Étude d`un doublet + corrigé

I - Préliminaire
• On considère deux lentilles minces de distances focales image respectives f’1 et f’2, de même axe optique
principal, et dont les centres optiques O1 et O2 sont distants de d = „O1O2. On suppose O1 situé avant O2 selon le
sens de propagation de la lumière :
(sens de propagation
de la lumière)
O2 O1
◊ Remarque : le cas étudié est général, c’est pourquoi les symboles des lentilles sur le schéma ne
correspondent ni à des lentilles convergentes, ni à des lentilles divergentes.
1. • Déterminer, en fonction de d, f’1 et f’2, la position par rapport à O2 de l’image A’ d’un point lumineux A situé à
l’infini sur l’axe optique principal.
2. • Dans le cas particulier d’un objet réel situé à l’infini, en déduire que deux lentilles minces accolées (pour d =
0) peuvent être remplacées par une lentille mince unique de centre optique confondu avec les centres optiques
(communs) des deux lentilles, et dont la distance focale image f’12 est telle que :
1
′
f
12
= 1
′
f
1
+ 1
′
f
2
(ce résultat est supposé valable généralement pour la suite du problème).
II - Étude simplifiée d’un objectif photographique bifocal (“zoom”).
• On étudie, de manière simplifiée, le principe d’un objectif photographique présentant deux distances focales
image possibles (pour deux positions des lentilles).
3. • On considère un système optique comprenant, sur un même axe optique principal, trois lentilles minces L1, L2
et L3, de centres optiques respectifs O1, O2 et O3, et de foyers principaux image respectifs F’1, F’2 et F’3.
• L1 et L3 sont des lentilles divergentes identiques, de distance focale image :
f’1 = „O1F’1 = f’3 = „O3F’3 = -60 mm.
• L2 est une lentille convergente, de distance focale image : f’2 = „O2F’2 = 35 mm.
• Dans la première position (notée “position 1”), les lentilles L1 et L2 sont accolées („O1O2 = 0).
a) Déterminer, en fonction de f’1 et f’2, la position par rapport à O1 du foyer image F’12 de la lentille mince
équivalente à l’ensemble des deux lentilles L1 et L2. Effectuer l’application numérique.
b) En déduire, en fonction de f’1 et f’2, la distance e = „O1O3 entre les lentilles L1 et L3 pour qu’un rayon
incident parallèle à l’axe optique principal ressorte du système parallèle à cet axe (on dit dans ce cas que le
système est “afocal”). Effectuer l’application numérique.
c) Déterminer, en fonction de f’1 et f’2, le rapport γ1 = ′
D
D (appelé “élargissement”) entre le diamètre D’ du
faisceau émergent et le diamètre D du faisceau incident correspondant (parallèle à l’axe optique principal).
Effectuer l’application numérique.
4. a) Montrer que si l’on déplace, suivant la direction de l’axe optique, la lentille L2 jusqu’à la lentille L3 (L1 et L3
restant fixes) alors on obtient également un système afocal. Cette seconde position („O2O3 = 0) est notée
“position 2”.

