(6 pages) M7. DESCRIPTION D’UN FLUIDE STATIQUE 1. ACTIONS MÉCANIQUES DANS UN FLUIDE 1.1. Échelle mésoscopique On décrira un fluide comme un ensemble de cellules élémentaires appelées "éléments de fluide", ou "particules fluides", ou encore "parcelles de fluide". Chaque élément de fluide est repéré et désigné par le point M qu'il entoure. Caractéristiques : volume dV ; surface dS ; masse dm. Le volume dV est : – suffisamment grand pour contenir assez de particules, de manière à pouvoir définir une pression, une température, une masse volumique… – suffisamment petit pour considérer que la pression, la température, la masse volumique… y sont homogènes. dV doit donc être grand à l’échelle microscopique, mais petit à l’échelle macroscopique : on parle d’échelle mésoscopique. À l'échelle mésoscopique, les variations dues à la structure lacunaire de la matière sont donc nivelées : le caractère discontinu du fluide, décelable à l’échelle microscopique, est masqué. échelle dimension caractéristique volume caractéristique macroscopique mésoscopique microscopique 10 cm 0,1 mm 10 nm (*) –3 –12 10–24 m³ 10 m³ 10 m³ (*) : libre parcours moyen des molécules d'un gaz dans les CSTP (distance moyenne parcourue entre deux chocs). mésoscopique L≫a≫ℓ élément de fluide L ~ 10 cm = 10–1 m ; a ~ 0,1 mm = 10–4 m ; ℓ ~ 10 nm = 10–8 m compléments, précisions La distance caractéristique du volume dépend de l’échelle de variations des grandeurs caractéristiques du fluide. Elle doit être grande devant la distance intermoléculaire et le libre parcours moyen d’une molécule : dans le cas des gaz, le volume considéré doit au moins être de 10–20 m³, tandis que pour les liquides, 10–25 m³ peut être suffisant. Pour garder une marge, on retiendra que des éléments de volume de l’ordre de 10–12 m³ sont convenables dans la majorité des cas. Forces subies ? • à distance : nous ne considérerons que les forces de pesanteur. • de contact : s'exprimeront à l'aide de la notion de pression. 1.2. Poids de l'élément de fluide dP = dm g , soit en introduisant la masse volumique uniforme à l'échelle mésoscopique ρ = dm : dP = ρ g dV dV ⇨ le poids, résultante des forces de pesanteur, est proportionnel au volume : on dit que c'est une force volumique. 1.3. Forces de pression a) intensité des forces de pression http://www.plaf.org/phycats Prépa ATS Dijon – physique – MÉCANIQUE M7. Description d'un fluide statique – 2/6 Les forces de contact s'exercent à la surface de l'élément de fluide, ce sont donc des forces superficielles correspondant aux forces de pression. Elles résultent d'interactions moléculaires, et sont proportionnelles à la surface de contact. En thermodynamique, nous n'avons jamais tenu compte d'éventuelles variations spatiales de la pression, et nous avons principalement utilisé la relation Fp = p S . En mécanique des fluides, il nous faudra entrer un peu plus dans le détail. d ² Fp On introduit alors une surface élémentaire dx×dy que nous noterons d²S. • d ²S intérieur d² NB : ce "²" n'a aucune signification mathématique, c'est juste une indication utile pour se rappeler qu'on a un "infiniment" petit (au sens mésoscopique) du 2nd ordre. La force agissant sur d²S aura donc pour module d²F extérieur d² Fp = p d²S , p désignant la pression régnant au niveau de la surface élémentaire d²S. On montre que p ne dépend pas de l'orientation de cette surface. rappel : unité légale = le pascal. ordres de grandeur pression au centre du soleil : 3,5.1011 bar la plus haute pression statique