529262798-Analyse-en-Composantes-Principales-ACP

Cours de Statistique Exploratoire Multidimensionnelle
Chapitre 1 : Analyse en Composantes Principales (ACP)
Dr. Nvuh Njoya Youssouf1
1FSEG - Université de Yaoundé II-Soa
Licence Ingéniérie Économique, Semestre 2, 2019-2020

Plan de la présentation
1Introduction
2Données, Notations, Exemples
3Problèmes et Objectifs
4Analyse du nuage des individus dans Rp
5Analyse du nuage des variables dans Rn
6Interprétation d’une ACP normée

Introduction
Données, Notations, Exemples
Problèmes et Objectifs
Analyse du nuage des individus dans Rp
Analyse du nuage des variables dans Rn
Interprétation d’une ACP normée
Introduction
Conçue par Karl Pearson en 1901, intégrée à la statistique mathéma-
tique par Harold Hotelling en 1933, l’analyse en composantes princi-
pales (ACP) est une méthode de statistique exploratoire permettant
de décrire un grand tableau de données de type individus/variables.
Lorsque les individus sont décrits par un nombre important de va-
riables, aucune représentation graphique simple ne permet de visua-
liser le nuage de points formé par les données. L’ACP propose une
représentation dans un espace de dimension réduite, permettant ainsi
de mettre en évidence d’éventuelles structures au sein des données.
Pour cela, nous recherchons les sous-espaces dans lesquels la projec-
tion du nuage déforme le moins possible le nuage initial.
Dr Nvuh Njoya Y. Analyse en Composantes Principales

Introduction
Données, Notations, Exemples
Problèmes et Objectifs
Analyse du nuage des individus dans Rp
Analyse du nuage des variables dans Rn
Interprétation d’une ACP normée
Données et Notations
Exemple
Les données sont sous la forme d’un tableau rectangulaire à n lignes
et p colonnes, que l’on stocke sous la forme d’une matrice X de taille
n×p.
Figure – Tableau des données
Pour la variable j on note :
xj=1
n
n
∑
i=1
xij
σj=s1
n
n
∑
i=1
(xij −xj)2
Dr Nvuh Njoya Y. Analyse en Composantes Principales

Introduction
Données, Notations, Exemples
Problèmes et Objectifs
Analyse du nuage des individus dans Rp
Analyse du nuage des variables dans Rn
Interprétation d’une ACP normée
Données et Notations
Exemple
La matrice X est d’ordre (n,p). Son terme générique est xij (ième
observation de la jème variable.). Chaque ligne de X représente les
valeurs prises par l’individu i sur les p variables ; de même chaque
colonne de X représente les valeurs de la variable p pour les n indi-
vidus. Par simplicité de langage, l’individu i est une ligne du tableau
X identifié au vecteur xide Rpet la variable j est une colonne du
tableau X identifiée au vecteur xjde Rn.
Dr Nvuh Njoya Y. Analyse en Composantes Principales