Telechargé par Othman Abourraby

maths2

publicité
‫الــــــدورة األولــــــى‬
‫الــــــھند ســــــــــــــــــة‬
‫التماثل المحوري‪3..........................................................................‬‬
‫المستقيمات الموازية ألضالع مثلث ‪6...................................................‬‬
‫المستقيمات الھامة في مثلث‪8............................................................‬‬
‫الـــــــــــــــجـــــــــبـــــــر‬
‫األعداد الجذرية‪11...........................................................................‬‬
‫الــــــدورة الثانــيــــة‬
‫الـــــــجــبـــر‬
‫الحساب الحرفي‪18...........................................................................‬‬
‫األعداد الحقيقية ‪20.........................................................................‬‬
‫المعادالت ‪21................................................................................‬‬
‫الترتيب والعمليات‪23........................................................................‬‬
‫الــھــنـــد ســـــــة‬
‫المثلث القائم الزاوية والدائرة‪26...........................................................‬‬
‫اإلزاحة والمتجھات‪28.......................................................................‬‬
‫الھرم والمخروط الدوراني‪31...............................................................‬‬
‫أنشطــــة مبيانيــة وإحصائيــــة‬
‫التناسب و الدالة الخطية‪33.................................................................‬‬
‫اإلحصاء‪38..................................................................................‬‬
‫‪2‬‬
‫التماثل المحوري‬
‫‪ -1‬مماثلة نقطة‬
‫تعريف‬
‫النقطتان ’‪ M‬و ‪ M‬متماثلتان بالنسبة لمستقيم )‪ (D‬يعني أن المستقيم )‪ (D‬ھو واسط القطعة] ‪[ M’M‬‬
‫مثال‬
‫’‪ M‬ھي مماثلة ‪ M‬باﻟنسبة ﻟمستقيم )‪(D‬‬
‫‪ -2‬مماثلة قطعة‬
‫خاصية‬
‫مماثلة قطعة بالنسبة لمستقيم ھي قطعة تقايسھا‬
‫مثال‬
‫مماثلة اﻟقطعة]‪ [AB‬ھي ]'‪ [A'B‬باﻟنسبة ﻟلمستقيم )‪ (D‬حيث '‪ B‬و '‪ A‬مماثلتي‬
‫‪ B‬و ‪ A‬باﻟنسبة ﻟلمستقيم )‪ (D‬على اﻟتواﻟي‬
‫خاصية‬
‫التماثل المحوري يحافظ على المسافة بين نقطتين‬
‫مثال‬
‫في المثال السابق لدينا '‪AB = A'B‬‬
‫‪ -3‬مماثل مستقيم‪-‬مماثل نصف مستقيم‬
‫خاصية‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫مماثل المستقيم )‪ (AB‬بالنسبة لمستقيم )∆( ھو المستقيم‬
‫)'‪(A'B‬حيث '‪ A‬و '‪ B‬مماثلتي ‪ A‬و ‪ B‬بالنسبة ل)∆(على التوالي‬
‫مثال‬
‫خاصية‪2‬‬
‫مماثل نصف مستقيم )‪ [AB‬بالنسبة لمستقيم )∆( ھو نصف المستقيم‬
‫)'‪[A'B‬حيث '‪ A‬و '‪B‬مماثلتي ‪ A‬و ‪ B‬بالنسبة ل)∆(على التوالي‬
‫مثال‬
‫خاصية‪3‬‬
‫التماثل المحوري يحافظ على استقامية النقط‬
‫مثال‬
‫اﻟنقط ‪ A ′‬و ‪ B ′‬و ‪ C ′‬ھي مماثالت اﻟنقط ‪ A‬و ‪ B‬و ‪ C‬باﻟنسبة ل)∆(على اﻟتواﻟي‬
‫‪ -4‬مماثلة زاوية‬
‫خاصية‬
‫مماثلة زاوية بتماثل محوري ھي زاوية تقايسھا ‪.‬‬
‫مثال‬
‫‪4‬‬
‫’‪ O‬و’‪ B‬و ’‪ A‬مماثالت‪ O‬و ‪ B‬و ‪ A‬باﻟنسبة ﻟمستقيم ) ‪(D‬على اﻟتواﻟي‬
‫‪ -5‬مماثلة دائرة‬
‫خاصية‬
‫مماثلة دائرة ‪ C‬مركزھا ‪ O‬وشعاعھا ‪ r‬بالنسبة ل)‪ (D‬ھي الدائرة '‪ C‬التي مركزھا ’‪ O‬وشعاعھا ‪r‬‬
‫حيث '‪ O‬مماثلة ‪ O‬بالنسبة ل)‪(D‬‬
‫مثال‬
‫ ’‪ O‬و ’‪ A‬مماثلتي ‪ O‬و ‪ A‬باﻟنسبة ل )‪ (D‬على اﻟتواﻟي‬‫‪ -‬اﻟدائرة)'‪ (C‬ھي مماثلة اﻟدائرة )‪ (C‬باﻟنسبة ل )‪(D‬‬
‫‪5‬‬
‫المستقيمات الموازية ألضالع مثلث‬
‫‪ - 1‬المستقيم المار من منتصفي ضلعي مثلث‬
‫خاصية‬
‫ المستقيم المار من منتصفي ضلعي مثلث يوازي حامل الضلع الثالث‬‫‪-‬طول القطعة التي طرفيھا منتصفي ضلعي مثلث يساوي نصف طول الضلع الثالث‬
‫مثال‬
‫‪ ABC‬مثلث لدينا ‪ N‬منتصف]‪ [AC‬و ‪ M‬منتصف ]‪[AB‬‬
‫إذن‪(MN) // (BC) :‬‬
‫و‬
‫‪1‬‬
‫‪BC‬‬
‫‪2‬‬
‫= ‪MN‬‬
‫‪ - 2‬المستقيم المار من منتصف أحد أضالع مثلث و الموازي لحامل الضلع الثاني‬
‫خاصية‬
‫المستقيم المار من منتصف ضلع مثلث و الموازي لضلع آخر في ھذا المثلث يمر من منتصف الضلع‬
‫الثالث‬
‫مثال‬
