonucléaire de l’ordre de 107 K, l’énergie libérée par ces réactions contrebalance la gravité. La situation est similaire au paragraphe précédent, seule l’échelle spatiale est réduite. On passe de la dimension d’un atome d’hydrogène a0 à la séparation minimale entre deux électrons, notée ae . D’après le principe d’incertitude d’Heisenberg, on a ae p ≥ ~ En régime non relativiste, donc p = √ p2 2m = 3 2 kB T 3 m kB T . La séparation entre électrons est donc ae = √ Jérôme Pétri (Observatoire Astronomique) ~ (52) 3 m kB T Physique stellaire M2 Astrophysique - Strasbourg 51 / 277 Deuxième phase : nuage ionisé en effondrement II En replaçant cette expression dans la masse critique Eq.(51), on obtient M= r 3 4π 5 kB T ae G 3/2 1 (53) 2 mH Effectuant l’application numérique pour la réaction de fusion avec T = 107 K, on obtient une masse M = 0.04 M⊙ Pour une masse de valeur inférieure, le nuage se transforme en naine brune. C’est un objet pour lequel la cohésion est assurée par la pression de dégénérescence des électrons. Une naine brune est gazeuse, dense mais peu lumineuse et se refroidit lentement. Jérôme Pétri (Observatoire Astronomique) Physique stellaire M2 Astrophysique - Strasbourg 52 / 277 Troisième phase : la fusion nucléaire I Pour une masse de gaz supérieure à 0.04 M⊙ , la température atteinte est favorable à la combustion de l’hydrogène pour former de l’hélium. C’est le cas par exemple du Soleil et de la plupart des étoiles de la séquence principale. La durée de la phase de fusion de l’hydrogène dépend de la masse de l’étoile. Pour le soleil, nous savons qu’elle est de l’ordre de 10 milliards d’années. Après épuisement de l’hydrogène, l’étoile poursuit sa contraction si elle n’est pas freinée par la pression de dégénérescence exercée par les électrons. Pour des températures supérieures à 108 K, l’hélium peut se transformer en carbone. Pour des étoiles de masse supérieure à 0.1 M⊙ la conversion de l’hélium en carbone est possible. Pour toutes les autres étoiles, plus légères, elles finissent leur vie en naine blanche. Après disparition de l’hélium, un nouveau cycle de conversion du carbone en éléments plus lourds peut commencer. Ceci se produit pour des températures supérieures à 109 K. Dans cette gamme de températures, les électrons deviennent relativistes car leur énergie thermique est comparable à leur énergie de masse au repos me c 2 . On peut démontrer que des étoiles de masse supérieure à 1.5 M⊙ atteignent des températures propices à la création d’éléments lourds jusqu’au fer. Dans la partie centrale de l’étoile, où la température augmente beaucoup, le processus de neutronisation commence. Les électrons pénètrent les protons pour former des neutrons selon la réaction p+e → n (54) Jérôme Pétri (Observatoire Astronomique) Physique stellaire M2 Astrophysique - Strasbourg 53 / 277 Troisième phase : la fusion nucléaire II Si la pression de dégénérescence des neutrons est suffisante, la contraction est arrêtée et l’étoile se stabilise pour former une étoile à neutrons. Si elle est insuffisante, l’objet continue sa contraction, aucune force connue ne pouvant contrebalancer la gravité et formera un trou noir. La masse limite d’une étoile à neutrons est mal connue mais elle se situe aux alentours de MEN . 2 − 3 M⊙ Jérôme Pétri (Observatoire Astronomique) Physique stellaire M2 Astrophysique - Strasbourg 54 / 277 Résumé I Les notions importantes diagramme de Hertzsprung Russell différentes phases de l’effondrement d’un nuage de gaz échelles de temps caractéristiques de l’effondrement température d’ionisation et de fusion de l’hydrogène réaction thermonucléaire stade ultime de l’évolution stellaire luminosité d’Eddington et masse maximale d’une étoile Le sort d’un nuage de gaz en contraction en fonction de sa masse On aboutira à la formation d’une planète si M < 3 × 10−3 M⊙ d’une naine brune si 3 × 10−3 M⊙ < M < 75 × 10−3 M⊙ d’une étoile si M > 75 × 10−3 M⊙ Jérôme Pétri (Observatoire Astronomique) Physique stellaire M2 Astrophysique - Strasbourg 55 / 277 Résumé II Le stade ultime de l’évolution stellaire dépend lui aussi de la masse de l’étoile. On aura une naine blanche si M < 1.5 M⊙ une étoile à neutrons si 1.5 M⊙ < M < 2 − 3 M⊙ un trou noir si M > 2 − 3 M⊙ Il ne faut pas confondre ces masses limites avec la masse initiale du gaz. En effet, durant sa vie, une étoile peut perdre de la matière sous forme d’un vent stellaire, réduisant ainsi le nombre de particules présentes lors des stades finaux de l’évolution de l’étoile. Jérôme Pétri (Observatoire Astronomique) Physique stellaire M2 Astrophysique - Strasbourg 56 / 277 1 Introduction 2 Structure interne des étoiles 3 Transport de l’énergie 4 Les équations d’état 5 Les réactions nucléaires 6 Les modèles d’intérieur stellaire 7 Le vent stellaire 8 Astérosismologie Jérôme Pétri (Observatoire Astronomique) Physique stellaire M2 Astrophysique - Strasbourg 57 / 277 Généralités La structure interne d’une étoile est régie par un système d’équations différentielles couplées traduisant la conservation de grandeurs physiques fondamentales conservation de la masse conservation de l’impulsion => l’équilibre mécanique conservation de l’énergie => l’équilibre thermique. Ces équations ne suffisent pas car elles ne précisent pas la manière dont l’énergie est générée => réactions nucléaires le comportement du plasma dans l’étoile => équation d’état le mode de transport de l’énergie. Dans ce chapitre, les équations fondamentales de cette structure sont présentées. Les chapitres suivants seront consacrés à préciser le milieu plasma, les sources d’énergie et leur mode de transport. Jérôme Pétri (Observatoire Astronomique) Physique stellaire M2 Astrophysique - Strasbourg 58 / 277 Les approximations du modèle On s’intéresse à la structure interne des étoiles en régime stationnaire. Dans un but simplificateur, on considère uniquement le cas d’une étoile à symétrie sphérique sans rotation ni champ magnétique. La rotation est négligeable si la force centrifuge reste faible par rapport à l’attraction gravitationnelle, autrement dit r GM Ω ≪ Ωk = R3 Pour le soleil, cela correspond à une période minimale de 0.12 jours. Que se passe-t-il si Ω > Ωk ? Le champ magnétique est négligeable si la pression hydrostatique domine la pression magnétique G M2 B2 R4 ≫ µ0 (55) (56) Que vaut la limite du champ magnétique ? Jérôme Pétri (Observatoire Astronomique) Physique stellaire M2 Astrophysique - Strasbourg 59 / 277 Les approximations du modèle On s’intéresse à la structure interne des étoiles en régime stationnaire. Dans un but simplificateur, on considère uniquement le cas d’une étoile à symétrie sphérique sans rotation ni champ magnétique. La rotation est négligeable si la force centrifuge reste faible par rapport à l’attraction gravitationnelle, autrement dit r GM Ω ≪ Ωk = R3 Pour le soleil, cela correspond à une période minimale de 0.12 jours. Que se passe-t-il si Ω > Ωk ? Le champ magnétique est négligeable si la pression hydrostatique domine la pression magnétique G M2 B2 R4 ≫ µ0 (55) (56) Que vaut la limite du champ magnétique ? B ≪ 38000 T Jérôme Pétri (Observatoire Astronomique) Physique stellaire M2 Astrophysique - Strasbourg 59 / 277 Équilibre hydrostatique L’état d’équilibre mécanique, en régime stationnaire (∂/∂t = 0), concerne l’équilibre hydrostatique entre la pression interne de l’étoile, dont l’origine n’est pas encore spécifiée pression gazeuse pression de rayonnement pression de dégénérescence quantique la force d’attraction gravitationnelle. Il s’exprime selon 4 dP (r ) = −ρ(r ) g (r ) (57) dr L’accélération gravitationnelle de l’étoile est g (r ) = G M (r ) r2 (58) P (r + dr ) g( P (r ) On en déduit que dP dr =− Jérôme Pétri (Observatoire Astronomique) G ρ(r ) M (r ) r2 (59) F IGURE – L’équilibre hydrostatique. Physique stellaire M2 Astrophysique - Strasbourg 60 / 277 Équilibre hydrostatique : estimation de la pression et de la température Exercice : Donnez un ordre de grandeur de la pression centrale du soleil. En déduire la température centrale en supposant un gaz parfait d’électrons et de protons. Jérôme Pétri (Observatoire Astronomique) Physique stellaire M2 Astrophysique - Strasbourg 61 / 277 Équilibre hydrostatique : estimation de la pression et de la température Exercice : Donnez un ordre de grandeur de la pression centrale du soleil. En déduire la température centrale en supposant un gaz parfait d’électrons et de protons. À partir de cet équilibre hydrostatique, on estime la pression centrale du Soleil selon Pc − Pe −R⊙ d’où la pression centrale Pc ≈ ≈− 2 3 G M⊙ 4 4 π R⊙ G M⊙ 2 M⊙ (60) 3 R⊙ 4 π/3 R⊙ = 2, 7 × 1014 Pa (61) En supposant le gaz constitué par le Soleil comme de l’hydrogène complètement ionisé (composé d’électron et de protons libres) et comme un gaz parfait, on en déduit la température centrale avec P = n kB T . On trouve Tc = 2 × 107 K soit très proche de la valeur réelle de Tc = 1.5 × 107 K. Jérôme Pétri (Observatoire Astronomique) Physique stellaire M2 Astrophysique - Strasbourg 61 / 277 Pression centrale maximale Exercice : Montrer à partir du calcul de la dérivée de F (r ) = que dF P+ G m2 8πr4 (62) G m2 = 0. dr 2πr5 En déduire que la pression centrale dans l’étoile satisfait toujours l’inégalité Pc > 1 G M2 8 π R4 = 1 6 + 4π 3 1/3 G < ρ >4/3 M 2/3 . (63) (64) Si de plus ρ est une fonction décroissante de r , montrer que la condition est plus sévère telle que Pc > Pc < Jérôme Pétri (Observatoire Astronomique) 1 2 1 2 4π 4π 3 3 1/3 1/3 G < ρ >4/3 M 2/3 4/3 G ρc Physique stellaire (65a) M 2/3 (65b) M2 Astrophysique - Strasbourg 62 / 277 Conservation de la masse La masse contenue dans une couche sphérique délimitée par les rayons r et r + dr est dM (r ) = 4 π ρ(r ) r 2 dr (66) Autrement dit, la distribution de la masse est régie par dM (r ) dr = 4 π ρ(r ) r 2 ρ(r + dr ) r + dr ρ(r ) r (67) En éliminant cette masse M (r ) des deux expressions Eq.(59) et (67), on a 1 d r 2 dr r 2 dP ρ dr = −4 π G ρ Jérôme Pétri (Observatoire Astronomique) F IGURE – La conservation de la masse. (68) Physique stellaire M2 Astrophysique - Strasbourg 63 / 277 Conservation de la masse La masse enfermée dans la sphère de rayon r est alors Mr = Z 0 r 4 π ρ(s) s2 ds (69) Il est parfois utile de prendre non pas le rayon mais plutôt la masse comme variable indépendante. En effet, lors de l’évolution d’une étoile, sa masse varie peu tandis que son rayon peut changer de plusieurs ordres de grandeur. Prenant Mr comme nouvelle variable, on obtient dP dMr dr dMr Jérôme Pétri (Observatoire Astronomique) = = − G Mr (70) 4πr4 1 (71) 4πρr2 Physique stellaire M2 Astrophysique - Strasbourg 64 / 277 Conservation de l’énergie L’équilibre mécanique ne suffit pas pour réaliser une étoile stable et stationnaire. Il faut encore équilibrer le bilan énergétique en compensant les pertes d’énergie dues à la luminosité par une production d’énergie à l’intérieur de l’étoile. Cette source d’énergie est caractérisée par un paramètre noté ε(r ) : le taux de production d’énergie par unité de temps et unité de masse stellaire au point r . Exprimons cette condition d’équilibre pour une couche sphérique comprise entre les rayons r et r + dr . L’énergie produite par unité de temps dans ce volume est ε(r ) 4 π r 2 ρ(r ) dr (72) Le flux net d’énergie à travers cette couche résulte du bilan entre le flux entrant L+ le flux sortant L− sur les deux surfaces, intérieure et extérieure. Jérôme Pétri (Observatoire Astronomique) Physique stellaire M2 Astrophysique - Strasbourg 65 / 277 Conservation de l’énergie L+ (r + dr ) ε(r ) L− (r + dr ) L− (r ) L+ (r ) F IGURE – La conservation de l’énergie. Jérôme Pétri (Observatoire Astronomique) Physique stellaire M2 Astrophysique - Strasbourg 66 / 277 Conservation de l’énergie Les énergies mises en jeu sont donc un flux entrant donné par L+ (r ) + L− (r + dr ) un flux sortant donné par L− (r ) + L+ (r + dr ) En égalant les gains et pertes totaux d’énergie pour cette couche on obtient ε(r ) dM (r ) + L+ (r ) + L− (r + dr ) = L− (r ) + L+ (r + dr ) ε(r ) dM (r ) = ε(r ) dM (r ) = L+ (r + dr ) − L− (r + dr ) − (L+ (r ) − L− (r )) L(r + dr ) − L(r ) On a introduit la luminosité de l’étoile au point r par L(r ) = L+ (r ) − L− (r ) (73) On en déduit finalement la conservation de l’énergie sous la forme dL(r ) dr Jérôme Pétri (Observatoire Astronomique) = ε(r ) dM (r ) dr = 4 π r 2 ρ(r ) ε(r ) Physique stellaire (74) M2 Astrophysique - Strasbourg 67 / 277 Énergie potentielle gravitationnelle d’une étoile homogène Le travail nécessaire pour amener une masse m à la surface d’une sphère homogène de rayon r et de masse Mr est Z +∞ Z r G Mr m G Mr m ~F d~r = − dW = dr = (75) r2 r r +∞ C’est l’énergie potentielle dEp = −dW (au signe près) d’une particule de masse m située à une distance r lorsque toutes les couches supérieures ont été emportées à l’infini. Pour une couche sphérique avec une densité constante on a m = 4 π ρ r 2 dr et Mr = 4π 3 ρr3 (76) d’où le travail total fourni W= Z 0 R dW = Z 0 R 4πρ G Mr r 2 dr r = (4 π ρ)2 3 G Z 0 R r 4 dr = (4 π ρ)2 15 R5 (77) Finalement l’énergie potentielle gravitationnelle devient Ep = − Jérôme Pétri (Observatoire Astronomique) 3 G M2 5 (78) R Physique stellaire M2 Astrophysique - Strasbourg 68 / 277 Énergie potentielle gravitationnelle d’une étoile et théorème du viriel Dans le chapitre d’introduction, nous avions estimé l’énergie gravitationnelle d’un objet à symétrie sphérique sans nous soucier de sa structure exacte. Cette estimation peut s’obtenir simplement par des considérations d’analyse dimensionnelle. Nous allons préciser cette notion dans le cas d’une sphère polytropique c’est-à-dire qui vérifie l’équation d’état P = K ρΓ = K ρ1+1/n Γ est l’indice adiabatique et n l’indice polytropique. Soit EG cette énergie potentielle gravitationnelle. Elle représente une énergie de liaison ou de cohésion de l’objet et à ce titre est donc négative. Physiquement, elle correspond au travail qu’il faut fournir pour éloigner toutes les couches de l’étoile vers l’infini, autrement dit EG = − G Z Mr r dMr (79) l’intégration étant étendue à toute l’étoile. Jérôme Pétri (Observatoire Astronomique) Physique stellaire M2 Astrophysique - Strasbourg 69 / 277 Énergie potentielle gravitationnelle d’une étoile et théorème du viriel En effet, pour une masse M à symétrie sphérique, pour amener une masse dM à l’infini, il faut fournir un travail W= Z +∞ r F dr = − Z +∞ G M dM r r2 dr = − G M dM (80) r C’est l’énergie potentielle (au signe près) d’une particule de masse dM située à une distance r lorsque toutes les couches supérieures ont été emportées à l’infini. En calculant cette énergie de deux manières différentes, on déduit l’expression générale de l’énergie potentielle pour un polytrope d’indice n. La procédure à suivre est la suivante. On calcule EG = = −G − Z dMr2 G M2 2R Jérôme Pétri (Observatoire Astronomique) 2r + r =R Z Z M2 G M2 M2 M2 = −G r − G r2 dr − G r2 dr = − 2r 1 2 Z 1 ρ Mr dP dr 2r r =0 dr = − G M2 2R Physique stellaire + 2R Γ 2 Z 2r Γ−2 d ρ Kρ dr Mr dr M2 Astrophysique - Strasbourg (81) 70 / 277 Énergie potentielle gravitationnelle d’une étoile et théorème du viriel Une nouvelle intégration par partie donne EG = = = = − − − − G M2 2R G M2 2R GM + 2 2R G M2 2R + − − Γ 2 Z K ρΓ−2 Mr d ρ ΓK 2 ΓK 2 Z (82) ! r =R Z Γ−1 ρ Mr ρΓ−1 − dMr Γ − 1 r =0 Γ−1 ρΓ−1 4 π ρ r 2 dr Γ−1 (83) r 2 P dr (84) Γ 2π Γ−1 Z Mais grâce à l’équilibre hydrostatique donné en Eq. (59) EG = Jérôme Pétri (Observatoire Astronomique) Z r dP ρ dr dMr = 4 π Physique stellaire Z r 3 dP (85) M2 Astrophysique - Strasbourg 71 / 277 Énergie potentielle gravitationnelle d’une étoile et théorème du viriel En intégrant par partie entre le centre r = 0 et la surface r = R , P = 0 de l’étoile par R EG = [4 π r 3 P ]rr = =0 − 12 π Z r 2 P dr = −12 π Z r 2 P dr (86) on est amené à EG = − G M2 + Γ EG Γ−1 6 3 G M2 5−n R 2R (87) et finalement EG = − (88) On en conclut que l’énergie gravitationnelle n’est négative que pour n < 5. Dans le cas contraire, on montre que l’étoile n’a pas de frontière nette mais s’étend jusqu’à l’infini. On peut facilement relier cette grandeur à l’énergie thermique de l’astre donnée par T= Jérôme Pétri (Observatoire Astronomique) Z 3 2 P d 3~r = 6 π Physique stellaire Z P r 2 dr (89) M2 Astrophysique - Strasbourg 72 / 277 Énergie potentielle gravitationnelle d’une étoile et théorème du viriel Par comparaison avec l’éq. (87), on obtient finalement EG + 2 T = 0 (90) ce qui traduit le théorème du viriel dans le cas d’une étoile. Noter que cette égalité ne nécessite nullement l’hypothèse polytropique. Le théorème du viriel intervient fréquemment en dynamique stellaire où l’on considère un ensemble d’étoiles en interaction gravitationnelle. Dans cette dernière situation, l’énergie thermique est à interpréter comme l’énergie cinétique des étoiles individuelles. Jérôme Pétri (Observatoire Astronomique) Physique stellaire M2 Astrophysique - Strasbourg 73 / 277 Énergie potentielle gravitationnelle d’une étoile et théorème du viriel On peut établir une relation analogue si la pression au lieu d’être d’origine gazeuse provient du rayonnement. Partant de l’éq. (59) en la multipliant par 4 π r 3 puis par intégration sur la masse totale de l’étoile, on a Z M 0 4πr3 dP dMr dMr = − Z M G Mr r 0 dMr = EG (91) L’expression du membre de droite représente l’énergie potentielle gravitationnelle de l’ensemble de l’étoile. En intégrant par partie le premier membre, on obtient avec les conditions aux limites r (Mr = 0) = 0 et P ( Mr = M ) = 0 − Z 0 M 12 π r 2 Jérôme Pétri (Observatoire Astronomique) dr dMr P dMr = −3 Z 0 M P ρ Physique stellaire dMr = −3 Z 0 R 4 π r 2 P dr M2 Astrophysique - Strasbourg (92) 74 / 277 Énergie potentielle gravitationnelle d’une étoile et théorème du viriel Les équations d’état des gaz parfaits classiques donnent P = 2 U /3 pour une pression gazeuse P = U /3 pour une pression due aux photons où U est la densité d’énergie, ce que l’on résume par P=ζ U 3 avec ζ = 1, 2. Finalement, le théorème du viriel nous dit que EG = −ζ Z 0 R 4 π r 2 U dr = −ζ Eint (93) sous une forme définitive EG + ζ Eint = 0 Jérôme Pétri (Observatoire Astronomique) Physique stellaire (94) M2 Astrophysique - Strasbourg 75 / 277 Les astres relativistes (objets compacts) I Dans les stades ultimes de l’évolution stellaire, certaines étoiles en se contractant deviennent si denses que la relativité générale ne peut plus être négligée. Ce sont des objets compacts : naines blanches étoiles à neutrons. trous noirs. Cependant, nous excluons les trous noirs de cette discussion puisque aucune force ne peut empêcher l’effondrement vers une singularité centrale, cachée derrière l’horizon. Les trous noirs possèdent une structure interne très simple et ne sont caractérisés que par trois paramètres (masse, charge électrique et moment cinétique). La compacité de l’objet est caractérisée par le paramètre Ξ= 2GM R c2 = Rs R se rapprochant de l’unité, ces effets deviennent importants. Le rayon de Schwarzschild est donné par Rs = Jérôme Pétri (Observatoire Astronomique) 2GM (95) c2 Physique stellaire M2 Astrophysique - Strasbourg 76 / 277 Les astres relativistes (objets compacts) II Objet proton Terre Soleil Naine blanche Étoile à neutrons Trou noir Masse en M⊙ 1.672 × 10−27 kg 2.5 × 10−6 1 ≤ 1. 