SERIE9-INTEGRALES

Universit´e Claude Bernard, Lyon I Licence Sciences & Technologies
43, boulevard 11 novembre 1918 Sp´ecialit´e Math´ematiques
69622 Villeurbanne cedex, France Analyse IV
Ann´ee 2011/2012
S´erie 8 :
Int´egrales d´ependant d’un param`etre
Exercice I. Int´egrale sur un intervalle compact de IR (continuit´e)
On souhaite calculer l’int´egrale suivante
J=Z1
0
dt
(t2+1)
2.
Nous allons le faire de deux fa¸cons.
1. M´ethode 1. Pour tout x2IR ⇤
+et pour tout t2[0,1] on consid`ere fla fonction
d´efinie sur IR ⇤
+⇥[0,1], et Ila fonction d´efinie sur IR ⇤ +par
f(x, t)= 1
(t2+1)(t2+x2),et I(x)=Z1
0
f(x, t)dt.
(a) Montrer que Iest continue sur IR .
(b) Supposons x6= 1, montrer que
f(x, t)= 1
x21.1 t2+11 x21.1 t2+x2,
puis calculer I(x)etpuisI(1).
(c) En d´eduire la valeur de l’int´egrale J.
2. M´ethode 2. Calculer directement Ien faisant le changement de variable t= tan(✓).
Exercice II. Int´egrale sur un intervalle compact de IR (d´erivabilit´e)
Soit Fla fonction d´efinie par
F(x)=Z⇡
⇡
ln(1 + x22xcos(✓)d✓.
1. Montrer que fest continue et d´erivable sur l’intervalle ] 1,1[.
2. Calculer F0sur l’intervalle ] 1,1[. Indication : on pourra proc´eder au changement de
variable t= tan(
✓
2).
3. En d´eduire Fsur l’intervalle ] 1,1[.
1

Exercice III. Int´egrale sur un intervalle compact de IR
(d´erivabilit´e)
On consid`ere Fd´efinie pour tout x2IR par
f(x)=F(x)=Z⇡
0p|1xcos(t))|dt.
1. V´erifier que Fest bien d´efinie pour tout x2IR et que Fest continue sur IR .
2. Montrer que Fest paire.
3. Montrer que Fest deux fois d´erivable pour tout x2]1,1[ et qu’elle v´erifie la
relation
4x(x21)F00(x)+4(x21)F0(x)xF (x)=Z⇡
0
R(t, x)dt,
o`u
R(t, x)= @
@t 2 sin(t)
p1xcos(t)!.
4. En d´eduire que Fv´erifie l’´equation di↵´erentielle
4x(x21)F00(x)+4(x21)F0(x)xF (x)=0.
Exercice IV. Int´egrale sur un intervalle non compact de IR
(continuit´e)
1. On consid`ere la fonction fd´efinie pour tout (x, t)2]0,+1[⇥[0,+1[par
f(x, t)= ext
1+t2.
Montrer que la fonction Fd´efinie pour tout x2]0,+1[par
F(x)=Z+1
0
ext
1+t2dt,
est continue sur ]0,+1[.
2. Montrer que la fonction Fd´efinie pour tout x2[0,+1[par
F(x)=Z+1
0
sin(t)
textdt,
est continue sur [0,+1[.
2

