Mécanique des fluides Chapitre 1 : Statique des fluides Chapitre 1 Statique des fluides 1. Notion de pression Considérons un fluide en équilibre dans un récipient (fig 1), ses particules sont au repos macroscopique (absence de vitesse d’écoulement) : les molécules, elles, sont animées de mouvement désordonnés qui constituent l’agitation thermique. ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑑𝑭 Chocs sur la paroi solide Particule en mvt Milieu fluide Fig 1 Fig 2 Les chocs des molécules sur les parois fixes du récipient (fig 2) se traduisent, à l’échelle macroscopique par une force ⃗⃗⃗ 𝐹 liée à la variation de quantité de mouvement des molécules ayant frappé la paroi pendant un laps de temps donné. Pour un élément de surface dS le nombre de chocs est proportionnel à dS. La force ⃗⃗⃗ 𝐹 est normale à dS. On écrit donc pour un élément de surface 𝑑𝑆 : ⃗⃗⃗⃗⃗ = −𝑃𝑑𝑆. 𝑛⃗ 𝑑𝐹 Où⃗⃗⃗𝑛 est le vecteur unitaire normal à 𝑑𝑆, dirigé de la surface du récipient vers le fluide. La grandeur scalaire 𝑃 s’appelle la pression. Dans le système international, l’unité est le pascal (Pa) 1𝑃𝑎 = 1𝑁/𝑚² c’est une pression très faible on utilise souvent les multiples du Pascal : 1 𝑏𝑎𝑟 = 105 𝑃𝑎 = 1𝑑𝑎𝑁/𝑐𝑚² 1𝑀𝑃𝑎 = 106 𝑃𝑎 = 1𝑁/𝑚𝑚² Nabil HACHANI 1 Mécanique des fluides 2. Chapitre 1 : Statique des fluides Loi fondamentale de l’hydrostatique Toute l’hydrostatique est résumée dans la formule suivante. C’est la loi fondamentale : La différence de pression entre deux points situés dans le même fluide incompressible est proportionnelle à la dénivellation, soit : 𝑝𝐴 – 𝑝𝐵 = 𝜌𝑔 ( 𝑧𝐵 – 𝑧𝐴 ) = 𝜌𝑔. ℎ 3. Action d’un fluide sur une surface – centre de poussée On se propose de calculer la résultante des forces de pression 𝐹 d’un fluide sur une surface solide ainsi que la position de son point d’application C (centre de poussée) 𝑂𝐶 = 𝑧𝑐 . La paroi solide est une surface plane de largeur uniforme b. O z h zc ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑑𝐹 𝐹 Milieu fluide Paroi solide C Z Considérant un élément de surface 𝑑𝑆 = 𝑏. 𝑑𝑧 en un point 𝑀(𝑧) où 𝑏 est la largeur du récipient. La force élémentaire s’exerçant sur cet élément de surface est alors : 𝑑𝐹 = 𝑃𝑑𝑆 = 𝜌𝑔𝑧. 𝑏𝑑𝑧 Et la force totale s’exerçant sur la paroi solide est : ℎ ℎ 𝑧² 𝐹 = ∫ 𝜌𝑔𝑏𝑧𝑑𝑧 = 𝜌𝑔𝑏 [ ] 2 0 0 𝜌𝑔𝑏ℎ2 𝐹= 2 En tenant compte que ℎ ∫ 𝑧. 𝑏𝑑𝑧 = 𝑆. 𝑧𝐺 0 Ou 𝑆 est la surface totale sur laquelle s’applique les forces de pression et 𝑧𝐺 est la position du centre de gravité de cette surface. On obtient l’expression de la résultante des forces de pression : Nabil HACHANI 2 Mécanique des fluides Chapitre 1 : Statique des fluides 𝐹 = 𝜌𝑔𝑆. 