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presentation CoursL3PN

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Analyse Numérique aux Sciences de l’Ingénieur
Dr. M Salif DIALLO
Université Alioune Diop de Bambey , Sénégal,
associé à l’École Polytechnique de Thiès, Sénégal
Cours L3PN, Master 1
UADB et Ecole Polytechnique de Thiès, Sénégal.
Période : 02 Mai-23 Juillet 2022
Période : 02 Mai-23 Juillet 2022
Dr. M Salif DIALLO (2022)
Cours L3 - M1
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104
Sommaire
1
Introduction
2
Résolution numérique des systèmes linéaires
3
Résolution numérique d’équations non-linéaires
4
Interpolation
5
Approximation numérique des intégrales : formules de quadrature
interpolatoires
6
Résolution numérique des équations différentielles
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Cours L3 - M1
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Sommaire
1
Introduction
2
Résolution numérique des systèmes linéaires
3
Résolution numérique d’équations non-linéaires
4
Interpolation
5
Approximation numérique des intégrales : formules de quadrature
interpolatoires
6
Résolution numérique des équations différentielles
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Calcul scientifique en quelques mots
Définition
On peut définir le calcul numérique comme la discipline qui permet de reproduire sur un
ordinateur un phénomène ou un processus de phénomène décrit par un modèle
mathématique.
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Calcul scientifique en quelques mots
Définition
On peut définir le calcul numérique comme la discipline qui permet de reproduire sur un
ordinateur un phénomène ou un processus de phénomène décrit par un modèle
mathématique.
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Calcul scientifique en quelques mots
Un modèle est une représentation simplifiée d’un phénomène réel : évolution
temporelle de la position du solide en mouvement, optimisation en traitement de
signal, physique, économique, biologique...
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Calcul scientifique en quelques mots
Un modèle est une représentation simplifiée d’un phénomène réel : évolution
temporelle de la position du solide en mouvement, optimisation en traitement de
signal, physique, économique, biologique...
Le calcul numérique consiste à développer, analyser et appliquer des méthodes
relevant de domaine mathématiques aussi variés que l’algèbre, l’analyse, la
géométrie, la théorie de la probabilité, l’optimisation ou le calcul différentiel. Il est
donc un domaine carrefour de nombreuses applications telles que la physique, les
sciences de l’ingénieur, l’économie et la finance.
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Calcul scientifique en quelques mots
Un modèle est une représentation simplifiée d’un phénomène réel : évolution
temporelle de la position du solide en mouvement, optimisation en traitement de
signal, physique, économique, biologique...
Le calcul numérique consiste à développer, analyser et appliquer des méthodes
relevant de domaine mathématiques aussi variés que l’algèbre, l’analyse, la
géométrie, la théorie de la probabilité, l’optimisation ou le calcul différentiel. Il est
donc un domaine carrefour de nombreuses applications telles que la physique, les
sciences de l’ingénieur, l’économie et la finance.
Pourquoi le concept numérique ? : Un problème physique en sciences de l’ingénieur
se présente sous la forme d’un système pour lequel il faut résoudre ou prévoir le
comportement associé à une fonction donnée.
Sa résolution peut être d’une manière expérimentale à travers une expérience
acquise après plusieurs essais.
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Calcul scientifique en quelques mots
Un modèle est une représentation simplifiée d’un phénomène réel : évolution
temporelle de la position du solide en mouvement, optimisation en traitement de
signal, physique, économique, biologique...
Le calcul numérique consiste à développer, analyser et appliquer des méthodes
relevant de domaine mathématiques aussi variés que l’algèbre, l’analyse, la
géométrie, la théorie de la probabilité, l’optimisation ou le calcul différentiel. Il est
donc un domaine carrefour de nombreuses applications telles que la physique, les
sciences de l’ingénieur, l’économie et la finance.
Pourquoi le concept numérique ? : Un problème physique en sciences de l’ingénieur
se présente sous la forme d’un système pour lequel il faut résoudre ou prévoir le
comportement associé à une fonction donnée.
Sa résolution peut être d’une manière expérimentale à travers une expérience
acquise après plusieurs essais.
Elle peut être, aussi, d’une manière théorique exacte ou approchée. Dans ce cas, il
faut lui associer un modèle mathématique qui traduit son comportement vis-à-vis
de la fonction étudiée.
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Calcul scientifique en quelques mots
Un modèle est une représentation simplifiée d’un phénomène réel : évolution
temporelle de la position du solide en mouvement, optimisation en traitement de
signal, physique, économique, biologique...
Le calcul numérique consiste à développer, analyser et appliquer des méthodes
relevant de domaine mathématiques aussi variés que l’algèbre, l’analyse, la
géométrie, la théorie de la probabilité, l’optimisation ou le calcul différentiel. Il est
donc un domaine carrefour de nombreuses applications telles que la physique, les
sciences de l’ingénieur, l’économie et la finance.
Pourquoi le concept numérique ? : Un problème physique en sciences de l’ingénieur
se présente sous la forme d’un système pour lequel il faut résoudre ou prévoir le
comportement associé à une fonction donnée.
Sa résolution peut être d’une manière expérimentale à travers une expérience
acquise après plusieurs essais.
Elle peut être, aussi, d’une manière théorique exacte ou approchée. Dans ce cas, il
faut lui associer un modèle mathématique qui traduit son comportement vis-à-vis
de la fonction étudiée.
Ce modèle mathématique n’est pas unique pour un système donné, mais il dépend
en particulier du résultant recherché.
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Calcul scientifique en quelques mots
Une fois le modèle mathématique établi, il faut procéder à sa résolution.
Cette résolution peut être quelques fois analytique exacte, mais dans la majeure
partie des cas elle est numérique approchée.
Analyse mathématique : Il faut tout d’abord s’assurer de l’existence et de l’unicité
de la solution du modèle mathématique. S’il n’y a pas d’unicité, il faudra ajouter
d’autres conditions pour choisir celle qui correspond au phénomène à l’étude.
On étudiera ensuite les propriétés de la solution, notamment la stabilité : des
petites perturbations admissibles des données doivent induire des petites
perturbations de la solution.
On cherchera des solutions analytiques pour des cas simplifiés pour pouvoir tester
ensuite nos méthodes numériques et nos algorithmes.
Analyse Numérique : L’ordinateur est aujourd’hui un outil incontournable pour
simuler et modéliser des systèmes complexes. Nous sommes habitués à résoudre les
problèmes de façon analytique, alors que l’ordinateur ne travaille que sur des suites
de nombres. On verra qu’il existe souvent plusieurs approches pour résoudre un
même problème, ce qui conduit à des algorithmes différents. Un des objectifs de ce
cours est de fournir des bases rigoureuses pour développer quelques algorithmes
utiles dans la résolution de problèmes en mathématique, économie, physique, ...
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Calcul scientifique en quelques mots
Un algorithme, pour être utile, doit satisfaire un certain nombre de conditions. Il doit
être :
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Calcul scientifique en quelques mots
Un algorithme, pour être utile, doit satisfaire un certain nombre de conditions. Il doit
être :
rapide le nombre d’opérations de calcul pour arriver au résultat escompté doit
être aussi réduit que possible ;
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Calcul scientifique en quelques mots
Un algorithme, pour être utile, doit satisfaire un certain nombre de conditions. Il doit
être :
rapide le nombre d’opérations de calcul pour arriver au résultat escompté doit
être aussi réduit que possible ;
précis l’algorithme doit savoir contenir les effets des erreurs qui sont inhérentes
à tout calcul numérique (ces erreurs peuvent être dues à la
modélisation, aux données, à la représentation sur ordinateur)
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Calcul scientifique en quelques mots
Un algorithme, pour être utile, doit satisfaire un certain nombre de conditions. Il doit
être :
rapide le nombre d’opérations de calcul pour arriver au résultat escompté doit
être aussi réduit que possible ;
précis l’algorithme doit savoir contenir les effets des erreurs qui sont inhérentes
à tout calcul numérique (ces erreurs peuvent être dues à la
modélisation, aux données, à la représentation sur ordinateur)
souple l’algorithme doit être facilement transposable à des problèmes différents.
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Calcul scientifique en quelques mots
Un algorithme, pour être utile, doit satisfaire un certain nombre de conditions. Il doit
être :
rapide le nombre d’opérations de calcul pour arriver au résultat escompté doit
être aussi réduit que possible ;
précis l’algorithme doit savoir contenir les effets des erreurs qui sont inhérentes
à tout calcul numérique (ces erreurs peuvent être dues à la
modélisation, aux données, à la représentation sur ordinateur)
souple l’algorithme doit être facilement transposable à des problèmes différents.
Le choix et l’optimisation des algorithmes numériques mis en pratique sont absolument
cruciaux tant pour les calculs de type industriel souvent très répétitifs et devant donc
pouvoir être exécutés en un temps très court, que pour les calculs de référence pour
lesquels la seule limite est la patience de celui qui les fait. Par exemple, en
fluidodynamique, en laissant tourner une station de travail pendant quelques jours, les
numériciens résolvent des systèmes frisant le milliard d’inconnues.
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Premier exemple de modélisation : Problème du sac-à-dos.
Soit n objets : bouteille d’eau, lampe, briquet, ....
p1 , p2 , ..., pn : poids respectifs des objets,
u1 , u2 , ..., un : utilités respectives des objets,
xi = 0 si on met l’objet dans le sac-à-dos et xi = 0 sinon.
Le porteur peut porter un poids maximal qu’on note P.
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Premier exemple de modélisation : Problème du sac-à-dos.
Soit n objets : bouteille d’eau, lampe, briquet, ....
p1 , p2 , ..., pn : poids respectifs des objets,
u1 , u2 , ..., un : utilités respectives des objets,
xi = 0 si on met l’objet dans le sac-à-dos et xi = 0 sinon.
Le porteur peut porter un poids maximal qu’on note P.
formuler le probléme
Maximiser l’utilité du sac-à-dos sous la contrainte de poids.
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Premier exemple de modélisation : Problème du sac-à-dos.
Modèle mathématique
Chercher le maximum de la fonction :
x1 u1 + x2 u2 + · · · + xn un
telle que
x1 p1 + x2 p2 + · · · + xn pn ≤ P
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Premier exemple de modélisation : Problème du sac-à-dos.
Modèle mathématique
Chercher le maximum de la fonction :
x1 u1 + x2 u2 + · · · + xn un
telle que
x1 p1 + x2 p2 + · · · + xn pn ≤ P
Simulation
Trouver un algorithme pour calculer une solution dans le cas général.
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Premier exemple de modélisation : Problème du sac-à-dos.
Modèle mathématique
Chercher le maximum de la fonction :
x1 u1 + x2 u2 + · · · + xn un
telle que
x1 p1 + x2 p2 + · · · + xn pn ≤ P
Simulation
Trouver un algorithme pour calculer une solution dans le cas général.
Application directes en gestion des stockes
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Calcul scientifique en quelques mots
Nous présentons brièvement comment établir un modèle mathématique associé à
un problème d’ingénierie ou physique donné.
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Calcul scientifique en quelques mots
Nous présentons brièvement comment établir un modèle mathématique associé à
un problème d’ingénierie ou physique donné.
Nous allons traiter la résolution numérique de l’algèbre linéaire : systèmes
linéaires, systèmes non linéaires, approximation de données et interpolation
polynomiale, la résolution numérique des intégrales, la résolution des équations
différentielles ordinaires (problème de Cauchy), la résolution des équations
différentielles partielles (problème des conditions aux limites).
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Applications
Un fournisseur de service GSM veut développer une nouvelle stratégie
en faveur de ses clients de marque.
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Applications
Un fournisseur de service GSM veut développer une nouvelle stratégie
en faveur de ses clients de marque.
Pour cela, il pensa à vérifier si les emplacements de ses cellules
(antennes et équipements afférents) sont dans les recommandations
optimales de localisation.
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Applications
Un fournisseur de service GSM veut développer une nouvelle stratégie
en faveur de ses clients de marque.
Pour cela, il pensa à vérifier si les emplacements de ses cellules
(antennes et équipements afférents) sont dans les recommandations
optimales de localisation.
La répartition de ses clients dépend des localités où ceux-ci exercent
leurs activités.
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Applications
Un fournisseur de service GSM veut développer une nouvelle stratégie
en faveur de ses clients de marque.
Pour cela, il pensa à vérifier si les emplacements de ses cellules
(antennes et équipements afférents) sont dans les recommandations
optimales de localisation.
La répartition de ses clients dépend des localités où ceux-ci exercent
leurs activités.
La nouvelle stratégie consiste à favoriser le client selon un profil des
activités contractées et en cours avec le fournisseur.
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Applications
Un fournisseur de service GSM veut développer une nouvelle stratégie
en faveur de ses clients de marque.
Pour cela, il pensa à vérifier si les emplacements de ses cellules
(antennes et équipements afférents) sont dans les recommandations
optimales de localisation.
La répartition de ses clients dépend des localités où ceux-ci exercent
leurs activités.
La nouvelle stratégie consiste à favoriser le client selon un profil des
activités contractées et en cours avec le fournisseur.
Pour cela, répartir les antennes d’une manière optimale selon la
distance la plus courte possible des clients en question.
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Applications
Figure – Crash test réel (à gauche), crash test numérique (à droite)
Figure – Airbus A380 (à gauche), Simulation numérique(à
droite)
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Juillet 2022
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Prérecquis
Mathématiques :
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Prérecquis
Mathématiques :
a Opérations matricielles de base
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Prérecquis
Mathématiques :
a Opérations matricielles de base
b Techniques d’intégration standard
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Prérecquis
Mathématiques :
a Opérations matricielles de base
b Techniques d’intégration standard
c Notion d’interpolation
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Prérecquis
Mathématiques :
a
b
c
d
Opérations matricielles de base
Techniques d’intégration standard
Notion d’interpolation
Équations différentielles ordinaires
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Prérecquis
Mathématiques :
a
b
c
d
Opérations matricielles de base
Techniques d’intégration standard
Notion d’interpolation
Équations différentielles ordinaires
Physique : lois physiques et savoir matérialiser leur sens
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Prérecquis
Mathématiques :
a
b
c
d
Opérations matricielles de base
Techniques d’intégration standard
Notion d’interpolation
Équations différentielles ordinaires
Physique : lois physiques et savoir matérialiser leur sens
Sciences de l’Ingénieur : développer le bon sens et un esprit critique
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Prérecquis
Mathématiques :
a
b
c
d
Opérations matricielles de base
Techniques d’intégration standard
Notion d’interpolation
Équations différentielles ordinaires
Physique : lois physiques et savoir matérialiser leur sens
Sciences de l’Ingénieur : développer le bon sens et un esprit critique
Informatique :
a apprentissage de l’outil Matlab
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Prérecquis
Mathématiques :
a
b
c
d
Opérations matricielles de base
Techniques d’intégration standard
Notion d’interpolation
Équations différentielles ordinaires
Physique : lois physiques et savoir matérialiser leur sens
Sciences de l’Ingénieur : développer le bon sens et un esprit critique
Informatique :
a apprentissage de l’outil Matlab
b Python
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Prérecquis
Mathématiques :
a
b
c
d
Opérations matricielles de base
Techniques d’intégration standard
Notion d’interpolation
Équations différentielles ordinaires
Physique : lois physiques et savoir matérialiser leur sens
Sciences de l’Ingénieur : développer le bon sens et un esprit critique
Informatique :
a apprentissage de l’outil Matlab
b Python
c Maple
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Sommaire
1
Introduction
2
Résolution numérique des systèmes linéaires
3
Résolution numérique d’équations non-linéaires
4
Interpolation
5
Approximation numérique des intégrales : formules de quadrature
interpolatoires
6
Résolution numérique des équations différentielles
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Rappel
Définition
Soit n, p ≥ 1 des entiers. Un système linéaire n × p est un ensemble de n équations
linéaires à p inconnues de la forme



a11 x1 + . . . a1p xp
..
(S) :
.


