TD
Sciences Appliquées
Conversion continu-continu
STS
Hacheurs ___________________________________________________________________________2
Exercice 1: BTS 1995 Etk Nouméa Hacheur série (Solution 1:) __________________________________2
Exercice 2: Hacheur série conduction continue et discontinue (Solution 2:) __________________________3
Exercice 3: Association hacheur dévolteur et survolteur (Solution 3:) _____________________________4
Exercice 4: BTS 1984 commande en vitesse de MCC par hacheur série (Solution 4:) ___________________5
Exercice 5: BTS 1994 Métro HACHEUR A TRANSISTORS 4 QUADRANTS (Solution 5:) _______________5
Exercice 6: BTS 2007 Nouméa Etude de Hacheur parallèle (Solution 6:)____________________________7
Exercice 7: BTS 2003 Nouméa Etude de Hacheur (Solution 8:) _________________________________ 10
Exercice 8: BTS 2002 Métropole Etude de Hacheur en conduction ininterrompue (Solution 9:) __________ 14
Exercice 9: BTS 2000 Nouméa Convertisseur en Hacheur (Solution 10:) ___________________________ 16
Exercice 10: BTS 2000 Métropole Excitation Alternateur par Hacheur dans Airbus A320 (Solution 11:) ___ 20
Exercice 11: Hacheur Série : Conduction continue - conduction discontinue (Solution 12:)_______________ 21
Exercice 12: BTS 1995 Etk Métro Hacheur 4 quadrants (Solution 13:) ____________________________ 22
Exercice 13: QCM (Solution 15:) ________________________________________________________ 25
Exercice 14: Ondulations en tension et en courant d'un hacheur série (Solution 16:) __________________ 27
Exercice 15: Hacheur parallèle alimentant une batterie d'accumulateurs (Solution 17:) ________________ 28
Exercice 16: Machine en cycle robotique associée à un hacheur réversible (Solution 18:) _______________ 28
Exercice 17: Alimentation à découpage utilisant un hacheur réversible (texte d'examen)(Solution 19:) _____ 30
Exercice 18: BTS 1987 M.C.C. Alimentée par un Hacheur réversible en courant (Solution 20:) ___________ 31
Exercice 19: Régulation de vitesse (Solution 21:) ____________________________________________ 34
Exercice 20: Régulation de température (Solution 22:) _______________________________________ 35
Solutions __________________________________________________________________________ 37
Solution 1: Exercice 1:BTS 1995 Etk Nouméa Hacheur série (Solution 1:) ________________________ 37
Solution 2: Exercice 2:Hacheur série conduction continue et discontinue _________________________ 40
Solution 3: Exercice 3:Association hacheur dévolteur et survolteur ____________________________ 40
Solution 4: Exercice 4:BTS 1984 commande en vitesse de MCC par hacheur ______________________ 40
Solution 5: Exercice 5:BTS 1994 Métro HACHEUR A TRANSISTORS 4 QUADRANTS ______________ 40
Solution 6: Exercice 6:BTS 2007 Nouméa Etude de Hacheur parallèle ___________________________ 43
Solution 7: B.2 - Valeur de L ______________________________________ Erreur ! Signet non défini.
Solution 8: Exercice 7:BTS 2003 Nouméa Etude de Hacheur _________________________________ 46
Solution 9: Exercice 8: BTS 2002 Métropole Etude de Hacheur en conduction ininterrompue __________ 49
Solution 10: Exercice 9:BTS 2000 Nouméa Convertisseur en Hacheur ___________________________ 52
Solution 11: Exercice 10:BTS 2000 Métropole Excitation Alternateur par Hacheur dans Airbus A320____ 55
Solution 12: Exercice 11:Hacheur Série : Conduction continue - conduction discontinue (Solution 12:) ____ 57
Solution 13: Exercice 12:BTS 1995 Etk Métro Hacheur 4 quadrants ____________________________ 57
Solution 14: Exercice 13:QCM ________________________________________________________ 59
Solution 15: Exercice 14:Ondulations en tension et en courant d'un hacheur série __________________ 60
Solution 16: Exercice 15:Hacheur parallèle alimentant une batterie d'accumulateurs (Solution 17:) ______ 61
Solution 17: Exercice 16:Machine en cycle robotique associée à un hacheur réversible _______________ 63
Solution 18: Exercice 17:Alimentation à découpage utilisant un hacheur réversible (texte d'examen)(Solution
19:) ___________________________________________________________________________ 64
Solution 19: Exercice 18:BTS 1987 M.C.C. Alimentée par un Hacheur réversible en courant ___________ 65
Solution 20: Exercice 19:Régulation de vitesse ___________________________________________ 66
Solution 21: Exercice 20:Régulation de température (Solution 22:) ____________________________ 68
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Hacheurs
Exercice 1: BTS 1995 Etk Nouméa
Hacheur série (Solution 1:)
Le montage étudié est celui de la figure ci-dessous
Il comprend
• une batterie d'accumulateurs de résistance
interne négligeable et de tension Ub = 72 V,
• une inductance de lissage de résistance
négligeable et d'inductance L.
• La diode est supposée parfaite.
Le hacheur H se comporte comme un interrupteur
parfait.
Il travaille à la fréquence f = 500 Hz avec un rapport
cyclique .
• Pour 0 < t < T, l'interrupteur H est fermé ;
• pour T < t < T, l'interrupteur H est ouvert.
La charge est une machine à courant continu.
i
L
Ub=72 V
v
u
charge
1. Tracer v(t).
2. Quelle est la relation existante entre la valeur moyenne Vmoy de la tension v(t) et la valeur moyenne Umoy
de la tension u aux bornes du moteur ? Justifier votre réponse.
Etablir la relation entre Ub et Vmoy lorsque la conduction dans le moteur est ininterrompue (le courant ne
s'annule pas).
Calculer alors la valeur de permettant d'obtenir Vmoy = 65 V.
3. Étude du courant dans le moteur : on suppose que la tension aux bornes de l'induit du moteur est
constante et égale à E = Umoy = 65 V (l'ondulation du courant étudié ci-dessous entraîne une variation du
produit Ri autour de RImoy très inférieure à Umoy, c'est-à-dire que l'on va négliger la résistance de
l'induit). La conduction est ininterrompue (le courant ne s’annule jamais).
a. Pour 0 < t < T donner un modèle équivalent du montage. En déduire la relation vérifiée par i(t) en
sachant qu'à t = 0, i = Imin
b. Etablir l'expression de l'ondulation de courant I = Imax - Imin en fonction de , f, L, Ub.
c. Montrer que l'ondulation est maximale pour = ½
d. Calculer la valeur L de l'inductance de lissage pour que cette ondulation maximale soit égale à 2,0
A.
e. Pour le fonctionnement nominal, Imoy = 8,0 A ; calculer Imin et Imax lorsque L = 18 mH (on conserve
cette valeur par la suite). Tracer i(t) en concordance de temps avec v(t).
4. Donner une méthode expérimentale pour mesurer i(t) et l’ondulation I. On précisera le matériel choisi,
le montage utilisé et le protocole de mesure.
5. Le moteur tourne à vide à 3000 tr/min, ce qui correspond à E = 53 V en absorbant Imoy = 0,42 A. On
constate que le rapport cyclique est alors = 0,56.
a. La conduction est-elle interrompue ? Justifier votre réponse.
b. On constate que le courant dans l'induit s'annule à un instant t1compris entre T et T. Que vaut
la tension aux bornes du moteur pour : t1<t<T?
c. Tracer v(t) et l’allure de i(t) sur le document réponse.
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i
L
Ub=72 V
v
u
charge
Exercice 2: Hacheur série conduction continue et discontinue (Solution 2:)
On considère le circuit de la figure ci dessous dans lequel:
H
is
ic
iD
LC
D
uC
E
EC
E est une source de tension continue parfaite de valeur 140 V
H est un interrupteur parfait dont la période de fonctionnement est T,
➢ H est fermé de 0 à T
➢ H est ouvert de T à T .
La fréquence de hachage est 500 Hz .
Le récepteur est un moteur à courant continu à aimant permanent de f.é.m. Ec en série avec une inductance Lc =
2 mH .
On négligera pour faire l'étude suivante la résistance interne de la machine à courant continu.
Un essai a montré que la vitesse n= 1500 tr/min est atteint quand Ec= 126 V .
1) Etude en conduction continue:
a) Déterminer l'expression mathématique de ic dans l'intervalle 0 , T . On note IM et Im les valeurs maximale
et minimale de ic .
b) Quelle relation simple existe-t-il entre Ec, et E ? Calculer la vitesse de rotation du moteur dans le cas
où = 0.64 .
c) Donner, dans le cas d'une conduction continue dans la charge, l'allure des courants ic , id et is en fonction du
temps .
d) On note <IC> la valeur moyenne du courant ic. Calculer <IC> en fonction de IM et de Im .
e) Quelle relation doit-il exister entre IM et Im ? Pour quelle valeur I0 de <IC> , la conduction cesse-t-elle
d'être continue ? Déterminer I0 pour = 0,9 , 0,64 et 0,3 .
3/68
f) Calculer le couple électromagnétique de la machine si = 0,64 et <IC> = 40 A .
2) Etude en conduction discontinue :
a) La tension qui est appliquée aux bornes de la charge est indiquée par le diagramme de la figure ci dessous.
Quelle relation existe-t-il entre , ' , E et Ec ?
b) Déterminer, comme pour la première partie, les expressions de iC en fonction du temps. On notera IM le
courant maximal.
c) Déterminer les expressions de IM et du courant moyen <IC> .
d) De la dernière expression, donner l'allure des caractéristiques n=f(<IC>) pour fixé . Conclure.
uC
E
EC
t
T 'T T
0
Exercice 3: Association hacheur dévolteur et survolteur (Solution 3:)
On considère maintenant l'association de 2 hacheurs, un dévolteur et un survolteur. Ils sont utilisés pour
alimenter une machine à courant continu d'un véhicule électrique. E= 96 V, LC = 5 mH et T= 0.5 ms .
T1 et T2 sont commandés de manière complémentaire :
➢ de 0 à TC ,T1 commandé et T2 bloqué
➢ de Tc à T , T2 commandé et T1 bloqué .
Le courant ic (t) ayant l'allure indiquée par la figure 2 ,
a) représenter v(t) en indiquant quels sont, à tout instant les composants qui conduisent.
b) En déduire l'allure de Vmoy=f(ICmoy) à = Cte (ICmoy pouvant être positif ou négatif) . Existe-t-il une zone
de conduction discontinue ?
c) Calculer ITmoy et ICmoy en fonction de , Im et I'm . Relation entre , ITmoy et ICmoy .
Le moteur a une f.é.m. EC = K. et un couple Ce= ICmoy avec K= 0.414 Vs/rad .
Sur un sol horizontal , le couple résistant est de la forme Cr=3.5 + 0.05
d) pour une vitesse de 20 km/h calculer , ICmoy ,
I C
I Cmoy
( = µ.V ; µ=35.4 rad/s/m/s ).
La voiture descend à vitesse constante, le couple résistant est de la forme Cr=17.7+0.005 (Nm) ; on donne
=0.68 .
e) Calculer la vitesse de la voiture V , la valeur de ICmoy ,
f) Calculer la puissance récupérée par la batterie.
g) Comment peut-on ralentir la voiture ?
iT
E
iC
T1
D1
v
T2
D2
LC u L
EC
Im
iC
T
0
'
Im
t1
TC
t
t2
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Exercice 4: BTS 1984 commande en vitesse de MCC par hacheur série (Solution 4:)
Dans le montage ci-contre :
iH (t) H
• U est une tension continue, constante,
• En fonctionnement périodique de période T, H est commandé à la
(t)
D
fermeture pour 0 < t < T, n'est pas commandé pour T < t < T U
(0 < < 1). est le rapport cyclique réglé par la commande.
• D est une diode idéale.
• H désigne un élément unidirectionnel commandé, dont le fonctionnement est caractérisé par :
(t) < 0 : iH (t) = 0.
i (t)
L
v (t)
E
i (t ) 0 en l'abscence de commande
.
iH (t ) 0 en présence de commande , alors H fermé et (t)=0
(t) ≥ 0 H
La charge est constituée par l'induit d'une machine à courant continu, compensée, à excitation séparée
constante, de sorte que la f.é.m. peut s'écrire E=K. (E en volts et en radians par seconde).
• La résistance de l'induit est négligée. La vitesse reste invariable pendant la période T du hacheur.
• La machine a été essayée en moteur sous la tension nominale de 150 V , à la vitesse de 1500 tr/min;
l'intensité du courant appelé est, à vide I0 =1.5A et à charge nominale In =10A .
T0 , Te et Tu sont respectivement les moments du couple à vide , du couple électromagnétique et du couple utile .
•
1) Etude du moteur :
a) Calculer la constante K .
b) A la vitesse de 1500 tr/min , calculer T0 , Te et Tu à charge nominale
c) On admet que les pertes à vide sont proportionnelles à la vitesse de rotation : en déduire le couple de
pertes.
2) Fonctionnement en alimentation découpée, conduction continue .Le moteur fonctionne à Te constant, à vitesse
établie, dans des conditions telles que i(t) est ininterrompu.
a) Exprimer Imoy en fonction de Te , (L.di/dt)moy puis de Vmoy .
b) Représenter sur un même graphique l'allure de (t) et de v(t) .
c) En déduire E en fonction de U et de .
d) Application numérique U= 200 V . calculer pour obtenir des vitesses de 1000 tr/min et 1500
tr/min.
e) Ecrire l'équation différentielle à laquelle satisfait i(t) pour t compris entre 0 et T . En déduire
l'expression de i(t) . on posera i(0) = Im
f) Mêmes questions pour t compris entre T et T . On posera i (T) = IM .
g) Calculer i = IM - Im en fonction de ,T , U et L .
h) Montrer que pour U , L et T fixés , i passe par un maximum pour une valeur de que l'on précisera .
i) Application numérique : U = 200 V et f = 1 kHz . Calculer L pour ( i)Max = 4 A .
j) Représenter i(t) à 1500 tr/min pour le couple Te=4.8 Nm et pour les valeurs de U , f et L précédentes
. Echelles 1 cm pour 1 A et pour 0.1 ms
3) Le moteur est à vide . On a toujours U=200 V , f=1 kHz et on prend L= 12.5 mH .
a) Le moteur tourne à la vitesse de 1500 tr/min . Montrer en comparant i à I0 que ce fonctionnement
est à la limite de la conduction continue.
b) Représenter i(t) .
c) La vitesse reste comprise entre 500 et 1500 tr/min . Montrer que la conduction n'est plus continue.
