Chapitre 14 Rayonnement thermique Sommaire 14.1 14.2 14.3 14.4 14.5 Mise en évidence expérimentale . . . . . . . Rayonnement d’équilibre . . . . . . . . . . . Corps noir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Etude thermodynamique du rayonnement Etude corpusculaire du rayonnement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291 292 295 297 300 Les transferts thermiques décrits au § 13.3 faisaient intervenir des systèmes matériels en contact les uns avec les autres. Dans certains cas, le transfert thermique se fait sans contact entre la source et le récepteur, et sans échauffement du milieu intermédiaire. Il correspond à l’émission d’ondes électromagnétiques induites à l’échelle microscopique par le mouvement de particules chargées à la surface du corps. On étudie dans ce chapitre les lois du rayonnement issues de l’hypothèse de Planck, et les fonctions thermodynamiques qui leur sont associées. 14.1 Mise en évidence expérimentale On peut mettre en évidence les propriétés de ce rayonnement par plusieurs expériences simples : • Des braises chauffent directement un solide (par exemple le corps humain) et non l’air ambiant. Par contre, ce rayonnement est arrêté par un écran opaque • Ce rayonnement obéit aux lois de l’optique géométrique. Ceci peut se montrer avec l’expérience décrite sur la figure 14.1. Le thermomètre placé au foyer du miroir indique une température supérieure à celle de la pièce. Il reçoit un rayonnement de la part de la lampe • La surface illuminée par le rayonnement joue un rôle dans la puissance reçue. Ceci peut se montrer avec l’expérience décrite sur la figure 14.2. On constate qu’avec des conditions expérimentales identiques, la température du thermomètre dont le réservoir est recouvert de noir de fumée est plus élevée que celle de l’autre thermomètre L’expérience montre que tout corps émet ce rayonnement électromagnétique et que son spectre d’émission est continu et d’autant plus décalé vers les hautes fréquences (ie les hautes énergies) que la température est élevée. Thermodynamique classique, P. Puzo 288 14.2. RAYONNEMENT D’ÉQUILIBRE (a) (b) Figure 14.1 – Le thermomètre placé au foyer du Figure 14.2 – A conditions expérimentales iden- miroir indique une température supérieure à celle de la pièce. Il reçoit un rayonnement de la part de la lampe tiques, la température d’un thermomètre à alcool dont le réservoir est recouvert de noir de fumée (b) est plus élevée que celle d’un autre thermomètre identique mais sans noir de fumée (a) 14.2 Rayonnement d’équilibre 14.2.1 Energie volumique spectrale On considère le rayonnement à l’intérieur d’une cavité dont les parois sont maintenues à une température T . Il s’établit un équilibre thermique entre les parois et le rayonnement électromagnétique à l’intérieur de l’enceinte. A partir du 2ème principe, Kirchhoff a démontré en 1859 que ce rayonnement ne dépendait que de la température 1 . En 1900, Planck a montré 2 par un raisonnement de physique statistique que l’énergie volumique spectrale uν (ν, T ) pouvait se mettre sous la forme : uν (ν, T ) = 8π h 3 1 1 dU = ν 3 V dν c eβ h ν − 1 avec β = 1 kB T (14.1) La figure 14.3 représente l’énergie volumique spectrale uν (ν, T ) en fonction de la fréquence ν. On peut également représenter comme sur la figure 14.4 la variation de l’énergie volumique spectrale uλ (λ, T ) en fonction de la longueur d’onde λ = c/ν. Les deux