PT 2021-2022 26-11-2021 DEVOIR SURVEILLE n° 3 Durée : 4h Si au cours de l’épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d’énoncé, d’une part il le signale au chef de salle, d’autre part il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu’il est amené à prendre. AVERTISSEMENT La présentation, la lisibilité, l’orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies. En particulier, les résultats non justifiés ne seront pas pris en compte. Les candidats sont invités à encadrer les résultats de leurs calculs. CONSIGNES : - - Composer lisiblement sur les copies avec un stylo à bille à encre foncée : bleue ou noire. L’usage de stylo à friction, stylo plume, stylo feutre, liquide de correction et dérouleur de ruban correcteur est interdit. Remplir sur chaque copie en MAJUSCULES toutes vos informations d’identification : nom, prénom, numéro d’inscription, date de naissance, le libellé du concours, le libellé de l’épreuve et la session. Une feuille dont l’entête n’a pas été intégralement renseigné, ne sera pas prise en compte. Il est interdit aux candidats de signer leur composition ou d’y mettre un signe quelconque pouvant indiquer sa provenance. L’usage de calculatrice est autorisé pour le 1er problème, et interdit pour le 2ème problème. Il est interdit d’arrêter de composer avant la fin de l’épreuve. Vous devez traiter les 2 problèmes sur 2 copies différentes. Si vous choisissez de ne pas traiter l’un des problèmes, vous devez tout de même me rendre une copie « blanche ». Barème Ramassé à Premier problème 50 % 15h00 Deuxième problème 50 % 17h00 Le 1er problème est à traiter de 13h00 à 15h00 (ramassé à 15h00). Le 2ème problème est à traiter de 15h00 à 17h00. Interdiction de commencer le 2ème problème avant 15h00. PREMIER PROBLEME : Etude thermodynamique d’une tranche nucléaire française REP 900 MW (d’après CCINP PSI) Ce problème représente 50 % du barème. L’usage de calculatrice est autorisé pour ce problème. Avertissement : Certaines notations dans cet énoncé sont pour le moins … étranges : H n’est pas une enthalpie mais une enthalpie massique, q n’est pas une chaleur par unité de masse mais par unité de temps… Il semble aussi qu’il y ait confusion entre « eau » et « eau liquide ». Par ailleurs, certaines valeurs numériques me semblent … surprenantes ! L’énoncé proposé est l’énoncé original. J’ai toutefois ajouté quelques remarques en italique. Dans tout ce problème, on notera q les échanges de chaleur par unité de temps, P el la puissance électrique et PTh la puissance thermique (notations… étonnantes !). Il est demandé au candidat de respecter la numérotation définissant les différents points des circuits discutés, telles qu’ils sont sur les figures. I) Etude thermique du circuit primaire : Comme on peut le constater sur le schéma simplifié d’un REP 900 MW (Figure 1), le circuit primaire d’un réacteur nucléaire à eau sous pression (REP) est composé de quatre éléments : le Cœur (C) situé dans la Cuve Réacteur (CR), le Pressuriseur (Pr), le Générateur de Vapeur (GV) et la Pompe primaire (P1). Le bore servant à la limitation du flux de neutrons, le contrôle de la puissance nucléaire est effectué à l’aide du fluide caloporteur qui est de l’eau borée. Dans tout ce cycle, le fluide caloporteur est en phase liquide et ne fournit aucun travail. Pour augmenter l’efficacité d’échange, une tranche nucléaire 900 MW el comprend trois boucles parallèles comprenant chacune un Générateur de Vapeur (GV) et une Pompe primaire (P1). La pression est maintenue constante dans le Cœur grâce à un unique Pressuriseur (Pr) situé dans une des trois boucles. Par souci de clarté, seule cette dernière est schématisée sur la Figure 1. Figure 1 : Configuration générale d’une tranche nucléaire type réacteur à eau sous pression Pour décrire un échange de chaleur entre deux milieux, on dispose de la loi de Newton qui relie l’énergie échangée par unité de temps (q) et la surface d’échange A à la différence de température T entre les deux milieux : q h . T A La conductance surfacique h est une grandeur caractéristique du matériau utilisé et dépend