MécaniqueRévisionMPSI

Révision mécanique
TD - MPSI
Prof LACHHAB Abdeslam
2022 - 2023
On admet les postulats de la mécanique classique:
1. Le temps est absolu : c’est à dire que le temps ne dépend pas du référentiel.
2. La trajectoire est déterministe.
Conseils:
•La vitesse (ou l’accélération) d’un point M dans un référentiel Rdonné peut s’exprimer
sur différents vecteurs de projections, mais c’est toujours la même vitesse (ou la même
accélération)!
•Lors d’une trajectoire courbe, il existe toujours une composante de l’accélération dirigée
vers l’intérieur de la concavité de la trajectoire.
Cinématique du point matériel
Ex 1: Rayon de courbure du mouvement parabolique
Le vecteur position d’un point M en coordonnées cartésiennes est:
−−→
OM =v0t⃗ex+1
2gt2⃗ey
1. Exprimer le rayon de courbure définie dans le référentiel local (base de Frenet).
2. Déterminer le rayon de courbure au point O(0,0,0).
Ex 2: Rotation de la terre
On considère le mouvement de rotation propre de la terre autour de son axe ∆. Ce mou-
vement est uniforme et sa période est appelée jour sidérale. Elle vaut Js= 23h56min4s.
On redonne le rayon moyen de la terre: RT= 6370 km. La latitude du CPGE de safi vaut
λ= 32.308◦. Déterminer la vitesse du CPGE dans le référentiel géocentrique. Commenter.
Définition: un jour sidéral est la durée que met une planète pour faire un tour sur elle-
même, indépendamment de sa révolution autour du Soleil.
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Ex 3: Mouvement rectiligne à accélération constante
Un point matériel Mse déplace sur un axe ox avec une accélération ⃗a(M/R) = a⃗exavec
a > 0.
1. Déterminer le vecteur vitesse ⃗v(M/R)sachant que v(t= 0) = v0>0.
2. Déterminer le vecteur position ⃗ OM sachant que x(t= 0) = x0
3. Montrer que : v2−v2
0= 2a(x−x0)(Relation indépendante du temps)
4. Quelle est la condition que doit vérifier ⃗a.⃗v pour que le mouvement soit uniformément
accéleré? retardé?
Dynamique du point matériel
Les trois principes de Newton:
a) Principe d’inertie (première loi de Newton)
Il existe des référentiels appelés galiléens dans lesquels tout point isolé (c’est-à-dire soumis à
aucune action mécanique) est soit au repos, soit animé d’un mouvement rectiligne uniforme.
Remarque: Cette loi définit les référentiels galiléens et postule leur existence.
b) Principe fondamental de la dynamique (deuxième loi de Newton)
Soit M un point matériel dans un référentiel galiléen soumis à un force résultante →
F:
d
→
p(M)
dt Rg =→
F
Remarque: Ce principe permet une définition plus "pratique " des référentiels galiléens
: ce sont les référentiels dans lesquels le principe fondamental s’applique, dans ce cas, les
forces d’inertie sont négligeables. La notion de référentiel galiléen dépend donc du phénomène
considéré, de sa durée, de la précision de la mesure... Considérer qu’un référentiel est galiléen
est toujours une approximation mais celle-ci est bien souvent légitime.
c) Principe des actions réciproques (troisième loi de Newton)
Soient deux points matériels M1et M2en interaction. Les forces d’interaction →
FM1→M2et
→
FM2→M1sont opposées et colinéaires à →
M1M2.
Exemple : deux points matériels M1et M2de masses m1et m1distants de rexercent l’un
sur l’autre une force interactive telle que:
→
FM1→M2=−Gm1m2
r2
→
u12
G= 6,67.10−11N.m2.kg−2est une constante universelle et u12 un vecteur unitaire orienté
de M1vers M1.
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Ex 4: Chute libre
Un point matériel M, de masse m, est lancé depuis l’origine Od’un repère cartésien (xOy)
avec une vitesse initiale ⃗v0formant un angle αavec l’horizontale. Déterminer les expressions,
à tout instant, de ses grandeurs cinématiques, puis l’équation de sa trajectoire. On supposera
d’abord le mouvement sans frottement, puis on tiendra compte d’une force de frottement fluide
⃗
f=−k⃗v de la part de l’air (kconstante positive, ⃗v vecteur vitesse instantanée du point
matériel). Déterminer enfin l’instant où le point matériel passe par une altitude maximale pour
chacune des trajectoires. Que peut-on dire du cas où les frottements deviennent faibles ?
Ex 5: Mouvement sur un guide
Un point matériel Mde masse mglisse sur un hémisphère de centre Oet de rayon h. On
repère sa position par l’angle θindiqué sur la figure. Pour quelle valeur de θle point matériel
quitte-t-il la surface ? On néglige tout frottement et on suppose que le point Ma quitté le
sommet de l’hémisphère, sans vitesse initiale, à l’instant t= 0.
