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Recherche opérationnelle : méthode « PERT »
Problème I
La réalisation d’un projet exige que soient effectuées dix opérations A, B, C, D, E, F,
G, H, I, J. Les conditions d’antériorité qui relient ces tâches figurent dans la matrice associée
ci-dessous :
A
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
B
C
1
1
1
1
Départ
D
E
F
G
H
I
J
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Les durées des tâches sont les suivantes :
Tâches A
Durée 4
B
8
C
5
D
2
E
12
F
4
G
7
H
10
I
6
J
5
1) Déterminer les niveaux de générations.
2) Construire un graphe orienté matérialisant les relations entre les tâches ainsi que les
différentes étapes que doit présenter la réalisation du projet.
3) Déterminer les dates au plus tôt et les dates au plus tard.
4) Les services commerciaux aimeraient connaître en quel temps minimum le lancement
sera réalisé, déterminer alors la durée minimum de réalisation du projet.
5) Dresser dans un tableau la marge libre, la marge totale, la marge certaine et l’intervalle
de flottement.
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Correction du problème 1
Les Niveaux :
N0={A, D}
N3={F, G}
N1={B, C, H}
N4={I}
N2={E, J}
Chemin critique (
) :A---C---E---F---I ou 0---1---3----5---6---7
La valeur du chemin critique =31 (voir tableau ci-dessous)
B(8)
1
4 4
00
A(4)
C(5)
0
0 0
00
D(2)
(1)
Durée
A:(0- 1)
D:(0 - 2)
B:(1 - 4)
C:(1 - 3)
H:(2 - 5)
E:(3 - 5)
J:(3 - 4)
F:(5 - 6)
G:(4 - 6)
I:(6 - 7)
3
E(12)
9 9
00
H(10)
2
2 15
00
Tâches
4
2
8
5
10
12
5
4
7
6
J(5)
4
14 18
00
G(7)
5
F(4)
21 21
00
6
25 25
00
I(6)
D(1
)
Sommet
début
(2)
Date au
plus tôt
Sommet
début
(2’)
Date au
plus tard
Sommet
fin
(3)
Date au
plus tôt
Sommet
Marge
fin
totale
(4)
(4)-(2)-(1)
Date au plus
tard
0
0
4
4
2
9
9
21
14
25
0
0
4
4
15
9
9
21
18
25
4
2
14
9
21
21
14
25
25
31
4
15
18
9
21
21
18
25
25
31
1) Calcul des intervalles de flottement
L’intervalle de flottement d’un sommet E i est :
0
13
6
0
9
0
4
0
4
0
7
31 31
00
Marge
libre
(3)-(2)-(1)
0
0
2
0
9
0
0
0
4
0
Marge
Certaine
(3)-(2’)-1
0
0
2
0
0
0
0
0
0
0
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IF= t’i-ti
avec
Etape
Ei
Date au plus tôt
Date au plus tard
ti
Etape
0
1
2
3
4
5
6
7
t’i
Intervalle de flottement
0
0
13
0
4
0
0
0
Problème II
L’entreprise « bontemps » décide de lancer un nouveau produit sur le marché. Les
services commerciaux ont déterminé l’ensemble des tâches nécessaires à cette action :
{a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k}
Les conditions d’antériorité liant ces tâches et les durées de celle-ci sont rassemblé
dans le tableau ci-dessous :
Tâches
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
Tâches antérieures
E
J, E
Aucune
Aucune
Aucune
D
F, D
A, C, D
H, A, C, E, K, D, F
E
F, D
Durée des tâches
4
6
12
14
8
2
10
6
8
12
2
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1) Déterminer les tâches immédiatement antérieures à chaque tâche.
2) Tracer le graphe du projet par la méthode PERT et déterminer le ou les chemins
critiques en indiquant sur le graphe les dates au plus tôt et les dates au plus tard.
3) Déterminer le chemin critique et le temps minimum de réalisation du projet.
4) Dresser le tableau des marges.