an1 x1 + . . . + anpxp
=
b1
(1)
=
bn
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Rappel
Définition
Soit n, p ≥ 1 des entiers. Un système linéaire n × p est un ensemble de n équations
linéaires à p inconnues de la forme



a11 x1 + . . . a1p xp
..
(S) :
.


an1 x1 + . . . + anpxp
* aij et bi ?
* Sous forme matricielle, ce système s’écrit :
Ax = b où x = (x1 x2 . . . xp )T ∈ Kp ,
b = (b1
a11
 a21
A=
 ...
an1

a12
a22
..
.
an2
...
...
..
.
...
=
b1
(1)
=
bn
b2 . . . bn )T ∈ Kn et
a1p
a2p 
.. 
 ∈ Mnp (K).
.
anp

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Rappel
Trois cas se présentent :
1
Si n < p, système sous-déterminé
2
sin > p, système sur-déterminé
3
si n = p, il y’a exactement le même nombre d’équations que d’inconnues.
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Rappel
Trois cas se présentent :
1
Si n < p, système sous-déterminé
2
sin > p, système sur-déterminé
3
si n = p, il y’a exactement le même nombre d’équations que d’inconnues.
Dans la suite nous considérons des systèmes carrés d’ordre n à coefficients réels,
autrement dit
A = (aij ) ∈ Rn×n .
Dans ce cas, il existe une unique solution x à Ax = b si le théorème suivant est admis.
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Rappel
Trois cas se présentent :
1
Si n < p, système sous-déterminé
2
sin > p, système sur-déterminé
3
si n = p, il y’a exactement le même nombre d’équations que d’inconnues.
Dans la suite nous considérons des systèmes carrés d’ordre n à coefficients réels,
autrement dit
A = (aij ) ∈ Rn×n .
Dans ce cas, il existe une unique solution x à Ax = b si le théorème suivant est admis.
Théoréme : Matrice inversible
Soit A ∈ Mn,n (R). Les propositions suivantes sont équivalentes :
1
A est inversible,
2
Ax = 0 a pour solution x = 0,
3
det(A) 6= 0,
4
pour tout b ∈ Rn , Ax = b possède une unique solution.
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Rappel
Classes de méthodes
les méthodes directes : qui donnent la solution en un nombre fini
d’étapes,
les méthodes itératives : qui nécessitent (théoriquement) un nombre
infini d’étapes.
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Rappel
Classes de méthodes
les méthodes directes : qui donnent la solution en un nombre fini
d’étapes,
les méthodes itératives : qui nécessitent (théoriquement) un nombre
infini d’étapes.
Principes des méthodes directes
On appelle méthode directe de résolution d’un système linéaire, un
algorithme qui permet d’obtenir un nombre fini d’opérations en général
triangulaire.
Ces méthodes reviennent souvent à écrire une décomposition de la matrice
A = BC où B et C ont des propriétés particulières.
(
By = b
Ax = b ⇐⇒ B(Cx ) = b ⇐⇒
Cx = y
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Méthode de Gauss
Définition : Matrices et systèmes triangulaires
On dit qu’une matrice carrée A = (aij )1≤i,j≤n est Triangulaire supérieure(respectivement
triangulaire inférieure) si i > j =⇒ aij = 0 (resp. si i < j =⇒ aij = 0 ).
Si la matrice est triangulaire supérieure (resp. triangulaire inférieure), on dira que le
système linéaire est un système triangulaire supérieur (resp. triangulaire inférieur).
Pour résoudre le système triangulaire Ax = b,
? si A est une matrice triangulaire inférieure, on a x1 =
inconnues x2 , x3 , . . . xn grâce à la relation
1
xi =
aii
bi −
i−1
X
b1
a11
!
aij xj
;
j=1
? si A est une matrice triangulaire supérieure on a xn =
inconnues xn−1 , xn−2 , . . . x1 grâce à la relation
1
xi =
aii
et on déduit les
n
X
bi −
bn
ann
et on déduit les
!
aij xj
j=i+1
.
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Méthode de Gauss
Propriété
Le déterminant d’une matrice triangulaire est égal au produit des éléments
diagonaux.
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Méthode de Gauss
Propriété
Le déterminant d’une matrice triangulaire est égal au produit des éléments
diagonaux.
La méthode du pivot de GAUSS transforme le système Ax = b en un système équivalent
(c’est-à-dire ayant la même solution) de la forme Ux = y, où U est une matrice
triangulaire supérieure et y est un second membre convenablement modifié. Enfin on
résout le système triangulaire Ux = y.
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Méthode de Gauss
Propriété
Le déterminant d’une matrice triangulaire est égal au produit des éléments
diagonaux.
La méthode du pivot de GAUSS transforme le système Ax = b en un système équivalent
(c’est-à-dire ayant la même solution) de la forme Ux = y, où U est une matrice
triangulaire supérieure et y est un second membre convenablement modifié. Enfin on
résout le système triangulaire Ux = y.
Méthode du pivot de GAUSS
Soit A = (aij )1≤i≤n la matrice des coefficients du système Ax = b. Étape k : en
1≤j≤n
permutant éventuellement deux lignes du système, on peut supposer akk 6= 0 (appelé
pivot de l’étape k ). On transforme toutes les lignes Li avec i > k comme suit :
Li ← Li −
aik
× Lk .
akk
En réitérant le procédé pour k de 1 à n, on aboutit à un système triangulaire supérieur.
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Méthode de Gauss
Soit le système linéaire

x + 2x2 + 3x3 + 4x4 = 1

 1
2x1 + 3x2 + 4x3 + x4 = 2

 3x1 + 4x2 + x3 + 2x4 = 3
4x1 + x2 + 2x3 + 3x4 = 4
1. Résolution par la méthode du pivot de GAUSS :

x + 2x2 + 3x3 + 4x4 = 1

 1
2x1 + 3x2 + 4x3 + x4 = 2
 3x1 + 4x2 + x3 + 2x4 = 3

4x1 + x2 + 2x3 + 3x4 = 4

x + 2x2 + 3x3 + 4x4
L2 ← L2 − 2L1 
 1
−x2 − 2x3 − 7x4
L3 ← L3 − 3L1
−2x2 − 8x3 − 10x4


L4 ← L4 − 4L1
−7x2 − 10x3 − 13x4

x + 2x2 + 3x3 + 4x4 = 1

 1
L3 ← L3 − 2L2
L4 ← L4 − 7L2 

−x2 − 2x3 − 7x4 = 0
−4x3 + 4x4 = 0
4x3 + 36x4 = 0
L4 ←L4 +L3
−→
=1
=0
=0
=0

x + 2x2 + 3x3 + 4x4 = 1

 1


−x2 − 2x3 − 7x4 = 0
−4x3 + 4x4 = 0
40x4 = 0
donc x4 = 0, x3 = 0, x2 = 0 et x1 = 1.
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Méthode de Gauss
2. Résolution par la méthode du pivot de GAUSS en écriture matricielle :

1
 2
[A | b] = 
3
4
2
3
4
1

L3 ← L3 − 2L2
L4 ← L4 − 7L2
3
4
1
2
1
 0
 0
0
4
1
2
3
2
−1
0
0


1
1
L2 ← L2 − 2L1
2 
 0
L3 ← L3 − 3L1 
3 
0
L4 ← L4 − 4L1
4
0
3
−2
−4
4
4
−7
4
36


2
−1
−2
−7
1
1
0  L4 ←L4 +L3  0
−→ 
0 
0
0
0
3
−2
−8
−10
2
−1
0
0
4
−7
−10
−13
3
−2
−4
0
4
−7
4
40

1
0 
0 
0

1
0 
0 
0
donc x4 = 0, x3 = 0, x2 = 0 et x1 = 1.
Si on a plusieurs systèmes dont seul le second membre change, il peut être utile de
factoriser une fois pour toute matrice A et résoudre ensuite des systèmes triangulaires.
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Factorisation LU
Soit A ∈ Rn×n . Supposons qu’il existe deux matrices, L et U, respectivement
triangulaire inférieure et supérieure, telles que A = LU. Résoudre le système Ax = b
def
équivaut à résoudre LUx = b. Si on note y = Ux alors on peut commencer par
résoudre le système Ly = b obtenant ainsi le vecteur y, puis on résout Ux = y pour
obtenir x. Si A est régulière (i.e. non singulière), alors L et U le sont aussi, et leurs
termes diagonaux sont donc non nuls. Les deux systèmes triangulaires sont faciles à
résoudre comme on va voir ci-dessous.
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Factorisation LU
Soit A ∈ Rn×n . Supposons qu’il existe deux matrices, L et U, respectivement
triangulaire inférieure et supérieure, telles que A = LU. Résoudre le système Ax = b
def
équivaut à résoudre LUx = b. Si on note y = Ux alors on peut commencer par
résoudre le système Ly = b obtenant ainsi le vecteur y, puis on résout Ux = y pour
obtenir x. Si A est régulière (i.e. non singulière), alors L et U le sont aussi, et leurs
termes diagonaux sont donc non nuls. Les deux systèmes triangulaires sont faciles à
résoudre comme on va voir ci-dessous.
Proposition : Système triangulaire inférieur
L étant triangulaire inférieure, la première ligne du système Ly = b est de la forme
`11 y1 = b1
ce qui donne la valeur de y1 puisque `11 6= 0. En procédant équation par équation, on
calcule ainsi toutes les inconnues par l’algorithme dit de descente :
y1 =
1
yi =
`ii
bi −
i−1
X
b1
`11
!
`ik yk
,
pour i = 2, 3, . . . , n
k=1
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Factorisation LU
Proposition : Système triangulaire supérieur
On peut résoudre le système Ux = y de manière similaire. Cette fois, on commence par
déterminer xn puis, de proche en proche, les autres inconnues xi de i = n − 1 à i = 1. En
procédant équation par équation, on calcule ainsi toutes les inconnues par l’algorithme
dit de remontée :
yn
xn =
unn
1
xi =
uii
yi −
n
X
!
uik xk
k=i+1
pour i = n − 1, n − 2, . . . , 1.
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Factorisation LU
Proposition : Système triangulaire supérieur
On peut résoudre le système Ux = y de manière similaire. Cette fois, on commence par
déterminer xn puis, de proche en proche, les autres inconnues xi de i = n − 1 à i = 1. En
procédant équation par équation, on calcule ainsi toutes les inconnues par l’algorithme
dit de remontée :
yn
xn =
unn
1
xi =
uii
yi −
n
X
!
uik xk
k=i+1
pour i = n − 1, n − 2, . . . , 1.
Il reste à présent à trouver un algorithme qui permette le calcul effectif des facteurs L et
U tels que A = LU avec U triangulaire supérieure et L triangulaire inférieure.
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Factorisation LU
Proposition
Si on choisit de chercher une matrice L ayant la valeur 1 pour les n éléments diagonaux,
la matrice U peut être déterminée avec l’algorithme de Gauss et la matrice L contient
les coefficients multiplicateurs de chaque ligne i à l’étape k (on appelle cela la
factorisation de DOLITTLE).
L←I
for k = 1 à n − 1 do
for i = k + 1 à n do
aik
`ik ←
Le terme akk , appelé pivot, doit être non nul !
akk
for j = 1 à n do
aij ← aij − `ik akj
Ligne i , colonnes j = 1...n : il s’agit de uik
end for
end for
end for
À la fin la matrice A est triangulaire supérieure et on pose U = A.
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Factorisation LU
Proposition
Pour une matrice quelconque A ∈ Rn×n , la factorisation U existe et est unique si et
seulement si les sous-matrices principales Ai de A d’ordre i = 1, . . . , n − 1 (celles que
l’on obtient en restreignant A à ses i premières lignes et colonnes) ne sont pas
singulières (autrement dit si les mineurs principaux, i.e. les déterminants des
sous-matrices principales, sont non nuls).
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Factorisation LU
Proposition
Pour une matrice quelconque A ∈ Rn×n , la factorisation U existe et est unique si et
seulement si les sous-matrices principales Ai de A d’ordre i = 1, . . . , n − 1 (celles que
l’on obtient en restreignant A à ses i premières lignes et colonnes) ne sont pas
singulières (autrement dit si les mineurs principaux, i.e. les déterminants des
sous-matrices principales, sont non nuls).
On peut identifier des classes de matrices particulières pour lesquelles les hypothèses de
cette proposition sont satisfaites :
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Factorisation LU
Proposition
Pour une matrice quelconque A ∈ Rn×n , la factorisation U existe et est unique si et
seulement si les sous-matrices principales Ai de A d’ordre i = 1, . . . , n − 1 (celles que
l’on obtient en restreignant A à ses i premières lignes et colonnes) ne sont pas
singulières (autrement dit si les mineurs principaux, i.e. les déterminants des
sous-matrices principales, sont non nuls).
On peut identifier des classes de matrices particulières pour lesquelles les hypothèses de
cette proposition sont satisfaites :
Si la matrice A ∈ Rn×n est symétrique et définie positive ou si est à diagonale
dominante alors la factorisation LU existe et est unique.
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Factorisation LU
Proposition
Pour une matrice quelconque A ∈ Rn×n , la factorisation U existe et est unique si et
seulement si les sous-matrices principales Ai de A d’ordre i = 1, . . . , n − 1 (celles que
l’on obtient en restreignant A à ses i premières lignes et colonnes) ne sont pas
singulières (autrement dit si les mineurs principaux, i.e. les déterminants des
sous-matrices principales, sont non nuls).
On peut identifier des classes de matrices particulières pour lesquelles les hypothèses de
cette proposition sont satisfaites :
Si la matrice A ∈ Rn×n est symétrique et définie positive ou si est à diagonale
dominante alors la factorisation LU existe et est unique.
Symétrique si aij = aji pour tout i, j = 1, . . . , n,
Définie positive si pour tout vecteurs x ∈ Rn avec x 6= 0, xT Ax > 0,
à diagonale dominante par lignes si |aii | ≥
Pn
à diagonale dominante par colonnes si |aii | ≥
j=1
j6=i
|aij |, pour i = 1, . . . , n,
Pn
j=1
j6=i
|aji |, pour i = 1, . . . , n,
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Factorisation LU
Une technique qui permet d’effectuer la factorisation LU pour toute
matrice A inversible, même quand les hypothèses de cette proposition ne
sont pas vérifiées, est la méthode du pivot par ligne : il suffit d’effectuer
une permutation convenable des lignes de la matrice originale A à chaque
étape k où un terme diagonal akk s’annule (A faire en TP).
Déterminent
La factorisation U permet de calculer le déterminant de A car
Q
det(A) = det(L) det(U) = nk=1 ukk
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Factorisation LU
Une technique qui permet d’effectuer la factorisation LU pour toute
matrice A inversible, même quand les hypothèses de cette proposition ne
sont pas vérifiées, est la méthode du pivot par ligne : il suffit d’effectuer
une permutation convenable des lignes de la matrice originale A à chaque
étape k où un terme diagonal akk s’annule (A faire en TP).
Déterminent
La factorisation U permet de calculer le déterminant de A car
Q
det(A) = det(L) det(U) = nk=1 ukk
Inverse d’une matrice
Le calcul explicite de l’inverse d’une matrice peut être effectué en utilisant la
factorisation LU comme suit. En notant X l’inverse d’une matrice régulière A ∈ Rn×n ,
les vecteurs colonnes de X sont les solutions des systèmes linéaires
A xi = ei ,
pour i = 1, . . . , n.
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Exercice (TD)
Soit les systèmes linéaires

