M7 description fluide statique ETUD(2)

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1. A CTIONS M É CANIQUES DANS UN FLUIDE
1.1. Échelle mésoscopique
On décrira un fluide comme un ensemble de cellules élémentaires appelées "éléments de fluide", ou "particules fluides", ou
encore "parcelles de fluide".
Chaque élément de fluide est repéré et désigné par le point M qu'il entoure.
Caractéristiques : volume dV ; surface dS ; masse dm .
Le volume dV est :
– suffisamment grand pour contenir assez de particules, de manière à pouvoir définir une pression, une température, une
masse volumique…
– suffisamment petit pour considérer que la pression, la température, la masse volumique… y sont homogènes.
dV doit donc être grand à l’échelle microscopique, mais petit à l’échelle macroscopique : on parle d’échelle mésoscopique.
À l'échelle mésoscopique, les variations dues à la structure lacunaire de la matière sont donc nivelées : le caractère
discontinu du fluide, décelable à l’échelle microscopique, est masqué.
échelle
macroscopique
mésoscopique
microscopique
dimension caractéristique
10 cm 0,1 mm 10 nm
(*)
vo
lume caractéristique
10
–3
m³ 10
–12
m³ 10
–24
m³
(*) : libre parcours moyen des molécules d'un gaz dans les CSTP (distance moyenne parcourue entre deux chocs).
L ~ 10 cm = 10
–1
m ; a ~ 0,1 mm = 10
–4
m ; ℓ ~ 10 nm = 10
–8
m
 compléments, précisions
La distance caractéristique du volume dépend de l’échelle de variations des grandeurs caractéristiques du fluide. Elle doit être grande
devant la distance intermoléculaire et le libre parcours moyen d’une molécule : dans le cas des gaz, le volume considéré doit au moins
être de 10
–20
m³ , tandis que pour les liquides, 10
–25
m³ peut être suffisant. Pour garder une marge, on retiendra que des éléments de
volume de l’ordre de 10
–12
m³ sont convenables dans la majorité des cas.
Forces subies ?
• à distance : nous ne considérerons que les forces de pesanteur.
• de contact : s'exprimeront à l'aide de la notion de pression.
1.2. Poids de l'élément de fluide
dP dm g
= , soit en introduisant la masse volumique uniforme à l'échelle mésoscopique
dm
dV
ρ = :
dP g dV
ρ =
⇨ le poids, résultante des forces de pesanteur, est proportionnel au volume : on dit que c'est une force volumique.
1.3. Forces de pression
a) intensité des forces de pression
M7. DESCRIPTION D’UN FLUIDE STATIQUE
élément
de fluide
mésoscopique
L
≫
a
≫
ℓ

M7. Description d'un fluide statique – 2/6
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Les forces de contact s'exercent à la surface de l'élément de fluide, ce sont donc des forces superficielles correspondant aux
forces de pression. Elles résultent d'interactions moléculaires, et sont proportionnelles à la surface de contact.
En thermodynamique, nous n'avons jamais tenu compte d'éventuelles variations spatiales de la pression, et nous avons
principalement utilisé la relation
p
F p S
= . En mécanique des fluides, il nous faudra entrer un peu plus dans le détail.
On introduit alors une surface élémentaire dx×dy que nous noterons d²S.
NB : ce " ² " n'a aucune signification mathématique, c'est juste une indication utile pour se
rappeler qu'on a un "infiniment" petit (au sens mésoscopique) du 2
nd
ordre.
intérieur extérieur
La force agissant sur d²S aura donc pour module
² ²
p
d F p d S
= , p désignant la pression régnant au niveau de la surface
élémentaire d²S . On montre que p ne dépend pas de l'orientation de cette surface.
rappel : unité légale = le pascal.
 ordres de grandeur
pression au centre du soleil : 3,5.10
11
bar
la plus haute pression statique jamais réalisée en laboratoire : 4,5.10
8
bar
pression au centre de la Terre : 3,8.10
6
bar
pression au fond de la fosse des Mariannes (≈ –10 km ) : 1000 bar
pression de l'air dans une bouteille de plongée (en aluminium) : 200 bar
pression de l'eau expulsée par les nettoyeurs haute pression : 100 bar
pression dans une bouteille de Champagne : 4 à 6 bar
pression dans un tube à vide (ampoule) : 10
–11
bar = 1 µPa
pression du milieu interstellaire : 10
–20
bar = 1 fPa
b) direction et sens de
²
p
d F
?
Le fluide est immobile, donc les forces de contact sont ⊥ à la surface (absence de frottements).
Sachant qu'on s'intéresse ici à la force subie par l'élément de fluide, on en déduit que
²
p
d F
est orientée de l'extérieur vers
l'intérieur.
1.4. Résultante des forces de pression subie par l'élément de fluide
a) calcul de la résultante
Considérons un élément de fluide de forme cubique, de volume
dx dy dz
, et exprimons la
résultante des forces de pression qu'il subit.
Le cube a 6 faces élémentaires de surface dxdz, dxdy , etc.
Il subit donc 6 forces élémentaires de pression orientées du fluide extérieur vers lui.
Si la pression était uniforme, la résultante de ces 6 forces serait évidemment nulle.
L'échelle mésoscopique implique que la pression dans le volume dV est uniforme, mais pas au-delà. Si nous désignons ici
par p la pression exercée par l'extérieur, nous ne ferons pas d'hypothèses sur ses variations : p = p(x,y,z) .
Commençons par calculer la résultante des 2 forces dirigées selon Ox . Par souci de simplification, le " ² " n'ayant pas d'intérêt
ici, les forces seront notées
p
dF
et non
²
p
d F
:
( ) ( )
(
)
, ,
p p x x
dF x dF x u p x y z dy dz u
= + =
( ) ( )
(
)
, ,
p p x x
dF x dx dF x dx u p x dx y z dy dz u
+ = − + = − +
D'où
( ) ( )
( ) ( )
, , , ,
p p x x x x
p p p
dF x dF x dx p x y z p x dx y z dydz u dx dydz u dxdydz u u dV
x x x
∂ ∂ ∂
 + + = − + = − = − = −
∂ ∂ ∂
On obtiendrait de même les composantes suivant les deux autres axes :
( ) ( )
p p y
p
dF y dF y dy u dV
y
∂
+ + = −
∂
et
( ) ( )
p p z
p
dF z dF z dz u dV
z
∂
+ + = −
∂
Finalement, la résultante s'exprime par
p x y z
ppp
dF u u u dV
x y z
∂∂∂
= − + +
∂ ∂ ∂
•
²
p
d F
d²F
²
d S
d²