de la température à laquelle s’effectue l’échange. Dans cette formulation, on tient implicitement compte de l’épaisseur du matériau utilisé. Si on souhaite avoir explicitement accès à l’épaisseur x, on travaillera plutôt avec la conductivité thermique k, sachant qu’elle est reliée à la conductance surfacique par k = h.x. En régime permanent, le Cœur du Réacteur maintient le fluide caloporteur à 330 °C et compense les échanges de chaleur avec le circuit secondaire au sein du GV, ainsi que les déperditions de chaleur. Dans cette partie du problème, on va décrire les échanges de chaleur entre la Cuve Réacteur (CR) et l’enceinte de confinement du Bâtiment Réacteur (BR), via l’air ambiant que l’on supposera immobile pour simplifier le problème. Cette enceinte est en fait composée de deux murs de béton distants d’environ 2 mètres. On se limitera ici à l’étude du profil thermique entre le Cœur et la paroi intérieure de BR portée, dans ces conditions, à une température de TE = 38 °C (Figure 2). Pour simplifier le problème, on ne tiendra pas compte des gradients thermiques liés à l’évolution du fluide primaire dans la Cuve Réacteur. On caractérisera donc le fluide par sa Température de sortie Cœur TC. Figure 2 : Profil de température selon une coupe radiale d’un bâtiment réacteur (BR) 1) Ecrire la relation à l’équilibre thermique entre la température TC du Cœur supposée homogène, celle de surface de la cuve TS et la quantité de chaleur dissipée par unité de temps et de Surface d’échange qC/Séch. 2) En pratique, il est plus simple de travailler avec la conductance surfacique h C qui donne directement, en Watt par mètre carré et par °C, la capacité de dissipation de la cuve. Donner la valeur numérique de hC sachant que la conductivité thermique de l’acier noir, dont la cuve est constituée, est k = 51 W.m 1 .°C-1 au voisinage de la Température Cuve, et que cette dernière a une épaisseur = 20 cm. 3) La quantité de chaleur dégagée par la cuve est ensuite dissipée par l’air environnant (on supposera que les formules vues précédemment sont valables dans la présente géométrie). Il s’établit un équilibre de conduction qui fixe la valeur de T S. Sachant que l’air présente une conductance surfacique h air = 10 W.m-2.°C-1, déterminer la relation à l’équilibre entre la Température de Surface de la cuve T S, celle de l’enceinte intérieur du bâtiment réacteur TE et la quantité de chaleur dissipée par unité de temps et de surface de cuve qC/Séch en W.m-2. 4) En déduire l’expression de la Température de Surface de la cuve T S ainsi que celle de la chaleur échangée par unité de Surface d’échange qC/Séch. 5) Le système cuve-air présente donc une conductance combinée h’ à la surface de l’interface cuve/air. Donner son expression et sa valeur. Commenter. 6) On supposera que toutes les déperditions ont lieu en surface de cuve (R cuve = 2 m, Hcuve = 12 m) et des boucles primaires. En sachant que la Surface totale d’échange S éch représente environ 750 m2, déterminer la Quantité de Chaleur qC échangée à l’équilibre thermique. 7) Déterminer la Température de Surface TS de la cuve correspondante. 8) Une isolation de conductance surfacique hi = 0,25 W.m-2.°C-1 a été placée au niveau des Surfaces d’échange. Déterminer le coefficient h’’C pour le groupement « cuve + isolant ». Application numérique. Commenter. 9) Déterminer la nouvelle Température de Surface T’ S, ainsi que la déperdition q’C correspondante. Pour cette estimation, on supposera que tout le fluide primaire est à la température T C. 10) Comparer la déperdition totale à la puissance thermique générée par le Cœur : PC = 2,60 GW. 11) On fournit une puissance PP1 = 5,50 MW au niveau des Pompes primaires de chaque boucle d’échange, pour assurer la circulation du fluide, et une puissance P Pr = 1,50 MW au niveau du Pressuriseur, afin d’assurer le maintien en pression – donc en phase liquide – du fluide caloporteur (P = 155 bars). En tenant compte de toutes les informations utiles connues à ce point, déterminer la valeur du rendement du premier cycle 1 = qGV / PC, défini comme le rapport de la quantité