INDUCTANCES ET TRANSFORMATEURS GÉNÉRALITÉS Mouhamadou Falilou NDIAYE UCAD/ESP 31 janvier 2023 [email protected] Mouhamadou Falilou NDIAYE (UCAD/ESP) INDUCTANCES ET TRANSFORMATEURS 31 janvier 2023 1 / 36 Contenu 1 Conversion électromécanique 2 Magnétisme 3 Inductances Mouhamadou Falilou NDIAYE (UCAD/ESP) INDUCTANCES ET TRANSFORMATEURS 31 janvier 2023 2 / 36 Conversion électromécanique Force de Laplace Force de Faraday Un conducteur traversé par un courant I et soumis à une induction magnétique B est le siège d’une force F qui tend à le mettre en mouvement. → − → − → − → − → − → − d F = Id L ∧ B F =IL ∧B La f.e.m ou tensione(t) induite dans un circuit qui embrasse le flux φ(t) qui varie de dφ(t) pendant la durée dt est Figure – Laplace Mouhamadou Falilou NDIAYE (UCAD/ESP) e(t) = dφ(t) dt Figure – Faraday INDUCTANCES ET TRANSFORMATEURS 31 janvier 2023 3 / 36 Magnétisme Matériaux Exemple : champ magnétique terrestre met en évidence par une boussole. Aimants naturels : magnétite Fe3 O4 . Acier aimanté en le frottant avec un aimant permanent. Électro-aimants Mouhamadou Falilou NDIAYE (UCAD/ESP) INDUCTANCES ET TRANSFORMATEURS 31 janvier 2023 4 / 36 Magnétisme − → Vecteur induction magnétique B : L’espace champ magnétique est la zone d’influence d’un aimant. Il est caractérisé → − en chaque point de cet espace par le vecteur induction magnétique B (T ) Mouhamadou Falilou NDIAYE (UCAD/ESP) INDUCTANCES ET TRANSFORMATEURS 31 janvier 2023 5 / 36 Magnétisme − → Vecteur excitation magnétique H : Un courant électrique i crée dans l’espace qui l’entoure un champ d’excitation magnétique. Il est caractérisé en chaque point de cet espace par vecteur excitation (champ) → − magnétique H (A/m) Mouhamadou Falilou NDIAYE (UCAD/ESP) INDUCTANCES ET TRANSFORMATEURS 31 janvier 2023 6 / 36 Magnétisme − → − → Relation entre H et B : → − → − B = µ0 × (1 + χ) × H µ0 perméabilité du vide (H/m) χ susceptibilité magnétique du milieu (sans unités) µr perméabilité relative du matériau (H/m) µr = 1 + χ µ perméabilité du milieu µ = µ · µr Mouhamadou Falilou NDIAYE (UCAD/ESP) INDUCTANCES ET TRANSFORMATEURS 31 janvier 2023 7 / 36 Magnétisme Matériaux Les matériaux sont classés selon quatre types sur la base de leur comportement en présence d’un champ magnétique d’excitation. 1 Diamagnétiques 3 Ferrimagnétiques 2 Paramagnétiques 4 Ferromagnétiques Cette réaction est mesurée par l’induction Mouhamadou Falilou NDIAYE (UCAD/ESP) INDUCTANCES ET TRANSFORMATEURS 31 janvier 2023 8 / 36 Magnétisme Matériaux Type de matériau Ordre de grandeur Susceptibilité Exemple Dia-magnétiques χ < 0 10−4 - 10−6 Cu Paramagnétiques χ > 0 10−7 − 10−3 Al Ferrimagnétiques χ > 0 103 Fe0 Ferromagnétiques χ > 0 104 - 106 Fe Mouhamadou Falilou NDIAYE (UCAD/ESP) INDUCTANCES ET TRANSFORMATEURS 31 janvier 2023 9 / 36 Magnétisme Caractéristique magnétique Points remarquables 1 2 3 BM BR HC Induction maximale Induction rémanente Excitation coercitive Mouhamadou Falilou NDIAYE (UCAD/ESP) HM H B Excitation maximale nulle nulle INDUCTANCES ET TRANSFORMATEURS 31 janvier 2023 10 / 36 Magnétisme Matériaux Il existe deux grandes familles de matériaux ferromagnétiques : Mouhamadou Falilou NDIAYE (UCAD/ESP) INDUCTANCES ET TRANSFORMATEURS 31 janvier 2023 11 / 36 Magnétisme Matériaux-matériaux doux Faible excitation coercitive, HC < 10A.m−1 . Cycle d’hystérésis étroit confondu avec la courbe de 1ère aimantation B =µ×H Mouhamadou Falilou NDIAYE (UCAD/ESP) Application : Induction est variable INDUCTANCES ET TRANSFORMATEURS 31 janvier 2023 12 / 36 Magnétisme Matériaux-matériaux doux Fort excitation coercitive. 