Exercice V. Int´egrale sur un intervalle non compact de IR
(d´erivabilit´e)
1. On d´efinit pour tout x2[0,+1[, la fonction Fpar
F(x)=Z+1
0
sin(t)
textdt,
comme dans l’exercice pr´ec´edent.
(a) Calculer la d´eriv´ee de Fen tout point non nul .
(b) En d´eduire F(x). Et de la continuit´e de Fen 0 d´eduire
Z+1
0
sin(t)
tdt.
2. On introduit maintenant pour tout x2IR la fonction Fd´efinie par
F(x)=Z+1
O
cos(tx)
1+t2.
(a) Montrer que cette int´egrale existe pour tout x2IR et que Fest continue born´ee
sur IR .
(b) Montrer que Fest paire et calculer F(0).
(c) Montrer que pour tout x>0, on a F(x)=xG(x), o`u Gest donn´ee par
G(x)=Z+1
0
cos(u)
u2+x2du.
(d) Montrer que Gest deux fois d´erivable sur ]0,+1[etexprimerG0et G00 sous la
forme d’int´egrales g´en´eralis´ees d´ependant du param`etre x2]0,+1[.
(e) En d´eduire que Fest deux fois d´erivable sur ]0,+1[etquesad´eriv´eeseconde
est donn´ee par
F00(x)=xZ+1
0
2x26u2
(u2+x2)3cos(u)du.
(f) Montrer que pour tout (u, x)6=(0,0) les fonction het kd´efinies par
h(u, x)2x26u2
(u2+x2)3,et k(u, x)= 1 u2+x2,
v´erifient la condition
h(u, x)=@2k
@u2(u, x).
(g) En d´eduire que Fv´erifie sur ]0,+1[ l’´equation di↵´erentielleF00 =F.
(h) En d´eduire que Fest de la forme
F(x)=aex+bex, a, b 2IR , x 2]0,+1[.
(i) Calculer aet ben fonction des r´esultats obtenus dans les 3 premi`eres questions
et en d´eduire une expression de Fvalable pour tout x2IR .
3

Exercice VI. Fonction Gamma
Soit fune fonction ind´efiniment d´erivable sur IR telle f(0) = 1 et 0 f(t)<1 pour tout
t2]0,1]. On note
g(x)= sup
t2[x,1]
f(t),
pour x1.
1. Pour quelles valeurs r´eelles de ↵l’int´egrale Z+1
0
et
t↵dt existe-t-elle ?
On note (1 ↵)lavaleurdecetteint´egraleg´en´eralis´eesielleexiste.
2. Montrer que si x]0,1], alors g(x)<1.
3. Montrer que f0(0) 0.
D´esormais on fixe un r´eel ↵2]0,1]. On suppose que f0(0) 6=0etnotef0(0) = ,
avec 2IR ⇤
+.
4. Montrer que
lim
t!0
f(t)eµt
t=µ.
5. Soit µ>.
(a) Montrer `a l’aide de la question 4) qu’il existe xµ2]0,1] tel que f(t)eµt pour
tout t2[0,x
µ].
(b) En d´eduire que pour µ>,
Z1
0
fn(t)
t↵dt (nµ)↵1Znµxµ
0
et
t↵dt.
(c) En d´eduire que pour tout µ>
lim inf
n!+1n1↵Z1
0
fn(t)
t↵dt (1 ↵) µ1↵,
puis que
lim inf
n!+1n1↵Z1
0
fn(t)
t↵dt (1 ↵) 1↵,
6. On suppose maintenant que 0 <µ<.
(a) Montrer `a l’aide de la question 4) qu’il existe xµ2]0,1] tel que f(t)eµt pour
tout t2[0,x
µ].
(b) En d´eduire que pour 0 <µ<,
Z1
0
fn(t)
t↵dt (nµ)↵1(1 ↵)+ rn (xµ)↵(1 xµ),
o`u r:= g(xµ).
4

(c) En d´eduire que pour 0 <µ<,
lim sup
n!+1
n1↵Z1
0
fn(t)
t↵dt (1 ↵) µ1↵,
puis que
lim sup
n!+1
n1↵Z1
0
fn(t)
t↵dt (1 ↵) 1↵,
7. En d´eduire que
Z1
0
fn(t)
t↵dt ⇠(1 ↵) 1↵n1↵,n!+1.
Exercice VII. Transform´ee de Laplace
Dans tout l’exercice on note Lla transform´ee de Laplace d´efinie pour tout t/inIR+,et
f:IR +!IR par
L{f(t)}=Z+1
0
estf(t)dt.
1. Calculer L{1},L{t},L{e3t},L{sin(2t)}.
2. Supposons fdeux fois d´erivable sur IR +.
Calculer L{f0(t)}et L{f00(t)}.
3. R´esoudre les deux ´equations di↵´erentielles suivantes
(a) x0(t)+3x(t)=13sin(2t), avec x(0) = 6.
(b) x00(t)3x0(t)+2x(t)=e4t,avecx(0) = 1 et x0(0) = 5.
5