de chaleur fournie par unité de temps du circuit primaire au secondaire dans le Générateur de Vapeur GV (qGV), à celle fournie par le Cœur au primaire (PC). Faire suivre la valeur littérale par l’application numérique correspondante. II) Circuit secondaire : échanges au niveau du condenseur : Dans le cas d’un cycle thermique à changement de phase, la chaleur latente de liquéfaction intervient dans le procédé. Dans le Condenseur d’une tranche 900 MW, le circuit secondaire passe, à température constante (32,7 °C), d’une enthalpie (massique) de Hx = 2228,76 kJ.kg-1 à 136,9 kJ.kg-1 (eau) (liquide saturant). En parallèle, la pression passe de 0,05 bars à 0,95 bars. La source froide produisant ce changement entre dans l’échangeur (Condenseur) à 13,0 °C et en ressort à 23,0 °C, en subissant une différence d’enthalpie (massique) HF de 41,69 kJ.kg-1. 1) Sachant que le débit massique du circuit secondaire à ce point est D 2 = 830 kg.s-1, déterminer la puissance thermique qCO évacuée par unité de temps, par la source froide, dans le Condenseur. 2) Le fluide refroidissant est entraîné par une pompe (PSF) de 3,3 MW de puissance. A l’aide des résultats de la question précédente, déterminer le débit massique D F du fluide de refroidissement correspondant. Commenter. 3) Donner, en vous justifiant, la relation entre le titre x de la vapeur d’eau (% massique de vapeur) et les enthalpies (massiques) de mélange (Hx), de vapeur (Hvap) (vapeur saturante sèche) et d’eau (Heau) (liquide saturant), à une température et une pression données. 4) En déduire l’expression du titre x. Appliquer au cas de la vapeur d’eau à l’entrée du Condenseur, sachant qu’à 32,7 °C et à une pression de 0,05 bars, Hvap vaut 2561,26 kJ.kg-1. III) Rendement thermique du circuit secondaire sans soutirage : Le circuit secondaire est composé d’un Générateur de Vapeur (GV, source chaude), d’un turboalternateur, d’un Condenseur (CO, source froide) et d’une Pompe (P2). A la sortie du Condenseur, le fluide est comprimé en phase liquide de façon isentropique vers le GV dans lequel il passe, à pression constante, sous forme de vapeur d’eau surchauffée (vapeur sèche) par échange thermique avec le circuit primaire. Il subit ensuite une détente isentropique dans la Turbine (T) du turboalternateur et passe sous forme de mélange eau-vapeur à basse pression. Le Condenseur le ramène ensuite de façon isotherme et quasiisobare en phase liquide (liquide saturant). Figure 3 : Vues schématiques des circuits secondaires considérés et diagrammes correspondants 1) Représenter, sur les diagrammes (P,V) et (T,S), fournis en Document-Réponse, le cycle décrit cidessus, correspondant à la partie haute de la Figure 3 (veillez à respecter les notations des points de mesure 1, 2, 3 et 4 du haut de la Figure 3, lors de leur report sur le papier). Notez que la courbe de saturation a été systématiquement représentée, que le point (1) [entrée Pompe secondaire P2] est indiqué sur les diagrammes (P,V) et que l’isobare correspondant au passage du Générateur de Vapeur (GV) est indiqué sur les diagrammes (T,S) fournis. Il est conseillé de procéder en étudiant les variations des couples (P,V) et (T,S) étape par étape. Il est rappelé que l’eau est incompressible et qu’il existe une loi simple pour les gaz que l’on supposera parfaits. Remarque : V représente le volume massique et S l’entropie massique… 2) Expliquer l’intérêt technique de surchauffer la vapeur dans le Générateur de Vapeur (GV). 3) Que représente l’aire délimitée par les courbes obtenues ? 4) Etablir l’expression littérale du rendement 2 = Pel / PGV de ce circuit secondaire en fonction des enthalpies (massiques) Hi mesurées aux différents points (i) du circuit et du débit massique D2 du circuit secondaire, avec Pel la puissance électrique fournie au réseau. Il est rappelé que, comme nous l’avons vu, une partie de l’électricité produite sert au fonctionnement du procédé. On donne : H1 = 136,90 kJ.kg-1 ; H2 = 357,91 kJ.kg-1 ; H3 = 2686,60 kJ.kg-1 ; H4 = 1756,97 kJ.kg-1 ; D2 = 0,83 tonnes.s-1. 