transformateur 04 janv 2019

Transformateur monophasé
Abdallah Darkawi
To cite this version:
Abdallah Darkawi. Transformateur monophasé. École d’ingénieur. France. 2019. �cel-02024931�
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Transformateur
monophasé
DUT1 GEII-GIM / A1 ICAM 2018 - 2019
Abdallah DARKAWI
1
Plan du cours
I. Principe de fonctionnement
II. Transformateur parfait
II.1. Equations
II.2. Rapport de transformation
III.3. Cas d’une alimentation sinusoïdale
III. Schéma équivalent du transformateur réel
III.1. Inductance de fuites.
III.2. Inductance magnétisante
III.3. Pertes fer
III.4. Résistances des bobinages
III.5. Schéma équivalent du transformateur
IV. Schéma équivalent du transformateur simplifié
IV.1. Impédances ramenées au primaire
IV.2. Impédances ramenées au secondaire
IV.3. Bilan des pertes
V. Améliorations technologiques
VI. Transformateurs spéciaux
VI.1. Transformateurs à deux secondaires
VI.2. Autotransformateur
2
Transformateur monophasé.
I. Principe de fonctionnement.
Un transformateur monophasé comporte deux enroulements bobinés autour
d’un circuit magnétique.
N1
N2
3
Transformateur monophasé.
i1(t)
v1(t)
i2(t)
N1
primaire
N2
v2(t)
secondaire
• L’enroulement 1 est appelé
primaire c ’ est l ’ entrée du
transformateur.
• L’enroulement 2 est appelé
secondaire c’est la sortie du
transformateur.
• Le
primaire
d ’ un
transformateur est toujours
fléché en convention récepteur.
• Le secondaire d ’ un
transformateur est toujours
fléché
en
convention
générateur.
4
Transformateur monophasé.
F(t)
i1(t)
v1(t)
i2(t)
N1
N2
v2(t)
• Lorsque l’on alimente le primaire par une tension v1(t) variable on génère
un flux F(t) variable.
v1 (t)  N1
dΦ (t)
dt
• La variation du flux F(t) génère alors une tension variable v2(t).
v 2 (t)  N 2
dΦ (t)
dt
5
Transformateur monophasé.
II. Transformateur parfait.
II.1 Equations.
On suppose dans cette partie le transformateur parfait, toutes les
imperfections sont négligées.
i1(t)
N1
N2
v1(t)
i2(t)
v2(t)
Transformateur parfait.
6
Transformateur monophasé.
i1(t)
i2(t)
v1(t)
v2(t)
dΦ (t)
dt
dΦ (t)
v1 (t)  N1
dt
v 2 (t)  N 2
R Φ (t)  N1 i1 (t) - N 2 i 2 (t)
7
Transformateur monophasé.
II.2 Rapport de transformation.
i1(t)
i2(t)
v2(t)
v1(t)
v 2 (t) N 2
m

v1 (t) N1
v 2 (t)  N 2
dΦ (t)
dt
v1 (t)  N1
dΦ (t)
dt
Le rapport m est appelé le rapport de
transformation.
Le transformateur est supposé parfait c’est-à-dire sans pertes on a alors p1(t)
= p2(t)
v1(t) i1(t) = v2(t) i2(t).
v1(t) i1(t) = m v1(t) i2(t).
m
i1 (t) N 2

i 2 (t) N1
8
Transformateur monophasé.
Première remarque sur le transformateur parfait :
m
i1 (t) v 2 (t) N 2