Représenter l'allure de v(t) , i(t) en notant t0 l'instant où i(t) s'annule . ' T < t0 < T, (' nouveau
rapport cyclique).
d) Montrer que VMoy reste égal à E .Montrer que le maintien de la vitesse oblige à choisir un nouveau
rapport cyclique ' = . t0 / T ( rapport cyclique donnant la même vitesse en conduction continue) .
Exercice 5: BTS 1994 Métro HACHEUR A TRANSISTORS 4 QUADRANTS (Solution 5:)
La machine est commandée par un hacheur 4 quadrants à transistors ( figure 2).
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La machine idéalisée vérifie les lois : Ua = k et Te = k iamoy La tension Vs est continue : Vs = 300 volts.
La bobine de lissage d'inductance L2 est parfaite : L2 = 100 mH.
Les transistors et les diodes sont également considérés comme parfaits.
1) ETUDE DU FONCTIONNEMENT DU MOTEUR :
Les transistors sont commandés avec la période T = 1,2 ms. Pour ce fonctionnement : T2 et T4 restent bloqués.
T1 et T3 sont commandés avec le rapport cyclique .
Pendant la première période considérée, ils sont passants entre O et T , bloqués entre T et T.
On suppose le régime établi et la conduction permanente.
1-1 Etude de la tension uh :
1-1-1 Quels composants sont passants entre T et T ? Que vaut alors uh ?
1-1-2 Quels composants sont passants entre T et T ? Que vaut alors uh ?
En déduire pour = 2/3 la représentation graphique de uh en fonction du temps (sur le document réponse
n° 2 à rendre avec la copie).
1-1-3 Déterminer dans le cas général l'expression de la tension moyenne uhmoy en fonction de et Vs.
Dans quel cas est-elle positive ?
Application numérique : = 2/3.
1-1-4 Quelle relation existe-t-il entre uhmoy et Ua? Justifier la réponse.
1-2 Etude du courant d'intensité ia
L'intensité ia varie entre IM (maximum) et Im(minimum).
1-2-1 Pour 0 < t < T :
- Ecrire l'équation différentielle à laquelle satisfait ia .
- Déterminer l'expression de ia(t).
- En déduire l'expression de l'ondulation ia = IM - Im en fonction de , Vs, L2 et T.I
Application numérique : = 2/3.
1-2-2 Pour T < t < T :
- Ecrire l'équation différentielle vérifiée par ia.
- Déterminer l'expression de ia(t).
1-2-3 Représenter graphiquement ia en fonction du temps pour :
iamoy = 4,0 A et = 2/3.
Calculer préalablement IM et Im.
2 FREINAGE :
La machine fonctionnant dans le même sens de rotation, on désire la freiner en "récupération".
- Quels doivent être les signes de Ua et iamoy ?
-Cette modification étant réalisée, indiquer quels transistors il faut commander (Simultanément) en
précisant les valeurs possibles du rapport cyclique ?
D1
T2
T1
D2
Uh
Vs
K
ia
D4
T4
H
L2
Ua
T3
D3
FIGURE 2
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Exercice 6: BTS 2007 Nouméa Etude de Hacheur parallèle (Solution 6:)
Le hacheur parallèle est modélisé par le schéma ci-contre.
L'interrupteur TH est commandé à l'ouverture et à la fermeture à la
fréquence fH avec un rapport cyclique H. Les tensions UC et EC sont
supposées constantes. On donne UC = 192,5V.
On néglige la résistance de la bobine d'inductance L.
On a relevé les oscillogrammes de uT et de iL sur le système étudié dans
une situation d'éclairement donnée voir document réponse 2.
B.1 - Exploitation des chronogrammes du document réponse
B.1.1 - Indiquer les intervalles de durée de conduction pour TH et pour
DH sur le document réponse 2.
B.1.2 - Donner la valeur numérique de la fréquence de découpage (qu'on
notera fH).
B.1.3 - Donner le rapport cyclique de commande de l'interrupteur TH
durée de fermeture
H
période
B.1.4
B.1.5
B.2 B.2.1
- Donner la valeur numérique de EC, de <uT> et de <iL>.
- Déterminer la valeur numérique de l'ondulation de iL (iL = ILmax – ILmin)
Valeur de L
- Pour t compris entre 0 et 15 µs, écrire l'équation différentielle vérifiée par iL,
Donner la solution iL(t) de cette équation en fonction de UC, L, ILmin et t.
B.2.2 - En partant de l'expression de iL(t) obtenue, déterminer l'expression de iL en fonction de UC,
H , L et
f H.
B.2.3 - En déduire la valeur numérique de L.
B.3 - Constitution de la bobine
L est l'inductance d'une bobine réalisée autour d'un circuit magnétique en ferrite représenté ci-dessous.
En faisant l'hypothèse que le champ magnétique est uniforme dans le circuit magnétique (ferrite et air), le
théorème d'Ampère appliqué à ce circuit s'énonce :
B
B
e
L f N iL
µ0
µf
avec
e = 2,3 mm = épaisseur de l'entrefer
Lf = 20 cm = longueur moyenne du circuit en ferrite
S = 1 cm2 = section du circuit magnétique
N = 300 = nombre de spires
µo = 4.10-7 SI = perméabilité magnétique de l'air
On suppose que la perméabilité magnétique µf de la ferrite est infinie.
B.3.1 - Exprimer le flux à travers une section S du circuit magnétique en fonction de N, S, e, µo et iL.
B.3.2 - Le circuit étant supposé non saturé, on rappelle que l'inductance de la bobine est donnée par L
N
iL
Exprimer L en fonction de µo, N, S et e.
B.3.3 - Donner la valeur numérique de L. Comparer avec la valeur obtenue à la question B.2.3.
7/68
Partie D - Etude de la chaîne auxiliaire
La partie étudiée de la chaîne auxiliaire est représentée en annexe 1. On suppose que :
la batterie a une force électromotrice constante de valeur EB = 96V ; sa résistance interne est négligeable.
la tension aux bornes du capteur solaire est constante et égale à UC = 192,5 V.
D.1 - Charge de la batterie : Hacheur série
Le hacheur série assure la charge des batteries à courant moyen
constant : <i'L> = 5A.
Le transistor T'H est commandé par le système de contrôle :
il devient passant lorsque i'L descend à 4A,
il se bloque lorsque i'L atteint 6A.
On donne L' = 1 mH .
On néglige la résistance de la bobine.
D.1.1 - Exprimer d(iL')/dt quand T'H conduit, puis quand T'H ne conduit pas. En déduire l'allure du
chronogramme de i’L
D.1.2 - En supposant qu'à l'instant t = 0, i'L est égale à 4A, tracer les chronogrammes de i'L et de v’ sur le
document réponse 4.
D.1.3 - Déterminer la fréquence de découpage du hacheur.
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Document réponse
Question B.1.1
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Question D.1.2
Exercice 7: BTS 2003 Nouméa Etude de Hacheur (Solution 7:)
L'induit de la machine à courant continu est piloté par un hacheur alimenté à partir du réseau 375 V continu
symbolisé par la source de tension V, conformément au schéma électrique représenté figure 2.
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H est un interrupteur unidirectionnel en courant, commandé à l'ouverture et à la fermeture. Cet interrupteur, ainsi
que les diodes D et D', sont considérés comme parfaits : aucune chute de tension à l'état passant, aucun courant à l'état
bloqué et commutations instantanées.
Ktr est un contacteur dit de traction qui peut être ouvert ou fermé suivant l'utilisation de la machine à courant
continu.
Lo est une inductance de lissage.
On néglige la résistance de l'induit de la machine à courant continu. Le schéma électrique équivalent de la charge du
hacheur entre les points A et B se ramène alors à celui représenté figure 3 où L1 représente la somme des inductances de
l'induit et de l'inductance de lissage ; E représente la force électromotrice développée par l'induit de la machine à courant
continu.
La fréquence de hachage est telle que, compte tenu de l’inertie des pièces en mouvement, la fréquence de
rotation de la machine à courant continu peut être considérée comme constante sur une période de
fonctionnement du hacheur.
2.1 Étude en traction : Ktr est constamment fermé, Ie et sont positifs : la machine à courant continu délivre
une f.e.m E positive.
2.1.1 Montrer que tant que Ktr est fermé, la diode D' ne peut pas conduire.
2.1.2 L'interrupteur H est commandé à la fréquence f= 300 Hz.
Sur une période de fonctionnement, il conduit de t = 0 jusqu'à t = T (0 < < 1). Il est bloqué sur le reste de la
période.
On s'intéresse au fonctionnement en régime permanent : le courant i(t) est alors périodique et ses variations
sont données sur le chronogramme représenté sur le document réponse n°2.
11/68
Sur ce document, représenter en les hachurant, les intervalles de conduction des différents interrupteurs. En
déduire le graphe des variations de la tension u(t) en sortie du hacheur.
2.1.3 Donner la valeur moyenne Uo de cette tension en fonction de V et .
Montrer que la force électromotrice E développée par la machine à courant continu est égale à Uo.
2.1.4 Représenter sur le document réponse n°2 les variations des tensions uH(t) aux bornes de l'interrupteur H et
u D(t) aux bornes de la diode D.
2.1.5 Représenter sur le document réponse n°2 les variations des courants iH et iD qui traversent respectivement H
et D et exprimer leurs valeurs moyennes IHO et IDO en fonction de , IM et I m ,.
2.1.6 Etablir l'expression du courant i(t) pour 0< t <T. En déduire l'expression de l'ondulation i= IM - I m en
fonction de , V, L1 et f.
2.1.7 Calculer la valeur de l'inductance Ll pour =0,75, f=300 Hz, IM=400 A et Im=350 A.
2.2 Étude en phase de freinage : Ktr est constamment ouvert. Ie est négatif, est positif, la machine à
courant continu délivre une f.e.m E négative.
L'interrupteur H est toujours commandé à la fréquence f= 300 Hz avec le rapport cyclique : il conduit de t= 0
jusqu'à t=T (0 < < 1) ; il est bloqué sur le reste de la période.
Le courant dans l'induit de la machine à courant continu évolue suivant le graphe représenté sur le document
réponse n°3 : le régime permanent est atteint, i(t) est périodique.
2.2.1 Pour 0 < t < T faire le schéma électrique équivalent montrant la maille dans laquelle circule le courant i(t).
2.2.2 Même question pour T < t < T.
2.2.3 Sur le document réponse n°3, représenter en les hachurant, les intervalles de conduction des différents
interrupteurs.
2.2.4 En déduire le graphe des variations de la tension u(t) en sortie du hacheur et le représenter sur le document
réponse n°3. En déduire l'expression de sa valeur moyenne Uo en fonction de V et .
2.2.5 Pour chacune des phases de fonctionnement, tracer sur le document réponse n°3 les variations du courant
dans la source j(t) (voir figure 2).
En déduire l'expression de sa valeur moyenne J0 en fonction de IM, Im et .
2.2.6 En fonction de J0 et V, exprimer la puissance moyenne P0 fournie par la source V. Quel est son signe ?
Donner en le justifiant le type de fonctionnement, moteur ou génératrice, de la machine à courant continu.
2.2.7 Pour =0,10 le courant i évolue entre Im=300 A et IM=325 A. Calculer Po.
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Exercice 8: BTS 2002 Métropole Etude de Hacheur en conduction ininterrompue (Solution 8:)
Sous caténaire 1,50 kV continu, des hacheurs associés dans une configuration élévateur de tension
maintiennent la tension d'alimentation des onduleurs triphasés à 2750 V continu. Ces hacheurs reprennent
certains constituants du PMCF, tous considérés comme parfaits. Les interrupteurs sont supposés parfaits.
1) Étude du hacheur simple :
* G1 est commandé à la fermeture de l'instant t = 0 à l'instant t = T, et à l'ouverture de t = T jusqu'à
T.
* T est la période de fonctionnement.
* f = 300 Hz.
* E sera considéré comme constant (E = 2,75 kV) et il ininterrompu, variant entre les valeurs extrêmes
I1min et I1max
* V = 1,50 kV
* L = 5,0 mH (bobine idéale)
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L
D2
i1
id2
uG1
E
C0
G1
V
Charge
1-1) Pour 0<t<T, combien vaut uG1 ?
1-2) Pour T<t<T, combien vaut uG1 ?
1-3) Donner la relation entre <uG1> valeur moyenne de uG1, et V.
1-4) Tracer uG1 sur le document réponse 2, figure 12. En
déduire sa valeur moyenne u G1 en fonction de et de E.
iG1
Figure 5
V
1-5) Déduire des deux questions précédentes la relation : E
.
1
Calculer la valeur de qui permet d'avoir E = 2,75 kV lorsque V = 1,50 kV.
1-6) Déterminer l'équation différentielle relative au courant dans la bobine pour 0 < t < T. En déduire
l'expression de iL lorsque 0 < t < T.
1-7) Déterminer l'équation différentielle relative au courant dans la bobine pour T < t < T. En déduire
l'expression de iL lorsque T < t < T.
1-8) Pour iL variant entre ILmax et ILmin , tracer sur le document réponse 2 : iL (figure 13) iG1 (figure 14)
1-9) L'ondulation de iL est définie par la relation :
iL
I L max I L min
2
Montrer, à partir de l'équation trouvée en 1-6) que :
iL
V
2 Lf
Calculer iL pour = 0,45.
2) Étude de deux hacheurs à commandes décalées :
i
L
i'1
D4
L
i1
D2
V
uG1
G1
G3
id2
id2
uG3
E
C0
Charge
Afin de réduire les harmoniques de courant côté ligne, on double
le montage traité en 3-1) d'un deuxième hacheur dont la
commande sera décalée.
La configuration est représentée figure 6.
iG1
Figure 6
- G1 est commandé à la fermeture de l'instant t = 0 à l'instant t = T et à l'ouverture de t = T jusqu'à T.
- G2 est commandé à la fermeture de l'instant t = T2 à l'instant t = T2 +T, et à l'ouverture de t = T2 +T jusqu'à
T+ T2 .