4 1−3 quelconque Rayon en R⊙ 10−15 m 10−2 1 10−2 10−5 G M /c 2 Densité (kg/m3 ) 7 × 10 103 103 1010 1018 M /R 3 17 Compacité Ξ 10−43 10−9 10−6 10−4 10−1 1 TABLE – Propriétés des objets compacts, masse, rayon et densité comparées à une étoile standard de la séquence principale : le Soleil. Jérôme Pétri (Observatoire Astronomique) Physique stellaire M2 Astrophysique - Strasbourg 77 / 277 Les astres relativistes I Les équations d’équilibre hydrostatique et de conservation de la masse sont modifiées en incluant des termes de pression et de masse reliés à toute forme d’énergie 5 des effets de courbure de l’espace-temps au voisinage de l’étoile. Pour le Soleil, Rs = 3 km et la compacité est faible, α ≈ 10−6 ≪ 1. À vrai dire, cette correction est faible pour les naines blanches car leur compacité est modeste αNB ≈ 10−4 ≪ 1 En revanche, pour les étoiles à neutrons, un traitement général-relativiste est indispensable car αEN ≈ 0.4 La densité de masse ρ doit être réinterprétée comme le quotient entre la densité totale d’énergie 6 divisée par c 2 . L’évolution de la masse en fonction du rayon vérifie encore l’équation (67) mais avec une petite subtilité reliée à l’interprétation de la densité de masse comme quotient de la densité d’énergie par c 2 . Par contre l’équation de l’équilibre hydrostatique Eq. (59) est modifiée. Elle se traduit par l’expression Jérôme Pétri (Observatoire Astronomique) Physique stellaire M2 Astrophysique - Strasbourg 78 / 277 Les astres relativistes II dP dr = −G (ρ(r ) + P (r )/c 2 ) (M (r ) + 4 π r 3 P (r )/c 2 ) r 2 (1 − 2 G M (r )/r c 2 ) (96) la pression se traduit par une masse supplémentaire effet lié à la courbure de l’espace-temps En rajoutant une prescription pour l’équation d’état reliant P à ρ, on aboutit au système d’équations de Oppenheimer-Volkoff (OV). Dans la limite non-relativiste, P ≪ ρ c 2 et P ≪ M c 2 /r 3 , on retrouve l’équation newtonienne Eq. (59). Jérôme Pétri (Observatoire Astronomique) Physique stellaire M2 Astrophysique - Strasbourg 79 / 277 Les astres relativistes III F IGURE – Relation masse-rayon des étoiles à neutrons Insistons sur le fait que M (r ) doit être interprétée comme la masse totale incluse dans la sphère de rayon r , y compris celle induite par l’énergie potentielle gravitationnelle. Ceci n’apparaît pas clairement dans l’équation de conservation de la masse-énergie, Eq. (67). Pour mieux le comprendre, rappelons que l’élément de volume propre d’un élément fluide de l’étoile n’est pas donné simplement par 4 π r 2 dr mais plutôt par dV = p Jérôme Pétri (Observatoire Astronomique) 4 π r 2 dr 1 − 2 G M (r )/r c 2 Physique stellaire > 4 π r 2 dr (97) M2 Astrophysique - Strasbourg 80 / 277 Les astres relativistes IV qui diffère de sa valeur en espace-temps plat. Il y a donc une contribution supplémentaire provenant de l’énergie potentielle gravitationnelle (négative). 5. car l’énergie contribue à la masse gravitationnelle ainsi qu’à une forme de pression. 6. comprenant l’énergie de masse au repos mais aussi toute autre forme d’équivalence masse-énergie comme l’énergie potentielle ou cinétique. Jérôme Pétri (Observatoire Astronomique) Physique stellaire M2 Astrophysique - Strasbourg 81 / 277 Résumé Équation d’équilibre hydrostatique dP =− dr GρM (98) r2 Équation de conservation de la masse dM dr = 4πρr2 (99) = 4πr2 ρε (100) Équation de conservation de l’énergie dL dr Astre relativiste termes supplémentaires de pression pour l’équilibre hydrostatique (masse totale et densité de masse) terme de courbure de l’espace Jérôme Pétri (Observatoire Astronomique) Physique stellaire M2 Astrophysique - Strasbourg 82 / 277 1 Introduction 2 Structure interne des étoiles 3 Transport de l’énergie 4 Les équations d’état 5 Les réactions nucléaires 6 Les modèles d’intérieur stellaire 7 Le vent stellaire 8 Astérosismologie Jérôme Pétri (Observatoire Astronomique) Physique stellaire M2 Astrophysique - Strasbourg 83 / 277 Les modes de transport de l’énergie Les équations fondamentales de la structure interne des étoiles ne disent rien sur les processus physiques à l’origine de la source d’énergie du transport de celle-ci vers les couches extérieures et le milieu interstellaire. Il faut encore spécifier les modes de transport possibles pour évacuer l’énergie produite par l’étoile. C’est l’objet de ce chapitre dans lequel nous commençons par rappeler quelques notions sur le transfert du rayonnement, puis nous expliquerons le transport par rayonnement par conduction par convection. Jérôme Pétri (Observatoire Astronomique) Physique stellaire M2 Astrophysique - Strasbourg 84 / 277 Introduction Trois modes de transport peuvent cohabiter dans un intérieur stellaire par rayonnement par conduction par convection Le flux d’énergie au sein de l’étoile se fait des régions les plus chaudes vers les régions les plus froides. D’après la loi de Fourier, la densité de courant thermique est ~jth = −λ ~∇ T (101) et possède une unité en W /m2 . Ce courant est déterminé à partir du gradient de température, λ est une constante, la conductibilité thermique en W/m.K. Jérôme Pétri (Observatoire Astronomique) Physique stellaire M2 Astrophysique - Strasbourg 85 / 277 Le transport par conduction Le transport de l’énergie par conduction à l’intérieur des étoiles est très peu efficace car ces plasmas sont de mauvais conducteurs thermiques. Les collisions fréquentes entre particules ne permettent pas de créer un mouvement d’ensemble significatif, le libre parcours moyen des électrons étant très petit par rapport au libre parcours moyen des photons. Le transfert d’énergie s’opère donc par le mouvement d’agitation thermique des particules (électrons et atomes). Il n’y a pas de transport de matière. Cette discussion ne s’applique pas aux cœurs très denses formés d’électrons fortement dégénérés. En effet, les leptons obéissant à la statistique de Fermi-Dirac leur confèrent des propriétés thermiques radicalement différentes. Les électrons dégénérés sont d’excellents conducteurs thermiques à tel point que l’on peut parfois aboutir à un état d’équilibre isotherme dans l’étoile. Ce genre de cœur dense et dégénéré se rencontre dans les naines blanches et les étoiles à neutrons par exemple. Jérôme Pétri (Observatoire Astronomique) Physique stellaire M2 Astrophysique - Strasbourg 86 / 277 Le transport par conduction On peut estimer la conduction par le raisonnement suivant. Considérons une densité volumique d’énergie u (z ) dans un milieu. Le flux d’énergie, ou le courant thermique au travers d’une surface dS est alors jz = 1 6 v u (z − l ) − 1 6 1 du dT v u (z + l ) ≈ − v l = −K 3 dz dz (102) avec du 1 vl 3 dT Le libre parcours moyen est estimé à partir de la distance minimale d’approche entre des particules chargées (électrons et ions) selon K= rc = Z e2 (103) (104) 4 π ε0 kB T d’où la section efficace de collision σc = Z 2 e4 16 π ε20 kB2 T 2 ≈ 3.9 × 10−10 Z 2 T −2 cm−2 (105) Pour un mélange d’électrons et d’ions, ne = Z ni et le libre parcours moyen s’écrit Λ= Jérôme Pétri (Observatoire Astronomique) 16 π ε20 kB2 Z 2 T 2 Z 2 e4 ni ≈ 1.3 × 109 Physique stellaire Z2 T2 ni (106) m M2 Astrophysique - Strasbourg 87 / 277 Le transport par conduction Exercice : estimer le libre parcours moyen des électrons à l’intérieur du soleil et comparer à son rayon. Conclusion. Jérôme Pétri (Observatoire Astronomique) Physique stellaire M2 Astrophysique - Strasbourg 88 / 277 Le transport par conduction Exercice : estimer le libre parcours moyen des électrons à l’intérieur du soleil et comparer à son rayon. Conclusion. Réponse : La densité de masse moyenne est ρ̄ = 3M 4 π R3 ≈ 1409 kg/m3 (107) d’où la densité d’électrons pour un gaz d’hydrogène complètement ionisé n̄i = n̄e = 3M 4 π R 3 mp ≈ 8.4 × 1029 1/m3 (108) m ≈ 1.5 × 10−7 m (109) d’où le libre parcours moyen Λ ≈ 1.3 × 109 Z2 T2 ni et donc beaucoup plus petit que le rayon de l’étoile. La conduction thermique des électrons est négligeable, inefficace pour le transport de la chaleur. Jérôme Pétri (Observatoire Astronomique) Physique stellaire M2 Astrophysique - Strasbourg 88 / 277 Le transport par conduction I La conductibilité électronique est donc Ke = kB ne 2 π ni r 3 kB T me 4 π ε0 kB T Z e2 2 (110) En interchangeant le rôle des électrons et des ions, on trouve Ki = 1 Z2 r me mi Ke (111) La conductibilité ionique est négligeable par rapport à celle des électrons. Le raisonnement ci-dessus ne s’applique pas à un gaz dégénéré comme à l’intérieur d’une étoile à neutrons ou d’une naine blanche. Dans ces conditions, la conduction thermique domine les autres modes de transport. Jérôme Pétri (Observatoire Astronomique) Physique stellaire M2 Astrophysique - Strasbourg 89 / 277 Courant thermique et flux de conduction Exercice : estimer la durée nécessaire pour augmenter de ∆T la température d’une casserole de surface S remplie d’eau à hauteur de h = 10 cm. On donne la conductibilité thermique de l’eau λ = 0.6 W/m.K, sa capacité calorifique cp = 4180 J/kg.K et sa densité ρ = 1000 kg/m3 . Jérôme Pétri (Observatoire Astronomique) Physique stellaire M2 Astrophysique - Strasbourg 90 / 277 Courant thermique et flux de conduction Exercice : estimer la durée nécessaire pour augmenter de ∆T la température d’une casserole de surface S remplie d’eau à hauteur de h = 10 cm. On donne la conductibilité thermique de l’eau λ = 0.6 W/m.K, sa capacité calorifique cp = 4180 J/kg.K et sa densité ρ = 1000 kg/m3 . Réponse : Le flux thermique est donné par jth = λ ∆T (112) h Pour augmenter la température de l’eau dans la casserole de ∆T , il faut apporter une énergie de ρ S h cp ∆T = jth S ∆t (113) ρ h2 c En réarrangeant et après simplification, il faut à peu près ∆t = λ p ≈ 7 × 104 s soit près de 19.4 heures. Noter que le temps mis est indépendant de la différence de température ∆T et de la section S de la casserole. Jérôme Pétri (Observatoire Astronomique) Physique stellaire M2 Astrophysique - Strasbourg 90 / 277 Rappel sur le transfert du rayonnement Pour bien comprendre le transport de l’énergie par rayonnement, nous rappelons succinctement la théorie du transfert du rayonnement. Les photons se propageant dans un milieu matériel interagissent avec celui-ci et subissent des modifications dépendant de la nature du milieu : sa composition de son état physique : régi par la température qui contrôle le niveau d’excitation et d’ionisation. Différents processus physiques entrent en jeu et modifient l’état du champ photonique par exemple en absorbant des photons en réémettant des photons. Ces photons peuvent diffuser ou diffracter avec éventuellement un changement de fréquence. La description de la propagation du rayonnement sous l’influence de ces multiples interactions est classiquement désignée sous le nom de transfert du rayonnement. Il fait intervenir des paramètres caractérisant le rayonnement et que nous détaillons maintenant. Commençons par introduire quelques définitions. Jérôme Pétri (Observatoire Astronomique) Physique stellaire M2 Astrophysique - Strasbourg 91 / 277 Le flux d’énergie La quantité primitive de base est le flux d’énergie F , c’est-à-dire l’énergie dE qui traverse ~n dΩ une unité de surface perpendiculaire dA⊥ par unité de temps dt F= dE (114) dA⊥ dt dA⊥ Il s’exprime en W/m2 . F IGURE – Géométrie C’est une description très sommaire du rayonnement. On peut être beaucoup plus précis en introduisant la grandeur ci-dessous. Jérôme Pétri (Observatoire Astronomique) Physique stellaire M2 Astrophysique - Strasbourg 92 / 277 L’intensité spécifique I Considérons un rayon individuel se propageant dans une direction ~n. Soit dA⊥ un élément de surface dont la normale est ~n. L’intensité spécifique est définie comme étant la quantité d’énergie dEν traversant ~n la surface perpendiculaire dA⊥ dΩ par unité de fréquence d ν par unité de temps dt par unité d’angle solide d Ω Iν = dEν (115) dA⊥ dt d ν d Ω dA⊥ F IGURE – Géométrie Iν se mesure en W m−2 Hz−1 sr−1 . Noter que cette grandeur dépend du point considéré de la direction de propagation de la fréquence du rayonnement. Jérôme Pétri (Observatoire Astronomique) Physique stellaire M2 Astrophysique - Strasbourg 93 / 277 L’intensité spécifique II Remarquer aussi l’importance de prendre une surface perpendiculaire pour sa définition. Si le rayon se propage avec un angle θ par rapport à une surface dS, on aura dA⊥ = cos θ dS. ~n θ dΩ dA ⊥ F IGURE – Géométrie Jérôme Pétri (Observatoire Astronomique) Physique stellaire M2 Astrophysique - Strasbourg 94 / 277 L’intensité spécifique moyenne L’intensité spécifique moyenne, obtenue en moyennant sur toutes les directions d’émission possibles pour un point donné, est R Z Iν (Ω) d Ω 1 Iν (Ω) d Ω (116) = Jν = Ω R 4π Ω Ω dΩ R L’intégration s’étend sur toute la sphère d’angle solide Ω = 4 π et notée par Ω, d’où Ω d Ω = 4 π. Elle s’exprime en W m−2 Hz−1 . Jérôme Pétri (Observatoire Astronomique) Physique stellaire M2 Astrophysique - Strasbourg 95 / 277 La densité de flux radiatif I La densité de flux radiatif est défini comme étant la quantité nette d’énergie qui traverse par unité de temps dt par unité de fréquence d ν la surface d’aire dS (la notion de surface perpendiculaire a disparu puisqu’on intègre sur toutes les directions). L’adjectif densité fait référence à d ν. On a donc pour un rayon donné dFν = Iν (Ω) cos θ d Ω (117) et après intégration sur tous les angles possibles Fν = Z Ω Iν (Ω) cos θ d Ω (118) Elle s’exprime en W m−2 Hz−1 . Noter qu’elle peut être soit positive soit négative, suivant la direction de propagation des rayons lumineux. Les radio astronomes utilisent une autre unité beaucoup plus petite, le Jansky = Jy = 10−26 W m−2 Hz−1 Jérôme Pétri (Observatoire Astronomique) Physique stellaire (119) M2 Astrophysique - Strasbourg 96 / 277 Les moments de l’intensité spécifique Les grandeurs multipliées par une certaine puissance n de cos θ et intégrées sur toutes les directions sont coutumièrement appelées moments d’ordre n de l’intensité. Le flux radiatif représente donc le moment d’ordre 1. Le flux peut se décomposer en une partie correspondant à un flux sortant pour θ < π/2 une autre partie correspondant à un flux entrant pour θ > π/2 Fν = Z 2 π Z π/2 0 0 Iν (Ω) cos θ sin θ d θ d ϕ + Z 2π Z π 0 π/2 Iν (Ω) cos θ sin θ d θ d ϕ (120) Si le champ de rayonnement est isotrope, l’intensité spécifique Iν est indépendante de la direction Ω. Le flux entrant compense exactement le flux sortant ce qui se traduit par un flux net nul Z Fν = Iν Jérôme Pétri (Observatoire Astronomique) Ω cos θ d Ω = 0 Physique stellaire (121) M2 Astrophysique - Strasbourg 97 / 277 Le flux d’impulsion Les photons transportent de la quantité de mouvement puisque ~p = E ~n (122) c à laquelle est associée un flux d’impulsion. Par définition on pose Z 1 Pν ≡ Iν (Ω) cos2 θ d Ω c (123) Il représente donc le moment d’ordre deux de l’intensité spécifique. Toutes les grandeurs ci-dessus sont monochromatiques, fonction de la fréquence ν. Les quantités correspondantes intégrées sur tout le spectre électromagnétique s’obtiennent par sommation sur toutes les fréquences. Par exemple Z I (Ω) = F= Z Iν (Ω) d ν (124) Fν d ν (125) Pour une source de rayonnement isotrope, le flux total d’énergie décroît en inverse du carré de la distance à la source D de sorte que F ∝ 1/D 2 (126) Jérôme Pétri (Observatoire Astronomique) Physique stellaire M2 Astrophysique - Strasbourg 98 / 277 Densité d’énergie I La densité d’énergie uν (Ω) représente la quantité d’énergie présente par unité de volume dV par unité de fréquence d ν dans la direction ~Ω dans un espace traversé par un champ de rayonnement Iν (Ω) dEν = uν (Ω) dV d ν d Ω (127) Les photons se propageant à la vitesse de la lumière c, une section de surface dS engendre en un temps dt un volume défini par dV = cos θ dS c dt On en déduit la relation entre densité d’énergie et intensité spécifique par uν (Ω) = Iν (Ω) (128) c Par intégration sur toutes les directions, on obtient la densité d’énergie Z 1 Iν (Ω) d Ω uν = c Jérôme Pétri (Observatoire Astronomique) Physique stellaire (129) M2 Astrophysique - Strasbourg 99 / 277 Densité d’énergie II Elle est proportionnelle au moment d’ordre zéro de l’intensité spécifique. De manière équivalente, on peut relier cette densité à l’intensité spécifique moyenne selon uν = Jérôme Pétri (Observatoire Astronomique) 4π c Jν Physique stellaire (130) M2 Astrophysique - Strasbourg 100 / 277 Pression de radiation Pour un champ de rayonnement isotrope, la pression de radiation est simplement égale au tiers de la densité d’énergie totale au point considéré P= u (131) 3 Elle représente le transfert d’impulsion entre photons et matière, par réflexion sur un conducteur parfait par exemple. Plus précisément, le flux de photons réfléchis par le conducteur, en fonction de l’intensité spécifique s’estime à l’aide de dn dt = Iν cos θ dA d Ω d ν (132) hν Le transfert d’impulsion au conducteur est de ∆p = 2 h ν cos θ/c ce qui entraîne une force Z 2 Pν = Iν cos2 θ d Ω (133) c cos θ>0 Pour un rayonnement isotrope, en intégrant sur toutes les fréquences, on obtient Z u P = Pν d ν = 3 Jérôme Pétri (Observatoire Astronomique) Physique stellaire M2 Astrophysique - Strasbourg (134) 101 / 277 Constance de l’intensité spécifique Dans le vide, l’intensité spécifique du rayonnement est constante le long d’un rayon lumineux. La démonstration se fait en considérant deux surfaces circulaires d’aire respectivement dA1 et dA2 , distantes de R et dont les angles solides des rayons lumineux sont d Ω1 et d Ω2 . On considère uniquement les rayons lumineux qui traversent simultanément les deux disques. Le flux d’énergie est dE = Iν1 dA1 d Ω1 d ν = Iν2 dA2 d Ω2 d ν (135) dt Les angles solides sont donnés par d Ω1 = dA2 R2 et d Ω2 = dA1 (136) R2 ce qui entraîne immédiatement Iν1 = Iν2 (137) Notons que cette loi est cohérente avec la loi de décroissance en inverse du carré de la distance du flux d’énergie pour une source isotrope. Plus on s’éloigne de la source et moins de rayons lumineux traversent la surface considérée. Jérôme Pétri (Observatoire Astronomique) Physique stellaire M2 Astrophysique - Strasbourg 102 / 277 La densité de flux radiatif Exercice : Considérons une source sphérique de rayon R possédant une intensité constante et uniforme à sa surface de Iν . Trouver le flux total de rayonnement à une distance D du centre de cette source d’après la définition Z Iν (Ω) cos θ d Ω (138) Fν ≡ Ω On rappelle que l’élément d’angle solide, en se plaçant dans cette géométrie sphérique, s’écrit 2R d Ω = sin θ d θ d ϕ (139) θm D F IGURE – Géométrie Jérôme Pétri (Observatoire Astronomique) Physique stellaire M2 Astrophysique - Strasbourg 103 / 277 La densité de flux radiatif Réponse : La symétrie autour de l’axe normale à la surface par laquelle traversent les rayons implique Fν = 2 π Iν Z θm 0 cos θ sin θ d θ avec l’angle (140) R θm = arcsin( ) (141) D d’où après intégration Fν = π Iν R2 D2 Le flux radiatif décroît comme l’inverse du carré de la distance à la source. Cas particulier. À la surface de la sphère, pour D = R on trouve Fν = π Iν Jérôme Pétri (Observatoire Astronomique) Physique stellaire (142) (143) M2 Astrophysique - Strasbourg 104 / 277 Interaction rayonnement matière Un faisceau de photons interagit avec la matière et subit diverses transformations aboutissant à une altération du rayonnement par une perte d’énergie par émission de photons qui sont prélevés du milieu une diffusion élastique ou anélastique dans d’autres directions un gain d’énergie par absorption de photons qui sont injectés dans le milieu ou par une source créant de nouveaux photons Pour décrire de manière