𝑧𝐺 Le moment de la force élémentaire au point O est 𝑑𝑀 = 𝑧𝑑𝐹 et le moment de la force résultante en O est : 𝐹. 𝑧𝑐 on aura alors ℎ ℎ 𝐹. 𝑧𝑐 = ∫ 𝑧𝑑𝐹 = ∫ 𝜌𝑔𝑏𝑧²𝑑𝑧 = 0 0 𝜌𝑔𝑏ℎ3 3 D’où : 2 𝑧𝑐 = ℎ 3 En tenant compte que ℎ ∫ 𝑧². 𝑏𝑑𝑧 = 𝐼𝑂𝑦 0 Ou 𝐼𝑂𝑦 est le moment quadratique de la surface S au point O. Remarque : 𝐼𝑂𝑦 = 𝐼𝐺𝑦 + 𝑆. 𝑧𝐺2 On obtient 𝐹. 𝑧𝑐 = 𝜌𝑔𝐼𝑂𝑦 Et par la suite en remplaçant 𝐹 par sa valeur, on obtient : 𝑧𝑐 = 4. 𝐼𝑂𝑦 𝑆. 𝑧𝐺 Poussée d’Archimède Considérons un corps solide plongé dans un système de de fluide en équilibre, en tout point du solide s’exerce une force élémentaire de pression normale à la surface au son point d’application, la résultante des toutes les forces est : R Volume déplacé v 𝑅⃗ = −𝜌𝑔 ⃗⃗⃗ 𝑣 Tout corps solide plongé dans un système de fluides en équilibre reçoit de celui-ci une poussée dirigée de bas en haut égale en valeur absolue au poids des fluides déplacés. 𝑅 = 𝜌𝑔𝑣 Nabil HACHANI 3 Mécanique des fluides 5. Chapitre 1 : Statique des fluides EXERCICES 5.1 Un réservoir possède deux piézomètres A et B (fig 11) et contient deux liquides non miscibles de densités dA = 0,72 et dB = 2,36. 1) Calculer la hauteur dans les deux piézomètres A et B. 2) Calculer la pression au fond du réservoir. (Rép : hA=2m, hB=0,819m, P=18,95kPa) A B h=2m Liquide A Liquide A h=0,3m Liquide B h=0m 5.2 Un manomètre différentiel à mercure (ρ1 =13,28 g/cm3) est relié à deux réservoirs fermés A et B. A contient une huile (ρA =0,9 g/cm3) et B contient un liquide (ρB = 1,55 g/cm3). Calculer la différence de pression entre les chambres A et B. (Rép : PA – PB = 37,28kPa) Chambre A Chambre B L’huile hA=1,1m Liquide A’ hB=0,8m h=0,3m B’ Mercure Nabil HACHANI 4 Mécanique des fluides Chapitre 1 : Statique des fluides 5.3 dans la figure ci-dessous les surfaces des cylindres A et B sont respectivement de 40 et 4000 cm² et B a une masse de 4000 kg. Le récipient et les conduits sont remplis d’huile de densité 0,75. Calculer la force F pour assurer l’équilibre on néglige le poids de A. (Rép : F=245N) ⃗⃗⃗ 𝐹 A B 5m 5.4 La porte AB a une largeur b =1,2m peut pivoter autour de A. le réservoir de gauche est rempli d’eau de masse volumique 1 = 1000kg/m3 à une hauteur h1 = 4m et celui de droite est rempli d’huile de masse volumique 2 = 750kg/m3 à une hauteur h2 = 1,8m. 1° Calculer la résultante des forces de pression R1 exercée par l’eau sur la porte AB. Déterminer, à partir de A, la position du centre de poussée Zc1 de cette résultante. 