Monica Gonzalez Berridi Q2 Mathématiques : PR406 Module 3 : Champ multiplicatif Introduction : Le champ additif : - Le premier découvert par les enfants - L’apparente simplicité des opérations cache une grande diversité de sens. Le champ multiplicatif : - est découvert par les enfants plus tard. - les dynamiques présentes sont multiples mais toutes les situations de ce champ ont en commun de se résoudre par une multiplication ou une division. Les différents sens de la multiplication : Les différentes situations concrètes qui évoquent ces opérations : Les situations La multiplication – opérateur ou addition réitérée – La multiplication – combinaison itérations (répétition) (Configuration rectangulaire) concrètes • On a 3 boîtes contenant chacune 4 balles de ping-pong. • Je me déguise, il y a 4 chapeaux différents et 3 pulls Exemples : Caractéristiques : Aspects : Combien cela fait-il de balles au total ? • Je dois dresser 3 tables de 4 personnes. Combien d’assiettes y aura-t-il en tout ? • La classe voudrait acheter 3 puzzles à 4€, combien cela va-t-il coûter ? • Au jeu de l’oie, j’ai 3 fois de suite obtenu un 4 en lançant le dé. De combien de cases ai-je avancé en tout pendant ces trois tours ? • Une action a été répétée plusieurs fois ou une collection a été prise plusieurs fois • Les nombres sont considérés dans leur aspect cardinal, puisqu’ils renvoient à des quantités. • L’opération s’écrit 4+4+4=3X4=12 • La situation est dite homogène car le résultat (une quantité́ d’assiettes) est de la même nature que la collection de départ. • Les deux facteurs jouent des rôles différents : On multiplie 4 par 3. Le 3 agit sur le 4. • Les deux facteurs ne sont pas interchangeables : 3 piles de 4 assiettes, ce n’est pas la même chose de 4 piles de 3 assiettes ! Cette situation se verbaliserait naturellement 3 piles de 4 assiettes et donc 3 x 4. • Fondamentalement, il s’agit donc d’une addition répétée. Il est important de découvrir avec les enfants le caractère fastidieux de ce procédé, de cette représentation pour arriver à les exprimer de manière plus économique. Par exemple « prendre 4 assiettes plus 4 assiettes plus 4 assiettes » c’est « prendre 3 piles de 4 assiettes, 3 fois 4 assiettes ». à Cardinal ou ordinal • • • • différents, combien de déguisements différents puis-je inventer ? Un puzzle est constitué de 3 lignes de 4 pièces. Combien ce puzzle compte-t-il de pièce ? Il y a 4 chemins pour aller de A à B, et 3 chemins pour aller de B à C. Par combien de chemins différents peut-on aller de A à C ? On combine les éléments d’une collection avec les éléments d’une autre collection. Les deux facteurs jouent un rôle symétrique : 3x4 = 4x3 = 12 Graphique : Douze déguisements possibles à partir de 4 chapeaux et 3 pulls. Il s’agit donc d’une situation hétérogène combinant deux collections de natures différentes pour en créer une troisième d’une autre nature encore. à Uniquement cardinal Représentation graphique : 1 Monica Gonzalez Berridi Q2 Représentation symbolique : Les 2 termes jouent un rôle identique, on voit que pour chaque chapeau 3 pulls peuvent être choisis (4x3) et que pour chaque pull 4 chapeaux peuvent être choisis (3x4). 3x4 = 12 = 4x3 La multiplication-combinaison peut aussi revêtir une « structure rectangulaire », comme dans l’exemple du puzzle ou de celui d’un rectangle découpé en carrés : 4 en longueur, 3 en largeur : Écriture canonique : Les différents sens de la division : Les situations concrètes Exemples : La division – partage • • • Caractéristiques : • • • • Nous sommes 3 et nous avons 12 billes à nous partager en parts égales. Combien de billes chacun reçoit-il ? Nous sommes 3 et nous avons 14 billes à nous partager en parts égales. Combien de billes chacun reçoit-il ? Je plie une bandelette de papier de 60cm de long en 4 parties égales, combien mesure chaque partie ? On partage une collection ou une grandeur en parts égales : on a un tout et un nombre de parts Les deux facteurs jouent des rôles différents, ils ne sont pas interchangeables : je peux répartir 12 billes entre 3 personnes mais pas 3 personnes entre 12 billes ! 