‫لدينا ‪ ABC‬مثلث بحيث ‪ M‬منتصف القطعة ]‪ , [AB‬الموازي ل )‪ (BC‬و المار من ‪ M‬يقطع ]‪[AC‬‬
‫في ‪ N‬إذن ‪ N‬منتصف ]‪[AC‬‬
‫‪-3‬المستقيم الموازي لضلع في مثلث‬
‫خاصية‬
‫في مثلث ‪ M , ABC‬نقطة من ]‪ [AB‬و ‪ N‬نقطة من ]‪ [AC‬و )‪(MN)//(BC‬‬
‫إذن‬
‫‬
‫‬
‫=‬
‫‬
‫‬
‫=‬
‫‬
‫‬
‫‪6‬‬
‫مثال‬
‫في الشكل أسفله )‪(OL)//(TE‬‬
‫نعطي ‪HE=5cm , HL=2cm , TE=7cm , HO=3cm‬‬
‫لنحسب ‪ HT‬و ‪: OL‬‬
‫في المثلث ‪O [HT] , L [HE] , (OL)//(TE): HTE‬‬
‫حسب خاصية تناسبية أطوال أضالع المثلث لدينا ‪:‬‬
‫يعني‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫= =‬
‫‬
‫‬
‫=‬
‫‬
‫‬
‫=‬
‫‬
‫يعني ‪ 2 × HT = 3 × 5‬إذن ‪= 7,5‬‬
‫ ×‬
‫يعني ‪ 5 × OL = 2 × 7‬إذن ‪= 2,8‬‬
‫‬
‫=‪HT‬‬
‫ ×‬
‫‬
‫= ‪OL‬‬
‫‪ -4‬تقسيم قطعة إلى قطع متقايسة‬
‫تعريف‬
‫لتقسيم قطعة ]‪ [AB‬إلى ‪ n‬قطع متقايسة نتبع الخطوات التالية‪:‬‬
‫ ننشئ نصف مستقيم )∆( مار من ‪ A‬و حامله مختلفا عن )‪(AB‬‬‫ نعتبر على )∆( النقطة ‪ C‬بحيث ‪AC = n‬‬‫ على ]‪ [AC‬نأخذ ‪ I‬بحيث ‪AI = 1‬‬‫ نمثل )‪(BC‬‬‫ ننشئ المستقيم )∆( المار من ‪ I‬و الموازي ل )‪ (BC‬الذي يقطع ]‪ [AB‬في ’‪I‬‬‫ نقسم القطعة ]‪ [AB‬بإستعمال البركار و الوحدة ’‪. AI‬‬‫مثال )‪(n = 5‬‬
‫‪7‬‬
‫المستقيمات الھامة في مثلث‬
‫‪ -1‬واسطات مثلث‬
‫تعريف‬
‫واسط مثلث ھو واسط أحد أضالعه‬
‫مثال‬
‫في الشكل أعاله لدينا المستقيم)‪ (D‬ھو واسط ]‪[BC‬‬
‫وفي ھذه الحالة نسمي المستقيم )‪ (D‬واسطا للمثلث ‪ABC‬‬
‫خاصية‬
‫واسطات مثلث تتالقى في نقطة وحيدة تسمى مركز الدائرة المحيطة بھذا المثلث‬
‫مثال‬
‫في الشك جانبه واسطات مثلث ‪ ABC‬تتالقى في النقطة ‪ O‬و التي تمثل مركز الدائرة المحيطة‬
‫بھذا المثلث‬
‫‪ -2‬منصفات زوايا مثلث‬
‫خاصية‬
‫منصفات مثلث تتالقى في نقطة وحيدة تسمى مركز الدائرة المحاطة بھذا المثلث‬
‫مثال‬
‫‪8‬‬
‫في الشك جانبه ‪ ABC‬تتالقى في النقطة ‪ O‬و التي تمثل مركز الدائرة المحاطة بھذا المثلث‬
‫منصفات زوايا المثلث‬
‫‪ -3‬ارتفاعات مثلث‬
‫خاصية‬
‫ارتفاعات مثلث تتالقى في نقطة وحيدة تسمى مركز تعامد ھذا المثلث‬
‫مثال‬
‫في الشك جانبه ارتفاعات ‪ ABC‬تتالقى في النقطة ‪ O‬و التي تسمى مركز تعامد المثلث ‪ABC‬‬
‫‪ -4‬متوسط مثلث‬
‫تعريف‬
‫متوسط مثلث ھو مستقيم يمر من أحد رؤوس المثلث و من منتصف الضلع المقابل لھذا الرأس‬
‫مثال‬
‫في الشكل أعاله المستقيم )‪ (D‬يمر من الرأس ‪ A‬ومن منتصف الضلع ]‪ [BC‬في ھذه الحالة‬
‫نسمي المستقيم )‪ (D‬متوسط للمثلث‬
‫‪ABC‬‬
‫‪9‬‬
‫خاصية‪1‬‬
‫متوسطات مثلث تتالقى في نقطة وحيدة تسمى مركزثقل ھذا المثلث‬
‫مثال‬
‫النقطة ‪ G‬تسمى مركز ثقل المثلث ‪ABC‬‬
‫خاصية‪2‬‬
‫‪ ABC‬مثلث و ‪ G‬مركز ثقله‪ .‬إذا كانت ‪ M‬منتصف ]‪[BC‬‬
‫‪2‬‬
‫‪AM‬‬
‫‪=AG‬‬
‫فان‬
‫‪3‬‬
‫‪10‬‬
‫األعداد الجذرية‬
‫‪ -1‬تقديم ومقارنة األعداد الجذرية‬
‫أ‪ -‬العدد الجدري‬
‫تعريف‬
‫العدد الجذري ھو خارج عدد صحيح نسبي على عدد صحيح نسبي غير منعدم‬
‫بتعبير اخر‬
‫يرمز لخارج العدد الصحيح النسبي ‪ a‬على العدد الصحيح النسبي الغير منعدم ‪b‬‬
‫بالرمز ‪:‬‬
‫‪a‬‬
‫‪b‬‬
‫حيث ‪ a :‬يسمى البسط و ‪ b‬يسمى المقام‬
‫مثال‬
‫‪23‬‬
‫‪−5‬‬
‫و‬
‫و‬
‫‪−4‬‬
‫‪−7‬‬
‫‪−2‬‬
‫األعداد اآلتية ھي أعداد جذرية ‪:‬‬
‫‪3‬‬
‫و‬
‫‪11‬‬
‫‪2‬‬
‫مالحظة‬
‫كل عدد عشري نسبي ھو عدد جذري‬
‫أمثلة‬
‫‪−26‬‬
‫‪10‬‬
‫= ‪−2,6‬‬
‫‪,,‬‬
‫‪12‬‬
‫‪1‬‬
‫= ‪12‬‬
‫‪,,‬‬
‫‪341‬‬
‫‪100‬‬
‫=‪3,41‬‬
‫ب‪ -‬إشارة عدد جدري‬
‫قاعدة‬
‫‪a‬‬
‫يكون عدد جذري‬
‫‪b‬‬
‫‪a‬‬
‫يكون عدد جذري‬
‫‪b‬‬
‫موجبا إذا كان للعددين ‪ a‬و ‪ b‬نفس اإلشارة ‪.‬‬
‫سالبا إذا كان للعددين ‪ a‬و ‪ b‬إشارتين مختلفتين‪.‬‬
‫مثال‬
‫‪11‬‬
‫‪−7‬‬
‫و‬
‫‪3‬‬
‫‪−9‬‬
‫عددان جذريان موجبان‬
‫‪3‬‬
‫‪−8‬‬
‫و‬
‫‪−5‬‬
‫‪5‬‬
‫عددان جذريان سالبان‬
‫‪11‬‬
‫ج‪ -‬تساوي عددين جدريين‬
‫خاصية‪1‬‬
‫‪a‬‬
‫‪x‬‬
‫و‬
‫‪y‬‬
‫‪b‬‬
‫عددان جذريان‬
‫‪a x‬‬
‫=‬
‫‪b y‬‬
‫يعني أن ‪:‬‬
‫‪a× y =b ×x‬‬
‫مثال‬
‫‪4‬‬
‫‪−8‬‬
‫و‬
‫لنقارن العددين الجذريين ‪:‬‬
‫‪−3‬‬
‫‪6‬‬
‫‪−8 × ( −3) = 24 ‬‬
‫لدينا ‪ :‬‬
‫‪6 × 4 = 24 ‬‬
‫يعني أن‬
‫‪−8 × ( −3) = 6 × 4‬‬
‫‪−8 4‬‬
‫و منه فإن ‪= :‬‬
‫‪6 −3‬‬
‫خاصية‪2‬‬
‫‪a‬‬
‫‪b‬‬