T est la période de fonctionnement. f = 300 Hz.
E sera considérée comme constante (E =2,75 kV).
V = 1,50 kV.
2-1) il (t) est représenté sur le document réponse 3 (figure 15) ; en déduire la représentation graphique de i'l(t).
2-2) Écrire la relation entre i, il et i'l. En déduire la représentation graphique de i(t) sur la figure 16 du
document réponse 3. Préciser la fréquence de i et la comparer à celle de il du montage étudié en 3-1).
2-3) Pour 0<t<T donner la relation entre
di
di di 1 di 1'
Expliciter alors
en fonction de E, V et L.
,
,
dt dt dt
dt
2-4) En travaillant sur l'intervalle [0 , T], déduire de la réponse précédente, que :
i =
I
-I
E (1 - 2 )
avec i = max min pour i variant entre Imax et Imin
2Lf
2
2-5) Calculer i pour = 0,45 ; comparer le résultat avec celui de la réponse 3-1-9).
Nom :
documents réponses
BTS 2 002
15/68
Document réponse 2
Document réponse 3
Exercice 9: BTS 2000 Nouméa Convertisseur en Hacheur (Solution 9:)
Un convertisseur (fig.1) comporte un pont redresseur PD3 6 thyristors, un condensateur de filtrage de
capacité 2000 µF, trois bras de pont constitués chacun de 2 transistors IGBT, et d'un bras hacheur de freinage,
constitué lui-même d'un transistor IGBT et d'une résistance de freinage.
Les composants représentés sont considérés comme parfaits, les commandes des transistors ne sont pas
représentées.
Les trois parties 1 A, 1B et 2 peuvent être traitées indépendamment.
16/68
R
U0
C
S
RF
TF
T
T1
T2
T3
D1
D2
D3
1
2
3
T4
T5
T6
D4
D5
D6
Figure 1
1. ETUDE DU CONVERTISSEUR EN CONFIGURATION HACHEUR (figure 2):
iS
T1
D1
U0
i
T4
D4
UM
charge
MCC
Figure 2
Les deux IGBT sont commandés suivant la séquence suivante (figure 3)
T1
T4
0
T
T
T+T
Figure 3
- entre 0 et T , seul T1 est commandé à la fermeture
- entre T et T , seul T4 est commandé à la fermeture
est le rapport cyclique du hacheur, T est la période de fonctionnement.
La machine commandée par le hacheur est une machine à courant continu à excitation séparée. L'excitation est
maintenue constante et nominale pour toute cette partie, elle n'est pas figurée sur le schéma.
Sa plaque signalétique comporte les indications suivantes
UN = 350 V, IN = 10 A, nN = 2 000 tr/min en moteur
La machine est parfaitement compensée, sa résistance d'induit R a une valeur de 1,0 .
La tension Uo est maintenue fixée à 480 V .
17/68
Le courant dans l'induit est supposé ininterrompu.
A. Etude du hacheur réversible en courant (figure 2) :
A.1.
A.1.1) Déterminer la force électromotrice nominale de la machine, en déduire la valeur du coefficient K
défini par la relation E = K, étant la vitesse de rotation de la machine exprimée en rad/s.
A.1.2) Ecrire la relation qui relie le moment du couple électromagnétique Te , à l'intensité moyenne I du
courant d'induit de la machine.
A.1.3) Déterminer la valeur du moment du couple électromagnétique nominal.
Dans la suite du problème, on néglige R.
A.2. La machine entraîne une charge lui imposant de fonctionner à courant d'induit de valeur moyenne I
constante. On donne : I = 10 A, = 0,60, f = 20 kHz; on se place en régime permanent et le schéma
équivalent de la machine à courant continu, où L est l'inductance de l'induit, est le suivant ( figure 4 ) :
L
i
uM
E
On donne
L = 1,8mH
Figure 4
A.2.1. A partir de la figure 3, indiquer les intervalles de conduction des éléments T1, D1, T4, D4
A.2.2. Tracer le graphe de uM (t).
A.2.3. Calculer la valeur moyenne de uM (t). En déduire la valeur de E.
A.2.4. À l'instant t = 0, le courant d'induit i prend sa valeur minimale Imin ; à l'instant t = T, il prend sa
valeur maximale Imax.
Ecrire la loi d'Ohm en valeurs instantanées aux bornes de la machine, en déduire l'expression littérale de
l'ondulation de courant, notée i = Imax.- Imin
Tracer l'allure du graphe de i (t) sur une période et calculer i.
A.3. La machine est à vide, en régime permanent et on néglige toutes ses pertes
On a: = 0,60, f = 20 kHz, i = 3,2 A.
3.1 Montrer que l'intensité moyenne du courant d'induit est nulle.
3.2 Dans ces conditions tracer l'allure du graphe de i (t) sur une période.
3.3 Indiquer les intervalles de conduction des éléments T1, D1, T4, D4
A.4. La machine fonctionne maintenant en génératrice tout en conservant le même sens de rotation. Lorsque le
régime permanent est atteint, on relève:
= 0,60, f = 20 kHz, I = 10 A, i = 3,2 A.
A.4.1 Tracer les graphes de uM (t) et de i (t), préciser les éléments conducteurs.
A.4.2 Tracer dans ces conditions l'allure de is (t), intensité du courant débité par la source de tension Uo
définie sur la figure 2.
A.4.3 Quelle est la relation entre Uo et E ?
B. Etude du freinage (figure 5) :
18/68
iS
uRF
RF
T1
D1
U0
Machine
à C.C.
i
TF
uTF
T4
uM
D4
charge
Figure 5
B.1. Etude de la tension aux bornes du condensateur (figure 6) :
Le transistor TF n'est pas commandé, on étudie l'évolution de la tension aux bornes du condensateur
is
C=
2000F
uc
Figure 6
On suppose que l'intensité du courant is (t) a l'allure suivante (figure 7)
is
T
T
t
I= - 10 A
Figure 7
On donne f = 20 kHz et = 0,60 ; à l'instant initial t = 0, la tension uc est égale à 480 V.
B.1.1. Écrire la relation reliant uc (t) à is (t).
B.1.2. En déduire l'expression de uc (t) entre 0 et T, puis entre T et T.
B.1.3. Calculer uc, accroissement de uc(t) sur une période.
B.1.4. Calculer le temps au bout duquel uc (t) = 600V .
B.2. Etude du bras hacheur de freinage (figure 5) :
On suppose maintenant que le bras de freinage est commandé automatiquement dès que la tension U0 atteint
480 V, on la considère alors comme constante. Ce hacheur est commandé périodiquement à la fréquence
f=1/T', avec un rapport cyclique tel que:
- entre 0 et T' : TF conduit et uTF = 0 ;
- entre T' et T' : TF est bloqué et uTF = Uo.
On donne RF = 40
B.2.1. Tracer le graphe de uRF (t) pour = 0,50 et T' = 100 µs.
B.2.2. Exprimer la puissance moyenne dissipée dans la résistance de freinage RF en fonction de , U0 et
RF.
19/68
B.2.3. La machine à courant continu fonctionne en génératrice dans les conditions définies à la question
A4. Calculer la puissance fournie par la machine à courant continu ; en déduire la valeur du rapport
cyclique permettant à RF d'absorber cette puissance.
Exercice 10: BTS 2000 Métropole Excitation Alternateur par Hacheur dans Airbus A320 (Solution
10:)
2° partie : Etude du circuit d'excitation
Schéma du circuit d'excitation de l'alternateur principal
1
Ie
Ve
2
Alternateur
principal
3
V
N
=
Régulateur
i1
Excitatrice
v1
PMG : alternateur à aimants permanents
Partie fixe
Partie mobile
Ligne d'arbre (liaison mécanique)
=
U0
commande
=
=
PMG
Partie fixe
Partie mobile
Ligne d'arbre (liaison mécanique)
PMG : alternateur à aimants
permanents
Figure 3
La tension aux bornes de l'inducteur de l'alternateur principal est produite à l'aide d'un alternateur
intermédiaire, appelé excitatrice, dont l'inducteur est fixe et l'induit, solidaire de l'arbre principal, tournant.
L'inducteur de l’alternateur intermédiaire est modélisé par sa résistance R1 et son inductance L1 ; il est
parcouru par un courant i1 t de valeur moyenne
I1 .
L'excitatrice n'étant pas saturée on peut considérer que le courant I e est proportionnel à I1.
Le réglage du courant d'excitation principal I e s'effectue donc par l'intermédiaire d'un hacheur qui contrôle
I1 .
L'alternateur à aimants permanents et le redresseur à diodes qui alimentent le hacheur sont modélisés par un
générateur, considéré comme une source de tension continue parfaite, fournissant une tension U0 = 140 V.
Le schéma équivalent du système est celui de la figure 4.
20/68
i1
D
L1
v1
U0
R1
R1 = 9,0
L1 = 0,10 H
H
Figure 4
On étudie le régime permanent où la conduction dans la charge ( R1 , L1 ) est ininterrompue.
Les semi-conducteurs qui composent le hacheur sont considérés comme parfaits.
L'interrupteur H est commandé à la fréquence f = 2,0 kHz et on note son rapport cyclique.
Au cours d’une période T, l'interrupteur H est passant de 0 à T, il est bloqué de T à T.
2.1 Etude de l'inducteur de l'excitatrice.
2.1.1 Tracer l'allure de la tension
2.1.2
Calculer
v1 t lorsque vaut 0,60.
V1 , valeur moyenne de v1 t , en fonction de et U 0 .
2.1.3 En déduire l’expression de
I1 , valeur moyenne de i1 t , en fonction de , U 0 et R1 . Faire l'application
numérique pour = 0,60.
2.2 Etude des variations du courant.
2.2.1 Ecrire les équations différentielles auxquelles satisfait i1 t entre les dates 0 et T, puis entre T
et T.
L1
T , représenter sans calcul l'allure du courant i1 t .
R1
I Im
2.3 On définit l'ondulation du courant par l’expression i1 M
.
2
Dans le cas où i1 I1 , on admet que l'ondulation peut s'exprimer sous la forme :
(1 ) U 0
i1
2 L1 f
Pour quelle valeur de l'ondulation i1 est-elle maximale ? Justifier la réponse. Quelle est son expression dans
2.2.2 En remarquant que
ce cas ? Calculer sa valeur numérique sachant que L1 = 0,10 H.
Exercice 11: Hacheur Série : Conduction continue - conduction discontinue (Solution 11:)
L'induit d'une MCC indépendante est alimenté par un hacheur série (cf. figure 3.1). Les semi conducteurs sont
considérés comme parfaits.
Les commutations ne sont pas prises en compte. H est fermé de 0 à T.
21/68
1.
Conduction continue : = 0,75
a. Représenter u(t) et i(t).
b. Montrer qu'à la conduction continue limite (l'indice L est pour limite), I L
(1 ) U 0
2L f
. Calculer I L et
E (f.e.m du moteur).
2. Conduction discontinue
La charge appelant toujours le même courant moyen (1,5 A), a diminue et est égal à 0,5 : le courant s'annule
entre T et T, à l'instant T (0 < < 1). On se propose, entre autre chose de calculer la f.e.m E.
a. Représenter les allures de u(t) et i(t).
b. Montrer que
u U0 1 E
c. Montrer, par ailleurs qu'on a toujours <u> = E. En déduire que
d. Montrer que
I
U0
E
1
I max •
2
e. En écrivant i(t) de 0 à T, déterminer une expression de I en fonction de U0, , , L et f. Déterminer
l'expression de E en fonction de U0, I , , L et f.
f. Calculer E. Conclusion pour la vitesse.
g. Calculer , Imax.
3.
Courbes E = f( I )
A partir de ce qui vient d'être déterminé, tracer E = f( I ) pour plusieurs valeurs de a. Donner l'équation de la
courbe du courant moyen limite IL en fonction de a et tracer la sur le réseau de courbes E = f( I ).
Exercice 12: BTS 1995 Etk Métro Hacheur 4 quadrants (Solution 12:)
Une machine à courant continu est alimentée par le convertisseur dont le schéma est représenté ci-dessous. Les
ordres d’ouvertures et de fermetures des interrupteurs commandés (H1, H2, H3, H4) sont élaborés à partir d’une
tension de contrôle Vc.
H1, H2, H3, H4 sont des interrupteurs unidirectionnels en courant commandés à l’ouverture et à la fermeture; à
l’état fermé, ils ne présentent pas de chute de tension à leurs bornes.
H1
D1
H2
D2
Ua
i
M
u
H4
D4
H3
D3
On assimilera l'induit de la machine à courant continu à une f.e.m E. L'induit est en série avec une inductance de
lissage L.
1. T est la période de fonctionnement; est un coefficient compris entre 0 et 1.
Pour 0 < t < T
H1 et H3 sont commandés à l’état fermé;
H2 et H4 sont commandés à l’état ouvert.
Pour T < t <
H1 et H3 sont commandés à l’état ouvert;
T
H2 et H4 sont commandés à l’état fermé.
a. Dans ces conditions, représenter sur l’annexe 1, à rendre avec la copie, la tension u(t) en fonction du
temps.
b. Exprimer la valeur moyenne Umoy de u(t). Montrer que Umoy =E
c. Comment varie le signe de Umoy en fonction de ?
22/68
2.
L’annexe 2 présente 4 cas de fonctionnement. Pour chacun de ces 4 cas, i(t) évolue entre une valeur minimale
Im et une valeur maximale IM: la conduction est ininterrompue.
a. Tracer u(t) et en déduire le signe de Umoy.
b. Entre 0 et T, déterminer l'équation différentielle qui régit l'évolution de i(t). En déduire i(t) sur cet
intervalle.
c. Entre T et T, déterminer l'équation différentielle qui régit l'évolution de i(t). En déduire i(t) sur cet
intervalle.
d. Tracer l'allure de i(t) et en déduire le signe de Imoy.
e. Calculer l'ondulation i I M I m en fonction de , E, L et f.
f. Quel est le régime de fonctionnement de la machine à courant continu ( moteur ou génératrice ) ?
g. Compléter l’annexe 2, à rendre avec la copie, en indiquant pour chacun des cas les éléments du
convertisseur en conduction.
3.
On désire piloter le convertisseur avec une tension de commande Vc pour avoir la relation Umoy = H VC où H
est une constante propre au montage.