1
 2
 3
4
2
3
4
1
3
4
1
2



4
x1
1   x2  
=
2   x3  
3
x4

1
2 
3 
4

et
1
 2
 3
4
2
3
4
1



10
10 
10 
10
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3
4
1
2
4
x1
1   x2  
=
2   x3  
3
x4
1
Résoudre les systèmes linéaires par la méthode du pivot de GAUSS.
2
Factoriser la matrice A (sans utiliser la technique du pivot) et résoudre les
systèmes linéaires.
3
Calculer le déterminant de A.
4
Calculer A−1 .
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
Méthode de Choleski
Proposition : Décomposition de Choleski
Soit A ∈ Rn×n une matrice symétrique et définie positive. Alors il existe
une unique matrice L ∈ Rn×n , L = (`i,j )ni,j=1 , telle que :
1
Lest triangulaire inférieure (c’est-à-dire `i,j = 0 si j > i ),
2
`i,i > 0, pour tout i ∈ {1, . . . , n},
3
A = LLt .
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Méthode de Choleski
Proposition : Décomposition de Choleski
Soit A ∈ Rn×n une matrice symétrique et définie positive. Alors il existe
une unique matrice L ∈ Rn×n , L = (`i,j )ni,j=1 , telle que :
1
Lest triangulaire inférieure (c’est-à-dire `i,j = 0 si j > i ),
2
`i,i > 0, pour tout i ∈ {1, . . . , n},
3
A = LLt .
Calcul de la matrice L
v
u
k−1
u
X
u
t
`kk = akk −
`2kj
j=1


