Ch7 - Choix des matériaux

Ch7 – Choix des matériaux en conception mécanique
CHOIX DES MATERIAUX EN
CONCEPTION MECANIQUE
Elaboré et présenté par : Mr Mohammed BOUAICHA
Mr. Mohammed BOUAICHA
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I. INTRODUCTION :
Les propriétés des matériaux sont autant de facteurs qui limitent les performances.
On peut représenter une propriété par une liste ordonnée ou par un histogramme, mais il
est rare que les performances d'un composant dépendent d'une seule propriété.
Il est presque toujours nécessaire de prendre en compte une combinaison de propriétés,
comme par exemple le rapport résistance/poids ou rigidité/poids, utiles pour la
conception de produits légers.
Les diagrammes ainsi obtenus sont utiles à plusieurs égards :
- Ils concentrent un grand nombre d'informations sous une forme compacte mais
accessible,
- Ils font apparaître des corrélations entre les propriétés des matériaux, ce qui est
utile pour la vérification et l'estimation des données,
- Ils permettent l'application d'une technique d'optimisation des performances, qui
constitue la base de la procédure de choix.
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II. REPRESENTATION DES PROPRIETES DES MATERIAUX :
1. Principes des diagrammes :
Les propriétés des matériaux techniques présentent un éventail caractéristique de
valeurs.
Une façon de
représenter cela
est de tracer un
histogramme
comme celui de la
figure ci-contre
pour la
conductivité
thermique.
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On peut rendre compte de beaucoup plus d'informations en présentant les propriétés
autrement, comme le montre la figure ci- après. Sur celle-ci, une propriété (le module E)
est représentée en fonction d'une autre (la densité ρ) en utilisant des échelles
logarithmiques.
2. Courbes de niveaux :
Sur ces diagrammes, on peut ajouter des courbes de niveau (Informations
supplémentaires), comme par exemple la vitesse des ondes acoustiques dans un solide,
qui dépend de son module et de sa densité.
La vitesse des ondes longitudinales ⱱ est :
Ou en prenant le logarithme :
_
Pour une valeur donnée de ⱱ la courbe représentative de cette équation est une droite
de pente 1. Pour différentes valeurs de ⱱ, on construit un faisceau de droites parallèles
obliques, reliant les matériaux dans lesquels les ondes voyagent à la même vitesse.
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3. Liste des diagrammes :
Les diagrammes de choix des matériaux sont une façon utile de représenter les
propriétés techniques des matériaux.
Sur le tableau suivant, une compilation de tous les diagrammes disponibles (Liste publié
par Granta Design).
Compilation de propriétés
Module - Densité
Résistance – Densité
Ténacité – Densité
Module – Résistance
Module spécifique – Résistance
spécifique
Ténacité - Module
Ténacité – Résistance
Capacité d’amortissement - Module
Conductivité thermique – Diffusivité
thermique
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Compilation de propriétés
Dilatation thermique - Conductivité
thermique
Dilatation thermique - Module
Résistance normalisée - Dilatation
thermique
Module – Coût relatif
Résistance - Température
Résistance – Coût relatif
Usure volumique – Pression de contact
Résistance à l’environnement
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Diagramme –
Résistance à
l’environnement
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III. STRATEGIE DE CHOIX DES MATERIAUX :
La procédure de choix fait le lien entre le matériau et la fonction.
Un matériau possède des attributs : sa densité, sa résistance, son coût, sa tenue à la
corrosion, etc.
Pour la conception d'un produit, un certain profil de ces attributs est demandé :
densité faible, résistance élevée, coût modique, tenue à l'eau de mer, par exemple.
Le problème est alors d'identifier ce profil d'attributs et de le comparer avec ceux des
matériaux afin de trouver celui qui convient le mieux.
Pour pouvoir faire un choix impartial, il est nécessaire de considérer tous les matériaux
comme candidats potentiels jusqu'à ce que le contraire soit démontré, par l'application
des différentes étapes détaillées (Figure suivante).
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1. Revue et classement :
 Revue :
Elle permet d'éliminer les candidats qui ne peuvent pas effectuer la tâche parce
qu'un ou plusieurs de leurs attributs se trouvent en dehors des limites imposées par
la conception.
On appelle ces limites les limites de propriétés.
Exemple : Les spécifications « Le composant doit pouvoir fonctionner à une
température de 250°C » ou « le composant doit être transparents » imposent
des limites évidentes aux attributs « température de service maximale » et
« transparence optique », auxquels les matériaux doivent satisfaire.