L’ensemble ci-dessous sert à élaborer 2 signaux V13 et V24 utilisés pour la commande des interrupteurs.
+Vcc
Vers la commande de H 1 et H3
Comp.
+
- Vcc
V13
0V
VT
+Vcc
Vc
Vers la commande de H2 et H4
Comp.
+
- Vcc
V24
0V
Les 2 comparateurs sont alimentés entre - Vcc et + Vcc. La tension de sortie de chacun de ces comparateurs
commute entre + Vcc et - Vcc.
Lorsque la tension de sortie d’un comparateur est au niveau - Vcc, les interrupteurs associés sont commandés à la
fermeture; quand cette tension est au niveau - Vcc, les interrupteurs sont commandés à l’ouverture.
La tension VT est définie en annexe 3; sa période est T, elle évolue entre – VTM et + VTM.
On considère le cas ou VC > 0
a. Représenter les signaux V13 et V24 en complétant l'annexe 3, à rendre avec la copie.
b. Calculer la date t1 en fonction T, VC, VTM.
c. Repérer T et l'exprimer en fonction de t1.
d. En déduire en fonction de VC et de VTM ; exprimer ensuite la constante H en fonction de Ua et VTM.
ANNEXE 1
u
Ua
t
T
T
T+T
2T
- Ua
23/68
ANNEXE 2
Cas n°1
Cas n°2
u
Ua
u
Ua
t
T/2
T
t
T
T/2
- Ua
- Ua
i
IM
i
t
T/2
T
T
t
T/2
Im
T
T
T
IM
Im
T
Conductions
Conductions
Cas n°3
Cas n°4
u
Ua
u
Ua
T T/2
T
- Ua
T
T/2
T
T
T/2
T
- Ua
i
t
T T/2
IM
T
i
IM
Im
Im
Conductions
Conductions
24/68
ANNEXE 3
Vt, Vc
VTM
t
0
t1
T/4
T/2
3T/4
T
- VTM
V13
Vcc
t
0
T/2
T
- Vcc
V24
Vcc
t
0
T/2
T
- Vcc
Exercice 13: QCM (Solution 13:)
Entourer la ou les bonnes réponses.
1. Utilisation d'un hacheur
a. Le hacheur permet le transfert de puissance entre deux sources continues.
b. Le hacheur permet le réglage de la vitesse d'un moteur à courant continu.
25/68
c. Le hacheur permet le réglage de la tension d'un transformateur.
d. Le hacheur permet le réglage du courant de charge d'une batterie.
e. Le hacheur permet d'obtenir un courant alternatif.
2. Commande d'un hacheur
a. Un hacheur à demi-pont est commandé en agissant simultanément et de manière identique sur deux
interrupteurs.
b. Un hacheur à pont en « H » est commandé en agissant simultanément et de manière identique sur
deux des interrupteurs placés en « diagonale ».
c. La variable de commande d'un hacheur est le rapport cyclique = t1 /T.
d. La valeur moyenne de la tension de sortie d'un hacheur série varie linéairement en fonction du
rapport cyclique si le débit est continu.
3. Transfert de puissance
a. Un hacheur série ne fonctionne que dans un seul quadrant.
b. Un hacheur série transfère de la puissance de la source de tension vers la source de courant.
c. Un hacheur parallèle transfère de la puissance de la source de tension vers la source de courant.
d. Un hacheur quatre quadrants (en « H ») peut transférer de la puissance de la source de tension
vers la source de courant.
e. Un hacheur deux quadrants (en « H ») peut transférer de la puissance de la source de tension vers
la source de courant.
4. Ondulations
a. L'ondulation de courant d'un hacheur est maximale (II max) pour = 0,5.
b. En débit continu, l'ondulation maximale du courant II max. est inférieure à 2 I0.
c. Le rôle de l'inductance L est de réduire II max max.
d. Le rôle de l'inductance L est de réduire VS.
e. Le rôle du condensateur CS est de permettre à la source de tension « d'absorber » les
discontinuités de courant de is(t).
f. Les discontinuités de courant de is(t) sont également celles de ies (t).
5. Principe de fonctionnement du hacheur série
Un hacheur série parfait alimente un moteur à courant continu.
La résistance de la bobine de lissage est négligeable. On donne V0 = 750 V.
a.
b.
c.
d.
e.
f.
L'interrupteur K est un interrupteur unidirectionnel commandé à la fermeture et à l'ouverture.
Le courant ik peut être positif ou négatif.
Lorsque l'interrupteur K est fermé, la diode D est bloquée.
iC= ik + id
Le rapport cyclique a permet de régler la tension moyenne.
La tension u évolue entre +750 V et +750 V.
6. Étude d'un point de fonctionnement particulier ( = 2/3)
On fixe pour le hacheur précédent la valeur du rapport cyclique = 2/3 et une fréquence de hachage f = 600 Hz.
La valeur de l'inductance est suffisamment grande pour que le courant iC, varie linéairement. Les valeurs
instantanées de iC sont
•
à l'instant t = 0
iC = IC min = 250 A
•
à l'instant t = T
iC = IC max = 450 A
26/68
a.
b.
c.
d.
e.
f.
La valeur moyenne de la tension vaut 500 V.
La conduction de courant est ininterrompue.
L'ondulation de courant est nulle car il y a une inductance de lissage dans la charge.
La valeur moyenne du courant i, est de 300 A.
Le hacheur utilisé permet de faire fonctionner le moteur dans les deux sens.
Le hacheur étudié permet de faire fonctionner la machine à courant continu en génératrice.
7. Hacheur 4 quadrants
On utilise un hacheur de structure suivante
a. Les interrupteurs unidirectionnels H1 et H3 sont commandés simultanément.
b. Lorsque les interrupteurs K2 et K4 sont fermés, u = E.
c. Lorsque K1 et K3 sont fermés, un courant i positif dans la charge est conduit par les composants H1
et H3.
d. Lorsque K2 et K4 sont fermés, un courant i positif dans la charge est conduit par les diodes D2 et
D 4.
Exercice 14: Ondulations en tension et en courant d'un hacheur série (Solution 14:)
Un hacheur « série » est utilisé pour la commande en vitesse d'un moteur à courant continu à excitation séparée.
La fréquence du hacheur est de f = 2 kHz.
Le moteur est caractérisé par les grandeurs suivantes :
constante de f.é.m. K = 1,1 Wb ;
moment d'inertie total rotor du moteur + charge Jt = 0,2 Kg m2 ;
résistance d'induit Ra = 2 ;
inductance d'induit La = 5 mH ;
couple résistant total : Tr = 6,05 N.m = couple résistant + couple de pertes ; ce couple est supposé
constant avec la vitesse ;
• vitesse angulaire nominale n = 50 rad/s.
La source es(t) est la sortie d'un redresseur monophasé PD2 à diodes. Ce redresseur est alimenté par une
tension alternative sinusoïdale :
•
•
•
•
•
v(t ) V 2 sin S t
avec V = 230 Volts et s = 100 rad/s.
On rappelle le développement en série de Fourier de es(t) :
eS (t )
1.
2V 2
4V 2 1
1
1
cos 2S t
cos 4S t
cos 6S t
1 3
3 5
5 7
Calculer le courant nominal In et la tension nominale Vn du moteur.
2. La bobine d'inductance Ls est supposée « pure » (sans résistance). Expliquer pourquoi Vs Vs moy
Donner alors la valeur du rapport cyclique et du courant I
conditions nominales.
s moy
V 2
.
lorsque le moteur fonctionne dans les
27/68
3. On veut comparer l'ondulation de la tension vs(t) due au filtrage de es(t) et celle provenant du courant is(t).
a. Calculer l'ondulation crête vs ond 2 , vs ond 4 , vs ond 6 , obtenue en vs(t). On fera
S
S
S
4LsCss2
1
b. Déterminer l'ondulation crête à crête Vs = Vs max – Vs min correspondant à la fréquence f du hacheur. Le
courant dans le moteur est le courant nominal.
c. Comparer vs ond 2 et Vs. Quelle valeur de LS serait-il nécessaire de choisir pour que ces deux
S
ondulations soient égales ? (Dans les conditions les plus défavorables.)
d. On choisit LS = 5 mH et CS = 4 000 µF. Que deviennent les ondulations ?
4. L'inductance de lissage du hacheur est l'inductance du moteur. En étudiant l'effet « roue libre »,
déterminer le cas où l'ondulation du courant iI dans le moteur est la plus importante. (On néglige les effets
de la résistance Ra.) Le débit est-il continu à charge nominale ?
On ne néglige plus les effets de la résistance Ra.
5. Le hacheur sert à commander la vitesse du moteur. Déterminer la relation entre la vitesse angulaire , le
rapport cyclique du hacheur, et le couple résistant Tr
6. Le courant maximal pouvant être fourni par le hacheur est II Max = 10 A. Déterminer :
– l'accélération maximale possible du moteur associé à sa charge ;
– la décélération maximale possible du moteur associé à sa charge.
Exercice 15: Hacheur parallèle alimentant une batterie d'accumulateurs (Solution 15:)
On s'intéresse au fonctionnement d'un hacheur parallèle survolteur (BOOST).
Dans ce qui suit, on considère que E est constant, et est une source continue. Le transistor TMOS est saturé
(conducteur) pendant T et bloqué durant (1 - ) T, où T est la période du hacheur, très petite devant la période
du secteur (20 ms).
1. Exprimer iL en fonction de E, L, V s moy selon que le transistor est bloqué ou saturé. En déduire la condition
nécessaire pour atteindre le régime permanent (iL(T) = iL(0))
2. En déduire la relation entre V s moy, E et . Que se passe-t-il si le rapport cyclique tend vers 1 ?
3. En pratique, il faut tenir compte de la résistance rL de la bobine d'inductance L. Montrer que dans ces
conditions : Vs moy
E
1
rL
R 1
4. Montrer que le rapport V s moy / E passe par un maximum en fonction de . Donner son expression en fonction
de rL et R.
5. La charge R est remplacée par une batterie d'accumulateurs de tension constante Eacc. La source E provient
d'une dynamo. On admet, pour simplifier, que E = K. où est la vitesse d'une dynamo, et K la constante de
la machine. La résistance totale Rt = rL+ Ra tient compte de la résistance de la génératrice et de celle de la
bobine. On s'impose un courant donné ID moy de charge de la batterie. Déterminer la relation entre , ,
IDmoy , et Eacc (On déterminera la relation entre le courant Id moy et II moy en négligeant les pertes dans les
résistances.)
6. On introduit ' = 1 - . On impose un courant de charge ID moy = 10 A, avec Eacc= 120V, K = 0,4 et Rt = 1 .
Déterminer la relation entre la vitesse et '.
Exercice 16: Machine en cycle robotique associée à un hacheur réversible (Solution 16:)
(texte d'examen)
On considère le hacheur réversible série-parallèle suivant, associé à un moteur à courant continu.
28/68
Le moteur est de type AXEM dont les grandeurs nominales sont les suivantes : Un = 150 V ; In = 33 A et vitesse
nominale 3 000 tr/min.
Le moment d'inertie total moteur + charge mécanique est J = 0,04 kg m2. On donne : Résistance d'induit Ra = 0,4
. Inductance d'induit La = 0,2 mH.
1.
Étude du Hacheur réversible série-parallèle :
a. Représenter les formes d'onde u(t) et is(t) pour un rapport cyclique > 0,5.
b. Quelle est la différence avec un hacheur série ?
c. Déterminer la tension Umoy valeur moyenne de u(t) en fonction de V et le courant moyen Is moy de is(t) en
fonction de I0, valeur moyenne de i(t).
d. En déduire la formule donnant la puissance fournie par la source en fonction de , Umoy et I0.
2. On s'intéresse à l'évolution du courant et de la commande du hacheur, ainsi qu'au transfert de la puissance
dans une période de cycle robotique.
On donne t1=0,5 s;t2=1,5 s;t3=2 s;t4=4 s;t5=4,5 s et ainsi de suite.
À vitesse stabilisée constante, le moteur accouplé avec la charge mécanique consomme I = 6 A. Ce courant
d'induit I ne dépend pas de la valeur de la vitesse angulaire.
On veut que le moteur décrive le cycle robotique périodique indiqué ci-dessus. La vitesse angulaire 0 =
314,16 rad/s, est la vitesse nominale du moteur.
a. Donner la nature de la charge mécanique utilisée.
b. Préciser pourquoi le fonctionnement est hacheur série de 0 à t2 (puis de t4 à t6 et ainsi de suite) et
pourquoi il est hacheur parallèle de t2 jusqu'à une valeur t’3 < t3 que l'on déterminera. Quel type de
hacheur aurait-il fallu utiliser pour obtenir le cycle robotique demandé ? Que se passe-t-il ensuite (après
t'3 jusqu'à t4...)?
Donner l'allure réelle du cycle de la vitesse. On désignera par t'3 l'instant d'arrêt du fonctionnement du
hacheur, et t’’3 l'instant d'arrêt du moteur.
Tracer l'évolution du courant I0 dans le cycle robotique.
c. En déduire l'évolution du rapport cyclique du hacheur.
d. Donner l'évolution de la puissance fournie par le générateur continu d'alimentation du hacheur dont la
tension est VS .
e. En déduire la valeur moyenne de la puissance fournie P0 par la source d'alimentation, de la puissance
moyenne récupérée Pr. par le hacheur parallèle sur une période du cycle et du rapport k = Pr / P0.
3. On veut déterminer la fréquence et l'inductance de lissage les plus appropriées pour un bon fonctionnement
de l'ensemble.
29/68
a. Sachant que la période du hacheur doit être au moins 20 fois plus petite que la constante de temps
électrique
e
Li
R
du moteur, quelle serait la fréquence minimale de découpage du hacheur ?
b. On choisit la fréquence du hacheur = 10 kHz. Quelle est la valeur de L, inductance à placer en série avec
le moteur (dont on néglige l'influence de la résistance des bobinages) pour que la condition précédente
soit vérifiée ?
Exercice 17: Alimentation à découpage utilisant un hacheur réversible (texte d'examen)(Solution
17:)
On s'intéresse au comportement d'une alimentation à découpage destinée à assurer la charge d'une batterie
d'accumulateurs.