k−1
X
1 
`ik =
aik −
`ij `kj  , i > k
`kk
j=1
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Méthode itérative
Concept
Une méthode itérative consiste à faire converger des suites construites à partir de la
matrice A vers la solution exacte du système. Le principe consiste à décomposer A
inversible sous la forme A = M − N où M est une matrice facilement inversible
(diagonale, tridiagonale,...) et N est une matrice quelconque obtenue à partir de A.
Nous avons Ax = b ⇐⇒ (M − N)x = b ⇒ Mx = Nx + b.
Sous cette forme, nous cherchons à approcher la solution du problème par l’algorithme
itérative suivant :
x0 ∈ Rn donnée
Mxk+1
=
Nxk + b,
pour
tout
entier
k≥0
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Méthode itérative
Concept
Une méthode itérative consiste à faire converger des suites construites à partir de la
matrice A vers la solution exacte du système. Le principe consiste à décomposer A
inversible sous la forme A = M − N où M est une matrice facilement inversible
(diagonale, tridiagonale,...) et N est une matrice quelconque obtenue à partir de A.
Nous avons Ax = b ⇐⇒ (M − N)x = b ⇒ Mx = Nx + b.
Sous cette forme, nous cherchons à approcher la solution du problème par l’algorithme
itérative suivant :
x0 ∈ Rn donnée
Mxk+1
=
Nxk + b,
pour
tout
entier
k≥0
Convergence des méthodes itératives
NB : A chaque itération, nous devons résoudre un système linéaire de matrice M
pour chaque xk+1 en fonction de xk .
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Méthode itérative
Concept
Une méthode itérative consiste à faire converger des suites construites à partir de la
matrice A vers la solution exacte du système. Le principe consiste à décomposer A
inversible sous la forme A = M − N où M est une matrice facilement inversible
(diagonale, tridiagonale,...) et N est une matrice quelconque obtenue à partir de A.
Nous avons Ax = b ⇐⇒ (M − N)x = b ⇒ Mx = Nx + b.
Sous cette forme, nous cherchons à approcher la solution du problème par l’algorithme
itérative suivant :
x0 ∈ Rn donnée
Mxk+1
=
Nxk + b,
pour
tout
entier
k≥0
Convergence des méthodes itératives
NB : A chaque itération, nous devons résoudre un système linéaire de matrice M
pour chaque xk+1 en fonction de xk .
Cette méthode, si elle converge, approche bien la solution de Ax = b.
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Méthode itérative
Concept
Une méthode itérative consiste à faire converger des suites construites à partir de la
matrice A vers la solution exacte du système. Le principe consiste à décomposer A
inversible sous la forme A = M − N où M est une matrice facilement inversible
(diagonale, tridiagonale,...) et N est une matrice quelconque obtenue à partir de A.
Nous avons Ax = b ⇐⇒ (M − N)x = b ⇒ Mx = Nx + b.
Sous cette forme, nous cherchons à approcher la solution du problème par l’algorithme
itérative suivant :
x0 ∈ Rn donnée
Mxk+1
=
Nxk + b,
pour
tout
entier
k≥0
Convergence des méthodes itératives
NB : A chaque itération, nous devons résoudre un système linéaire de matrice M
pour chaque xk+1 en fonction de xk .
Cette méthode, si elle converge, approche bien la solution de Ax = b.
Critère de convergence : pour l’étude de la convergence des suites de matrices, il
est important de donner quelques résultats utiles qui nous serviront d’outils pour la
suite.
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Méthode itérative
Rayon spectral
Soit A ∈ Mn (R).
La rayon spectral de la matrice A est le nombre réel positif définit par :
ρ(A) = max | λi (A) |, 1 ≤ i ≤ n,
où λ ∈ Sp(A) qui est l’ensemble des valeurs propres de la matrice A
Théorème
Soit A ∈ Mn (R) une matrice inversible. La méthode itérative avec la décomposition
A = M − N, où M est inversible, converge si et seulement si le rayon spectral
ρ(M −1 N) < 1
avec ρ(M −1 N) = max | λi (M −1 N) |, 1 ≤ i ≤ n, où λi ∈ Sp(M −1 N).
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30 /
104
Méthode itérative
Rayon spectral
Soit A ∈ Mn (R).
La rayon spectral de la matrice A est le nombre réel positif définit par :
ρ(A) = max | λi (A) |, 1 ≤ i ≤ n,
où λ ∈ Sp(A) qui est l’ensemble des valeurs propres de la matrice A
Théorème
Soit A ∈ Mn (R) une matrice inversible. La méthode itérative avec la décomposition
A = M − N, où M est inversible, converge si et seulement si le rayon spectral
ρ(M −1 N) < 1
avec ρ(M −1 N) = max | λi (M −1 N) |, 1 ≤ i ≤ n, où λi ∈ Sp(M −1 N).
Tout le problème consiste dès lors à bien choisir la décomposition M − N.
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30 /
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Méthode itérative
Rayon spectral
Soit A ∈ Mn (R).
La rayon spectral de la matrice A est le nombre réel positif définit par :
ρ(A) = max | λi (A) |, 1 ≤ i ≤ n,
où λ ∈ Sp(A) qui est l’ensemble des valeurs propres de la matrice A
Théorème
Soit A ∈ Mn (R) une matrice inversible. La méthode itérative avec la décomposition
A = M − N, où M est inversible, converge si et seulement si le rayon spectral
ρ(M −1 N) < 1
avec ρ(M −1 N) = max | λi (M −1 N) |, 1 ≤ i ≤ n, où λi ∈ Sp(M −1 N).
Tout le problème consiste dès lors à bien choisir la décomposition M − N.
Les trois décompositions proposés ci-dessous sont les méthodes itératives les plus
employées.
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Méthode itérative : Choix de M et N
De façon générale, A = D − E − F où D est la matrice diagonale de
A c’est à dire D = diag(a11 , a22 , ..., ann ) ; E et F sont les matrices
triangulaires respectivement strictement inférieure et supérieure de A
définies par :
Période : 02 Mai-23 Juillet 2022
Dr. M Salif DIALLO (2022)
Cours L3 - M1
31 /
104
Méthode itérative : Choix de M et N
De façon générale, A = D − E − F où D est la matrice diagonale de
A c’est à dire D = diag(a11 , a22 , ..., ann ) ; E et F sont les matrices
triangulaires respectivement strictement inférieure et supérieure de A
définies par :
(
(E )ij =
−aij si i > j
0 sinon
Période : 02 Mai-23 Juillet 2022
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Cours L3 - M1
31 /
104
Méthode itérative : Choix de M et N
De façon générale, A = D − E − F où D est la matrice diagonale de
A c’est à dire D = diag(a11 , a22 , ..., ann ) ; E et F sont les matrices
triangulaires respectivement strictement inférieure et supérieure de A
définies par :
(
−aij si i > j
0 sinon
(
−aij si i < j
0 sinon
(E )ij =
(F )ij =
Période : 02 Mai-23 Juillet 2022
Dr. M Salif DIALLO (2022)
Cours L3 - M1
31 /
104
Méthode itérative : Choix de M et N
De façon générale, A = D − E − F où D est la matrice diagonale de
A c’est à dire D = diag(a11 , a22 , ..., ann ) ; E et F sont les matrices
triangulaires respectivement strictement inférieure et supérieure de A
définies par :
(
−aij si i > j
0 sinon
(
−aij si i < j
0 sinon
(E )ij =
(F )ij =
Les deux algorithmes itératives proposés dans ce cours sont : Jacobi
et Gauss-Seidel
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Cours L3 - M1
31 /
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Méthode itérative
Jacobi
Dans cette méthode, nous prenons M = D et N = E + F et la matrice de Jacobi
s’exprime par J = M −1 N en fonction de D, E et F .
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Cours L3 - M1
32 /
104
Méthode itérative
Jacobi
Dans cette méthode, nous prenons M = D et N = E + F et la matrice de Jacobi
s’exprime par J = M −1 N en fonction de D, E et F .
L’algorithme
de cette méthode est donné alors par :
x0 ∈ Rn donnée
Dxk+1
= (E + F )xk + b, pour tout
entier
k≥0
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104
Méthode itérative
Jacobi
Dans cette méthode, nous prenons M = D et N = E + F et la matrice de Jacobi
s’exprime par J = M −1 N en fonction de D, E et F .
L’algorithme
de cette méthode est donné alors par :
x0 ∈ Rn donnée
Dxk+1
= (E + F )xk + b, pour tout
entier
k≥0
Et pour la convergence, nous montrons juste que ρ(J) < 1
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104
Méthode itérative
Jacobi
Dans cette méthode, nous prenons M = D et N = E + F et la matrice de Jacobi
s’exprime par J = M −1 N en fonction de D, E et F .
L’algorithme
de cette méthode est donné alors par :
x0 ∈ Rn donnée
Dxk+1
= (E + F )xk + b, pour tout
entier
k≥0
Et pour la convergence, nous montrons juste que ρ(J) < 1
Gauss-Seidel
Dans cette méthode, nous prenons M = D − E et N = F et la matrice de
Gauss-Seidel s’exprime par Gs = M −1 N en fonction de D, E et F .
L’algorithme de Gauss-Seidel est donné alors par :
n
x0 ∈ R donnée
(D − E )xk+1
=
Fxk + b,
pour
tout
entier
k≥0
Et pour la convergence, nous montrons juste que ρ(Gs) = ρ((D − E )−1 F ) < 1
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104
Méthode itérative
Proposition
Si la matrice A est à diagonale dominante stricte, la méthode de Jacobi
converge.
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Méthode itérative
Proposition
Si la matrice A est à diagonale dominante stricte, la méthode de Jacobi
converge.
Proposition
Si la matrice A est à diagonale dominante stricte ou si elle est symétrique
et définie positive, la méthode de Gauss-Seidel converge.
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Méthode itérative
Proposition
Si la matrice A est à diagonale dominante stricte, la méthode de Jacobi
converge.
Proposition
Si la matrice A est à diagonale dominante stricte ou si elle est symétrique
et définie positive, la méthode de Gauss-Seidel converge.
Proposition
Soit A une matrice tridiagonale de taille n × n inversible dont les
coefficients diagonaux sont tous non nuls. Alors les méthodes de Jacobi et
de Gauss-Seidel sont soit toutes les deux convergentes soit toutes les deux
divergentes. En cas de convergence, la méthode de Gauss-Seidel est plus
rapide que celle de Jacobi.
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Exercice
On considère la matrice B carrée d’ordre 3 et le système Ax = b
B=
4
−1
0
−1
4
−1
0
−1
4
!
où A =
1
0
−1
0.5
2
1
0
1
1
!
et b =
2
5
2
!
.
1
Étudier la convergence des méthodes de Jacobi et de Gauss-Seidel pour la matrice
B en calculant le rayon spectral de la matrice d’itération.
2
Vérifier que ρ(BGS ) = ρ(BJ )2 , où BGS et BJ sont respectivement les matrices
d’itération associées à la méthode de Gauss-Seidel et de Jacobi. Quelle méthode
converge plus vite ?
3
Écrire deux programmes qui permettent de résoudre Ax = b à l’aide des méthodes
itératives de Jacobi et de Gauss-Seidel en se basant sur l’algorithme et le
programme qu’on a faits dans le cours.
On donne le vecteur initial x (0) = 0, le nombre maximum d’itérations nmax = 104
et la tolérance pour avoir la convergence est tol = 10−5 .
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Sommaire
1
Introduction
2
Résolution numérique des systèmes linéaires
3
Résolution numérique d’équations non-linéaires
4
Interpolation
5
Approximation numérique des intégrales : formules de quadrature
interpolatoires
6
Résolution numérique des équations différentielles
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Position du problème
Un des problèmes classiques en mathématiques appliquées est celui de la
recherche des valeurs pour lesquelles une fonction donnée s’annule. Dans
certains cas bien particuliers, comme pour les fonctions
x 7→ x + 1, x 7→ cos(2x ) ou encore x 7→ x 2 − 2x + 1, le problème est
simple car il existe pour ces fonctions des formules qui donnent les zéros
explicitement. Toutefois, pour la plupart des fonctions f : R → R il n’est
pas possible de résoudre l’équation f (x ) = 0 explicitement et il faut
recourir à des méthodes numériques.
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104
Position du problème
Un des problèmes classiques en mathématiques appliquées est celui de la
recherche des valeurs pour lesquelles une fonction donnée s’annule. Dans
certains cas bien particuliers, comme pour les fonctions
x 7→ x + 1, x 7→ cos(2x ) ou encore x 7→ x 2 − 2x + 1, le problème est
simple car il existe pour ces fonctions des formules qui donnent les zéros
explicitement. Toutefois, pour la plupart des fonctions f : R → R il n’est
pas possible de résoudre l’équation f (x ) = 0 explicitement et il faut
recourir à des méthodes numériques.
Soit f : R → R une fonction continue donnée dont on veut évaluer numériquement un
ou plusieurs zéros x̂ . Les méthodes numériques pour approcher x̂ consistent à :
localiser grossièrement le (ou les) zéro(s) de f en procédant à l’étude du graphe de
f ; on note x0 cette solution grossière ;
construire, à partir de x0 , une suite x1 , x2 , x3 , . . . telle que limk→∞ xk = b
x où
f (b
x ) = 0. On dit alors que la méthode est convergente.
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Localisation des racines d’une fonction
Théorème : des valeurs intermédiaures
Soit f une fonction continue sur un intervalle I = [a; b] de R. Alors f atteint toutes les
valeurs intermédiaires entre f (a) et f (b). Autrement dit :
? si f (a) ≤ f (b) alors pour tout d ∈ [f (a), f (b)] il existe c ∈ [a; b] tel que f (c) = d ;
? si f (a) ≥ f (b) alors pour tout d ∈ [f (b), f (a)] il existe c ∈ [a; b] tel que f (c) = d.
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Localisation des racines d’une fonction
Théorème : des valeurs intermédiaures
Soit f une fonction continue sur un intervalle I = [a; b] de R. Alors f atteint toutes les
valeurs intermédiaires entre f (a) et f (b). Autrement dit :
? si f (a) ≤ f (b) alors pour tout d ∈ [f (a), f (b)] il existe c ∈ [a; b] tel que f (c) = d ;
? si f (a) ≥ f (b) alors pour tout d ∈ [f (b), f (a)] il existe c ∈ [a; b] tel que f (c) = d.
Conséquence
Soit une fonction continue f : [a, b] → R. Si f (a) · f (b) < 0, alors il existe (au moins un)
x̄ ∈]a, b[ tel que f (x̄ ) = 0.
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Localisation des racines d’une fonction
Théorème : des valeurs intermédiaures
Soit f une fonction continue sur un intervalle I = [a; b] de R. Alors f atteint toutes les
valeurs intermédiaires entre f (a) et f (b). Autrement dit :
? si f (a) ≤ f (b) alors pour tout d ∈ [f (a), f (b)] il existe c ∈ [a; b] tel que f (c) = d ;
? si f (a) ≥ f (b) alors pour tout d ∈ [f (b), f (a)] il existe c ∈ [a; b] tel que f (c) = d.
Conséquence
Soit une fonction continue f : [a, b] → R. Si f (a) · f (b) < 0, alors il existe (au moins un)
x̄ ∈]a, b[ tel que f (x̄ ) = 0.
Ce théorème garantit juste l’existence d’un zéro. Pour l’unicité on essayera
d’appliquer le théorème de la bijection dont l’énoncé est rappelé ci-dessous.
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Localisation des racines d’une fonction
Théorème : des valeurs intermédiaures
Soit f une fonction continue sur un intervalle I = [a; b] de R. Alors f atteint toutes les
valeurs intermédiaires entre f (a) et f (b). Autrement dit :
? si f (a) ≤ f (b) alors pour tout d ∈ [f (a), f (b)] il existe c ∈ [a; b] tel que f (c) = d ;
? si f (a) ≥ f (b) alors pour tout d ∈ [f (b), f (a)] il existe c ∈ [a; b] tel que f (c) = d.
Conséquence
Soit une fonction continue f : [a, b] → R. Si f (a) · f (b) < 0, alors il existe (au moins un)
x̄ ∈]a, b[ tel que f (x̄ ) = 0.
Ce théorème garantit juste l’existence d’un zéro. Pour l’unicité on essayera
d’appliquer le théorème de la bijection dont l’énoncé est rappelé ci-dessous.
Théorème : Bijection
Soit f une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle I de R, alors f
induit une bijection de I dans f (I). De plus, sa bijection réciproque est continue sur I,
monotone sur I et de même sens de variation que f .
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Méthode de dichotomie et de Lagrange
Soit deux points a0 et b0 (avec a0 < b0 ) d’images par f de signe contraire ( i.e.
f (a0 ) · f (b0 ) < 0). En partant de I0 = [a0 , b0 ], les méthodes de dichotomie et de
Lagrange produisent une suite de sous-intervalles Ik = [ak , bk ] , k ≥ 0, avec Ik ⊂ Ik−1
pour k ≥ 1 et tels que f (ak ) · f (bk ) < 0.
-Dans la méthode de dichotomie, on découpe l’intervalle [ak ; bk ] en deux intervalles de
même longueur, i.e. on divise [ak ; bk ] en [ak ; ck ] et [ck ; bk ] où ck est
ck =
ak + bk
.
2
-Dans la méthode de Lagrange, plutôt que de diviser l’intervalle [ak ; bk ] en deux
intervalles de même longueur, on découpe [ak ; bk ] en [ak ; ck ] et [ck ; bk ] où ck est
l’abscisse du point d’intersection de la droite passant par (ak , f (ak )) et (bk , f (bk )) et
l’axe des abscisses, autrement dit ck est solution de l’équation
f (bk ) − f (ak )
(c − bk ) + f (bk ) = 0
b k − ak
qui est
ck = b k −
ak f (bk ) − bk f (ak )
bk − ak
f (bk ) =
.
f (bk ) − f (ak )
f (bk ) − f (ak )
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104
Méthode de dichotomie et de Lagrange
Données : a, b > a, ε, f : [a, b] → R
k←0
ak ← a
bk ← b
while |bk − ak | > do
xk ← g (ak , bk ) avec
g (ak , bk ) =
ak f (bk ) − bk f (ak )
ak + bk
ou g (ak , bk ) =
f (bk ) − f (ak )
2
k ←k +1
if f (ak )f (bk ) < 0 then
ak+1 ← ak
bk+1 ← xk
else
ak+1 ← xk
bk+1 ← bk
end if
end while
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104
Méthode de point fixe
Définition
Supposons que x̄ ∈ R soit un point fixe de ϕ. La méthode de point fixe consiste en la
construction d’une suite (xk )k∈N définie par récurrence comme suit :
x0
xk+1 = ϕ (xk )
donné,
∀k ∈ N.
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104
Méthode de point fixe
Définition
Supposons que x̄ ∈ R soit un point fixe de ϕ. La méthode de point fixe consiste en la
construction d’une suite (xk )k∈N définie par récurrence comme suit :
x0
xk+1 = ϕ (xk )
donné,
∀k ∈ N.
Naturellement une telle suite n’est pas forcement convergente. Par contre, si elle
converge, c’est-à-dire si la suite xk a une limite que nous notons `, et si ϕ est continue,
alors cette limite est nécessairement un point fixe de ϕ puisque
` = lim xk+1 = lim ϕ (xk ) = ϕ
k→∞
k→∞
lim xk
= ϕ(`).
k→∞
On utilise alors l’algorithme itératif suivant pour construire la suite (comme l’ordinateur
ne peux pas construire une infinité de termes, on calcul les premiers termes de la suite et
on s’arrête dès que la différence entre deux éléments de la suite est inférieure à une
tolérance ε > 0 donnée) :
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Méthode de point fixe
Données : x0 , ε, ϕ : [a, b] → R
k←0
x1 ← x0 + 2ε
while |xk+1 − xk | > ε do
xk+1 ← ϕ (xk )
k ←k +1
end while
Période : 02 Mai-23 Juillet 2022
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Méthode de point fixe
Données : x0 , ε, ϕ : [a, b] → R
k←0
x1 ← x0 + 2ε
while |xk+1 − xk | > ε do
xk+1 ← ϕ (xk )
k ←k +1
end while
Théorème : Convergence de la méthode
Considérons une fonction ϕ : [a; b] → R. On se donne x0 ∈ [a; b] et on considère la suite
xk+1 = ϕ (xk ) pour k ≥ 0. Si les deux conditions suivantes sont satisfaites :
1
condition de stabilité : ϕ(x ) ∈ [a, b] pour tout x ∈ [a, b]
2
condition de contraction stricte : il existe K ∈ [0; 1[ tel que
|ϕ(x ) − ϕ(y )| ≤ K |x − y | pour tout x , y ∈ [a, b] alors
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104
Méthode de point fixe
Données : x0 , ε, ϕ : [a, b] → R
k←0
x1 ← x0 + 2ε
while |xk+1 − xk | > ε do
xk+1 ← ϕ (xk )
k ←k +1
end while
Théorème : Convergence de la méthode
Considérons une fonction ϕ : [a; b] → R. On se donne x0 ∈ [a; b] et on considère la suite
xk+1 = ϕ (xk ) pour k ≥ 0. Si les deux conditions suivantes sont satisfaites :
1
condition de stabilité : ϕ(x ) ∈ [a, b] pour tout x ∈ [a, b]
2
condition de contraction stricte : il existe K ∈ [0; 1[ tel que
|ϕ(x ) − ϕ(y )| ≤ K |x − y | pour tout x , y ∈ [a, b] alors
ϕ est continue,
ϕ a un et un seul point fixe x̄ dans [a, b],
la suite xk+1 = ϕ (xk ) converge vers x̄ pour tout choix de x0 dans [a, b].
Période : 02 Mai-23 Juillet 2022
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104
Il est important de disposer d’un critère pratique assurant qu’une fonction ϕ est
contractante stricte. Pour cela, rappelons quelques définitions.
Période : 02 Mai-23 Juillet 2022
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104
Il est important de disposer d’un critère pratique assurant qu’une fonction ϕ est
contractante stricte. Pour cela, rappelons quelques définitions.
Théorème : Critère Pratique pour verifier la contraction
Si ϕ : [a; b] → [a; b] est de classe C 1 ([a, b]) et si |ϕ0 (x )| < 1 pour tout x ∈ [a, b], alors
la condition de contraction stricte est satisfaite avec K = max[a;b] |ϕ0 (x )|.
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104
Il est important de disposer d’un critère pratique assurant qu’une fonction ϕ est
contractante stricte. Pour cela, rappelons quelques définitions.
Théorème : Critère Pratique pour verifier la contraction
Si ϕ : [a; b] → [a; b] est de classe C 1 ([a, b]) et si |ϕ0 (x )| < 1 pour tout x ∈ [a, b], alors
la condition de contraction stricte est satisfaite avec K = max[a;b] |ϕ0 (x )|.
Théorème : Nature du point fixe
Soit [a; b] ∈ R et ϕ : [a; b] → [a; b] une application de classe C 1 ([a; b]). Soit x̄ ∈ [a; b]
un point fixe de ϕ. On peut distinguer trois cas :
1
Si |ϕ0 (b
x )| < 1, alors on dit que x̂ est un point fixe attractif.
2
Si |ϕ0 (x̂ )| > 1, alors on dit que x̂ est un point fixe répulsif.
3
Si |ϕ0 (b
x )| = 1 on ne peut en général tirer aucune conclusion : selon le problème
considéré, il peut y avoir convergence ou divergence.
Période : 02 Mai-23 Juillet 2022
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Cours L3 - M1
42 /
104
Il est important de disposer d’un critère pratique assurant qu’une fonction ϕ est
contractante stricte. Pour cela, rappelons quelques définitions.
Théorème : Critère Pratique pour verifier la contraction
Si ϕ : [a; b] → [a; b] est de classe C 1 ([a, b]) et si |ϕ0 (x )| < 1 pour tout x ∈ [a, b], alors
la condition de contraction stricte est satisfaite avec K = max[a;b] |ϕ0 (x )|.
Théorème : Nature du point fixe
Soit [a; b] ∈ R et ϕ : [a; b] → [a; b] une application de classe C 1 ([a; b]). Soit x̄ ∈ [a; b]
un point fixe de ϕ. On peut distinguer trois cas :
1
Si |ϕ0 (b
x )| < 1, alors on dit que x̂ est un point fixe attractif.
2
Si |ϕ0 (x̂ )| > 1, alors on dit que x̂ est un point fixe répulsif.
3
Si |ϕ0 (b
x )| = 1 on ne peut en général tirer aucune conclusion : selon le problème
considéré, il peut y avoir convergence ou divergence.
Soit x̄ un point fixe d’une fonction ϕ ∈ C p pour un entier p ≥ 1 dans un intervalle [a; b]
contenant x̄ . Si ϕ(i) (x̄ ) = 0 pour 1 ≤ i ≤ p − 1 et ϕ(p) (x̄ ) 6= 0, alors la méthode de
point fixe est d’ordre p et
lim
k→+∞
Dr. M Salif DIALLO (2022)
xk+1 − x̂
p+1
(xk − b
x)
=
Cours L3 - M1
ϕ(p+1) (b
x)
.
(p + 1)!
Période : 02 Mai-23 Juillet 2022
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104
Méthode de Newton
Soit f : R → R une fonction continument dérivable. Supposons que l’on connaisse une
valeur xk proche de x̄ . Pour calculer xk+1 on prend l’intersection de l’axe des abscisses
avec la droite tangente au graphe de f passant par le point (xk , f (xk )), i.e. on cherche x
solution du système linéaire
y = f 0 (xk ) (x − xk ) + f (xk )
y =0
On obtient
x = xk −
f (xk )
f 0 (xk )
ce qui correspond à la méthode de Newton.
Période : 02 Mai-23 Juillet 2022
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Cours L3 - M1
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104
Sommaire
1
Introduction
2
Résolution numérique des systèmes linéaires
3
Résolution numérique d’équations non-linéaires
4
Interpolation
5
Approximation numérique des intégrales : formules de quadrature
interpolatoires
6
Résolution numérique des équations différentielles
Période : 02 Mai-23 Juillet 2022
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Cours L3 - M1
44 /
104
Concept
Étant donné n + 1 points {(xi , yi )}ni=0 , trouver une fonction f : x 7→ f (x )
telle que f (xi ) = yi .
Période : 02 Mai-23 Juillet 2022
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Cours L3 - M1
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104
Concept
Étant donné n + 1 points {(xi , yi )}ni=0 , trouver une fonction f : x 7→ f (x )
telle que f (xi ) = yi .
Objectif
Approcher une fonction f consiste à la remplacer par une autre fonction ϕ
dont la forme est plus simple et dont on peut se servir à la place de f . On
verra dans le prochain chapitre qu’on utilise fréquemment
cette stratégie
Rb
en intégration numérique quand, au lieu de calculer a f (x )dx on calcule
R
de manière exacte ab ϕ(x )dx , où ϕ est une fonction simple à intégrer.
Dans d’autres contextes, la fonction f peut n’être connue que par les
valeurs qu’elle prend en quelques points particuliers. Dans ce cas, on
cherche à construire une fonction continue ϕ représentant une loi
empirique qui se cacherait derrière les données.
Période : 02 Mai-23 Juillet 2022
Dr. M Salif DIALLO (2022)
Cours L3 - M1
45 /
104
Interpolation polynomiale
Définition
Étant donné m + 1 points distincts x0 , . . . , xm et m + 1 valeurs
correspondantes y0 , . . . , ym , il existe un unique polynôme Pm ∈ Rm [x ] tel
que Pm (xi ) = yi , pour i = 0, . . . m.
Période : 02 Mai-23 Juillet 2022
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Cours L3 - M1
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104
Interpolation polynomiale
Définition
Étant donné m + 1 points distincts x0 , . . . , xm et m + 1 valeurs
correspondantes y0 , . . . , ym , il existe un unique polynôme Pm ∈ Rm [x ] tel
que Pm (xi ) = yi , pour i = 0, . . . m.
Méthode directe ("Naïve")
Une manière apparemment simple de résoudre ce problème est d’écrire le polynôme dans
la base canonique de Rm [x ] :
Pm (x ) = a0 + a1 x + a2 x 2 + · · · + am x m ,
où a0 , a1 , a2 , . . . , am sont des coefficients qui devront être déterminés. Les (m + 1)
relations s’écrivent alors