‫عدد جذري و ‪ m‬و‪ n‬عددين صحيحين نسبيين غير منعدمين‬
‫࢔×ࢇ ܉‬
‫=‬
‫ܖ×܊ ܊‬
‫‪,,‬‬
‫࢓÷ࢇ ܉‬
‫=‬
‫ܕ÷܊ ܊‬
‫أمثلة‬
‫‪૛ ૛ × (−૜) −૟‬‬
‫=‬
‫=‬
‫‪ૠ ૠ × (−૜) ૛૚‬‬
‫‪ -2‬العمليات على األعداد الجذرية‬
‫أ‪ -‬جمع وفرق عددين جذريين‬
‫‪12‬‬
‫قاعدة‪1‬‬
‫لحساب مجموع )أو فرق( عددين جذريين لھما نفس المقام ‪ ,‬نحسب مجموع )أو فرق( بسطيھما مع‬
‫االحتفاظ بالمقام المشترك‪.‬‬
‫أمثلة‬
‫) ‪1 1 + (− 7‬‬
‫‪11  −7 ‬‬
‫‪4‬‬
‫‪+ ‬‬
‫=‬
‫= ‪‬‬
‫‪5‬‬
‫‪5‬‬
‫‪5‬‬
‫‪ 5 ‬‬
‫‪27‬‬
‫‪19‬‬
‫‪27 − 19‬‬
‫‪8‬‬
‫‪−‬‬
‫=‬
‫=‬
‫‪9‬‬
‫‪9‬‬
‫‪9‬‬
‫‪9‬‬
‫قاعدة‪2‬‬
‫لحساب مجموع )أو فرق( عددين جذريين مقام أحدھما مضاعف لمقام اآلخر‪ ,‬نقوم بتوحيد مقاميھما ثم‬
‫نحسب مجموعھما )أوفرقھما( حسب القاعدة ‪ 1‬السابقة‪.‬‬
‫أمثلة‬
‫‪ −5 11  −15  11 ( −15) +11 −4‬‬
‫‪ 7  + 21 =  21  + 21 = 21 = 21‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ −13  7  −39  7 ( −39) − 7 −46‬‬
‫=‬
‫= ‪ 3 − 9 = 9 − 9‬‬
‫‪9‬‬
‫‪9‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫قاعدة‪3‬‬
‫‪a‬‬
‫‪c‬‬
‫و‬
‫‪b‬‬
‫‪d‬‬
‫‪a c ad bc ad − bc‬‬
‫= ‪−‬‬
‫‪−‬‬
‫=‬
‫‪b d bd bd‬‬
‫‪bd‬‬
‫عددان جذريان‬
‫‪a c ad bc ad + bc‬‬
‫= ‪+ = +‬‬
‫و‬
‫‪b d bd bd‬‬
‫‪bd‬‬
‫أمثلة‬
‫‪3  −4  3× 3 + ( −4) × 5 9 + ( −20) −11‬‬
‫= ‪+ ‬‬
‫=‬
‫=‬
‫‪5 3‬‬
‫‪5× 3‬‬
‫‪15‬‬
‫‪15‬‬
‫‪ −13  7 ( −13) × 2 − 7 × 3 ( −26) − 21 −47‬‬
‫‪6‬‬
‫=‬
‫‪6‬‬
‫=‬
‫‪3× 2‬‬
‫= ‪ 3 − 2‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪13‬‬
‫ب‪ -‬جداء عددين جذريين‬
‫قاعدة‬
‫جداء عددين جذريين ھو عدد جذري مقامه ھو جداء المقامين وبسطه ھو جداء البسطين‪.‬‬
‫‪a c a ×c‬‬
‫= ×‬
‫‪b d b×d‬‬
‫أمثلة‬
‫) ‪1 1 × (− 7‬‬
‫‪11‬‬
‫‪−77‬‬
‫‪ −7 ‬‬
‫‪× ‬‬
‫=‬
‫= ‪‬‬
‫‪5‬‬
‫‪5 × 2‬‬
‫‪10‬‬
‫‪ 2 ‬‬
‫‪13 × 9 117‬‬
‫‪ −13 ‬‬
‫=‬
‫‪‬‬
‫= ) ‪ × ( −9‬‬
‫‪22 ×1 22‬‬
‫‪ 22 ‬‬
‫‪3 15 3 15 × 3 45‬‬
‫= × =‬
‫=‬
‫‪7 10 7 10 × 7 70‬‬
‫× ‪1,5‬‬
‫ج‪ -‬خارج عددين جدريين‬
‫تعريف‬
‫‪ a‬عدد جذري غير منعدم ‪.‬‬
‫نرمز له بالرمز ‪a −1‬‬
‫و نكتب ‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫= ‪ a −1‬مقلــوب العدد ‪ a‬ھو العدد‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫مثال‬
‫‪4‬‬
‫مقلــوب العدد الجذري‬
‫‪9‬‬
‫ھو ‪:‬‬
‫‪1 9‬‬
‫=‬
‫‪4 4‬‬
‫‪9‬‬
‫‪−1‬‬
‫=‬
‫‪4‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪9‬‬
‫خاصية‬
‫‪c‬‬
‫‪a‬‬
‫‪c‬‬
‫عددان جذريان بحيث ‪≠ 0 :‬‬
‫و‬
‫‪d‬‬
‫‪b‬‬
‫‪d‬‬
‫‪a‬‬
‫‪b = a × d = a ×d‬‬
‫‪c b c b ×c‬‬
‫‪d‬‬
‫‪14‬‬
‫مثال‬
‫‪3‬‬
‫‪5 = 3 × 2 = 3× 2 = 6‬‬
‫‪7 5 7 5 × 7 35‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ -3‬القوى‬
‫أ‪ -‬قوة عدد جذري‬
‫تعريف‬
‫أمثلة‬
‫‪(-4)5 ; ( 125 ) ²‬‬
‫;‬
‫‪( 23 )3‬‬
‫مالحظة‬
‫‪ n‬عدد صحيح طبيعي و ‪ a‬عدد جذري غير منعدم‬
‫‪1‬‬
‫‪a −n = n‬‬
‫‪a‬‬
‫أمثلة‬
‫‪15‬‬
‫‪152‬‬
‫= ‪1 5 -2‬‬
‫‪( 23 )-4 = ( 32 )4‬‬
‫ب‪-‬اشارة عدد جذري‬
‫اشارة‬
‫قاعدة‬
‫تكون إشارة قوة عدد جدري سالبة إذا كان األساس سالبا و األس فرديا‪ ،‬وتكون موجبة في جميع‬
‫الحاالت األخرى‬
‫‪15‬‬
‫اأمثلة‬
(-3)8 ‫اشارة ھذه القوة‬
(-5.7)5
‫موجبة‬
‫سالبة‬
‫اشارة ھذه القوة‬
‫ خصائص القوى‬-‫ج‬
. ‫ عددان جذريان غير منعدمين‬a ‫ و‬b
. ‫ عددان صحيحان نسبيان‬m‫ و‬n
am× an =am+n
an ×bn =(ab)n
an  a 
= 
bn b 
n
an
= a n −m
m
a
n m
(a )
= a n ×m
‫امثلة‬
11
53
4
4
11+53
 2  2
 2
−  −  = − 
 3  3
 3
64
 2
= − 
 3
4
 −5   1 
 −5 1   −5 
  ×   =  ×  =

 3  2
 3 2  6 






4
6
6
2
 2 
6
6

 7 
7 
 2 5
 10 
=
=
×
=
 3 




6
7 3
 21 
3
 

 5 
5
225
1
= 225 − 22 = 22−17 = 17
12
22
22
−3
5×( − 3)
 5 5 
5
   =  
7
 7  
5
 
7
−15
15
7
= 
5
10 ‫ قوى العدد‬-‫د‬
16
‫قاعدة‬
‫‪ n‬عدد صحيح طبيعي‬
‫‪10n = 1000…………...0‬‬
‫‪ n‬من االصفار‬
‫‪10-n =0,000……..…01‬‬
‫‪ n‬من االصفار‬
‫أمثلة‬
‫‪105 = 100000‬‬
‫‪10-5 = 0,00001‬‬
‫ت‪-‬الكتابة العلمية‬
‫تعريف‬
‫ـ الكتابة العلمية لعدد عشري موجب ھي كتابته على شكل‪:‬‬
‫‪ a ×10n‬حيث‪n :‬عدد صحيح نسبي و ‪ a‬عدد عشري حيث ‪:‬‬