5) Quel est le rendement global d’une telle installation ? Le titre de la vapeur changeant dans le turboalternateur, il est plus intéressant de séparer la partie génération de travail en deux turboalternateurs, un Corps Haute Pression (CHP) et un Corps Basse Pression (CBP). Il est ainsi possible d’introduire entre ces deux turbines un Groupe Sécheur Surchauffeur (GSS) qui sépare l’eau (liquide) du gaz et qui resurchauffe le gaz à la sortie du CHP de façon isobare. Il joue donc, à l’entrée de CBP, le même rôle que la surchauffe du GV à l’entrée de CHP. Le circuit ainsi réalisé est représenté au bas de la Figure 3. La surchauffe est produite à l’aide de fluide prélevé à la sortie du GV. Il conduit à une variation d’enthalpie (massique) HGSS = H6 – H5 que l’on supposera directement prélevée au niveau du GV. Ce fluide n’ayant pas cédé toute son énergie dans GSS, on le fait interagir au niveau du réchauffeur (R) à la sortie de P2. On chauffe ainsi l’eau d’injection du GV par échange thermique, de façon isobare. La variation d’enthalpie (massique) HR = H3 – H2 sera supposée directement prélevée au GV. Cette eau est ensuite réinjectée dans le GV. 6) Représenter, sur les diagrammes (P,V) et (T,S) fournis en Document-Réponse, le cycle décrit cidessus, correspondant à la partie basse de la Figure 3 (veillez à respecter les notations des points de mesure 1 à 7 du bas de cette Figure). Notez que la courbe de saturation a été systématiquement représentée, que le point (1) [entrée Pompe secondaire P2] est indiqué sur les diagrammes (P,V) et que l’isobare correspondant au passage du Générateur de Vapeur (GV) est indiqué sur les diagrammes (T,S) fournis. Aidez-vous des résultats de III)1). 7) Quel est l’intérêt, pour le cycle principal, de la réchauffe ainsi obtenue à la sortie de P2 ? 8) Etablir l’expression littérale du rendement ’2 = Pel / PGV de ce circuit en fonction des enthalpies (massiques) H’i mesurées aux différents points (i) du circuit, et du débit massique D’2 du circuit secondaire. On donne : H’1 = 136,90 kJ.kg-1 ; H’2 = 357,91 kJ.kg-1 ; H’3 = 510,36 kJ.kg-1 ; H’4 = 2716,60 kJ.kg-1 ; H’5 = 2186,78 kJ.kg-1 ; H’6 = 2279,47 kJ.kg-1 ; H’7 = 1756,97 kJ.kg-1 ; D’2 = 0,81 tonnes.s-1. 9) Quel est le rendement global d’une telle installation ? IV) Rendement thermique du circuit secondaire avec soutirage : Pour augmenter l’efficacité de réchauffement, on procède à des soutirages dans chaque turbine. Le fluide ainsi extrait n’a pas fourni toute son énergie sous forme mécanique et peut donc la rendre sous forme thermique au sein des réchauffeurs. Comme on peut le voir sur la Figure 4, on a, outre le circuit déjà présenté dans la Figure 3, détaillé le Groupe Sécheur Surchauffeur (GSS). On constate que l’on a découpé l’étape de pompage en deux et que l’on incorpore également aux réchauffeurs les résidus du GSS. On a reporté dans le tableau les grandeurs thermodynamiques relevées en différents points du circuit, repérés par un numéro. Figure 4 : Vue simplifiée des soutirages du circuit secondaire 1) Lorsqu’en un point d’un circuit, un fluide A, caractérisé par (HA et DA), se mélange à un fluide B, caractérisé par (HB et DB), quelle est l’enthalpie (massique) du mélange sortant ? Justifier votre réponse. Appliquer au point 25 de la Figure 4. 2) Déterminer l’expression de la puissance extraite par les turbines CHP et CBP. Faire l’application numérique. 3) Déterminer la puissance nécessaire au sécheur. 4) Même question pour l’ensemble des Pompes. 5) Quelle est la quantité de chaleur échangée par unité de temps dans le surchauffeur ? 6) Même question pour le réchauffeur R3. 7) Déterminer le débit massique D14 à l’extraction du sécheur. 8) Déterminer le rendement de cette version du circuit secondaire. On tiendra également compte de la Pompe du circuit de refroidissement (PPSF = 3,3 MWel). 