Evénement ou étape
Ei
Date au plus tôt
ti
Date au plus tard
t’i
Correction du problème 2
Les Niveaux :
N0={C, D, E}
N3={I}
N1={A, F, G}
N2={B, G, H, K}
Chemin critique (
) :D---H---I ou 1---7---4----5---6
La valeur du chemin critique =28 (voir tableau ci-dessous)
E(8)
1
0 0
00
C(12)
D(14)
2
8 10
00
J(12)
A(4)
4
14 14
00
V(0)
H(6)
7
F(2)
14 14
00
D(1
)
3
20 22
00
5
I(8)
20 20
00
K(2)
)
8
16 18
00
B(6)
6
28 28
00
G(10)
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Tâches
(1)
Durée
E:(1- 2)
C:(1 - 4)
D:(1 - 7)
J:(2 - 3)
A:(2 - 4)
B:(3 - 6)
H:(4 - 5)
I:(5 - 6)
F:(7 - 8)
K:(8 - 5)
G:(8- 6)
V(7-4)
8
12
14
12
4
6
6
8
2
2
10
0
Sommet
début
(2)
Date au
plus tôt
Sommet
début
(2’)
Date au
plus tard
Sommet
fin
(3)
Date au
plus tôt
Sommet
Marge
fin
totale
(4)
(4)-(2)-(1)
Date au plus
tard
0
0
0
8
8
20
14
20
14
16
16
14
0
0
0
10
10
22
14
20
14
18
18
14
8
14
14
20
14
28
20
28
16
20
28
14
10
14
14
22
14
28
20
28
18
20
28
14
2) Calcul des intervalles de flottement
L’intervalle de flottement d’un sommet E i est :
IF= t’i-ti
Etape
Ei
Date au plus tôt
Date au plus tard
ti
Etape
1
2
3
4
5
6
7
8
t’i
Intervalle de flottement
0
2
2
0
0
0
0
2
2
2
0
2
2
2
0
0
2
2
2
0
Marge
libre
(3)-(2)-(1)
0
2
0
0
2
2
0
0
0
2
2
0
Marge
Certaine
(3)-(2’)-1
0
2
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
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Problème III
La réalisation d’un ouvrage se décompose en tâches A, B, C, D, E, F, G, H, I, J et K (Voir tableau).
Tâches
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
Tâches antérieures
Pas de tâche antérieure
Pas de tâche antérieure
Pas de tâche antérieure
A, B, C
A
D, E
F
G
C
H, I
J
Durée (jours)
2
5
2
2
1
7
15
2
5
3
1
1) Déterminer les niveaux de générations.
2) Construire un graphe orienté matérialisant les relations entre les tâches ainsi que les
différentes étapes que doit présenter la réalisation du projet.
3) Déterminer les dates au plus tôt et les dates au plus tard.
4) Les services commerciaux aimeraient connaître en quel temps minimum le lancement
sera réalisé, déterminer alors la durée minimum de réalisation du projet.
5) Dresser dans un tableau la marge libre, la marge totale, la marge certaine et l’intervalle
de flottement.
Correction du problème 3
Les Niveaux :
N0={A, B, C}
N1={D, E, I}
N3={G} N4={H} N5={J} N6={K}
N2={F}
Chemin critique (
) :B---D---F---G--J---K ou 1---3---5---6---7----8---9----10
La valeur du chemin critique =35 (voir tableau ci-dessous)
2
2 5
A(2)
E(1)
V2(0)
H(2)
G(15)
1
0 0
00
B(5)
3
5 5
D(2)
V1(0)
C(2)
4
2 5
00
5
7 7
F(7)
6
14 14
7
29 29
00
8
31 31
J(3)
I(5)
D(1
)
9
34 34
00
10
35 35
00
K(1)
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Tâches
(1)
Durée
A:(1- 2)
B:(1 - 3)
C:(1 - 4)
D:(3 - 5)
E:(2 - 5)
I:(4 - 8)
F:(5 - 6)
G:(6 - 7)
H:(7 - 8)
J:(8 - 9)
K:(9-10)
V1(4-3)
V2(2-3)
2
5
2
2
1
5
7
15
2
3
1
0
0
Sommet
début
(2)
Date au
plus tôt
Sommet
début
(2’)
Date au
plus tard
Sommet
fin
(3)
Date au
plus tôt
Sommet
Marge
fin
totale
(4)
(4)-(2)-(1)
Date au plus
tard
0
0
0
5
2
2
7
14
29
31
34
2
2
0
0
0
5
5
5
7
14
29
31
34
5
5
2
5
2
7
7
31
14
29
31
34
35
5
5
5
5
5
7
7
31
14
29
31
34
35
5
5
3) Calcul des intervalles de flottement
L’intervalle de flottement d’un sommet E i est :
IF= t’i-ti
Etape
Ei
Date au plus tôt
ti
Etape
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
t’i
Date au plus tard
Intervalle de flottement
0
3
0
3
0
0
0
0
0
0
3
0
3
0
4
24
0
0
0
0
0
3
3
Marge
libre
(3)-(2)-(1)
3
0
0
0
4
24
0
0
0
0
0
3
3
Marge
Certaine
(3)-(2’)-1
0
0
0
0
1
21
0
0
0
0
0
0
0