‫‪1 ≤ a < 10‬‬
‫ـ الكتابة العلمية لعدد عشري نسبي سالب ھي كتابته على شكل‪:‬‬
‫‪ -a ×10n‬حيث ‪ n‬عدد صحيح نسبي‬
‫و ‪ a‬عدد عشري بحيث ‪:‬‬
‫‪1 ≤ a <10‬‬
‫أمثلة‬
‫‪2650000 = 2,65×106‬‬
‫‪-2650000 =- 2,65×106‬‬
‫‪0,00026 = 2,6×10-4‬‬
‫‪17‬‬
‫الحساب الحرفي‬
‫‪-1‬النشرو التعميل‬
‫تعريف‬
‫– النشر ھو كتابة مجموع أو فرق على شكــل جداء ‪.‬‬
‫– التعميل ھو كتابة جداء على شكــل مجموع أو فرق ‪.‬‬
‫خاصية ‪1‬‬
‫إدا كانت ‪ a‬و‪ b‬و‪ k‬أعداد جذرية فان‪:‬‬
‫‪k× (a+b)= k×a + k×b‬‬
‫‪k×(a‬‬‫‪k×(a-b)= k×a - k×b‬‬
‫أمثلة‪:‬‬
‫لننشر التعبيرين‪A‬و ‪: B‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫= )‪× (x + 2‬‬
‫‪× x +‬‬
‫= ‪× 2‬‬
‫‪x + 3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪5‬‬
‫‪5‬‬
‫‪B = 2(x −‬‬
‫× ‪) = 2 × x − 2‬‬
‫‪= 2 x − 5‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫= ‪A‬‬
‫لنعمل التعبيرين ‪ B‬و ‪:A‬‬
‫‪5‬‬
‫‪25‬‬
‫‪5‬‬
‫‪5‬‬
‫‪5‬‬
‫‪5‬‬
‫‪5‬‬
‫‪x +‬‬
‫=‬
‫‪× x +‬‬
‫×‬
‫=‬
‫‪× (x +‬‬
‫)‬
‫‪4‬‬
‫‪8‬‬
‫‪4‬‬
‫‪4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪4‬‬
‫‪2‬‬
‫)‪− 3 x = x × x − 3 × x = x ( x − 3‬‬
‫‪2‬‬
‫= ‪B‬‬
‫‪A = x‬‬
‫خاصية ‪2‬‬
‫‪ a‬و‪ b‬و ‪ c‬و‪ d‬أعداد جذرية‬
‫)‪(a + b)(c + d)=a x (c + d) + b x (c + d‬‬
‫‪(a + b)(c + d)=a xc + axd + bxc + bxd‬‬
‫‪18‬‬
‫أمثلة‬
: A‫لننشر‬
A=(a + 5)(3 + a)= ax(3 +a) + 5x(3 + a)
= 3xa + axa + 5x3 +5xa
= 3a + a² + 15 +5a
: B ‫لنعمل‬
B =2y −6+xy −3x =2×y +2×(−3)+x ×y +x ×(−3)
=(2+x )(y −3)
‫المتطابقات الھامة‬-2
‫خاصية‬
: ‫ عددان جذريان‬b ‫ و‬a
(a +b )² = a² + 2ab +b ²
(a −b)² = a² − 2ab +b²
(a −b)(a +b) = a² −b²
‫أمثلة‬
x
x²
x
x2
4x
2
( + 2 )² = 2 + 2 ×
× 2 + 2 =
+
+ 4
3
3
3
9
3
( y − 3)² = y ² − 2 × 3 × x + 3 2 = y 2 − 6 y + 9
2
2
 2 
(x +
)( x − ) = x ² − 

7
7
 7 
19
2
= x² −
4
49
‫تقديم األعداد الحقيقية‬
‫‪ -1‬تعريف‬
‫‪ a‬عدد جذري موجب‪،‬العدد ‪ x‬الذي مربعه ‪ a‬يسمى الجذر المربع للعدد ‪ .a‬ونرمز له‬
‫بالرمز‪a :‬‬
‫‪x = a‬‬
‫يعني أن ‪x 2 = a‬‬
‫مثال‬
‫‪x 2 = 11‬‬
‫يعني أن ‪x = 11 :‬‬
‫‪ -2‬مالحظة‬
‫إذا كان ‪ a‬عددا جذريا فان ‪a 2 = a :‬‬
‫إذا كان ‪ a‬عددا جذريا موجبا فان ‪= a :‬‬
‫‪2‬‬
‫)‪( a‬‬
‫أمثلة‬
‫‪62 = 6‬‬
‫= ‪36‬‬
‫‪42 = 4 ,,‬‬
‫= ‪16‬‬
‫‪20‬‬
‫المعادالت‬
‫‪ -1‬تعريف‬
‫ليكن ‪ a‬و ‪ b‬عددين جذريين معلومين‪ .‬كل متساوية على شكل ‪ a + x = b‬أو ‪ ax = b‬حيث )‪(x # 0‬‬
‫تسمى معادلة من الدرجة األولى بمجھول‬
‫واحد ‪.x‬‬
‫قيمة ‪ X‬التي تحقق المعادلة تسمى حال للمعادلة‪.‬‬
‫أمثلة‬
‫‪x‬‬
‫‪- 2 = -8‬‬
‫‪5‬‬
‫; ‪; -5 + x = 10‬‬
‫‪11‬‬
‫‪+ x = 22‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ –2‬حل المعادلة من نوع ‪a + x = b :‬‬
‫قاعدة‬
‫‪a‬و ‪ b‬عددان جذريان‬
‫حل المعادلة ‪ a + x = b‬ھو العدد ‪b – a:‬‬
‫أمثلة‬
‫لنحل المعادلة‪:‬‬
‫‪3‬‬
‫‪+ x = 22‬‬
‫‪5‬‬
‫‪3‬‬
‫أي ‪:‬‬
‫‪5‬‬
‫‪110 3 110 − 3‬‬
‫أي ‪:‬‬
‫= ‪x‬‬
‫= ‪−‬‬
‫‪5 5‬‬
‫‪5‬‬
‫‪107‬‬
‫= ‪x‬‬
‫أي ‪:‬‬
‫‪5‬‬
‫‪107‬‬
‫ادن حل المعادلة ھو ‪:‬‬
‫‪5‬‬
‫– ‪x = 22‬‬
‫‪ –3‬حل المعادلة ‪(a ≠ 0 ) ax = b‬‬
‫قاعدة‬
‫‪a‬و ‪ b‬عددان جذريان ) ‪(a ≠ 0‬‬
‫حل المعادلة ‪ ax = b‬ھو العدد‪b/a :‬‬
‫مثال‬
‫‪−11‬‬
‫لنحل المعادلة‪x = 88 :‬‬
‫‪3‬‬
‫‪−264‬‬
‫‪88 −3‬‬
‫‪−11 ‬‬
‫أي ‪ x = ×   :‬ادن حل المعادلة ھو ‪:‬‬
‫‪x = 88 ÷ ‬‬
‫آي‪ :‬‬
‫‪11‬‬
‫‪1  11 ‬‬
‫‪ 3 ‬‬
‫‪21‬‬
‫‪ -4‬مراحل حل المسالة‬
‫لحل المسالة نتبع المراحل اآلتية‪:‬‬
‫ قراءة المسالة بتمعن‪.‬‬‫ اختيار المجھول‪.‬‬‫ صياغة المعادلة‪.‬‬‫ حل المعادلة‪.‬‬‫ التحقق من صحة الحل المحصل عليه‪.‬‬‫‪ -‬كتابة الحل باستعمال العبارة‪" :‬حل المسالة ھو‪":‬‬
‫مثال‬
‫اشترى احمد كتاب و محفظة بما قدره ‪ 140‬درھم ادا علمت أن ثمن الكتاب يمثل ربع ثمن المحفظة فما‬
‫ھو ادن ثمن كل من الكتاب و المحفظة‪.‬‬
‫ اختيار المجھول‪ :‬ليكن ‪ x‬ثمن المحفظة‬‫ادن ‪ x/4‬ھو ثمن الكتاب‪.‬‬
‫ صياغة المعادلة‪ :‬بما أن المبلغ الذي دفعه احمد ھو ‪ 140‬درھم‬‫فان‪x + x/4 = 140 :‬‬