a + a1 x0 + . . . an x0m = y0

 0
m
a0 + a1 x1 + . . . an x1 = y1

 ...
an + a1 xm + . . . am xmm = ym
Période : 02 Mai-23 Juillet 2022
Dr. M Salif DIALLO (2022)
Cours L3 - M1
46 /
104
Interpolation polynomiale : Méthode de Lagrange
Définition
Étant donné m + 1 points distincts x0 , . . . , xm et m + 1 valeurs correspondantes
y0 , . . . , ym , il existe un unique polynôme Pm ∈ Rm [x ] tel que Pm (xi ) = yi , pour
i = 0, . . . m qu’on peut écrire sous la forme
Pm (x ) =
m
X
yi Li (x ) ∈ Rm [x ]
où
Li (x ) =
m
Y
x − xj
j=0
j6=i
i=0
xi − xj
.
Cette relation est appelée formule d’interpolation de Lagrange et les polynômes Li sont
les polynômes caractéristiques (de Lagrange).
Période : 02 Mai-23 Juillet 2022
Dr. M Salif DIALLO (2022)
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104
Interpolation polynomiale : Méthode de Lagrange
Définition
Étant donné m + 1 points distincts x0 , . . . , xm et m + 1 valeurs correspondantes
y0 , . . . , ym , il existe un unique polynôme Pm ∈ Rm [x ] tel que Pm (xi ) = yi , pour
i = 0, . . . m qu’on peut écrire sous la forme
Pm (x ) =
m
X
yi Li (x ) ∈ Rm [x ]
où
Li (x ) =
m
Y
x − xj
j=0
j6=i
i=0
xi − xj
.
Cette relation est appelée formule d’interpolation de Lagrange et les polynômes Li sont
les polynômes caractéristiques (de Lagrange).
Exemple
Pour m = 2 le polynôme de LAGRANGE s’écrit
P(x ) = y0
(x − x1 ) (x − x2 )
(x − x0 ) (x − x2 )
(x − x0 ) (x − x1 )
+ y1
+ y2
(x0 − x1 ) (x0 − x2 )
(x1 − x0 ) (x1 − x2 )
(x2 − x0 ) (x2 − x1 )
Période : 02 Mai-23 Juillet 2022
Dr. M Salif DIALLO (2022)
Cours L3 - M1
47 /
104
Interpolation polynomiale : Méthode de Lagrange
Soit f : R → R une fonction continue donnée et soit x0 , x1 , x2 , . . . , xm , (m + 1) points
distincts donnés. Interpoler la fonction f aux points xi , 0 ≤ i ≤ m signifie chercher un
polynôme Pm de degré m tel que
Pm (xi ) = f (xi )
pour 0 ≤ i ≤ m
La solution de ce problème est donc donnée par
Pm (x ) =
m
X
f (xi ) Li (x ) ∈ Rm [x ]
où
Li (x ) =
m
Y
x − xj
j=0
j6=i
i=0
xi − xj
.
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Interpolation polynomiale : Méthode de Lagrange
Soit f : R → R une fonction continue donnée et soit x0 , x1 , x2 , . . . , xm , (m + 1) points
distincts donnés. Interpoler la fonction f aux points xi , 0 ≤ i ≤ m signifie chercher un
polynôme Pm de degré m tel que
Pm (xi ) = f (xi )
pour 0 ≤ i ≤ m
La solution de ce problème est donc donnée par
Pm (x ) =
m
X
f (xi ) Li (x ) ∈ Rm [x ]
où
Li (x ) =
m
Y
x − xj
j=0
j6=i
i=0
xi − xj
.
Soit f : R → R la fonction définie par f (x ) = e x . On cherche l’interpolant de f aux
points −1, 0, 1. On a
(x − x1 ) (x − x2 )
(x − x0 ) (x − x2 )
(x − x0 ) (x − x1 )
+ f (x1 )
+ f (x2 )
(x0 − x1 ) (x0 − x2 )
(x1 − x0 ) (x1 − x2 )
(x2 − x0 ) (x2 − x1 )
(x + 1)(x − 1)
(x + 1)x
1 x (x − 1)
1
e
e
1
=
+
+e
=
−1−
x2 +
−
x +1
e
2
−1
2
2e
2
2
2e
P(x ) = f (x0 )
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Interpolation polynomiale : Méthode de Lagrange
Erreur
Si yi = f (xi ) pour i = 0, 1, . . . , n, f : I → R étant une fonction donnée de
classe C n+1 (I) où I est le plus petit intervalle contenant les noeuds
distincts {xi }ni=0 , alors il existe ξ ∈ I tel que l’erreur d’interpolation au
point x ∈ I est donnée par
En (x ) ≡ f (x ) − Pn (x ) =
où ωn+1 (x ) ≡
Qm
i=0 (x
f (n+1) (ξ)
ωn+1 (x )
(n + 1)!
− xj )
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Interpolation polynomiale : Méthode de Lagrange
Erreur
Si yi = f (xi ) pour i = 0, 1, . . . , n, f : I → R étant une fonction donnée de
classe C n+1 (I) où I est le plus petit intervalle contenant les noeuds
distincts {xi }ni=0 , alors il existe ξ ∈ I tel que l’erreur d’interpolation au
point x ∈ I est donnée par
En (x ) ≡ f (x ) − Pn (x ) =
où ωn+1 (x ) ≡
Qm
i=0 (x
f (n+1) (ξ)
ωn+1 (x )
(n + 1)!
− xj )
Attention(À faire en TP)
Malheureusement, on ne peut pas déduire de cette relation que l’erreur tend vers 0
quand n tend vers l’infini, bien que hn+1 /[4(n + 1)] tend effectivement vers 0 . En fait, il
existe des fonctions f pour lesquelles maxx ∈I |En (x )| −→ +∞. Ce résultat frappant
n→+∞
indique qu’en augmentant le degré n du polynôme d’interpolation, on n’obtient pas
nécessairement une meilleure reconstruction de f .
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Interpolation polynomiale : Méthode de Newton
Problématique de la méthode de Lagrange
La méthode de Lagrange n’est pas la plus efficace d’un point de vue
pratique. En effet, pour calculer le polynôme d’interpolation d’un ensemble
de n + 1 points on doit calculer les n + 1 polynômes {L0 , L1 , L2 , . . . , Ln }.
Si ensuite on
on doit calculer les n + 2
n ajoute un point d’interpolation,
o
polynômes L̃0 , L̃1 , L̃2 , . . . , L̃n+1 qui diffèrent tous des n + 1 calculés
précédemment. La méthode de Newton est basée sur le choix d’une autre
base de sort à ce que l’ajout d’un point comporte juste l’ajout d’une
fonction de base.
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Interpolation polynomiale : Méthode de Newton
Considérons la famille de polynômes {ω0 , ω1 , ω2 , . . . , ωn } où
ω0 (x ) = 1
ωk (x ) =
k−1
Y
(x − xi ) = (x − xk−1 ) ωk−1 (x ),
∀k = 1, . . . , n.
i=0
Il est facile de vérifier que
ωk (x ) ∈ Rn [x ],
la famille {ω0 , ω1 , ω2 , . . . , ωn } est génératrice de Rn [x ]
la famille {ω0 , ω1 , ω2 , . . . , ωn } est libre.
Par conséquent, la famille {ω0 , ω1 , ω2 , . . . , ωn } forme une base de Rn [x ]. Si on choisit
comme base de Rn [x ] la famille {ω0 , ω1 , ω2 , . . . , ωn }, le problème du calcul du polynôme
d’interpolation pn est alors ramené au calcul des coefficients {α0 , α1 , α2 , . . . , αn } tels que
pn (x ) =
n
X
αi ωi (x )
i=0
Si on a calculé les n + 1 coefficients {α0 , α1 , α2 , . . . , αn } et on ajoute un point
d’interpolation, il n’y a plus a calculer que le coefficient αn+1 car la nouvelle base est
déduite de l’autre base en ajoutant simplement le polynôme ωn+1 .
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Interpolation polynomiale : Méthode de Newton
Définition : Différences divisées
Soit {(xi , yi )}ni=0 un ensemble de n + 1 points distincts. ? La différence divisée d’ordre 1
de xi−1 et xi est
yi − yi−1
f [xi−1 , xi ] ≡
xi − xi−1
d’ordre n − 1 comme suit :
f [x0 , . . . , xn ] ≡
f [x1 , . . . , xn ] − f [x0 , . . . , xn−1 ]
xn − x0
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Interpolation polynomiale : Méthode de Newton
Formule de Newton
Soit {(xi , yi )}ni=0 un ensemble de n + 1 points distincts. Le polynôme
d’interpolation de pn sous la forme de Newton est donné par
pn (x ) =
n
X
ωi (x )f [x0 , . . . , xi ]
i=0
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Interpolation polynomiale : Méthode de Newton
Formule de Newton
Soit {(xi , yi )}ni=0 un ensemble de n + 1 points distincts. Le polynôme
d’interpolation de pn sous la forme de Newton est donné par
pn (x ) =
n
X
ωi (x )f [x0 , . . . , xi ]
i=0
Exemple
On veut calculer le polynôme d’interpolation de de la fonction
f (x ) = sin(x ) en les 3 points xi = π2 i avec i = 0, . . . , 2. On cherche donc
p2 ∈ R2 [x ] tel que p2 (xi ) = sin (xi ) pour i = 0, . . . , 2.
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Méthode de Newton : Exemple
On commence par construire le tableau des différences divisées :
i
0
1
2
xi
0
π
2
π
yi
0
1
0
f [xi−1 , xi ]
f [xi−2 , xi−1 , xi ]
2
π
− π2
− π42
On a alors
p2 (x ) =
2
X
ωi (x )f [x0 , . . . , xi ]
i=0
= ω0 (x )f [x0 ] + ω1 (x )f [x0 , x1 ] + ω2 (x )f [x0 , x1 , x2 ]
2
4
= ω1 (x ) − 2 ω2 (x )
π
π
4
π
2
= x − 2x x −
π
π
2
4
= − 2 x (x − π).
π
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Application : Étude de la vitesse d’un véhicule
Soit les valeurs expérimentales suivantes, que l’on a obtenues en mesurant
la vitesse (en km/h) d’un véhicule toutes les 5 secondes :
t( s)
v ( km/h)
0
55
5
60
10
58
15
54
20
55
25
60
30
54
35
57
40
52
45
49
On constate que le véhicule se déplace à une vitesse oscillant autour de
55 km/h. On peut établir l’équation d’un polynôme de degré 9 passant
par ces dix points. On remarque de fortes oscillations de ce polynôme.
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Application : Étude de la vitesse d’un véhicule
Figure – Interpolation de Lagrange de la vitesse d’un véhicule
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Application : Étude de la vitesse d’un véhicule
Figure – Interpolation de Newton de la vitesse d’un véhicule
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Application : Étude de la vitesse d’un véhicule
Figure – Comparaison entre les deux méthodes d’interpolations
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Régression au sens des moindres carrés
Position du problème
Lorsqu’un expérimentateur met au point une expérience (parce qu’il a
quelques raisons de croire que les grandeurs mesurées exemple :
tension, intensité sont reliées par la résistance...),
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Régression au sens des moindres carrés
Position du problème
Lorsqu’un expérimentateur met au point une expérience (parce qu’il a
quelques raisons de croire que les grandeurs mesurées exemple :
tension, intensité sont reliées par la résistance...),
il récolte des données sous la forme de couples. Cependant, ces
données sont entachées d’erreurs et la meilleur façon de les approcher
est de faire l’extrapolation d’information à partir des outils
disponibles,
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Régression au sens des moindres carrés
Position du problème
Lorsqu’un expérimentateur met au point une expérience (parce qu’il a
quelques raisons de croire que les grandeurs mesurées exemple :
tension, intensité sont reliées par la résistance...),
il récolte des données sous la forme de couples. Cependant, ces
données sont entachées d’erreurs et la meilleur façon de les approcher
est de faire l’extrapolation d’information à partir des outils
disponibles,
l’analyse statistique de ces mesures induit une étude plus approfondie
pour ces données, une prévision est possible si on en fait une
modélisation,
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Régression au sens des moindres carrés
Position du problème
Lorsqu’un expérimentateur met au point une expérience (parce qu’il a
quelques raisons de croire que les grandeurs mesurées exemple :
tension, intensité sont reliées par la résistance...),
il récolte des données sous la forme de couples. Cependant, ces
données sont entachées d’erreurs et la meilleur façon de les approcher
est de faire l’extrapolation d’information à partir des outils
disponibles,
l’analyse statistique de ces mesures induit une étude plus approfondie
pour ces données, une prévision est possible si on en fait une
modélisation,
les modèles qui reflètent approximativement ces données sont appelés
régression au sens des moindres carrés.
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Régression au sens des moindres carrés
Généralité
On considère un ensemble de points expérimentaux {xi , yi }ni=0 et on
suppose que les deux grandeurs sont reliées par une fonction affine
(régression linéaire simple), une régression multiple.
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Régression au sens des moindres carrés
Généralité
On considère un ensemble de points expérimentaux {xi , yi }ni=0 et on
suppose que les deux grandeurs sont reliées par une fonction affine
(régression linéaire simple), une régression multiple.
Définition On appelle modèle de régression aux sens des moindres
carrés tout polynôme f (x ) vérifiant
n
X
i=0
| yi − f (xi ) |2 ≤
n
X
| yi − p(xi ) |2
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(2)
i=0
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Régression au sens des moindres carrés
Généralité
On considère un ensemble de points expérimentaux {xi , yi }ni=0 et on
suppose que les deux grandeurs sont reliées par une fonction affine
(régression linéaire simple), une régression multiple.
Définition On appelle modèle de régression aux sens des moindres
carrés tout polynôme f (x ) vérifiant
n
X
i=0
| yi − f (xi ) |2 ≤
n
X
| yi − p(xi ) |2
(2)
i=0
Ce modèle aux sens des moindres carrés est donc le polynôme de
degré n qui, parmi tous les polynômes de degré n, approche le plus
possible les données.
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Régression au sens des moindres carrés
Régression linéaire y = ax + b + : on souhaite trouver les constantes a et b pour que
la droite y s’ajuste le mieux possible aux points observés.
y est la variable à expliquer(à valeurs dans R) ; x est la variable explicative(à valeurs
dans R) ; d est le terme d’erreur aléatoire du modèle. Soit di = yi − (axi + b) l’écart
vertical du point (xi , yi ) par rapport à la droite. La méthode des moindres carrés est celle
est celle qui choisit a et b de sorte que la somme des carrés des déviations soit minimale.
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Pour cela, on minimise la fonction
φ : R2 7−→ R+ définie par
φ(a, b) =
n
X
n
X
i=0
i=0
di2 =
[yi − (axi + b)]2
(3)
Pour minimiser cette fonction, on cherche d’abord ses points stationnaires c’est à dire
les points qui vérifient
∂φ
∂φ
= 0 et
=0
(4)
∂a
∂b
n
X
∂φ
= −2
xi (yi − (axi + b))
∂a
(5)
X
∂φ
(yi − (axi + b))
= −2
∂b
(6)
i=0
n
i=0
=⇒
∂φ
∂a
∂φ
∂b
=
=
0
0
(7)
 n
X


