Recherche Opérationnelle : Cours Simplex, PERT, MPM

DI GALLO Frédéric
Recherche opérationnelle
et aide à la décision
Cours du Cycle Probatoire
Cours dispensé par Anne-Marie BACHAS.
CNAM Aix-en-Provence 2001-2002
Simplex
PERT
MPM

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INTRODUCTION
I. PRESENTATION DE LA RECHERCHE OPERATIONNELLE ................................................. 7
II. DOMAINES D'APPLICATION ........................................................................................... 7
2.1) Les problèmes combinatoires ................................................................................. 7
2.2) Les problèmes aléatoires ........................................................................................ 7
2.3) Les problèmes de concurrence ............................................................................... 7
III. PROPRIETES DE LA R.O. INTERDISCIPLINAIRE ............................................................... 7
PROGRAMMATION LINEAIRE
I. PROBLEMATIQUE DE LA PROGRAMMATION LINEAIRE ................................................. 10
1.1) Introduction .......................................................................................................... 10
1.2) Exemple ................................................................................................................ 10
1.3) Forme canonique .................................................................................................. 11
1.4) Formulation générale ........................................................................................... 12
1.5) Interprétation géométrique ................................................................................... 12
1.6) Forme standard .................................................................................................... 13
II. CONVEXITE ................................................................................................................ 14
III. METHODE DU SIMPLEXE ............................................................................................. 14
3.1) Exemple avec deux variables ................................................................................ 14
3.2) Méthode des tableaux ........................................................................................... 16
3.3) Méthode des 2 phases et méthode M .................................................................... 24
3.4) Paramétrisation des coeff. de la fn éco. ............................................................... 27
IV. DUALITE : .................................................................................................................. 32
PROBLEMES DE TRANSPORT
I. EXEMPLE DE L'USINE .................................................................................................. 37
1.1) Problème : répartition des expéditions ................................................................ 37
1.2) Modélisation du problème .................................................................................... 38
1.3) Représentation graphique .................................................................................... 39
1.4) Méthode plus rapide (des regrets) ........................................................................ 40
1.5) Changement de base ............................................................................................. 40
1.6) Cas de dégénérescence ......................................................................................... 42
II. RECHERCHE D’UNE SOLUTION INITIALE ...................................................................... 42
2.1) Règle du coin Nord-Ouest ("hasard") .................................................................. 42
2.2) Règle de Balas-Hammer : .................................................................................... 43

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LES GRAPHES
I. DEFINITION – VOCABULAIRE ...................................................................................... 47
1.1) Graphe .................................................................................................................. 47
1.2) Chemins ................................................................................................................ 48
II. MATRICES ASSOCIEES A UN GRAPHE ........................................................................... 49
2.1) Matrice latine ....................................................................................................... 49
2.2) Matrices booléenne et arithmétique ..................................................................... 50
III. CONNEXITE – FORTE CONNEXITE ................................................................................ 51
3.1) Connexité .............................................................................................................. 51
3.2) Forte connexité ..................................................................................................... 51
3.3) Fermeture transitive ............................................................................................. 52
3.4) Recherche des classes fortement connexes, des circuits hamiltoniens ................. 53
3.5) Méthode de Georges DEMOUCRON ................................................................... 53
CHEMIN DE VALEUR OPTIMALE
I. ALGORITHME DE FORD ............................................................................................... 58
II. ALGORITHME DE FORD-FULKERSON ......................................................................... 59
2.1) flot à travers un réseau ......................................................................................... 59
2.2) Procédure ............................................................................................................. 60
2.3) Recherche d’un flot complet initial ...................................................................... 61
2.4) Exercices ............................................................................................................... 64
III. PROBLEME D’AFFECTATION ....................................................................................... 64
3.1) Exercices ............................................................................................................... 66
ORDONNANCEMENT
I. INTRODUCTION ........................................................................................................... 69
II. METHODES D’ORDONNANCEMENT ............................................................................. 70
2.1) Méthode MPM ...................................................................................................... 70
2.2) Méthode PERT ...................................................................................................... 72
2.3) Comparaison des deux méthodes ......................................................................... 73
III. EXERCICES ................................................................................................................. 74

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PROCESSUS STOCHASTIQUES
I. INTRODUCTION ..................................................................................................... 77
1.1) Historique ............................................................................................................. 77
1.2) Définition d'un Processus Stochastique ............................................................... 77
II. LES CHAINES DE MARKOV A ESPACE D'ETATS DISCRET .............................................. 78
2.1) Probabilités et matrice de transition .................................................................... 78
2.2) Probabilités de transition en m étapes ................................................................. 78
III. GRAPHE DES TRANSITIONS – CLASSIFICATION DES CHAINES ...................................... 79
3.1) Exemple sur les processus aléatoires ............................................................... 79
IV. DISTRIBUTION DES ETATS D'UNE CHAINE .................................................................... 80
V. ETUDE DES CHAINES REDUCTIBLES ............................................................................ 80
VI. LES CHAINES DE MARKOV A TEMPS CONTINU ............................................................ 80
VII. COMPORTEMENT ASYMPTOTIQUE DES CHAINES ......................................................... 80
VIII. PROCESSUS DE NAISSANCE ET DE MORT ................................................................ 80
FIABILITE
I. INTRODUCTION ..................................................................................................... 83
II. GENERALITES - TERMINOLOGIE ....................................................................... 83
2.1) Fonction de défaillance et fn de fiabilité .............................................................. 83
2.2) Taux d’avarie ou taux de défaillance ................................................................... 83
III. LOIS UTILISEES ..................................................................................................... 86
3.1) Loi exponentielle .................................................................................................. 86
3.2) Loi de Weibull ....................................................................................................... 86
IV. FIABILITE D’UN SYSTEME ET DE SES COMPOSANTS ..................................................... 87
4.1) Système à structure en série ................................................................................. 87
4.2) Système à structure parallèle ............................................................................... 87
4.3) Systèmes à structure mixte .................................................................................... 88
V. EXERCICES ............................................................................................................. 88
5.1) Exercice n° 1 ......................................................................................................... 88
5.2) Exercice n° 2 ......................................................................................................... 89
5.3) Exercice n° 3 ......................................................................................................... 89

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IN NT TR RO OD DU UC CT TI IO ON N