 Classement :
En revanche, les limites de propriété ne permettent pas de classer les candidats
restants, et il faut pour cela des critères d'optimisation.
On les exprime sous la forme d'indices de performance, qui mesurent le degré de
satisfaction avec lequel un matériau retenu pourra remplir la tâche.
Parmi les exemples courants de tels indices, on trouve la rigidité spécifique E/ρ et
la résistance spécifique σf/ρ.
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Les matériaux qui maximisent ces indices sont ceux qui conviennent le mieux pour
une barre légère et respectivement, rigide ou résistante.
En résumé, les limites de propriété permettent d'isoler les matériaux capables de faire
une tâche, et les indices de performance permettent d'identifier parmi eux ceux qui la
feront bien.
2. Informations complémentaires :
Pour aller plus loin, on a besoin d’établir un profil détaillé de chaque matériau
sélectionné satisfaisant les spécifications quantitatives de conception, en s’appuyant sur
des informations complémentaires.
Typiquement elles sont descriptives, graphiques ou visuelles.
Cela peut être des études de cas sur des utilisations précédentes du matériau, des détails
sur sa tenue à la corrosion dans un environnement particulier, des informations sur sa
disponibilité et son coût, des donnés sur son impact environnemental.
On trouve ces informations dans les handbooks, les documentations des fournisseurs, les
bases de données de logiciels (CES EduPack).
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3. Conditions locales :
Le choix final entre les matériaux encore en course dépendra souvent de conditions
locales, comme par exemple l’existence d’une expertise ou d’un équipement à
l’intérieur de l’entreprise, la proximité d’un fournisseur, etc.
IV. ETABLISSEMENT DES LIMITES DE PROPRIETES ET DES INDICES DE
PERFORMANCE :
Comment fait-on pour traduire les spécifications de conception d'un composant (qui
disent ce qu'il doit faire) en critères pour les matériaux ?
Pour répondre à cette question, il faut considérer la fonction du composant, les
contraintes auxquelles il est soumis et les objectifs d'optimisation de performances que
s'est fixés le concepteur.
1. Fonctions, objectifs, contraintes :
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Le nom fonctionnel donné au composant mécanique décrit la façon dont il est chargé :
- Une barre supporte une charge en traction,
- Une poutre supporte un moment de flexion,
- Un arbre supporte un couple de torsion,
- Une colonne supporte des charges en compression.
Les mots barre, poutre, arbre et colonne sous-entendent chacun une fonction.
En concevant Ces composants, le concepteur a un objectif, qui est de le rendre le plus
léger possible (aéronautique), le plus sûr (nucléaire) ou le moins cher quand il n'y a pas
d'objectif, il y a toujours celui de minimiser le coût.
Cet objectif doit être atteint en faisant face à des contraintes.
2. Limites de propriété :
Certaines contraintes peuvent être directement traduites en simples limites de
propriété des matériaux :
- si le composant doit fonctionner à 250 °C, alors tous les matériaux ayant une
température maximale de service inférieure seront éliminés ;
- si le composant doit être isolant électriquement, alors tous les matériaux ayant une
résistivité inférieure à 1020 μΩ.cm seront rejetés.
C'est ainsi que l'on utilise les limites de propriété.
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3. Indice de performance :
La conception d’un composant de structure comprend trois types de spécifications :
- les exigences fonctionnelles,
- la géométrie,
- les propriétés du matériau dans lequel il est fait.
La performance d’un composant peut être décrite par une équation de la forme :
Où p correspond à un certain aspect de la performance du composant (par exemple
masse, volume, coût, durée de vie). Une conception optimum passe par le choix d'un
matériau et d'une géométrie qui maximise (ou minimise) la valeur de p.
Les trois groupes de paramètres sont dits indépendants si l'équation précédente peut
s'écrire sous la forme :
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Quand les différents groupes sont indépendants, comme ils le sont en général, le choix
optimum d'un matériau devient indépendant des détails de la conception et sera le
même pour toutes les géométries G et les spécifications fonctionnelles E.
On peut ainsi identifier le groupe de matériaux les plus aptes sans avoir à résoudre le
problème complet, ou même sans connaître les détails de F et de G.
Cela permet des simplifications importantes : il suffit de maximiser f3(M), que l’on
appelle le coefficient d'efficacité du matériau ou l’indice de performance.
Les facteurs restants, f1(F) et f2(G), sont reliés au coefficient d’efficacité structurel ou
indice de structure.