représentations sont reliées par : uν dν = − uλ dλ c′ est à dire h 8πc 5 λ eβ h c/λ − 1 soit encore uλ = − uν dν c = uν 2 dλ λ (14.2) On en déduit : uλ (λ, T ) = uλ (λ, T ) = 4 c1 1 5 c λ ec2 /(λ T ) − 1 (14.3) en introduisant les deux constantes de rayonnement c1 et c2 : c1 = 2 π h c2 = 374, 18 10−18 Wm2 14.2.2 et c2 = hc = 14, 39 103 Km kB (14.4) Développements limites de la loi de Planck Les fonctions uλ et uν sont toutes les deux des fonctions positives, tendant vers zéro pour les faibles valeurs et vers l’infini. Les courbes de la figure 14.3 passent par un maximum que l’on détermine par : h i β hν − 1 − β hν 3 e 8π h 2 duν eβ h ν = 0 = ν h i2 dν c3 eβ h ν − 1 1. On trouvera un historique complet de la génèse de la loi de Planck dans [29, page 473]. 2. On en trouvera une esquisse de démonstration dans [34, page 359]. Thermodynamique classique, P. Puzo 289 14.2. RAYONNEMENT D’ÉQUILIBRE Figure 14.3 – Energie volumique spectrale uν en fonction de la fréquence ν Figure 14.4 – Energie volumique spectrale uλ en fonction de la longueur d’onde λ La résolution numérique de l’équation 3 (1 − e−x ) = 0 donne x = 2, 82. On obtient finalement : νm = 2, 82 = 5, 88 1010 T βh (14.5) Par exemple, pour T = 5600 K (température à la surface du soleil considéré comme un corps noir), le maximum se situe à la fréquence νm = 3, 3 1014 Hz, c’est à dire à la longueur d’onde λ = c/νm = 0, 91 µm. Remarque 1 : On peut remarquer que la longueur d’onde λm correspondant au maximum de la courbe en longueur d’onde n’est pas égale à c/νm car les fonctions uλ et uν sont différentes. Remarque 2 : 98% du rayonnement est émis entre 0, 5 λm et 8 λm On peut développer la relation (14.1) vers les basses et les hautes fréquences. On obtient les cas limites suivants : • dans le cas des faibles fréquences (h ν ≪ kB T ) : uν = 8 π h ν3 8 π kB T 2 == ν c3 β h ν c3 (14.6) Cette équation est connue sous le nom d’approximation de Rayleigh-Jeans. Historiquement, Lord Rayleigh et Jeans avaient auparavant trouvé cette loi expérimentalement et l’avaient expliquée par des arguments thermodynamiques. Néanmoins, ils n’étaient pas parvenu à expliquer pourquoi uν s’effondrait dans le domaine des hautes fréquences 3 • dans le cas des hautes fréquences (h ν ≫ kB T ) : uν hν 8π h 3 − k T 8π h 3 −β hν B ν e = ν e = c3 c3 (14.7) Cette équation est connue sous le nom de loi de Wien 3. Ce problème est resté célèbre sous le nom de catastrophe ultraviolette. Thermodynamique classique, P. Puzo 290 14.2. RAYONNEMENT D’ÉQUILIBRE 14.2.3 Loi du déplacement de Wien En posant x = h c/(λ kB T ), on peut réécrire (14.3) sous la forme : uλ = 5 T5 8 π kB x5 (h c)4 ex − 1 (14.8) La détermination du maximum de cette fonction revient à résoudre 5 (e−x − 1) − x ex = 0. Numériquement, on trouve x = 4, 965. On en déduit que le maximum λm de la fonction uλ (T ) vérifie : λm T = 2898 µm K (14.9) Cette loi est connue sous le nom de loi du déplacement de Wien car elle a été trouvée expérimentalement par Wien en 1893. On peut faire les commentaires suivants : • Par exemple, pour T = 5600 K (température à la surface du soleil considéré comme un corps noir), le maximum se situe à la longueur d’onde λm = 0, 52 µm (jaune-vert) • La loi de Wien montre que plus un corps s’échauffe, plus λm devient petit et plus la couleur du corps tend donc vers le bleu. Une bûche qui flambe apparaı̂t jaune à ses endroits les plus chauds et rouge à