jamais réalisée en laboratoire : 4,5.108 bar pression au centre de la Terre : 3,8.106 bar pression au fond de la fosse des Mariannes (≈ –10 km) : 1000 bar pression de l'air dans une bouteille de plongée (en aluminium) : 200 bar pression de l'eau expulsée par les nettoyeurs haute pression : 100 bar pression dans une bouteille de Champagne : 4 à 6 bar pression dans un tube à vide (ampoule) : 10–11 bar = 1 µPa pression du milieu interstellaire : 10–20 bar = 1 fPa b) direction et sens de d ² Fp ? Le fluide est immobile, donc les forces de contact sont ⊥ à la surface (absence de frottements). Sachant qu'on s'intéresse ici à la force subie par l'élément de fluide, on en déduit que d ² Fp est orientée de l'extérieur vers l'intérieur. 1.4. Résultante des forces de pression subie par l'élément de fluide a) calcul de la résultante Considérons un élément de fluide de forme cubique, de volume dx dy dz, et exprimons la résultante des forces de pression qu'il subit. Le cube a 6 faces élémentaires de surface dxdz, dxdy, etc. Il subit donc 6 forces élémentaires de pression orientées du fluide extérieur vers lui. Si la pression était uniforme, la résultante de ces 6 forces serait évidemment nulle. L'échelle mésoscopique implique que la pression dans le volume dV est uniforme, mais pas au-delà. Si nous désignons ici par p la pression exercée par l'extérieur, nous ne ferons pas d'hypothèses sur ses variations : p = p(x,y,z). Commençons par calculer la résultante des 2 forces dirigées selon Ox. Par souci de simplification, le "²" n'ayant pas d'intérêt ici, les forces seront notées dFp et non d ² Fp : dFp ( x ) = +dFp ( x ) u x = p ( x , y , z ) dy dz ux dFp ( x + dx ) = −dFp ( x + dx ) ux = − p ( x + dx , y , z ) dy dz u x ∂p ∂p ∂p D'où dFp ( x ) + dFp ( x + dx ) = p ( x , y , z ) − p ( x + dx , y , z ) dydz ux = − dx dydz ux = − dxdydz ux = − u x dV ∂x ∂x ∂x On obtiendrait de même les composantes suivant les deux autres axes : ∂p ∂p dFp ( y ) + dFp ( y + dy ) = − u y dV et dFp ( z ) + dFp ( z + dz ) = − uz dV ∂z ∂y ∂p ∂p ∂p Finalement, la résultante s'exprime par dFp = − ux + u y + uz dV ∂y ∂z ∂x http://www.phycats.plaf.org Prépa ATS Dijon – physique – MÉCANIQUE M7. Description d'un fluide statique – 3/6 Expression compliquée. Nous allons simplifier cette écriture en introduisant l'opérateur gradient. b) l'opérateur gradient définition Il s'agit d'un opérateur différentiel qui s'applique à des fonctions scalaires. Son résultat est un vecteur. Soit N(x,y,z) une fonction scalaire. On définit alors grad N = ∇N ( ∇ : vecteur "nabla") En coordonnées cartésiennes (à retenir) : grad N = ∂N / ∂x ∂N / ∂y ∂N / ∂z = ∂N ∂N ∂N ux + uy + uz ∂x ∂y ∂z Signification ? Le gradient traduit une variation spatiale. Il indique, par sa direction et son sens, la manière dont varie la fonction à laquelle il s'applique. exemple : gradient de température Sans doute le plus simple à comprendre. Essayons d'avoir une idée du vecteur grad T dans la salle de classe, T désignant la température de l'air. Soit Oz l'axe vertical ascendant. La température étant plus élevée en haut qu'en bas, on aura ∂T > 0 , donc un gradient ∂z dirigé du bas vers le haut. Soit Ox l'axe dirigé du mur côté fenêtre vers le mur côté porte. En hiver, sans compter l'influence des radiateurs, on pourrait facilement imaginer un gradient de température dirigé des fenêtres vers le mur opposé, traduisant que ∂T >0 ∂x Enfin, soit Oy le 3e axe, dirigé du tableau vers le fond de la salle. Toujours en négligeant