xi (yi − (axi + b)) =


0
X



(yi − (axi + b))

0
i=0
n
=
(8)
i=0
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Régression au sens des moindres carrés
=⇒









a















b







(n+1)
n
X
xi yi −
i=0
n
=
(n+1)
xi2
−
i=0
n
i=0
(n+1)
yi
i=0
!2
X
xi
i=0
n
X
X
=
xi
i=0
n
X
xi2 −
yi
n
n
X
X
i=0
n
n
X
X
xi
i=0
n
X
xi2
i=0
−
(9)
xi yi
i=0
n
X
!2
xi
i=0
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Régression au sens des moindres carrés
=⇒









a















b







(n+1)
n
X
xi yi −
i=0
n
=
(n+1)
xi2
−
i=0
n
i=0
xi2 −
i=0
(n+1)
yi
i=0
!2
X
xi
i=0
n
X
X
=
xi
i=0
n
X
yi
n
n
X
X
n
n
X
X
xi
i=0
n
X
xi2
−
i=0
n
X
i=0
(9)
xi yi
!2
xi
i=0
Utilisation des moyennes
En posant x =
1
n+1
n
X
x2 =
xi ;
1
n+1
i=0
Alors, a =
xy −x̄ y
x 2 −(x )2
et
n
X
xi2
i=0
b=
y x 2 −x̄ xy
x 2 −(x )2
y=
1
n+1
n
X
i=0
yi ; xy =
1
n+1
n
X
xi yi .
i=0
.
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Application
Supposons que vous soyez le chef de direction d’une franchise de camions ambulants
(Food Trucks). Vous envisagez différentes villes pour ouvrir un nouveau point de vente.
La chaîne a déjà des camions dans différentes villes et vous avez des données pour les
bénéfices et les populations des villes. Vous souhaitez utiliser ces données pour vous
aider à choisir la ville pour y ouvrir un nouveau point de vente.
Ce problème est de type apprentissage supervisé modélisable par un algorithme de
régression linéaire. Il est de type supervisé car pour chaque ville ayant un certain nombre
de population (variable prédictive X), on a le gain effectué dans cette dernière (la
variable qu’on cherche à prédire : Y).
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Application
Supposons que vous soyez le chef de direction d’une franchise de camions ambulants
(Food Trucks). Vous envisagez différentes villes pour ouvrir un nouveau point de vente.
La chaîne a déjà des camions dans différentes villes et vous avez des données pour les
bénéfices et les populations des villes. Vous souhaitez utiliser ces données pour vous
aider à choisir la ville pour y ouvrir un nouveau point de vente.
Ce problème est de type apprentissage supervisé modélisable par un algorithme de
régression linéaire. Il est de type supervisé car pour chaque ville ayant un certain nombre
de population (variable prédictive X), on a le gain effectué dans cette dernière (la
variable qu’on cherche à prédire : Y).
Le chef de direction d’une grande franchise de camions ambulants (Food Trucks),
envisage différentes villes pour ouvrir un nouveau point de vente. Il a des données pour
les bénéfices et les populations des villes.
Il souhaite utiliser ces données qui vont lui aider à choisir la ville pour y ouvrir un
nouveau point de vente.
On considère les données (ville, prix ), où la première variable ville : prédictive
représente le nombre de population en milliers dans la ville i, tandis que la variable prix :
à prédire représente le gain mensuel en mille produit dans chaque ville i.
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Application
1
Représenter ces données sous forme de couples le prix en fonction des
villes.
2
Déterminer le modèle de régression linéaire simple en calculant les
points critiques ou stationnaires.
3
Utiliser une commande bien connu pour vérifier les coefficients de ce
modèle.
4
Représenter dans le même graphe le modèle de régression linéaire,
avec des couleurs différentes.
5
Calculer l’erreur commise lors de la construction de ce modèle, utiliser
le programme .
On note Erreur =
n
X
di2 où est l’écart vertical entre les données et le
i=1
modèle de régression.
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Sommaire
1
Introduction
2
Résolution numérique des systèmes linéaires
3
Résolution numérique d’équations non-linéaires
4
Interpolation
5
Approximation numérique des intégrales : formules de quadrature
interpolatoires
6
Résolution numérique des équations différentielles
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Approximation numérique des intégrales
Dans ce chapitre on va étudier des méthodes pour approcher les intégrales de fonctions.
On sait bien qu’il n’est pas toujours possible, pour une fonction arbitraire, de trouver la
forme explicite d’une primitive. Par exemple, comment peut-on tracer le graphe de la
fonction erf (appelée fonction d’erreur de Gauss) définie comme suit ?
erf : R → R
2
x 7→ √
π
Z
x
2
e −t dt
0
Mais même quand on la connaît, il est parfois difficile de l’utiliser. C’est par exemple le
cas de la fonction f (x ) = cos(4x ) cos(3 sin (x )) pour laquelle on a
Z
π
f (x )dx = π
0
∞
81 X (−9/4)k
16
k!(k + 4)!
k=0
on voit que le calcul de l’intégrale est transformé en un calcul, aussi difficile, de la
somme d’une série.
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104
Approximation numérique des intégrales : Principe
Soit f une fonction réelle intégrable sur l’intervalle [a; b]. Le calcul explicite de l’intégrale
Rb
définie I[a;b] (f ) ≡ a f (x )dx peut être difficile, voire impossible. On appelle formule de
quadrature ou formule d’intégration numérique toute formule permettant de calculer une
approximation de I[a;b] (f ). Une possibilité consiste à remplacer f par une approximation
f˜ et calculer I[a;b] (f˜) au lieu de I[a;b] (f ). En posant Ĩ[a;b] (f ) ≡ I[a;b] (f˜), on définit
Z
Ĩ[a;b] (f ) ≡
b
f˜(x )dx .
a
Si f est de classe C 0 sur [a; b], l’erreur de quadrature E[a;b] (f ) ≡ Ĩ[a;b] (f ) − I[a;b] (f )
satisfait
Z
E[a;b] (f ) =
b
f (x ) − f˜(x )dx ≤
a
Z
b
|f (x ) − f˜(x )|dx ≤ (b − a) max |f (x ) − f˜(x )|.
x ∈[a;b]
a
L’approximation f˜ doit être facilement intégrable, ce qui est le cas si, par exemple, f˜ est
un polynôme.
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Approximation numérique des intégrales
Exemple
n
Une approche naturelle consiste à prendre f˜ = i=0 f (xi ) Li (x ), le polynôme
d’interpolation de Lagrange de f sur un ensemble de n + 1 n ?uds distincts {xi }i=n
i=0 . Ainsi
on aura
P
I[a;b] (f ) ≈ Ĩ[a;b] (f ) =
n X
i=0
Z
f (xi )
b
Li (x )dx
a
où
Li (x ) =
n
Y
x − xj
j=0
j6=i
xi − xj
.
Période : 02 Mai-23 Juillet 2022
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Cours L3 - M1
69 /
104
Approximation numérique des intégrales
Exemple
n
Une approche naturelle consiste à prendre f˜ = i=0 f (xi ) Li (x ), le polynôme
d’interpolation de Lagrange de f sur un ensemble de n + 1 n ?uds distincts {xi }i=n
i=0 . Ainsi
on aura
P
I[a;b] (f ) ≈ Ĩ[a;b] (f ) =
n X
i=0
Z
b
f (xi )
Li (x )dx
où
Li (x ) =
a
n
Y
x − xj
j=0
j6=i
xi − xj
.
Il s’agit d’un cas particulier de la formule de quadrature suivante
Ĩ[a;b] (f ) =
n
X
αi f (xi )
i=0
qui est une somme pondérée des valeurs de f aux points xi : on dit que ces points sont
les noeuds de la formule de quadrature et que les nombres αi ∈ R sont les coefficients
ou encore les poids.
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69 /
104
Approximation numérique des intégrales
Théorème : Précision
Toute formule de quadrature interpolatoire utilisant n + 1 noeuds distincts
a un degré de précision au moins égale à n.
Théorème : Stabilité
Pn
Une formule de quadrature Ĩ[a;b] (f ) =
P
existe M ∈ R∗+ tel que ni=0 |αi | ≤ M.
i=0 αi f
(xi ) est dite stable s’il
Théorème : Convergence
Une méthode de quadrature de type interpolation est convergente sur ssi
les formules sont stables.
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70 /
104
Approximation numérique des intégrales
Formule de quadrature composite
On décompose l’intervalle d’intégration [a; b] en m sous-intervalles [yi ; yi+1 ] tels que
pour i = 0, 1, . . . , m. On utilise alors sur chaque
yi = a + i × h où h = b−a
m
sous-intervalle une formule interpolatoire de noeuds
n
(i)
xk
on
et de poids
k=0
n
(i)
αk
on
k=0
(généralement la même formule sur chaque sous-intervalle). Puisque
b
Z
f (x )dx =
I[a;b] (f ) =
a
m−1 Z
X
i=0
yi+1
f (x )dx =
yi
m−1
X
I[yi ;yi+1 ] (f )
i=0
une formule de quadrature interpolatoire composite est obtenue en remplaçant I[a;b] (f )
par
m−1
X
i=0
(i)
Ĩ[yi ;yi+1 ] (f ) =
m−1 n
X
X
(i)
αk f
(i)
xk
i=0 k=0
(i)
où I[yi ;yi+1 ] (f ) ' Ĩ[yi ;yi+1 ] (f ).
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104
Formule du rectangle à gauche
La formule du rectangle à gauche est obtenue en remplaçant f par une
constante égale à la valeur de f en la borne gauche de l’intervalle [a; b]
(polynôme qui interpole f en le point (a, f (a)) et donc de degré 0 ), ce qui
donne
Période : 02 Mai-23 Juillet 2022
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72 /
104
Formule du rectangle à gauche
La formule du rectangle à gauche est obtenue en remplaçant f par une
constante égale à la valeur de f en la borne gauche de l’intervalle [a; b]
(polynôme qui interpole f en le point (a, f (a)) et donc de degré 0 ), ce qui
donne
I[a;b] (f ) ≈ I[a;b] (f˜) = I[a;b] (f (a)) =
Z b
f (a)dx = (b − a)f (a).
a
Erreur : Si f ∈ C 1 ([a; b]) alors il existe η ∈] a; b [ tel que
f (x ) = f (a) + (x − a)f 0 (η) et donc l’erreur de quadrature est majorée par
Z b
E[a;b] (f ) =
f (x ) − f˜(x )dx =
=
f (x ) − f (b)dx
a
a
Z b
Z b
(x − a)f 0 (η)dx =
a
(b − a)2 0
(b − a)2
max f 0 (x )
f (η) ≤
2
2
[a;b]
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72 /
104
Formule du rectangle à gauche : Formule Composite
On décompose l’intervalle d’intégration [a; b] en m sous-intervalles de
largeur h = b−a
m avec m ≥ 1. En introduisant les noeuds de quadrature
xk = a + k × h pour k = 0, 1, . . . , m − 1 on obtient la formule composite
du rectangle à gauche
Période : 02 Mai-23 Juillet 2022
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73 /
104
Formule du rectangle à gauche : Formule Composite
On décompose l’intervalle d’intégration [a; b] en m sous-intervalles de
largeur h = b−a
m avec m ≥ 1. En introduisant les noeuds de quadrature
xk = a + k × h pour k = 0, 1, . . . , m − 1 on obtient la formule composite
du rectangle à gauche
m
I[a;b]
(f˜) =
m−1
X
I[xk ;xk+1 ] (f˜) = h
k=0
m−1
X
f (xk ) = h
k=0
m−1
X
f (a + k × h).
k=0
Erreur : Si f ∈ C 1 ([a; b]) alors l’erreur de quadrature est majorée par
m
E[a;b]
(f ) =
m−1
X
E[xk ;xk+1 ] (f ) ≤ m
k=0
b−a
H2
max f 0 (x ) =
h max f 0 (x ) .
2 [a;b]
2
[a;b]
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73 /
104
Formule du rectangle à droite
La formule du rectangle à gauche est obtenue en remplaçant f par une
constante égale à la valeur de f en la borne gauche de l’intervalle [a; b]
(polynôme qui interpole f en le point (b, f (b)) et donc de degré 0 ), ce
qui donne
Période : 02 Mai-23 Juillet 2022
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74 /
104
Formule du rectangle à droite
La formule du rectangle à gauche est obtenue en remplaçant f par une
constante égale à la valeur de f en la borne gauche de l’intervalle [a; b]
(polynôme qui interpole f en le point (b, f (b)) et donc de degré 0 ), ce
qui donne
I[a;b] (f ) ≈ I[a;b] (f˜) = I[a;b] (f (a)) =
Z b
f (b)dx = (b − a)f (b).
a
Erreur : Si f ∈ C 1 ([a; b]) alors il existe η ∈] a; b [ tel que
f (x ) = f (b) + (x − b)f 0 (η) et donc l’erreur de quadrature est majorée par
Z b
E[a;b] (f ) =
f (x ) − f˜(x )dx =
Z b
f (x ) − f (b)dx
a
a
=
Z b
(x − b)f 0 (η)dx =
a
(b − a)2 0
(b − a)2
f (η) ≤
max f 0 (x )
2
2
[a;b]
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74 /
104
Formule du rectangle à droite : Formule Composite
On décompose l’intervalle d’intégration [a; b] en m sous-intervalles de
largeur h = b−a
m avec m ≥ 1. En introduisant les noeuds de quadrature
xk = a + (k + 1) × h pour k = 0, 1, . . . , m − 1 on obtient la formule
composite du rectangle à gauche
Période : 02 Mai-23 Juillet 2022
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Cours L3 - M1
75 /
104
Formule du rectangle à droite : Formule Composite
On décompose l’intervalle d’intégration [a; b] en m sous-intervalles de
largeur h = b−a
m avec m ≥ 1. En introduisant les noeuds de quadrature
xk = a + (k + 1) × h pour k = 0, 1, . . . , m − 1 on obtient la formule
composite du rectangle à gauche
m
(f˜) =
I[a;b]
m−1
X
I[xk ;xk+1 ] (f˜) = h
k=0
m−1
X
f (xk+1 ) = h
k=0
m−1
X
f (a + (k + 1) × h).
k=0
Erreur : Si f ∈ C 1 ([a; b]) alors l’erreur de quadrature est majorée par
m
E[a;b]
(f ) =
m−1
X
E[xk ;xk+1 ] (f ) ≤ m
k=0
b−a
H2
max f 0 (x ) =
h max f 0 (x ) .
2 [a;b]
2
[a;b]
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75 /
104
Formule du rectangle ou du point milieu
La formule du rectangle ou du point milieu est obtenue en remplaçant f par une
constante égale
à la valeur de f au milieu de [a; b] (polynôme qui interpole f en le point
a+b
, f a+b
et donc de degré 0 ), ce qui donne
2
2
Période : 02 Mai-23 Juillet 2022
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76 /
104
Formule du rectangle ou du point milieu
La formule du rectangle ou du point milieu est obtenue en remplaçant f par une
constante égale
à la valeur de f au milieu de [a; b] (polynôme qui interpole f en le point
a+b
, f a+b
et donc de degré 0 ), ce qui donne
2
2
I[a;b] (f ) ≈ I[a;b] (f˜) = I[a;b] f
a+b
2
b
Z
=
f
a
a+b
2
dx = (b − a)f
a+b
2
.
Erreur : Si f ∈C 2 ([a; b]) alors
[ tel que
0il existe
η1∈] a; b a+b
f (x ) = f a+b
+ x − a+b
f a+b
+ 2 x − 2 f 00 (η) et donc l’erreur de
2
2
2
quadrature est majorée par
Z
b
f (x ) − f˜(x )dx
E[a;b] (f ) =
a
Z
b
f (x ) − f
=
a
=
1 00
f (η)
2
Z
a
b
a+b
2
x−
Z
b
dx =
a+b
2
x−
a
2
dx =
a+b
2
f0
a+b
2
+
1
a+b
x−
2
2
(b − a)3
(b − a)3
1 00
f (η)
≤
max f 00 (x )
2
12
24
[a;b]
Période : 02 Mai-23 Juillet 2022
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2
Cours L3 - M1
76 /
104
Formule du rectangle ou du point milieu : formule composite
On décompose maintenant l’intervalle d’intégration [a; b] en m
sous-intervalles de largeur H = b−a
m avec m ≥ 1. En introduisant les
noeuds de quadrature xk = a + k H2 pour k = 0, 1, . . . , 2m (i.e. chaque
sousintervalle [x2k ; x2k+2 ] a largeur H et donc x2k+1 est sont point milieu),
on obtient la formule composite du point milieu
Période : 02 Mai-23 Juillet 2022
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Cours L3 - M1
77 /
104
Formule du rectangle ou du point milieu : formule composite
On décompose maintenant l’intervalle d’intégration [a; b] en m
sous-intervalles de largeur H = b−a
m avec m ≥ 1. En introduisant les
noeuds de quadrature xk = a + k H2 pour k = 0, 1, . . . , 2m (i.e. chaque
sousintervalle [x2k ; x2k+2 ] a largeur H et donc x2k+1 est sont point milieu),
on obtient la formule composite du point milieu
m
I[a;b]
(f˜) =
m−1
X
I[x2k ;x2k+2 ] (f˜) =
m−1
X
(x2k+2 − x2k ) f (x2k+1 ) = H
k=0
k=0
m−1 X
f
a + (2k + 1)
k=0
H
2
Erreur : Si f ∈ C 2 ([a; b]) alors l’erreur de quadrature est majorée par
m
E[a;b]
(f ) =
m−1
X
E[x2k ;x2k+2 ] (f ) ≤ m
k=0
H3
b−a 2
max f 00 (x ) =
H max f 00 (x ) |
24 [a;b]
24
[a;b]
Période : 02 Mai-23 Juillet 2022
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Cours L3 - M1
77 /
104
Formule du trapèze
La formule du trapèze est obtenue en remplaçant f par le segment qui relie (a, f (a)) à
(b, f (b)) (polynôme qui interpole f en les points (a, f (a)) et (b, f (b)) et donc de degré
1 ), ce qui donne
Période : 02 Mai-23 Juillet 2022
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Cours L3 - M1
78 /
104
Formule du trapèze
La formule du trapèze est obtenue en remplaçant f par le segment qui relie (a, f (a)) à
(b, f (b)) (polynôme qui interpole f en les points (a, f (a)) et (b, f (b)) et donc de degré
1 ), ce qui donne
I[a;b] (f ) ≈ I[a;b] (f˜) = I[a;b]
f (b) − f (a)
(x − a) + f (a)
b−a
I[a;b] (f˜) =
Z
=
a
b
f (b) − f (a)
(x −a)+f (a)dx
b−a
b−a
(f (a) + f (b))
2
Erreur : Si f ∈ C 2 ([a; b]) alors il existe η ∈] a; b [ tel que
00
00
f (x ) − f˜(x ) = f 2(η) ω2 (x ) = f 2(η) (x − a)(x − b) et donc l’erreur de quadrature est
majorée par
Z
E[a;b] (f ) =
b
f (x ) − f˜(x )dx =
a
≤
1 00
f (η)
2
Z
a
Z
b
f 00 (η)
(x − a)(x − b)dx
2
b
(x − a)(x − b)dx =
a
(b − a)3
(b − a)3
1 00
f (η)
≤
max f 00 (x ) | .
2
6
12
[a;b]
Période : 02 Mai-23 Juillet 2022
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Cours L3 - M1
78 /
104
Formule du trapèze : Formule composite
Pour obtenir la formule du trapèze composite, on décompose l’intervalle
d’intégration [a ; b ] en m sous-intervalles de largeur H = b−a
m avec m ≥ 1.
En introduisant les noeuds de quadrature xk = a + kH pour
k = 0, 1, . . . , m − 1 on obtient la formule composite des trapèzes
Période : 02 Mai-23 Juillet 2022
Dr. M Salif DIALLO (2022)
Cours L3 - M1
79 /
104
Formule du trapèze : Formule composite
Pour obtenir la formule du trapèze composite, on décompose l’intervalle
d’intégration [a ; b ] en m sous-intervalles de largeur H = b−a
m avec m ≥ 1.
En introduisant les noeuds de quadrature xk = a + kH pour
k = 0, 1, . . . , m − 1 on obtient la formule composite des trapèzes
m
I[a;b]
(f˜) =
m−1
X
I[xk ;xk+1 ] (f˜) =
k=0
m−1
X
xk+1 − xk
2
k=0
