— ENSAE 79 —
D´eveloppements asymptotiques de restes de s´eries convergentes,
de sommes partielles de s´eries divergentes
Pr´eambule : baratin sans importance... sauf :
La partie II est compl`etement ind´ependante de la partie I, par contre les parties suivantes sont des applications des r´esultats
obtenus dans ces deux premi`eres parties.
Partie I
La formule de Stirling
1. On pose, pour tout entier n≥1,
an=n!
nn+1
2e−n,
bn= ln an.
Montrer que la suite (bn)est convergente ; on pourra pour cela ´etudier la s´erie de terme g´en´eral :
tn=bn−1−bn.
En d´eduire que, si n→+∞,an→lo`u l > 0strictement.
2. Soit, pour nentier positif ou nul, l’int´egrale :
In=Zπ/2
0
sinnxdx.
Former une relation de r´ecurrence liant Inet In−2. Calculer I0et I1. En d´eduire, pd´esignant un entier positif ou nul, des
expressions de I2pet de I2p+1.
3. Montrer que, quel que soit l’entier positif ou nul p,
I2p+2 < I2p+1 < I2p.
En d´eduire que :
lim
p→+∞
I2p+1
I2p
= 1.
A l’aide du r´esultat pr´ec´edent, ´etablir que :
lim
p→+∞
[2.4. . . (2p)]2
[1.3.5. . . (2p−1)]2(2p+ 1) =π
2(formule de Wallis).
4. Utiliser la formule de Wallis pour calculer le nombre ldont l’existence a ´et´e ´etablie `a la fin de la premi`ere question. On
trouvera que :
l=√2π.
Partie II
D´eveloppements asymptotiques de restes de s´eries convergentes, th´eor`eme g´en´eral
1. Soient :
•αun r´eel strictement sup´erieur `a 1.
•(un)n≥1une suite r´eelle tel que :
un=o(1
nα)
.
La s´erie de terme g´en´eral unest convergente, soit :
rn=
+∞
X
k=n+1
uk.
Montrer que :
rn=o(1
nα−1),
2. Soient maintenant :
pun entier fixe positif ou nul et p+ 1 r´eels λ0, λ1, . . . , λpfix´es,
αun r´eel strictement sup´erieur `a 1, tels que :
un=λ0
nα+λ1
nα+1 +··· +λp
nα+p+o(1
nα+p).
La s´erie de terme g´en´eral unest convergente, soit :
rn=
+∞
X
k=n+1
uk.
1
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Montrer qu’il existe des r´eels fixes µ0, µ1, . . . , µptels que :
rn=µ0
nα−1+µ1
nα+··· +µp
nα+p−1+o(1
nα+p−1)
On pourra pour cela poser :
an=µ0
nα−1+µ1
nα+··· +µp
nα+p−1,
et d´eterminer les coefficients µ0, µ1, . . . , µpde fa¸con que, si l’on pose :
vn=un+an−an−1,
on ait :
vn=o(1
nα+p).
On donnera les ´equations explicites fournissant les λken fonction des µi.
3. Application num´erique :
Posons :
un= 2(√n−√n−1) −1
√n.
Calculer λ0, λ1, λ2tels que :
un=λ0
n3/2+λ1
n5/2+λ2
n7/2+o(1
n7/2)
D´eterminer ensuite µ0, µ1, µ2tels que :
rn=
+∞
X
k=n+1
uk=µ0
n1/2+µ1
n3/2+µ2
n5/2+o(1
n5/2)
Partie III
D´eveloppement asymptotique de n!
1. On pose, les notations ´etant celles de la partie I,
a0
n=an
√2π, b0
n= ln a0
n.
On a donc, d’apr`es les r´esultats de la partie I,
lim
n→+∞b0
n= 0.
Montrer que :
b0
n=
+∞
X
k=n+1
tk.
2. En utilisant la partie II, montrer que b0
nadmet un d´eveloppement limit´e `a n’importe quel ordre selon les puissances de 1
n.
Calculer les r´eels µ0, µ1, µ2tels que :
b0
n=µ0
n+µ1
n2+µ2
n3+o(1
n3)
En d´eduire que :
ln n! = n+1
2ln n−n+1
2ln(2π) + µ0
n+µ1
n2+µ2
n3+o(1
n3)
et donner le d´eveloppement asymptotique de n!avec un maximum de termes exacts.
PARTIE IV
Quelques extensions
1. On pose :
sn= 1 + 1
2+··· +1
n.
a) Indiquer une m´ethode permettant de se ramener au II pour obtenir un d´eveloppement asymptotique de sn.
b) Pratiquer cette m´ethode pour donner le d´eveloppement asymptotique de snet en allant jusqu’au terme en 1
n3(le
terme constant de ce d´eveloppement asymptotique est not´e γet ne peut ˆetre exprim´e simplement `a l’aide d’autres
constantes math´ematiques).
2. On pose ici :
sn=
n
X
k=1
kln k.
Montrer que snadmet un d´eveloppement asymptotique qui se met sous la forme :
sn=µ0n2ln n+µ1n2+µ2nln n+µ3ln n+c+o(1).
Calculer les r´eels µ0, µ1, µ2, µ3.
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