Math module3 théorie (Monica) BAC 2 Q2

Monica Gonzalez Berridi Q2
1
Mathématiques : PR406
Module 3 : Champ multiplicatif
Introduction :
Le champ additif :
- Le premier découvert par les enfants
- L’apparente simplicité des opérations cache une grande diversité de
sens.
Le champ multiplicatif :
- est découvert par les enfants plus tard.
- les dynamiques présentes sont multiples mais toutes les situations
de ce champ ont en commun de se résoudre par une multiplication
ou une division.
Les différents sens de la multiplication :
Les différentes situations concrètes qui évoquent ces opérations :
Les situations
concrètes
La multiplication – opérateur ou addition réitérée –
itérations (répétition)
La multiplication – combinaison
(Configuration rectangulaire)
Exemples :
• On a 3 boîtes contenant chacune 4 balles de ping-pong.
Combien cela fait-il de balles au total ?
• Je dois dresser 3 tables de 4 personnes. Combien d’assiettes
y aura-t-il en tout ?
• La classe voudrait acheter 3 puzzles à 4€, combien cela va-t-il
coûter ?
• Au jeu de l’oie, j’ai 3 fois de suite obtenu un 4 en lançant le
dé. De combien de cases ai-je avancé en tout pendant ces trois
tours ?
• Je me déguise, il y a 4 chapeaux différents et 3 pulls
différents, combien de déguisements différents puis-je
inventer ?
• Un puzzle est constitué de 3 lignes de 4 pièces. Combien
ce puzzle compte-t-il de pièce ?
• Il y a 4 chemins pour aller de A à B, et 3 chemins pour
aller de B à C. Par combien de chemins différents peut-on
aller de A à C ?
Caractéristiques :
Aspects :
• Une action a été répétée plusieurs fois ou une collection a
été prise plusieurs fois
• Les nombres sont considérés dans leur aspect cardinal,
puisqu’ils renvoient à des quantités.
• L’opération s’écrit 4+4+4=3X4=12
• La situation est dite homogène car le résultat (une
quantité́ d’assiettes) est de la même nature que la
collection de départ.
• Les deux facteurs jouent des rôles différents : On multiplie
4 par 3. Le 3 agit sur le 4.
• Les deux facteurs ne sont pas interchangeables : 3 piles de
4 assiettes, ce n’est pas la même chose de 4 piles de 3
assiettes !
Cette situation se verbaliserait naturellement 3 piles de 4
assiettes et donc 3 x 4.
• Fondamentalement, il s’agit donc d’une addition répétée.
Il est important de découvrir avec les enfants le caractère
fastidieux de ce procédé, de cette représentation pour
arriver à les exprimer de manière plus économique. Par
exemple « prendre 4 assiettes plus 4 assiettes plus 4
assiettes » c’est « prendre 3 piles de 4 assiettes, 3 fois 4
assiettes ».
à Cardinal ou ordinal
• On combine les éléments d’une collection avec les
éléments d’une autre collection.
• Les deux facteurs jouent un rôle symétrique : 3x4 = 4x3 =
12
Graphique :
Douze déguisements possibles à partir de 4 chapeaux et 3 pulls.
Il s’agit donc d’une situation hétérogène combinant deux
collections de natures différentes pour en créer une troisième
d’une autre nature encore.
à Uniquement cardinal
Représentation
graphique :