Chaque combinaison fonction-objectif-contrainte conduit à un indice de performance.
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4. Exemples d’indices de performance :
 Exemple 1 : Barre légère et résistante
On veut concevoir une barre cylindrique de longueur donnée L capable de supporter
une force de traction F sans casser, et qui doit être la plus légère possible.
Ici « Maximiser la performance » signifie « minimiser la masse tout en supportant la
charge F en toute sécurité ».
La fonction, l’objectif et les contraintes sont explicités comme suit :
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Cherchons d'abord une équation représentant la quantité à minimiser ou maximiser.
Ici, il s'agit de la masse m de la barre, dont nous cherchons le minimum.
Cette équation, appelé fonction d’objectif est :
L'aire de la section doit être suffisante pour supporter la charge en traction F, ce qui
s'exprime par :
Avec σf la résistance du matériau, en éliminant A, on obtient :
La première parenthèse contient la charge spécifiée F, la deuxième la géométrie
spécifiée (longueur l) et la troisième les propriétés du matériau.
La barre la plus légère qui pourra supporter la charge F sera faite dans le matériau
qui possède la valeur la plus faible du rapport ρ/σf.
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Maximiser les performances c’est inverser les propriétés dans l'équation précédente,
définissant ainsi l'indice de performance appelé ici « Résistance spécifique » :
Un calcul similaire pour une barre légère et rigide conduirait à l’indice de
performance suivant appelé « Rigidité spécifique » :
 Exemple 2 : Poutre légère et résistante
Le mode de chargement dominant le plus courant en ingénierie n'est pas la traction
mais la flexion.
Considérons une poutre légère de section carrée, avec une contrainte sur sa rigidité
S qui dit que la flèche de déformation ne doit pas dépasser une valeur δ sous une
charge F.
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La fonction, l’objectif et les contraintes sont explicités comme suit :
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La contrainte du problème impose que la rigidité S = F/δ sort plus grande que :
E : Le module de Young
C : Constante qui dépend de la distribution de la charge
I : Moment quadratique de la section égale pour une poutre carré de coté b
En éliminant A de l’équation du moment quadratique par m = Alρ, on obtient :
Les parenthèses sont ordonnées comme précédemment : spécifications
fonctionnelles, géométrie, matériaux. Les meilleurs matériaux pour une poutre
légère et rigide sont ceux qui maximisent l'indice de performance.
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Evidement, après inversement des propriétés, on trouve :
La formule précédente suppose que la section A de la poutre restait carrée (Coté b
varie quand A varie).
Si seule la hauteur est libre, on obtient :
Si seule l’épaisseur est libre, on obtient :
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 Exemple 3 : Colonne rigide et bon marché
Une colonne supporte des charges en compression (pieds de table, piliers).
On recherche des matériaux les moins coûteux pour une colonne cylindrique de
longueur spécifiée l, capable de supporter une charge F.
Le tableau suivant liste les spécifications de
conception :
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La fonction d’objectif est le coût :
Cm est le coût au kilo du matériau.
Une colonne fine demande moins de matériau qu'une colonne épaisse et est donc
moins coûteuse.
Cependant, elle ne doit pas être trop fine pour ne pas flamber sous la charge F.
Celle-ci flambera élastiquement si F dépasse la charge d'Euler Fcrit.
La conception sera sûre si :
n est une constante dépendant des contraintes aux extrémités
I est le moment quadratique de la colonne. I = πr4/4 = A2/4π
La charge F et la longueur l sont spécifiés, la variable libre est l’aire de la section A.
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On élimine A entre les deux dernières équations, en utilisant la définition du
moment quadratique I ; on obtient :
On retrouve la forme usuelle de l'équation : spécifications fonctionnelles,
géométrie, matériaux. Le coût de la colonne sera minimisé en choisissant des
matériaux avec la plus grande valeur de l'indice :
5. Procédure d’établissement d’indices de performance :
Nous pouvons déduire des exemples précédents la procédure d'établissement de la
formule d’un indice de performance, qui est décrite au tableau suivant :
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6. Exemples d’indices de performance :
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V. PROCEDURE DE CHOIX :
On peut identifier les
matériaux possédant des
valeurs d'indice de
performance particulièrement
bonnes en prenant une droite
qui isole une zone
d'investigation contenant un
nombre relativement restreint
de candidats (Figure ci-contre).
On peut ajouter les limites de
propriété, ce qui réduit la
zone d'investigation.
Sur la même figure, on a
représenté la limite
correspondant à E>10 GPa.
