ch14 corps noir

Chapitre 14
Rayonnement thermique
Sommaire
14.1 Mise en ´evidence exp´erimentale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291
14.2 Rayonnement d’´equilibre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292
14.3Corpsnoir.....................................295
14.4 Etude thermodynamique du rayonnement . . . . . . . . . . . . . . . . . 297
14.5 Etude corpusculaire du rayonnement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300
Les transferts thermiques d´ecrits au §13.3 faisaient intervenir des syst`emes mat´eriels en contact
les uns avec les autres. Dans certains cas, le transfert thermique se fait sans contact entre la source
et le r´ecepteur, et sans ´echauffement du milieu interm´ediaire. Il correspond `a l’´emission d’ondes
´electromagn´etiques induites `a l’´echelle microscopique par le mouvement de particules charg´ees `a la
surface du corps.
On ´etudie dans ce chapitre les lois du rayonnement issues de l’hypoth`ese de Planck, et les fonctions
thermodynamiques qui leur sont associ´ees.
14.1 Mise en ´evidence exp´erimentale
On peut mettre en ´evidence les propri´et´es de ce rayonnement par plusieurs exp´eriences simples :
•Des braises chauffent directement un solide (par exemple le corps humain) et non l’air ambiant.
Par contre, ce rayonnement est arrˆet´e par un ´ecran opaque
•Ce rayonnement ob´eit aux lois de l’optique g´eom´etrique. Ceci peut se montrer avec l’exp´erience
d´ecrite sur la figure 14.1. Le thermom`etre plac´e au foyer du miroir indique une temp´erature
sup´erieure `a celle de la pi`ece. Il re¸coit un rayonnement de la part de la lampe
•La surface illumin´ee par le rayonnement joue un rˆole dans la puissance re¸cue. Ceci peut se montrer
avec l’exp´erience d´ecrite sur la figure 14.2. On constate qu’avec des conditions exp´erimentales
identiques, la temp´erature du thermom`etre dont le r´eservoir est recouvert de noir de fum´ee est
plus ´elev´ee que celle de l’autre thermom`etre
L’exp´erience montre que tout corps ´emet ce rayonnement ´electromagn´etique et que son spectre
d’´emission est continu et d’autant plus d´ecal´e vers les hautes fr´equences (ie les hautes ´energies) que
la temp´erature est ´elev´ee.
Thermodynamique classique, P. Puzo 288

14.2. RAYONNEMENT D’ ´ EQUILIBRE
Figure 14.1 – Le thermom`etre plac´e au foyer du
miroir indique une temp´erature sup´erieure `a celle
de la pi`ece. Il re¸coit un rayonnement de la part de
la lampe
(a) (b)
Figure 14.2 – A conditions exp´erimentales iden-
tiques, la temp´erature d’un thermom`etre `a alcool
dont le r´eservoir est recouvert de noir de fum´ee (b)
est plus ´elev´ee que celle d’un autre thermom`etre
identique mais sans noir de fum´ee (a)
14.2 Rayonnement d’´equilibre
14.2.1 Energie volumique spectrale
On consid`ere le rayonnement `a l’int´erieur d’une cavit´e dont les parois sont maintenues `a une tem-
p´erature T. Il s’´etablit un ´equilibre thermique entre les parois et le rayonnement ´electromagn´etique
`a l’int´erieur de l’enceinte. A partir du 2`eme principe, Kirchhoff a d´emontr´e en 1859 que ce rayon-
nement ne d´ependait que de la temp´erature 1. En 1900, Planck a montr´e 2par un raisonnement de
physique statistique que l’´energie volumique spectrale uν(ν, T ) pouvait se mettre sous la forme :
uν(ν, T ) = 1
V
dU
dν =8π h c3ν31
eβ h ν −1avec β=1
kBT(14.1)
La figure 14.3 repr´esente l’´energie volumique spectrale uν(ν, T ) en fonction de la fr´equence ν. On
peut ´egalement repr´esenter comme sur la figure 14.4 la variation de l’´energie volumique spectrale
uλ(λ, T ) en fonction de la longueur d’onde λ=c/ν. Les deux repr´esentations sont reli´ees par :
uνdν =−uλdλ c′est `a dire uλ=−uν
dν
dλ =uν
c
λ2(14.2)
On en d´eduit :
uλ(λ, T ) = 8π c
λ5
h
eβ h c/λ −1
soit encore uλ(λ, T ) = 4c1
c λ5
1
ec2/(λ T )−1
(14.3)
en introduisant les deux constantes de rayonnement c1et c2:
c1= 2 π h c2= 374,18 10−18 Wm2et c2=h c
kB
= 14,39 103Km (14.4)
14.2.2 D´eveloppements limites de la loi de Planck
Les fonctions uλet uνsont toutes les deux des fonctions positives, tendant vers z´ero pour les faibles
valeurs et vers l’infini. Les courbes de la figure 14.3 passent par un maximum que l’on d´etermine
par :
duν
dν =8π h c3ν23heβ h ν −1i−β h ν
heβ h ν −1i2eβ h ν = 0
1. On trouvera un historique complet de la g´en`ese de la loi de Planck dans [29, page 473].
2. On en trouvera une esquisse de d´emonstration dans [34, page 359].
Thermodynamique classique, P. Puzo 289