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Représentation
symbolique :
Les 2 termes
jouent un rôle
identique, on
voit que pour
chaque chapeau 3 pulls peuvent être choisis (4x3) et que pour
chaque pull 4 chapeaux peuvent être choisis (3x4).
Écriture
canonique :
3x4 = 12 = 4x3
La multiplication-combinaison peut aussi revêtir une « structure
rectangulaire », comme dans l’exemple du puzzle ou de celui
d’un rectangle découpé en carrés : 4 en longueur, 3 en largeur :
Les différents sens de la division :
Les situations
concrètes
La division – partage
La division – contenance
Exemples :
• Nous sommes 3 et nous avons 12 billes à nous partager en
parts égales. Combien de billes chacun reçoit-il ?
• Nous sommes 3 et nous avons 14 billes à nous partager en
parts égales. Combien de billes chacun reçoit-il ?
• Je plie une bandelette de papier de 60cm de long en 4
parties égales, combien mesure chaque partie ?
• J’ai 12 assiettes, j’en fais des piles de 4. Combien de piles
vais-je obtenir ?
• J’ai acheté plusieurs boîtes de 4 balles de ping-pong, j’ai 12
balles en tout. Combien ai-je acheté de boîtes ?
Caractéristiques :
• On partage une collection ou une grandeur en parts égales
: on a un tout et un nombre de parts
• Les deux facteurs jouent des rôles différents, ils ne sont
pas interchangeables : je peux répartir 12 billes entre 3
personnes mais pas 3 personnes entre 12 billes !
• 12:3=4divisionexacte
• 14 :3=4 (il reste 2) division avec reste
• On a un tout. On donne le nombre d’éléments de chaque
part. Combien de parts a-t-on ? On reporte une
collection : combien de fois entre-t-elle dans le tout ?
• 12:4=3ou?x4=12
Représentation
graphique :
Représentation
symbolique :
Écriture
canonique :
20 : 5 = 4
4 est le quotient
20 est le dividende
5 est le diviseur

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Les opérations réciproques :
En fonction de la place de l’inconnue, une situation de multiplication peut aboutir à une division et
inversement.
Exemple :
• Un assemblage rectangulaire de points est fait avec des colonnes de 3 points et comporte 12
points en tout. Combien comporte-t-il de colonnes ?
• Un marchand vend des balles de ping-pong en boîtes de 3. Un client veut acheter 12 balles,
combien cela fait-il de boîtes ?
• Un client aimerait acheter 12 balles de ping-pong. Le marchand lui dit qu’il doit acheter 3
boîtes. Combien y a-t-il de balles par boîte ?
Le premier exemple évoque une multiplication-combinaison, le second et le troisième une
multiplication-opérateur, mais ils peuvent tous les deux se résoudre par une division.
On écrira : ? X 3 =12 ou 3 x ? = 12 Et l’on calculera 12 :3=
Remarquons que le deuxième exemple peut aussi être perçu comme une division-contenance et le
troisième comme une division-partage. Les divisions contenances et partages sont en fait les deux
réciproques de la multiplication-opérateur.
D’autres sens, d’autres interprétations :
Les situations
concrètes
La comparaison ou le rapport
La composition d’opérateurs
Exemples :
• J’ai 12 billes, mon frère en a 3. Combien de fois en ai-je de
plus que lui ?
• !J’ai 12 ans, mon frère en a 3. Combien de fois suis-je plus
âgé que lui ?
• !Une population a triplé́ et ensuite quadruplé, par
combien a-t-elle été multipliée au total ?
• !J’ai quadruplé ma collection de billes, ensuite j’en
ai perdu la moitié́.
Caractéristiques :
Aspect :
• Voir Q1
• On parle de multiplication/division-rapport car le rapport
de mon âge à celui de mon frère est égale à 4.
Cardinal ou ordinal
Cardinal ou ordinal
Représentation
symbolique :
Méthodologie :
En quoi prendre conscience de la multiplicité des sens cachés derrière chaque opération peut
influencer la pratique de l’enseignant ?
- Proposer aux enfants des situations diverses, relevant des différents sens d’une opération,
pour qu’il devienne capable de reconnaître l’opération quel que soit son « habit ». Comment

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reconnaître, par exemple, une multiplication dans une situation de combinaison si l’enfant
ne l’a étudiée que sous forme d’addition répétée ?
-
- Choisir les situations adéquates pour découvrir les propriétés et les procèdes :
o addition-réunion pour découvrir la commutativité
o addition-transformation pour découvrir que « ajouter 99 » c’est « ajouter 100 » puis
« enlever 1 »
o soustraction-comparaison pour aborder les procédé́ de compensation
o division-partage et division-contenance pour bien comprendre la division écrite
o Multiplication-combinaison pour comprendre la double distributivité́ de la
multiplication par rapport à l’addition -...
- Repérer et analyser les erreurs des enfants : dynamique mal comprise ? écriture canonique
mal traduite ? erreur de calcul ?
-
Les propriétés :
Propriété 1 :
Commutativité de la
multiplication
Si a et b désignent deux nombres quelconques, alors
𝑎
×
𝑏
=
𝑏
×
𝑎
à
Image mentale : multiplication combinaison
Propriété 2 :
Associativité de la
multiplication
Si a, b et c désignent deux nombres quelconques, alors
(
𝑎
×
𝑏
) ×
𝑐
=
𝑎
× (
𝑏
×
𝑐
)
Image mentale : multiplication combinaison sur un cube par
exemple :
Propriété 3 :
Distributivité de la
multiplication par
rapport à l’addition
Si a, b et c désignent deux nombres quelconques
alors
𝑎
×(
𝑏
+
𝑐
)=(
𝑎
×
𝑏
)+(
𝑎
×
𝑐
)
Image mentale : multiplication-combinaison :
Distributivité de la multiplication par rapport à la soustraction :
Si a, b et c désignent deux nombres quelconques
alors
𝑎
×(
𝑏
−
𝑐
)=(
𝑎
×
𝑏
)−(
𝑎
×
𝑐
)
Image mentale : multiplication-combinaison :