l'influence des radiateurs (les fameux radiateurs du fond de la salle…), on peut imaginer, en se basant sur la célèbre léthargie du fond de salle, que le fond de la salle est plus frais… D'où un vecteur dirigé du fond vers l'avant, sachant que ∂T <0 ∂y On peut obtenir ainsi un vecteur grad T traduisant les variations tridimensionnelles de la température. c) gradient de pression dFp = −grad p dV Dans le cas qui nous intéresse, on écrit donc : 1.5. Relation de la statique des fluides dans le champ de pesanteur Le principe fondamental de la statique appliqué à un élément de fluide donne : f = dP + dF p = 0 ⇒ ρ g dV − grad p dV = 0 ⇒ grad p = ρ g Le gradient de pression est donc vertical, dirigé comme g , c'est-à-dire de haut en bas : la pression est de plus en plus forte au fur et à mesure qu'on descend, de plus en plus faible au fur et à mesure qu'on monte. Soit le repère cartésien Oxyz avec Oz vertical ascendant. On a ρ g = − ρ g uz grad p = ρ g ⇒ ∂p =0 ∂x ∂p =0 ∂y ∂p = −ρ g ∂z ( 1) (1) et (2) ⇒ p ( x , y , z ) = p ( z ) et donc (2) (3) ( 3) ⇒ ∂p dp = ∂z dz dp + ρg = 0 dz dp + ρ g dz = 0 [z↑] relation de la statique des fluides ou encore relation fondamentale de la statique des fluides ou équation de la statique des fluides. http://www.phycats.plaf.org Prépa ATS Dijon – physique – MÉCANIQUE M7. Description d'un fluide statique – 4/6 1.6. Surfaces isobares Les surfaces isobares sont horizontales. En particulier la surface de séparation entre deux fluides non miscibles est horizontale (huile-eau, eau-air…) À ce propos, on peut d'ailleurs noter que : Il y a toujours continuité des pressions à l'interface entre deux fluides. 2. CHAMP DE PRESSION DANS UN LIQUIDE AU REPOS 2.1. Modélisation et propriétés Nous considérons le liquide comme un fluide incompressible et indilatable (modèle de la ϕcii). On en déduit donc que sa masse volumique ρ est uniforme. Intégrons dp + ρ g dz = 0 . On obtient : p + ρ gz = cste [z↑] → à savoir retrouver cste ? Il s'agit de la valeur de p pour z = 0. Cette valeur se détermine à partir d’une condition aux limites, qui se trouve dans la plupart des cas à l’interface du liquide avec l’atmosphère ou le gaz qui la surnage. Autre formulation : Pour deux points A et B dans un même liquide de masse volumique uniforme ρ : pB − p A + ρ g ( z B − z A ) = 0 [z↑] relation de la statique des fluides incompressibles ou encore équation de l'hydrostatique. 2.2. Applications a) pression sous-marine Cherchons comment évolue la pression au fur et à mesure que la profondeur augmente. Commençons par placer un axe Oz vertical ascendant, dont l'origine est située à la surface. Utilisons p + ρ gz = cste , formulation adaptée à cette situation. O• mer cste ? Par continuité de la pression en z=0, on peut affirmer que p ( z = 0 ) = patm On en déduit donc que patm + ρ g × 0 = cste z patm ⇒ cste = patm On a donc p ( z ) + ρ gz = patm , soit p ( z ) = patm − ρ gz NB : z<0, et plus on descend plus z diminue (augmente en valeur absolue). On a donc bien une augmentation de pression quand la profondeur augmente. Pour l'eau de mer ρ ≳ 1000 kg·m–3 ; g ≲ 10 m·s–2 ⇒ ρ g ≈ 104 Pa·m–1 Conclusion : dans l'eau de mer, p augmente d'environ 1 bar chaque fois que la profondeur augmente de 10 m. b) autres applications (voir exos) presse hydraulique, baromètre à mercure (M73), vases communicants… 3. CHAMP DE PRESSION DANS UN GAZ PARFAIT AU REPOS 3.1. Équation différentielle liant la pression à l'altitude Nous utiliserons le modèle du gaz parfait, adapté aux faibles