quantitative ces phénomènes, on introduit des coefficients d’émission coefficients d’absorption Jérôme Pétri (Observatoire Astronomique) Physique stellaire M2 Astrophysique - Strasbourg 105 / 277 Émission Les plasmas peuvent être le siège d’une émission photonique. L’intensité émise sera proportionnelle à la longueur du milieu traversé. Introduisant le coefficient d’émission spontanée jν (Ω) définit comme étant l’énergie émise par unité de temps dt par unité de fréquence d ν par unité de volume dV par unité d’angle solide d Ω on écrira dEν = jν (Ω) dt d ν dV d Ω (144) Pour un émetteur isotrope, le coefficient d’émission sera jν = Pν (145) 4π où Pν est la puissance rayonnée par unité de volume et de fréquence. Il s’exprime en W m−3 Hz−1 sr−1 . Jérôme Pétri (Observatoire Astronomique) Physique stellaire M2 Astrophysique - Strasbourg 106 / 277 Émission L’émissivité εν , moyennée sur les angles, représente le gain d’énergie par unité de temps par unité de fréquence par unité de masse telle que dEν = εν ρ dt d ν dV dΩ (146) 4π pour une densité de masse ρ. La relation entre les deux coefficients d’émission (par unité de volume ou unité de masse) est simplement jν = Jérôme Pétri (Observatoire Astronomique) εν ρ 4π Physique stellaire (147) M2 Astrophysique - Strasbourg 107 / 277 Émission : équation de transfert Soit un cylindre de base dA et de longueur dl. Il contient une énergie Eν = uν dA dl d Ω d ν (148) En un temps dt = dl /c, la matière, par émission, aura injecté une quantité d’énergie supplémentaire de δEν = jν dA dl d Ω d ν dt (149) de sorte que la variation de la densité d’énergie devienne duν = δEν dA dl d Ω d ν = jν dt (150) D’après la définition de l’intensité spécifique Iν = c uν , on trouve dIν = jν ds (151) où ds = c dt est l’élément de longueur infinitésimal le long du rayon lumineux. Jérôme Pétri (Observatoire Astronomique) Physique stellaire M2 Astrophysique - Strasbourg 108 / 277 Absorption Le coefficient d’absorption αν relie la diminution de l’intensité spécifique aux propriétés du milieu à la distance parcourue ds par dIν = −αν Iν ds (152) αν possède les dimensions de l’inverse d’une longueur. Il s’exprime en m−1 . La perte d’intensité est directement proportionnelle à l’intensité incidente. Jérôme Pétri (Observatoire Astronomique) Physique stellaire M2 Astrophysique - Strasbourg 109 / 277 Profondeur optique Au lieu d’utiliser l’élément de longueur curviligne ds, il est préférable d’introduire une grandeur adimensionnelle appelée profondeur optique τν et définie par d τν = αν ds (153) En suivant la trajectoire d’un rayon lumineux de s0 à s, la profondeur optique totale est Z s αν (s′ ) ds′ τν = s0 (154) On parle de milieu optiquement épais ou opaque lorsque τν ≫ 1. Dans ces conditions, les photons de fréquence ν ne peuvent pas traverser le milieu sans être absorbés (la probabilité d’un tel processus est forte) milieu optiquement mince ou transparent lorsque τν ≪ 1. Dans ces conditions, les photons de fréquence ν traversent le milieu sans être absorbés (la probabilité est faible) Jérôme Pétri (Observatoire Astronomique) Physique stellaire M2 Astrophysique - Strasbourg 110 / 277 Opacité On introduit souvent l’opacité par κν et définie par (155) α ν = ρ κν La diffusion est une sorte d’absorption qui rend le rayonnement isotrope sans le thermaliser et que l’on dénote par le coefficient σν . Il n’y a pas de réelle absorption et réémission mais simplement un changement dans la direction des photons. Jérôme Pétri (Observatoire Astronomique) Physique stellaire M2 Astrophysique - Strasbourg 111 / 277 Les sources d’opacité L’énergie dégagée par la fusion thermonucléaire au coeur de l’étoile est évacuée par les photons. Ceux-ci sont absorbés et diffusés par le plasma environnant qui est généralement fortement opaque. Par exemple, entre le moment où le photon est émis au centre du Soleil et le moment où il quitte la surface solaire, il peut s’écouler plusieurs dizaines de milliers d’années. Les origines de l’opacité du plasma sont diverses. On en recense essentiellement quatre, avec un qualificatif de lié ou libre en fonction de l’état quantique de l’électron, soit attaché à un atome ou ion, soit évoluant librement dans l’espace. Jérôme Pétri (Observatoire Astronomique) Physique stellaire M2 Astrophysique - Strasbourg 112 / 277 Les sources d’opacité : transition liée-liée (bound-bound) L’électron effectue un saut quantique d’une orbitale vers une autre, vers un état lié de plus haute énergie en absorbant un photon. L’opacité associée est faible exceptée au voisinage des fréquences de transition entre orbitales. Elle est responsable des raies d’absorption dans les spectres stellaires. L’électron peut aussi redescendre vers un état de plus basse énergie en émettant un ou plusieurs photons par effet de cascade. L’absorption suivie d’une émission peut être une simple diffusion si le photon réémi possède la même fréquence que celui absorbé ou une dégradation du champ de photons si le ou les photons réémis sont de fréquence différente de celle du photon absorbé. En pratique, il est difficile de tenir compte de toutes les contributions. Jérôme Pétri (Observatoire Astronomique) Physique stellaire M2 Astrophysique - Strasbourg 113 / 277 Les sources d’opacité : photoionisation ou transition liée-libre (bound-free) Les photons sont prélevés du champ de rayonnement pour ioniser le milieu dans lequel ils baignent. Par exemple, dans les couches externes du Soleil, ils sont absorbés par H − . Les électrons sont arrachés des atomes ou ions et possèdent une énergie cinétique quelconque, fonction de potentiel d’ionisation et de l’énergie du photon incident. C’est une source de l’opacité du spectre continu. Le processus inverse émet un ou plusieurs photons par recombinaison et contribue aussi à la dégradation du champ de photons. Jérôme Pétri (Observatoire Astronomique) Physique stellaire M2 Astrophysique - Strasbourg 114 / 277 Les sources d’opacité : transition libre-libre (free-free) Les photons sont absorbés par les électrons libres qui augmentent ainsi leur énergie cinétique. Ceci requiert la présence d’un ion pour satisfaire la conservation de l’énergie et de l’impulsion du système. L’opacité associée est de nature continue, il n’y a pas de raies. L’électron peut également émettre un photon lors de son passage au voisinage d’un ion par Bremsstrahlung (rayonnement de freinage). Jérôme Pétri (Observatoire Astronomique) Physique stellaire M2 Astrophysique - Strasbourg 115 / 277 Les sources d’opacité : diffusion électronique ou diffusion Thomson Les photons sont simplement diffusés par les électrons libres, ils changent leur direction de propagation sans variation sensible de leur énergie. La section efficace est plus faible que celle de la photoionisation mais elle devient dominante dans l’intérieur stellaire où le milieu est complètement ionisé donc sans électrons liés. Jérôme Pétri (Observatoire Astronomique) Physique stellaire M2 Astrophysique - Strasbourg 116 / 277 Équation de transfert du rayonnement En faisant le bilan de l’absorption et de l’émission, la variation de l’intensité spécifique le long du rayon lumineux devient dIν (156) = jν − αν Iν ds ou en fonction de la profondeur optique dIν d τν = Sν − Iν (157) On a introduit la fonction source par Sν = Jérôme Pétri (Observatoire Astronomique) jν (158) αν Physique stellaire M2 Astrophysique - Strasbourg 117 / 277 Solution de l’équation de transfert : émission La solution de l’équation de transfert Eq.(157) en l’absence d’absorption (milieu optiquement mince) est Z Iν (τν ) = Iν (0) + s 0 jν (s′ ) ds′ (159) Dans beaucoup de situations, l’intensité initiale est nulle de sorte que Iν (0) = 0 et le coefficient d’émission est constant. Dans ces conditions, Iν (τν ) = jν s (160) Lorsque le rayon lumineux sort de la région émettrice, l’intensité spécifique reste constante jusqu’à ce qu’il pénètre dans une nouvelle région émettrice ou absorptrice. Jérôme Pétri (Observatoire Astronomique) Physique stellaire M2 Astrophysique - Strasbourg 118 / 277 Solution de l’équation de transfert : absorption La solution de l’équation de transfert Eq.(157) en l’absence d’émission (milieu optiquement épais) est Iν (τν ) = Iν (0) e−τν (s) (161) Jérôme Pétri (Observatoire Astronomique) Physique stellaire M2 Astrophysique - Strasbourg 119 / 277 Solution de l’équation de transfert La solution formelle de l’équation de transfert Eq.(157) est Z τν ′ e−(τν −τν ) Sν (τ′ν ) d τ′ν Iν (τν ) = Iν (0) e−τν + (162) 0 Mais le problème central reste la détermination de la dépendance de la source Sν en fonction de la profondeur optique τν . Le premier terme représente la décroissance exponentielle de l’intensité provoquée par l’absorption le deuxième est une combinaison entre émission au point r ′ de profondeur optique τ′ν de la source et absorption lorsque ce nouveau rayon se propage. Exercice : donner l’expression analytique exacte de l’intensité spécifique pour un milieu homogène de profondeur L et illuminé par une intensité Iν (0). Jérôme Pétri (Observatoire Astronomique) Physique stellaire M2 Astrophysique - Strasbourg 120 / 277 Limite optiquement épaisse et mince Pour une source homogène avec Iν (0) = 0, la solution formelle se simplifie en Iν (τν ) = Sν (1 − e−τν ) (163) Deux limites importantes s’en dégagent 1 milieu optiquement mince τν ≪ 1 Iν (τν ) ≈ Sν τν = jν L (164) On intègre simplement l’émissivité le long de la ligne de visée sans tenir compte d’une éventuelle absorption 2 milieu optiquement épais τν ≫ 1 Iν (τν ) ≈ Sν (165) L’intensité émergente est égale à la fonction source qui peut différer de manière significative de l’émissivité interne à cause des phénomènes d’absorption. Jérôme Pétri (Observatoire Astronomique) Physique stellaire M2 Astrophysique - Strasbourg 121 / 277 Densité de flux radiatif d’une source lointaine Pour une source située à une distance D grande devant ses dimensions, la densité de flux radiatif est Z Z 1 Fν ≈ Iν d Ω = 2 Iν dA (166) D Si de plus cette source est optiquement mince, alors Z Iν = jν ds donc Fν ≈ Pour une source isotrope Fν ≈ Jérôme Pétri (Observatoire Astronomique) 1 4 π D2 1 D2 Z Z (167) jν dV Pν dV = Physique stellaire (168) Lν (169) 4 π D2 M2 Astrophysique - Strasbourg 122 / 277 L’équilibre thermodynamique local I Dans la suite nous utiliserons fréquemment l’approximation de l’équilibre thermodynamique local. Rappelons ce que cela implique. Un système quantique (tel que les atomes ou les molécules) subit des transitions d’un état quantique a vers un autre état quantique b par transition radiative, autrement dit par émission ou absorption d’un photon. Mais ce processus n’est pas le seul capable de provoquer des transitions entre états. Parfois, les collisions entre particules du milieu ou avec les électrons libres y circulant sont non négligeables voire dominantes. Pour déterminer les coefficients d’émission et d’absorption du milieu, il est essentiel de connaître les populations des différents états quantiques. Une connaissance détaillée des excitations et désexcitations radiatives et collisionnelles s’avère indispensable. Il arrive que les collisions dominent largement les transitions radiatives. Ceci se produit lorsque la probabilité de collision par unité de temps est très supérieure à la probabilité d’une transition quantique. Dans cette approximation, les populations des différents niveaux ne sont fonction que des propriétés des particules entrant en collision, et donc principalement de leur température indépendamment du champ de rayonnement ambiant. Jérôme Pétri (Observatoire Astronomique) Physique stellaire M2 Astrophysique - Strasbourg 123 / 277 L’équilibre thermodynamique local II Si de plus le libre parcours moyen des particules reste petit devant les échelles spatiales de variation de la température et de la densité, on peut raisonnablement supposer qu’un équilibre thermodynamique se produit à la température locale du milieu. => On dénomme cette situation sous le nom d’équilibre thermodynamique LOCAL, noté ETL. Dans les étoiles que nous étudions, grâce aux densités internes élevées cette approximation sera très bien vérifiée. Les coefficients d’émission et d’absorption seront eux aussi uniquement fonction de la température. Nous pouvons les estimer de la manière suivante. Puisque indépendant du champ de rayonnement, ils seront égaux à ce qu’ils seraient dans un milieu baigné par les photons issus du rayonnement thermique à l’équilibre thermodynamique, celui du corps noir d’intensité spécifique IνBB . Or cette intensité est une solution stationnaire de l’équation de transfert radiatif présentée antérieurement. Dans ces conditions, elle satisfait jν − αν IνBB = 0 (170) On en déduit leur rapport, donné par la fonction source jν αν Jérôme Pétri (Observatoire Astronomique) = Sν = IνBB Physique stellaire (171) M2 Astrophysique - Strasbourg 124 / 277 L’équilibre thermodynamique local III Cette formule traduit la loi de Kirchhoff : pour un milieu optiquement épais et en équilibre thermodynamique, les coefficients d’émission et d’absorption sont reliés par la loi de Planck. Une autre interprétation est la suivante. Un corps noir parfait à la température T émet un rayonnement en partie absorbé et en partie réfléchi par le milieu. Les deux corps possèdent la même température T d’où le bilan flux entrant : Bν (T ) flux réfléchi : (1 − Aν (T )) Bν (T ) flux émis : εν (T ) Bν (T ) L’équilibre entre émission et absorption donne Bν (T ) = (1 − Aν (T )) Bν (T ) + εν (T ) Bν (T ) (172) d’où l’égalité Aν (T ) = εν (T ). L’objet réémet intégralement tout le rayonnement qu’il absorbe. Jérôme Pétri (Observatoire Astronomique) Physique stellaire M2 Astrophysique - Strasbourg 125 / 277 Le transport par rayonnement À partir de ces processus d’absorption, on peut définir une opacité moyenne par unité de volume et intégrée sur toutes les fréquences. La détermination d’une expression précise de cette opacité dépasse le cadre de ce cours introductif. Elle dépend de la composition chimique du milieu de la température de la densité. On a souvent recours à des tables numériques et des interpolations sur de puissants ordinateurs. Signalons que dans la pratique on emploie fréquemment une expression approchée de la forme κR = κ 0 ρ α T β (173) dans laquelle les paramètres κ0 , α, β sont fonctions du processus considéré. Jérôme Pétri (Observatoire Astronomique) Physique stellaire M2 Astrophysique - Strasbourg 126 / 277 Le transport par rayonnement Le transport radiatif se traduit par une relation entre la luminosité et le gradient de température donnée par L=− 64 π 3 σr2 T 3 dT (174) κR ρ dr On constate que la luminosité dépend non seulement de la production d’énergie mais aussi du gradient de température et de l’opacité du milieu. Voir la démonstration de cette relation dans les transparents qui suivent. Jérôme Pétri (Observatoire Astronomique) Physique stellaire M2 Astrophysique - Strasbourg 127 / 277 Le transport par rayonnement : démonstration I Dans une étoile, le libre parcours moyen d’un photon est en général beaucoup plus faible que la taille L sur laquelle les grandeurs macroscopiques changent. L’opacité de l’intérieur stellaire est donc élevée. => On peut donc raisonnablement supposer que le milieu tend vers un état d’équilibre thermique avec la matière à la température locale T . L’intensité du rayonnement correspond par conséquent à celle du corps noir I ν = B ν (T ) Dans le cas idéal, le flux du rayonnement associé est nul à cause de l’isotropie du système. => En réalité, ce flux provient de légères variations de température d’une région à une autre. => Le petit écart par rapport à l’équilibre parfait est responsable du flux observé. On considère donc l’étoile en ETL. En régime stationnaire, l’équation de transfert du rayonnement s’écrit que l’on réécrit sous la forme ~n · ~∇Iν = jν − αν Iν Iν = Sν − 1 αν (175) ~n · ~∇Iν (176) Pour une opacité élevée, le coefficient d’absorption est grand, αν ≫ 1. Par un développement au 1er ordre en 1/αν ≪ 1, on a I ≈ I0 + I1 avec I1 ≪ I0 . Au plus bas ordre, on trouve I0 = Bν et pour le terme d’ordre 1 I1 = − Jérôme Pétri (Observatoire Astronomique) 1 αν ~n · ~∇Bν Physique stellaire (177) M2 Astrophysique - Strasbourg 128 / 277 Le transport par rayonnement : démonstration II Le flux correspondant à cette anisotropie est Fν = = = − 1 αν Z ~n · ~∇Bν d Ω (178) Z 1 ∂Bν ~n · ~∇T d Ω αν ∂T 2 ∂Bν ∂T − 3 αν ∂T ∂r − (179) (180) On introduit le coefficient moyen de Rosseland par Z +∞ 1 ∂Bν dν 1 αν ∂T 0 = Z +∞ ∂Bν αR dν ∂T 0 En tenant compte de Z +∞ ∂Bν 0 ∂T dν = (181) 4σT3 (182) π on trouve le flux du rayonnement total (intégré sur toutes les fréquences) Z +∞ 16 σ T 3 ∂T Fν d ν = − F= 3 αR ∂r 0 Jérôme Pétri (Observatoire Astronomique) Physique stellaire (183) M2 Astrophysique - Strasbourg 129 / 277 Le transport par rayonnement : démonstration III En géométrie sphérique, la quantité d’énergie traversant la sphère de rayon r par unité de temps, autrement dit la luminosité vaut 64 π 2 σ T 3 ∂T r (184) L = 4πr2 F = − 3 αR ∂r en accord avec le résultat (174) en posant αR = ρ κR . Jérôme Pétri (Observatoire Astronomique) Physique stellaire M2 Astrophysique - Strasbourg 130 / 277 Le transport par convection La convection assure le transport de l’énergie par des déplacements de matière. Lorsque la température dans l’étoile varie fortement sur une petite échelle de distance, le plasma devient instable entraînant une circulation de matière par bouillonnement : c’est le phénomène de convection. Dans la couche convective des éléments fluides chauds s’élèvent vers les régions plus froides en cédant de l’énergie tandis que des éléments fluides froids s’enfoncent vers les régions plus chaudes en leur prélevant de l’énergie. => circulation de matière tendant à diminuer le gradient de température comparé à la situation sans convection. Jérôme Pétri (Observatoire Astronomique) Physique stellaire M2 Astrophysique - Strasbourg 131 / 277 Critère de stabilité I Nous allons établir un critère de stabilité vis-à-vis de la convection, encore appelé critère de Schwarzschild. Considérons un fluide stratifié dont la pression et la densité diminuent avec l’altitude r . Soit un élément de volume fluide dV situé en r de densité ρ∗1 et de pression p1∗ en équilibre avec le milieu environnant, donc P ∗ , T ∗ , ρ∗ 2 ρ∗1 = ρ1 (185) p1∗ = p1 (186) 2 2 dr P1∗ , T1∗ , ρ∗1 Si après une perturbation amenant l’élément de volume dV de la position 1 à la position 2, dV revient en position 1, l’équilibre sera stable, sinon il sera instable. Supposant que le déplacement soit suffisamment rapide pour que la transformation soit adiabatique. Dans la nouvelle position 2, il y aura équilibre entre les pressions du fluide dV et son environnement, p2∗ = p2 . La transformation étant adiabatique, on aura ρ∗2 = ρ∗1 Jérôme Pétri (Observatoire Astronomique) p2∗ p∗ 1 1/γ Physique stellaire (187) M2 Astrophysique - Strasbourg 132 / 277 Critère de stabilité II Si ρ∗2 > ρ2 , alors l’élément dV pèsera plus lourd qu’un élément semblable des environs tout en supportant la même pression que ceux-ci. L’élément perturbé va donc redescendre à cause de sa densité plus élevée. => L’équilibre est stable, autrement dit (on supprime les étoiles) ρ1 p2 p1 1/γ (188) > ρ2 En développant au premier ordre, on écrira, en supposant que la pression et la densité diminuent avec r pour garder des variations positives dr , dp, d ρ > 0 r2 = r1 + dr (189) p2 = (190) ρ2 = p1 − dp ρ1 − d ρ (191) ce qui revient encore à ρ Jérôme Pétri (Observatoire Astronomique) p − dp p 1/γ > ρ − dρ Physique stellaire (192) M2 Astrophysique - Strasbourg 133 / 277 Critère de stabilité III et en ne gardant que les termes du premier ordre − dp p > −γ dρ (193) ρ ou en fonction des gradients spatiaux − 1 1 dp γ p dr >− 1 dρ ρ dr (194) Pour un gaz parfait, l’équation d’état p ∝ ρ T donne dp p = dρ ρ + dT (195) T Le critère de stabilité convective s’exprime alors selon 1 T dP dT < 1− = dr γ P dr dr ad dT (196) Le terme de droite représente le gradient adiabatique de température. Une couche sera stable si le gradient réel de température reste inférieur au gradient adiabatique. Jérôme Pétri (Observatoire Astronomique) Physique stellaire M2 Astrophysique - Strasbourg 134 / 277 Critère de stabilité IV En général, dans les zones convectives, la différence entre ces deux gradients reste faible, juste suffisante pour maintenir la convection. Donc, pour les intérieurs stellaires, loin de la surface de l’étoile où la densité chute rapidement, nous pouvons faire l’hypothèse dT 1 T dP = 1− dr γ P dr (197) Les mouvements dans une couche convective sont lents mais à cause de la turbulence qui y règne, le mélange de la matière rend homogène la composition chimique du milieu (équivalent à un régime stationnaire). Si l’élément perturbé est tel que ρ∗2 < ρ2 alors cet élément est poussé vers le haut. Si ce même élément avait été perturbé vers le bas, il aurait ρ∗2 > ρ2 et continuerait donc sa descente. Si une couche gazeuse devient instable, elle génère une zone de convection. L’élément qui monte transporte de l’énergie thermique car sa température est supérieure à celle des environs. En effet pour un gaz parfait, puisque p2∗ = p2 , on a ρ∗2 T2∗ = ρ2 T2 et T2∗ > T2 . Si l’élément descendait, le contraire se produirait, à savoir cet élément serait plus froid que les environs. Jérôme Pétri (Observatoire Astronomique) Physique stellaire M2 Astrophysique - Strasbourg 135 / 277 Modélisation de l’intérieur stellaire I Pour qu’un modèle d’intérieur stellaire soit stable, il faut calculer le gradient de pression à partir de l’équilibre hydrostatique le gradient de température à partir de l’équilibre radiatif. On vérifie a posteriori que l’équilibre convectif est bien réalisé. Si tel est le cas, la couche est stable et l’équilibre radiatif est présent dans toute la couche. Si ce n’est pas le cas, le transport d’énergie par convection se développe dans la couche. Le flux convectif transporte de l’énergie du bas vers le haut renvoie du matériel froid vers le bas => diminuant ainsi le gradient de température entre le haut et le bas. Puisque le flux radiatif est proportionnel à ce gradient L∝ dT dr celui-ci diminue dans les mêmes proportions que le flux convectif. dT continuera jusqu’au moment où le flux total La diminution de dr Frad + Fconv Jérôme Pétri (Observatoire Astronomique) Physique stellaire M2 Astrophysique - Strasbourg 136 / 277 Modélisation de l’intérieur stellaire II permette d’évacuer la totalité de l’énergie produite par les réactions nucléaires. => L’équilibre convectif est alors atteint : la convection transporte une partie de l’énergie totale et la situation devient stationnaire. Jérôme Pétri (Observatoire Astronomique) Physique stellaire M2 Astrophysique - Strasbourg 137 / 277 Résumé I Le transport d’énergie par rayonnement L=− 64 π 3 σr2 T 3 dT (198) κR ρ dr par convection : critère de Schwarzschild 1 T dP = 1− dr γ P dr dT (199) par conduction : négligeable dans les intérieurs stellaires Jérôme Pétri (Observatoire Astronomique) Physique stellaire M2 Astrophysique - Strasbourg 138 / 277 Résumé II Notion de transfert du rayonnement flux d’énergie intensité spécifique pression de rayonnement coefficient d’absorption, d’émission équation de transfert radiatif constance de l’intensité spécifique Notion de transfert du rayonnement corps noir différentes origines pour l’opacité liée-liée libre-liée libre-libre diffusion Jérôme Pétri (Observatoire Astronomique) Physique stellaire M2 Astrophysique - Strasbourg 139 / 277 1 Introduction 2 Structure interne des étoiles 3 Transport de l’énergie 4 Les équations d’état 5 Les réactions nucléaires 6 Les modèles d’intérieur stellaire 7 Le vent stellaire 8 Astérosismologie Jérôme Pétri (Observatoire Astronomique) Physique stellaire M2 Astrophysique - Strasbourg 140 / 277 Les équations d’état Suivant les conditions règnant à l’intérieur d’une étoile, le plasma sera dans des régimes très différents neutre ionisé relativiste ou non dégénéré ou non. Cela se traduit par des équations d’état, c’est-à-dire une relation entre pression, température et densité P (ρ, T ), différentes. Dans une étoile typique comme le Soleil, le plasma stellaire est fortement ionisé et obéit à la loi des gaz parfaits, Pg = n kB T . Au sein d’étoiles plus évoluées telle que les naines blanches, la densité est si forte que la loi du gaz parfait ne s’applique plus. Le plasma est dégénéré et l’équation d’état devient une simple relation entre la pression et la densité, indépendante de la température. Notons qu’il convient encore d’ajouter à la pression gazeuse la pression de rayonnement provoquée par l’impulsion des photons du milieu si besoin est. Jérôme Pétri (Observatoire Astronomique) Physique stellaire M2 Astrophysique - Strasbourg 141 / 277 L’importance de l’équation d’état La manière dont un fluide ou un gaz répond à des contraintes de température et de densité est inscrite dans ce que l’on appelle une équation d’état. Elle relie la pression à d’autres paramètres physiques importants qui sont généralement la température et la densité du milieu. Nous l’avons déja dit, l’intérieur d’une étoile peut se retrouver dans des conditions physiques très variées où le gaz est non relativiste, non dégénéré et satisfait à la statistique de Maxwell-Boltzmann à des conditions extrêmes où le gaz est complètement dégénéré et relativiste, satisfaisant la statistique de Fermi-Dirac, comme par exemple dans les naines blanches et les étoiles à neutrons. => Il est par conséquent indispensable de connaître le comportement de fluide stellaire en déterminant son équation d’état. C’est l’objectif de ce chapitre. Jérôme Pétri (Observatoire Astronomique) Physique stellaire M2 Astrophysique - Strasbourg 142 / 277 L’importance de l’équation d’état On ne traitera que du cas d’un gaz parfait de particules (c’est-à-dire des particules non interagissantes) décrit par une fonction de distribution d’équilibre f (~p) isotrope 7 . On montre à partir de la théorie cinétique des gaz parfaits que la pression est alors donnée par P= 1 3 Z Z Z ~p ·~v f (~p) d 3~p = 1 3 Z +∞ 0 p v f (p) 4 π p2 dp (200) En remplaçant la fonction f par la distribution de Maxwell-Boltzmann de Fermi-Dirac de Bose-Einstein on trouve les équations d’état satisfaites par un gaz parfait classique un gaz de fermions un gaz de photons (le corps noir par exemple). 7. On rappelle que le nombre de particules d’impulsion ~p dans l’élément de volume d 3~p est dN = f (~p) d 3~p Jérôme Pétri (Observatoire Astronomique) Physique stellaire M2 Astrophysique - Strasbourg 143 / 277 Statistique à l’équilibre thermodynamique : Maxwell-Boltzmann L’hypothèse de l’équilibre thermodynamique locale est très bien vérifiée dans les intérieurs stellaires. On peut raisonnablement supposer que chaque élément fluide se trouve dans un état stationnaire à la température locale T et ce dans toutes les régions du centre jusqu’à la surface. Les densités correspondantes de particules se déduisent grâce à des arguments issus de la physique statistique que nous ne détaillerons pas ici (voir ouvrages traitant cet aspect). Nous ne ferons que rappeler les fonctions de distribution dans les différents régimes. Pour un gaz classique (non relativiste et non dégénéré), la fonction de distribution s’obtient par l’expression de Maxwell-Boltzmann selon f (~r ,~p) = Jérôme Pétri (Observatoire Astronomique) n(~r ) (2 π m kB T )3/2 Physique stellaire 2 e − 2mk v T (201) B M2 Astrophysique - Strasbourg 144 / 277 Le gaz parfait classique Pour un gaz parfait la relation entre les grandeurs thermodynamiques est Pg = n kB T (202) On peut la transformer en faisant intervenir la masse moléculaire moyenne µ du gaz et la masse moyenne d’une particule < m > par ρ = µ = <m> n <m> (203) (204) mH La loi des gaz parfait devient Pg = Jérôme Pétri (Observatoire Astronomique) ρ kB T µ mH Physique stellaire (205) M2 Astrophysique - Strasbourg 145 / 277 Le gaz parfait classique Introduisons les fractions de matière ci-dessous X = fraction d’hydrogène, (X⊙ = 0.70) Y = fraction d’hélium, (Y⊙ = 0.28) Z = fraction d’éléments lourds, c’est-à-dire tous les éléments autre que H ou He, (Z⊙ = 0.02) élément H He métaux nb d’atomes Xρ nb d’électrons Xρ mH Yρ mH 2Y ρ 4 mH Zρ 4 mH AZ ρ A mH 2 A mH TABLE – Les différentes contributions au poids moléculaire moyen. Jérôme Pétri (Observatoire Astronomique) Physique stellaire M2 Astrophysique - Strasbourg 146 / 277 Le gaz parfait classique Avant ionisation du milieu, on a X + Y + Z = 1. Supposons que le mélange soit complètement ionisé et calculons la masse moléculaire moyenne µ. Pour cela faisons l’inventaire de toutes les particules contenues dans ce mélange, A représente le poids atomique moyen des éléments lourds. Chaque métal contribue pour A/2 électrons. La densité totale de particules est n= 2X + 3 4 Y+ Z 2 ρ (206) mH d’où l’on déduit le poids moléculaire moyen, avec Z = 1 − X − Y µ= 4 (207) 2+6X +Y Quelques exemples de poids moléculaire moyen : pour l’hydrogène pur µ = 1/2. pour l’hélium pur µ = 4/3. pour les éléments lourds µ ≈ 2. Jérôme Pétri (Observatoire Astronomique) Physique stellaire M2 Astrophysique - Strasbourg 147 / 277 La pression de rayonnement : le corps noir Un photon de fréquence ν transporte une impulsion p = h ν/c. Celle-ci peut être transférée à des particules lors de collisions. Ce processus équivaut à une force que l’on décrit habituellement sous la forme d’une pression appelé pression de rayonnement et noté PR . Elle est égale au tiers de la densité totale d’énergie du champ électromagnétique. Dans le cas particulier du corps noir, on démontre que PR = 4σ 3c T4 (208) où σ = π2 kB4 /60 ~3 c 2 = 5.67 × 10−8 W /m2 K 4 . Dans le cas général, il faut ajouter ce terme à la pression gazeuse P= Jérôme Pétri (Observatoire Astronomique) ρ kB T 4 σ 4 + T µ mH 3c Physique stellaire (209) M2 Astrophysique - Strasbourg 148 / 277 Le gaz dégénéré La loi du gaz parfait est une bonne approximation aux basses pressions lorsque les interactions mutuelles entre les particules sont négligeables les distances interparticulaires sont suffisamment grandes. Aux fortes densités, les particules peuvent se resserrer à tel point que les fonctions d’onde commencent à se chevaucher. Des phénomènes quantiques dûs à la dégénérescence apparaissent et créent une pression supplémentaire, conséquence du principe d’exclusion de Pauli pour les fermions. À cause de leur faible masse, les électrons seront les premiers à ressentir ces effets et formeront un gaz dégénéré de Fermi-Dirac tandis que les ions beaucoup plus lourds continueront à satisfaire la loi des gaz parfaits. Cependant, la pression de dégénérescence électronique est prépondérante vis-à-vis de la pression ionique que l’on peut négliger. => C’est le cas des naines blanches par exemple. Jérôme Pétri (Observatoire Astronomique) Physique stellaire M2 Astrophysique - Strasbourg 149 / 277 Statistique à l’équilibre thermodynamique : Fermi-Dirac et Bose-Einstein Pour un système dans lequel les effets quantiques se font ressentir, un traitement plus rigoureux montre que la loi de probabilité du nombre d’occupation d’un état quantique repéré par la lettre λ d’énergie Eλ est 1 nλ = (210) e(Eλ −µ)/kB T ± 1 où nous avons introduit le potentiel chimique µ le signe + correspondant aux fermions, soumis au principe d’exclusion de Pauli le signe − aux bosons. Pour ces derniers, la positivité de nλ impose la contrainte µ ≤ Eλ . Jérôme Pétri (Observatoire Astronomique) Physique stellaire M2 Astrophysique - Strasbourg 150 / 277 Statistique à l’équilibre thermodynamique : Fermi-Dirac et Bose-Einstein Le résultat ci-dessus indique le nombre d’occupation pour une particule individuelle mais ne tient pas compte des degrés de liberté interne tels que le spin ou tout autre nombre quantique. Pour cela on introduit un poids statistique gs de sorte que la fonction de distribution des particules devienne 1 f (~p) = gs 1 h3 e(E (~p)−µ)/kB T ± 1 (211) La distribution de Fermi-Dirac est montrée en fig.21. nHEL 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0 5 10 E 15 20 F IGURE – La distribution de Fermi-Dirac pour une température nulle et pour kB T = 1. Jérôme Pétri (Observatoire Astronomique) Physique stellaire M2 Astrophysique - Strasbourg 151 / 277 Statistique à l’équilibre thermodynamique : Fermi-Dirac et Bose-Einstein Dans la limite non relativiste et pour un potentiel chimique µ négatif tel que |µ| ≫ kB T , la distribution Eq.(211) se réduit à la distribution de Maxwell-Boltzmann Eq.(201) : le système est classique. Par contre, dans le cas contraire, pour kB T ≪ µ, la température du milieu est négligeable et la fonction de distribution se sépare en deux régions distinctes, l’une où tous les états sont occupés pour E ≤ µ et l’autre entièrement vide pour E > µ. Dans ces conditions on appelle énergie de Fermi le potentiel chimique et on pose par définition EF ≡ µ Jérôme Pétri (Observatoire Astronomique) Physique stellaire (212) M2 Astrophysique - Strasbourg 152 / 277 Statistique à l’équilibre thermodynamique : Fermi-Dirac La transition entre les deux régimes se fait sur une largeur de l’ordre de kB T . L’impulsion de Fermi associée est EF ≡ E (pF ) (213) Pour un milieu totalement dégénéré si pF ≪ m c la dégénérescence est qualifiée de non relativiste si pF ≫ m c la dégénérescence est qualifiée de ultra-relativiste. Jérôme Pétri (Observatoire Astronomique) Physique stellaire M2 Astrophysique - Strasbourg 153 / 277 Statistique à l’équilibre thermodynamique : Fermi-Dirac Pour un gaz complètement dégénéré, l’énergie de Fermi se calcule simplement. En effet, pour des fermions de spin 1/2, le nombre total d’états possibles jusqu’à l’impulsion de Fermi pour un volume V est 4 π pF3 N =2 V (214) 3 h3 d’où l’on déduit 1/3 3 N (215) pF = h 8π V Dans la limite non relativiste EF = pF2 2m = h2 2m 2/3 (216) 1/3 (217) 3 N 8π V qui dépend explicitement de la masse tandis que dans la limite ultra relativiste EF = pF c = h c 3 N 8π V qui ne dépend plus de la masse de la particule (en régime ultra-relativiste, E ≈ p c ≫ m c 2 , elle se comporte comme une particule de masse nulle, un photon) Jérôme Pétri (Observatoire Astronomique) Physique stellaire M2 Astrophysique - Strasbourg 154 / 277 Statistique à l’équilibre thermodynamique : Fermi-Dirac La séparation entre dégénérescence non relativiste et relativiste se fait le long de pF = m c ou encore en identifiant chaque espèce par la lettre s N V = n s∗ = 8 π ms3 c 3 3 (218) h3 En dessous de cette valeur la dégénérescence est classique sinon relativiste. En fonction du type de particule, on trouve pour les électrons n e∗ = pour les protons 8 π me3 c 3 3 h3 = 5.8 × 1035 m−3 ρe∗ = 5.34 × 105 kg m−3 n p∗ = 3 3 8 π mp c 3 h3 = 3.6 × 1045 m−3 ρp∗ = 6.07 × 1018 kg m−3 Jérôme Pétri (Observatoire Astronomique) Physique stellaire M2 Astrophysique - Strasbourg 155 / 277 Le gaz dégénéré L’équation d’état du gaz dégénéré prend une forme particulièrement simple dans deux cas limites pour un gaz dégénéré non relativiste Pd = (3 π2 )2/3 ~2 5 n5/3 ∝ ρ5/3 (219) ~ c n4/3 ∝ ρ4/3 (220) m pour un gaz dégénéré ultrarelativiste Pd = (3 π2 )1/3 4 cette pression ne dépend plus de la masse m des fermions. Ce sont des équations d’état polytropiques pour lesquelles la dépendance par rapport à la température a disparu. Jérôme Pétri (Observatoire Astronomique) Physique stellaire M2 Astrophysique - Strasbourg 156 / 277 Ionisation et excitation des atomes Dans une étoile, les atomes sont rarement dans leur état fondamental. L’énergie d’agitation thermique provoque des transitions vers des états excités voire l’ionisation de l’atome par libération d’un ou de plusieurs électrons selon la réaction A → A+ + e− (221) Les degrés d’ionisation et d’excitation sont fonction de la température du milieu. À l’équilibre thermodynamique, ils sont déterminés par la formule de Boltzmann F IGURE – Différence entre ionisation et excitation d’un atome. la formule de Saha. Jérôme Pétri (Observatoire Astronomique) Physique stellaire M2 Astrophysique - Strasbourg 157 / 277 Excitation des atomes Plus précisément, soient deux états A et B d’énergie respectivement EA et EB et de poids statistique respectif gA et gB . Le nombre d’atomes d’énergie EA à l’équilibre est donnée par la loi de Boltzmann NA ∝ gA e−EA /kB T (222) On en déduit le rapport entre les nombres d’occupation des deux niveaux par NA NB = gA −(EA −EB )/kB T e (223) gB Ces expressions sont valables pour les électrons qui restent liés à l’atome, on parle de niveaux excités. Jérôme Pétri (Observatoire Astronomique) Physique stellaire M2 Astrophysique - Strasbourg 158 / 277 Ionisation des atomes Si on applique ce même raisonnement aux électrons libres, on parle dl’ionisation, le rapport entre la densité d’ions et d’atomes neutres est régi par la formule de Saha. Considérons deux ions i et i + 1 d’un même élément (atome ou molécule). Soit Ei le potentiel d’ionisation de l’ion i c’est-à-dire l’énergie nécessaire pour ioniser l’état i de l’élément et gi son poids statistique et de même pour l’ion i + 1. Notons ni , ni +1 et ne les densités des ions et des électrons libres. Nous allons estimer le rapport ni +1 /ni . Le poids statistique de l’ion à l’état i est simplement gi Celui de l’ion dans l’état i + 1 est gi +1 multiplié par le nombre d’états possibles pour les électrons libres ainsi créés. De plus, on sait que l’on peut ranger deux électrons (car deux orientations de spin) dans chaque volume élémentaire h3 de l’espace des phases. Jérôme Pétri (Observatoire Astronomique) Physique stellaire M2 Astrophysique - Strasbourg 159 / 277 Ionisation et excitation des atomes Dans le régime non relativiste, l’énergie acquise par un électron d’impulsion p et qui provient d’un ion dans le niveau fondamental de l’état i est p2 2m = E − Ei l’énergie du système (électron+ion) étant E. Le nombre de cellules disponibles pour des électrons d’impulsion comprise entre p et p + dp est 4 π p2 dp/h3 ∗ Ve où Ve = 1/ne représente le volume ordinaire dans l’espace tridimensionnel. Alors d’après la loi de Boltzmann, après intégration sur toutes les cellules disponibles, le rapport des densités devient Z gi +1 2 Ve +∞ −(Ei +p2 /2 m)/kB T ni +1 e 4 π p2 dp (224) = ni gi h3 0 Tout calcul fait on aboutit à la formule de Saha ne ni +1 ni Jérôme Pétri (Observatoire Astronomique) =2 gi +1 (2 π m kB T )3/2 −Ei /kB T e gi h3 Physique stellaire (225) M2 Astrophysique - Strasbourg 160 / 277 Ionisation et excitation des atomes On exprime le potentiel d’ionisation en eV . Pour les éléments les plus abondants que sont l’hydrogène et l’hélium, ce potentiel est élément ionisation de l’hydrogène première ionisation de l’hélium deuxième ionisation de l’hélium potentiel poids statistique E0 = 13, 54 eV E0 = 24, 48 eV E0 = 54, 17 eV 2 gi +1 /gi = 1 2 gi +1 /gi = 4 2 gi +1 /gi = 1 Pour