À partir du réseau alternatif, après redressement et filtrage, on obtient une source de tension continue,
constante, supposée parfaite de tension U = 530 V.
À partir de cette source, on veut charger une batterie de VsN = 48 V, en lui fournissant un courant nominal de IN
= 75 A.
L'alimentation à découpage consiste à utiliser un hacheur à plusieurs quadrants associé à un transformateur à
noyau de ferrite. La fréquence du hacheur est de 20 kHz.
K1 et K’2 sont des transistors de puissance commandés à l'ouverture et à la fermeture selon un cycle de période
T (fréquence du hacheur 20 kHz).
K2 et K’1 sont deux interrupteurs identiques dont la nature sera déterminée plus tard. On suppose les
interrupteurs parfaits, y compris les diodes D3 et D4.
Pour t [0, T] modulo T, les interrupteurs K1 et K’2 sont fermés, et K2 et K’1 ouverts.
Pour t [ T, T] modulo T, les interrupteurs K1 et K’2 sont ouverts.
est le rapport cyclique du hacheur.
On admet que le lissage du courant dans la bobine d'inductance L est parfait, et que le courant est constant, égal
à IsN = 75 A.
Le transformateur a pour rapport de transformation m. Le modèle est le suivant :
On donne :
–
nombre de spires au primaire N1 = 40 ;
–
nombre de spires au secondaire N2 = 8 ; L0 = 5 mH.
1. Que représente l'élément L0 ?
2. Donner les relations entre les courants i1, iL0, et i2, puis entre les tensions v1 et v2.
3. Pour t [0, T] modulo T, la diode D3 est conductrice.
a. Que valent les tensions v1, v2, v4 ? Donner les valeurs numériques.
b. Dans quel état est la diode D4 ?
c. Établir l'équation différentielle relative au courant iL0(t). La résoudre.
d. Déterminer la valeur maximale ILO Max. En déduire la valeur de qui permet d'obtenir ILO Max = 2,4 A.
30/68
e. En déduire l'expression du courant i1(t).
4. Pour t [ T, T ] modulo T, la diode D3 est bloquée.
a. Montrer qu'en bloquant à l'instant t = T les interrupteurs K1 et K’2, la conséquence en est que les
interrupteurs K2 et K’1 deviennent conducteurs.
b. Quelle est la nature des interrupteurs K2 et K’1, et donc le type de hacheur utilisé ?
c. Que vaut alors la tension v1 ? En déduire la valeur de v2 et justifier le blocage de la diode D3, et la
conduction de la diode D4.
d. Que vaut i2(t) ? En déduire l'expression de i1(t).
5. À l'instant t = T, le courant iL0(t) s'annule. Déterminer la relation entre et . Que se passe- t-il ensuite ?
6. Influence du rapport cyclique.
a. Déterminer la valeur moyenne de la tension de sortie Vs moy en fonction du rapport cyclique et du rapport
de transformation.
b. En déduire la valeur nominale N du rapport cyclique (V s N = 48V).
c. Quelle est la valeur maximale du rapport cyclique permettant une démagnétisation complète du
transformateur ?
7. À quoi sert le condensateur C ?
Exercice 18: BTS 1987 M.C.C. Alimentée par un Hacheur réversible en courant (Solution 18:)
Cette épreuve comporte trois parties, liées entre elles, mais pouvant être traitées de façon indépendante.
On se propose d'étudier une machine à courant continu alimentée par un hacheur à partir d'un réseau continu
fixe, la charge entraînée présentant un couple constant quelle que soit la vitesse.
I \ Etude de la machine à courant continu :
L'excitation, réalisée, par aimant permanents, sera supposée constante ; par ailleurs la machine est parfaitement
compensée. La f.é.m. est proportionnelle à la vitesse angulaire de rotation :
E = KE
E en volts ; en radians par seconde.
Pour cette machine, le constructeur donne les caractéristiques suivantes :
tension nominale : 200 V
courant nominal : 15 A
constante de f.é.m., KE : 0,61 V.s.rad-1
couple de pertes à 3 000 tr/min : TP = 0,7 Nm (supposé proportionnel à la vitesse
résistance de l'induit : Ra = 0,45 ;
inductance de l'induit : La = 1,6 mH
courant impulsionnel maximal : 100 A.
I-1 \ Déterminer, au point nominal, en fonctionnement moteur :
a) la vitesse de rotation : nn (tr/min) et n (rad.s-1).
b) le couple électromagnétique Tem .
c) le couple utile TU .
I-2 \ Le moteur fonctionne à vide. Calculer le courant dans l'induit par les 2 vitesses de : 3000 tr/min et 1000
tr/min.
I-3 \ La machine fonctionne en génératrice à vitesse nominale. Le moment du couple résistant total est Tr = 8
Nm. Calculer le courant d'induit et la puissance électrique échangée avec le réseau continu, lors d'un
fonctionnement en récupération.
I-4 \ A partir du point de fonctionnement nominal en moteur, on réalise un freinage en récupération à courant
induit constant Ia = 30 A et à couple Tr constant, Tr = 8 Nm. L'ensemble (rotor de la machine - charge)
présente un moment d'inertie ramené sur l'arbre de la machine
J = 0,33 kg.m2.
On négligera le couple
de pertes de la machine.
a) Ecrire l'équation différentielle régissant l'évolution de la vitesse angulaire en fonction du temps.
b) Résoudre cette équation et donner l'allure de la courbe = f (t).
c) En déduire la durée t1 nécessaire pour atteindre la vitesse nulle avec récupération.
d) Calculer l'énergie récupérée pendant la phase de freinage.
II \ Etude du hacheur alimentant l'induit de la machine à courant continu :
31/68
Soit le montage de la figure ci-contre .
iR
T1
v be1
D1
A
UR
T2
v be2
D2
i L
v
E
B
UR est une tension continue constante : UR = 200 V.
L'inductance L représente l'inductance globale de l'induit de la machine et de la bobine de lissage sans pertes :
L = 11,8 mH.
La f.é.m. E représente la f.é.m. développée par l'induit. Dans les conditions de fonctionnement, on a toujours :
0 < E < UR .
T1 et T2 sont deux transistors de puissance jouant le rôle d'interrupteurs unidirectionnels commandés à la
fermeture et à l'ouverture par leur tension vbe. les temps de commutation et l'influence des circuits d'aide à la
commutation sont négligés.
- Pour vbe > 0 : le transistor considéré est saturé,
- Pour vbe < 0 : le transistor considéré est
bloqué.
II-1 \ On commande périodiquement T1 (figure ci-contre). T2 est maintenu bloqué (vbe2 < 0). la conduction est
continue, le courant est ininterrompu dans le moteur (i > 0).
vbe1
t
T
0
T
T + T
a) Montrer que seuls T1 et D2 participent au fonctionnement en régime établi et faire les schémas utiles pour
cette étude, respectivement pour : 0 < t < T et pour T < t < T.
b) Ecrire les équations différentielles vérifiées par le courant i (t) durant chaque séquence.
c) En déduire l'expression i (t) pendant chaque séquence, en appelant Im et IM les valeurs extrêmes de i (t).
On pourra poser t' = t - T.
d) Montrer que I = IM - Im =
et E = UR : f est la fréquence du signal vbe1.
e) Application numérique : En régime établi, le hacheur fonctionne à ondulation de courant I constante et à
fréquence et rapport cyclique variables (commande par fourchette de courant), I = 1 A.
1) Calculer, pour n = 1 200 tr/min, les valeurs de et f.
2) Représenter i (t) si sa valeur moyenne vaut 15 A puis déterminer la fréquence maximale de
fonctionnement fM (on précisera la valeur correspondante de ).
II-2
\ On commande périodiquement T2 (figure ci-contre). T1 est bloqué,
vbe1 < 0. La conduction est
continue (i < 0).
vbe2
t
0
UR
T
T
T
T
T
T
T + T
v
t
0
0
i
t
I0
I1
a) En régime établi seuls T2 et D1 interviennent. En déduire les schémas utiles pour :
T < t < T.
b) Représenter l'allure de la tension v (t).
c) Ecrire la relation liant v (t), i (t) et E. En déduire que l'on a : UR =
0 < t < T et pour
.
32/68
d) En écrivant les équations différentielles vérifiées par le courant i, donner l'allure de i (t). En déduire que
l'ondulation du courant s'écrit :
U R.
On notera I0 et I1 les valeurs de i à t = 0 et t = T.
1) Pour n = 1 200 tr/min, = 30 A et f = 4 kHz, calculer , I, I0 et I1 .
2) Calculer la puissance mise en jeu au niveau du réseau (UR , iR) en précisant le sens du transfert.
3) Quel est le type de réversibilité de ce montage ?
e)
II-3 \ Les transistors T1 et T2 sont commandés de manière complémentaire. La charge peut être active.
Pour les trois valeurs du couple, on a relevé les oscillogrammes de courant.
a) Déterminer pour chaque cas, la séquence de conduction des quatre interrupteurs. Que peut-on dire de la
vitesse de rotation du groupe si a la même valeur dans les trois cas ?
b) En considérant le cas 2 quel est l'avantage d'une commande complémentaire de T1 , T2 par rapport aux
fonctionnement envisagés aux § II-1 et II-2 ?
v be1
t
0
v be2
t
0
i
cas 1
t
T
0
T1 D 1
T2 D 2
cas 2
T
i
t
i
t
0
T1 D 1
T2 D 2
0
cas 3
T1 D 1
T2 D 2
III \ Commande en courant de hacheur :
On réalise le contrôle du courant dans la machine à courant continu avec le montage de la figure cidessous. Les amplificateurs opérationnels sont alimentés sous les tensions suivantes : + VCC , 0 , - VCC . Ils sont
considérés comme parfaits :
En fonctionnement linéaire, la tension différentielle d'entrée = e+ - e- = 0.
Les courants d'entrée I+ et I- sont nuls.
En commutation : la tension de sortie vaut + VCC si e+ > e- et - VCC si e+ < e-. Le changement d'état de la sortie
lors d'un basculement est instantané.
U R = 200 V
-VCC
R3
i-
R1
T1
A1
R2
V ref
A2
v1
R6
Commande
des bases de
T1 et T2
v2
R4 R5
D1
i L
A
T2
D2
B
masse circuit
de puissance
v
s
E
masse de
l'alimentation
des A.O
i+
ee+
+VCC
v3
R1 = 10 k ; R2 = 1 k ; R3 = 50 k
R4 = 1,2 k ; R5 = 68 k ; R6 = 820
L = 11,8 mH ; s = 0,01 ; VCC = 15 V
III-1 \ Déterminer la relation liant V1 , Vref et i en fonction de R1 , R2 , R3 et s.
III -2 \
a) Mettre cette relation sous la forme : V1 = A (i - Iref) avec Iref = k Vref .
b) Exprimer et calculer A et k.
Pour la suite, on posera : j = i - Iref V1 = A j.
III -3 \
33/68
a) Déterminer la caractéristique de transfert V2 = f (V1) du montage comparateur à hystérésis réalisé
avec l'amplificateur opérationnel A2 .
b) Calculer les valeurs numériques de la tension V1 provoquant les basculements.
c) En déduire que les valeurs des seuils en courant j+ et j- sont : j+ = + 0,52 A, et j- = - 0,52 A.
III -4 \ En régime établi : E = 150 V ; Iref = 10 A ; = 0,75.
a) Justifier la valeur de ?
b) A l'instant t = 0 ; i (0) = 9,5 A et V2 = VCC . Pour quelles valeurs de i observera-t-on un basculement de
la tension V2 ?
c) Tracer l'évolution des courants i et j et de la tension V2 .
Exercice 19: Régulation de vitesse (Solution 19:)
Le dispositif représenté, destiné à réguler en vitesse un moteur à courant continu, comporte un
circuit d e c o m m a nd e, u n h ac he u r s ér i e , u n moteur à courant continu (M) et une dynamo tachymétrique
(DT).
I. Étude du moteur
Celui-ci est à excitation indépendante. Le flux est maintenu constant. La f.é.m. E est proportionnelle à la
vitesse angulaire : E = k. avec k = 1,53 V.rad-1.s .
Résistance de l'induit : R = 2,0 .
Tension nominale d'induit : U = 180 V.
Intensité nominale d'induit : I= 10 A .
Calculer pour le fonctionnement nominal
1) La force électromotrice E.
2) La vitesse angulaire et la fréquence de rotation n en tr.min-1.
3) La puissance électromagnétique Pe, et le moment du couple électromagnétique Te.
II. Étude du hacheur
1. La tension ug commande l'interrupteur électronique H. C'est une tension
en créneaux représentée sur le document-réponse situé en fin d'énoncé.
Calculer sa fréquence f et la valeur de son rapport cyclique .
2. Analyse du fonctionnement du hacheur L'interrupteur H et la diode D
sont supposés parfaits. La tension d'alimentation est : V = 300 volts.
Quand ug > 0 V, l'interrupteur H est fermé.
Quand ug < 0 V, l'interrupteur H est ouvert.
a) Donner les valeurs de uH et de u pour chacune des deux phases de fonctionnement du hacheur, sachant
que le courant dans le moteur ne s'annule jamais.
b) Représenter sur le document réponse les graphes u(t), iH(t) et iD(t).
c) Exprimer la valeur moyenne <u> de u(t) en fonction de V et de .
d) Rappeler la valeur moyenne <uL> de uL(t).
Exprimer alors <u> en fonction de E, R et <i>, valeur moyenne de i(t).
Dans les conditions du document réponse, donner la valeur de <i>. En déduire la valeur numérique de E.
e) L'ondulation du courant peut se caractériser par I m ax - I m in , où I m ax et I m in sont les valeurs
extrêmes de l'intensité du courant.
34/68
On donne :
I max I min
V 1
Lf
Indiquer deux façons de diminuer l'ondulation pour une v aleur de donnée.
Calculer la valeur de l'inductance pour avoir un fonctionnement conforme au document
réponse ci-dessous.
Exercice 20: Régulation de température (Solution 20:)
Dans ce problème, on étudie un dispositif autonome, qui perm et, en fonction de la température, de
brasser plus ou moins d'air selon le schéma fonctionnel indiqué ci -dessous.
I. Étude du comparateur
Le comparateur permet de générer les signaux de rapport cyclique variable, commandant le
hacheur. Sa structure comprend un AO considéré idéal, alimenté symétriquement entre +15 V et 15 V.
v(t) est une tension triangulaire fonction du temps, représentée sur le document -réponse.