2° Calculer la résultante des forces de pression R2 exercée par l’huile sur la porte AB. Déterminer, à partir de A, la position du centre de poussée Zc2 de cette résultante. 3° Quelle force horizontale doit être appliquée en B pour assurer l’équilibre de la porte ? h1 eau A huile h2 B 5.5 Un barrage de 20m de long retient une hauteur d’eau de 7m. Trouver la résultante des forces agissant sur le barrage et la position du centre de poussée. Rép. 5541kN ; 4,67m au dessous de la surface de l’eau F ℎ𝑐 60° Nabil HACHANI 5 Mécanique des fluides Chapitre 1 : Statique des fluides DEVOIR DE CONTRÔLE MÉCANIQUE DES FLUIDES Classes : L2GMi Enseignants : N.HACHANI ; K.AYAD ; S. KHEMIR ; N.ABDALLAH. Durée : 1h Date : novembre 2012 Pour tous les exercices on prend l’accélération de la pesanteur : g = 9,8 m/s² et la masse volumique de l’eau : ρ = 1000 kg/m3 Exercice 1 (4 points) Un tube en U ouvert à l’atmosphère à ses deux extrémités (voir figure1). Le tube contient de l’huile (ρh) et de l’eau (ρe). A C 0.35m 0.3m B Huile Eau Figure 1 12- En appliquant le principe fondamentale de l’hydrostatique, calculer la pression au point B. Calculer la masse volumique de l’huile. Exercice 2 (5 points) Un récipient rempli d’eau de masse volumique ρ dans lequel est plongé jusqu’à sa moitié un corps homogène de masse volumique ρ’, de section S =28 cm² et de hauteur h =5cm (figure 2). h m Figure 2 12- Calculer la masse volumique ρ’ du corps. Quelle masse m qu’il faut poser sur ce corps afin qu’il soit totalement immergée. Nabil HACHANI 6 Mécanique des fluides Chapitre 1 : Statique des fluides Problème (11points) Sur un disque circulaire mobile en rotation autour d’un axe passant par son centre O, se fixe un récipient de forme cylindrique (ABCD) en plexiglas de rayon intérieur r = 100mm, de rayon extérieur R = 200mm et d’épaisseur b = 70 mm, rempli d’eau de masse volumique ρ (voir figure 3). Le disque est maintenu en équilibre pour an angle α = 20° à l’aide d’une masse M accrochée au point E à une distance d = 120mm du centre de disque O. La masse du récipient en plexiglas est négligeable. R d E D C O r α M x Fc B J A eau z Figure 3 1- Justifier, pourquoi les moments des forces de pression appliquées sur les surfaces AD et BC par rapport à l’origine O sont nuls ? 2- Calculer la résultante des forces de pression Fc appliquée sur la surface AB. 3- Déterminer la position du point d’application J de cette force (OJ). 