calculer ces poids statistiques, il faut tenir compte à la fois du spin de l’électron et de celui du/des protons puisque ce sont des fermions de spin 1/2. Jérôme Pétri (Observatoire Astronomique) Physique stellaire M2 Astrophysique - Strasbourg 161 / 277 Les états de la matière On peut résumer les résultats précédents dans un diagramme température-densité sur lequel on délimite les équations d’état ainsi que leur domaine de validité, fig. 24. Par exemple l’égalité entre pression gazeuse et radiative a lieu pour T3 ≈ 3 c kB 4 σ µ mH (226) ρ la limite entre pression gazeuse et de dégénérescence non relativiste des électrons T≈ (3 π2 )2/3 ~2 µ 5 me kB ρ mH 2/3 (227) pour la dégénérescence relativiste qui devient indépendante de la température ρ ≈ mH Jérôme Pétri (Observatoire Astronomique) 3 5 1 me3 c 3 4 3 π2 ~3 Physique stellaire ≈ 1, 9 × 109 kg /m3 M2 Astrophysique - Strasbourg (228) 162 / 277 Écarts par rapport au gaz parfait Le gaz parfait ne tient pas compte des interactions entre les particules constituant le milieu. Par exemple, la superfluidité, la cristallisation ou la neutronisation ne s’expliquent pas par le modèle du gaz parfait. Jérôme Pétri (Observatoire Astronomique) Physique stellaire M2 Astrophysique - Strasbourg 163 / 277 La cristallisation La formation d’un réseau cristallin fait intervenir l’interaction coulombienne entre les charges. L’écart par rapport au gaz parfait se mesure par le rapport Γc = Ecoulomb Ethermique = e2 4 π ε0 r kB T = e2 4 π ε0 kB T 4πn 3 1/3 ≈ 2.7 × 10−5 n1/3 T (229) Les interactions restent négligeables si Γc ≪ 1 et se font sentir pour Γc ≫ 1. À forte densité et basse température, les particules ne se meuvent plus librement et commencent à former un structure cristalline. La transition de phase à lieu pour une valeur critique estimée à Γc ≈ 100 d’où la relation densité-température T ≈ 2.7 × 10−7 n1/3 ≈ 227 ρ1/3 Jérôme Pétri (Observatoire Astronomique) Physique stellaire (230) M2 Astrophysique - Strasbourg 164 / 277 Les états de la matière Equations d’état yon de ra ssion Pre 2.5 e eus 5 az n g io ess Pr 0 e nc ce te esivis r né t gé la Dén re no -2.5 -5 5 0 log Ρ Hkgm3 L Dégénérescence relativiste log T HKL 7.5 t nemen 10 10 F IGURE – Diagramme (log ρ, log T ) pour les différentes équations d’état. Jérôme Pétri (Observatoire Astronomique) Physique stellaire M2 Astrophysique - Strasbourg 165 / 277 Les plasmas dans les milieux astrophysiques F IGURE – Diagramme (log ρ, log T ) pour les différentes milieux astrophysiques. Jérôme Pétri (Observatoire Astronomique) Physique stellaire M2 Astrophysique - Strasbourg 166 / 277 Résumé Les régimes du plasma gaz parfait classique gaz parfait quantique : dégénérescence non relativiste/relativiste gaz de photons diagramme ρ − T excitation du milieu (formule de Boltzmann) ionisation du milieu (formule de Saha) Jérôme Pétri (Observatoire Astronomique) Physique stellaire M2 Astrophysique - Strasbourg 167 / 277 1 Introduction 2 Structure interne des étoiles 3 Transport de l’énergie 4 Les équations d’état 5 Les réactions nucléaires 6 Les modèles d’intérieur stellaire 7 Le vent stellaire 8 Astérosismologie Jérôme Pétri (Observatoire Astronomique) Physique stellaire M2 Astrophysique - Strasbourg 168 / 277 Les réactions nucléaires Une étoile de la séquence principale passe la plus grande partie de sa vie à consommer le carburant nucléaire (essentiellement de l’hydrogène) effectuant des réactions de fusion qui libèrent une grande quantité d’énergie. Dans ce petit chapitre, nous étudions en détails quelques réactions élémentaires. Ceci nous permettra de calculer le taux de production d’énergie nucléaire, une grandeur indispensable pour clore le système des équations fondamentales de la structure interne des étoiles. Soulignons que ce processus de fusion est stable d’un point de vue gravitationnel. En effet, si l’étoile se contracte, elle s’échauffe et augmente ainsi le taux de production d’énergie par réaction nucléaire entraînant une force supplémentaire en direction opposée vers sa position d’équilibre initiale. Inversement si l’étoile augmente de volume, sa température baisse ainsi que le taux de production d’énergie, donc la gravité n’est plus entièrement contrebalancée par la pression. L’étoile se recontracte. En résumé, l’étoile possède un mécanisme interne d’autorégulation de son taux de réaction nucléaire déterminé par sa masse et son rayon. Jérôme Pétri (Observatoire Astronomique) Physique stellaire M2 Astrophysique - Strasbourg 169 / 277 Ordres de grandeur de l’énergie libérée Lorsque deux nucléons s’unissent, leur masse totale est inférieure à la somme des masses des deux nucléons pris isolément. Ce défaut de masse est à l’origine du dégagement d’énergie lors de la fusion. Par exemple, symboliquement, quatre noyaux d’hydrogène fusionnent en hélium par 4 1 H →4 He (231) Le noyau d’hélium résultant est moins lourd que la somme de ses constituants, le défaut de masse a été évacué sous forme de photons et de neutrinos. Numériquement ∆E = MHe c 2 − 4 MH c 2 = −4.29 × 10−12 J = 26.75 MeV (232) ce qui représente 0.71% de l’énergie de masse au repos (0.0071 me c 2 ) d’où une énergie libérée par unité de masse 6.4 × 1014 J/kg (233) soit 107 plus efficace que les réactions chimiques. Jérôme Pétri (Observatoire Astronomique) Physique stellaire M2 Astrophysique - Strasbourg 170 / 277 Les noyaux atomiques F IGURE – Énergie moyenne de liaison Jérôme Pétri (Observatoire Astronomique) Physique stellaire M2 Astrophysique - Strasbourg 171 / 277 La barrière de potentielle infranchissable I L’hydrogène étant l’élément le plus abondant dans une étoile, calculons la température nécessaire pour initier la fusion. Pour cela il faut vaincre la barrière de potentiel coulombienne entre les deux protons. Le rayon classique du proton étant de l’ordre de ap = 10−15 m, l’énergie potentielle électrostatique associée est Ecoulomb = Z1 Z2 e 2 4 πε0 ap = 1 MeV (234) Plus précisément, on sait que l’énergie moyenne de liaison des nucléons dans un noyau est de l’ordre de 8 MeV. Eb /A = ∆m c 2 = [Z mp + (A − Z ) mn − mnoyau ] c 2 (235) Un élément est noté A Z X avec A = N + Z , A le nombre de nucléons, Z le nombre de protons N le nombre de neutrons. Or, pour une température de 107 K, celle qui règne au cœur du soleil, l’énergie thermique moyenne d’une particule est 3 Eth = kB T = 1 keV (236) 2 ce qui est bien inférieure à l’énergie nécessaire d’où la difficulté d’initier ces réactions de fusion par l’agitation thermique du milieu. Jérôme Pétri (Observatoire Astronomique) Physique stellaire M2 Astrophysique - Strasbourg 172 / 277 La barrière de potentielle infranchissable II Mais peut être que la queue de distribution d’une Maxwellienne avec énergie moyenne de 1 keV possédera quelques protons suffisamment énergétiques pour atteindre 1 MeV ? Si on calcule cette probabilité de trouver une particule à une énergie de 1 MeV, on trouve p ≈ e−1000 ! Donc encore trop faible. Comment une si faible énergie peut-elle vaincre la répulsion coulombienne ? La réponse est apportée par des phénomènes quantiques. => Il s’agit ici de l’effet tunnel qui stipule qu’il existe une probabilité faible mais non nulle de franchir la barrière de potentiel et qui décroît avec la vitesse (le facteur de Gamow, voir plus loin). La réaction de fusion se produira lorsque l’énergie thermique est comparable à l’énergie potentielle électrostatique Eth = 1 2 m v2 = 3 2 kB T = Ecoulomb = Z 1 Z2 e 2 (237) 4 πε0 r Quelle est la distance minimale d’approche r ? Prendre le rayon d’un nucléon ap rend la répulsion trop importante. La dualité onde/corpuscule fournit une autre échelle de longueur comme prédit par de Broglie λ= Jérôme Pétri (Observatoire Astronomique) h (238) p Physique stellaire M2 Astrophysique - Strasbourg 173 / 277 La barrière de potentielle infranchissable III Donc l’énergie cinétique devient 1 2 m v2 = p2 2m = 1 h2 (239) 2 m λ2 En posant r = λ pour la distance d’approche on trouve une longueur d’onde de la particule λ= 4 πε0 h2 (240) 2 m Z1 Z2 e 2 d’où l’on déduit l’énergie thermique nécessaire 3 2 kB T = 2 m Z12 Z22 e4 (4 πε0 h)2 ≈ 2 keV (241) Cette énergie est donc suffisante pour recouvrir les fonctions d’onde de particules et par conséquent déclencher des effets quantiques. Jérôme Pétri (Observatoire Astronomique) Physique stellaire M2 Astrophysique - Strasbourg 174 / 277 Ordres de grandeur Remarquons aussi que la répulsion électrostatique à l’échelle du noyau atomique est dominée par l’interaction forte assurant la cohésion des protons et des neutrons. On peut estimer le puits de potentiel de cette interaction forte de la manière suivante grâce à l’impulsion de Fermi pF . L’espace des phases accessible aux fermions est (4 π/3) pF3 V où V représente le volume du noyau atomique. Rappelons que le volume élémentaire de l’espace des phases est h3 = (2 π ~)3 Dans chacun de ces volumes élémentaires, on peut ranger 2 protons et deux neutrons. En supposant leur nombre en égale quantité, on trouve la relation 4 4 π pF 3 3 2π~ V =A (242) le nombre total de nucléons enfermé dans le volume V est égale à A. Jérôme Pétri (Observatoire Astronomique) Physique stellaire M2 Astrophysique - Strasbourg 175 / 277 Ordres de grandeur On en déduit l’impulsion de Fermi par pF = 3 π2 A 2V 1/3 ~ = 1.4 × 10−19 kg m s−1 (243) ce qui correspond à une énergie de Fermi de 25 MeV. Ajouté aux 8 MeV nécessaire pour extraire un nucléon des états les plus externes, le trou de potentiel total est de l’ordre de 33 MeV. Il sort de toute cette étude que l’interaction nucléaire peut être schématisée par un puits de potentiel sphérique de profondeur environ 33 MeV possédant un rayon R = r0 A1/2 avec r0 = 10−15 m. L’interaction forte est une interaction à très courte portée de l’ordre de r0 tandis que l’interaction électromagnétique a une portée infinie (à cause de la masse nulle des photons). Certaines réactions nucléaires jouent un rôle important en physique stellaire. Ce sont essentiellement des réactions de fusion des éléments légers en éléments plus lourds. Quelques unes de ces réactions sont présentées dans les lignes qui suivent. Jérôme Pétri (Observatoire Astronomique) Physique stellaire M2 Astrophysique - Strasbourg 176 / 277 Ordres de grandeur Le taux de réaction diminue lorsque le produit Z1 Z2 augmente, à cause de la répulsion coulombienne. => Les réactions comportant des nucléons de faible numéro atomique Z sont donc favorisées. Pour les ions très lourds, la barrière de potentiel est pratiquement infranchissable pour les énergies associées à une température de 107 K. Le principe élémentaire est donc le suivant. 1 On commence par épuiser les éléments les plus légers, c’est-à-dire l’hydrogène dans des cycles proton-proton, notés pp ou CNO. Ceci se produit pour des températures de 107 K. 2 Ensuite, à des températures encores plus élevées, le cycle du carbone démarre. 3 Puis le cycle appelé 3α. 4 Avant le démarrage du cycle suivant, il y a épuisement des ions nécessaires pour maintenir les réactions précédentes. 5 Ensuite, l’effondrement gravitationnel provoqué par la baisse du dégagement d’énergie se traduit par une augmentation de la température, condition nécessaire au démarrage du cycle suivant. Jérôme Pétri (Observatoire Astronomique) Physique stellaire M2 Astrophysique - Strasbourg 177 / 277 La combustion de l’hydrogène : les cycles du proton Les deux principales réactions de l’hydrogène sont la chaîne pp et le cycle CNO que nous détaillons maintenant. On distingue plusieurs sous-cycles permettant la combustion de l’hydrogène en hélium. 1 2 3 Les chaînes pp démarrent avec la combustion de deux noyaux d’hydrogène 1 H pour former du deutérium 2 D Le deutérium lui même se lie à autre noyau d’hydrogène pour former un noyau d’hélium 3 He. L’hélium ainsi formé peut terminer en 4 He grâce à trois canaux différents, appelés pp − I , pp − II , pp − III. La chaîne pp − I 1 2 3 Jérôme Pétri (Observatoire Astronomique) H +1 H 1 D+ H He +3 He → → → 2 D + e+ + ν(1010 an) (244) 3 He + γ(6 s) (245) 4 He +1 H +1 H (106 an) (246) Physique stellaire M2 Astrophysique - Strasbourg 178 / 277 La combustion de l’hydrogène : les cycles du proton La première réaction nécessite une désintégration du proton en neutron par décroissance β. C’est un processus mettant en jeu l’interaction faible et est donc extrêmement lent. Le neutrino créé emporte une énergie de 0.26 MeV ne laissant plus que 26.2 MeV pour la luminosité. Le taux de réaction est très faible, puisqu’il possède une échelle de temps de l’ordre de 109 ans. Pour chaque conversion de 3 He →4 He, la chaîne ci-dessus nécessite que les deux premières réactions se produisent deux fois plus souvent que la dernière. Jérôme Pétri (Observatoire Astronomique) Physique stellaire M2 Astrophysique - Strasbourg 179 / 277 La combustion de l’hydrogène : les cycles du proton Les temps de réaction typique pour une température de 107 K sont 14 × 109 ans pour la première 6 s pour la deuxième 106 ans pour la dernière Le facteur limitant est par conséquent la fusion de l’hydrogène. Les chaînes pp − II et pp − III ont besoin de 4 He pour initier les réactions. Cet élément peut être présent soit initialement soit obtenu par une réaction pp − I antérieure. Si 4 He est suffisamment abondant, les deux autres chaînes peuvent se produire. La prédominance de l’une ou de l’autre dépend de l’abondance en 7 Be. Jérôme Pétri (Observatoire Astronomique) Physique stellaire M2 Astrophysique - Strasbourg 180 / 277 La combustion de l’hydrogène : les cycles du proton Donnons à titre indicatif les détails de ces chaînes La chaîne pp − II 3 He +4 He 7 Be + e− 7 Li +1 H → → → 7 Be + γ (247) 7 Li + ν (248) 4 He +4 He (249) La chaîne pp − III 7 Be +1 H 8 8 B Be → → → 8 B+γ (250) 8 Be + e + ν (251) 4 He +4 He (252) + dans lesquelles le noyau 4 He agit comme un catalyseur pour la transformation 3 He +1 H →4 He + ν. Jérôme Pétri (Observatoire Astronomique) Physique stellaire M2 Astrophysique - Strasbourg 181 / 277 La combustion de l’hydrogène : les cycles du proton La température influe grandement sur les différents taux de réaction. Pour des températures croissantes, pp − II et pp − III dominent et au-delà de 2 × 107 K, pp − III est prévalente. Notons que l’énergie totale dégagée par les 3 chaînes est la même. La différence provient de l’énergie emportée par le neutrino. Rappelons que le neutrino interagit très peu avec la matière avec une section efficace négligeable dans les conditions stellaires. Leur libre parcours moyen dépasse de plusieurs ordres de grandeur les dimensions de l’étoile. Les 3 chaînes interviennent simultanément dans les étoiles consummant leur hydrogène. Les détails du cycle dépendent de la densité, de la température et de la composition chimique du plasma. Jérôme Pétri (Observatoire Astronomique) Physique stellaire M2 Astrophysique - Strasbourg 182 / 277 La combustion de l’hydrogène : le cycle CNO Les cycles pp ne requièrent nullement la présence d’éléments plus lourds que l’hydrogène. Mais on peut très bien envisager la fusion de l’hydrogène en présence d’éléments lourds qui agiraient comme des catalyseurs, c’est-à-dire qu’à la fin du cycle cet élément est regénéré. Une réaction de ce type est symbolisée par le processus CNO (pour carbone-azote-oxygène). Pour des étoiles de masse supérieure à 1.2 M⊙ ce cycle domine. Il est donné par la séquence ci-dessous Cycle CNO 12 C +1 H 13 N 13 C +1 H 14 N +1 H 15 15 1 O N+ H → 13 N +γ (253) → 13 C +e +ν (254) 14 N +γ (255) → 15 O +γ (256) 15 N + e+ + ν (257) → → → 12 + 4 C + He (258) En résumé, ce cycle a pour effet de former un noyau d’hélium à partir de quatre protons 4 1 H →4 He Jérôme Pétri (Observatoire Astronomique) Physique stellaire (259) M2 Astrophysique - Strasbourg 183 / 277 La combustion de l’hydrogène : le cycle CNO On remarque que les noyaux de carbone, indispensables au démarrage de la réaction, sont reconstitués à la fin du cycle. => Ce sont les catalyseurs. Le résultat du cycle CNO est le même que celui du cycle pp. L’énergie disponible est néanmoins moindre, de l’ordre de 25.02 MeV, car les pertes sous forme neutrinique sont plus importantes et s’élèvent à 1.71 MeV. Signalons que le cycle CNO domine la chaîne pp au-delà de T ≈ 1.4 × 107 K. Jérôme Pétri (Observatoire Astronomique) Physique stellaire M2 Astrophysique - Strasbourg 184 / 277 Comparaison entre les deux cycles Jérôme Pétri (Observatoire Astronomique) Physique stellaire M2 Astrophysique - Strasbourg 185 / 277 La combustion de l’hélium Les processus décrit ci-dessus forment une quantité importante d’hélium en supprimant l’hydrogène. Lorsque le réservoir d’hydrogène arrive à épuisement, l’étoile se contracte en augmentant sa température centrale jusqu’à l’obtention de conditions physiques favorables à la combustion de l’hélium pour former des éléments encore plus lourds. Ce phénomène est très important dans l’étude de l’évolution stellaire car il permet de prédire les abondances des métaux produits au sein des étoiles. La fusion de l’hélium procède selon 4 He + 4 He → 8 Be (260) qui est l’inverse de la dernière du cycle pp − III. Mais cet élément est très instable avec une durée de vie de 10−16 s, son état fondamental étant 92 keV au-dessus de l’énergie de masse au repos des deux réactifs. On peut donc se demander l’origine d’une telle réaction inverse. => En fait, au delà de 108 K, l’équilibre entre réaction et réaction inverse est atteinte. Jérôme Pétri (Observatoire Astronomique) Physique stellaire M2 Astrophysique - Strasbourg 186 / 277 La combustion de l’hélium La prochaine étape convertit le berilium en carbone selon 8 Be + 4 He → 12 C + γ (261) Cette réaction est exothermique avec 7.367 MeV et produit un noyau de carbone dans un état excité à 7.654 MeV qui retourne dans son état fondamental par émission d’un photon gamma. On en conclut que trois noyaux d’hélium, encore appelé particule α, donne naissance à un noyau de 12 C. On parle parfois de réaction 3 α. Le gain net d’énergie est de 7.367 − 0.092 = 7.275 MeV. On qualifie cette réaction d’explosive car très sensible à la température avec un taux de réaction ∝ T 40 . Un accroissement de la température élève le taux et la réaction s’emballe. => C’est le flash d’hélium. Jérôme Pétri (Observatoire Astronomique) Physique stellaire M2 Astrophysique - Strasbourg 187 / 277 Flash d’hélium Jérôme Pétri (Observatoire Astronomique) Physique stellaire M2 Astrophysique - Strasbourg 188 / 277 Formation d’éléments plus lourds Le carbone peut lui aussi réagir avec une particule α pour former de l’oxygène 16 O ou du néon 20 Ne. Ces réactions s’enclenchent pour T > 5 × 108 K. Citons par exemple 12 C + 12 C → 23 Mg + n → 24 Mg + γ → 23 Na + p (262) → 20 Ne + α → 16 O + 2 α ou encore 16 O + 16 O → → → → → 32 S +γ P +p 31 S +n 28 Si + α 24 Mg + 2 α 31 (263) Ainsi peut-on synthétiser des éléments jusqu’au fer 56 Fe en partant des éléments les plus légers. Jérôme Pétri (Observatoire Astronomique) Physique stellaire M2 Astrophysique - Strasbourg 189 / 277 Les éléments les plus abondants Par ordre décroissant, les éléments les plus abondants de l’univers sont 16 20 28 56 1 4 14 24 1 H ,2 He,8 O ,10 Ne,7 N ,12 Mg ,14 Si ,26 Fe F IGURE – Abondannce chimiques. Crédit CEA D’où proviennent les éléments plus lourds que le Fer 56 ? Jérôme Pétri (Observatoire Astronomique) Physique stellaire M2 Astrophysique - Strasbourg 190 / 277 Formation d’éléments plus lourds Toutefois, il n’est pas possible