Géométrie différentielle : exercices Séance 1] – février Exercice . Soient E1 et E2 des espaces topologiques séparés et à base dénombrable. Soit A une partie de E1 . . Montrer que la topologie induite sur A est séparée et à base dénombrable. . Montrer que la topologie produit, sur E1 × E2 , est séparée et à base dénombrable. Exercice . Montrer que le cône à nappes n o C = (x, y, z) ∈ R3 t.q. z2 = x2 + y 2 muni de la topologie induite par la topologie usuelle de R3 , n’est pas une variété topologique de dimension 2. Exercice . Soit f : X → Y une bijection continue. Montrer que si X est compact et Y est séparé, alors f est un homéomorphisme. Indication Un espace topologique est dit compact s’il est séparé et si de tout recouvrement par des ouverts on peut tirer un sous-recouvrement fini . Les résultats suivants sont supposés connus : . L’image d’un compact par une fonction continue à valeur dans un espace séparé est compacte. . Dans un espace compact, les parties fermées sont compactes. . Dans un espace séparé, les parties compactes sont fermées. . Une fonction est continue si et seulement si l’image réciproque de tout fermé est un fermé. Exercice . Comprendre et démontrer que si on a le diagramme commutatif A? ?? ?? ?? ? π ?? ?? ? f¯ C /B ? f . Si le caractère séparé manque, on parle parfois d’espace quasi-compact. Notons que certains auteurs appellent compact ce que nous appellerions quasi-compact. où f¯ est continue et π une application quotient, alors f est continue. Indication Une surjection π : A → C entre deux espaces topologiques est une application quotient si, pour tout U ⊂ C, U est ouvert ⇐⇒ π−1 (U ) est ouvert. Exercice . Comprendre les homéomorphismes suivants : . Dn /Sn−1 ' Sn , où Sn−1 est le bord de la boule fermée Dn ⊂ Rn . . RP (n) ' (Sn /∼), où x ∼ −x. Exercice . Montrer que l’ensemble n o (t, sin ( 1/t)) t.q. t ∈ ]0, 1] E = 1 E = E1 ∪ E2 où n o E2 = (0, s) t.q. s ∈ [−1, 1] est connexe mais pas connexe par arc. Exercice . Comprendre l’homéomorphisme RP (3) ' SO(3, R)