9) Déterminer le rendement global tot’’ d’une telle installation. DOCUMENT REPONSE DEUXIEME PROBLEME : Gaz Naturel Liquéfié (d’après banque PT 2021) Ce problème représente 50 % du barème. L’usage de calculatrice est interdit pour ce problème. Le document réponse (à rendre en fin d’épreuve avec la copie) sera rempli de manière que les indications, les points et le cycle soient visibles. Le numéro des questions non traitées sera tout de même reporté sur la copie. Le problème comprend trois parties quasi indépendantes. Le gaz naturel est principalement formé de méthane (dans toute la suite, on considérera que c’est du méthane pur). Son transport sous forme liquide (noté GNL dans la suite) dans les cuves de navires méthaniers, vers les pays consommateurs éloignés des gisements, est une bonne alternative aux gazoducs. Dans la partie B, on examine une installation de liquéfaction. Dans la partie C, on regarde la faisabilité thermique du stockage de méthane liquide dans des cuves sphériques. Rappel : Un système thermodynamique ouvert, délimité par une surface de contrôle , fonctionne en régime permanent en échangeant avec l’extérieur la puissance indiquée (ou utile) Pi et la puissance thermique Pth. Un fluide entre dans par k entrées (E1, E2, …, Ek) avec les débits massiques respectifs DE1, DE2, …, DEk et sort de par n sorties (S1, S2, …, Sn) avec les débits massiques respectifs DS1, DS2, …, DSn. Le premier principe (appelé par la suite 1er principe industriel) s’écrit alors, en négligeant les termes liés à la position et à la vitesse du fluide : n k i 1 j 1 DSi .h Si - D Ej .h Ej = Pi + Pth hEj et hSi étant des enthalpies massiques. Partie A : Taux de Performance (TP) d’une installation de liquéfaction. (environ 20 % du barème de ce problème) Une installation de liquéfaction reçoit du méthane gazeux à la pression atmosphérique (état initial i ; température To ; pression Po) et produit du méthane liquide juste saturé (GNL ; état f ; température Tf ; pression Po), en échangeant avec l’extérieur (à la température T o et à la pression Po) la puissance mécanique utile Pi et la puissance thermique Pth, avec un débit massique D. Les grandeurs massiques. Le tableau ci-dessous (tableau I) relatif au méthane, donne les caractéristiques des points i, f et 10. Tableau I méthane Etat i (gazeux sec) Etat f (liquide juste saturé) Etat v (vapeur sèche saturante) 1 Enthalpie massique (kJ.kg-1) hi = 0 Entropie massique (kJ.K-1.kg-1) si = 0 Tf = -162 1 hf = -911 sf Tf = -162 1 h10 = -400 s10 = -2,1 Point N° T (°C) P (bar) i To = 25 f 10 1) La valeur de sf n’est pas facile à lire sur le diagramme P/h de la feuille réponse. Placer les points i, f et 10 sur ce diagramme et donner l’expression littérale permettant le calcul de s f à partir des données du tableau I ci-dessus. Taux de performance TP d’une installation de liquéfaction. Les données sont : Po ; To ; D ; hi ; hf ; si ; sf. [Po = 105 Pa ; To = 25 °C (298 K) ; D = 10 g.s-1]. 2) Ecrire littéralement le premier principe industriel appliqué à l’installation, en fonction de Pi, Pth et des données, en négligeant les termes liés à la position et à la vitesse du fluide. 3) Ecrire littéralement le deuxième principe appliqué à l’installation, en fonction de Pth et des données, en tenant compte d’un terme de création massique d’entropie s c (vérifier l’homogénéité de la relation en précisant l’unité de sc). 4) En déduire l’expression de la puissance Pi en fonction de sc et des données. 5) Les états i et f étant fixés, montrer qu’il existe une puissance utile minimale Pmin nécessaire à la liquéfaction d’un débit massique D de méthane et la déterminer littéralement [numériquement : Pmin = 10,6 kW]. Pmin . En respectant Pi le domaine de définitions des grandeurs, représenter graphiquement TP puis Pi en fonction de sc ; commenter. 