14.2. RAYONNEMENT D’ ´ EQUILIBRE
Figure 14.3 – Energie volumique spectrale uνen
fonction de la fr´equence ν
Figure 14.4 – Energie volumique spectrale uλen
fonction de la longueur d’onde λ
La r´esolution num´erique de l’´equation 3 (1 −e−x) = 0 donne x= 2,82. On obtient finalement :
νm=2,82
β h = 5,88 1010 T(14.5)
Par exemple, pour T= 5600 K (temp´erature `a la surface du soleil consid´er´e comme un corps
noir), le maximum se situe `a la fr´equence νm= 3,3 1014 Hz, c’est `a dire `a la longueur d’onde
λ=c/νm= 0,91 µm.
Remarque 1 : On peut remarquer que la longueur d’onde λmcorrespondant au maximum de la
courbe en longueur d’onde n’est pas ´egale `a c/νmcar les fonctions uλet uνsont diff´erentes.
Remarque 2 : 98% du rayonnement est ´emis entre 0,5λmet 8 λm
On peut d´evelopper la relation (14.1) vers les basses et les hautes fr´equences. On obtient les cas
limites suivants :
•dans le cas des faibles fr´equences (h ν ≪kBT) :
uν=8π h
c3
ν3
β h ν = = 8π kBT c3ν2(14.6)
Cette ´equation est connue sous le nom d’approximation de Rayleigh-Jeans. Historiquement, Lord
Rayleigh et Jeans avaient auparavant trouv´e cette loi exp´erimentalement et l’avaient expliqu´ee
par des arguments thermodynamiques. N´eanmoins, ils n’´etaient pas parvenu `a expliquer pourquoi
uνs’effondrait dans le domaine des hautes fr´equences 3
•dans le cas des hautes fr´equences (h ν ≫kBT) :
uν=8π h
c3ν3e−β h ν =8π h c3ν3e−h ν
kBT(14.7)
Cette ´equation est connue sous le nom de loi de Wien
3. Ce probl`eme est rest´e c´el`ebre sous le nom de catastrophe ultraviolette.
Thermodynamique classique, P. Puzo 290