i 2 (t) v1 (t) N1
R Φ (t)  0
R 
l moy
0  r S
0
et
R Φ (t)  N1 i1 (t) - N 2 i 2 (t)
R  0 car F (t)  0
Dire que le transformateur est parfait revient à dire que
la perméabilité relative r du circuit magnétique est
infini.
Deuxième remarque sur le transformateur parfait :
Si m < 1 le transformateur est un abaisseur de tension ( v2(t) < v1(t) ).
Si m > 1 le transformateur est un élévateur de tension ( v2(t) > v1(t) ).
Si m = 1 le transformateur est un transformateur d’isolement, pas de liaison
électrique entre l’entrée et la sortie ( v2(t) = v1(t) ).
9
Transformateur monophasé.
II.3 Cas d’une alimentation sinusoïdale.
i1(t)
i2(t)
v2(t)
v1(t)
dΦ (t)
v1 (t)  N1
dt
F(t)  -
v1 (t)  V 2 sin (w t)
dΦ (t)
dt
dΦ (t)
v 2 (t)  N 2
dt
v1 (t)  N1
V 2
cos (w t)  - F max cos (w t)
N1 w
On est en régime sinusoïdal permanent.
V1eff  4,44 N1 Bmax S f
V2eff  4,44 N 2 Bmax S f
10
Transformateur monophasé.
III. Schéma équivalent du transformateur réel.
III.1 Inductance de fuites.
On suppose le transformateur à vide i2(t) = 0.
F(t)
i1(t)
v1(t)
i2(t)
N1
Ff1(t)
N2
v2(t)
La tension est à l’origine de deux flux. Le flux principal F(t) et un deuxième
flux plus faible ne traversant pas le circuit magnétique Ff1(t).
11
Transformateur monophasé.
F(t)
i1(t)
v1(t)
i2(t)
N1
Ff1(t)
N2
v2(t)
dΦ total (t)
dΦ (t)
dΦ f1 (t)
v1 (t)  N1
 N1
 N1
dt
dt
dt
Le flux Ff1(t) n’est généré que par la présence du courant i1(t).
Le flux F(t) est généré par la présence du courant i1(t) et éventuellement du
courant i2(t).
2
On peut écrire :
R f1 Φ f1 (t)  N1 i1 (t)
N1
l f1 
R f1
L’inductance lf1 est difficile à estimer, le trajet de F1(t) étant inconnu.
12
Transformateur monophasé.
On a le même phénomène si i1(t) = 0.
F(t)
On a :
i1(t)
v1(t)
R f2 Φ f2 (t)  N 2 i 2 (t)
i2(t)
N1
Ff2(t)
N2
N 22
l f2 
R f2
v2(t)
L’inductance lf2 est aussi
difficile à estimer.
dΦ (t)
di1 (t)
v1 (t)  N1
 lf1
dt
dt
lf1 i (t)
1
v1(t)
dΦ (t)
N1
dt
v 2 (t)  N 2
m
dΦ (t)
di 2 (t)
 lf2
dt
dt
i2(t) lf2
dΦ (t)
N2
dt
v2(t)
13
Transformateur monophasé.
III.2 Inductance magnétisante.
dΦ (t)
di1 (t)
R Φ (t)  N1 i1 (t) - N 2 i 2 (t)
v1 (t)  N1
 lf1
dt
dt
N2
 N1 i1 (t) - N 2 i 2 (t) 


d
d
i
(t)
i
(t)
1
2



2
dF (t)
R
N1
  N1 

N1
 N1 
dt
dt
R
dt
dF (t) N12 di1 (t) - m i 2 (t)
N1

dt
R
dt
Le courant m i2(t) est le courant en entrée du transformateur parfait alors que
i1(t) est le courant d’alimentation.
On note Lm l’inductance magnétisante :
N12
Lm 
R
14
Transformateur monophasé.
i1(t)
lf1
m i2(t)
m
i2(t)
lf2
im(t)
Lm
v1(t)
i m (t)  i1 (t) - m i 2 (t)
v2(t)
N12
Lm 
R
Cette inductance est aussi appelé inductance propre du circuit , voir cours sur
bobine à noyau de fer.
Le courant circulant dans cette inductance est le courant magnétisant, courant
créant la flux dans le circuit magnétique.
Le courant magnétisant est le courant absorbé à vide, le système à vide
i2(t)=0 équivaut à une inductance.
Inductances de fuites :
L f1 et L f2 .
15
Transformateur monophasé.
III.3 Pertes fer.
Les pertes fer sont les pertes dans le circuit magnétique, elles ont deux
origines : les pertes par courant de Foucault et les pertes par Hystérésis.
• Pertes par Hystérésis.
dF(t)
v (t)  N
dt
B(t) est proportionnel à
la tension
B(T)
Br
Hc
H(A tr/m)
Théorème d’ampère
H (t) l moy   N n i n (t)
H(t) est proportionnel au courant
magnétisant (courant dans Lm)
16
Transformateur monophasé.
dF(t)
v (t)  N
dt
B(t) est proportionnel à
la tension
B(T)
Br
Hc
H(A tr/m)
Théorème d’ampère
H (t) l moy   N n i n (t)
H(t) est proportionnel au courant
magnétisant (courant dans Lm)
On perd de l’énergie W
à chaque parcourt de cycle.
Les pertes par hystérésis sont alors proportionnelles à la largeur du cycle,
propriété du circuit magnétique, et à la période de parcourt :
PHystérésis 
W
 W*f
T
17
Transformateur monophasé.
•Pertes par courant de Foucault.