M7. Description d'un fluide statique – 3/6
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Expression compliquée. Nous allons simplifier cette écriture en introduisant l'opérateur gradient.
b) l'opérateur gradient
 définition
Il s'agit d'un opérateur différentiel qui s'applique à des fonctions scalaires. Son résultat est un vecteur.
Soit N(x,y,z) une fonction scalaire. On définit alors grad
N N
= ∇
(
∇
: vecteur "nabla")
En coordonnées cartésiennes (à retenir) :
/
grad /
/
x y z
N x N N N
N N y u u u
x y z
N z
∂ ∂ ∂ ∂ ∂
= ∂ ∂ = + +
∂ ∂ ∂
∂ ∂
Signification ? Le gradient traduit une variation spatiale. Il indique, par sa direction et son sens, la manière dont varie la
fonction à laquelle il s'applique.
 exemple : gradient de température
Sans doute le plus simple à comprendre.
Essayons d'avoir une idée du vecteur
grad
T
dans la salle de classe, T désignant la température de l'air.
Soit Oz l'axe vertical ascendant. La température étant plus élevée en haut qu'en bas, on aura
T
0
z
∂
>
∂
, donc un gradient
dirigé du bas vers le haut.
Soit Ox l'axe dirigé du mur côté fenêtre vers le mur côté porte. En hiver, sans compter l'influence des radiateurs, on pourrait
facilement imaginer un gradient de température dirigé des fenêtres vers le mur opposé, traduisant que
T
0
x
∂
>
∂
Enfin, soit Oy le 3
e
axe, dirigé du tableau vers le fond de la salle. Toujours en négligeant l'influence des radiateurs (les
fameux radiateurs du fond de la salle…), on peut imaginer, en se basant sur la célèbre léthargie du fond de salle, que le fond
de la salle est plus frais… D'où un vecteur dirigé du fond vers l'avant, sachant que
T
0
y
∂
<
∂
On peut obtenir ainsi un vecteur
grad
T
traduisant les variations tridimensionnelles de la température.
c) gradient de pression
Dans le cas qui nous intéresse, on écrit donc : grad
p
dF p dV
= −
1.5. Relation de la statique des fluides dans le champ de pesanteur
Le principe fondamental de la statique appliqué à un élément de fluide donne :
p
f dP dF 0
= + =
⇒ grad
g dV p dV 0
ρ
− =
⇒ grad
p g
ρ
=
Le gradient de pression est donc vertical, dirigé comme
g
, c'est-à-dire de haut en bas : la pression est de plus en plus forte
au fur et à mesure qu'on descend, de plus en plus faible au fur et à mesure qu'on monte.
Soit le repère cartésien Oxyz avec Oz vertical ascendant. On a
z
g g u
ρ ρ = −
grad
p g
ρ
= ⇒
( )
( )
( )
1
2
3
p0
x
p0
y
pg
z
ρ
∂=
∂
∂=
∂
∂= −
∂
(1) et (2)
⇒
(
)
(
)
, ,
p x y z p z
= et donc
p dp
z dz
∂
=
∂
(3) ⇒
dp
g 0
dz
ρ
+ =
dp g dz 0
ρ
+ =
[ z ↑] relation de la statique des fluides
ou encore relation fondamentale de la statique des fluides ou équation de la statique des fluides.