4- Déterminer la masse M à accrocher en E, pour maintenir l’équilibre du disque. Nabil HACHANI 7 Mécanique des fluides Chapitre 1 : Statique des fluides CORRECTION DU DEVOIR DE CONTRÔLE (Novembre 2012) Exercice 1 1. 𝑃𝐵 − 𝑃𝐶 = 𝜌𝑒 𝑔ℎ𝑒 ⟹ 𝑃𝐵 = 103 × 9,8 × 0,3 = 𝟐, 𝟗𝟒𝒌𝑷𝒂 2. 𝑃𝐵 − 𝑃𝐴 = 𝜌ℎ 𝑔ℎℎ 𝑃𝐵 2,94. 103 ⟹ 𝜌ℎ = = = 𝟖𝟓𝟕𝒌𝒈/𝒎𝟑 𝑔ℎℎ 9,8 × 0,35 Exercice 2 1- A l’équilibre on a 𝑙𝑒 𝑝𝑜𝑖𝑑𝑠(𝑓𝑙𝑜𝑡𝑡𝑒𝑢𝑟) = 𝑝𝑜𝑢𝑠𝑠é𝑒 𝑑’𝐴𝑟𝑐ℎ𝑖𝑚è𝑑𝑒 𝜌 ′ 𝑔𝑆ℎ = 𝜌𝑔𝑆 ℎ 𝜌 ⟹ 𝜌 ′ = = 𝟓𝟎𝟎𝒌𝒈/𝒎𝟑 2 2 2- A l’équilibre on a 𝑙𝑒 𝑝𝑜𝑖𝑑𝑠(𝑓𝑙𝑜𝑡𝑡𝑒𝑢𝑟 + 𝑚𝑎𝑠𝑠𝑒) = 𝑝𝑜𝑢𝑠𝑠é𝑒 𝑑’𝐴𝑟𝑐ℎ𝑖𝑚è𝑑𝑒 𝑚𝑔 + 𝜌 ′ 𝑔𝑆ℎ = 𝜌𝑔𝑆ℎ ⟹ 𝑚 = 𝑆ℎ(𝜌 − 𝜌 ′ ) = 28 × 5 × 0,5 = 𝟕𝟎𝒈 Problème 1- Les forces de pression appliquées sur les surfaces cylindriques AD et BC sont normales en tout point à la surface et coupent l’axe de rotation passant par O donc leurs moments sont nuls. 2- La résultante des forces de pression sur la face AB peut être calculée par intégration : 𝑅 𝑅 𝑅 𝐹 = ∫ 𝑑𝐹 = ∫ 𝑃(𝑧)𝑑𝑆 = ∫ 𝜌𝑔𝑧𝑏𝑑𝑟 𝑟 𝑟 𝑟 Or on a 𝑧 = 𝑟𝑐𝑜𝑠𝛼 donc : 𝑅 𝑟² 𝜌𝑔𝑏𝑐𝑜𝑠𝛼(𝑅² − 𝑟²) 𝐹 = 𝜌𝑔𝑏𝑐𝑜𝑠𝛼 [ ] = 2 𝑟 2 𝐴𝑁: 𝐹 = 103 z r α × 9,8 × 0,07 × 𝑐𝑜𝑠20 × (0,2² − 0,1²) = 𝟗, 𝟔𝟔𝑵 2 3- Le moment de la résultante F au point O vérifie : 𝑅 𝑅 𝑅 𝑟3 𝜌𝑔𝑏𝑐𝑜𝑠𝛼(𝑅 3 − 𝑟 3 ) 𝐹. 𝑂𝐽 = ∫ 𝑟𝑑𝐹 = ∫ 𝜌𝑔𝑏𝑟²𝑐𝑜𝑠𝛼𝑑𝑟 = 𝜌𝑔𝑏𝑐𝑜𝑠𝛼 [ ] = 3 𝑟 3 𝑟 𝑟 𝑂𝐽 = 2(𝑅 3 − 𝑟 3 ) 2(0,23 − 0,13 ) = = 𝟎, 𝟏𝟓𝟓𝒎 3(𝑅² − 𝑟²) 3(0,22 − 0,12 ) 4- Pour avoir l’équilibre en rotation il faut que 𝑚𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡 𝑑𝑢 𝑝𝑜𝑖𝑑𝑠 = 𝑚𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡 𝑑𝑒 𝐹 𝑀𝑔𝑑 = 𝐹. 𝑂𝐽 𝐴𝑁: 𝑀 = ⟹ 𝑀= 𝐹. 𝑂𝐽 𝑔𝑑 9,66 × 0,155 = 𝟏, 𝟐𝟕𝒌𝒈 9,8 × 0,12 Nabil HACHANI 8 Mécanique des fluides Chapitre 1 : Statique des fluides Ministère de l’Enseignement Supérieur et de la Recherche Scientifique Institut Supérieur des Études Technologiques de Radès Département de Génie Mécanique Devoir de contrôle Classes : L2 GM AU : S1/2010/2011 Durée : 1heure Mécanique des fluides Documents: Non autorisés Calculatrice : autorisée Enseignants: HACHANI, BEN AYAD, BEN JDIRA Exercice 1 Dans un bassin de récupération des eaux on veut maintenir une hauteur maximale H=4m. Une vanne de hauteur h = 80 cm et de largeur b = 1,5 m peut pivoter autour d’un axe horizontal passant par O pour évacuer l’eau. De l’autre coté un ressort exerce au milieu de la vanne une force R, l’objectif de cet exercice est de chercher cette force pour que la hauteur de l’eau ne dépasse pas H. On donne ρ = 1000 kg/m3 , g = 10 m/s² 1°) Calculer la résultante des forces de pression de l’eau sur la vanne. H 2°) Déterminer sa position par rapport à O. 3°) En étudiant l’équilibre en rotation de la vanne autour de O, calculer la valeur de R pour une hauteur