S

B
Soit une surface S traversée par une
induction B uniforme, constant sur la
surface, et perpendiculaire à la
surface.
Apparition d’un flux F.
Φ(t)  B(t) S

S

B
Soit deux points A et B de la surface S.
B
Apparition d’une tension VAB(t)
A
dF(t)
VAB (t) 
dt
18
Transformateur monophasé.
iAB(t)
A
B
Si la surface S est conductrice il y a
apparition d’un courant iAB(t).
Problème le chemin emprunté par le
courant est difficile à calculer. Ce qui
rend difficile le calcul de la résistance
RAB.
Il y a un courant dans une résistance soit des pertes :
2
VAB
dF(t)
PCourant de Foucault 
et VAB (t) 
R AB
dt
Soit une induction sinusoïdal:
Φ(t)  B(t) S  Bmax sin 2π f  t  S
VAB (t)  Bmax 2π f  cos2π f  t  S
Ces pertes sont proportionnelles au carré de Bmax et au carré de f.
Mais les pertes sont aussi proportionnelles au carré la section du circuit
magnétique et inversement proportionnelles à sa résistivité R.
19
Transformateur monophasé.
•Pertes Fer.
PFer  PHystérésis  PCourant de Foucault
Une partie de ces pertes sont proportionnelles à f 2 et une autre à f.
Les documents constructeur des circuits magnétiques donnent les pertes fer
sous cette forme :
k
2
 f   Bmax 
PFer  C P   
 .M
 50   1 
CP sont les pertes en W/kg à 50 Hz pour une induction Bmax =1T.
M est la masse en kilogrammes du circuit magnétique.
On a 1 < k < 2 ce coefficient est un indicateur de la nature des pertes.
Si k est proche de 1 les pertes sont essentiellement du à l’Hystérésis.
Si k est proche de 2 les pertes sont essentiellement du au courants de
Foucault.
20
Transformateur monophasé.
Les pertes fer sont des pertes par effet Joule, on représente ces pertes dans le
schéma équivalent par une résistance Rfer.
lf1
i1(t)
v1(t)
N1
dΦ (t)
dt
m i2(t)
Lm
Rfer
m
i2(t)
lf2
v2(t)
La résistance Rfer, équivalente aux pertes fer, est en parallèle de l’inductance
magnétisante car seul la tension créant du flux génère des pertes.
21
Transformateur monophasé.
III.4 Résistances des bobinages.
Les enroulements sont réalisés en fil de cuivre. Ce fil de cuivre possède une
certaine résistance, cette résistance dépend de la section et de la longueur du
fil.
i1(t) r1
v1(t)
lf1
Rfer
m i2(t)
Lm
m
i2(t)
lf2
r2
v2(t)
Les résistances r1 et r2 sont respectivement les résistances des enroulements
primaire et secondaire.
22
Transformateur monophasé.
III.5 Schéma équivalent du transformateur.
i2(t)
i1(t)
v1(t)
N1 N2
v2(t)
v1(t)
v2(t)
N1
2
Transformateur réel.
i1(t) r1
v1(t)
lf1
Rfer
m i2(t)
m
N
i2(t)
lf2
Lm
r2
v2(t)
Schéma équivalent transformateur réel.
23
Transformateur monophasé.
IV. Schéma équivalent simplifié.
IV.1 Impédances ramenées au primaire.
i1(t) r1
v1(t)
lf1
m i2(t)
Rfer
Lm
i1(t) r1
lf1
m i2(t)
v1(t)
Rfer
Lm
m
i2(t)
lf2
r2
v2(t)
l’f2
r’2
m
i2(t)
v2(t)
24
Transformateur monophasé.
i1(t) r1
lf1
v1(t)
Rfer
m i2(t)
l’f2
r’2
m
i2(t)
v2(t)
Lm
•Pertes joules au secondaire.
Pj  r2 i 22eff
Pertes joules dans la résistance r2 placée au secondaire.

