ANALYSE COMPLEXE

Dérivation des nombres complexes
GHIZLANE IDIR
1. 𝑓 (𝑍) = 𝑍0
𝑓 (𝑍) Une fonction constante donc de classe 𝐶 ∞ donc
dérivable :
𝑓(𝑍)−𝑓(𝑍0 )
lim
𝑍−𝑍0
𝑍→𝑍𝑂
= lim
𝑧𝑜 −𝑍0
𝑍→𝑍𝑂 𝑍−𝑍0
=0
Donc :𝑓 ′ (𝑍) = 0
2. 𝑓 (𝑍) = 𝑍
𝑓 (𝑍) = Z Une fonction dérivable Alors :
lim
𝑓(𝑍)−𝑓(𝑍0 )
𝑍→𝑍𝑂
𝑍−𝑍0
= lim
𝑍−𝑍0
𝑍→𝑍𝑂 𝑍−𝑍0
=1
D’où 𝑓(𝑍) est dérivable en 𝑍0 avec 𝑓 ′ (𝑍) = 1
3. 𝑓 (𝑍) = |𝑍|
4. 𝑓 (𝑍) = 𝑍 𝑛
𝑓(𝑍0 + ℎ) − 𝑓(𝑍0 )
(𝑍0 + ℎ)𝑛 − 𝑍0𝑛
lim
= lim
ℎ→0
ℎ→0
ℎ
𝑍
=
𝑛(𝑛 − 1)
𝑛
𝑍0𝑛 + (𝑍0 )𝑛−1 ℎ1 +
(𝑍0 )𝑛−2 ℎ2 +. . . . . . . +ℎ𝑛 − 𝑍0𝑛
1
2
lim
ℎ→0
ℎ
𝑛(𝑛 − 1)
𝑛
𝑛−2
𝑛−1
ℎ(1 (𝑍0 )𝑛−1 ℎ1 +
(𝑍
)
ℎ+.
.
.
.
.
.
.
+ℎ
)
0
2
lim
ℎ→0
ℎ
𝑛
= 1 (𝑍0 )𝑛−1 +
𝑛(𝑛−1)
2
(𝑍0 )𝑛−2 ℎ+. . . . . . . +ℎ𝑛−1
=n𝑍0 𝑛−1
Donc : 𝑓 ′ (𝑍) =n𝑍0 𝑛−1
1
5. 𝑓 (𝑍) = 𝑍𝑛
1
1
−
𝑓(𝑍0 + ℎ) − 𝑓(𝑍0 )
(𝑍0 + ℎ)𝑛 (𝑍0 )𝑛
lim
= lim
ℎ→0
ℎ→0
ℎ
ℎ
(𝑍0 )𝑛 − (𝑍0 + ℎ)𝑛
(𝑍0 + ℎ)𝑛 (𝑍0 )𝑛
= lim
ℎ→0
ℎ
𝑛
(𝑍0 ) − (𝑍0 + ℎ)𝑛
= lim
ℎ→0 ℎ(𝑍0 + ℎ)𝑛 (𝑍0 )𝑛
𝑛(𝑛 − 1)
𝑛
𝑛−2 2
𝑛
𝑍0 𝑛 − 𝑍0𝑛 − 1 (𝑍0 )𝑛−1 ℎ1 −
(𝑍
)
ℎ
−.
.
.
.
.
.
.
−ℎ
0
2
= lim
𝑛(𝑛 − 1)
𝑛
ℎ→0
ℎ(𝑍0𝑛 + 1 (𝑍0 )𝑛−1 ℎ1 +
(𝑍0 )𝑛−2 ℎ2 +. . . . . . . +ℎ𝑛 )(𝑍0 )𝑛
2
𝑛(𝑛 − 1)
𝑛
𝑛−2 1
𝑛−1
ℎ(− 1 (𝑍0 )𝑛−1 −
(𝑍
)
ℎ
−.
.
.
.
.
.
.
−ℎ
)
0
2
= lim
𝑛(𝑛 − 1)
𝑛
ℎ→0
ℎ(𝑍0𝑛 + 1 (𝑍0 )𝑛−1 ℎ1 +
(𝑍0 )𝑛−2 ℎ2 +. . . . . . . +ℎ𝑛 )(𝑍0 )𝑛
2
= lim
ℎ→0
𝑛(𝑛 − 1)
𝑛
− 1 (𝑍0 )𝑛−1 −
(𝑍0 )𝑛−2 ℎ1 −. . . . . . . −ℎ𝑛−1
2
𝑛(𝑛 − 1)
𝑛
𝑛−2 ℎ2 +. . . . . . . +ℎ𝑛 )(𝑍 )𝑛
𝑍0𝑛 + 1 (𝑍0 )𝑛−1 ℎ1 +
(𝑍
)
0
0
2
−𝑛(𝑍0 )𝑛−1
=
𝑍0𝑛 (𝑍0 )𝑛
−𝑛
𝑍0𝑛+1
=
−𝑛(𝑍0 )𝑛−1
(𝑍0 )2𝑛
=
−𝑛(𝑍0 )−1
(𝑍0 )𝑛
=
−𝑛
(𝑍0 )𝑛 𝑍0
=
−𝑛
Donc : 𝑓 ′ (𝑍) = 𝑍𝑛+1
0