103 < HC < 106 A.m−1 excitation rémanente jusqu’à 1,25 T. Cycle d’hystérésis est large. B = Br Mouhamadou Falilou NDIAYE (UCAD/ESP) Application : Induction constante INDUCTANCES ET TRANSFORMATEURS 31 janvier 2023 13 / 36 INDUCTANCES ET TRANSFORMATEURS Circuits Magntique Mouhamadou Falilou NDIAYE UCAD/ESP 31 janvier 2023 [email protected] Mouhamadou Falilou NDIAYE (UCAD/ESP) INDUCTANCES ET TRANSFORMATEURS 31 janvier 2023 14 / 36 Magnétisme Circuit magnétique Intérêt : Canaliser le flux Figure – Circuit fermé Exemple d’utilisation : Transformateur Mouhamadou Falilou NDIAYE (UCAD/ESP) Figure – Circuit avec entrefer Exemple d’utilisation : Contacteur INDUCTANCES ET TRANSFORMATEURS 31 janvier 2023 15 / 36 Magnétisme Loi d’ Hopkinson-Force magnétomotrice Soit un circuit magnétique sur lequel est enroulé un enroulement de N spires parcouru par un courant d’intensité i. La force magnétomotrice F est définit par : F= I H dl = N × I C Mouhamadou Falilou NDIAYE (UCAD/ESP) INDUCTANCES ET TRANSFORMATEURS 31 janvier 2023 16 / 36 Magnétisme Flux ⃗ à travers un élément infinitésimal de surface Le flux du champ magnétique B ⃗ orienté dS est le produit scalaire de ces deux vecteurs : → − − → dΦ = B · dS Φ= ZZ → − − → B · dS S Propriété : Le flux d’induction magnétique est conservatif. flux sortant = flux entrant Mouhamadou Falilou NDIAYE (UCAD/ESP) INDUCTANCES ET TRANSFORMATEURS 31 janvier 2023 17 / 36 Magnétisme Relations Figure – Transmission de puissance Mouhamadou Falilou NDIAYE (UCAD/ESP) INDUCTANCES ET TRANSFORMATEURS 31 janvier 2023 18 / 36 Magnétisme Cas d’un circuit homogène linéaire : I H dl = N × I ⇒ H ·L=N ·I C L Longueur totale du circuit magnétique Φ= → − − → B · dS ZZ ⇒ Φ=B·S S Mouhamadou Falilou NDIAYE (UCAD/ESP) INDUCTANCES ET TRANSFORMATEURS 31 janvier 2023 19 / 36 Magnétisme Reluctance d’un circuit homogène linéaire : On appelle reluctance la grandeur ℜ ℜ= H ·L = N ·I B·S Φ Mouhamadou Falilou NDIAYE (UCAD/ESP) = L µ·S ⇒ ℜ·Φ=N ·l INDUCTANCES ET TRANSFORMATEURS 31 janvier 2023 20 / 36 Inductances Inductances propre Un enroulement de N spires placé dans un circuit magnétique de reluctance ℜ et parcouru par un courant I. L’inductance propre Lp est alors le rapport entre le flux embrassé et le courant Lp = Mouhamadou Falilou NDIAYE (UCAD/ESP) N2 ΦP = I ℜ INDUCTANCES ET TRANSFORMATEURS 31 janvier 2023 21 / 36 Inductances Inductances propre Lp = 1, 25 · N 2 · A e Lp inductance, en microhenrys [H] N nombre de spires de la bobine A surface de l’entrefer, en mètres carrés [m2] e longueur de l’entrefer, en mètres [m] Mouhamadou Falilou NDIAYE (UCAD/ESP) INDUCTANCES ET TRANSFORMATEURS Figure – exemple 31 janvier 2023 22 / 36 Inductances Inductance mutuelle Soient deux enroulements comportant respectivement N1 et N2 spires bobinés sur le même circuit magnétique et parcourus par des courants d’intensité respectifs I1 et I2 . Φ1 = L1p · I1 + M12 · I2p M : Inductance mutuelle entre les deux bobines M = M12 = M21 = p N1 · N2 = L1p · L2p ℜc Coefficient de couplage k k=p Mouhamadou Falilou NDIAYE (UCAD/ESP) M L1p · L2p INDUCTANCES ET TRANSFORMATEURS 31 janvier 2023 23 / 36 