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— ENSAE 79 —
Développements asymptotiques de restes de séries convergentes,
de sommes partielles de séries divergentes
Préambule : baratin sans importance... sauf :
La partie II est complètement indépendante de la partie I, par contre les parties suivantes sont des applications des résultats
obtenus dans ces deux premières parties.
Partie I
La formule de Stirling
1. On pose, pour tout entier n ≥ 1,
n!
an =
1
nn+ 2 e−n
bn = ln an .
,
Montrer que la suite (bn ) est convergente ; on pourra pour cela étudier la série de terme général :
tn = bn−1 − bn .
En déduire que, si n → +∞, an → l où l > 0 strictement.
2. Soit, pour n entier positif ou nul, l’intégrale :
Z
π/2
sinn xdx.
In =
0
Former une relation de récurrence liant In et In−2 . Calculer I0 et I1 . En déduire, p désignant un entier positif ou nul, des
expressions de I2p et de I2p+1 .
3. Montrer que, quel que soit l’entier positif ou nul p,
I2p+2 < I2p+1 < I2p .
En déduire que :
lim
p→+∞
I2p+1
= 1.
I2p
A l’aide du résultat précédent, établir que :
lim
p→+∞
π
[2.4 . . . (2p)]2
= (formule de Wallis).
[1.3.5 . . . (2p − 1)]2 (2p + 1)
2
4. Utiliser la formule de Wallis pour calculer le nombre l dont l’existence a été établie à la fin de la première question. On
trouvera que :
√
l = 2π.
Partie II
Développements asymptotiques de restes de séries convergentes, théorème général
1. Soient :
• α un réel strictement supérieur à 1.
• (un )n≥1 une suite réelle tel que :
un = o(
1
)
nα
.
La série de terme général un est convergente, soit :
rn =
+∞
X
uk .
k=n+1
Montrer que :
rn = o(
1
),
nα−1
2. Soient maintenant :
p un entier fixe positif ou nul et p + 1 réels λ0 , λ1 , . . . , λp fixés,
α un réel strictement supérieur à 1, tels que :
λ0
λ1
λp
1
+ α+1 + · · · + α+p + o( α+p ).
nα
n
n
n
La série de terme général un est convergente, soit :
un =
rn =
+∞
X
k=n+1
1
uk .
— ENSAE 79 —
Montrer qu’il existe des réels fixes µ0 , µ1 , . . . , µp tels que :
rn =
µ0
µ1
µp
1
+ α + · · · + α+p−1 + o( α+p−1 )
nα−1
n
n
n
On pourra pour cela poser :
µ1
µp
µ0
+ α + · · · + α+p−1 ,
nα−1
n
n
et déterminer les coefficients µ0 , µ1 , . . . , µp de façon que, si l’on pose :
an =
vn = un + an − an−1 ,
on ait :
1
).
nα+p
On donnera les équations explicites fournissant les λk en fonction des µi .
3. Application numérique :
Posons :
√
√
1
un = 2( n − n − 1) − √ .
n
vn = o(
Calculer λ0 , λ1 , λ2 tels que :
λ1
λ2
1
λ0
+ 5/2 + 7/2 + o( 7/2 )
n3/2
n
n
n
un =
Déterminer ensuite µ0 , µ1 , µ2 tels que :
rn =
+∞
X
uk =
k=n+1
µ1
µ2
1
µ0
+ 3/2 + 5/2 + o( 5/2 )
n1/2
n
n
n
Partie III
Développement asymptotique de n!
1. On pose, les notations étant celles de la partie I,
an
a0n = √ ,
2π
b0n = ln a0n .
On a donc, d’après les résultats de la partie I,
lim b0n = 0.
n→+∞
Montrer que :
b0n =
+∞
X
tk .
k=n+1
1
2. En utilisant la partie II, montrer que b0n admet un développement limité à n’importe quel ordre selon les puissances de .
n
Calculer les réels µ0 , µ1 , µ2 tels que :
µ0
µ1
µ2
1
+ 2 + 3 + o( 3 )
b0n =
n
n
n
n
En déduire que :
1
1
µ0
µ1
µ2
1
ln n! = n +
ln n − n + ln(2π) +
+ 2 + 3 + o( 3 )
2
2
n
n
n
n
et donner le développement asymptotique de n! avec un maximum de termes exacts.
PARTIE IV
Quelques extensions
1. On pose :
1
1
+ ··· + .
2
n
a) Indiquer une méthode permettant de se ramener au II pour obtenir un développement asymptotique de sn .
sn = 1 +
1
b) Pratiquer cette méthode pour donner le développement asymptotique de sn et en allant jusqu’au terme en 3 (le
n
terme constant de ce développement asymptotique est noté γ et ne peut être exprimé simplement à l’aide d’autres
constantes mathématiques).
2. On pose ici :
sn =
n
X
k ln k.
k=1
Montrer que sn admet un développement asymptotique qui se met sous la forme :
sn = µ0 n2 ln n + µ1 n2 + µ2 n ln n + µ3 ln n + c + o(1).
Calculer les réels µ0 , µ1 , µ2 , µ3 .
2