14.2. RAYONNEMENT D’ ´ EQUILIBRE
14.2.3 Loi du d´eplacement de Wien
En posant x=h c/(λ kBT), on peut r´e´ecrire (14.3) sous la forme :
uλ=8π k5
BT5
(h c)4
x5
ex−1(14.8)
La d´etermination du maximum de cette fonction revient `a r´esoudre 5 (e−x−1) −x ex= 0. Num´e-
riquement, on trouve x= 4,965. On en d´eduit que le maximum λmde la fonction uλ(T) v´erifie :
λmT= 2898 µm K (14.9)
Cette loi est connue sous le nom de loi du d´eplacement de Wien car elle a ´et´e trouv´ee exp´erimen-
talement par Wien en 1893. On peut faire les commentaires suivants :
•Par exemple, pour T= 5600 K (temp´erature `a la surface du soleil consid´er´e comme un corps
noir), le maximum se situe `a la longueur d’onde λm= 0,52 µm (jaune-vert)
•La loi de Wien montre que plus un corps s’´echauffe, plus λmdevient petit et plus la couleur du
corps tend donc vers le bleu. Une bˆuche qui flambe apparaˆıt jaune `a ses endroits les plus chauds
et rouge `a ses endroits les ”moins” chauds
400 500 600 700
Bleu Vert Jaune Rouge
λ(nm)
Figure 14.5 – Partie visible du spectre du rayonnement
•Un corps humain `a 300 K ´emet un rayonnement centr´e sur 9,66 µm (infrarouge)
•La loi de Wien est utilis´ee pour d´eterminer la temp´erature de surface des ´etoiles. Les plus chaudes
ont un rayonnement visible dans le bleu (Rigel par exemple) et les moins chaudes dans le rouge
(B´etelgeuse par exemple)
•Le rayonnement cosmique fossile, associ´e `a la temp´erature de 2,72 K, correspond `a λm≈1 mm,
c’est `a dire aux ondes radio´electriques (figure 14.6)
λ(m)
ν(Hz)
10210−2 1 10 10 10 10 10
−4 −6 −8 −10 −12
10610 10 10 10 10 10 10
8 10 12 14 16 18 20
Ondes radio IR Rayons γ
Rayons XVisibleMicro−ondes
UV
Figure 14.6 – Spectre du rayonnement
Thermodynamique classique, P. Puzo 291

14.3. CORPS NOIR
14.2.4 Loi de Stephan - Boltzmann
En sommant l’´energie interne spectrale uνsur toutes les fr´equences, on obtient l’´energie interne
spectrale totale, soit :
u=Z∞
0
uνdν =8π h
c3Z∞
0
ν3
e
hν
kBT−1
dν
=8π(kBT)4
(h c)3Z∞
0
x3
ex−1dx en posant x=h ν kBT
On obtient finalement 4:
u=σBT4avec σB=8π5
15
k4
B
(h c)3= 7,56 10−16 Jm−3K−4(14.10)
o`u σBest appel´e constante de Stephan. Cette loi a ´et´e ´etablie exp´erimentalement en 1879 par
Stephan et interpr´et´ee en 1884 par Boltzmann. Par exemple, on trouve que la temp´erature du
rayonnement fossile cosmologique (T= 2,72 K) est associ´ee `a une densit´e volumique d’´energie de
0,25 eV/cm3.
14.3 Corps noir
14.3.1 D´efinition
On peut classer les corps en plusieurs cat´egories, en fonction de leurs propri´et´es vis `a vis du rayon-
nement thermique :
•un corps noir est un corps capable d’absorber int´egralement tout rayonnement incident, quelle
que soit sa fr´equence ν. Le facteur d’absorption d’un corps noir est donc aν= 1. Ce sont ces
corps qui ob´eissent aux lois issues du mod`ele de Planck donn´ees au paragraphe §14.2
•un corps gris est un corps dont le facteur d’absorption aνest inf´erieur `a un et ne varie pas avec
la temp´erature
•un corps color´e est un corps dont la couleur `a temp´erature ambiante n’est ni noire, ni grise. Pour
de tels corps, l’absorption est s´elective et aνvarie avec la fr´equence
S’ils portent ces noms (noirs,gris ou color´es), c’est que cela correspond `a leur ”couleur” en lumi`ere
naturelle, `a temp´erature ambiante.
La r´ealisation pratique d’un corps noir est en toute rigueur impossible. De mani`ere approch´ee, on
peut r´ealiser un corps noir par une petite ouverture `a la surface d’une enceinte dont les parois
int´erieures absorbent le rayonnement puisque tout rayonnement qui p´en`etre dans l’enceinte subira
plusieurs r´eflexions au cours desquelles il sera partiellement absorb´e. Apr`es un certain nombre de
r´eflexions, tout le rayonnement sera absorb´e. L’ouverture peut donc ˆetre vue comme un corps noir.
4. En utilisant la valeur tabul´ee : Z∞
0
x3
ex−1dx =π4 15
Thermodynamique classique, P. Puzo 292