ANALYSE VII
Cheikh Pouye
December 2, 2022
Chapitre 2: Applications lin´eaires et multilin´eaires continues.
Important:
Dans tout ce Cours, Aicha 1d´esigne une Valeur infiniment petite (´equivalente
`a ε > 0) et Idrissa 2une Boule de centre 0 et de rayon 1 (Idrissa=BE(0,1)).
1 Applications Lin´eaires continues
1.1 Definition
Soient E et F deux espaces vectoriels norm´es sur un corps K=R(ou C) une
application T:E→Fest dite lin´eaire si T(αx +βy)=αT x +βT y ∀x, y ∈Eet
α, β ∈K. Si F=Ki.e si T:E→Klin´eaire, on dit que T est une forme lin´eaire
sur E.
1.2 Exemples
1.2.1 Exemple 1
Soit E=l1et T:E→Epar: T(x) = (0, x1,x2
2,x3
3, ...) pour tout x=
(x1, x2, x3, ...) alors T est lin´eaire.
1.2.2 Exemple 2
Soit E=C([a, b],R) l’espace des fonctions continues sur [a,b]. Alors T:E→R
par T(f) = Rb
af(t)dt est lin´eaire.
1.2.3 Exemple 3
Soit E={U∈C([a;b]), U d´erivable }Alors T(U)=U’ d´efinit une application
lin´eaire.
1Aicha: nom d’une belle fille de la L3 MA
2Idrissa: nom d’un vaillant d´el´egu´e de la L3 MA
1
1.3 Proposition
Soit T:E→Fune application lin´eaire alors:
1. T(0)=0 et Im(T) est un sous espaces vectorielles.
2. T est injectives si et seulement si T(x)=0⇔x= 0
Je sais que vous me croyez mais n’empˆeche je vais prouver mes dire:
Aloooooors.
Preuve
a).T(0)=(0) : Je vous laisse jouer avec
b). Montrons que Im(T) est un sous espace vectoriel de F.
Soit U,V ∈Im(T), λ∈K. On montre que U+λV ∈Im(T). Soit x∈Etel
que U=T(x) et y ∈Etel que U= t(y). On a: U+λV =T(x) + λT (y) =
T(x) + T(λy) = T(x+λy). Or (x+λy)∈E⇒U+λV ∈Im(T). Or 0 ∈Im(T)
donc Im(T) est un sous espace vectoriel de F.
1.4 D´efinition
Soit E et F deux espaces vectoriels norm´es. Une application lin´eaire T:E→F
est dite born´ee si T(Idrissa) est born´ee dans F.
Il est connu que toute application continue est born´ee sur tout ensemble born´e
en particulier sur Idrissa. En revanche, une application born´e sur Idrissa n’est
pas forc´ement continue sauf si elle est lin´eaire. On le montre dans le th´eor`eme
suivant.
1.5 Th´eor`eme
Si T:E→Fune application lin´eaire. Alors les assertions suivantes sont
´equivalentes.
(i) T est Continue
(ii) T est continue en 0
(iii) Il ∃M⩾0/||T(x)||F⩽M||x||E∀x∈E
(iv)T est born´e
Comme vous lisez d’une fa¸con bizarre, on va faire la preuve .
Preuve (i)⇒(ii) : Mˆeme un peulh sait faire ¸ca alors on avance mon
fils
(ii)⇒(iii) ?
On suppose par contradiction (iii) est faux. Donc ∀n∈N∗,∃xn∈E/||T(x)||F>
n||xn||E(*)
2
Posons Un=xn
n||xn||E.
Alors ||Un||E=1
n→0 c’est `a dire Un→0. Donc d’apr`es (ii) T(Un)→0. Or
T(Un) = T(xn
n||xn||E)>1 d’apr`es (*). Ce qui est absurde. D’o`u (iii) est vraie
A pr´esent arrˆetons de mettre ”donc” partout et montrons que (iii)
⇒(iv)
(iii)⇒(iv) ?
On a ||x||F⩽M||x||F,∀x∈E⇒T(Idrissa)⊂B(0, M)⇒T est born´ee.
(iv)⇒(i) ?
Soit x0∈E, on veut montrer que T est continue en x0. Comme T est born´ee,
∃M > 0/||T|| ⩽M, ∀x∈Idrissa.
Posons δ=Aicha
1+M.
On a : ∀x̸=x0,x−x0
||x−x0|| ∈Idrissa ⇒ ||T(x)−T(x0)||F⩽M||x−x0||E. Donc
||x−x0|| < δ ⇒ ||T(x)−T(x0)|| < Mδ ⇒ ||T(x)−T(x0)|| < M(Aicha
1+M). D’o`u
||x−x0|| < δ ⇒ ||T(x)−T(x0)|| < Aicha ⇒Test continue en x0par cons´equent
T est continue.
Remarque
L’ensemble des application lin´eaires continues(born´ees) de E dans F est un es-
pace vectoriel.
1.6 D´efinition
Soit E et F deux espaces vectoriels norm´es r´eels.T:E→Flin´eaire. On d´efinit
la norme T par: ||T||α(E,F )= inf {K⩾0,||x||F⩽K||x||E,∀x∈E}
1.7 Th´eor`eme
Soient (E, ||.||E) et (F, ||.||F) deux espaces vectoriels norm´es et T∈L(E, F ).
Alors ||T||α(E,F )=sup||x||E(||T(x)||F) = supx̸=0 ||T(x)||F
||T(x)||E.
Que vous me croyez ou non je ne vais pas faire de preuve
Remarque: Important
C’est important ou bien c’est pas important ?
Donc c’est important !
D’apr`es la d´efinition, pour T∈L(E, F ) on a:||T|| est la plus petite constante
satisfaisant ||T(x)||F⩽||T||||x||F∀x∈E
Par cons´equent ∀M⩾0/||T(x)||F⩽M||x||E∀x∈Eon a: ||T|| ⩽M
Exemple
Soit T:l1⇒l2/T (x) = (0, x1,x2
2,x3
3, ...)∀x= (x1, x1, x3, ...) . Montrons que T
est continue et calculons ||T||
Preuve encore c’est vraiment fatigant.
Combien l’heure ?
Preuve
on a x∈l1.||T(x)|| =||(0, x1,x2
2,x3
3, ...)||l2= (P∞
i=1
x2
i
i2)1
2. Or 1
i2⩽1,∀i⩾1.
Donc||T(x)|| ⩽(P∞
i=1 xi2)1
2=||x||. D’o`u ||T|| ⩽||x|| par cons´equent T est
3
continue.
Le reste est calculatoire.
1.8 Th´eoreme
Soient E et F deux espace vectoriels norm´es. Si F est un espace de Banach alors
L(E, F ) est un espace de Banach.
Corollaire
L’espace E’ des formes lin´eaires et continus E est un espace de Banach.
1.9 Th´eoreme
Soient E, F, G trois espaces vectoriels norm´es. Soient P∈L(F, G) et Q∈
L(E, G) on a:
(i) P◦Q∈L(E, G)
(ii) ||P.Q|| ⩽||P|| ∗ ||Q||
End
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