Inductances Inductance cyclique Dans un système triphasé, les enroulements sont identiques et décalé de 120°. la tension au borne d’une bobine s’écrit V = j · Lp · ω · I 1 + j · M12 · cos V = jLc · ω · I 1 2π 4π · ω · I 2 + j · M13 · cos · ω · I3 3 3 Par identification Lc = 3 · Lp 2 LC est appelée inductance cyclique Mouhamadou Falilou NDIAYE (UCAD/ESP) INDUCTANCES ET TRANSFORMATEURS 31 janvier 2023 24 / 36 Inductances Énergie Magnétique Principe de conservation de l’énergie : dWel dWmag = dWel = u · i · dt = dΦ · i · dt dt dWmag = idΦ Mouhamadou Falilou NDIAYE (UCAD/ESP) INDUCTANCES ET TRANSFORMATEURS 31 janvier 2023 25 / 36 Inductances Énergie Magnétique par unite de volume Principe de conservation de l’énergie : dWel dWmag = dWel = u · i · dt = dΦ · i · dt dt dWmag = idΦ Mouhamadou Falilou NDIAYE (UCAD/ESP) INDUCTANCES ET TRANSFORMATEURS 31 janvier 2023 26 / 36 Inductances Énergie Magnétique dWel = dWmag dWel = u · i · dt dWmag = idΦ Dans un Circuit Magnétique à Parcours Fermé (C.M.P.F) dWmag = HdB (J/m3 ) Mouhamadou Falilou NDIAYE (UCAD/ESP) INDUCTANCES ET TRANSFORMATEURS 31 janvier 2023 27 / 36 Inductances Énergie magnétique : Wvol = Z B H(B) dB 0 = Z 0 W = Mouhamadou Falilou NDIAYE (UCAD/ESP) ϕ N · i dΦ · l S B·H 1 1 · Φ · N · i = · L · i2 = 2 2 2 INDUCTANCES ET TRANSFORMATEURS 31 janvier 2023 28 / 36 Inductances Énergie stockée dans matériau : Énergie stockée dans matériau : Wf = B2 ·l ·S 2 · µ0 · µr Énergie stockée dans l’entrefer : B2 We = ·e·S 2 · µ0 Mouhamadou Falilou NDIAYE (UCAD/ESP) INDUCTANCES ET TRANSFORMATEURS 31 janvier 2023 29 / 36 Inductances Rapport énergies stockées Wvol = We + Wm We = Wm = B2 ·l ·S 2 · µ0 · µr B2 ·e·S 2 · µ0 Si l << e µr Alors Wm << We l µr · e Donc Wvol = We L’énergie magnétique est stockée dans l entrefer Mouhamadou Falilou NDIAYE (UCAD/ESP) INDUCTANCES ET TRANSFORMATEURS 31 janvier 2023 30 / 36 Inductances Variation d’énergie La puissance est la variation de l’energie par unite de temps p(t) = dB dW = H(B) dt dt p(t) = (N · I)2 ℜ·Φ = dt dt Dans les materiaux lineaires Mouhamadou Falilou NDIAYE (UCAD/ESP) INDUCTANCES ET TRANSFORMATEURS 31 janvier 2023 31 / 36 Inductances Puissance Mouhamadou Falilou NDIAYE (UCAD/ESP) INDUCTANCES ET TRANSFORMATEURS 31 janvier 2023 32 / 36 Force et Couple Mouhamadou Falilou NDIAYE (UCAD/ESP) F (t) = Pm (t)· dWm = dx dx C (t) = dWm Pm (t)· = dθ dθ INDUCTANCES ET TRANSFORMATEURS 31 janvier 2023 33 / 36 Inductances Pertes Magnétique - Hysteresis 2 PH = Bmax · Kh · f Kh Kf f Bmax Coefficient de pertes par hystérésis, coefficient des pertes par courant de Foucault fréquence de l’induction [Hz]. Induction maximale [T]. Mouhamadou Falilou NDIAYE (UCAD/ESP) INDUCTANCES ET TRANSFORMATEURS 31 janvier 2023 34 / 36 Inductances Énergie Magnétique 2 PC = Bmax · (Kf · e 2 · f 2 ) Kf e f coefficient des pertes par courant de Foucault épaisseur de la tôle [m]. fréquence de l’induction [Hz]. PF = PH + PC 2 PF = Bmax · (Kh · f + Kf · e 2 · f 2 ) Mouhamadou Falilou NDIAYE (UCAD/ESP) INDUCTANCES ET TRANSFORMATEURS 31 janvier 2023 35 / 36 Inductances Modélisation Figure – Modèle d’une inductance Lf LH L f + LH Rf r inductance de fuite. inductance principale ou inductance de magnétisation. inductance propre modélise les pertes fer résistance de la bobine Mouhamadou Falilou NDIAYE (UCAD/ESP) INDUCTANCES ET TRANSFORMATEURS 31 janvier 2023 36 / 36