1. Quel est le mode de fonctionnement de l'amplificateur opérationnel A2 ?
2. Quelles vont être les valeurs prises par la tension v s 2 ?
3. Écrire les conditions de basculement de v s 2 en fonction des tensions d'entrées du montage.
4. Pour la valeur intermédiaire v S 1 = 5 V, tracer ci-dessous l'allure de la tension v S 2 (t).
II. Étude du hacheur
35/68
Le transistor T utilisé possède les caractéristiques suivantes:
VCE sat = 0 V
VBE = 0,6 V , VCC = 15 V
VS2 = ±15 V La diode D est supposée idéale.
1.
L e m o n t a g e f o n c t i o n n e e n r é g i m e d e commutation (bloqué-saturé). Pour quelles valeurs de
V S 2 le transistor est-il bloqué ou saturé ?
2. Déterminer le courant IBsat, lorsque le transistor est saturé.
3. On appelle u la tension aux bornes du dipôle c o n s t i t u é p a r l e m o t e u r M e t l a b o b i n e d'inductance
L. Montrer, en faisant un schéma équivalent, que u=VCC lorsque le transistor est saturé.
4. On considère maintenant le transistor bloqué. Déterminer la tension u lorsque le transistor se bloque.
Expliquer le rôle de la diode D.
5. Compléter le document-réponse suivant, où vous tracerez l'allure de la tension u en concordance des temps
avec la tension de commande VS2
6. La valeur moyenne de u s'écrit : U VCC , où désigne le rapport cyclique. Calculer la valeur de , au vu
de l'allure de u(t). Calculer la valeur moyenne
U.
7. Quel est le rôle de l'inductance L ? Que peut-on dire de la valeur moyenne de uL(t) notée U L ?
36/68
Solutions
Solution 1: Exercice 1:BTS 1995 Etk Nouméa Hacheur série (Solution 1:)
1°)
Pour 0 < t < T, l'interrupteur H est fermé
donc v = Ub =72 V;
pour T < t < T, l'interrupteur H est ouvert,
comme l’inductance impose que le courant
continue à circuler, il passe par la diode qui est
passante donc v=0
•
•
2°)
On écrit la loi des mailles
v uL u
i
di
v L u
dt
di
di
v L u L
u
dt
dt
L
uL=Ldi/dt
Ub=72 V
u
v
charge
0
vmoy U moy
D’après le cours
Ub=72 V
U moy U b
U moy
Ub
65
0,9
72
T
v
Pour avoir umoy il faut =0,9
T U b
T
T
Ub
3°) a) Entre 0 et T le modèle équivalent revient à
u
La loi des mailles donne
L
Ub uL E 0
i
L
Ub=72 V
Umoy=E
On remplace
u L par L
di
dt
di
E
dt
di U b E
dt
L
Ub L
On se retrouve avec la dérivée d’une fonction qui est une constante donc la
fonction est une fonction affine
Ub E
t C te
L
à t 0 i (0) I min C te
i (t )
i (t )
U b U moy
Ub E
t I min ou i (t )
t I min
L
L
C’est un courant croissant qui croitra jusqu’à T où il atteindra Imax
3°)b) pour t=T on atteint Imax
37/68
U b U moy
Donc
i(T )
Donc
I I max I min
Comme
L
T I min I max
U b U moy
L
T
U moy U b alors I I max I min
Donc en remplaçant
T
U b U b
T
L
U b 1
1
et en factorisant par U b on obtient I
Lf
f
3°) c) Pour savoir où se trouve le maximum de cette fonction il faut d’abord étudier la dérivée
I ( )
d I U b d 1
d
Lf
d
2
U
d I U b d
b 1 2
d
Lf
d
Lf
d I U b
1
La dérivée s’annule lorsque
1 2 0 donc si 1 2 0 soit
d Lf
2
1
On obtient donc un maximum d’ondulation pour
2
1
1
U b 1
2
2 Ub
L’ondulation vaut alors I max
Lf
4 Lf
I ( )
I ( )
0
1/2
0
+
1
-
Ub
4 Lf
3°) d) Si l’on veut limiter l’ondulation à 2A
Ub
4 Lf
Ub
72
L
18 103
4I max f 4 2 500
I max
Il faut donc une inductance d’au minimum 18mH pour limiter l’ondulation du courant à 2 A
3°) e) E=Umoy=65 V alors que Ub=72V donc le rapport cyclique vaut
Au fonctionnement nominal la valeur moyenne
du courant est de 8 A
Donc
I
U b 1
Lf
72 1 0,9 0,9
18 103 500
65
0,9
72
0, 72
Le courant oscille autour de sa valeur moyenne
nominale soit 8 A avec une ondulation de 0,72 A.
Soit 0,72/2=0,36 A de chaque côté de 8 A.
Soit entre 8-0,36=7,64 A et 8+0,36=8,36 A.
8,36A
8A
0,72 A
7,64A
38/68
4°) Le relevé du courant se fait par le biais d’une pince ampèremétrique (ou d’une résistance de visualisation) et
un oscilloscope.
5°) a)
L’ondulation du courant en conduction ininterrompue serait de
I
U b 1
Lf
72 1 0,56 0,56
18 103 500
1,97 A
Or comme le courant moyen est de 0,42 A la valeur de Imin serait
I min I moy
I
1,97
0, 42
0,57 A <0 donc la conduction est interrompue car la diode ne peut faire
2
2
conduire un courant négatif.
U moy U b
U moy 0,56 72 40,32
5°) b) si le courant s’annule de t1 à T , donc la diode s’ouvre,
v=uL+u or uL =0 car i=0 donc v=u
la tension d’induit du moteur persiste à E= 53 V donc v=u=E
5°) c)
le courant moyen est de 0,42 A
53 V
72 V
=0,56
Rien ne
53 V
H conduit
D conduit conduit
uL
i
L
Ub=72 V
v
u
charge
0,42 A
Remarque : on peut chercher les valeurs atteintes du courant
i ( T )
I max
U b U moy
T I min I max
L
72 53
1
0,56
0 1,18 A
0, 018
500
Le temps t1 sera atteint lorsque le courant redescendra à 0
Or lors de la décroissance
t'
1,18 0, 018
0, 4ms
53
EL
di
53
i(t ') t ' I max donc le courant atteint 0 lorsque
dt
L
Comme T=2 ms , T=0,56x2=1,12 ms donc t1=1,52 ms
On peut vérifier cette valeur avec la valeur moyenne du courant
I moy
1,18 1,52
0, 448 différent de la valeur donnée de 0,42 mais cette valeur peut être issue de
2
2
l’expérience or on n’a pas pris en compte les valeurs des résistance de l’induit, et de la bobine
39/68
Solution 2: Exercice 2:Hacheur série conduction continue et discontinue
Solution 3: Exercice 3:Association hacheur dévolteur et survolteur
Solution 4: Exercice 4:BTS 1984 commande en vitesse de MCC par hacheur
1.
1.1. K = 0,955 Wb
1.2. T0 = 1,43 Nm ; Te = 9,55 Nm ; Tu = 8,12 Nm
1.3. T0 = 1,43 Nm pour tout .
2.
2.1.
moy
Te di
0 ; Vmoy = E = K
; L
K dt moy
w(t) et v(t) sont périodiques de période T :
de 0 à T : v(t) = U et w(t) = 0
de T à T : v(t) = 0 et w(t) = U
E = U ; 1000 = 0,5 ; 1500 = 0,75
di
U E
; i (t )
t m
dt
L
di
E
E
2.3. 0 E L
; i t ' t ' M ; i (t ) t T M
dt '
L
L
UT
2.4. i
1 ; i est maxi pour = 0,5
L
2.2.
U EL
2.5. L = 12,5 mH
2.6. i(t) est une dent de scie entre 3,5 A et 6,5 A, en croissance entre 0 et 0,75 T.
3.
3.1. On a i = 3 A et Imoy = I0 = 1,5 A donc on est en limite de conduction continue
3.2.
3.2.1 Comme T0 = cte pour tout , à vide Imoy = 1,5 A pour tout . Pour que la conduction soit ininterrompue il faut
que l’ondulation soit inférieure à 3 A. Or d’après la question 2.4. et avec U = 200 V, f = 1 kHz et L = 12,5 mH on a
i = 16 (1 - ). La courbe i() est une parabole dont la concavité est « vers le bas ». Son maximum est à =
0,5 et i = 4 A. Pour = 0,25 et = 0,75, i = 3 A. En conduction ininterrompue pour que la vitesse soit comprise
entre 500 et 1500 tr/mn il faut que 0,25 ≤ ≤ 0,75. Alors i ≥ 3 A donc la conduction ne peut plus être continue.
Les courbes v(t) et i(t) sont périodiques de période T :
de 0 à ’T : v(t) = U et i(t) croît linéairement de 0 à Imax.
de ’T à t0 : v(t) = 0 et i(t) décroît linéairement de Imax à 0.
de t0 à T : v(t) = E et i(t) = 0.
3.2.2 Vmoy = E puisque i(t) est périodique. La courbe v(t) montre que Vmoy. t0 = U. ’T donc :
E. t0 = U. ’T. En conduction ininterrompue on aurait E = .U donc .t0 = ’.T.
Solution 5: Exercice 5:BTS 1994 Métro HACHEUR A TRANSISTORS 4 QUADRANTS
1. Etude du fonctionnement du moteur
1-1
Etude de la tension uh :
T2 et T4 sont bloqués,
T1 et T3 sont passants de 0 à T et bloqués de T à T
1-1.1
Entre 0 et T,
T2 ,T4 sont bloqués T1 et T3 sont passants
Alors : uh = VS
uh = 300 V de 0 à T ;
1-1.2 Entre T et T,
T2 ,T4 ,T1 et T3 sont bloqués,
Le courant dans la charge est maintenu, donc il doit circuler par les seuls éléments possibles , D1 et
D3 sont opposés au sens du courant, il ne reste plus que D2 et D4 pour faire passer le courant.
40/68
D2 et D4 passantes
Donc par une loi des mailles passant par D2 et D4
uh = - V S
uh = - 300 V de T à T.
uH
VS=300
T
T
-300
1-1.3
Calcul de uhmoy,
VS T VS T T
T
V T T T
S
T
V 2 T T
S
T
VS 2 1
uh
uh
uh
uh
Alors Uhmoy > 0 si > 0,5.
Si = 2/3 Uhmoy = 100 V.
1-1.4
uh L2
On voit figure 2 que
dia
Ua .
dt
En fonctionnement périodique, la valeur moyenne de
1-2
Etude de ia.
1-2.1 Pour 0 ≤ t ≤ T :
L2
dia
étant nulle on a Uhmoy = Ua.
dt
uH
VS=300
dia
VS U a .
dt
V Ua
t m
Alors ia (t ) S
L2
Pour trouver ia
-300
T1
Vs
K
ia
K
ia
Ua
ia (T ) I M
Vs
H
L2
T3
D4
H
L2
Ua
VS U a
T m
L2
On sait de plus que
Donc I M
D2
Uh
Uh
On regarde la valeur atteinte par
ia T I M
T
T
L2
uh U a VS 2 1 que je remplace dans l’équation précédente
VS VS 2 1
L2
T m
Soit en factorisant VS : ia I M m
VS 1 2 1
L2
T
41/68
Donc ia
ia
1-2.2
2 VS 1
L2
2 300 1 2
0,1
T
3 2 1, 2 103 1, 6 A
3
Pour T ≤ t ≤ T
en posant t’ = t – T :
dia
U a Vs
dt '
di
L2 a VS 2 1 Vs
dt '
di
L2 a 2VS
dt '
L2
Alors on en déduit l’expression de ia(t)
dia
2VS
dt '
L2
ia t
2VS
t C te
L2
Le courant étant décroissant à t’=0, on est parti de IM
Alors ia t
2VS
t M
L2
D’où le graphe de ia(t) :
avec amoy = 4 A et
ia = 1,6 A M = 4,8 A et m = 3,2 A.
uH
VS=300
T
T
-300
ia
4,8
4
3,2
De 0 ≤ t ≤ 2T/3, ia(t) évolue en rampe croissante de 3,2 à 4,8 A.
De 2T/3 ≤ t ≤ T, ia(t) évolue en rampe décroissante entre 4,8 et 3,2 A.
2. Freinage
Même sens de rotation même signe pour Ua > 0 et amoy < 0.
42/68
L’onduleur de la première partie ne convient pas car les thyristors imposent 0, donc amoy > 0.
On doit donc utiliser un deuxième pont en antiparallèle (montage tête-bêche) sur le premier.
T1 et T3 resteront bloqués.
On commandera T2 et T4. Qui conduiront de T à T.
Et D1 et D3 conduiront pendant le reste du temps (D2 et D4 ne peuvent pas conduire car ils sont opposés au sens
du courant)
Pour que Uhmoy, donc Ua > 0 il faut que < 0,5.
T2
D1
D2
Uh
Vs
K
ia
D4
H
L2
Ua
T4
D3
FIGURE 2
Solution 6: Exercice 6:BTS 2007 Nouméa Etude de Hacheur parallèle
B.1 - Exploitation des chronogrammes du document réponse
B.1.1 –
TH
DH
TH
DH
1
20kHz donc f 20kHz
50 106
durée de fermeture 15
B.1.3 - H
0,3 donc le rapport cyclique est de H 0,3
période
50
B.1.2 – T = 50 µs donc
f
B.1.4 – Quand TH ne conduit pas DH conduit donc uT EC 275V
Pour trouver <uT> on peut procéder de 2 manières :
uT
275 50 15
192,5 V
50
•
L’analyse de la courbe
•
On peut se servir des données du texte : UC est constante et égale à 192,5 V
di
uT
dt
di
L
uT 192,5
dt
UC L
UC
0
43/68
6,3 5, 7
6A
2
B.1.5 - L’analyse de la courbe de iL donne iL 6,3 5,7 0,6 A
L’analyse de la courbe de iL donne
iL
B.2 - Valeur de L
B.2.1 –Entre 0 et 15 µs , T conduit donc uT=0 et UC = uL
Entre 0 et 15 µs la bobine étant soumise à la tension uC.