ses endroits les ”moins” chauds 400 500 Bleu Vert 600 700 λ (nm) Jaune Rouge Figure 14.5 – Partie visible du spectre du rayonnement • Un corps humain à 300 K émet un rayonnement centré sur 9,66 µm (infrarouge) • La loi de Wien est utilisée pour déterminer la température de surface des étoiles. Les plus chaudes ont un rayonnement visible dans le bleu (Rigel par exemple) et les moins chaudes dans le rouge (Bételgeuse par exemple) • Le rayonnement cosmique fossile, associé à la température de 2,72 K, correspond à λm ≈ 1 mm, c’est à dire aux ondes radioélectriques (figure 14.6) 10 2 1 10 −2 10 −4 10 −6 10 −8 10 −10 10 −12 λ (m) Ondes radio IR Micro−ondes Rayons γ UV Visible Rayons X ν (Hz) 10 6 10 8 10 10 10 12 10 14 10 16 10 18 10 20 Figure 14.6 – Spectre du rayonnement Thermodynamique classique, P. Puzo 291 14.3. CORPS NOIR 14.2.4 Loi de Stephan - Boltzmann En sommant l’énergie interne spectrale uν sur toutes les fréquences, on obtient l’énergie interne spectrale totale, soit : Z Z ∞ ν3 8π h ∞ uν dν = dν u = hν c3 0 0 e kB T − 1 = 8 π (kB T )4 (h c)3 Z ∞ 0 x3 dx ex − 1 en posant x = hν kB T On obtient finalement 4 : u = σB T 4 avec σB = 4 8 π 5 kB = 7, 56 10−16 Jm−3 K−4 15 (h c)3 (14.10) où σB est appelé constante de Stephan. Cette loi a été établie expérimentalement en 1879 par Stephan et interprétée en 1884 par Boltzmann. Par exemple, on trouve que la température du rayonnement fossile cosmologique (T = 2, 72 K) est associée à une densité volumique d’énergie de 0,25 eV/cm3 . 14.3 Corps noir 14.3.1 Définition On peut classer les corps en plusieurs catégories, en fonction de leurs propriétés vis à vis du rayonnement thermique : • un corps noir est un corps capable d’absorber intégralement tout rayonnement incident, quelle que soit sa fréquence ν. Le facteur d’absorption d’un corps noir est donc aν = 1. Ce sont ces corps qui obéissent aux lois issues du modèle de Planck données au paragraphe § 14.2 • un corps gris est un corps dont le facteur d’absorption aν est inférieur à un et ne varie pas avec la température • un corps coloré est un corps dont la couleur à température ambiante n’est ni noire, ni grise. Pour de tels corps, l’absorption est sélective et aν varie avec la fréquence S’ils portent ces noms (noirs, gris ou colorés), c’est que cela correspond à leur ”couleur” en lumière naturelle, à température ambiante. La réalisation pratique d’un corps noir est en toute rigueur impossible. De manière approchée, on peut réaliser un corps noir par une petite ouverture à la surface d’une enceinte dont les parois intérieures absorbent le rayonnement puisque tout rayonnement qui pénètre dans l’enceinte subira plusieurs réflexions au cours desquelles il sera partiellement absorbé. Après un certain nombre de réflexions, tout le rayonnement sera absorbé. L’ouverture peut donc être vue comme un corps noir. 4. En utilisant la valeur tabulée : Z 0 Thermodynamique classique, P. Puzo ∞ x3 π4 dx = −1 15 ex 292 14.3. CORPS NOIR 14.3.2 Energie solaire La densité d’énergie spectrale solaire est représentée sur la figure 14.7, superposée à une courbe de corps noir pour T = 5900 K. Le débit total moyen d’énergie solaire peut donc s’écrire : 2 Ẇ = 4 π RO σB T 4 où RO = 7 108 m est le rayon du Soleil. On obtient numériquement Ẇ = 4, 3 1026 W. Cette énergie rayonnée provient des réactions de nucléosynthèse au sein du Soleil 5 . La puissance reçue par une surface d’aire