‫‪ -‬حل المعادلة‪ :‬لدينا‬
‫‪x + x/4 = 140‬‬
‫ادن‪:‬‬
‫‪x ( 1 + ¼ ) = 140‬‬
‫ادن‪:‬‬
‫‪x × 5/4 = 140‬‬
‫ادن‪:‬‬
‫‪x = 140 ÷ 5/4‬‬
‫ادن‪:‬‬
‫‪x = 140 × 4/5‬‬
‫ادن‪:‬‬
‫‪x = 112‬‬
‫حل المعادلة ھو‪112 :‬‬
‫‪ -‬حل المسالة ھو‪ .:‬ثمن المحفظة ھو‪ 112 :‬درھم‬
‫‪22‬‬
‫الترتيب والعمليات‬
‫‪ -1‬مقارنة عددين جذريين‬
‫خاصية‬
‫لمقارنة عددين جذريين ‪ b‬و ‪ : a‬نحدد إشارة فرقھما‬
‫‪a ≥b‬‬
‫إذا كان ‪ a − b ≥ 0‬فإن ‪:‬‬
‫إذا كان ‪ a − b ≤ 0‬فإن ‪:‬‬
‫‪a ≤b‬‬
‫مثال‬
‫‪3‬‬
‫لنقارن العددين ‪ 9 :‬و‬
‫‪7‬‬
‫لدينا ‪:‬‬
‫إذن ‪:‬‬
‫‪3‬‬
‫‪‬‬
‫‪ − 9 ≤ 0‬‬
‫‪7‬‬
‫‪‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3 63‬‬
‫‪−9 = −‬‬
‫‪7‬‬
‫‪7 7‬‬
‫‪− 60‬‬
‫=‬
‫‪7‬‬
‫‪3‬‬
‫و منه فإن ‪≤ 9 :‬‬
‫‪7‬‬
‫‪-2‬الترتيب والعمليات‬
‫أ‪ -‬الترتيب والجمع‬
‫خاصية‬
‫‪ m‬و ‪ k‬و ‪ b‬و ‪ a‬أعداد جذرية‬
‫إذا كان ‪ a ≤ b‬فإن ‪a + k ≤ b + k :‬‬
‫إذا كان ‪ a ≤ b‬فإن ‪:‬‬
‫‪a −k ≤b − k‬‬
‫مثال‬
‫‪ b‬و ‪ a‬عددان جذريان بحيث ‪a + 4 ≤ b :‬‬
‫لنبين أن ‪a + 1 ≤ b − 3 :‬‬
‫لدينا ‪ a + 4 ≤ b :‬يعني أن ‪a + 4 − 3 ≤ b − 3 :‬‬
‫‪a +1≤ b − 3‬‬
‫أي‬
‫خاصية‬
‫‪ d‬و ‪ c‬و ‪ b‬و ‪ a‬أعداد جذرية ‪.‬‬
‫‪a ≤b ‬‬
‫إذا كان و ‪‬‬
‫‪c ≤d ‬‬
‫فإن‬
‫‪:‬‬
‫‪a +c ≤b +d‬‬
‫‪23‬‬
‫مثال‬
‫و ‪ b a + 3 ≤ 3‬و ‪ a‬عدددان جذريان بحيث ‪:‬‬
‫‪5‬‬
‫≤‪b +4‬‬
‫‪7‬‬
‫‪26‬‬
‫≤ ‪b +a +7‬‬
‫بين أن ‪:‬‬
‫‪7‬‬
‫إذن ‪:‬‬
‫‪5‬‬
‫‪+3‬‬
‫‪7‬‬
‫≤ ) ‪(b + 4 ) + ( a + 3‬‬
‫‪26‬‬
‫‪7‬‬
‫و منه فإن ‪:‬‬
‫نعلم أن ‪:‬‬
‫‪5‬‬
‫‪b +4≤ ‬‬
‫و‪7 ‬‬
‫‪a + 3 ≤ 3 ‬‬
‫≤ ‪b +a +7‬‬
‫ب‪-‬الترتيب والضرب‬
‫خاصية‬
‫‪ a‬و ‪ k‬و ‪ b‬أعداد جذرية‬
‫‪a ≤b ‬‬
‫‪ /1‬إذا كان و ‪‬‬
‫‪k ≥ 0‬‬
‫‪a ≤b ‬‬
‫فإن‬
‫‪ /2‬إذا كان و ‪‬‬
‫‪k ≤ 0‬‬
‫فإن‬
‫‪:‬‬
‫‪a×k ≤b ×k‬‬
‫‪:‬‬
‫‪a×k ≥b ×k‬‬
‫مثال‬
‫‪4‬‬
‫‪ b‬و ‪ a‬عدددان جذريان بحيث ‪ b ≥ 4 :‬و‬
‫‪3‬‬
‫لنستنتج ‪ − 2b‬و ‪3a‬‬
‫إذن ‪ 3a ≥ 4 :‬لدينا‬
‫إذن ‪−2b ≤ −8 :‬‬
‫‪:‬‬
‫و لدينا ‪:‬‬
‫≥‪a‬‬
‫‪4‬‬
‫‪a≥ ‬‬
‫‪4‬‬
‫أي ‪a × 3 ≥ × 3 :‬‬
‫و‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3 ≥ 0 ‬‬
‫‪b ≥4 ‬‬
‫و‪‬‬
‫‪− 2 ≤ 0‬‬
‫أي ‪:‬‬
‫)‪b × ( − 2) ≤ 4 × ( − 2‬‬
‫‪ -3‬التأطير‬
‫خاصية‪1‬‬
‫‪ a‬و ‪ t‬و ‪ z‬و ‪ y‬و ‪ x‬و ‪ b‬أعداد جذرية بحيث ‪:‬‬
‫‪ z ≤ b ≤t‬و ‪x ≤a ≤ y‬‬
‫‪x + z ≤ a +b ≤ y +t‬‬
‫‪24‬‬
‫مثال‬
‫‪5‬‬
‫‪−3‬‬
‫≤ ‪ −4 ≤ y‬و‬
‫‪ y‬و ‪ x‬عددان جذريان بحيث ‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫لنؤطر‪x + y :‬‬
‫≤ ‪1≤ x‬‬
‫‪−3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪5  −3 ‬‬
‫‪1 + ( − 4) ≤ x + y ≤ +  ‬‬
‫‪2  2 ‬‬
‫‪−3 ≤ x + y ≤ 1 :‬‬
‫لدينا ‪:‬‬
‫≤ ‪−4 ≤ y‬‬
‫يعني أن ‪:‬‬
‫أي‬
‫‪5‬‬
‫و‬
‫‪2‬‬
‫≤ ‪1≤ x‬‬
‫خاصية‪2‬‬
‫‪ a‬و ‪ y‬و ‪ x‬أعداد جذرية بحيث ‪x ≤ a ≤ y :‬‬
‫‪− y ≤ −a ≤ −x‬‬
‫مثال‬
‫‪ x‬عدد جذري بحيث ‪:‬‬
‫لنؤطر ‪− x‬‬
‫‪:‬‬
‫‪5‬‬
‫‪2‬‬
‫≤ ‪1≤ x‬‬
‫‪5‬‬
‫‪− ≤ − x ≤ −1‬‬
‫‪2‬‬
‫خاصية‪3‬‬
‫‪ a‬و ‪ t‬و ‪ z‬و ‪ y‬و ‪ x‬و ‪ b‬أعداد جذرية بحيث ‪:‬‬
‫‪ z ≤ b ≤t‬و ‪x ≤a ≤ y‬‬
‫‪x −t ≤ a −b ≤ y − z‬‬
‫مثال‬
‫‪ y‬و ‪x‬‬
‫‪5‬‬
‫‪−3‬‬
‫≤ ‪ −4 ≤ y‬و‬
‫عددان جذريان بحيث ‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫≤ ‪1≤ x‬‬
‫لنؤطر‪y − x :‬‬
‫لدينا ‪:‬‬
‫يعني أن ‪:‬‬
‫‪5‬‬
‫‪2‬‬
‫≤ ‪1≤ x‬‬
‫إذن ‪:‬‬
‫‪5‬‬
‫‪− ≤ − x ≤ −1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ −5 ‬‬
‫‪ −3 ‬‬
‫)‪( − 4) +   ≤ y + ( − x ) ≤   + ( −1‬‬
‫‪ 2 ‬‬
‫‪ 2 ‬‬
‫‪−13‬‬
‫‪ −5 ‬‬
‫‪≤ y −x ≤ ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ 2 ‬‬
‫‪25‬‬
‫المثلث القائم الزاوية والدائرة‬
‫‪ -1‬خاصية منتصف وتر مثلث قائم الزاوية‬
‫خاصية ‪1‬‬
‫كل مثلث قائم الزاوية محاط بدائرة مركزھا منتصف الوتر‪.‬‬
‫مثال‬
‫‪ ABC‬مثلث قائم الزاوية في ‪B‬‬
‫لدينا ‪ O‬منتصف ]‪ [AC‬إذن ‪OA = OB = OC‬‬
‫خاصية ‪2‬‬
‫كل مثلث محاط بدائرة قطرھا أحد أضالعه قائم الزاوية‪.‬‬
‫مثال‬
‫‪ ABC‬مثلث و ‪ I‬منتصف ]‪[AB‬‬
‫قائم الزاوية‪ ABC‬فان ‪IA = IC‬كان إذا‬