d’aller à des nombres Z > 56 car l’énergie de liaison par nucléon diminue pour de tels noyaux. La capture d’un neutron par un noyau peut créer des éléments au-delà du fer Z = 56, la répulsion coulombienne n’intervenant pas dans ce processus. Elle dépend du flux neutronique. L’absorption d’un neutron par un noyau (Z , A) génère (Z , A) + n → (Z , A + 1) + γ (264) En répétant cette opération on peut former (Z , A + 1) puis (Z , A + 2), ...etc jusqu’au stade où la désintégration β reprend le dessus par (Z , A + 1) → (Z + 1, A + 1) + e− + ν̄ Jérôme Pétri (Observatoire Astronomique) Physique stellaire (265) M2 Astrophysique - Strasbourg 191 / 277 Formation d’éléments plus lourds L’efficacité dépend de la compétition entre le temps de décroissance β, τβ le temps caractéristique de capture d’un neutron τcap . τβ provient d’un processus d’interaction faible et donc indépendant de la densité de neutrons. Le temps de capture est typiquement τcap = 1 σn Φ n = 1 (266) n n < σn v > où Φn représente le flux de neutrons, σn = 10−29 m2 la section efficace d’absorption des neutrons, v leur vitesse et nn leur densité. Pour v = c /100 on trouve τcap = 109 /nn ans alors que τβ est de l’ordre de la seconde à quelques années. D’une part, si τcap > τβ , la capture est très improbable, la désintégration se produisant plus rapidement. On parle de processus s pour slow. D’autre part, si τcap < τβ la capture a lieu avant une éventuelle réaction β et conduit à une séquence de processus r pour rapid. Ces processus sont importants dans l’évolution tardive des étoiles. Jérôme Pétri (Observatoire Astronomique) Physique stellaire M2 Astrophysique - Strasbourg 192 / 277 Les taux de réaction nucléaire Nous connaissons maintenant les principales voies de libération d’énergie par fusion thermonucléaire. Il reste à déterminer le taux de production de cette énergie par unité de temps et unité de masse du combustible. Celui-ci dépend en général du type de cycle envisagé de la composition du plasma, densité et mélange (X , Y , Z ) de la température à l’intérieur de l’étoile Entre autre, ces taux de réaction sont proportionnels à la densité de particules du premier réactif n1 à la densité de particules du deuxième réactif n2 à la fréquence de collision, elle même fonction de la vitesse relative v entre deux particules entrant en collision à la probabilité de pénétration de la barrière coulombienne donnée par le facteur de Gamow Pp (v ) ∝ e Jérôme Pétri (Observatoire Astronomique) − Physique stellaire Z1 Z2 e2 2 ε0 ~ v (267) M2 Astrophysique - Strasbourg 193 / 277 Les taux de réaction nucléaire La section efficace pour une réaction nucléaire est donnée par σ(E ) = avec b= S (E ) −b/√E e E (268) √ π µm Z1 Z2 e2 √ 2 ε0 h (269) On en déduit le taux de réaction nucléaire paragraphe r∝ Z +∞ 0 √ S (E ) e − b / E e−E /kB T dE (270) L’intégrant possède un maximum appelé le pic de Gamow pour une énergie E= b kB T 2 2/3 (271) en supposant une faible variation de S (E ) au voisinage du pic. La décroissance exponentielle de la distribution de Maxwell est compensée par l’augmentation exponentielle du facteur de Gamow avec l’énergie : on trouve une probabilité de p ≈ 10−20 . Jérôme Pétri (Observatoire Astronomique) Physique stellaire M2 Astrophysique - Strasbourg 194 / 277 Les taux de réaction nucléaire L’analyse précise de cette dépendance est compliquée et ne sera pas détaillée dans cette introduction. Toutefois, pour certaines réactions nucléaires, on peut établir des formules générales de taux de réaction. Par exemple, pour l’hydrogène, représentant une fraction X de la masse totale, les taux de réaction sont proportionnels à X 2 ρ2 avec une forte variation en fonction de la puissance symbolisée par un exposant n De manière générale, on écrit εnuc ≈ ε Xi Xx ρα T β (272) avec α ≈ 1 et β ∈ [1, 40]. Jérôme Pétri (Observatoire Astronomique) Physique stellaire M2 Astrophysique - Strasbourg 195 / 277 Les taux de réaction nucléaire On a par exemple pour les deux cycles les plus communément rencontrés εpp εCN = = App ρ X 2 T 106 ACN ρ X ZCN n T 106 (273) n (274) où ZCN = ZC + ZN représente la somme des abondances du carbone et de l’azote. n, App , ACN sont des «constantes» qui dépendent de la température. Chaîne Température (K) Taux de réaction Type d’étoiles pp CNO 5 − 15 × 106 & 20 × 106 ε ∝ ρT4 ε ∝ ρ T 15 Soleil et étoiles moins massives étoiles plus massives TABLE – Les réactions de fusion de l’hydrogène. Jérôme Pétri (Observatoire Astronomique) Physique stellaire M2 Astrophysique - Strasbourg 196 / 277 Le problème des neutrinos solaires ... Le neutron fut découvert en 1932 mais le neutrino ne fut découvert qu’en 1956. Cela s’explique par la très faible section efficace des neutrinos, ils n’interagissent presque pas avec la matière, d’où la difficulté de leur détection σνe = 10−44 m2 . (275) Les observations n’ont permis de détecter que un tiers des prédictions fournies par le modèle standard du soleil. En effet le flux observé ne représente que 1/3 du flux attendu. Comment résoudre cette différence. Rappelons que la fusion des protons fournit 2 neutrinos électroniques pour former un hélium. Or l’expérience originale de Bahcall e Davis en 1967 ne détecte que les neutrinos électroniques donc a priori il est possible de mesurer tous le flux neutrinique. Plus tard d’autres détecteurs ont été construit, notamment kamiokande qui lui détecte les trois saveurs de neutrinos. Puis vint kamiokande II et enfin superkamiokande et d’autre expériences enfui es sous terre comme par exemple SAGE et GALLEX, des expériences utilisant le gallium. Finalement, les neutrinos muoniques = neutrinos atmosphériques produit par les rayons cosmiques le nombre de neutrinos muoniques détectés dépend de la direction d’arrivée Jérôme Pétri (Observatoire Astronomique) Physique stellaire M2 Astrophysique - Strasbourg 197 / 277 ... enfin résolu => les neutrinos oscillent => donc les neutrinos ont une masse => revoir le modèle standard de la physique des particules La probabilité de détecter un neutrino y à partir d’un neutrino x est P (νx → νy ) = sin2 (2 θm ) sin2 Jérôme Pétri (Observatoire Astronomique) Physique stellaire 1.27 ∆m2 L(km) E (GeV ) M2 Astrophysique - Strasbourg (276) 198 / 277 Résumé Rôle dans la production d’énergie dégagement d’énergie par réactions nucléaires (défaut de masse) fusion par effet tunnel les cycles du proton (pp, CNO) le flash d’hélium enrichissement du milieu par recyclage des produits pour former des éléments de plus en plus lourds formation d’éléments au-delà du 56 Fe par capture de neutrons Jérôme Pétri (Observatoire Astronomique) Physique stellaire M2 Astrophysique - Strasbourg 199 / 277 1 Introduction 2 Structure interne des étoiles 3 Transport de l’énergie 4 Les équations d’état 5 Les réactions nucléaires 6 Les modèles d’intérieur stellaire 7 Le vent stellaire 8 Astérosismologie Jérôme Pétri (Observatoire Astronomique) Physique stellaire M2 Astrophysique - Strasbourg 200 / 277 Les équations de base du modèle stellaire Rappelons ci-dessous le système d’équations auquel nous sommes arrivés pour établir la structure interne d’une étoile. Il s’agit de l’équation de distribution sphérique de la masse dM = 4πρr2 dr (277) l’équation d’équilibre mécanique (hydrostatique) dP dr = −ρ GM (278) r2 l’équation d’équilibre énergétique ou équilibre radiatif dL dr = 4πr2 ρε (279) l’équation de transport de l’énergie 1 dans le cas radiatif L=− 2 dans le cas convectif Jérôme Pétri (Observatoire Astronomique) 64 π 3 σr2 T 3 dT (280) κR ρ dr dT 1 T dP = 1− dr γ P dr Physique stellaire (281) M2 Astrophysique - Strasbourg 201 / 277 Compétition entre convection et rayonnement Noter que l’équation de transport de l’énergie par phénomène purement radiatif implique un flux convectif exactement nul. Autrement dit, toute l’énergie produite au sein de l’étoile est évacuée par rayonnement. Par contre si la convection est présente avec un gradient non entièrement compensé tel que 1 T dP dT ∆T = 1 − − γ P dr dr (282) alors le flux d’énergie convectif est Hconv ∝ ρ GM T r2 1/2 ∆T 3/2 l 2 (283) où l représente la longueur moyenne de mélange, c’est-à-dire la distance caractéristique parcourue en moyenne par un élément de volume fluide avant de se dissoudre dans le milieu environnant. Jérôme Pétri (Observatoire Astronomique) Physique stellaire M2 Astrophysique - Strasbourg 202 / 277 De la nécessité de la microphysique De plus, les éventuels mouvements macroscopiques de matière n’ont pas été envisagés, il n’y a pas de vitesse macroscopique. À ces équations fondamentales, il convient d’ajouter une description microphysique de l’intérieur de l’étoile qui est fourni grâce à l’équation d’état P (ρ, T ) du gaz parfait du gaz dégénéré la pression de rayonnement suivant les conditions physiques l’opacité moyenne du milieu κ(ρ, T ) le taux de production d’énergie thermonucléaire ε(ρ, T ). Jérôme Pétri (Observatoire Astronomique) Physique stellaire M2 Astrophysique - Strasbourg 203 / 277 Les conditions aux limites Mathématiquement, le modèle d’intérieur stellaire constitue un système d’équations différentielles du 1er ordre et non-linéaires. Les 4 inconnues principales sont {M , P , L, T }. Pour résoudre ce système, il faut imposer des conditions aux limites convenables. On imposera donc les conditions suivantes au centre, pour r = 0, M (0) = L(0) = 0 à la surface de l’étoile, pour r = R 1 2 dans le cas des atmosphères radiatives : T (R ) = 0, P (R ) = 0 dans le cas des atmosphères convectives : T (R ) ≈ 0, P (R ) = cste × T 5/2 Dans la terminologie des intérieurs stellaires, on désigne sous le nom d’enveloppe la limite supérieure du modèle : l’enveloppe signifie donc aussi la base de l’atmosphère stellaire. Dans la pratique, il s’avère plus judicieux de travailler avec la masse M comme variable indépendante au lieu de r parce que la masse est une grandeur fondamentale d’une étoile qui ne varie que peu lors de son évolution, contrairement au rayon. Les nouvelles variables seront {r , P , T , L}. Jérôme Pétri (Observatoire Astronomique) Physique stellaire M2 Astrophysique - Strasbourg 204 / 277 Unicité de la solution : théorème de Vogt-Russell Le système avec les conditions aux limites précédentes est bien posé. Il admet une solution unique : ce résultat est connu sous le nom de théorème de Vogt-Russell. Une étoile de masse et de composition chimique données ne possède qu’une seule configuration d’équilibre établie par le modèle d’intérieur stellaire. Puisque les observables luminosité et rayon (L, R ) ne sont des fonctions que de la masse de l’étoile d’après le raisonnement précédent, il existe une relation théorique masse-rayon R − M une relation masse-luminosité L − M, à la base du diagramme HR. Jérôme Pétri (Observatoire Astronomique) Physique stellaire M2 Astrophysique - Strasbourg 205 / 277 Étoile de densité uniforme : cas newtonien I Considérons une étoile de densité de masse uniforme ρ et de rayon R. Les équations de la structure interne s’intègrent en à l’intérieur pour r ≤ R m (r ) = 4π 3 ρr à l’extérieur pour r ≥ R 3 r2 φ(r ) = −3 R2 GM ~ ~gr = −∇ φ = − R 3 r ~er 2 2 1 − Rr 2 p(r ) = 83π GRM4 GM 2R M = 43π ρ R 3 φ(r ) = − GrM ~gr = − Gr 2M ~er p=0 On montre aussi que son énergie potentielle gravitationnelle est Ep = 1 2 Z ρ φ dV = − La pression centrale est pc = 3 G M2 5 (284) R 3 G M2 (285) 8 π R4 À masse constante, elle ne tend vers l’infini que pour un rayon nul, R → 0. Dans la limite newtonienne, il n’y a pas de limite au rapport M /R d’une étoile. Exercice : retrouver ces résultats maintenant. La situation est radicalement différente en relativité générale. Jérôme Pétri (Observatoire Astronomique) Physique stellaire M2 Astrophysique - Strasbourg 206 / 277 Étoile de densité uniforme : relativité générale I Par résolution des équations TOV, le profil de pression à l’intérieur de l’étoile est P (r ) = La pression centrale est p 3 1 − 2 G M r 2 /R 3 c 2 − 1 − 2 G M /R c 2 − p Pc = 1− 3 1 − 2 G M /R c 2 p 1 − 2 G M r 2 /R 3 c 2 p 1 − 2 G M /R c 2 p 1 − 2 G M /R c 2 − 1 p ρ0 c 2 ρ0 c 2 (286) (287) À la limite non relativiste, G M /R c 2 ≪ 1, les expressions ci-dessus redonnent le cas newtonien. À densité constante mais rayon croissant, la masse gravitationnelle augmente ainsi que la pression. Cette dernière devient infinie au centre de l’étoile si 2GM R c2 = 8 (288) 9 (annulation du dénominateur de Pc ). L’étoile implose alors sous son propre poids (incluant la gravité engendrée par la pression elle-même). L’effondrement gravitationnel est donc un effet purement de relativité générale car une étoile newtonienne ne peut jamais imploser sous le seul effet de sa gravité. La pression ne diverge pas même pour des masses élevées. Jérôme Pétri (Observatoire Astronomique) Physique stellaire M2 Astrophysique - Strasbourg 207 / 277 Étoile de densité uniforme : relativité générale II Le rayon et la masse limite de l’étoile sont alors Rlim = √ Mlim = c (289a) 3 π G ρ0 4 Rlim c 2 9 (289b) G La masse propre de l’étoile (celle qui engendre la gravitation, à ne pas confondre avec la masse totale des particules M) est Z R ρr2 p Mp = 4 π dr (290a) 0 1 − 2 G M r 2 /R 3 c 2 Mp = 3M 2 (Rs /R )3/2 h arcsin Dans la limite non relativiste on trouve p Mp ≈ M (Rs /R ) − 1+ i p (Rs /R ) (1 − (Rs /R )) 3GM 5 R c2 (290b) (291) Le défaut de masse grave est donc lié à l’énergie potentielle gravitationnelle car ( M − Mp ) c 2 ≈ − Jérôme Pétri (Observatoire Astronomique) Physique stellaire 3 G M2 (292) 5R M2 Astrophysique - Strasbourg 208 / 277 Modèles polytropiques I Le modèle de densité uniforme est trop simpliste. L’équation d’état intervient indirectement par ρ = cste. Une équation d’état plus générale est celle d’un polytrope. Ces modèles supposent que 1 la convection est dominante à l’intérieur de l’étoile 2 la pression de rayonnement reste négligeable. On utilise une équation d’état polytropique telle que pression et densité sont reliées par P = K ρΓ = K ρ1+1/n (293) où Γ est appelé indice adiabatique. n est l’indice polytropique. K est une constante polytropique. Jérôme Pétri (Observatoire Astronomique) Physique stellaire M2 Astrophysique - Strasbourg 209 / 277 Modèles polytropiques II Le modèle de structure stellaire ainsi obtenu est un modèle polytropique. On parle aussi d’étoile polytropique. Dans ces conditions, l’équilibre mécanique et la conservation de la masse déterminent entièrement la structure de l’astre. En toute généralité, on introduit deux nouvelles variables dépendantes, respectivement x et y (x ) et associées au rayon et à la densité, telles que r = ρ = αx ρc y (294) n (295) où ρc représente la densité centrale de l’étoile et α une échelle de longueur caractéristique définie par 1 (n + 1) K ρcn α = 4πG 2 −1 (296) L’équilibre hydrostatique s’écrit d dr Jérôme Pétri (Observatoire Astronomique) r 2 dP ρ dr = −4 π G r 2 ρ Physique stellaire (297) M2 Astrophysique - Strasbourg 210 / 277 Modèles polytropiques III En effectuant le changement de variable, on obtient l’équation de la structure interne par 1 d x 2 dx x2 dy dx + yn = 0 (298) C’est une équation différentielle ordinaire non-linéaire du deuxième ordre connue sous le nom d’équation de Lane-Emden. La solution est donc entièrement spécifiée par deux conditions aux limites. Explicitement, au centre on impose la densité de l’étoile ainsi qu’un gradient de pression nul, autrement dit pour x = 0 on a ρ(x = 0) dP dr r =0 = ≡ ou en termes des nouvelles variables y (0) = 1 Jérôme Pétri (Observatoire Astronomique) (299) ρc dy =0 dx x =0 (300) y ′ (0) = 0 Physique stellaire (301) M2 Astrophysique - Strasbourg 211 / 277 Modèles polytropiques IV La pression en découle aisément par 1+1/n P = Pc y n+1 avec Pc = K ρc (302) Une solution analytique exacte de l’Eq.(298) n’existe que dans le cas trivial n = 1 et les cas n = 0 et n = 5. A titre indicatif, nous rappelons les solutions ci-dessous y (x ) y (x ) y (x ) Jérôme Pétri (Observatoire Astronomique) x2 1− 6 sin x = = = 1+ x −1/2 x2 3 Physique stellaire pour n=0 pour n=1 pour n=5 (303) M2 Astrophysique - Strasbourg 212 / 277 Modèles polytropiques V F IGURE – Quelques solutions de l’équation de Lane-Emden pour n = 0, 1, 2, 3, 4, 5. Jérôme Pétri (Observatoire Astronomique) Physique stellaire M2 Astrophysique - Strasbourg 213 / 277 Modèles polytropiques VI Soulignons que les hypothèses simplificatrices faites ci-dessus sont assez restrictives mais permettent déjà d’aborder le problème de manière approchée. Si de plus, on spécifie une équation d’état comme par exemple celle du gaz parfait classique, il est possible de déterminer la température selon T = Tc y avec Tc = K µ mH kB 1/n (304) ρc La surface de l’étoile sera définie comme la valeur de x pour laquelle la fonction y s’annule pour la première fois, c’est-à-dire là où la densité, la pression et la température s’annulent. En toute rigueur, la densité décroît vers zéro pour un rayon tendant vers l’infini. Cette définition n’est qu’approximative et notre modèle ne rend donc pas bien compte des phénomènes superficiels. Soit xs cette valeur. Le rayon de l’étoile sera R = α xs avec y (xs ) = 0 (305) La masse de l’étoile se calcule par intégration sur toute la sphère de rayon R. On montre que cela équivaut à M= Jérôme Pétri (Observatoire Astronomique) Z 0 R 4 π r 2 ρ dr = −4 π α3 ρc xs2 y ′ (xs ) Physique stellaire (306) M2 Astrophysique - Strasbourg 214 / 277 Modèles polytropiques VII d’où découle la densité centrale ρc = − xs M (307) 4 π R 3 y ′ (xs ) Connaissant la masse et le rayon de l’étoile, on détermine la constante polytropique par K= 4πG n+1 R xs 2 1−1/n (308) ρc Dans un modèle polytropique, pour calculer une structure, on choisit d’abord un indice polytropique n et on résout l’équation de Lane-Emden (298) pour trouver xs et y ′ (xs ). Ensuite à partir de la masse et du rayon, on détermine les pression, température et densité centrales de l’étoile, soit les paramètres {Pc , Tc , ρc }. Jérôme Pétri (Observatoire Astronomique) Physique stellaire M2 Astrophysique - Strasbourg 215 / 277 Modèles polytropiques : exemples I Pour une étoile composée uniquement d’un gaz parfait monoatomique, l’indice adiabatique vaut γ = 5/3 d’où un indice polytropique n = 3/2. Pour une étoile en équilibre grâce à la pression de rayonnement, le modèle d’Eddington prévoit une fraction β induite par la pression du gaz et le reste par les photons d’où P = Pg + Pr Pg = Pr = (309a) ρ kB T = βP µ mH aT4 3 (309b) = (1 − β) P (309c) En éliminant la température de ces expressions, on trouve une équation d’état polytropique P= " 3(1 − β) a kB βµmH 4 #1/3 ρ4/3 (310) l’indice adiabatique vaut γ = 4/3 d’où un indice polytropique n = 3. Pour une naine blanche dont l’intérieur est complètement dégénéré avec des électrons relativistes, on trouve aussi un indice polytropique n = 3. Jérôme Pétri (Observatoire Astronomique) Physique stellaire M2 Astrophysique - Strasbourg 216 / 277 Les étoiles de la séquence principale I Durant la phase de séquence principale, une étoile brûle l’hydrogène de son coeur. La composition est alors homogène, on parle d’âge zéro (en anglais ZAMS, zero-age main sequence). Grâce à une analyse dimensionnelle, on peut chercher la relation qui relie la luminosité à la masse de l’étoile qui aura la forme L ∝ M γ . Pour cela, on remplace les équations différentielles par des quantités caractéristiques. Par exemple pour l’équilibre hydrostatique, on écrira simplement dP dr ≈ P R ≈ρ et pour le transfert radiatif L∝ GM R2 ≈ GM 2 (311) R5 R4 T 4 (312) κM La relation masse-luminosité découle ensuite de la spécification de l’équation d’état et de l’opacité. Pour les étoiles massives, l’intérieur suit la loi des gaz parfaits et l’opacité est due à la diffusion Compton par les électrons κ = κT ≈ cste, donc P= Jérôme Pétri (Observatoire Astronomique) ρ kB T kB T M ≈ µ mH µ mH R 3 Physique stellaire (313) M2 Astrophysique - Strasbourg 217 / 277 Les étoiles de la séquence principale II d’où l’on déduit la luminosité par L∝ µ4 M 3 κT (314) Pour les étoiles de faible masse, l’intérieur suit encore la loi des gaz parfaits mais l’opacité est bien approchée par la loi de Kramer κ = κK ∝ ρ T −3.5 , d’où l’on déduit la luminosité par L∝ µ7.5 M 5.5 (315) R 0. 