Algèbre Linéaire: Problème de Synthèse Corrigé

Algèbre linéaire - Problème de synthèse
Correction
Dans tout le problème, ndésigne un entier naturel supérieur ou égal à 2.
On note Mn(R)(respectivement Mn(C)) l’espace vectoriel des matrices carrées d’ordre nà
coefficients réels (respectivement à coefficients complexes).
Pour tout couple d’entiers (i, j)de J1, nK, on note Ei,j la matrice de Mn(R)dont tous les
coefficients sont nuls, sauf celui situé à la iième ligne et à la jième colonne qui est égal à 1.
On rappelle que la famille (Ei,j )1≤i,j≤nest la base canonique de Mn(R).
On désigne par Inla matrice diagonale de Mn(R)dont tous les coefficients diagonaux sont égaux
à 1, et par 0nla matrice nulle de Mn(R).
Pour toute matrice Ade Mn(R), on appelle trace de A, et on note T r(A), la somme
des coefficients diagonaux de A.
On note id l’endomorphisme identité de Rn.
On rappelle qu’un endomorphisme fde Rnest appelé une homothétie lorsqu’il existe un réel λ
tel que f=λid.
On note R[X]l’espace vectoriel des polynômes à coefficients réels.
Dans tout le problème, Adésigne une matrice non nulle de Mn(R), et uest l’endomorphisme de
Rncanoniquement associé à la matrice A.
On considère l’application ϕAdéfinie sur Mn(R)par :
∀M∈ Mn(R), ϕA(M) = AM −MA.
On rappelle que si P=
d
X
k=0
akXkest un polynôme de R[X],P(A)désigne la matrice
P(A) =
d
X
k=0
akAkde Mn(R).
Enfin , on note R[A]le sous-espace vectoriel de Mn(R)défini par :
R[A] = {P(A)\P∈R[X]}.
L’objet du problème est d’étudier quelques propriétés des éléments propres de ϕA.
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La partie I étudie la diagonalisabilité de l’endomorphisme ϕAdans un cas particulier.
Les parties II et III étudient les sous-espaces propres de ϕA.
La partie IV étudie la diagonalisabilité de ϕAdans le cas général.
Enfin, la partie V compare les valeurs propres de Aet celles de ϕAdans le cas n= 2.
Les quatre premières parties de ce problème sont dans une large mesure indépendantes.
Préliminaire
1. Montrer que ϕAest un endomorphisme de Mn(R).
2. Montrer que l’application T r est une forme linéaire surjective de Mn(R).
En déduire que son noyau, noté T,est un hyperplan de Mn(R).
3. Montrer que pour toutes matrices Met Nde Mn(R), on a : T r(MN) = T r(NM).
En déduire que deux matrices semblables de Mn(R)ont la même trace.
4. Montrer que : Im(ϕA)⊂ T , où Im(ϕA)désigne l’image de l’endomorphisme ϕA.
Existe-t-il une matrice Bde Mn(R)telle que ϕA(B) = In?
Partie I : Etude d’un cas particulier
Dans cette partie seulement, on suppose que n= 2 et que A= 1 2
2 1 !.
1. Déterminer les valeurs propres et les sous-espaces propres de la matrice A.
La matrice Aest-elle diagonalisable ?
2. Expliciter la matrice Cassociée à l’endomorphisme ϕArelativement à la base canonique de
M2(R).
3. Déterminer le rang de C, puis expliciter une base de Ker(ϕA).
4. Déterminer les valeurs propres et les sous-espaces propres de ϕA.
L’endomorphisme ϕAest-il diagonalisable ?
2

Partie II : Etude des vecteurs propres de ϕAassociés à une valeur propre non
nulle
Dans cette partie, on suppose que λest une valeur propre non nulle de ϕA.
On note alors Bun vecteur propre de ϕAassocié à la valeur propre λ.
1. Rappeler la dimension de Mn(R).
2. Montrer que, pour tout entier naturel k, on a :
ϕA(Bk) = λkBk.
On pourra procéder par récurrence.
3. En déduire qu’il existe un entier naturel dtel que Bd= 0n.
Partie III : Etude des vecteurs propres de ϕAassociés à la valeur propre 0
Dans cette partie, on désigne par ul’endomorphisme de Rncanoniquement associé à la matrice
A. On note Ker(ϕA)le noyau de l’application ϕA.
1. Montrer que 0 est valeur propre de ϕA.
2. Soit Bune matrice de Mn(R). On note vl’endomorphisme de Rncanoniquement associé à B.
Montrer l’équivalence :
B∈Ker(ϕA)⇐⇒ u◦v=v◦u.