Pj  r'2 m i 2eff

2
Pertes joules dans la résistance r’2 placée au primaire.
Si les deux schémas sont équivalents les pertes joules sont identiques

r2 i 22eff  r'2 m i 2eff

2
r2
r'2  2
m
25
Transformateur monophasé.
i1(t) r1
lf1
v1(t)
Rfer
m i2(t)
l’f2
r’2
m
i2(t)
v2(t)
Lm
•Puissances réactives dans les inductances de fuites
Q 2  l f2 w i 22eff
Puissance réactive dans lf2 placée au secondaire.
Q2  l' f2 w m i 2eff  2 Puissance réactive dans l’f2 placée au primaire.
Si les deux schémas sont équivalents les puissances sont les mêmes :
l f2 i 22eff  l'f2 m i 2eff  2
lf2
l'f2  2
m
26
Transformateur monophasé.
i1(t) r1
lf1
v1(t)
Rfer
m i2(t)
l’f2
r’2
m
i2(t)
v2(t)
Lm
En pratique la chute de tension au primaire est faible
di1 (t)
r1 i1 (t)  lf1
 v1 (t)
dt
i1(t)
l’f2
lf1
r’2
m
i2(t)
m i2(t)
Rfer
v1(t)
r1
Lm
v2(t)
27
Transformateur monophasé.
i1(t)
l’f2
lf1
m
r’2
i2(t)
m i2(t)
Rfer
v1(t)
r1
v2(t)
Lm
•Schéma équivalent impédances ramenées au primaire.
v1(t)
Rfer
i1(t)
rp
Lm
lp
m i2(t)
m
i2(t)
v2(t)
lf2
l P  lf1  2
m
rP  r1 
r2
m2
28
Transformateur monophasé.
IV.2 Impédances ramenées au secondaires.
v1(t)
Rfer
i1(t)
rp
lp
m i2(t)
m
i2(t)
Lm
v2(t)
l P  lf1 
lf2
m2
rP  r1 
r2
m2
•Schéma équivalent impédances ramenées au secondaire.
v1(t)
Rfer
i1(t)
m i2(t)
m
i2(t) rS
Lm
lS  m 2 l f1  l f2
lS
v2(t)
lS  m 2 l P
rS  m 2 rP
rS  m 2 r1  r2
29
Transformateur monophasé.
IV.3 Bilan des pertes.
v1(t)
Rfer
i1(t)
m i2(t)
m
i2(t) rS
lS
Lm
v2(t)
•Pertes à vide : i2(t)=0
V12
P10 
R fer
V12
Q10 
Lm w
V12
•Pertes en charge : P 
 rS i 22eff
R fer
V12
Q
 lS w i 22eff
Lm w
Les pertes en charge sont fonction du courant de charge.
30
Transformateur monophasé.
III.4 Tension de sortie et chute de tension.
Rfer
v1(t)
m
m i2(t)
i1(t)
Lm
i2(t) rS
m v1(t)
lS
v2(t)
di 2 (t)
dt
v 2 (t)  m v1 (t) - r S i 2 (t) - lS
•A vide i2(t) : v 20 (t)  m v1 (t)
•En charge : v 20 (t)  m v1 (t) En complexe v 2  m v1 - r S  j lS w  i 2
V20  m V1
jl S w I 2
V2
I2
j rS I 2
31
Transformateur monophasé.
v1(t)
Rfer
i1(t)
m i2(t)
m
i2(t) rS
Lm
m v1(t)
V20  m V1
j
lS
v2(t)
jl S w I 2
V2
I2
j
rS I 2
j
•Chute de tension au secondaire:  v 2  v 20 - v 2  r S  j lS w  i 2
Si la chute de tension dans rS et lSw est faible, on fait l’approximation
suivante :
v 2  r S I 2eff cos j  lS w I 2eff sin j
32
Transformateur monophasé.
IV.5 Rendement du transformateur.
Le transformateur permet un transfert de puissance du primaire vers le
secondaire.
m i2(t)
v1(t)
η
Rfer
i1(t)
Lm
m
i2(t) rS
lS
m v1(t)
v2(t)
Puissance fournie en sortie du secondaire
Puissance absorbée au primaire
η
V2eff
V2eff I 2eff cosj 2
I 2eff cosj 2  rS I 22eff  Pfer
33
Transformateur monophasé.
IV.6 Détermination expérimentale du schéma équivalent.
On utilise le schéma équivalent impédances ramenées au secondaire.
Première étape lire sur la plaque signalétique
i2(t)
constructeur. On y trouve généralement la
tension primaire nominale V1n et la puissance
v2(t) apparente S1n.
i1(t)
v1(t)
N1
Rfer
i1(t)
v1(t)
La puissance S1n permet le calcul du courant
nominal I1n.
N2
m i2(t)
Lm
m
i2(t) rS
m v1(t)
lS
v2(t)
34
Transformateur monophasé.
•Essai à vide i2(t)=0 et V1eff=V1n :
A
W
v1(t)
i1(t)
V
i2(t)
v2(t)
V
Dans l’essai les voltmètres sont placés au plus près du transformateur.
L’essai à vide se fait sous tension nominale V1eff = V1n .
Mesures de :
• V20 tension au secondaire à vide.
• V1 la tension au primaire.
• I10 le courant primaire à vide.
• P10 la puissance absorbée à vide.
35
Transformateur monophasé.
Rfer
v1(t)
m
m i2(t)
i1(t)
i2(t) rS
Lm
m
v2(t)
V20
V1n
V1n2
P10 
R fer
R fer
Q10  S - P 
2
10
m v1(t)
lS
2
10
V1n2