‫‪ -2‬مبرھنة فيتاغورس المباشرة‬
‫المبرھنة‬
‫في كل مثلث قائم الزاوية‪ ،‬مربع طول الوتر يساوي مجموع مربعي طولي ضلعي‪.‬‬
‫مثال‬
‫‪ ABC‬مثلث قائم الزاوية في ‪ A‬بحيث ‪ AB = 3 cm :‬و ‪BC = 5 cm‬‬
‫لنحسب ‪AC‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫لدينا حسب مبرھنة فيتاغورس المباشرة ‪:‬‬
‫‪BC = A B + A C‬‬
‫‪26‬‬
‫إذن‬
‫‪2‬‬
‫و بما أن ‪ AC‬عدد موجب فإن ‪:‬‬
‫‪= BC‬‬
‫‪2‬‬
‫‪A C‬‬
‫‪= 52 − 32‬‬
‫‪2‬‬
‫‪A C‬‬
‫‪= 25 − 9‬‬
‫‪2‬‬
‫‪A C‬‬
‫‪= 16‬‬
‫‪2‬‬
‫‪A C‬‬
‫‪− A B‬‬
‫‪2‬‬
‫‪AC = 4‬‬
‫‪ -3‬جيب تمام الزاوية‬
‫تعريف‬
‫جيب تمام زاوية حادة في مثلث قائم الزاوية يساوي خارج طول الضلع المحادي للزاوية الحادة على‬
‫طول الوتر‬
‫مثال‬
‫‪ ، A BC‬والمقابل للزاوية ˆ‬
‫]‪ [AB‬ھو الضلع المحادي للزاوية ˆ‬
‫‪A CB‬‬
‫‪ ، A BC‬والمحادي للزاوية ˆ‬
‫]‪ [AC‬ھو الضلع المقابل للزاوية ˆ‬
‫‪A CB‬‬
‫]‪ [CB‬ھو الوتر‬
‫‪AB‬‬
‫= ‪co s A Bˆ C‬‬
‫‪BC‬‬
‫‪,,‬‬
‫‪AC‬‬
‫= ‪c o s A CˆB‬‬
‫‪BC‬‬
‫مالحظة‬
‫‪ α‬قياس زاوية حــادة ‪:‬‬
‫‪0 < cosα < 1‬‬
‫‪27‬‬
‫اإلزاحة والمتجھات‬
‫‪ -1‬االزاحة‬
‫تعريف‬
‫‪ A‬و‪ B‬و ‪ M‬نقط مختلفة من المستوى ‪.‬‬
‫نقول إن النقطة ‪ N‬ھي صورة النقطة ‪ M‬باإلزاحة التي تحول ‪ A‬إلى‪B‬‬
‫إذا كان‪:‬‬
‫ للمستقيمين )‪ (AB‬و )‪ (MN‬نفس االتجاه‪.‬‬‫ المنحى من ‪ M‬نحو ‪ N‬ھو المنحى من‪ A‬نحو‪. B‬‬‫‪ -‬المسافتان ‪ MN‬و ‪ AB‬متساويتان‪.‬‬
‫مثال‬
‫النقطة ‪ M ′‬ھي صورة ‪ M‬باإلزاحة ‪T‬التي تحول ‪ A‬إلى ‪ B‬يعني أن ‪:‬‬
‫ ) ‪ ( AB‬و ) ‪ ( MM ′‬مستقيمان لھما نفس اإلتجاه‬‫ المنحى من ‪ M‬نحو ‪ M ′‬ھو النحى من ‪ A‬إلى‬‫‪MM ′ = AB -‬‬
‫‪B‬‬
‫خاصية‬
‫’‪ A‬و ’‪ B‬صورتا ‪ A‬و ‪ B‬على التوالي بإزاحة يعني أن ‪ AA’B’B‬متوازي أضالع‪.‬‬
‫‪ -2‬المتجھة‬
‫أ‪ -‬تعريف‬
‫مختلفتين ‪ A‬و ‪ B‬في المستوى تحددان متجھة نرمز لھا‬
‫كل نقطتين‬
‫‬
‫بالرمز ‪ AB :‬حيث أصلھا ‪ A‬وطرفھا ‪ B‬وحاملھا المستقيم)‪. (AB‬‬
‫مثال‬
‫‬
‫المتجھة ‪AB‬‬
‫‪28‬‬
‫ب‪ -‬خصائص متجھة‬
‫‬
‫نعتبر ‪ A‬و ‪ B‬نقطتين مختلفتين‪ .‬للمتجھة ‪ AB‬اتجاه ولھا منحى ولھا معيار)أو منظم( ‪:‬‬
‫‬
‫ اتجاه المتجھة ‪ AB‬ھو اتجاه المستقيم )‪.(AB‬‬‫‬
‫ ومنحى المتجھة ‪ AB‬ھو من ‪ A‬إلى ‪.B‬‬‫‬
‫‪ -‬ومعيار )يعني منظم ( المتجھة ‪ AB‬ھو طول القطعة ]‪ [AB‬يعني المسافة ‪AB‬‬
‫‪ -3‬تساوي متجھتين‬
‫خاصية‬
‫نقول إن متجھتين‬
‫اإلزاحة‪.‬‬
‫‬
‫‬
‫‪ AB‬و ‪CD‬‬
‫متساويتان إذا كانت ‪ B‬و ‪ D‬ھما على التوالي صورتي ‪ A‬و ‪ C‬بنفس‬
‫ ‬
‫‪CD = A B‬‬
‫ونكتب‪:‬‬
‫ ‬
‫‪ CD‬و ‪AB‬‬
‫لھما ‪:‬‬
‫نقول أن‬
‫‪ -‬نفس االتجاه ‪.‬‬‫‪ -‬نفس المنحى ‪.‬‬‫‪ --‬نفس المعيار ) أي المنظم ( ‪.‬‬
‫مثال‬
‫ ‬
‫‪CD = A B‬‬
‫‪ -4‬مجموع متجھتين‬
‫خاصية‬
‫ ‬
‫إذا كان ‪ A BCD‬متوازي أضالع فإن ‪A C = A B + A D :‬‬
‫مثال‬
‫ ‬
‫‪AD = AC + AB‬‬
‫‪29‬‬
‫خاصية)عالقة شال(‬
‫إذا كانت ثالث نقط ‪ C‬و ‪ B‬و ‪ A‬من المستوى فإن ‪:‬‬
‫ ‬
‫‪A C = A B + BC‬‬
‫مثال‬
‫خاصية‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫مقابل متجھة ‪ AB‬ھو المتجھة ‪ BA‬و يكتب ‪− A B‬‬
‫‬
‫‬
‫إذن ‪A B = − BA :‬‬
‫‪30‬‬
‫الھرم والمخروط الدوراني‬
‫‪ -1‬الھرم‬
‫تعريف‬
‫الھرم ھو مجسم له رأس وقاعدة على شكل مضلع و أوجھه الجانبية على شكل مثلثات‪.‬‬
‫مثال‬
‫ ‪ SABCD‬ھرم قاعدته الرباعي ‪ABCD‬‬‫ األوجه الجانبية ھي ‪ SBC‬و‪ SAB‬و‪ SDC‬و‪ SAD‬وھي مثلثات‬‫ ‪ S‬رأس الھرم‬‫ ] ‪ [SD‬و ]‪ [SC‬و]‪ [SB‬و ]‪[SA‬أحرف جانبية للھرم‬‫للنقطة‪ H‬على المستوى ‪ABCD‬‬
‫ ليكن‪ S‬ھو المسقط العمودي للنقطة‬‫‪ SH -‬ھو إرتفاع الھرم‬
‫الجانبية‪-‬الحجم‬
‫‪ -2‬المساحة الجانبية‬
‫قاعدة‬
‫المساحة الجانبية لھرم تساوي مجموع مساحات أوجھه الجانبية‪.‬‬
‫مثال‬
‫‪OAC‬‬
‫‪+S‬‬
‫‪OBC‬‬
‫‪+S‬‬
‫‪OAB‬‬
‫‪S=S‬‬
‫‪31‬‬
‫قاعدة‬
‫حجم الھرم يساوي ثلث جداء مساحة قاعدته وارتفاعه‬
‫‪1‬‬
‫‪ V= S×h‬حيث ‪ : S‬مساحة القاعدة و ‪ : h‬ارتفاع الھرم‬
‫‪3‬‬
‫‪ -3‬المخروط الدوراني‬
‫تعريف‬
‫المخروط الدوراني ھو المجسم مولد بدوران مثلث قائم الزاوية حول ضلع من ضلعي الزاوية القائمة‪.‬‬
‫مثال‬
‫الضلع ]‪ [AB‬يولد قرصا‪ :‬قاعدة المخروط الدوراني‪.‬‬