b) Déterminer dans ce cas („O2O3 = 0), en fonction de f’1 et f’2, le rapport γ2 = ′ D
D entre les diamètres du
faisceau émergent du faisceau incident. Effectuer l’application numérique.
5. a) Construire le tracé, à travers le système dans la position 1, d’un faisceau lumineux incident de rayons
parallèles (entre eux), incliné d’un angle α par rapport à l’axe optique principal.
b) En déduire, en fonction de f’1 et f’2, le rapport G1 = ′ α
α (appelé “grossissement”) entre l’angle de sortie et
l’angle d’entrée du faisceau. Effectuer l’application numérique.
c) Quelle est la relation entre G1 et γ1 ?
d) En déduire la valeur, en fonction de f’1 et f’2, du grossissement G2 du système dans la position 2. Effectuer
l’application numérique.
6. • On dispose ensuite, derrière la lentille L3, une lentille mince convergente L4 de distance focale image : f’4 =
„O4F’4 = 50 mm.
a) Où doit-on placer le film photographique pour obtenir une image nette d’un objet à l’infini (à travers
l’ensemble du dispositif) ? La distance entre L3 et L4 a-t-elle de l’importance ? Justifier.
b) Où doit-on placer la lentille L4 pour que l’encombrement du système lentilles-film soit le plus faible possible ?
Quelle est alors la distance entre L1 et le film photographique ?
c) Quelle est, sur le film, la dimension de l’image „A’B’ d’un objet „AB situé à l’infini, et caractérisé par son
diamètre apparent α, dans chacune des deux positions (précédemment nommées 1 et 2, pour L2 confondue avec
L1 ou L3) ? Effectuer les deux applications numériques pour α = 5°.
d) On appelle distance focale f’ de l’objectif (composé des lentilles L1, L2, L3 et L4) la longueur égale au quotient
entre la taille de l’image „A’B’ et l’angle α : f’ = ′
A ′ B
α. Déterminer les valeurs numériques de cette distance focale
dans les positions 1 et 2.

Corrigé
1. • La position, par rapport à O1, de l’image A” de A par L1 correspond à : 1/„O1A” = 1/„O1A + 1/f’1 = 1/f’1 c’est-à-
dire „O1A” = f’1 (un point à l’infini donne une image dans le plan focal image).
• La position de A” par rapport à O2 correspond à : „O2A” = „O2O1 + „O1A” = f’1 - d.
• La position, par rapport à O2, de l’image A’ de A” correspond à : 1/„O2A’ = 1/„O2A” + 1/f’2 c’est-à-dire : „O2A’ =
(f’1 - d) f’2/(f’2 + f’1 - d).
2. • En particulier pour d = 0 : „O2A’ = f’1 f’2/(f’1 + f’2). Ceci montre que, si une lentille mince équivalente existe, sa
distance focale image est : f’12 = f’1 f’2/(f’1 + f’2), ce qui correspond à : 1/f’12 = 1/f’1 + 1/f’2.
◊ remarque : cette condition nécessaire, étudiée dans le cas particulier d’un objet à l’infini, n’est pas forcément
suffisante ; plus précisément, l’image, par la première lentille, d’un point A quelconque est un point A” tel que :
1/OA” = 1/OA + 1/f’1 (pour O1 et O2 confondus en O) ; son image par la seconde lentille est telle que : 1/OA’ =
1/OA” + 1/f’2 = 1/OA + 1/f’1 + 1/f’2 ; ceci peut s’écrire : 1/OA’ = 1/OA + 1/f’12, si on pose ici encore : 1/f’12 =
1/f’1 + 1/f’2, ce qui est bien en accord avec le calcul précédent.
3.a. • D’après la relation précédente : „O1F’12 = f’12 = f’1 f’2/(f’1 + f’2) = 84 mm (l’ensemble est convergent).
3.b. • Pour qu’un rayon incident (quelconque) parallèle à l’axe optique ressorte parallèle à l’axe optique, il faut et
il suffit que l’image d’un point à l’infini (faisceau incident parallèle) soit une image à l’infini (faisceau sortant
parallèle). Cela correspond à dire que l’image par L3 du foyer image de {L1+L2} est à l’infini, et donc que le foyer
image de {L1+L2} est confondu avec le foyer objet de L3.
O3 O1O2F3 F'12
• Ceci donne : e = „O1O3 = „O1F’12 + „F3O3 = f’1 f’2/(f’1 + f’2) + f’3 = f’1(f’1 +2 f’2)/(f’1 + f’2) = 24 mm.
3.c. • D’après le théorème de Thalès : γ1 = D’/D = f3/f’12 = -(f’1 + f’2)/f’2 = 0,71.
4.a. • Par symétrie, le dispositif est aussi afocal :
F'1O3 O1O2 F23
4.b. • D’après le théorème de Thalès : γ2 = D’/D = f23/f’1 = -f’2/(f’1 + f’2) = 1,4.
5.a. • On obtient le tracé suivant :