P10
V1n I10 
2
V1n2
-P 
Lm w
V1n2
Lm w 
Q10
2
10
36
Transformateur monophasé.
•Essai en court-circuit à vide v2(t)=0 et I1eff=I1n :
A
v1(t)
W
i1(t)
i2(t)
V
v2(t)
L’essai en court-circuit se fait sous tension réduite au primaire et courant
nominal. On évite de mesurer le courant au secondaire, l’ampèremètre au
secondaire fausserait la mesure.
Mesures de :
•V1CC la tension au primaire donnant le courant nominal.
• I1CC le courant primaire en court-circuit.
• P1CC la puissance absorbée en court-circuit.
37
Transformateur monophasé.
i1(t)
m i2(t)
m
lS
i2(t) rS
v1(t)
Rfer
i’1(t)
Lm
v2(t)
m v1(t)
Dans cet essai on a V1CC<< V1n et donc I’1 << I1n , par conséquent I1n = m I2n.
2
P1CC
2
V1CC
 I1n 
 I1n 

 rS    rS  
R fer
m
m
2
2
Q1CC  S1CC
- P1CC

m
rS  P1CC  
 I1n 
2
2
V1CC I1n 2 - P1CC
2
Q 1CC
2
2
V1CC
 I1n 
 I1n 

 lS w    lS w  
Lm w
m
m
2
m
lS w  Q1CC  
 I1n 
2
38
Transformateur monophasé.
V. Améliorations technologiques.
V.1 Inductances de fuites.
i1(t)
v1(t)
i2(t)
N1
N2
v2(t)
Courant sortant.
Courant entrant.
primaire
secondaire
39
Transformateur monophasé.
F(t)
Ff1(t)
Ff2(t)
Les flux de fuites sont essentiellement du aux lignes d’induction non
canalisées par le circuit magnétique. Les flux de fuites sont présent aux
extrémités du système, la où le circuit magnétique est absent.
Pour limiter le flux de fuite on utilise la configuration suivante :
40
Transformateur monophasé.
Le bobinage peut être placé de différentes méthodes mais la totalité du
bobinage se trouve placé à l’intérieur du circuit magnétique pour diminuer
au maximum les flux de fuites.
41
Transformateur monophasé.
V.2 Pertes par courant de Foucault.

B
B
iAB(t)
2
VAB
PCourant de Foucault 
R AB
dF(t)
VAB (t) 
dt
A
Les pertes sont proportionnelles au carré de la tension et donc au carré de la
surface ( F = BS ). Si l’on souhaite conserver la même surface totale mais
en diminuant les pertes on procède à un feuilletage du circuit magnétique.

B
B
A
Le circuit magnétique est découpé en
lamelle, toutes les lamelles sont
isolées entre elles.
Les surfaces sont alors plus faible et
les pertes considérablement réduites.
42
Transformateur
Transformateur
monophasé.
monophasé.

B
B
A
Le feuilletage est obtenue en
empilant des tôles élémentaires
(voir circuit magnétique).
43
Transformateur monophasé.
VI. Transformateur spéciaux.
VI.1 Transformateur à deux secondaires.
i2(t)
N2
i1(t)
v1(t)
N1
v2(t)
i’2(t)
N2
v’2(t)
Ce transformateur permet d’obtenir deux tensions de sortie isolées entre elles.
44
Transformateur monophasé.
VI.2 Autotransformateur.
Ce transformateur ne possède pas d’isolement entre l’enroulement primaire
et l’enroulement secondaire.
La borne de sortie est connectée à un curseur mobile permettant de faire
varier N2.
i1(t)
v1(t)
i2(t)
N1
N2
v2(t)
L ’ intérêt du dispositif est de
faire varier la tension de sortie
par la variation de la position du
curseur.
Ce dispositif est similaire à un
potentiomètre, l ’ avantage est
qu ’ il consomme peu de Watt
(uniquement les pertes).
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