m−1
HX
=
(f (xk ) + f (xk+1 )) = H
2
k=0
(f (xk ) + f (xk+1 ))
m−1
X
1
1
f (a) +
f (a + kH) + f (b)
2
2
!
.
k=1
Erreur : Si f ∈ C 2 ([a; b]) alors l’erreur de quadrature est majorée par
m
E[a;b]
(f ) =
m−1
X
E[xk ;xk+1 ] (f ) ≤ m
k=0
b−a 2
H3
max f 00 (x ) =
H max f 00 (x )
12 [a;b]
12
[a;b]
Période : 02 Mai-23 Juillet 2022
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Cours L3 - M1
79 /
104
Formule de Simpson
La formule de Simpson est obtenue en remplaçant f par la parabole qui interpole f en a,
(donc un polynôme de degré 2 ), ce qui donne
en b et en a+b
2
Période : 02 Mai-23 Juillet 2022
Dr. M Salif DIALLO (2022)
Cours L3 - M1
80 /
104
Formule de Simpson
La formule de Simpson est obtenue en remplaçant f par la parabole qui interpole f en a,
(donc un polynôme de degré 2 ), ce qui donne
en b et en a+b
2
x−
I[a;b] (f˜) = I[a;b]
a−
a+b
2
a+b
2
(x − b)
f (a) +
(a − b)
(x − a)(x − b)
f
a+b
− a a+b
−b
2
2
a+b
2
!
(x − a) x − a+b
2
f (b)
+
a+b
(b − a) b −
Z
=
a
b
x−
a−
(x − a) x −
(b − a) b −
a+b
2
a+b
2
2
(x − b)
f (a) +
a+b
2
a+b
2
(a − b)
(x − a)(x − b)
f
− a a+b
−b
2
a+b
2
a+b
2
+
f (b)dx
b−a
a+b
f (a) + 4f
+ f (b) .
6
2
Erreur : Si f ∈ C 4 ([a; b]) on peut démontrer que l’erreur de quadrature est majorée par
=
E[a;b] (f ) ≤
(b − a)5
max f (IV ) (x )
2880 [a;b]
Période : 02 Mai-23 Juillet 2022
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80 /
104
On décompose maintenant l’intervalle d’intégration [a; b] en m sous-intervalles de
largeur H = b−a
avec m ≥ 1. En introduisant les noeuds de quadrature xk = a + k H2
m
pour k = 0, 1, . . . , 2m (i.e. chaque sousintervalle [x2k ; x2k+2 ] a largeur H et donc x2k+1
est sont point milieu), on obtient la formule composite de Simpson
Période : 02 Mai-23 Juillet 2022
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Cours L3 - M1
81 /
104
On décompose maintenant l’intervalle d’intégration [a; b] en m sous-intervalles de
largeur H = b−a
avec m ≥ 1. En introduisant les noeuds de quadrature xk = a + k H2
m
pour k = 0, 1, . . . , 2m (i.e. chaque sousintervalle [x2k ; x2k+2 ] a largeur H et donc x2k+1
est sont point milieu), on obtient la formule composite de Simpson
m
I[a;b]
(f˜) =
m−1
X
I[x2k ;x2k+2 ] (f˜) =
k=0
m−1
X
x2k+2 − x2k
6
k=0
(f (x2k ) + 4f (x2k+1 ) + f (x2k+2 ))
m−1
HX
(f (x2k ) + 4f (x2k+1 ) + f (x2k+2 ))
=
6
k=0
H
=
6
H
=
6
f (a) + f (b) +
m−1
X
f (x2k ) + 4
k=1
f (a) + f (b) +
m−1
X
m−1
X
!
f (x2k+1 )
k=0
f (a + kH) + 4
k=1
m−1 X
f
k=0
1
H
a+ k+
2
!
.
Erreur : Si f ∈ C 4 ([a; b]) alors l’erreur de quadrature est majorée par
m
(f ) =
E[a;b]
m−1
X
E[x2k ;x2k+2 ] (f ) ≤ m
k=0
H5
b−a 4
max f 00 (x ) =
H max f 00 (x )
2880 [a;b]
2880
[a;b]
Période : 02 Mai-23 Juillet 2022
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81 /
104
Algorithme
Données : a; b > a; m > 0; f : [a; b] → R
b−a
m
s←0
H←
for k = 0 to m − 1 do
s ← s + f (a + kH)
end for
return I ← Hs
Période : 02 Mai-23 Juillet 2022
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82 /
104
Algorithme
Données : a; b > a; m > 0; f : [a; b] → R
b−a
m
s←0
H←
for k = 0 to m − 1 do
s ← s + f (a + (k + 1)H)
end for
return I ← Hs
Période : 02 Mai-23 Juillet 2022
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Cours L3 - M1
83 /
104
Algorithme
Données : a; b > a; m > 0; f : [a; b] → R
b−a
m
s←0
H←
for k = 0 to m − 1 do
s ←s +f
a+ k+
1
H
2
end for
return I ← Hs
Période : 02 Mai-23 Juillet 2022
Dr. M Salif DIALLO (2022)
Cours L3 - M1
84 /
104
Algorithme
Données : a; b > a; m > 0; f : [a; b] → R
b−a
m
f (a) + f (b)
s←
2
for k = 1 to m − 1 do
H←
s ← s + f (a + kH)
end for
return I ← Hs
Période : 02 Mai-23 Juillet 2022
Dr. M Salif DIALLO (2022)
Cours L3 - M1
85 /
104
Algorithme
Données : a; b > a; m > 0; f : [a; b] → R
H←
b−a
m
s ← f (a) + f (b) + 4f
a+
H
2
for k = 1 to m − 1 do
s ← s + f (a + kH) + 4f
1
a+ k+
H
2
end for
return I ←
H
s
6
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86 /
104
Représentation graphique des méthodes
Figure – Méthode du rectangle
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87 /
104
Représentation graphique des méthodes
Figure – Méthode du point milieu et trapèze
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88 /
104
Sommaire
1
Introduction
2
Résolution numérique des systèmes linéaires
3
Résolution numérique d’équations non-linéaires
4
Interpolation
5
Approximation numérique des intégrales : formules de quadrature
interpolatoires
6
Résolution numérique des équations différentielles
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Résolution numérique des équations différentielles ordinaires
Les équations différentielles décrivent l’évolution de nombreux phénomènes dans des
domaines variés. Une équation différentielle est une équation impliquant une ou plusieurs
dérivées d’une fonction inconnue. Si toutes les dérivées sont prises par rapport à une
seule variable, on parle d’équation différentielle ordinaire.
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Résolution numérique des équations différentielles ordinaires
Les équations différentielles décrivent l’évolution de nombreux phénomènes dans des
domaines variés. Une équation différentielle est une équation impliquant une ou plusieurs
dérivées d’une fonction inconnue. Si toutes les dérivées sont prises par rapport à une
seule variable, on parle d’équation différentielle ordinaire.
Généralités
Une équation différentielle (EDO) est une équation exprimée sous la forme d’une relation
F y , y 0 , y 00 , . . . , y (n) = g(t)
dont l’inconnue est une fonction y : I ⊂ R → R définie sur un intervalle I (à
déterminer)
dans laquelle cohabitent à la fois y et ses dérivées y 0 , y 00 , . . . , y (p) ( p est appelé
l’ordre de l’équation).
Si la fonction g, appelée «second membre» de l’équation, est nulle, on dit que l’équation
en question est homogène.
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Résolution numérique des équations différentielles ordinaires
Position du problème
Résoudre une équation c’est chercher toutes les valeurs de l’inconnue qui satisfont
l’égalité. Dans les équations rencontrées jusqu’à présent, les inconnues étaient des
nombres. Par exemple, résoudre l’équation 2x + 4 = 10 signifie chercher toutes les
valeurs de x ∈ R telles que 2x + 4 = 10.
Dans les équations différentielles, les inconnues sont des fonctions. Résoudre une
équation différentielle, c’est chercher toutes les fonctions, définies sur un intervalle
I ⊂ R, qui satisfont l’équation (on dit aussi intégrer l’équation différentielle).
Une EDO admet généralement une infinité de solutions. Pour en
sélectionner quelques unes (parfois juste une), on doit imposer une
condition supplémentaire qui correspond à la valeur prise par la solution en
un point de l’intervalle d’intégration.
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Résolution numérique des équations différentielles ordinaires
Position du problème
Résoudre une équation c’est chercher toutes les valeurs de l’inconnue qui satisfont
l’égalité. Dans les équations rencontrées jusqu’à présent, les inconnues étaient des
nombres. Par exemple, résoudre l’équation 2x + 4 = 10 signifie chercher toutes les
valeurs de x ∈ R telles que 2x + 4 = 10.
Dans les équations différentielles, les inconnues sont des fonctions. Résoudre une
équation différentielle, c’est chercher toutes les fonctions, définies sur un intervalle
I ⊂ R, qui satisfont l’équation (on dit aussi intégrer l’équation différentielle).
Une EDO admet généralement une infinité de solutions. Pour en
sélectionner quelques unes (parfois juste une), on doit imposer une
condition supplémentaire qui correspond à la valeur prise par la solution en
un point de l’intervalle d’intégration.
Condition initiale
Une condition initiale (CI) est une relation du type y (t0 ) = y0 qui impose
en t0 la valeur y0 de la fonction inconnue.
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Résolution numérique des équations différentielles ordinaires
Exemple : Évolution d’une pollution
Soit N le nombre d’individu d’une population à l’instant t . La population
N a un taux de naissance saisonnier ; le taux de décès est proportionnel au
nombre d’individu au carré (par surpopulation, dus par exemple au manque
de nourriture). On considère enfin un terme indépendant de la taille et du
temps (par exemple, si cette EDO modélise l’élevage de saumons, ce terme
représente les saumons péchés). On a alors l’équation différentielle
1
N 0 = (2 − cos(t))N − N 2 − 1
2
On aura donc deux types de questions :
trouver toutes les solutions de l’EDO ;
trouver la ou les solutions qui vérifient une CI.
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Représentation graphique
On va expliquer comment tracer l’allure des solutions d’une EDO du type
y 0 = ϕ(t, y )
Soit y = f (t) la fonction inconnue solution de cette EDO. Si (t, y ) est un
point du graphe de f , cette égalité dit que la tangente au graphe de f au
point (t, y ) a pour pente ϕ(t, y ). Dessinons alors, en (presque) chaque
point (t, y ) du plan un vecteur Vt,y de pente ϕ(t, y ) : le graphe de f est
tangent en chaque point (t, y ) au vecteur Vt,y . Remarquer qu’on n’a pas
besoin d’avoir résolu l’équation (analytiquement) pour pouvoir dessiner le
champ de tangentes, et ceci permet parfois d’avoir une idée du
comportement des solutions.
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Représentation graphique
Considérons à nouveau l’exemple de l’évolution d’une population traçons l’allure des
solutions. Si on démarre l’élevage avec 6 saumons, on voit qu’une et une seule courbe
passe par le point (0,6) et si on suit cette solution on peut prédire par exemple le nombre
d’individu de la population dans dix ans : la courbe tracée en jaune donne N(10) ≈ 5.5.
Figure – Allure de la solution du problème
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Théorème d’existence et unicité, intervalle de vie et solution maximale
Définition : Problème de Cauchy
Soit ϕ : [0, T ] × R → R une fonction donnée et y 0 la dérivée de y par
rapport à t. On appelle problème de Cauchy le problème trouver une
fonction y : I ⊂ R → R définie sur un intervalle I telle que
(
y 0 (t) = ϕ(t, y (t)),
y (t0 ) = y0 ,
∀t ∈ [0, T ] ,
avec t0 un point de [0, T ] et y0 une valeur donnée.
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Théorème d’existence et unicité, intervalle de vie et solution maximale
Définition : Problème de Cauchy
Soit ϕ : [0, T ] × R → R une fonction donnée et y 0 la dérivée de y par
rapport à t. On appelle problème de Cauchy le problème trouver une
fonction y : I ⊂ R → R définie sur un intervalle I telle que
(
y 0 (t) = ϕ(t, y (t)),
y (t0 ) = y0 ,
∀t ∈ [0, T ] ,
avec t0 un point de [0, T ] et y0 une valeur donnée.
De façon générale, lorsqu’on se donne une équation différentielle et une
condition initiale y (t0 ) = y0 , on cherche un intervalle I, contenant t0 , sur
lequel une solution existe, et qui soit «le plus grand possible» : il n’existe
pas d’intervalle plus grand sur lequel l’équation différentielle ait une
solution. Cet intervalle s’appelle intervalle de vie de la solution. Une
solution définie sur cet intervalle le plus grand possible s’appelle solution
maximale.
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Théorème d’existence et unicité, intervalle de vie et solution maximale
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Théorème d’existence et unicité, intervalle de vie et solution maximale
Définition Solution maximale
On se donne une équation différentielle y 0 (t) = ϕ(t, y (t)) avec une
condition initiale y (t0 ) = y0 . Une solution maximale pour ce problème est
une fonction y = f (t), définie sur un intervalle I appelé intervalle de vie,
telle que
est solution de l’équation différentielle et vérifie la condition initiale ;
il n’existe pas de solution f˜ de la même équation, vérifiant la même
condition initiale et définie sur un intervalle J contenant I et plus
grand que I.
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Théorème d’existence et unicité, intervalle de vie et solution maximale
Définition Solution maximale
On se donne une équation différentielle y 0 (t) = ϕ(t, y (t)) avec une
condition initiale y (t0 ) = y0 . Une solution maximale pour ce problème est
une fonction y = f (t), définie sur un intervalle I appelé intervalle de vie,
telle que
est solution de l’équation différentielle et vérifie la condition initiale ;
il n’existe pas de solution f˜ de la même équation, vérifiant la même
condition initiale et définie sur un intervalle J contenant I et plus
grand que I.
Théorème : de Cauchy-Lipschitz, Existence et unicité des solutions
Considérons une fonction (x , y ) 7→ ϕ(x , y )
définie pour tout t dans un intervalle I et pour tout y dans un intervalle J
de classe C 1
alors pour toute CI y (t0 ) = y0 avec t0 ∈ [0, T ] et y0 ∈ J, il existe une unique solution
maximale y = y (t) de l’EDO y 0 (t) = ϕ(t, y (t)).
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Fonction de second membre Lipschitzienne
Proposition : de Cauchy-Lipschitz, Existence et unicité des solutions
On suppose que la fonction ϕ(t, y (t)) est :
• continue par rapport à ses deux variables ;
• globalement Lipschitzienne relativement à la variable y , uniformément
par rapport à t, c’est à dire qu’il existe une constante positive L (appelée
constante de Lipschitz) telle que pour tous y et z ∈ I
k ϕ(t, y ) − ϕ(t, z) k≤ L k y − z k,
k . k désigne (par exemple) la norme euclidienne.
Alors la solution y = f (t) du problème de Cauchy existe, unique et est de
classe C 1 .
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Fonction de second membre Lipschitzienne
Proposition : de Cauchy-Lipschitz, Existence et unicité des solutions
On suppose que la fonction ϕ(t, y (t)) est :
• continue par rapport à ses deux variables ;
• globalement Lipschitzienne relativement à la variable y , uniformément
par rapport à t, c’est à dire qu’il existe une constante positive L (appelée
constante de Lipschitz) telle que pour tous y et z ∈ I
k ϕ(t, y ) − ϕ(t, z) k≤ L k y − z k,
k . k désigne (par exemple) la norme euclidienne.
Alors la solution y = f (t) du problème de Cauchy existe, unique et est de
classe C 1 .
Exemple :
(
y 0 (t) =| y (t) | + sin(y (t)) + exp(−t 2 /2),
y (t0 ) = 1,
∀t ∈ [0, T ] ,
Montrer que ce problème a une solution et qu’elle estPériode
unique.
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Schémas numériques
Considérons le problème de Cauchy et supposons que l’on ait montré
l’existence d’une solution y . Le principe des méthodes numériques est de
subdiviser l’intervalle I = [t0 , T ], avec T < +∞, en Nh intervalles de
longueur h = (T − t0 ) /Nh = tn+1 − tn ; h est appelé le pas de
discrétisation. Si nous intégrons l’EDO, y 0 (t) = ϕ(t, y (t)) entre tn et tn+1
nous obtenons
y (tn+1 ) − y (tn ) =
Z tn+1
ϕ(t, y (t))dt.
tn
Pour chaque noeud tn = t0 + nh (1 ≤ n ≤ Nh ) on cherche la valeur
inconnue un qui approche y (tn ). L’ensemble des valeurs
{u0 = y0 , u1 , . . . , uNh } représente la solution numérique.
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Schémas numériques d’Euler
On peut construire différentes schémas selon la formule de quadrature utilisée pour
approcher le membre de droite. Les schémas qu’on va construire permettent de calculer
un+1 à partir de un et il est donc possible de calculer successivement u1 , u2 , . . ., en
partant de u0 par une formule de récurrence de la forme
u0 = y0
un+1 = ϕ (un ) ,
∀n ∈ N.
Si on utilise la formule de quadrature du rectangle à gauche, i.e.
Z
tn+1
ϕ(t, y (t))dt ≈ hϕ (tn , y (tn ))
tn
on obtient le schéma d’Euler progressif
u0 = y (t0 ) = y0 ,
un+1 = un + hϕ (tn , un )
n = 0, 1, 2, . . . Nh − 1
Il s’agit d’un schéma explicite car il permet d’expliciter un+1 en fonction de un .
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Schémas numériques d’Euler
Si on utilise la formule de quadrature du rectangle à droite, i.e.
Z tn+1
ϕ(t, y (t))dt ≈ hϕ (tn+1 , y (tn+1 ))
tn
on obtient le schéma d’Euler rétrograde
(
u0 = y (t0 ) = y0 ,
un+1 − hϕ (tn+1 , un+1 ) = un
n = 0, 1, 2, . . . Nh − 1
Il s’agit d’un schéma implicite car il ne permet pas d’expliciter directement
un+1 en fonction de un .
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Schémas numériques d’Euler
? Si on utilise la formule de quadrature du point du milieu, i.e.
Z
tn+1
ϕ(t, y (t))dt ≈ hϕ tn +
tn
h
h
, y tn +
2
2
on obtient un nouveau schéma :
u0 = y (t0 ) = y0
un+1 = un + hϕ tn + h2 , un+1/2
n = 0, 1, 2, . . . Nh − 1
où un+1/2 est une approximation de y (tn + h/2). Nous pouvons utiliser une prédiction
d’Euler progressive pour approcher le un+1/2 dans le terme ϕ tn + h/2, un+1/2 par
ũn+1/2 = un + (h/2)ϕ (tn , un ). Nous avons construit ainsi un nouveau schéma appelé
schéma d’Euler modifié qui s’écrit