A située à une distance d du Soleil est la fraction A/(4πd2 ) de la puissance totale rayonnée. En introduisant l’angle apparent α selon lequel on voit le Soleil depuis la Terre (α = 2RO /d), on écrira finalement : P = 1 A α2 σB T 4 4 Numériquement, on obtient que le flux d’énergie reçu du Soleil sur la Terre est de 1400 W/m2 . Cette valeur est évidemment la valeur mesurée en dehors de l’atmosphère terrestre. A la surface de la Terre, plusieurs facteurs diminuent cette puissance reçue : • environ 50% du spectre est absorbé par l’atmosphère • le temps d’ensoleillement moyen n’est que de 2500 heures par an Tout ceci fait que la puissance reçue annuellement au niveau de la mer est en moyenne de 1000 kWh, soit l’équivalent d’environ 100 kg de pétrole. On constate expérimentalemnt que 42% de l’énergie est émise sous forme visible, 9% en lumière ultraviolette et 49% en lumière infrarouge. Figure 14.7 – Radiance spectrale solaire (figure extraite de [14, page 53]) 5. On peut d’ailleurs par ce biais évaluer la perte de masse Ṁ du Soleil par seconde : Ṁ = Ẇ = 4, 7 109 kg/s c2 Comme la masse du Soleil est MO = 2 1030 kg, la variation relative Ṁ /MO ≈ 10− 21 est néanmoins très faible. Thermodynamique classique, P. Puzo 293 14.4. ETUDE THERMODYNAMIQUE DU RAYONNEMENT Exercice 14.1 : Rayonnement du corps humain Evaluer les pertes énergétiques quotidiennes par rayonnement d’un être humain de corpulence moyenne, assimilé à un corps noir de 37 ◦ C, plongé dans un environnement à 0 ◦ C Exercice 14.2 : Etude d’une lampe à incandescence Déterminer le diamètre d et la longueur ℓ du filament de tungstène d’une lampe à incandescence de 100 W alimentée sous 200 V, sachant que pour obtenir une lumière suffisamment blanche, la température du filament doit être voisine de 2500 K. On considèrera que toute la puissance électrique est rayonnée, c’est à dire que le vide de l’ampoule est quasiment parfait et que les contacts thermiques du filament avec le culot de la lampe sont négligeables. On donne la résistivité du tungstène ρW = 8, 5 10− 7 Ωm et son coefficient d’absorption αW = 0, 35 Exercice 14.3 : Emittance de la Terre du côté du Sahara La figure ci-contre représente l’émittance spectrale d’une portion du Sahara vue de l’espace à midi solaire. On a superposé les émittances de corps noir à diverses températures ainsi que les bandes d’absorption de O3 , CO2 et H2 O 1. Que peut-on déduire de ce diagramme ? 2. Sachant que la bande d’obsorption du méthane et des CFC se situe entre 8 et 12 µm, expliquer pourquoi on cherche acuellement à limiter au maximum le rejet de ces gaz dans l’atmosphère par les activités humaines 14.4 Etude thermodynamique du rayonnement 14.4.1 Fonctions thermodynamiques du rayonnement Du point de vue thermodynamique, on peut assimiler une onde électromagnétique stationnaire confinée dans une enceinte à un fluide dont l’énergie interne U serait donnée par (14.10) : U = u V = σB T 4 V Thermodynamique classique, P. Puzo (14.11) 294 14.4. ETUDE THERMODYNAMIQUE DU RAYONNEMENT La 1ère relation de Gibbs-Helmholtz (5.68) permet d’obtenir l’énergie libre : Z U σB T 4 V F = T − dT + φ(V ) = − + T φ(V ) T2 3 où la constante d’intégration φ(V ) est pour l’instant indéterminée. En utilisant dF = −S dT −p dV , on peut en déduire l’expression de l’entropie : 4 σB T 3 V ∂F − φ(V ) = S = − ∂T V 3 Le 3ème principe impose φ(V ) ≡ 0. Les expressions finales de l’énergie