ds series

DEVOIR SURVEILL´ E N◦4
Exercice 1
Soit une s´ erie ∑un` a termes strictement positifs tels que
un+1
un
=1−λ
n+vn
o` u∑vnest absolument convergente.
1Montrer que :
lnun+1
un=−λ n+ωno`
u∑|ωn|converge
2En d´ eduire qu’il existe A>0 tel que unv
A
nλ.
Exercice 2
1Soit α>1. On pose Rn=
+∞
∑
k=n+1
1
kα
1.a.Pour quelles valeurs de αla s´ erie ∑
n≥0
Rnconverge ?
1.b.Montrer qu’alors
+∞
∑
n=0
+∞
∑
k=n+1
1
kα=ζ(α−1)
22.a.Justifier que :
+∞
∑
n=1,n6=p
1
n2−p2=3 4p2
2.b.En d´ eduire : +∞
∑
p=1
+∞
∑
n=1,n6=p
1
n2−p26=
+∞
∑
n=1
+∞
∑
p=1,p6=n
1
n2−p2
Interpr´ eter ce r´ esultat.
3Soit aun complexe de module strictement inf´ erieur ` a 1.
En introduisant up,q=ap(2q−1)(p,q≥1),´ etablir l’´ egalit´ e :
+∞
∑
p=1
ap
1−a2p=
+∞
∑
p=1
a2p−1
1−a2p−1
PROBL ` EME :
Partie 1
Soit N∈N, et soit f:[N,+∞[→Rune fonction positive d´ ecroissante.
1Montrer que la suite n
∑
k=N
f(k)−Zn
N
f(t)dt!admet une limite l∈R+. En d´ eduire que :
la s´ erie ∑f(n)est convergente si et seulement si la suite Z+∞
N
f(t)dtconverge.
22.a.Montrer que si la s´ erie ∑f(n)est divergente, alors Sn=
n
∑
k=N
f(k)est ´ equivalent ` aZn
N
f(t)dt quand n→+∞.
2.b.Montrer que si ∑f(n)est convergente et si f(x) = oZ+∞
x
f(t)dtquand x→+∞, alors
+∞
∑
k=n
f(k)vZ+∞
n
f(t)dt
3D´ eterminer un ´ equivalent des restes ou des sommes partielles des s´ eries ∑
n≥1
1
nα,α>0 et ∑
n≥2
1
nlnβ(n),β>0
s[email protected] 1

Partie 2
Dans toute la suite du probl
`
eme, α d
´
esigne un nombre r
´
eel strictement positif. On notera Sα=
+∞
∑
k=1
1
kα+1
la somme de la s
´
erie de
Riemann. σα(n) =
n
∑
k=1
1
kα+1
la somme partielle, et ρα(n) =
+∞
∑
k=n+1
1
kα+1
la somme de la s
´
erie reste. L’objet de la suite du probl
`
eme
est l’´ etude de la fonction
S:R∗
+−→ R
α→Sα
et la d´ etermination de d´ eveloppements asymptotiques pour ρα(n).
1Montrer que la fonction Sest d´ ecroissante et convexe.
2Montrer que :
2.a.Pour nfix´ e, on a
Sα=σα(n) + o1
nαα→+∞
et qu’on a en particulier lim
α→+∞Sα=1.
2.b.Pour αfix´ e, on a
Sα=σα(n) + O1
nαn→+∞
.
3Montrer que Sα−1
αest born´
e au voisinage de 0.
4On admet dans cette question que pour tout n,
α→ρα(n)est d´ erivable et qu’on peut d´ eriver sous signe ∑.
4.a.Montrer que pour tout α>0, la fonction :
t→lnt
tα+1est d´
ecroissante sur [3,+∞[.
4.b.En d´ eduire un minorant de la d´ eriv´ ee de la fonction α→ρα(3), puis la croissance de la fonction
α→ρα(3)−1
α
5En ´ ecrivant Sα−1
α=σα(3) + ρα(3)−1 α, montrer qu’il existe une constante γtelle que
Sα=1
α+γ+o(1)
quand αtend vers 0 par valeurs sup´ erieures.
6En utilisant un encaderement de ρα(n), montrer que pour tout n≥1ona:
n
∑
k=1
1
k−ln(n+1)≤γ≤
n
∑
k=1
1
k−lnn
En d´ eduire que γ=lim
n→+∞"n
∑
k=1
1
k−ln(n+1)#
s[email protected] 2