La tension aux bornes de la bobine vaut
Donc
UC L
diL
.
dt
diL U C
dt
L
En intégrant l’expression
iL (t )
UC
t cte
L
I min
UC
0 cte donc
L
te
Comme le courant croit, il part de sa valeur minimale soit iL (0) c I min
La constante est trouvée en cherchant la valeur de
iL (0)
B.2.2 – En regardant aux extrémités de cette équation.
L’équation fait apparaître un coefficient directeur positif donc la courbe décrit la phase de croissance du
courant.
Le courant va donc croître :
• de Imin pout t=0
• à Imax pour t=T.
iL (T )
U
U
UC
T I min I max . i I max I min C T i C
L
Lf H
L
B.2.3 – On déduit de l’expression précédente
L
U C
192,5 0,3
4,8 mH
i f 20 103 0, 6
Donc l’inductance est L = 4,8 mH
B.3 - Constitution de la bobine
B
B
e
L f N iL
µ0
µf
e = 2,3 mm
Lf = 20 cm
S = 1 cm2
N = 300
µo = 4.10-7 SI
µf de la ferrite est infinie.
B.3.1 – Le flux à travers la section du matériau ferromagnétique est
SB
et
B
B
e
L f N iL
µ0
µf
Lf
N iL
S µ0 µ f
S N iL µ0
S N iL µ0
S N iL
Donc
donc
Lf
e
e
e
µ0
µf
Donc
e
négligeable
B.3.2 –On nous rappelle que L
B.3.3 – Calcul :
L
S N 2 µ0
N
en remplaçant dans l’expression précédente L
e
iL
1104 3002 4 107
4,9 mH Donc L = 4,9 mH Proche du résultat de la question B.2.3.
2,3 103
44/68
- Charge de la batterie : Hacheur série
EB = 96V
<i'L> = 5A
UC = 192,5 V
Le transistor T'H est commandé par le système de contrôle :
il devient passant lorsque i'L descend à 4A,
il se bloque lorsque i'L atteint 6A.
On donne L' = 1 mH .
D.1.1 – Si T’H conduit L’ est soumis à la tension UC-EB donc
L'
diL
U C EB et i’L croit car
dt
UC - EB = 192,5-96 > 0
Si T’H ne conduit pas donc D’H conduit donc L’ est soumis à la tension EB donc
L
diL
EB donc i’L
dt
décroit
D.1.2 –
Le problème nécessite de savoir en combien de temps s’effectue la croissance et la décroissance du
courant.
Pour cela on peut chercher au bout de combien de temps les équations différentielles atteignent les
extrêmes.
• Pour que l’on croisse de 4 à 6 A donc iL 2 A , on obéit à la première équation différentielle trouvée :
L'
i
iL
2
diL
1103
2, 07 105 soit
U C EB . Donc U C EB L L t1 L
t1
U C EB
192,5 96
dt
20,7 µs
•
La phase de décroissance de 6 à 4 A, on obéit à la deuxième équation différentielle trouvée
Or EB L
iL
i
2
t2 L L 1103
2, 08 105 soit 20,8 µs
t2
EB
96
Donc T t1 t2 2, 07 10
5
2, 08 105 4,15 105 soit f=24kHz
On peut aussi procéder à une autre approche :
EB
0,5
UC
u
u
Comme on a démontré en question B.2.2. i C f C
donc appliqué à notre montage
Lf
i L
E
96 0,5
f B
24 kHz soit f=24kHz
i L 2 1103
Si l’on se souvient que
EB UC on en déduit
45/68
D.1.3 D.2 - Production d'une tension sinusoïdale
D.2.1 –
(1) impossible (96 V à la charge
impossible)
(2) OK
(3) impossible (d’avoir 0V)
(4) impossible (96 V à la charge
impossible)
(5) impossible (d’avoir 0V)
(6) OK
D.2.2 -
N 2 U 2 f 230
5, 75 .
N1 U1 f
40
D.2.3 - Lf, Cf filtre les harmoniques et laisse donc passer le fondamental
Solution 7: Exercice 7:BTS 2003 Nouméa Etude de Hacheur
2.1. Etude en traction
2.1.1. La conduction d’une diode se détermine par l’étude de la tension de celle-ci : uD’
La loi des mailles permet d’écrire V= uKtr - uD’
Comme Ktr est fermé uKtr=0
Donc uD’=-V < 0 donc D’ est bloquée.
2.1.2. D’ est bloquée sur toute la période , lorsque H est bloqué cela entraine la mise en conduction de D. Les
intervalles où les interrupteurs conduisent sont hachurés sur le document réponse 1
46/68
Aire T V
V donc UO V
T
T
On a u E uL soit en valeur moyenne u E uL E U 0
2.1.3. La valeur moyenne de u est
UO
0
car la valeur moyenne de la tension aux bornes d’une bobine est nulle.
U0 E
2.1.4. Lorsque H est passant, entre 0 et T, uH=0 et comme :
v uH uD alors uD v
Lorsque H est bloqué, entre T et T, D est passante donc uD=0, uH=V
2.1.5. Lorsque H est passant, iH=i, 0 sinon.
Lorsque D est passante, iD=i, 0 sinon
En passant par les aires on détermine les valeurs moyennes
1
IM Im
I I
I Im
2
I H0 M m
I H0
M
I donc
2
T
2
1
1 TI m 1 T I M I m
I Im
2
I D0
1 M
1 I
T
2
IM Im
donc I D0 1
2
TI m T
2.1.7. Entre 0 et T, la loi des mailles nous donne
47/68
u L1
di
E
dt
V 1
di uL1 V E V 1
t Im
donc i (t )
L1
dt L1
L1
L1
V L1
A t=T, on atteint le maximum donc i ( T ) I M
V 1
L1
T I m
On en déduit donc l’ondulation du courant
i I M I m
i
2.1.7. A.N.
V 1
T
L1
V 1
f L1
L1
V 1 375 0, 75 1 0, 75
0, 00469 H
f i
300 400 350
L’inductance nécessaire est de L1 = 4,7mH
2.2. Etude en phase de freinage
2.2.1. de 0 à T, seuls H et D’ peuvent être passants.
La maille dans laquelle circule le courant est
2.2.2. de T à T, H ouvert, seules D et D’ peuvent être passantes.
La maille dans laquelle circule le courant est
2.2.3. Comme évoqué plus haut
2.2.4.
La valeur moyenne de u se calcule immédiatement :
U0 1 V
2.2.5. Entre 0 et T , d’après la question 2.2.1. j(t)=0
Entre T et T, d’après la question 2.2.2. j(t)=-i(t)
Im IM
2
La valeur moyenne de j(t) vaut J 0 1 I 1
2.2.6. L’expression de P0 est
P0 V j (t ) V j (t )
48/68
Donc P0 V J 0 0
La source reçoit de la puissance, la MCC fonctionne donc en génératrice
2.2.7. Application numérique :
I I
300 325
P0 V 1 m M 375 1 0,1
105,5 kW
2
2
La MCC restitue donc 105,5 kW
Solution 8: Exercice 8: BTS 2002 Métropole Etude de Hacheur en conduction ininterrompue
1°) Hacheur simple
1.1)
Pour 0<t<T : G1 fermé donc uG1= 0
1.2)
Pour T <t<T : G1 ouvert donc uG1= E
1.3)
La loi des mailles donne
uG1 uL V
Donc
uG1 uL V
O
Soit
1.4)
V
uG1 V
Tracé de uG1
On en déduit la valeur moyenne de uG1
uG1 1 E
1.5)
On en déduit
uG1 V
uG1 1 E
Donc
V 1 E soit E
V
1
Application numérique :
1.6)
V
1,5
1
0, 455
E
2, 75
Equation différentielle du courant de 0 à T (G1 fermé)
La loi des mailles nous donne
diL
dt
diL V
Donc
donc c’est équivalent à
dt L
y a y( x) a x C te
V
te
Donc iL (t ) t C
L
V
iL (0) 0 C te C te
L
L
V uL L
D2
i1
uG1
V
id2
E
G1
C0
Charge
1
iG1
La constante est la valeur de départ (t=0) et sachant que le
courant croit par la suite (E/L>0) alors on pourra prendre
49/68
pour constante
1.7)
iL (t )
V
t imin
L
Equation différentielle du courant de T à T (G1 ouvert)
La loi des mailles nous donne
V E uL
di
V EL
dt
diL V E
Donc
dt
L
V E
Donc iL (t )
t C te
L
L
D2
i1
uG1
V
id2
E
G1
C0
Charge
Donc
iL (0) imin
iG1
On considère le temps t’ qui commence à T
Donc t’=t-T
iL (0)
V E
0 C te C te
L
La constante est la valeur de départ (t=0) et sachant que le
courant décroit par la suite (E>V) alors on pourra prendre
pour constante iL (0) imax
V E
t imax
L
V
De plus on sait que E
1
V
V
1 t i
Donc iL (t )
L max
L
V
1
Soit iL (t ) 1
t iL max
L 1
Donc
iL (t )
On met au même dénominateur
V 1 1
t imax
L 1
V
Donc iL (t )
t imax courbe décroissante
L 1
Et iL (t ) est donné en changeant t’=t-T
iL (t )
Donc iL (t )
1.8)
V
t T imax
L 1
Tracé de iL et iG1
50/68
1.9)
Ondulation du courant
V
t imin atteint son maximum pour T
L
V
V
Donc iL ( T ) imax T imin donc imax imin T
L
L
V
i i
1V
Donc iL max min
T soit iL
2 Lf
2
2L
Le courant
iL (t )
Si =0,45
Alors
iL
0, 45 1500
225 A
2 5 103 300
2°) Hacheur à commande décalée
2.1)
Représentation de i’1(t)
2.2)
La loi des nœuds donne
i i1 i1
La fréquence de l’ondulation est double de celle de i1 soit 600 Hz
51/68
2.3)
2.4)
Pour 0<t<T :
di1 V
di V
et 1
dt L
dt 1 L
di di1 di1
Comme i i1 i1 alors
dt dt dt
di V
di V
V
1
Donc
soit
dt L 1
dt L 1 L
di 1 2 V
Donc
dt 1 L
i 1 2 V
Pour 0<t<T : on voit que 2
t 1 L
t T
1 2 V
2 i
T
1 L
1 1 2 V
T
Avec i
2 1 L
i
1 2
2 Lf
V
1
E
2.5)
Pour =0,45 : on obtient
i
i
1 2
2 Lf
E
0, 45 1 2 0, 45
2 5 103 300
i 41,3 A
2750
L’ondulation est bien réduite
Solution 9: Exercice 9:BTS 2000 Nouméa Convertisseur en Hacheur
On reconnaît ici la structure d'un hacheur 2 quadrants réversibles en courant avec commande complémentaire.
Cette commande permet d'avoir la même allure pour la tension U0 et le courant i que l'on soit en génératrice ou
en moteur.
C'est le signe de I qui va s'inverser lors du passage entre les deux fonctionnements.
A.1.1)
2
nN
60
L'équation de l'induit appliquée au point nominal donne : EN U N RI N 350 110 340
La constante de vitesse K intervient dans la relation : E = K avec
N
La fem du moteur est donc de 340 V
La constante de vitesse K vaut :
K
U N RI N
350 110
soit K
1, 62
2
2
nN
2000
60
60
La constante K vaut 1,62 V.rad-1.s
A.1.2)
La relation entre le moment du couple et le courant est:
Tem K I
A.1.3)
TemN K I N 1,62 10 16, 2 Nm
Le couple nominal est de 16,2 Nm.
52/68
A.2) On néglige R. La présence de l'inductance va lisser le courant d'induit et on aura affaire à des portions de
droites.
A.2.1) En fonctionnement moteur. D1 et T4 ne peuvent être passants (à cause du sens du courant). Les
composants susceptibles d'être passants ne peuvent être que D4 et T1. Vu la séquence de commande :
T1 sera passant de 0 à T, D4 de T à T
A.2.2) Donc entre
0 et T :
T1 passant donc
uM = UO
Et entre
T et T :
D4 passant donc
uM = 0.
uM
U0
T
A.2.3)
La relation entre uM et E est donnée par la loi des mailles : uM = uL + E
E étant considéré comme lissé.
En passant aux valeurs moyennes, on obtient: <uM>= <uL> + E = E
Donc <uM>= E car la valeur moyenne de la tension aux bornes d'une inductance est nulle.
La valeur moyenne de uM vaut : <uM> = Uo (en passant par le calcul d'aire).
La f.é.m. E a pour expression :
E=U0
E = 0,6 x 480 = 288 V
Donc la fem E est de 288 V
A.2.4)
Pour trouver l'équation différentielle qui régit le courant i, remplaçons
l'équation (2) :
Soit
uM L
di uM U 0
dt
L
i(t )
U 0 1
L
di
, et E par Uo dans
dt
di
U 0 .
dt
Entre 0 et T : uM = U0.
L'équation précédente devient
Donc
uL L
c
t C te
Comme à t=0 : i(0)= Imin alors
A t=T: i(T)=Imax donc
i(t )
U 0 1
i(T ) I max
U 0 1
t I min
L
U 1
0
T I min
L
T et en remplaçant T par 1/f
L
U 0 1
On obtient : I
L f
U 0 1 480 1 0, 6 0, 6
3, 2 A
Application numérique : I
L f
18 103 20 103
Donc
I I max I min
53/68
Imax
I
Imin
T
T
Comme I = 3,2 A alors que I = 10 A , Imax est alors égal à 10+1,6= 11,6 A et Imin=10-1,6= 8,4 A
A.3) Etude du fonctionnement à vide
A.3.1)
La machine est à vide donc le moment du couple résistant est nul. Comme on néglige toutes les pertes
(donc on néglige le couple de pertes) : Te = Tr = 0 ; donc, d'après la relation couple courant pour une
machine à courant continu Te =KI =0 donc I = 0 A.
A.3.2)
Imax
I
T
T
Imin
Comme I = 3,2 A est inchangé, les valeurs minimale Imin et maximale Imax du courant i(t) valent : Imin =1,6 A et Imax=+1,6 A
A.3.3)
Imax
I
T
T
Imin
T1
D1
T4
D4
Afin de tracer i(t), il nous reste à déterminer les instants t1 et t2 où i s'annule respectivement entre 0 et T et
T et T.