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Double distributivité de la multiplication par rapport à l’addition :
Si a, b et c désignent deux nombres quelconques alors
(
𝑎
+
𝑏
) × (
𝑐
+
𝑑
) = (
𝑎
×
𝑐
) + (
𝑎
×
𝑑
) + (
𝑏
×
𝑐
) + (
𝑏
×
𝑑
)
(
𝑎
+
𝑏
) × (
𝑐
−
𝑑
) = (
𝑎
×
𝑐
) − (
𝑎
×
𝑑
) + (
𝑏
×
𝑐
) − (
𝑏
×
𝑑
)
(
𝑎
−
𝑏
) × (
𝑐
+
𝑑
) = (
𝑎
×
𝑐
) + (
𝑎
×
𝑑
) − (
𝑏
×
𝑐
) − (
𝑏
×
𝑑
)
(
𝑎
−
𝑏
) × (
𝑐
−
𝑑
) = (
𝑎
×
𝑐
) − (
𝑎
×
𝑑
) − (
𝑏
×
𝑐
) + (
𝑏
×
𝑑
)
Image mentale : inspire-toi des distributivités ci-dessus.
Propriété 4 : Division
d’une somme
Si a et b désignent des nombres quelconques et c un nombre non nul,
alors (
𝑎
+
𝑏
):
𝑐
= (
𝑎
:
𝑐
) + (
𝑏
:
𝑐
)
- Pour diviser une somme par un nombre, on peut diviser
successivement par ce nombre chacun des termes de la somme
et additionner les résultats.
ATTENTION si on travaille dans les nombres naturels, cette propriété est
correcte uniquement si les deux quotients « tombent juste ».
Image mentale : division-partage (Partager 10 bonbons en 2 et 26 bonbons en 2 revient
à partager 36 bonbons en 2)
Propriété 5 :
Compensation croisée
pour la
multiplication
Pour multiplier un nombre par un autre, on ne change pas le produit si
on multiplie un des facteurs par un nombre et divise l’autre facteur par le
même nombre.
Exemple: 5× 24=10 ×12=120
Image mentale : multiplication-opérateur (prendre 5 paquets de 24 billes revient à
prendre 10 paquets de 12 billes)
Propriété 6 :
Compensation
parallèle pour la
division
Pour diviser un nombre par un autre, on ne change pas le quotient si on
commence par diviser par un même nombre le dividende et le diviseur.
Exemple : 240 : 60 = (24 × 10) : (60 × 10) = 24 :6 =4
Image mentale : division-partage (Partager 36 cartes entre 4 joueurs revient à partager
18 cartes entre 2 joueurs) ou division-contenance (60 rentre le même nombre de fois
dans 240 que 6 dans 24).
Remarque : Cette liste de propriétés n’est pas exhaustive. Elle ne suffit pas à justifier toutes les procédures utilisées par les
enfants. Il faut entrer dans le formalisme des structures mathématiques pour obtenir les propriétés des toutes les
opérations.
Les tables de multiplication :
La construction des tables se fait :
• En utilisant diverses images mentales
• En faisant des liens au sein d’une même table
• En faisant des liens entre les tables
On les rassemble dans un tableau appelé table de Pythagore :
On les mémorise et ensuite il n’y a plus qu’à utiliser ces résultats et
les propriétés pour multiplier et diviser de plus grands nombres.
Procédures :
On retrouve 3 grandes familles de procédures :