Mais alors f−1(]a, b[) = f−1([−∞, b[) ∩f−1(]a, +∞]) ∈ M pour tous a, b ∈R. Puis, comme
dans la Proposition 1.6, on consid`ere M:= {A⊂R|f−1(A)∈ M} : c’est une tribu qui
contient tous les intervalles du type (1.1) et comme tout ouvert de Rest r´eunion d´enombrable
de tels intervalles (voir Exercice 1), elle contient tous les ouverts donc tous les bor´eliens de R.
ii) Posons ¯
f(x) = supjfj(x) et f(x) = infjfj(x). Il suffit de remarquer que
¯
f−1(]a, +∞]) = ∪jf−1
j(]a, +∞]), f−1([a, +∞]) = ∩jf−1
j([a, +∞]),
sont mesurables pour chaque a∈R. On voit que f−1(]a, +∞]) est mesurable en l’´ecrivant
comme r´eunion des f−1([a+1
n,+∞]). Les cas des lim sup et lim inf s’obtiennent de fa¸con
analogue car s’´ecrivent respectivement comme inf et sup de suites de fonctions mesurables
positives.
Proposition 1.8. i) f:X→Cest mesurable si et seulement si Re(f)et Im(f)sont mesu-
rables.
ii) Les sommes, produits et modules d’applications mesurables X→Csont mesurables.
D´emonstration. i) Supposons fmesurable. Comme h◦fest mesurable pour toute application
continue h:C→R(Proposition 1.6) et comme les applications Re : C→Ret Im : C→R
sont continues, Re(f) et Im(f) sont mesurables. Pour la r´eciproque, via l’identification usuelle
de Cet R2, il suffit de v´erifier que si u, v :X→Rsont mesurables, l’application F:X→R2
d´efinie par F(x)=(u(x), v(x)) est mesurable. En effet, comme tout ouvert Ude R2s’´ecrit
comme une r´eunion d´enombrable ∪n∈N]an, bn[×]cn, dn[ (voir Exercice 1), on a
F−1(U) = ∪n∈NF−1(]an, bn[×]cn, dn[) = ∪n∈Nu−1(]an, bn[) ∩v−1(]cn, dn[)
qui est mesurable. Le r´esultat suit de la Proposition 1.6.
ii) |f|est mesurable car de la forme h◦favec hcontinue. Pour les sommes et produits, il
suffit de consid´erer les parties r´eelles et imaginaires d’apr`es i). Il suffit alors de consid´erer les
sommes et produits de fonctions mesurables r´eelles qui sont mesurables car de la forme G+◦F
et G×◦Favec G+(u, v) = u+vet G×(u, v) = uv qui sont continues sur R2.
Terminons en consid´erant une classe particuli`erement int´eressante de fonctions mesurables :
les fonctions ´etag´ees.
D´efinition 1.9. Une fonction s:X→Cest dite ´etag´ee si elle est mesurable et prend un
nombre fini de valeurs.
On v´erifie facilement que si sest ´etag´ee et si α1,...,αNsont les Nvaleurs distinctes qu’elle
prend, elle s’´ecrit
s=
N
X
k=1
αkχSk, Sk=f−1({αk}),(1.2)
o`u chaque Skest mesurable et χSkest sa fonction caract´eristique 3. Dans cette d´ecomposition
(dite canonique), on a ∪kSk=X. Notons au passage que la fonction caract´eristique χA
d’un ensemble mesurable Aest ´etag´ee et que sa d´ecomposition au sens de (1.2) est χA=
0×χAc+ 1 ×χA.
Proposition 1.10. Les fonctions ´etag´ees forment un espace vectoriel.
D´emonstration. Clairement, le produit d’une fonction ´etag´ee par un scalaire est une fonction
´etag´ee et il y a juste `a prouver que s+test ´etag´ee si set tsont ´etag´ees. Par une r´ecurrence
3. ie vaut 1 sur Sket 0 sur son compl´ementaire Sc
k
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