M7. Description d'un fluide statique – 4/6
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1.6. Surfaces isobares
Les surfaces isobares sont horizontales.
En particulier la surface de séparation entre deux fluides non miscibles
est horizontale (huile-eau, eau-air…)
À ce propos, on peut d'ailleurs noter que :
Il y a toujours continuité des pressions à l'interface entre deux fluides.
2. C HAMP DE PRESSION DANS UN LIQUIDE AU REPOS
2.1. Modélisation et propriétés
Nous considérons le liquide comme un fluide incompressible et indilatable (modèle de la ϕcii).
On en déduit donc que sa masse volumique ρ est uniforme.
Intégrons
dp g dz 0
ρ
+ =
. On obtient :
p gz cste
ρ
+ =
[ z ↑] → à savoir retrouver
cste ? Il s'agit de la valeur de p pour z = 0 . Cette valeur se détermine à partir d’une condition aux limites, qui se trouve
dans la plupart des cas à l’interface du liquide avec l’atmosphère ou le gaz qui la surnage.
Autre formulation :
Pour deux points A et B dans un même liquide de masse volumique uniforme ρ :
(
)
B A B A
p p g z z 0
ρ
− + − =
[ z ↑] relation de la statique des fluides incompressibles
ou encore équation de l'hydrostatique.
2.2. Applications
a) pression sous-marine
Cherchons comment évolue la pression au fur et à mesure que la profond
eur augmente.
Commençons par placer un axe Oz vertical ascendant, dont l'origine est située à la surface.
Utilisons
p gz cste
ρ
+ =
, formulation adaptée à cette situation.
cste ? Par continuité de la pression en z=0 , on peut affirmer que
( )
atm
z 0
p p
= =
z
p
atm
O •
mer
On en déduit donc que
atm
p g 0 cste
ρ + × = ⇒
atm
cste p
=
On a donc
(
)
atm
p z gz p
ρ + = , soit
(
)
atm
p z p gz
ρ
= −
NB : z<0 , et plus on descend plus z diminue (augmente en valeur absolue). On a donc bien une augmentation de pression
quand la profondeur augmente.
Pour l'eau de mer ρ ≳ 1000 kg·m
–3
; g ≲ 10 m·s
–2
⇒ ρ g ≈ 10
4
Pa·m
–1
Conclusion : dans l'eau de mer, p augmente d'environ 1 bar chaque fois que la profondeur augmente de 10 m .
b) autres applications (voir exos)
presse hydraulique, baromètre à mercure (M73), vases communicants…
3. C HAMP DE PRESSION DANS UN GAZ PARFAIT AU REPOS
3.1. Équation différentielle liant la pression à l'altitude
Nous utiliserons le modèle du gaz parfait, adapté aux faibles pressions (cas de l'atmosphère).

M7. Description d'un fluide statique – 5/6
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La masse volumique se définit par
m nM
V V
ρ = = avec m masse d'un échantillon de gaz, V son volume, n le nombre de
moles correspondant et M la masse molaire du gaz (ou sa masse molaire moyenne s'il s'agit d'un mélange gazeux).
On rappelle l'équation d'état des gaz parfaits :
pV nRT
=
⇒
n p
V RT
=
On en déduit donc que
n Mp
M
V RT
ρ = =
La relation de la statique des fluides
dp g dz 0
ρ
+ =
, s'écrit donc
Mp
dp g dz 0
RT
+ =
⇒
dp Mg
p 0
dz RT
+ =
[ z ↑]
→ à savoir retrouver
3.2. Application à l'atmosphère isotherme
On utilise la modélisation suivante : le module de champ de pesanteur est supposé être le même en tout point de
l’atmosphère, l’air est considéré comme un gaz parfait de masse molaire M = 29 g·mol
–1
, et sa température est supposée
constante, de valeur T
0
.
Critiqu
ons
cette
modélisation
en se basant sur
deux
graphiques : ci-dessous (fig. 1) les variations de g avec
l'altitude, ci-contre (fig. 2) les variations de température.
figure 1
figure 2
L’épaisseur de l’atmosphère, de quelques dizaines de kilomètres, est très inférieure au rayon de la Terre ( R
T
≈ 6400 km ) les
variations de g avec l'altitude sont donc faibles (le graphique indique une variation de l'ordre de 1% pour 20 km ).
⇨ Considérer que g = cste est une approche qui simplifie le calcul mais qui reste valable.
Par contre, on voit que concernant la température, il en va tout autrement.
⇨ Considérer que T = cste ne peut être qu'une approche très grossière.
D'autre part, la pression atmosphérique est au maximum de l'ordre de 1 bar .
⇨ L'emploi du modèle du gaz parfait est justifié par une pression de l'air suffisamment faible.
Posons alors
0
RT
H cste
Mg
= = . On obtient l'équa diff
dp p
0
dz H
+ =
, qui conduit à
( )
e
z
H
p z A
−
= , A étant une constante
correspondant à la valeur p(0) de la pression pour z = 0 .
Finalement,
( ) ( )
e
z
H
p z p 0
−
= Il s'agit de la formule dite du nivellement barométrique.
H est la hauteur caractéristique de variation de pression.