La Liste des candidats
augmente ou diminue selon la
position de la droite d'indice.
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VI. CHOIX DES MATERIAUX – ETUDE DE CAS :
1. Rames de bateaux :
 Contexte et modélisation :
Du point de vue mécanique, une rame est une poutre chargée en flexion.
Elle doit être assez résistante pour pouvoir supporter le moment de flexion exercé
par le rameur sans casser, et doit avoir une rigidité juste suffisante pour
correspondre aux caractéristiques propres au rameur et donner la bonne « sensation »
et enfin, le plus important, elle doit être légère.
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La rame doit être rigide et également légère. Un surcroit de poids aura pour effet
d'augmenter la surface mouillée de la coque et par conséquent la trainée.
Voilà donc le problème : une rame est une poutre de rigidité spécifiée et de poids
minimal.
L’indice de performance dont nous avons besoin, est celui d'une poutre légère et
rigide :
Mais il y a d'autres contraintes évidentes : les rames frappent l'eau et il arrive que les
pales cassent. Le matériau doit être assez tenace pour supporter cela, donc les
matériaux fragiles (énergie de rupture inférieure à 1 KJ.m-2) ne peuvent convenir.
Et encore il y a quand même des limites au coût.
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Le tableau suivant liste les spécifications de conception pour une rame :
 Choix des matériaux :
La figure suivante donne le diagramme approprié au problème, celui du module d'Young
E en fonction de la densité p. La droite directrice pour l'indice M a une pente de 2.
On la place de façon à ce que seul un petit groupe de matériaux se trouvent au-dessus.
Ce sont les matériaux qui possèdent les plus grandes valeurs de cet indice et qui
constituent donc le meilleur choix, pourvu que les autres contraintes soient satisfaites.
On trouve trois familles de matériaux : les bois, les polymères renforcés fibres de
carbone ou de verre (CFRP ou GFRP) et certaines céramiques.
Les céramiques sont fragiles, leur énergie de rupture ne répond pas à la contrainte (c).
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Le tableau suivant représente les matériaux sélectionnés par le diagramme et
commentés selon les critères de contraintes des spécifications de conception :
La recommandation est claire : les rames doivent être faites en bois ou, mieux, en
CFRP.
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2. Pieds de table :
 Contexte :
Un designer de meubles, veut concevoir une table légère d'une grande simplicité: une
plaque de verre trempé supportée par quatre pieds fins cylindriques et sans renforts.
Les pieds doivent être pleins (pour pouvoir les faire fins) et aussi légers que possible
(pour pouvoir déplacer la table plus facilement).
Ils doivent pouvoir supporter le dessus de la table et tous les objets que l'on peut
poser dessus sans flamber.
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 Modélisation :
Ce problème comporte deux objectifs : minimiser le poids et maximiser la finesse, et
une contrainte la résistance au flambage. Considérons d'abord l'objectif poids.
 Poids minimale :
Le pied est une fine colonne d'un matériau de densité ρ et de module E. Sa
longueur l et la charge maximale P qu'il doit supporter sont définies par la
conception, donc fixes.
Le rayon r du pied est une variable libre.
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On veut minimiser le poids m du pied, exprimé par la fonction d'objectif :
m = π r2 l ρ
Soumise à la contrainte de supporter une charge P sans flamber.
La charge élastique Pcrit pour une colonne de longueur l et de rayon r est:
Avec I = πr4/4, le moment d’inertie de l’aire de la colonne.
La charge P ne doit dépasser la valeur Pcrit.
En isolant la variable libre r et en la substituant dans l’équation de m, on obtient :
La masse sera minimisée en choisissant des matériaux ayant la plus grande
valeur d’indice :
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 Finesse :
En isolant r dans l'équation de la charge élastique Pcrit, on obtient la valeur qui
permet d'avoir les pieds les plus fins sans flambage :
La finesse sera maximisée en choisissant le matériau ayant la plus grande valeur
d'indice :
 Choix des matériaux :
On utilise le diagramme approprié, celui du module de Young et la densité.
On trace la ligne directrice du premier indice M1, tout en la déplaçant vers le haut
jusqu’à ce qu’il n’y ait plus qu’un petit nombre de matériaux au dessus pour une
valeur de M1=6.
Puis on dresse une droite horizontale représentant le second module M2 (on place
cette ligne à M2=100GPa).
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On présente les résultats sous forme de tableau, en montrant non seulement les
meilleurs choix qui peuvent être affinés si d’autres paramètres sont pris en compte.
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