TD-N 4 C - Copie

Université Moulay Ismail
Ecole Normale Supérieure (ENS), Meknès
Travaux Dirigés d’Optique Géométrique
Série N : 4
Exercice 1 :Étude d’un prisme
On considère un prisme d'angle A et d'indice n (fig. 1).
1. En respectant les notations de la figure 1 et le choix du sens positif pour les angles,
Justifier rapidement les « formules » du prisme:
sin 𝑖 = 𝑛 sin 𝑟
sin 𝑖 ′ = 𝑛 sin 𝑟 ′
𝐴 = 𝑟 − 𝑟′
2. Calculer la déviation D, du rayon émergent par rapport au rayon incident, en fonction de
i', i et A.
3. On considère le train de trois prismes disposés comme cela est indiqué sur la figure 2. Les
deux prismes extrêmes sont identiques d'angle A = 90° et d'indice n. Le prisme
intermédiaire a un angle A0 et un indice n0 . L'ensemble présente une symétrie par rapport
au plan π bissecteur du dièdre A0 .
Les indices n et n0 sont fonctions de la longueur d'onde et l’on donne :
𝜆 = 589.3 ; 𝑛 = 1.51105 ; 𝑛0 = 1.63620
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Calculer la déviation D en fonction de i ', i et A0 .
4. On veut que cette déviation soit nulle, pour la longueur d'onde λ0 = 589,3 nm, pour les
rayons incidents parallèles à l'axe z'z orthogonal au plan π.
a. Tracer la marche d'un tel rayon.
b. Exprimer A0 en fonction de n et n0, pour qu'il en soit ainsi.
c. Calculer Valeur numérique de A0 ?
Exercice 2 : Étude simplifiée de l’arc-en-ciel
Soit la figure 1 qui donne la coupe d’une goutte d’eau dans un plan méridien où arrive un
rayon incident monochromatique sur la goutte d’eau d’indice n = 1,33.
Figure 1
a) Étude géométrique
i)
Tracer le parcours du rayon incident dans la goutte d’eau en admettant que ce
rayon ne subit qu’une seule réflexion interne.
ii)
Pour le rayon sorti de la goutte, déterminer la déviation D en fonction de i1 et n
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iii)
Montrer que la déviation D passe par extremum Dm pour une valeur i1m de i1 que
l’on calculera.
On rappelle que la dérivée de la fonction : f (x) = Arc sin (x) est :
𝑓 ′ (𝑥) =
iv)
1
√1 − 𝑥 2
Montrer que cet extremum est un minimum.
Le modèle de l’arc-en-ciel est maintenant introduit à partir du concept de la goutte d’eau
sphérique de rayon R, d’indice n, recevant des rayons lumineux provenant du soleil
supposé ponctuel et à l’infini. Le rayon lumineux pénètre dans la goutte, y subit une
réflexion et en ressort.
v)
Pourquoi observe-t-on un arc de cercle ? On s’aidera d’un schéma de la situation
pour se rendre compte de la symétrie du phénomène.
vi)
Pourquoi l’observation du phénomène est-elle impossible à midi ?
vii) Deux observateurs distants de quelques mètres voient-ils la même image du
phénomène ?
b) Étude de la dispersion
Dans cette partie on travaille en lumière blanche.
i)
Quelle est l’étendue du spectre visible dans le domaine des longueurs d’onde ?
ii)
Pourquoi observe-t-on des couleurs dans l’arc-en- ciel ?
iii)
On donne les indices de l’eau pour les radiations bleue et rouge du spectre de la
lumière blanche : nB = 1,3371 ; nR = 1,3311. Calculer les angles d’incidence
correspondant à la déviation minimale pour chacune de ces radiations, puis les
déviations minimales correspondantes.
iv)
Quel est l’ordre des couleurs vues par l’observateur ?