O3 O1O2F3 F'12
◊ les rayons incidents parallèles ressortent de {L1+L2} en se recoupant (virtuellement, à cause de la
présence de L3) dans le pan focal image de {L1+L2} (également plan focal objet de L3) ; cette intersection est sur
le rayon incident passant par le centre optique commun à {L1+L2} (rayon non dévié lors de la traversée de
{L1+L2}).
◊ celui, parmi les rayons ainsi convergents, qui passe par O3 n’est pas dévié ; il donne donc la direction
(angle α’) des rayons sortants (parallèles entre eux).
5.b. • D’après le théorème de Thalès : tan(α’)/tan(α) = f’12/f3 = -f’2/(f’1 + f’2) = 1,4.
• Pour des petits angles (conditions de Gauss), on obtient donc : G1 = α’/α ≈ -f’2/(f’1 + f’2) = 1,4.
5.c. • On déduit de ce qui précède : G1 ≈ 1/γ1.
5.d. • D’une façon analogue (par symétrie) : G2 = α’/α ≈ f’1/f23 = -(f’1 + f’2)/f’2 = 0,71 = 1/γ2.
6.a. • Le dispositif donne, sur la plaque photographique, une image (d’un point à l’infini) dans le plan focal image
de L4.
• Pour une lentille L4 donnée, la position de l’image ne dépend que de l’angle α’ (elle correspond au rayon
d’angle α’ et passant par O4, qui n’est pas dévié par L4). Or, α’ ne dépend que de l’angle α ; par conséquent, il
semble que l’image obtenue soit indépendante de la position de L4.
• Le schéma précédent montre toutefois que, plus la lentille L4 est éloignée de L3, plus le faisceau sortant
s’écarte de l’axe optique et tend à passer au bord de L4 (voire même à côté, au moins en partie) :
◊ les points aux bords des limites du “champ de vision” correspondent à des rayons passant près des bords
de L4 et donnent des images floues et déformées (les conditions de Gauss sont mal respectées) ;
◊ un éloignement trop grand diminue d’autant la luminosité des point à la périphérie de l’image (voire même :
les rend non visibles).
• Le mieux est donc de placer L4 immédiatement accolée derrière L3.
6.b. • Pour que l’encombrement du système soit le plus faible, il faut de même placer L4 immédiatement accolée
derrière L3. La distance entre L1 et le film photographique est alors : „O1O3 + f’4 = e + f’4 = 74 mm.
6.c. • Un objet de diamètre apparent α correspond à des points extrêmes donnant des faisceaux parallèles
d’angles respectifs α/2 (pour les rayons incidents parallèles provenant du bord supérieur de l’objet ; cas du schéma
suivant) et -α/2 (pour les rayons incidents parallèles provenant du bord inférieur de l’objet ; cas symétrique du
schéma suivant, correspondant au point image B’).
• Les points images correspondants sont de part et d’autre de l’axe optique principal à une distance : A’B’/2 =
-f’4 tan(α’/2) ; ceci donne donc une image de dimension : A’B’ ≈ -f’4 α’.

O4
F'4
A'
B'
laçant l’œil derrière le dispositif, à la place de l’ensemble {L4 + film} ; ceci provient uniquement du fait que l’œil qui
regarde utilise une convention d’orientation opposée au sens de l’axe optique principal.
6.d. • Dans la mesure où, pour une lentille simple, l’obtention d’une image dans le plan focal correspond à : A’B’
≈ -f’ α, on peut inversement définir la “distance focale équivalente” de l’objectif par : f’ = -A’B’/α.
• Ceci donne respectivement :
◊ dans la première position : f’ ≈ f’4 G1 = 70 mm ;
◊ dans la seconde position : f’ ≈ f’4 G2 = 35,7 mm.