O
x
z
M
•
h
θ
⃗er
⃗eθ
Ex 6: Tir d’un projectile
On considère un projectile M, en forme de boule, de masse m= 1 kg tiré dans l’air de masse
volumique ρ= 1,3g.L−1avec une vitesse initiale ⃗v0. Outre à son poids, le projectile est soumis
à une force de traînée de la forme: ⃗ F=−λv⃗v où λ= 0,0367 u.S.I. (dépendant entre autre de
la forme du projectile) et ⃗v la vitesse du projectile et v la norme de cette vitesse.
1. Déterminer l’unité légale de λ.
2. Écrire l’équation vérifiée par la vitesse ⃗v.
3. Montrer qu’au bout d’un temps suffisamment long, le projectile finit par atteindre une
vitesse limite vldont on déterminera l’expression et la valeur numérique.
4. Par analyse dimensionnelle, dégager un temps caractéristique du problème.
5. Écrire le système d’équations différentielles vérifié par les coordonnées xet yde M
6. Une résolution numériques de ces équations conduit aux graphes: figure 1 et figure 2.
Commenter.
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Figure 1: Trajectoire du projectile Figure 2: Évolution de la vitesse du projectile
au cours du mouvement
Ex 7: La force de propulsion spatiale
À l’instant t= 0, une fusée de masse totale m0décolle verticalement dans le référentiel
terrestre. On définit le débit de masse Dm>0des gaz brûlés, par Dm=−dm
dt ,m(t)désignant
la masse de la fusée à un instant t > 0quelconque. On note −→ u=−u−→ ez, avec u > 0, la
vitesse d’éjection des gaz par rapport à la fusée. On note −→ v=v−→ ezla vitesse de la fusée dans
le référentiel terrestre supposé galiléen. On suppose que Dmet urestent constants et que le
champ de pesanteur −→ greste uniforme lors du lancement.
1. En prenant comme système la fusée à l’instant t, exprimer sa quantité de mouvement −→ pf
aux instants tet t+dt. Déterminer de même la quantité de mouvement −→ pgà l’instant
t+dt des gaz éjectés pendant dt.
2. On rappelle que la dérivée temporelle d’un vecteur −→ w(t)est définie par la relation
d−→ w(t)
dt =
−→
w(t+dt)−−→ w(t)
dt
En utilisant le principe fondamental de la dynamique pour l’ensemble fusée + gaz, établir
l’équation différentielle
mdv
dt =Dmu−mg
3. Identifier, dans le second membre de l’équation ci-dessus, l’intensité Fde la force de
poussée. À quelle condition la fusée décolle-t-elle ?
4. On nomme impulsion spécifique Isd’un ergol (gaz propulseur) le temps pendant lequel
une masse m de cet ergol peut fournir une poussée équivalent au poids ressenti par mà
la surface de la Terre. Exprimer Isen fonction de uet g.
5. Déterminer l’expression de la vitesse v(t)de la fusée à l’instant t, en fonction de t, m(t), g, u
et de la masse de la fusée à l’instant t= 0 notée m0.
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Approche énergétique de la dynamique
Conséquences du principe fondamental de la dynamique
a) Théorème du moment cinétique en un point fixe
O est un point fixe dans un référentiel galiléen R:
d
→
L0(M)
dt R=md
→
OM
dt ∧→
v+m
→
OM ∧d→
v
dt =→
OM ∧
→
F=→
M0
Ce théorème est une conséquence du principe fondamental de la dynamique et n’apporte
pas d’information supplémentaire. Cependant, son utilisation peut être plus pratique que celle
du principe fondamental de la dynamique (systèmes en rotation par exemple).
b) Théorème de l’énergie cinétique
•Entre deux instants t1et t2, le théorème de l’énergie cinétique s’écrit:
∆Ec=Wc+Wnc
La variation d’énergie cinétique est la somme des travaux des forces, qu’elles soient con-
servatives ou non.
Remarque: Rappelons qu’une force est conservative s’il existe une fonction énergie poten-
tielle Ep(→
r)telle que le travail élémentaire qui lui est associée s’écrit
δW =−dEp
Dans ce cas, la force s’écrit →
F=−−−→
gradEp
•Le théorème de la puissance cinétique est équivalent et s’écrit
dEc
dt =Pc+Pnc
•Lorsque les forces non conservatives ne travaillent pas, l’énergie mécanique EM=Ec+Ep
se conserve. C’est le théorème de l’énergie mécanique.
Ex 8: Déformation d’un ressort
Une masse mglisse sans frottement sur un plan incliné d’un angle αavec l’horizontale (figure
3). Elle est lâchée du point Asitué à une distance d du point O, sans vitesse initiale et finit
par percuter un ressort (de raideur ket de longueur à vide l0) fixé en O. Le ressort possède
initialement sa longueur à vide.
1. Tracer l’énergie potentielle Ep(x)en fonction de x.
2. A quelle condition la masse atteint-elle le point O? Interpréter en terme de barrière de
potentiel.
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