d’eau maximale H O h R Exercice 2 Donner l'expression de la pression pr dans le réservoir d'air. A.N.: pa=1,013 bar, ρair=1,2 kg/m3, ρeau=1000 kg/m3, ρmercure=13600 kg/m3, h1= 30 cm et h2 = 15 cm Nabil HACHANI 9 Mécanique des fluides Chapitre 1 : Statique des fluides CORRECTION DU DEVOIR DE CONTRÔLE (Novembre 2010) Exercice 1 La résultante des forces de pression : 𝐻 𝐻 𝐹=∫ 𝐻−ℎ 𝑧² 𝜌𝑔𝑧𝑏𝑑𝑧 = 𝜌𝑔𝑏 [ ] 2 𝐻−ℎ 𝐻−ℎ 𝑃(𝑧)𝑑𝑆 = ∫ 𝐻−ℎ 𝐹= 𝐴𝑁: 𝐹 = 𝐻 𝐻 𝑑𝐹 = ∫ 𝜌𝑔𝑏 (𝐻² − (𝐻 − ℎ)²) 2 104 × 1,5(4² − 3,2²) = 43,2𝑘𝑁 2 Le moment de la résultante par rapport à O’ point à la surface libre de l’eau est : 𝐻 𝐻 𝐻 𝑧3 𝜌𝑔𝑏 3 (𝐻 − (𝐻 − ℎ)3 ) 𝐹. 𝑂′𝐶 = ∫ 𝑧𝑑𝐹 = 𝜌𝑔𝑏 ∫ 𝑧²𝑑𝑧 = 𝜌𝑔𝑏 [ ] = 3 𝐻−ℎ 3 𝐻−ℎ 𝐻−ℎ 𝑂′ 𝐶 = 2(𝐻 3 − (𝐻 − ℎ)3 ) 2(43 − 3,23 ) = = 3,61𝑚 3(𝐻 2 − (𝐻 − ℎ)2 ) 3(42 − 3,22 ) 𝑂𝐶 = 𝑂′ 𝐶 − (𝐻 − ℎ) = 3,61 − 3,2 = 41𝑐𝑚 Pour que la vanne reste en équilibre de rotation autour de O il faut que 𝑚𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡 𝑑𝑒 𝑅 = 𝑚𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡 𝑑𝑒 𝐹 𝑅 ℎ = 𝐹. 𝑂𝐶 2 𝐴𝑁: 𝑅 = ⟹ 𝑅=2 𝐹. 𝑂𝐶 ℎ 2 × 43,2. 103 × 0,41 = 44,28𝑘𝑁 0,8 Exercice 2 La masse volumique de l’air est négligeable devant celle de mercure ou de l’eau pour cela on suppose constante la pression dans l’air et indépendante de z. La pression dans le réservoir d’air est donc celle du point D Nabil HACHANI 10 Mécanique des fluides Chapitre 1 : Statique des fluides 𝑃𝐷 − 𝑃𝐶 = 𝜌𝑚𝑒𝑟 𝑔ℎ2 𝑃𝐶 = 𝑃𝐵 𝑃𝐵 − 𝑃𝐴 = 𝜌𝑒𝑎𝑢 𝑔ℎ1 La somme de deux équations : 𝑃𝐷 = 𝑔(𝜌𝑚𝑒𝑟 ℎ2 + 𝜌𝑒𝑎𝑢 ℎ1 ) + 𝑃𝐴 𝐴𝑁: 𝑃𝐷 = 10(13,6 × 0,15 + 0,3)103 + 1,013. 105 = 1,247𝑏𝑎𝑟 (𝑎𝑏𝑠) INSTITUT SUPÉRIEUR DES ÉTUDES TECHNOLOGIQUES DE RADES DEVOIR SURVEILLE Département de génie mécanique MÉCANIQUE DES FLUIDES & THERMODYNAMIQUE Classe : GM 21,22,23 Coefficient : 3 Durée : 1heure Date : 30/10 / 2006 Ens : HACHANI, BEN SALEM, LOUSAIEF A- MECANIQUE DES FLUIDES (10pts) - Une vanne papillon émergée à l'aval d’un barrage participe à la retenue d'une hauteur H = 6 m d'eau de masse volumique 1 = 1000 kg/m3 et régule le débit de cette retenue. 1) Calculer la force de poussée de l'eau sur la vanne lorsque celle-ci est fermée. 2) Calculer la position du centre de rotation de la vanne pour éviter qu'elle pivote. L o o H p Zc h C On donne : L = 1,5 m ; h = 2 m ; g = 10 m/s2 Solution : Même travail que l’exercice précédent Nabil HACHANI 11 Mécanique des fluides Chapitre 1 : Statique des fluides 𝐹= 𝐴𝑁: 𝐹 = 𝑂𝐶 = 𝜌𝑔𝑏 (𝐻² − (𝐻 − ℎ)²) 2 103 . 10 × 1,5 × (6² − 4²) = 1,5. 105 𝑁 2 2(𝐻 3 − (𝐻 − ℎ)3 ) 2(63 − 43 ) = = 5,07𝑚 3(𝐻 2 − (𝐻 − ℎ)2 ) 3(62 − 42 ) Nabil HACHANI 12