6) On définit le taux de performance TP d’une installation de liquéfaction par : TP = Partie B : cycle de LINDE. (environ 50 % du barème de ce problème) L’installation comprend (Fig 3) : Un échangeur Eo qui amène le méthane gazeux de l’état i à l’état 0 à la température T(0) = 7 °C. Un ensemble de 3 compresseurs couplés au même arbre permettant d’augmenter progressivement la pression jusqu’à la pression de 100 bars (au point 6) ; les paliers intermédiaires de pression sont de 5 bars puis 25 bars. Les échangeurs Eo, E1 et E2 échangent de la chaleur avec la source froide SF1 d’un réfrigérateur ditherme REF1 (SF1 est représenté par ------------------ sur la figure 3 ; le réfrigérateur n’est pas représenté sur la figure 3). La température du méthane en sortie de chacun de ces échangeurs est celle de la source froide SF1 : T(0) = 7 °C. L’échangeur E3 échange de la chaleur avec la source froide SF2 d’un deuxième réfrigérateur REF2 et permet l’abaissement de température du fluide « haute pression ». Cet abaissement se termine dans l’échangeur R. La vanne de détente V abaisse la pression à 1 bar et permet la liquéfaction partielle du méthane : la fraction massique de gaz en sortie de V est xg. Le séparateur S contient un mélange de méthane diphasé (de fraction massique de gaz x g) à la pression Po = 1 bar. La partie gazeuse est reprise de S pour alimenter R avec un débit massique D 2. La partie liquide est soutirée de S avec un débit massique DL (point f). L’installation, fonctionnant en régime permanent, est calibrée pour obtenir xg = 0,6. Le tableau ci-dessous résume les renseignements utiles. point T (°C) P (bar) état i 25 1 gaz 0 7 1 1 -43 1 2 5 3 7 5 4 25 5 7 25 6 100 7 -63 100 8 9 100 1 10 -162 1 gaz 11 1 f -162 1 L On mène l’étude de l’installation avec les hypothèses suivantes : - Les fluides circulent sans perte de charge dans des tuyaux supposés parfaitement calorifugés. - Dans les bilans énergétiques, les termes liés à la position et à la vitesse des fluides seront négligés. - Les éléments R, V, M et S sont parfaitement isolés thermiquement et sans parties mobiles. - Les compresseurs sont idéaux : ils sont parfaitement isolés thermiquement, les rendements de leurs moteurs sont égaux à 1 et les compressions se font sans irréversibilité. B-I) Tracé du cycle. 7) Préciser, en justifiant, les caractéristiques thermodynamiques des transformations ayant lieu dans : a) les compresseurs. b) la vanne de détente V. c) les éléments M, S et R. On demande ici de justifier les caractéristiques thermodynamiques de transformation par les termes : isobare, isotherme, isenthalpique, isentropique. 8) Déterminer littéralement l’enthalpie massique h 9 en fonction de xg, h10 et hf. Calculer numériquement h9 (xg = 0,6 ; h10 = -400 kJ.kg-1 ; hf = -911 kJ.kg-1). 9) Porter les différents points du cycle (sauf le point 11) sur le diagramme P/h de la feuille réponse et compléter le tableau d’état de la feuille réponse (à joindre à la copie). 10) Déterminer l’enthalpie massique de vaporisation Lv du méthane sous Po = 1 bar : littéralement en fonction des enthalpies massiques utiles, puis numériquement. B-II) Bilans en régime permanent. Dans toutes les questions demandant des expressions littérales en fonction des grandeurs massiques, il n’est pas demandé de lire ces valeurs sur le diagramme (sauf à la question 16). Le tableau ci-dessous fixe les notations des débits massiques : Fluide Méthane gazeux introduit Méthane gazeux prélevé en S Méthane gazeux injecté dans les compresseurs Méthane liquide prélevé en S Débit massique D D2 D1 DL 11) Etablir le bilan massique de M et S. En déduire le lien entre D L et D. 12) A partir d’un bilan énergétique de S, démontrer que, dans le cas où S est parfaitement isolé D thermiquement, x g 2 . D1 13) En déduire, en fonction de D et xg, les expressions littérales de D1 et D2. Calculer numériquement D1 et D2 avec D = 10 g.s-1 et xg = 0,6. 14) Déterminer littéralement (en fonction des enthalpies et débits massiques utiles) la puissance P à fournir à l’ensemble des 3 compresseurs pour produire un débit D L = 10 g.s-1 de méthane liquide (on trouve P = 19,2 kW). Calcul du point 11. 