libre et de l’entropie sont donc : 4 σB T 3 V σB T 4 V et S = (14.12) F = − 3 3 La pression de radiation p s’obtient par : ∂F σB T 4 p = − (14.13) = ∂V T 3 Cette équation d’état représente la pression exercée sur les parois par le rayonnement de photons en équilibre thermique. La relation (14.13) est l’équation d’état du gaz de photons et montre que la pression ne dépend pas du volume mais uniquement de la température. Pour des températures inférieures à 1000 K, la pression du rayonnement est faible. Par contre, elle devient importante pour les températures typiques au centre des étoiles. Par exemple, elle vaut 2,52 1012 Pa soit 2 107 atm pour T=107 K (figure 14.8). Figure 14.8 – Variation de la pression de radiation avec la température Une modification isotherme du volume de l’enceinte ne modifiera pas la pression. D’après (14.11), on peut écrire 6 : u U = (14.14) p = 3V 3 L’enthalpie H et l’enthalpie libre G du système s’écrivent respectivement : H = U + pV = 4 U = 4pV 3 (14.15) 6. Dans le cas d’un gaz parfait monoatomique, on avait obtenu p = 2/3 × u (2.20). Thermodynamique classique, P. Puzo 295 14.4. ETUDE THERMODYNAMIQUE DU RAYONNEMENT et 4 σB T 4 V ≡ 0 (14.16) 3 L’enthalpie libre du gaz de photon est donc toujours nulle 7 . Le terme de ”gaz de photons” est donc à utiliser avec précautions, car on ne retrouve aucun des résultats classiques des gaz.. G = H − T S = 4pV − 14.4.2 Loi d’évolution d’une isentropique De plus, pour une transformation adiabatique réversible, le gaz de photons ne reçoit pas de chaleur d’où : δQ = 0 = dU + p dV = σB d(T 4 V ) + p dV = 4 σB T 3 V dT + (σB T 4 + p) dV On déduit de l’équation d’état (14.13) que dp = 43 σB T 3 dT d’où : δQ = 0 = 3 V dp + 4 p dV soit ln p3 V 4 = Cste La transformation isentropique d’un gaz de photons est donc soumise à une loi ”analogue” à la loi de Laplace (3.24) qui s’énonce : p3 V 4 = Cste ou encore p V 4/3 = Cste (14.17) On verra un exemple d’application de cette loi au § 16.1. 14.4.3 Capacités thermiques du rayonnement On peut déduire de (14.11) que : CV = ∂U ∂T = 4 σB T 3 V V où CV représenta la capacité thermique du rayonnement. On obtient par exemple (pour 1 cm3 ) CV = 81, 6 10− 15 J/K pour T = 300 K et CV = 0, 38 10− 3 J/K pour T = 0, 5 106 K. On voit donc que cette capacité thermique n’est de l’ordre de grandeur des capacités thermiques des systèmes matériels habituels que pour des températures supérieures à plusieurs centaines de milliers de degrés 8 . D’après (14.13), une transformation isobare d’un gaz de photons est également isotherme. La capacité thermime à pression constante (donnée par Cp = (∂H/∂T )p ) n’est pas définie et le rapport γ = Cp /CV non plus. L’exposant 4/3 obtenu dans l’équation (14.17) de l’isentropique n’a donc pas la même signification physique que pour le gaz parfait ! 7. Cela signifie en particulier que pour une réaction de photolyse à l’air libre (donc monobare et monotherme) telle que AB ⇆ A + B, le photon qui induit la réaction n’apparaı̂t pas dans la variation d’enthalpie libre entre les composants : ∆G = GA + GB − GAB La constante d’action de masse ne fait jamais intervenir d’activité photonique ! 8. Puisque pour 1 cm3 , on a : CV ≈ n R ≈ Thermodynamique classique, P. Puzo 8, 314 ≈ 0, 37 10− 3 J/K 22400 296 14.5. ETUDE CORPUSCULAIRE DU RAYONNEMENT Exercice 14.4 : Lévitation par pression de radiation Une coquille hémisphérique, de masse m et de rayon r, est constituée d’un métal parfaitement refléchissant. On éclaire la base de cette coquille à l’aide d’un faisceau laser cylindrique de rayon R et de puissance P . A quelle condition la coquille est-elle maintenue en lévitation ? 