‫الضلع ]‪ [OB‬يولد السطح الجانبي للمخروط الدوراني‪.‬‬
‫قاعدة‬
‫ المساحة الجانبية ‪ S‬لمخروط دوراني تساوي جداء محيط القاعدة ‪ P‬وارتفاعه‪h‬‬‫‪S = p ×h‬‬
‫‪ -‬حجم المخروط الدوراني= ⅓ × مساحة القاعدة × االرتفاع‬
‫مثال‬
‫‪ S) S= π × OA × OS‬ھي المساحة الجانبية(‬
‫‪× π × O A 2 × OS‬‬
‫⅓ = ‪ V) V‬ھوالحجم(‬
‫‪32‬‬
‫التناسب‬
‫‪ - 1‬جدول التناسبية‬
‫مثال‬
‫‪7‬‬
‫‪4‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2.5‬‬
‫‪21‬‬
‫‪12‬‬
‫‪9‬‬
‫‪7.5‬‬
‫نالحظ أننا ضربنا أعداد الشطر في نفس العدد ‪ 3‬للحصول على أعداد السطر الثاني‬
‫العدد ‪ 3‬يسمى معامل التناسب‬
‫نقول اٍدن‪:‬‬
‫* ھدا الجدول يحقق وصعية تناسبية‬
‫* أعداد السطر التاني متناسبة مع أعداد السطر األول‬
‫‪7.5 12 21 9‬‬
‫=‬
‫=‬
‫ونكتب ∶ ‪= = 3‬‬
‫‪2.5‬‬
‫‪4‬‬
‫‪7‬‬
‫‪3‬‬
‫ مبيان التناسبية‪:‬‬‫مثال أ ‪:‬‬
‫الحظ المبيان ااآلتي ‪:‬‬
‫نالحظ أن جميع نقط المبيان مستقيمية مع أصل المعلم نقول ٍاذن ھذا المبيان يحقق وضعية التناسبية‬
‫‪33‬‬
‫مثال ب‪:‬‬
‫نالحظ أن جميع نقطه غير مستقيمية مع أصل المعلم ‪ .‬نقول إذن ‪ :‬ھذا المبيان ال يحقق وضعية التناسبية‬
‫‪-2‬الرابع المتناسب‬
‫تعريف‬
‫قيمة العدد ‪ x‬بالجدول جانبه تسمى الرابع المتناسب‬
‫‪a‬‬
‫‪c‬‬
‫‪b‬‬
‫‪x‬‬
‫مثال‬
‫حساب الرابع المتناسب باستعمال معامل التناسب ‪.‬‬
‫نعتبر جدول التناسب اآلتي ‪:‬‬
‫‪14,5‬‬
‫‪x‬‬
‫نعتبر جدول التناسب اآلتي ‪:‬‬
‫‪5‬‬
‫لدينا معامل التناسب ھو ‪= 0,2 :‬‬
‫‪25‬‬
‫‪x = 14,5 x 0,2‬‬
‫أي‬
‫إذن ‪x = 2,9:‬‬
‫‪25‬‬
‫‪5‬‬
‫النسبة المئوية‬‫قاعدة‪1‬‬
‫تطبيق النسبة المئوية ‪ x %‬على العدد ‪ n‬ھو حساب ‪:‬‬
‫‪x‬‬
‫‪100‬‬
‫× ‪n‬‬
‫مثال‬
‫بقسم يحتوي على‪ 40‬تلميذا يوجد ‪60%‬من اإلناث ‪.‬‬
‫لنحدد عدد اإلناث و الذكور‬
‫‪60 2400‬‬
‫=‬
‫لدينا ‪= 24‬‬
‫× ‪ 40‬إذن ‪40 – 24 = 16‬‬
‫‪100 100‬‬
‫إذن عدد اإلناث ھو ‪ 24 :‬و عدد الذكور ھو ‪16 :‬‬
‫‪34‬‬
‫قاعدة‪2‬‬
‫إذا كان العدد ‪ b‬يشكل ‪ x %‬من العدد ‪ a‬فإن ‪:‬‬
‫مثال‬
‫‪x = ba × 100‬‬
‫منزل مساحته‪ 90 m2‬به حجرة مساحتھا ‪20 m2‬‬
‫لنحدد النسبة المئوية التي تمثلھخا مساحة الحجرة من مساحة المنزل ‪.‬‬
‫‪20‬‬
‫لدينا ‪x = × 100 = 22,22‬‬
‫‪90‬‬
‫إذن ‪ :‬مساحة الحجرة تمثل ‪ 22,22 %‬من مساحة المنزل‬
‫‪-4‬السلم‬
‫تعريف‬
‫تصميم أو خريطة لھذا ‪e‬السلم ھو معامل التناسب بين القياسات الحقيقية لشيء و القياسات على‬
‫الشيء ‪ .‬يرمز للسلـــم بالرمز ‪:‬‬
‫مالحظة ھامــة ‪:‬‬
‫مثال‬
‫القياس على التصميم‬
‫القياس الحقيقي‬
‫=ࢋ‬
‫المسافة على الخريطة)‪(cm‬‬
‫المسافة الحقيقية)‪(km‬‬
‫‪125‬‬
‫‪x‬‬
‫‪y‬‬
‫‪75‬‬
‫‪1‬‬
‫لنحسب‪ y‬و ‪ x‬علما أن السلــم ھو ‪:‬‬
‫‪250000‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x = 125 :‬‬
‫إذن ‪:‬‬
‫‪250000‬‬
‫‪ 125 x 250000 = x‬أي ‪x = 31250000 cm = 312,5 km‬‬
‫‪1‬‬
‫‪y = 7500000 x‬‬
‫‪= 30 cm‬‬
‫أي‬
‫‪250000‬‬
‫‪- 5‬السرعة المنتظمة‬
‫تعريف‬
‫يكون جسم في حركة منتظمة إذا كانت المسافات التي يقطعھا متناسبة مع المدد الزمنية‬
‫الموافقة لھا ‪.‬‬
‫مثال‬
‫الجدول اآلتي يبين المدة الزمنية التي تستغرقھا سيارة لقطع مسافات ‪.‬‬
‫‪6‬‬
‫المدة الزمنية )‪(h‬‬
‫المسافة المقطوعة‬
‫‪480‬‬
‫)‪(km‬‬
‫‪5‬‬
‫‪400‬‬
‫‪35‬‬
‫لدينا ‪:‬‬
‫‪480‬‬
‫‪= 80‬‬
‫‪6‬‬
‫‪400‬‬
‫‪= 80‬‬
‫و‬
‫‪5‬‬
‫‪400 480‬‬
‫=‬
‫نالحظ أن ‪= 80 :‬‬
‫‪5‬‬
‫‪6‬‬
‫نقول إذن ‪ :‬ھذه السيارة في حركة منتظمة‬
‫‪ -6‬الدالة الخطية‬
‫أ‪ -‬تعريف‬
‫‪ a‬عدد معلوم‬
‫العالقة التي تربط العدد ‪ x‬بالعدد ‪ ax‬تسمى دالة خطية معاملھا ھو ‪a‬‬
‫العدد ‪ ax‬يسمى صورة ‪ x‬بالدالة الخطية التي نرمز لھا بالرمز‪f :‬‬
‫ونكتب ‪f(x) = ax:‬‬
‫) )‪ f(x‬ھي صورة بالدالة الخطية (‬
‫مثال‬
‫‪ f (x ) = − 2x‬دالة خطية معاملھا ھو ‪−2‬‬
‫خاصية‬
‫‪f‬دالة خطية معاملھا‪a‬‬
‫إذا كان ‪ x‬و ’‪ x‬عددين معلومين غير منعدمين فان ‪:‬‬
‫مثال‬
‫‪2‬‬
‫‪ f‬دالة خطية بحيث ‪:‬‬
‫‪3‬‬
‫لنحدد معامل الدالة ‪ f‬ثم حدد ) ‪. f ( x‬‬
‫‪ f‬دالة خطية إذن ‪ f ( x ) = a.x :‬ومعاملھا ھو العدد الحقيقي ‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫)‪f (−5‬‬