3. a) Montrer que toute matrice de Mn(R)admet un polynôme annulateur non nul.
Dans la suite de cette question, II désigne un polynôme annulateur non nul de Aet degré
minimal, on note dle degré de II.
b) Pour tout polynôme Pde R[X], montrer qu’il existe un unique couple (Q, R)de polynômes
de R[X]tel que
P=II.Q +Ret deg(R)< d.
c) En déduire que (In, A, . . . , Ad−1)est une base de R[A], puis montrer que R[A]⊂Ker(ϕA).
d) Montrer que si un’est pas une homothétie, alors Im(ϕA)6=T, le sous-espace Tayant été
défini dans le préliminaire.
4. Un cas d’égalité
On suppose dans cette question que la matrice Aest nilpotente d’ordre n:
An= 0net An−16= 0n.
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On considère un vecteur xde Rntel que un−1(x)6= 0Rn, où 0Rndésigne le vecteur nul de Rn.
Et on pose, pour tout entier ide J1, nK:
ei=un−i(x).
a) Montrer que la famille (e1, e2, . . . , en)est une base de Rn.
b) Soit B∈Ker(ϕA). On note vl’endomorphisme de Rncanoniquement associé à B.
Montrer qu’il existe nréels α1, . . . , αntels que
v(x) =
n
X
i=1
αiei,
puis montrer que
v=
n
X
i=1
αiun−i
c) En déduire Ker(ϕA), puis la dimension de Ker(ϕA)dans ce cas.
5. Cas particulier où Ker(ϕA) = Mn(R)
a) Montrer que si uest une homothétie, alors Ker(ϕA) = Mn(R).
b) i. Montrer que uest une homothétie si, et seulement si, pour tout vecteur xde Rn, la
famille (x, u(x)) est liée.
On pourra considérer la base canonique de Rn.
ii. Montrer que si Ker(ϕA) = Mn(R), alors uest une homothétie.
Pour tout vecteur non nul xde Rn, en notant Hxun supplémentaire de Vect(x)dans
Rn, on pourra considérer la projection sur Vect(x)parallèlement à Hx.
6. Cas où uest diagonalisable
On suppose dans cette question que l’endomorphisme uest diagonalisable.
On note λ1, . . . , λples pvaleurs propres distinctes de u(avec 1≤p≤n), et pour tout entier
kde J1, pK, on note Eu(λk)le sous-espace propre de uassocié à la valeur propre λk, et mkla
dimension de cet espace propre.
Pour tout entier kde J1, pK, on note Bkune base du sous-espace propre Eu(λk).
Et on désigne par Bla famille obtenue en réunissant successivement les vecteurs des familles
B1,...,Bp.
a) Justifier que Best une base de Rn.
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b) Soient Bune matrice de Mn(R), et vl’endomorphisme de Rncanoniquement associé à B.
Montrer que B∈Ker(ϕA)si, et seulement si, pour tout entier kde J1, pK,Eu(λk)est stable
par v.
c) Soient Bune matrice de Mn(R), et vl’endomorphisme de Rncanoniquement associé à B.
Montrer que Best un vecteur de Ker(ϕA)si, et seulement si, la matrice de vdans la base
Ba une forme que l’on précisera.
d) En déduire la dimension de Ker(ϕA)en fonction de m1, m2, . . . , mp.
Partie IV : Etude de la diagonalisabilité de ϕA
Nous allons montrer dans cette partie l’équivalence : Aest diagonalisable si, et seulement si, ϕA
est diagonalisable.
1. On suppose dans cette question que la matrice Aest diagonale :
A=
λ10. . . 0
0.......
.
.
.
.
.......0
0. . . 0λn
a) Exprimer, pour tout (i, j)de J1, nK2, la matrice AEi,j −Ei,j Aen fonction de la matrice
Ei,j et des réels λiet λj.
b) En déduire que ϕAest diagonalisable.
2. On suppose dans cette question que la matrice Aest diagonalisable.
Il existe ainsi une matrice inversible Pde Mn(R)et une matrice diagonale
D=
λ10. . . 0
0.......
.
.
.
.
.......0
0. . . 0λn
de Mn(R)
telles que
P−1AP =D.
En considérant les matrices Bi,j définies pour tout couple d’entiers (i, j)de J1, nKpar
Bi,j =P Ei,j P−1,
démontrer alors que ϕAest diagonalisable.
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