14.5 Etude corpusculaire du rayonnement On peut retrouver la relation (14.14) en utilisant le raisonnement corpusculaire utilisé au § 2.1.3 pour établir la pression cinétique. On considère pour cela une enceinte close de volume V dont les parois sont à la température T . Elle renferme un rayonnement assimilé à des photons d’énergie ǫ = h ν associée à la quantité de mouvement P~ telle que : ǫ P~ h ν P~ = P~ = c P cP (14.18) ~ = dS ~n de ces parois soumis aux chocs des photons de On considère un élément de surface dS l’enceinte et on étudie le choc (supposé élastique) sur la paroi d’un de ces photons d’énergie ǫ, et de quantité de mouvement incidente et réfléchie P~i et P~r respectivement. Au cours du rebond, dont on suppose qu’il dure dt, le photon subit la force f~i donnée par : P~r − P~i ∆P~ = f~i = dt dt Avec les notations de la figure ci-dessous, on en déduit que : 2 Pi cos(θ) 2 ǫ cos(θ) f~i = − ~n = − ~n dt c dt La force F~i subie par la paroi est alors : 2 ǫ cos(θ) ~n F~i = c dt (14.19) Le volume élémentaire dτ dans lequel doit se trouver le photon pour entrer en collision avec dS pendant dt est dτ = c dt cos(θ) dS. La probabilité que le photon s’y trouve vaut : P(dτ ) = Thermodynamique classique, P. Puzo dτ V (14.20) 297 14.5. ETUDE CORPUSCULAIRE DU RAYONNEMENT v ∆ t M v M Surface S θ θ Surface S 2mvx ex ex Figure 14.9 – Quantité de mouvement transférée à la paroi par chaque photon (cette figure est identique à la figure 2.3) Figure 14.10 – Volume initialement occupé par les photons qui viennent heurter la paroi pendant ∆t (cette figure est identique à la figure 2.4) On note n(ǫ) le nombre de photons d’énergie ǫ et P(ǫ) la probabilité associée : P(ǫ) = n(ǫ) N (14.21) où N est le nombre total de photons. Pour qu’un photon contenu dans le volume dτ heurte la paroi dS pendant dt, il faut également que sa quantité de mouvement P~i soit comprise dans l’angle solide dΩ = 2 π sin(θ) dθ. Les chocs subis par dS ne proviennent que d’un seul demi-espace, donc l’angle solide à considérer est Ω = 2 π. La probabilité P qu’un photon ait son impulsion P~i dans l’angle solide dΩ est donc : dΩ = sin(θ) dθ (14.22) P(dΩ) = Ω La force résultant des photons qui exercent la force F~i donnée par (14.19) pendant l’intervalle de temps dt peut s’écrire : 1 δ3 F~ = N × P(dτ ) × P(ǫ) × P(dΩ) × F~i 2 où le facteur 1/2 vient du fait que seuls les photons se dirigeant vers la paroi vont contribuer à la ~ . On en déduit que : force δ3 F 1 ~ ǫ n(ǫ) × cos2 (θ) sin(θ) dθ × dS δ3 F~ = V En introduisant la densité volumique d’énergie u définie par : 1 X u = ǫ n(ǫ) V ǫ (14.23) on montre que la force totale qui s’exerce sur la paroi dS pendant dt peut se mettre sous la forme : ! Z π/2 2 ~ ~ = 1 u dS cos (θ) sin(θ) dθ × dS δF~ = u × 3 0 Cette force qui s’exerce sur la surface dS est équivalente à une pression de radiation dont l’expression serait : u p = (14.24) 3 On retrouve bien la relation (14.14) obtenue précédemment. Remarque : Il est cohérent de ne pas prendre en compte de terme de pression moléculaire comme on l’a fait pour le gaz réel (§ 6.2) car il n’existe pas de force attractive entre les photons ! Thermodynamique classique, P. Puzo 298