pressions (cas de l'atmosphère). http://www.phycats.plaf.org Prépa ATS Dijon – physique – MÉCANIQUE M7. Description d'un fluide statique – 5/6 La masse volumique se définit par ρ = m nM = V V avec m masse d'un échantillon de gaz, V son volume, n le nombre de moles correspondant et M la masse molaire du gaz (ou sa masse molaire moyenne s'il s'agit d'un mélange gazeux). On rappelle l'équation d'état des gaz parfaits : pV = nRT ⇒ On en déduit donc que ρ = M n p = V RT n Mp = V RT La relation de la statique des fluides dp + ρ g dz = 0 , s'écrit donc dp + Mp dp Mg g dz = 0 ⇒ + p=0 RT dz RT [z↑] → à savoir retrouver 3.2. Application à l'atmosphère isotherme On utilise la modélisation suivante : le module de champ de pesanteur est supposé être le même en tout point de l’atmosphère, l’air est considéré comme un gaz parfait de masse molaire M = 29 g·mol–1, et sa température est supposée constante, de valeur T0. Critiquons cette modélisation en se basant sur deux graphiques : ci-dessous (fig. 1) les variations de g avec l'altitude, ci-contre (fig. 2) les variations de température. figure 1 figure 2 L’épaisseur de l’atmosphère, de quelques dizaines de kilomètres, est très inférieure au rayon de la Terre (RT ≈ 6400 km) les variations de g avec l'altitude sont donc faibles (le graphique indique une variation de l'ordre de 1% pour 20 km). ⇨ Considérer que g = cste est une approche qui simplifie le calcul mais qui reste valable. Par contre, on voit que concernant la température, il en va tout autrement. ⇨ Considérer que T = cste ne peut être qu'une approche très grossière. D'autre part, la pression atmosphérique est au maximum de l'ordre de 1 bar. ⇨ L'emploi du modèle du gaz parfait est justifié par une pression de l'air suffisamment faible. Posons alors H = RT0 dp p = cste . On obtient l'équa diff + = 0 , qui conduit à Mg dz H p ( z ) = Ae − z H , A étant une constante correspondant à la valeur p(0) de la pression pour z = 0. Finalement, p ( z ) = p ( 0 ) e − z H Il s'agit de la formule dite du nivellement barométrique. H est la hauteur caractéristique de variation de pression. http://www.phycats.plaf.org Prépa ATS Dijon – physique – MÉCANIQUE M7. Description d'un fluide statique – 6/6 Pour la valeur moyenne de température à la surface de la Terre, T0 = 15 °C = 288 K, on a H = 8, 314 × 288 = 8417 m , 29.10 −3 × 9, 81 soit H ≈ 8, 4 km 4. FORCES EXERCÉES PAR UN FLUIDE SUR UN SOLIDE IMMERGÉ : THÉORÈME D'ARCHIMÈDE Considérons un solide de masse m et de volume V immergé dans un fluide de masse volumique ρ f . Forces subies ? • poids P = mg • forces superficielles de résultante A = poussée d'Archimède. En toute logique, on peut supposer que A = force de pression subie par la portion de fluide occupant la place du solide avant immersion. Considérons alors cette portion de fluide. Elle était en équilibre, sous l'action de son poids Pf et des forces de pression, que nous venons de noter A . On en déduit donc que A = − Pf : La poussée d'Archimède est égale à l'opposé du poids du fluide déplacé par le solide Son point d'application est le centre d'inertie de la portion de fluide déplacé = centre géométrique C du solide. Remarques : • A est proportionnelle au volume de l'objet et non à sa masse. • La résultante P + A est verticale, son sens dépendant de ρ S par rapport à ρ f. • Dans le cas d'un objet flottant, la poussée d'Archimède ne s'applique évidemment qu'à la partie immergée du solide. http://www.phycats.plaf.org Prépa ATS Dijon – physique – MÉCANIQUE