5 Pour les étoiles les plus massives, la gravité est supportée par la pression de rayonnement. On obtient donc à partir du transfert radiatif la relation T≈ Jérôme Pétri (Observatoire Astronomique) √ M R ⇒L∝M Physique stellaire (316) M2 Astrophysique - Strasbourg 218 / 277 Propriétés générales des étoiles de la séquence principale I Pour des étoiles de composition chimique initiale homogène mais de masses différentes, les propriétés de l’intérieur sont fortement corrélées à la masse. La résolution du système d’équations montre que la température centrale et le rayon augmentent avec la masse tandis que la densité centrale atteint un maximum pour M ≈ 1.5 M⊙ avec une croissance en fonction de M pour M < 1.5 M⊙ et une décroissance en fonction de M pour M > 1.5 M⊙ . => On est donc en présence de deux types de structure différente dont la séparation a lieu pour 1 . 5 M⊙ . Les étoiles de masse supérieure à 1.5 M⊙ constituent le groupe de la séquence principale supérieure. Elles possèdent un noyau convectif et une enveloppe radiative. Les très fortes températures induisent une pression de rayonnement dominante ainsi que la prévalence du cycle du carbone pour la production d’énergie. Les étoiles de masse inférieure à 1.5 M⊙ constituent le groupe de la séquence principale inférieure. Elles possèdent un noyau radiatif et une enveloppe superficielle convective. Le transport d’énergie se fait principalement par rayonnement et la source principale provient de la chaîne pp. On résume ces propriétés dans le tableau ci-contre, tab.5. Jérôme Pétri (Observatoire Astronomique) Physique stellaire M2 Astrophysique - Strasbourg 219 / 277 Propriétés générales des étoiles de la séquence principale II Source : Sun.org - www.sun.org, released under CC-BY-SA 3.0. Jérôme Pétri (Observatoire Astronomique) Physique stellaire M2 Astrophysique - Strasbourg 220 / 277 Propriétés générales des étoiles de la séquence principale III Région masse Tc réaction nucléaire taux de production Séquence principale supérieure inférieure M > 1 . 5 M⊙ > 2 × 107 K cycle CNO εCNO ∝ T n n = 13 − 16 fort gradient de T noyau opacité enveloppe ⇓ convectif diffusion Thomson H ionisé transport par rayonnement M < 1 . 5 M⊙ < 2 × 107 K chaîne pp εpp ∝ T n n = 4−6 faible gradient de T ⇓ radiatif Kramer H/He neutre zone convective TABLE – Propriétés essentielles des étoiles homogènes. Jérôme Pétri (Observatoire Astronomique) Physique stellaire M2 Astrophysique - Strasbourg 221 / 277 Le modèle standard du soleil F IGURE – Le modèle standard du soleil de Bahcall et Ulrich, 1988, Rev. Mod. Phys. Le modèle standard du soleil est précis à 0.1%. Les parties externes contiennent de l’hydrogène négatif H − avec une énergie d’ionisation Ei = 0.75 eV et contribuent fortement à l’opacité du milieu (en surface) augmentant le gradient de température d’où apparition de la convection. Jérôme Pétri (Observatoire Astronomique) Physique stellaire M2 Astrophysique - Strasbourg 222 / 277 Classification stellaire I Les étoiles sont classées selon leur type spectral qui traduit leur température effective = température d’un corps noir qui émet la même quantité d’énergie par unité de temps. leur luminosité ou taille Couleur Par la loi de Wien, à chaque température correspond une couleur. => par conséquent à un type spectre on associe une couleur (une température) => froide = rouge, chaude = bleue spectre visible continu montrant des raies d’absorption variable d’une étoile à l’autre. => type spectral O B A F G K M => divisé en dix sous-types de 0 à 9 par exemple B0 à B9 Jérôme Pétri (Observatoire Astronomique) Physique stellaire M2 Astrophysique - Strasbourg 223 / 277 Classification stellaire II Type spectral température masse durée de vie couleur O B A F G K M >25.000 K 10.000-25.000 K 7.500-10.000 K 6.000-7.500 K 5.000-6.000 K 3.500-5.000 K <3.500 K 20-120 3-20 1.5-3 1-1.5 0.8-1 0.5-0.8 0.08-0.5 105 − 106 108 qq 109 1010 qq 1010 > 1010 > 1011 très bleue bleue bleue-blanche blanche jaune orange-rouge rouge raies He, O , C, N, Si He, H H métaux Ca, He, H, métaux (sole Ca TiO TABLE – Propriétés essentielles des étoiles homogènes. Jérôme Pétri (Observatoire Astronomique) Physique stellaire M2 Astrophysique - Strasbourg 224 / 277 Formation des raies spectrales : exemple de l’hydrogène I La formation des raies spectrales est le résultat d’une compétition entre l’excitation des atomes entre niveaux d’énergie discrets l’ionisation des atomes pour libérer un ou plusieurs électrons. Prenons l’exemple de l’hydrogène entre son niveau fondamental, d’énergie E1 = −13.6 eV et de poids statistique g1 = 2 le premier état excité, d’énergie E2 = −3.4 eV et de poids statistique g2 = 8. F IGURE – Les raies de l’hydrogène. Jérôme Pétri (Observatoire Astronomique) Physique stellaire M2 Astrophysique - Strasbourg 225 / 277 Formation des raies spectrales : exemple de l’hydrogène II Cherchons la température pour laquelle les deux espèces cohabitent au même taux. On a donc N2 = N1 g 2 − k χi T e B =1 g1 (317) avec χi = E2 − E1 d’où l’on déduit la température T= χi g kB ln g2 = 1 10.2 eV kB ln 4 = 85.300 K (318) Ce résultat paraît en contradiction avec le fait que les raies de Balmer (désexcitation vers le premier niveau excité n = 2) montrent un maximum d’intensité autour de 9520 K. La solution se trouve dans l’ionisation de l’atome d’hydrogène. Le rapport entre les populations neutre NI et ionisée NII est en prenant la pression électronique comme référence NII ne NI =2 gi +1 (2 π m kB T )3/2 −Ei /kB T e gi h3 (319a) Pe = ne kB T (319b) De plus la population N2 reste négligeable par rapport à N1 aux températures escomptées, donc NI ≈ N1 + N2 . Jérôme Pétri (Observatoire Astronomique) Physique stellaire M2 Astrophysique - Strasbourg 226 / 277 Formation des raies spectrales : exemple de l’hydrogène III Pour simplifier le problème, on choisit une pression électronique fixée Pe = 20 N /m2 . Les raies de Balmer sont conditionnées par la présence du premier niveau excité N2 . L’intensité de ces raies dépend donc du rapport N2 Ntotal = N2 NI NI Ntotal ≈ N2 /N1 1 (320) 1 + N2 /N1 1 + NII /NI comme indiqué sur la figure. On constate un maximum autour de 9.500 K. Jérôme Pétri (Observatoire Astronomique) Physique stellaire M2 Astrophysique - Strasbourg 227 / 277 Classification stellaire F IGURE – Différentes raies pour les éléments chimiques importants en fonction de l’indice de couleur d’un spectre stellaire. Crédit : Observatoire de Paris / U.F.E. (astrophysique sur mesure). Jérôme Pétri (Observatoire Astronomique) Physique stellaire M2 Astrophysique - Strasbourg 228 / 277 L’origine astrophysique des éléments chimiques F IGURE – L’origine astrophysique des éléments chimiques (Image Credit : Cmglee (Own work) CC BY-SA 3.0 or GFDL, via Wikimedia Commons, APOD). Explanation : The hydrogen in your body, present in every molecule of water, came from the Big Bang. There are no other appreciable sources of hydrogen in the universe. The carbon in your body was made by nuclear fusion in the interior of stars, as was the oxygen. Much of the iron in your body was made during supernovas of stars that occurred long ago and far away. The gold in your jewelry was likely made from neutron stars during collisions that may have been visible as short-duration gamma-ray bursts. Elements like phosphorus and copper are present in our bodies in only small amounts but are essential to the functioning of all known life. The featured periodic table is color coded to indicate humanity’s best guess as to the nuclear origin of all known elements. sites of nuclear creation of stellaire some elements, such asM2copper, not really Jérôme Pétri (ObservatoireThe Astronomique) Physique Astrophysiqueare - Strasbourg 229 / 277 Classification stellaire Jérôme Pétri (Observatoire Astronomique) Physique stellaire M2 Astrophysique - Strasbourg 230 / 277 Luminosité Par la loi de Stefan-Boltzman, la taille et la luminosité d’une étoile sont liées la luminosité est déterminée par la largeur des raies spectrales les raies fines => pression surfacique faible => gravité de surface faible => géante Classe Type d’étoile Ia Ib II III IV V VI D supergéante lumineuse supergéante géante brillante géante normale sous-géante séquence principale sous-naine naine blanche TABLE – Les classes de luminosité stellaire. Jérôme Pétri (Observatoire Astronomique) Physique stellaire M2 Astrophysique - Strasbourg 231 / 277 Analyse des raies Le flux observé sur Terre à la longueur λ nous renseigne sur les éléments chimiques présents au sein de l’étoile. Le profil d’une raie nous renseigne sur l’abondance des éléments chimiques élargissement et modification de la raie due à la rotation de l’étoile sur elle-même à la turbulence du milieu au champ de vitesse Jérôme Pétri (Observatoire Astronomique) Physique stellaire M2 Astrophysique - Strasbourg 232 / 277 Résumé Modèles de structure interne équations du modèle d’intérieur stellaire théorème d’unicité de Vogt-Russell distinction étoile massive/peu massive étoile polytropique (équation de Lane-Emden) application aux gaz dégénérés (naine blanche) type spectral et classe de luminosité Jérôme Pétri (Observatoire Astronomique) Physique stellaire M2 Astrophysique - Strasbourg 233 / 277 1 Introduction 2 Structure interne des étoiles 3 Transport de l’énergie 4 Les équations d’état 5 Les réactions nucléaires 6 Les modèles d’intérieur stellaire 7 Le vent stellaire 8 Astérosismologie Jérôme Pétri (Observatoire Astronomique) Physique stellaire M2 Astrophysique - Strasbourg 234 / 277 Le vent stellaire F IGURE – Credit & Copyright : J. C. Casado Certaines étoiles perdent de la masse sous forme d’un vent stellaire qui a pour base la surface externe de l’astre. Mais voyons d’abord pourquoi la nécessité d’une telle structure dynamique ? Au milieu du 20e siècle, l’observation des comètes montrait clairement l’existence d’une queue dirigée dans le sens anti-solaire et non suivant le mouvement de son orbite képlérienne. Cette queue fut très vite interprétée comme l’effet d’un flux de particules émanant du soleil et qui balaie le plasma cométaire dans la direction opposée au Soleil (Ludwig Biermann, 1951). Plus tard, des observations in situ mirent en évidence ce que l’on dénomme de nos jours le vent solaire. Un argument théorique en 1958 proposé par Eugene Parker suggérait déjà la nécessité d’un tel écoulement pour expliquer la transition entre la pression de la couronne solaire et le milieu interstellaire, impossible à réaliser dans l’approximation statique. Examinons cette situation plus en détail. Jérôme Pétri (Observatoire Astronomique) Physique stellaire M2 Astrophysique - Strasbourg 235 / 277 De l’impossibilité d’une couronne statique I Considérons une couronne statique, à symétrie sphérique, qui s’étend de la surface visible du Soleil à l’infini dans l’approximation hydrodynamique. On néglige le champ magnétique et la rotation. On cherche les profils de pression p(r ), de densité ρ(r ) et de température T (r ) (Chapman 1957). Décrivons cet écoulement de manière simplifié pour une géométrie stationnaire et axisymétrique. La couronne est composée d’un gaz parfait d’hydrogène complètement ionisé enfermant à part égale une densité de protons et d’électrons toutes deux égales à n. La densité de masse est voisine de celle des protons ρ ≈ n mp et la pression totale au sein de la couronne est p = 2 n kB T = ρ kB T µ mH (321) Les équations décrivant cette couronne statique sont ~∇ p div~q ρ~g ~ = 0 (322) = (323) où ~q désigne le flux de chaleur donné à l’équilibre thermodynamique par Jérôme Pétri (Observatoire Astronomique) ~q = −κ(T ) ~∇ T Physique stellaire (324) M2 Astrophysique - Strasbourg 236 / 277 De l’impossibilité d’une couronne statique II κ étant la conductibilité thermique qui pour un plasma entièrement ionisé et non magnétisé est donnée par κ(T ) κ0 = κ0 T 5/2 = 1.8 × 10−10 (325) log Λ J m−1 s−1 (326) log Λ étant le logarithme coulombien. Dans la géométrie sphérique adoptée ci-dessus, le champ gravitationnel que l’on suppose uniquement issu de l’étoile est ~g = − G M⊙ r2 ~er (327) En résumé la couronne statique est décrite par dp dr 1 d 2 5/2 dT r κ T 0 r 2 dr dr = − = 0 G M⊙ ρ (328) r2 (329) avec des conditions aux limites appropriées à la surface de l’étoile et à l’infini. Jérôme Pétri (Observatoire Astronomique) Physique stellaire M2 Astrophysique - Strasbourg 237 / 277 De l’impossibilité d’une couronne statique III En remplaçant ρ par la pression on trouve dp dr =− µ mH G M⊙ r2 kB T p (330) qui se résout en p (r ) = p0 e − Rr rc T0 r0 r 2 T dr (331) avec T0 = T (r0 ) et rc = Jérôme Pétri (Observatoire Astronomique) G M µ mH kB T0 Physique stellaire (332) . M2 Astrophysique - Strasbourg 238 / 277 Couronne statique isotherme Nous commençons par une couronne isotherme, correspondant à une conductibilité thermique infinie. L’équilibre conductif est remplacé par l’hypothèse de couronne isotherme donc par T = T0 . En introduisant la vitesse du son s 2 kB T0 (333) cs = mp la pression est donnée en fonction de la densité par p = ρ cs2 d’où une équation pour la pression seule dp G M⊙ p =− 2 2 (334) dr r cs avec la condition aux limites p = p0 en r = R0 . Définissons de nouvelles variables sans dimensions p et x telles que p = p/p0 G M⊙ (335) λ= R0 cs2 et x = r /R0 . Alors dp p (336) = −λ 2 dx x qui s’intègre en p = eλ (1/x −1) (337) ou en réintroduisant les grandeurs dimensionnées Jérôme Pétri (Observatoire Astronomique) p = p0 e−λ (1−R0 /r ) Physique stellaire (338) M2 Astrophysique - Strasbourg 239 / 277 Couronne statique conductrice On reprend le modèle précédant en ôtant l’hypothèse isotherme et on repart d’une conductibilité finie du plasma. Dans ces conditions 4 π r 2κ dT = cste dr (340) s’intègre avec la condition T (∞) = 0 en T ( r ) = T0 d’où la pression r 2/7 7 rc r0 p (r ) = p0 e 5 0 (341) r [( r0 r ) 5/ 7 − 1] (342) On montre qu’ici aussi la pression à l’infini reste trop élevée et vaut p∞ = p0 e−7 λ/5 = p0 e − 57 rc r0 (343) En prenant r0 = 1.2R⊙ , p0 = 10−3 Pa, on trouve p∞ = 10−8 Pa, bien trop élevée par rapport au milieu interstellaire pour lequel pmis = 10−15 Pa. Et pire la densité ρ ∝ p/T diverge à l’infini. Par conséquent, une couronne statique est à rejeter. Jérôme Pétri (Observatoire Astronomique) Physique stellaire M2 Astrophysique - Strasbourg 240 / 277 Vent isotherme I On franchit une étape supplémentaire en supprimant l’hypothèse statique par une expansion à symétrie sphérique de la couronne isotherme. Les équations sont celles de l’hydrodynamique sphérique d’un écoulement radial, conservation de la masse et de l’impulsion 1 d r 2 dr r2 ρV ρV dV dr = 0 = − (344) dp dr −ρ G M⊙ (345) r2 Effectuons à nouveau une normalisation telle que V = v cs (346a) r = x R0 (346b) ρ = ρ ρ0 (346c) p = p p0 Jérôme Pétri (Observatoire Astronomique) Physique stellaire (346d) M2 Astrophysique - Strasbourg 241 / 277 Vent isotherme II On obtient 1 d x2 ρ v = 0 x 2 dx ρv dv dx =− (347a) dp dx −ρ λ (347b) x2 Dans la deuxième équation, on élimine la densité en remarquant que 2 dx x + dρ ρ + dv v =0 (348) Nous obtenons une équation pour v 2 seule telle que 1− Jérôme Pétri (Observatoire Astronomique) 1 v2 dv 2 dx = Physique stellaire 4 x − 2λ (349) x2 M2 Astrophysique - Strasbourg 242 / 277 Point critique Le facteur devant le terme de la dérivée de plus haut degré s’annule en v = v ∗ = 1. Ceci trahit la présence d’une éventuelle singularité dans la solution. Pour obtenir une solution régulière possédant une dérivée dv 2 /dx finie à la traversée de ce point, il faut imposer une condition de régularité en forçant la solution à passer par le point v ∗ = 1 en x = x ∗ = λ/2. Le point (x ∗ , v ∗ ) est appelé un point critique de l’équation différentielle sur la vitesse. Toute solution régulière ne pourra effectuer une transition d’un écoulement subsonique vers supersonique ou réciproquement qu’au point critique. L’équation pour v 2 s’intègre en v 2 − ln v 2 = 4 ln x + 2λ x +C (350) que l’on peut transformer avantageusement en 2 K v e−v /2 = 2 e−λ/x x (351) Cette équation n’admet pas toujours des solutions dans l’intervalle [1, +∞]. En effet, on montre que cela dépend de la valeur de la constante K par rapport à la valeur critique K ∗ = e3/2 λ/4. pour K > K ∗ il n’y a pas de solution au voisinage du point critique. en revanche, pour K < K ∗ , il existe pour chaque x deux valeurs de v , l’une subsonique et l’autre supersonique pour K = K ∗ , il existe des solutions pour tout x, passant par le point critique (x ∗ , v ∗ ) Jérôme Pétri (Observatoire Astronomique) Physique stellaire M2 Astrophysique - Strasbourg 243 / 277 Diagramme pour la vitesse du vent F IGURE – Les différentes branches de la solution pour le vent stellaire hydrodynamique. Jérôme Pétri (Observatoire Astronomique) Physique stellaire M2 Astrophysique - Strasbourg 244 / 277 Vitesse à la base du vent solaire La seule solution acceptable du vent solaire est celle du vent transsonique qui mène inévitablement à un choc terminal avec le milieu interstellaire. En prenant la constante d’intégration K ∗ , la vitesse s’exprime par 2 λ2 e3/2 −λ/x e v e−v /2 = 4 x2 (352) qui définit entièrement la solution en fonction de x. A la base du vent, en x = 1 la vitesse radiale est 2 vs e−vs /2 = λ2 e3/2 4 e−λ (353) Cette vitesse étant largement subsonique, vs ≪ 1, une très bonne approximation est donnée par vs ≈ Jérôme Pétri (Observatoire Astronomique) λ2 e3/2 4 e−λ Physique stellaire (354) M2 Astrophysique - Strasbourg 245 / 277 Perte de masse par le vent solaire La perte de masse qui s’ensuit est Ṁ = 4 π r 2 ρ v = 4 π R02 ρ0 vs (355) A la base de la couronne, on a ρ ≈ 10−12 kg m−3 et cs ≈ 105 m s−1 . Ceci donne une perte de masse Ṁ ≈ 10−14 M⊙ /an. Au niveau de l’orbite terrestre, à 1 UA, le nombre de Mach est M ≈ 3.8 entraînant une vitesse du vent de v ≈ 500 km/s en raisonnable accord avec les observations in situ. L’étude présentée ci-dessus n’est que sommaire car ne tenant pas compte d’une déviation par rapport à l’hypothèse isotherme. De plus, le champ magnétique intervient sur la dynamique du plasma par le jeu des forces de Lorentz que nous ne décrivons pas dans cette introduction. Jérôme Pétri (Observatoire Astronomique) Physique stellaire M2 Astrophysique - Strasbourg 246 / 277 Spirale de Parker Au niveau de l’orbite terrestre, le vent est composé majoritairement de protons et d’électrons, de 5% de particules α et de quelques ions lourds. Si l’on suppose que le champ magnétique est trop faible pour influencer l’écoulement du vent, celui ne subit qu’une expansion purement radiale. La vitesse perpendiculaire à B doit être égale à la vitesse de la ligne de champ dans cette direction. L’équation polaire des