La période T est de 50 µs donc T= 30 µs soit t1=15 µs et t2 = 40 µs
A.4) Fonctionnement en génératrice
La machine fonctionne en génératrice tout en conservant le même sens de rotation : il y a inversion du moment du
couple électromagnétique donc du courant.
Le courant i est alors négatif. Compte tenu des valeurs indiquées de sa valeur moyenne et de son ondulation, il ne
s'annule pas sur une période.
T1 et D4 ne peuvent alors pas être passants.
De plus, entre 0 et T, T4 n'est pas commandé, seule D1 peut alors être passante.
Entre T et T, T4 sera passant.
A.4.1)
L'équation différentielle qui régit le courant est toujours l'équation:
di uM U 0
dt
L
(On sait toutefois que le courant est négatif).
- Entre 0 et T : D1 est passante. On a alors : uM = U0, et l'inductance se charge.
L'équation devient :
di(t ) U 0 1
.
dt
L
Le courant i(t) a pour expression :
i(t )
U 0 1
Avec Im = -11,6 A.
L
t Im
- Entre T et T : T4 est passant donc uM = 0. L'équation devient :
Le courant i(t) a pour expression :
i(t )
U 0
L
U 0
di(t )
E
dt
L
L
t T I M
54/68
Avec IM = -8,4 A.
A.4.2)
uM
U0
T
T
i
T
T
T
T
Imax
I
Imin
is
Imax
I
Imin
D1
T4
A.4.3)
On constate que i et u ont la même allure qu’en fonctionnement moteur. La relation entre E et uM est la même
donc la relation entre les valeurs moyennes aussi : Donc
E U0
Solution 10: Exercice 10:BTS 2000 Métropole Excitation Alternateur par Hacheur dans Airbus A320
1°) Etude de l’inducteur de l’excitatrice
v1 U0
de T à T: H ouvert donc v1 (t ) 0
1.1°) de 0 à T : H fermé donc
V1(t)
U0
0,6T
1.2° ) D’après le graphique
v1
T
U 0 T
U 0 0, 6 140 84V
T
di1
R1 i1
dt
di (t )
v1 (t ) L1 1
R1 i1 (t )
dt
1.3°)
v1 (t ) L1
0
V1 U 0 R1 i1 (t )
I1
I1
U 0
R1
0, 6 140
9,3 A
9
2°) Etude des variations de courant
2.1°) Entre 0 et T : H fermé donc
U 0 L1
di1
R1 i1
dt
55/68
Entre T et T : H ouvert donc D conduit donc
2.2°)
0 L1
di1
R1 i1
dt
L1 0,1
1
1
0, 011 T
5 104
R1
9
f 2000
Comme la constante de temps est très grande les portions d’exponentielles croissantes et décroissantes
(solutions des équations différentielles trouvées précédemment) sont assimilables à des portions de droite.
V1(t)
U0
0,6T
2.3°)
I ( )
T
U d 1
d I
0
d 2 L1 f
d
2
U0 d
U
d I
0 1 2
d 2 L1 f
d
2 L1 f
U
d I
1
0 1 2 0 donc si 1 2 0 soit
La dérivée s’annule lorsque
d 2 L1 f
2
1
On obtient donc un maximum d’ondulation pour
2
11
U 0 1
2 2 U0
L’ondulation vaut alors I max
2 L1 f
8L1 f
I ( )
I ( )
I max
0
+
1/2
0
1
-
U0
8 L1 f
U0
140
0, 087
8L1 f 8 0,1 2000
56/68
Solution 11: Exercice 11:Hacheur Série : Conduction continue - conduction discontinue (Solution 11:)
Solution 12: Exercice 12:BTS 1995 Etk Métro Hacheur 4 quadrants
1°)
1-a)
1-b)
1-c)
Pour 0 ≤ t ≤ T : u = Ua. Pour T ≤ t ≤ T : u = - Ua.
Umoy = (2 - 1).Ua.
Pour 0 ≤ < 0,5 : Umoy < 0 ; pour = 0,5 : Umoy = 0 ; pour 0,5 < ≤ 1 : Umoy > 0.
2°) Remarque préliminaire : L’énoncé précise : « i(t) évolue entre une valeur minimale m et une valeur maximale
M : la conduction est ininterrompue ». Ce fonctionnement est impossible sans la présence d’une inductance de
57/68
lissage en série avec le moteur. En effet, le modèle équivalent au moteur étant l’association en série d’un
électromoteur E et d’une résistance R, la discontinuité de la tension u entraînera celle de i(t). Nous supposerons
donc la présence d’une inductance L « suffisante » en série avec le moteur.
2-a)
Cas 1 : Pour 0 ≤ t ≤ T : u = Ua ; pour T ≤ t ≤ T : u = - Ua ; Umoy > 0
Cas 2 : Pour 0 ≤ t ≤ T : u = Ua ; pour T ≤ t ≤ T : u = - Ua ; Umoy > 0
Cas 3 : Pour 0 ≤ t ≤ T : u = Ua ; pour T ≤ t ≤ T : u = - Ua ; Umoy < 0
Cas 4 : Pour 0 ≤ t ≤ T : u = Ua ; pour T ≤ t ≤ T : u = - Ua ; Umoy < 0
2-b)
Cas 1 : Pour 0 ≤ t ≤ T : i(t) croît exponentiellement de m à M ; pour T ≤ t ≤ T : i(t) décroît
exponentiellement de M à m ; moy > 0.
Cas 2 : Pour 0 ≤ t ≤ T : i(t) croît exponentiellement de m à M ; pour T ≤ t ≤ T : i(t) décroît
exponentiellement de M à m ; moy < 0.
Cas 3 : Pour 0 ≤ t ≤ T : i(t) croît exponentiellement de m à M ; pour T ≤ t ≤ T : i(t) décroît
exponentiellement de M à m ; moy < 0.
Cas 4 : Pour 0 ≤ t ≤ T : i(t) croît exponentiellement de m à M ; pour T ≤ t ≤ T : i(t) décroît
exponentiellement de M à m ; moy > 0.
2-c)
Cas 1 : fonctionnement en moteur
Cas 2 : fonctionnement en génératrice
Cas 3 : fonctionnement en moteur
Cas 4 : fonctionnement en génératrice
2-d)
Cas 1 : Pour 0 ≤ t ≤ T : H1 et H3 conduisent ; pour T ≤ t ≤ T : D2 et D4 conduisent.
Cas 2 : Pour 0 ≤ t ≤ T : D1 et D3 conduisent ; pour T ≤ t ≤ T : H2 et H4 conduisent.
Cas 3 : Pour 0 ≤ t ≤ T : D1 et D3 conduisent ; pour T ≤ t ≤ T : H2 et H4 conduisent.
Cas 4 : Pour 0 ≤ t ≤ T : H1 et H3 conduisent ; pour T ≤ t ≤ T : D2 et D4 conduisent.
3°) Commande des interrupteurs
3-a)
v13 = VCC entre 0 et t1 ; v13 = - VCC entre t1 et T/2 – t1 ; v13 = VCC entre T/2 – t1 et T ; v24 = - v13.
3-b)
V
t1 T C
4 VTM
3-c)
T = T/2 + 2.t1.
3-d)
VC
U
1
et H a .
VTM
2 2 VTM
58/68
Solution 13: Exercice 13:QCM
1) a-b-d
59/68
2) b-c-d
3) a-b-d
4) a-b-c-e
5) a-c-d-e
6) a-b
7) a-c
Solution 14: Exercice 14:Ondulations en tension et en courant d'un hacheur série
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Solution 15: Exercice 15:Hacheur parallèle alimentant une batterie d'accumulateurs (Solution 15:)
1°)
diL
diL
de 0 à T: T fermé E L dt vK E L dt
0
de T à T: T ouvert E L diL v v E L diL v
D
S
S
dt
dt
0
E
Quand T fermé : i1L t t iL (0)
L
Quand T ouvert :
Comme RC est une charge de tension donc la fluctuation de la tension est faible et peut être considérée
diL
VSmoy .
dt
E VSmoy
Donc i2 L (t )
t C te
L
constante
EL
En changeant de variable (comme
t t T ) iL (t )
E VSmoy
L
t T C te
La constante est telle que le courant atteint lorsque T était fermé (soit au temps T) servira de point de
départ à cette nouvelle équation du courant.
Donc
iL T
E VSmoy
E
E
T iL (0) soit iL (t )
t T T iL (0)
L
L
L
La condition nécessaire pour atteindre le régime permanent est telle qu’il n’y ait plus de variation
de la valeur moyenne de iL donc que iL (T ) iL (0) .
61/68
E Vsmoy
E
T T T iL (0) iL (0)
L
L
E Vsmoy
E
Donc
T T T 0
L
L
Soit iL (T )
iL(t)
iL t
E
t iL (0)
L
iL(t’)
i(T)
i(0)
t’
T
T
t
2°) Simplifions
E Vsmoy
E
T T T 0
L
L
E Vsmoy
E
Factorisons par T : T
1 0
L
L
E Vsmoy
E
Puis par L :
1
L
L
E Vsmoy 1 E
Vsmoy 1 E 1 E
Vsmoy 1 E E 1
Vsmoy
E 1
1
Vsmoy
E
1
Si tend vers 1 théoriquement Vsmoy tend vers l’infini (donc courant infini, destructif pour le transistor)
3°) Vs moy
E
1
rL
R 1
Si on prend la tension moyenne aux bornes du transistor
Vkmoy 1 Vsmoy
62/68
Solution 16: Exercice 16:Machine en cycle robotique associée à un hacheur réversible
63/68
Solution 17: Exercice 17:Alimentation à découpage utilisant un hacheur réversible (texte
d'examen)(Solution 17:)
64/68
Solution 18: Exercice 18:BTS 1987 M.C.C. Alimentée par un Hacheur réversible en courant
I Etude de la MCC
I-1) nn = 3025 tr/mn ; Tem = 9,15 Nm ; Tu = 8,44 Nm
I-2) 3000 = 1,15 A ; 1000 = 0,383
I-3) = 12 A ; P = 2,25 kW
d
26,3 ; = 317 – 79,7 t ; t1 = 4 s ; WR = 9900 J
dt
di
di
II-1-2) UR E L
; 0 EL
, en posant t’ = t - T
dt
dt'
U E
E
II-1-3) i R
t m ; i t ' M
L
L
U E
ET
II-1-4) On écrit qu’à t = T, i = M i R
. En
T ; On écrit qu’à t’ = (1 - )T, i = m i 1
L
L
I-4) J
comparant les deux expressions, on tire : E = UR.
II-1-5) = 0,383 ; f = 4 kHz ; i(t) est périodique, de période T = 0,25 ms. La courbe représentative est décrite
par deux segments de droite : l’un allant de {0 ms, 14,5A} à {95,8 µs, 15,5A}, l’autre allant de {95,8µs, 15,5A} à
{0,25 ms, 14,5A}.
fM = 4,24 kHz ; M = 0,5.
II-2-2) v(t) est nulle de 0 à T et égale UR de T à T ; v E L
obtient UR
E
.
1
II-2-3) De 0 à T : i
di
Vmoy = E et avec la courbe de v(t) on
dt
U E
E
t 0 ; de T à T : i R
t'1 i
L
L
II-2-4) = 0,617 ; i = 1 A ; 1 = - 30,5 A ; 0 = - 29,5 A ; P = - 2300 W ; La puissance transite de la machine vers
le réseau ; montage réversible en courant.
65/68
II-3-1) cas a : T1 quand i augmente puis D2 quand i diminue
cas b : D1 quand i < 0 augmente, puis T1 quand i >0 augmente, puis D2 quand i >0 diminue, puis T2 quand i < 0
diminue.
cas c : D1 quand i augmente puis T2 quand i diminue.
Même vitesse dans les trois cas.
II-3-2) Permet une conduction continue dans la machine.
III-3-1) v 1
R3
R
si 3 Vref
R2
R1
III-3-2) A
R
R3
s A = 0,5 ; k 2 k = 10 -1
R 1s
R2
III-3-3) V1 = 0,26 V et – 0,26 V sont les seuils de basculements valeurs de j+ et jIII-3-4) Pour 0 ≤ t ≤ T : i(t) évolue linéairement de 9,5 à 10,5 A ; j(t) évolue linéairement de –0,52 à +0,52 A ;
v(t) est constant et égal 15 V.
Pour T ≤ t ≤ T : i(t) évolue linéairement de 10,5 à 9,5 A ; j(t) évolue linéairement de +0,52 à -0,52 A ; v(t)
est constant et égal -15 V.
Solution 19: Exercice 19:Régulation de vitesse
I. Moteur
I.1) Le modèle de l’induit du MCC donne
Donc E 180 2 10 160V
E U RI
E 160
60
60
105 rad .s 1 soit n
105 1003 tr/min
k 1,53
2
2
I.3) Pem E I 160 10 1600W
P
1600
Te em
15, 2 Nm
105
I.2)
II. Hacheur
II.1.
f
1
1
400 Hz
T 2,5 103
Le rapport cyclique est de
T
T
II.2. a)
ug > 0 V, l'interrupteur H est fermé
uH = 0
u=V
1,5
0, 6
2,5
ug < 0 V, l'interrupteur H est ouvert
uH = V
u= 0
II.2.
66/68
V T
V
T
0
c)
u
d)
uL
u E Ri L
di
dt
u E Ri L
di
dt
u E Ri L
di
dt
uL 0
u E Ri
u ER i
Comme la vitesse est constante E est
constant .
R est constant donc on peut le sortir de la
moyenne.
La lecture de la courbe donne imin=9 A et imax=11 A
T
Aire 1
i
i (t ) dt
T
T 0
triangle
i
Base hauteur
2
2,5
rectangle
ou plus rapidement
i
imax imin 9 11
10 A
2
2
2,5 2
2 10 A
i
2,5
Comme u E R i
9 2,5
Alors
E U R i
E V R i
E 0, 6 300 2 10 160V
e)
I max I min
V 1
Lf
Pour réduire l’ondulation du courant on peut :
• Augmenter L afin de lisser davantage le courant
• Augment f afin de limiter la variation du courant
L
V 1
i f
1
T
0, 6 300 1 0, 6
0, 09
1
2
2,5 103
L’inductance correspondant aux mesures du texte est de 90 mH
67/68
Solution 20: Exercice 20:Régulation de température (Solution 20:)
68/68