‫‪2 − 5 −10‬‬
‫=‪.a‬‬
‫× = ‪= 3‬‬
‫=‬
‫‪−5‬‬
‫‪−5 3 1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪−10‬‬
‫‪x‬‬
‫= ) ‪. f (x‬‬
‫و منه فإن ‪:‬‬
‫‪3‬‬
‫= )‪f (−5‬‬
‫ب‪ -‬التمثيل المبياني للدالة الخطية‬
‫تعريف‬
‫) ‪ (O ; I ; J‬معلم متعامد في المستوى‬
‫المعلم‪O‬‬
‫تمثيل المبياني لدالة خطية ھو مستقيم يمر من أصل المعلم‬
‫‪36‬‬
‫مثال‬
‫‪ f (x ) = − 2x‬دالة خطية معاملھا ھو ‪−2‬‬
‫لننشئ التمثيل المبياني للدالة ‪ f‬في المستوى المنسوب إلى معلم متعامد ممنظم ) ‪. (O ; I ; J‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x‬‬
‫) ‪f (x‬‬
‫‪−2‬‬
‫إذن التمثيل المبياني للدالة ھو المستقيم من ‪ O‬و من النقطة )‪. A (1; − 2‬‬
‫‪37‬‬
‫اإلحصاء‬
‫‪ -1‬ترتيب متسلسلة إحصائية‬
‫أ‪ -‬تذكير‬
‫عند انتھاء من تصحيح فرض محروس أدرج األستاذ الجدول اآلتي ‪:‬‬
‫‪10‬‬
‫‪8‬‬
‫‪5‬‬
‫النقطة على ‪ ) 20‬الميزة (‬
‫‪7‬‬
‫‪7‬‬
‫‪3‬‬
‫عدد التالميذ ) الحصيص (‬
‫‪12‬‬
‫‪2‬‬
‫‪15‬‬
‫‪1‬‬
‫الميزة ھي ‪ :‬النقطة ‪.‬‬
‫الحصيص ھو ‪ :‬عدد التالميذ الموافق لكل ميزة‪.‬‬
‫الحصيص اإلجمالي ھو ‪ :‬مجموع الحصيصات ‪ .‬في المثال أعاله الحصيص اإلجمالي ھو ‪ 20‬تلميذا‬
‫ب ‪ -‬الحصيص المتراكم التصاعدي‬
‫تعريف‬
‫الحصيص المتراكم التصاعدي لقيمة ميزة إحصائية ھو مجموع حصيصات القيم التي تصغر أو تساوي‬
‫ھذه القيمة‬
‫مثال‬
‫النقطة على ‪ ) 20‬الميزة (‬
‫عدد التالميذ ) الحصيص (‬
‫الحصيص المتراكم‬
‫‪5‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪8‬‬
‫‪7‬‬
‫‪10‬‬
‫‪10‬‬
‫‪7‬‬
‫‪17‬‬
‫‪12‬‬
‫‪2‬‬
‫‪19‬‬
‫‪15‬‬
‫‪1‬‬
‫‪20‬‬
‫ج‪ -‬التردد و التردد المتراكم‬
‫تعريف‬
‫التردد المتراكم التصاعدي لقيمة ميزة إحصائية ھو مجموع ترددات القيم التي تصغر أو تساوي ھذه‬
‫القيمة‪.‬‬
‫مثال‬
‫‪5‬‬
‫النقطة على ‪ ) 20‬الميزة (‬
‫عدد التالميذ ) الحصيص ( ‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫الحصيص المتراكم‬
‫‪0,15‬‬
‫التردد‬
‫‪8‬‬
‫‪7‬‬
‫‪10‬‬
‫‪0,35‬‬
‫‪10‬‬
‫‪7‬‬
‫‪17‬‬
‫‪0,35‬‬
‫‪12‬‬
‫‪2‬‬
‫‪19‬‬
‫‪0,1‬‬
‫‪15‬‬
‫‪1‬‬
‫‪20‬‬
‫‪0,05‬‬
‫‪0,15‬‬
‫‪0,50‬‬
‫‪0,85‬‬
‫‪0,95‬‬
‫‪1‬‬
‫التردد المتراكم‬
‫‪38‬‬
‫‪ -2‬المعدل الحسابي‬
‫تعريف‬
‫المعدل الحسابي ھو خارج مجموع جداءات كل قيمة ميزة في الحصيص الموافق لھا على الحصيص‬
‫اإلجمالي ‪،‬أي مجموع جداءات قيم الميزة في التردد الموافق لھا‪ .‬و يرمز له بالرمــز ‪. m‬‬
‫مثال‬
‫النقطة على ‪ ) 20‬الميزة (‬
‫عدد التالميذ ) الحصيص (‬
‫الحصيص المتراكم‬
‫‪5‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪10‬‬
‫‪7‬‬
‫‪17‬‬
‫‪8‬‬
‫‪7‬‬
‫‪10‬‬
‫‪15‬‬
‫‪1‬‬
‫‪20‬‬
‫‪12‬‬
‫‪2‬‬
‫‪19‬‬
‫‪5 × 3 + 8 × 7 + 10 × 7 + 12 × 2 + 15 × 1‬‬
‫‪20‬‬
‫‪15 + 56 + 70 + 24 + 15‬‬
‫= ‪m‬‬
‫‪20‬‬
‫‪180‬‬
‫= ‪m‬‬
‫‪20‬‬
‫‪m = 9‬‬
‫= ‪m‬‬
‫إذن المعدل الحسابي لھذه المتسلسلة اإلصحائية ھو‪9 :‬‬
‫‪ -3‬الصنف‬
‫تعريف‬
‫‪a +b‬‬
‫إذا كان ‪ a ≤ x < b :‬ھو صنف لمتسلسلة فإن مركزه ھو ‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫مثال‬
‫أجريت تجربة على ‪ 400‬مصباح كھربائي لتحديد مدة الصالحية بمئات الساعات‬
‫فجاءت النتائج كالتالي ‪:‬‬
‫المدة ‪t‬‬
‫)الصنف(‬
‫عدد‬
‫المصابيح‬
‫)الحصيص(‬
‫المركز‬
‫‪3≤t <5‬‬
‫‪5≤t < 7‬‬
‫‪7 ≤t < 9‬‬
‫‪9 ≤ t < 11‬‬
‫‪11 ≤ t < 13‬‬
‫‪15‬‬
‫‪46‬‬
‫‪54‬‬
‫‪78‬‬
‫‪64‬‬
‫‪4‬‬
‫‪6‬‬
‫‪8‬‬
‫‪10‬‬
‫‪12‬‬
‫‪-4‬التمثيالت المبيانية‬
‫تعريف‬
‫تمثل المتسلسلة اإلحصائية بإستعمال الدائرة بحيث نقسم الدائرة إلى زوايا متناسبة مع التردد او‬
‫النسبة المئوية المرتبطة بكل قيمة من قيم الميزة‪.‬‬
‫‪39‬‬
‫مثال‬
‫الزاوية الممثلة للبني الغامق ھي‪×360 :‬‬
‫الزاوية الممثلة لألخضر ھي‪×360 :‬‬
‫الزاوية الممثلة لألزرق ھي‪×360 :‬‬
‫الزاوية الممثلة للبني ھي‪×360 :‬‬
‫‪૚૙‬‬
‫‪૚૙૙‬‬
‫‪૞‬‬
‫‪૚૙૙‬‬
‫‪૛૞‬‬
‫‪૚૙૙‬‬
‫‪૜૞‬‬
‫‪૚૙૙‬‬
‫أي ‪126°‬‬
‫أي ‪36°‬‬
‫أي ‪18°‬‬
‫أي ‪90°‬‬
‫تعريف‪2‬‬
‫تمثل متسلسلة إحصائية في معلم متعامد باستعمال أشرطة طولھا متناسب مع الحصيص ‪ ,‬أو تردد كل‬
‫من القيم التي تمثل الميزة اإلحصائية‪.‬‬
‫مثال‬
‫‪40‬‬
Téléchargement