lignes de champ r (ϕ) est donnée par dr v (r ) =− . (356) dϕ Ω Donc l’angle entre la direction radial et la ligne de champ devient tan α = r dϕ dr =− rΩ v (r ) . (357) F IGURE – Spirale de Parker. Exercice : La vitesse du vent au niveau de la terre (1 AU = 1.49598 × 1011 m) est de 450 km/s et le soleil effectue un tour complet en 27 jours. Que vaut l’angle α au niveau de la Terre ? Jérôme Pétri (Observatoire Astronomique) Physique stellaire M2 Astrophysique - Strasbourg 247 / 277 Spirale de Parker Au niveau de l’orbite terrestre, le vent est composé majoritairement de protons et d’électrons, de 5% de particules α et de quelques ions lourds. Si l’on suppose que le champ magnétique est trop faible pour influencer l’écoulement du vent, celui ne subit qu’une expansion purement radiale. La vitesse perpendiculaire à B doit être égale à la vitesse de la ligne de champ dans cette direction. L’équation polaire des lignes de champ r (ϕ) est donnée par dr v (r ) =− . (356) dϕ Ω Donc l’angle entre la direction radial et la ligne de champ devient tan α = r dϕ dr =− rΩ v (r ) . (357) F IGURE – Spirale de Parker. Exercice : La vitesse du vent au niveau de la terre (1 AU = 1.49598 × 1011 m) est de 450 km/s et le soleil effectue un tour complet en 27 jours. Que vaut l’angle α au niveau de la Terre ? On trouve une valeur de Ω = 2.7 × 10−6 rad/s et tan α = 0.895 soit un angle de α = 41.2o . Jérôme Pétri (Observatoire Astronomique) Physique stellaire M2 Astrophysique - Strasbourg 247 / 277 Spirale de Parker Planète Mercure Terre Mars Jupiter Neptune Distance (UA) 1 1.5 30 Angle Champ (nT) 21 45 56 80 88 35 7 4 1 0.2 TABLE – Propriétés du vent solaire au voisinage des planètes. F IGURE – Spirale de Parker (The Heliospheric Magnetic Field in Living Review in Solar Physics). Exercice : Déterminer la vitesse du vent solaire au niveau de la Terre, de Mars et de Neptune. Conclusion ? Jérôme Pétri (Observatoire Astronomique) Physique stellaire M2 Astrophysique - Strasbourg 248 / 277 Spirale de Parker Planète Mercure Terre Mars Jupiter Neptune Distance (UA) 1 1.5 30 Angle Champ (nT) 21 45 56 80 88 35 7 4 1 0.2 TABLE – Propriétés du vent solaire au voisinage des planètes. F IGURE – Spirale de Parker (The Heliospheric Magnetic Field in Living Review in Solar Physics). Exercice : Déterminer la vitesse du vent solaire au niveau de la Terre, de Mars et de Neptune. Conclusion ? On trouve une valeur respectivement de {417, 392, 422} km/s. La vitesse est quasiment constante. Jérôme Pétri (Observatoire Astronomique) Physique stellaire M2 Astrophysique - Strasbourg 248 / 277 Le vent MHD I Le champ magnétique se traite à partir des équations de la MHD. Un calcul plus précis en utilisant ces équations dans le plan équatorial avec les inconnues principales (Br , 0, Bϕ ) et (vr , 0, vϕ ) donne en géométrie sphérique ∂t ρ + div (ρ~v ) = 0 (358a) 2 B 1 ρ (∂t +~v · ~∇ )~v = ρ~g − ~∇ p +~j ∧ ~B = ρ~g − ~∇ (p + ) + ~B · ~∇~B 2 µ0 µ0 (358b) En projetant sur les axes en coordonnées sphériques, on trouve en régime stationnaire 1 r2 ∂r (r 2 ρ vr ) = 0 ρ (vr ∂r vr − ρ (vr ∂r vϕ + vϕ2 r vr vϕ r (359a) ) = ρ gr − ∂r (p + )= 1 µ0 B2 )+ 1 2 µ0 µ0 Br Bϕ (Br ∂r Bϕ + r (Br ∂r Br − Bϕ2 r ) (359b) (359c) ) De plus la contrainte sur la divergence de B fournit r 2 Br = cste = R 2 B Jérôme Pétri (Observatoire Astronomique) Physique stellaire (360) M2 Astrophysique - Strasbourg 249 / 277 Le vent MHD II La conservation de la masse implique r 2 ρ vr = cste = m (361) et la composante ϕ de la conservation de l’impulsion donne µ0 ρ vr r ∂r (r vϕ ) = Br r ∂r (r Bϕ ) (362) En utilisant les constantes d’intégration cela devient r vϕ − r Br Bϕ µ0 , ρ vr =L (363) avec L le moment cinétique totale par unité de masse. L’équation d’induction en régime stationnaire donne 1 r ∂r (r (vϕ Br − vr Bϕ )) = 0 (364) que l’on intègre avec les conditions aux limites à la surface de l’étoile telle que vϕ = R Ω et vr ≪ vϕ et des lignes de champs radiales telles que Br ≫ Bϕ . Donc Jérôme Pétri (Observatoire Astronomique) r (vϕ Br − vr Bϕ ) = cste = R 2 Ω B Physique stellaire (365) M2 Astrophysique - Strasbourg 250 / 277 Le vent MHD III On en déduit le rapport Bϕ Br = vϕ − r Ω (366) vr On introduit la vitesse d’Alfven et le nombre de Mach par vA2 = MA = Br2 (367a) µ0 rho vr (367b) vA puis on résout pour les deux inconnues vϕ = r Ω Bϕ Br = rΩ vr MA2 (L/r 2 Ω) − 1 MA2 − 1 (368a) MA2 (368b) (L/r 2 Ω) − 1 MA2 − 1 La condition de régularité au point alfvenique MA (rA ) = 1 impose L = rA2 Ω où rA est le rayon d’Alfven. Jérôme Pétri (Observatoire Astronomique) Physique stellaire M2 Astrophysique - Strasbourg 251 / 277 Le vent MHD IV Dans la limite des grandes distances vϕ = Bϕ Br rA2 Ω =− (369a) r rΩ (369b) vr et dans la limite des petites distances vϕ = r Ω Bϕ Br (370a) (370b) =??? Le moment cinétique par unité de masse du vent solaire se comporte comme si la rotation était uniforme à la vitesse Ω jusqu’au rayon d’Alfven. Jérôme Pétri (Observatoire Astronomique) Physique stellaire M2 Astrophysique - Strasbourg 252 / 277 Observation du vent solaire F IGURE – Observation du vent solaire (document NASA-MSFC). Jérôme Pétri (Observatoire Astronomique) Physique stellaire M2 Astrophysique - Strasbourg 253 / 277 Interaction du vent solaire F IGURE – Interaction du vent solaire avec la magnétosphère terrestre. Jérôme Pétri (Observatoire Astronomique) Physique stellaire M2 Astrophysique - Strasbourg 254 / 277 Interaction du vent solaire F IGURE – Interaction du vent solaire avec le milieu interstellaire. Crédit : Adapté d’un dessin original de NASA/JPL Jérôme Pétri (Observatoire Astronomique) Physique stellaire M2 Astrophysique - Strasbourg 255 / 277 Interaction du vent solaire F IGURE – Interaction du vent solaire avec le milieu interstellaire Jérôme Pétri (Observatoire Astronomique) Physique stellaire M2 Astrophysique - Strasbourg 256 / 277 Le vent solaire propriétés vent lent vent rapide vitesse densité flux champ température des protons température des électrons composition 400 km/s 10 cm−3 3 × 108 cm−2 /s 3 nT 4 × 104 K 1.3 × 105 K 1-30% 750 km/s 3 cm−3 2 × 108 cm−2 /s 3 nT 2 × 105 K 105 K 5% TABLE – Propriétés du vent solaire à 1 AU. composition : e− , H + , He2+ et ions lourds, 94, 4 et 1% vent lent : électrons subsoniques 200-600 km/s vent rapide : électrons subsoniques 600-800 km/s protons transportent l’impulsion, les électrons la chaleur variation du vent avec l’activité du cycle à 1 UA Prad ≫ Pplasma fonction de distribution des électrons : bimaxwellienne + Lorentzienne perpendiculaire et faisceau en parallèle flux d’échappement de Jeans ( v <> vlib ) traversée du choc terminal de Voyager en décembre 2004 Jérôme Pétri (Observatoire Astronomique) Physique stellaire M2 Astrophysique - Strasbourg 257 / 277 Résumé Constatations évidence de la présence d’un flux de particules provenant du soleil impossibilité de l’existence d’une couronne statique en équilibre Modèle de vent isotherme notion de point critique pour la régularité de la solution différents types de solutions : brise (v < cs ), transsonique, supersonique (v > cs ) écoulement transsonique : transition subsonique/supersonique et inversement description applicable à l’accrétion sphérique de gaz grâce aux observations : vent solaire = transition subsonique/supersonique, formation d’un choc terminal avec le milieu interstellaire Jérôme Pétri (Observatoire Astronomique) Physique stellaire M2 Astrophysique - Strasbourg 258 / 277 1 Introduction 2 Structure interne des étoiles 3 Transport de l’énergie 4 Les équations d’état 5 Les réactions nucléaires 6 Les modèles d’intérieur stellaire 7 Le vent stellaire 8 Astérosismologie Jérôme Pétri (Observatoire Astronomique) Physique stellaire M2 Astrophysique - Strasbourg 259 / 277 Introduction Les étoiles dans la plus grande partie de leur vie sont stables. C’est le cas de celles sur la séquence principale. L’équilibre est caractérisé par le fait qu’une petite perturbation ne croît pas indéfiniment dans le temps mais s’amortit plus ou moins lentement selon l’efficacité des processus dissipatifs. Néanmoins, ces perturbations provoquent des oscillations de l’étoile qui sont visibles à sa surface et peuvent nous renseigner sur leur structure interne. En effet, les oscillations ont lieu dans tout le volume de l’étoile et s’y propagent par phénomène du type acoustique, perturbation en pression donc émission d’ondes sonores d’ondes de gravité, perturbation liée au champ gravitationnel, fig. 50. Jérôme Pétri (Observatoire Astronomique) Physique stellaire M2 Astrophysique - Strasbourg 260 / 277 Le Soleil : ses vibrations L’héliosismologie et en général l’astérosismologie observer les oscillations du Soleil extraire le spectre des fréquences comparer aux modes propres de pression et de gravité d’une sphère fluide en déduire la vitesse du son dans l’étoile et donc sa densité sa structure interne à partir des modes détectés en surface ! F IGURE – Un mode propre d’oscillation dans une sphère. Jérôme Pétri (Observatoire Astronomique) Physique stellaire M2 Astrophysique - Strasbourg 261 / 277 Le Soleil : ses vibrations F IGURE – Formation d’un mode propre d’oscillation acoustique (p) dans une sphère (CEA/SAp). Les modes de bas degré pénètrent profondément l’étoile (lignes bleues) tandis que les modes de haut degré sont superficiels (lignes rouges). Jérôme Pétri (Observatoire Astronomique) F IGURE – Propagation des ondes sonores et de gravité à l’intérieur du Soleil (source NASA). Physique stellaire M2 Astrophysique - Strasbourg 262 / 277 Introduction L’étude détaillée de ces modes qualifiés de p et g respectivement pour mode de pression ou de gravité sont des outils de diagnostic importants pour sonder l’intérieur d’un astre et en particulier notre Soleil. Les modes p se propagent plutôt au niveau de la surface de l’étoile jusqu’à des profondeurs plus ou moins modestes selon leur fréquence. Par contre les modes g naissent au centre de l’étoile et permettent un sondage précis des régions les plus internes de l’astre. Un exemple de spectre observé pour le Soleil pour ses modes d’oscillation est donné en figure 50. Les différents modes sont repérés par trois nombres quantiques (n, l , m) qui représentent le nombre de fois n que la fonction s’annule en un rayon donné, les nombres azimuthaux (l , m) du développement en harmoniques sphériques Ylm les modes zonaux avec m = 0 les modes sectoraux avec |m| = l les modes tesseraux, tous les autres l , m. Pour une étoile statique, il y a dégénérescence entre différents modes m à l fixé. Celle-ci est levée par l’introduction de la rotation de l’étoile sur elle-même. Jérôme Pétri (Observatoire Astronomique) Physique stellaire M2 Astrophysique - Strasbourg 263 / 277 Les harmoniques sphériques F IGURE – Quelques exemples d’harmoniques sphériques. Jérôme Pétri (Observatoire Astronomique) Physique stellaire M2 Astrophysique - Strasbourg 264 / 277 Introduction : exemple Les céphéides sont des étoiles pulsantes découvertes dans le petit nuage de Magellan. Elles possède une pulsation entre 1 et 50 jours. Elles montrent une relation entre leur période et leur luminosité, or comme la distance au petit nuage de Magellan est connue, on en déduit leur magnitude absolue => une relation entre magnitude absolue et période. => c’est un outil d’estimation de la distance des étoiles => avec 50 R⊙ et 103 L⊙ on peut même mesurer des distances extragalactiques. Jérôme Pétri (Observatoire Astronomique) Physique stellaire M2 Astrophysique - Strasbourg 265 / 277 Pulsation stellaire Comme en géophysique où les ondes sismiques renseignent sur l’intérieur de la Terre, les oscillations stellaires nous informent sur la structure interne des étoiles et sur l’évolution stellaire. Oscillations stellaires : ordre de grandeur Supposons une densité constante, l’équilibre hydrostatique entraîne avec P (R ) = 0 P (r ) = 2π 3 G ρ2 ( R 2 − r 2 ) (371) La période correspond approximativement au temps mis par le son pour parcourir le diamètre de l’étoile d’où Z dr 2R 2R 1 Π=2 ≈ ≈p ≈√ (372) cs cs γ Gρ γ p/ρ on retrouve le temps caractéristique de chute libre. Pour une céphéide de masse M = 5 M⊙ et de rayon R = 50 R⊙ on trouve une période Π ≈ 10 jours. Jérôme Pétri (Observatoire Astronomique) Physique stellaire M2 Astrophysique - Strasbourg 266 / 277 Oscillations radiales adiabatiques : sans échange d’énergie avec l’extérieur, donc ni trop lent ni trop rapide pour conserver l’énergie contenue dans un élément fluide non adiabatique : il y aura amortissement des mouvements => il faut donc fournir de l’énergie pour entretenir les oscillations ρ => mécanismes κ : d’après l’opacité Kramer κ ∝ T 3,5 1 2 compression, T augmente et κ diminue or on veut l’inverse expansion, T diminue et κ augmente => il faut invoquer l’ionisation qui fera augmenter moins vite T lors de la compression et dégagera de l’énergie lors de l’expansion/ non radiales : introduction du déplacement lagrangien d’un élément fluide reliant la variation eulérienne δρ à la variation lagrangienne ∆ρ selon ∆ρ d dt = = δρ + δ~r · ~∇ ρ ∂ +~v · ~∇ ∂t (373) (374) => structure des oscillations plus riche que les seules oscillations radiales. Jérôme Pétri (Observatoire Astronomique) Physique stellaire M2 Astrophysique - Strasbourg 267 / 277 Atmosphère plane et stratifiée : équilibre On cherche les modes de propagation des perturbations dans une atmosphère plane et stratifiée (géométrie cartésienne à une dimension pour simplifier l’étude mathématique). Le gaz est supposé isotherme avec une vitesse du son cs , une gravité constante g. La pression et la densité de cette atmosphère sont ρ(z ) p (z ) = ρ0 e−z /H (375) = −z /H (376) p0 e avec une échelle de hauteur H = p0 /ρ0 g = cs2 /γ g. Jérôme Pétri (Observatoire Astronomique) Physique stellaire M2 Astrophysique - Strasbourg 268 / 277 Atmosphère plane et stratifiée : perturbation On perturbe au premier ordre les équations de l’équilibre de cette atmosphère ρ1~g0 − ~∇ p1 ρ0 ∂t~v1 = ∂t ρ1 +~v1 · ~∇ ρ0 + ρ0 div~v1 ∂t p1 +~v1 · ~∇ p0 + γ p0 div~v1 = 0 (378) = 0 (379) (377) i (k x −ω t ) En cherchant des solutions de la forme ondes planes e , on obtient une équation différentielle ordinaire linéaire du 2e ordre pour la perturbation en vitesse verticale telle que ∂z ρ2 g 2 k 2 γp ρg k2 γ p ρ ω2 2 vz = 0 ∂ v − ∂ + ρ ω − z z z ρ ω2 − γ p k 2 ρ ω2 − γ p k 2 ρ ω2 − γ p k 2 (380) Appliquée à notre atmosphère isotherme, elle se simplifie en ∂2z vz − 1 H ∂z vz + ω4 − cs2 k 2 ω2 + cs2 k 2 N 2 vz = 0 cs2 ω2 (381) On a introduit la fréquence de Brunt-Vaissälä qui correspond à des oscillations provoquées par la poussée d’Archimède rappelée par la force de gravité N= Jérôme Pétri (Observatoire Astronomique) s g 1 dP γ P dz − Physique stellaire 1 dρ ρ dz (382) M2 Astrophysique - Strasbourg 269 / 277 Atmosphère plane et stratifiée : relation de dispersion On cherche des perturbation en z selon vz ∝ e(α+i l ) z . La relation de dispersion des ondes devient ω4 − (k 2 + l 2 + 1 4 H2 ) ω2 + k 2 cs2 N 2 = 0 (383) dont les solutions fournissent deux branches les modes acoustiques ou de pression avec 2 ω = 1 2 " 2 2 (k + l + 1 4 H2 ) 1+ s 1− 4 k 2 N2 (k 2 + l 2 + 4 H1 2 )2 c 2 !# (384) qui tend asymptotiquement vers les ondes sonores telles que ω2 = k 2 cs2 pour k → +∞. Aux très grandes longueurs d’onde, k → 0, la fréquence de coupure acoustique est ω2c = cs2 , 4 H2 c’est la fréquence de Lamb. les modes de gravité avec 2 ω = 1 2 " 2 2 (k + l + 1 4 H2 ) 1+ s 1− 4 k 2 N2 (k 2 + l 2 + 4 H1 2 )2 c 2 !# (385) qui tend asymptotiquement vers les modes ω2 = N 2 pour k → +∞. Jérôme Pétri (Observatoire Astronomique) Physique stellaire M2 Astrophysique - Strasbourg 270 / 277 Atmosphère plane et stratifiée : relation de dispersion ondes sonores ou de pression en bleu ondes de gravité en rouge F IGURE – Relation de dispersion des ondes sonores et de gravité dans une atmosphère isotherme. Jérôme Pétri (Observatoire Astronomique) Physique stellaire M2 Astrophysique - Strasbourg 271 / 277 Fréquences caractéristiques en géométrie sphérique Les oscillations horizontales font intervenir des longueurs d’onde typiques de λh = p 2πr (386) l (l + 1) Les ondes de pression font intervenir la fréquence de Lamb p l (l + 1) cs Sl = (387) r tandis que les ondes de gravité sont reliées à la fréquence de Brunt-Vaissälä N= s g 1 dP γ P dr − 1 dρ ρ dr F IGURE – Propagation des ondes sonores et de (388) gravité à l’intérieur du Soleil (source NASA). Les modes g ne se propagent pas dans les zones de convection et engendrent d’importants déplacements de masse => sondent l’intérieur de l’étoile tandis que les modes p sondent les couches superficielles (voir les courbes δr /R pour les modes p et g). Jérôme Pétri (Observatoire Astronomique) Physique stellaire M2 Astrophysique - Strasbourg 272 / 277 Héliosismologie ou les oscillations du Soleil variation de la luminosité du Soleil telle que δL/L⊙ ≈ 10−6 et des vitesses mésurées de v ≈ 0, 1 m/s. deux types d’oscillations du Soleil de période entre 3 et 8 min, les fameuses oscillations de 5 min, avec des modes 0 ≤ l ≤ 1000, ce sont des modes de pression. Ces modes acoustiques pour l ≫ 1 possèdent gl une pulsation ω2 ≈ (n + 1) R d’où une ⊙ période Π ≈ 3 min et une coupure à g 2 ωac ≈ 2 H impliquant des modes maximaux à F IGURE – Le spectre de puissance des oscillations du Soleil avec une période autour de 5 min, soit une fréquence de 3.3 mHz (Observation de l’instrument Golf à bord de SOHO). Jérôme Pétri (Observatoire Astronomique) min R lmax ≈ 2 H⊙ ≈ 3500. min de période de 160 min, non encore identifiées avec certitude mais vraisemblablement des mode de gravité avec l ≈ 1 − 4. Physique stellaire M2 Astrophysique - Strasbourg 273 / 277 Théorie linéaire F IGURE – Observations des modes de pression p du Soleil pour de grands nombres l obtenues par l’instrument SOHO/MDI Jérôme Pétri (Observatoire Astronomique) Physique stellaire M2 Astrophysique - Strasbourg 274 / 277 Détermination de la structure interne du soleil F IGURE – Vitesse du son dans le soleil(Tomczyk et al. 1995, Jefferies et al. 1995). F IGURE – Vitesse de rotation du soleil. (Adapted from Schou et al. (1998) by T. Sekii). fréquence propre croissante avec n et l fréquence split à cause de la rotation mode propre = signal se propageant en sens opposé courbe de rotation interne du soleil Jérôme Pétri (Observatoire Astronomique) Physique stellaire M2 Astrophysique - Strasbourg 275 / 277 Application aux disques d’accrétion Le même genre d’étude des oscillations peut s’appliquer à des géométries différentes comme par exemple pour des cylindres. Cette branche s’appelle la discosismologie et étudie les oscillations dans les disques d’accrétion par exemple. On observe en effet des oscillations en rayons X autour des objets compacts (les oscillations quasi-périodiques ou QPOs dans les étoiles à neutrons ou trous noirs accrétants) que l’on espère expliquer à la manière de celles des étoiles classiques. Mais des modèles alternatifs existent. F IGURE – Schéma d’un système accrétant. Jérôme Pétri (Observatoire Astronomique) Physique stellaire M2 Astrophysique - Strasbourg 276 / 277 Résumé L’intérêt de l’astérosismologie sonder la structure interne des étoiles modes d’oscillations propres (mode acoustique, mode de gravité) fréquence de Brunt-Vaissälä (associée aux modes de gravité) fréquence de Lamb (associée aux modes de pression) Jérôme Pétri (Observatoire Astronomique) Physique stellaire M2 Astrophysique - Strasbourg 277 / 277