15) Déterminer littéralement l’enthalpie massique h 11 au point 11, en fonction de h0, h1 et xg. 16) Lire sur le diagramme les valeurs de h0 et h1 puis faire le calcul numérique de h11. Positionner le point 11 sur le diagramme P/h de la feuille réponse (à joindre à la copie) et compléter le tableau d’état ci-dessous (à reproduire sur la copie). Pression P11 Température T11 Enthalpie massique h11 Etat B-III) Production de réfrigérant. SF1 et SF2 sont les sources froides de 2 réfrigérateurs dithermes REF1 et REF2 (non représentés sur la figure 3), la source chaude étant l’air extérieur à la température T o = 25 °C. Ces réfrigérateurs ont un coefficient de performance (ou efficacité) noté Cop = 5 ; leurs compresseurs (non représentés sur la figure 3) sont alimentés électriquement, leurs rendements électro-mécaniques étant égaux à 100 %. On considérera que la quantité de chaleur cédée par les échangeurs est intégralement absorbée par le fluide thermodynamique des réfrigérateurs au niveau des sources froides. Les données sont : les débits massiques D et D1, les enthalpies massiques, l’efficacité Cop. 17) Bilan de REF1 : Déterminer littéralement la puissance thermique totale Pth1 transférée à SF1 (provenant des 3 échangeurs E0, E1 et E2) et la puissance électrique Pe1 à fournir à REF1 (on trouve Pe1 = 2,4 kW). 18) Bilan de REF2 : Déterminer littéralement la puissance thermique totale Pth2 transférée à SF2 et la puissance électrique Pe2 à fournir à REF2 (on trouve Pe2 = 3,3 kW). B-IV) Taux de performance TP(B) de l’installation. A partir des résultats numériques précédents : 19) Déterminer numériquement la puissance utile totale à fournir à l’installation pour produire D L = 10 g.s-1 de méthane liquide. En déduire la valeur de TP(B). Partie C : Transport du GNL. (environ 30 % du barème de ce problème) On cherche ici, sur un modèle simplifié, à voir la faisabilité d’un transport maritime du GNL dans des cuves sphériques métalliques isolées thermiquement. Données : Pour chaque cuve métallique sphérique (Fig 4) : - Rayon externe de la partie métallique : b = 10 m. - Résistance thermique Rc = 10-6 K.W-1. Pour le GNL stocké sous forme de liquide juste saturé à la pression atmosphérique P o = 1 bar et To = -162 °C : - Masse dans la cuve : Mo = 1,8.106 kg. - Enthalpie massique de vaporisation : Lv = 500 kJ.kg-1. Pour la mousse isolante : - Conductivité thermique λi = 0,02 SI. - Epaisseur e uniforme. e - Résistance thermique R i si e est très inférieur au rayon interne b. 4 π λi b2 Modèle thermique : - On néglige le rayonnement et la convection pour ne tenir compte que de la diffusion thermique. - La température de la paroi interne est uniformément celle du GNL : To = -162 °C. - La température de l’interface isolant/air est uniformément T a = 38 °C. - Le GNL uniformément à To = -162 °C. Cahier des charges thermique : On note Mev la masse de GNL évaporée pendant le transport et on pose x le taux d’évaporation du M GNL pendant le transport : x ev . Mo 5 Le transport dure Δt = 5.10 s (environ 6 jours) et on veut que, pendant ce transport, le taux d’évaporation reste inférieur à xo = 0,01. 1 20) On cherche l’équation littérale liant x à e sous la forme : x A . 1 B.e Expliciter les coefficients A et B en fonction des données. 100 . 1 4.10 4 e Représenter graphiquement x en fonction de e en respectant les domaines de définitions. 21) L’application numérique donne, dans le système SI : x 22) Calculer l’épaisseur minimale eo pour respecter le cahier des charges thermique. Justification de l’expression de la résistance thermique Ri d’une couche sphérique. 23) La température en un point M de la couche isolante obéit à la loi : T(r) K 1 K2 , r étant la distance r de M au centre de la cuve métallique sphérique. Déterminer, en fonction de Ta, To, b et e, une expression approchée de K2 liée à la faible valeur de l’épaisseur e par rapport à la valeur du rayon interne b. 24) Rappeler la loi de Fourier pour un matériau de conductivité thermique λ i. T 1 T 1 T ur uθ u . Expliquer qualitativement r r θ r sinθ T u r et représenter le vecteur unitaire radial u r sur un schéma. pourquoi ici on aura grad T r 25) En géométrie sphérique, grad T 26) A partir de la définition de la résistance thermique R i, restituer le raisonnement permettant d’en e retrouver l’expression fournie ( R i ), en calculant littéralement les grandeurs physiques 4 π λi b2 pertinentes (Veiller à établir un raisonnement algébrique correct). FEUILLE A RENDRE AVEC LA COPIE point T (°C) P (bar) état i 25 1 gaz 0 7 1 1 -43 1 2 point T (°C) P (bar) état 6 7 -63 100 8 9 100 1 100 5 3 7 5 4 25 10 -162 1 gaz f -162 1 L 5 7 25