 u0 = y (t0 ) = y0
ũn+1/2 = un + (h/2)ϕ (tn , un ) ,
 u = u + hϕ t + h , ũ
n+1
n
n
n+1/2
2
n = 0, 1, 2, . . . Nh − 1
Il s’agit d’un schéma explicite car il permet d’expliciter un+1 en fonction de un .
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Schémas numériques d’Euler
Si on utilise la formule du trapèze, i.e.
Z
tn+1
ϕ(t, y (t))dt ≈
tn
h
(ϕ (tn , y (tn )) + ϕ (tn+1 , y (tn+1 )))
2
on obtient le schéma du trapèze ou de Crank-Nicolson
u0 = y (t0 ) = y0 ,
un+1 − h2 ϕ (tn+1 , un+1 ) = un + h2 ϕ (tn , un )
n = 0, 1, 2, . . . Nh − 1
Il s’agit à nouveau d’un schéma implicite car il ne permet pas d’expliciter directement
un+1 en fonction de un .
Pour éviter le calcul implicite de un+1 dans le schéma du trapèze, nous pouvons utiliser
une prédiction d’Euler progressive et remplacer le un+1 dans le terme ϕ (tn+1 , un+1 ) par
ũn+1 = un + hϕ (tn , un ). Nous avons construit ainsi un nouveau schéma appelé schéma
de Heun. Plus précisément, la méthode de Heun s’écrit
(
u0 = y (t0 ) = y0
ũn+1 = un + hϕ (tn , un )
un+1 = un + h2 (ϕ (tn , un ) + ϕ (tn+1 , ũn+1 ))
n = 0, 1, 2, . . . Nh − 1
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Schémas numériques d’Euler
Remarque
Considérons le schéma d’Euler rétrograde. Si nous voulons calculer un+1 ,
nous définissons la fonction
g(x ) = x − hϕ (tn+1 , x ) − un
et nous cherchons un zéro de g(x ) en prenant par exemple la méthode de
Newton. Ainsi nous pouvons poser x0 = u0 et
xm+1 = xm − g (xm ) /g 0 (xm ) , m = 0, 1, . . .. Puisque
g 0 (x ) = 1 − h∂x ϕ (tn+1 , x ), nous obtenons donc dans ce cas le schéma
(
x0 = un ,
xm+1 = xm −
xm −hϕ(tn+1 ,x )−un
1−h∂x ϕ(tn+1 ,x )
m = 0, 1, 2, . . .
et un+1 = limm→∞ xm pour autant que f soit suffisamment régulière et
que x0 soit suffisamment proche de un+1 , ce qui est le cas si le pas h est
suffisamment petit.
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Fin du cours, Merci !
Temple du
savoir, Sénégal.
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