12:3=4divisionexacte 14 :3=4 (il reste 2) division avec reste La division – contenance • J’ai 12 assiettes, j’en fais des piles de 4. Combien de piles vais-je obtenir ? • J’ai acheté plusieurs boîtes de 4 balles de ping-pong, j’ai 12 balles en tout. Combien ai-je acheté de boîtes ? • • On a un tout. On donne le nombre d’éléments de chaque part. Combien de parts a-t-on ? On reporte une collection : combien de fois entre-t-elle dans le tout ? 12:4=3ou?x4=12 Représentation graphique : Représentation symbolique : Écriture canonique : 20 : 5 = 4 4 est le quotient 20 est le dividende 5 est le diviseur 2 Monica Gonzalez Berridi Q2 Les opérations réciproques : En fonction de la place de l’inconnue, une situation de multiplication peut aboutir à une division et inversement. Exemple : • • • Un assemblage rectangulaire de points est fait avec des colonnes de 3 points et comporte 12 points en tout. Combien comporte-t-il de colonnes ? Un marchand vend des balles de ping-pong en boîtes de 3. Un client veut acheter 12 balles, combien cela fait-il de boîtes ? Un client aimerait acheter 12 balles de ping-pong. Le marchand lui dit qu’il doit acheter 3 boîtes. Combien y a-t-il de balles par boîte ? Le premier exemple évoque une multiplication-combinaison, le second et le troisième une multiplication-opérateur, mais ils peuvent tous les deux se résoudre par une division. On écrira : ? X 3 =12 ou 3 x ? = 12 Et l’on calculera 12 :3= Remarquons que le deuxième exemple peut aussi être perçu comme une division-contenance et le troisième comme une division-partage. Les divisions contenances et partages sont en fait les deux réciproques de la multiplication-opérateur. D’autres sens, d’autres interprétations : Les situations concrètes Exemples : La comparaison ou le rapport • • J’ai 12 billes, mon frère en a 3. Combien de fois en ai-je de plus que lui ? J’ai 12 ans, mon frère en a 3. Combien de fois suis-je plus âgé que lui ? Caractéristiques : • • Aspect : Cardinal ou ordinal La composition d’opérateurs • • Une population a triplé́ et ensuite quadruplé, par combien a-t-elle été multipliée au total ? J’ai quadruplé ma collection de billes, ensuite j’en ai perdu la moitié́. Voir Q1 On parle de multiplication/division-rapport car le rapport de mon âge à celui de mon frère est égale à 4. Cardinal ou ordinal Représentation symbolique : Méthodologie : En quoi prendre conscience de la multiplicité des sens cachés derrière chaque opération peut influencer la pratique de l’enseignant ? - Proposer aux enfants des situations diverses, relevant des différents sens d’une opération, pour qu’il devienne capable de reconnaître l’opération quel que soit son « habit ». Comment 3 Monica Gonzalez Berridi - Q2 reconnaître, par exemple, une multiplication dans une situation de combinaison si l’enfant ne l’a étudiée que sous forme d’addition répétée ? - Choisir les situations adéquates pour découvrir les propriétés et les procèdes : o addition-réunion pour découvrir la commutativité o addition-transformation pour découvrir que « ajouter 99 » c’est « ajouter 100 » puis « enlever 1 » o soustraction-comparaison pour aborder les procédé́ de compensation o division-partage et division-contenance pour bien comprendre la division écrite o Multiplication-combinaison pour comprendre la double distributivité́ de la multiplication par rapport à l’addition -... - Repérer et analyser les erreurs des enfants : dynamique mal comprise ? écriture canonique mal traduite ? erreur de calcul ? - Les propriétés : Propriété 1 : Commutativité de la multiplication Propriété 2 : Associativité de la multiplication Propriété 3 : Distributivité de la multiplication par rapport à l’addition Si a et b désignent deux nombres quelconques, alors 𝑎×𝑏=𝑏×𝑎 à Image mentale : multiplication combinaison Si a, b et c désignent deux nombres quelconques, alors (𝑎 × 𝑏) × 𝑐 = 𝑎 × (𝑏 × 𝑐) Image mentale : multiplication combinaison sur un cube par exemple : Si a, b et c désignent deux nombres quelconques alors 𝑎 ×(𝑏+𝑐)=(𝑎 ×𝑏)+(𝑎×𝑐) Image mentale : multiplication-combinaison : Distributivité de la multiplication par rapport à la soustraction : Si a, b et c désignent deux nombres quelconques alors 𝑎 ×(𝑏−𝑐)=(𝑎 ×𝑏)−(𝑎×𝑐) Image mentale : multiplication-combinaison : 4 Monica Gonzalez Berridi Q2 Double distributivité de la multiplication par rapport à l’addition : Si a, b et c désignent deux nombres quelconques alors (𝑎 + 𝑏) × (𝑐 + 𝑑) = (𝑎 × 𝑐) + (𝑎 × 𝑑) + (𝑏 × 𝑐) + (𝑏 × 𝑑) (𝑎 + 𝑏) × (𝑐 − 𝑑) = (𝑎 × 𝑐) − (𝑎 × 𝑑) + (𝑏 × 𝑐) − (𝑏 × 𝑑) (𝑎 − 𝑏) × (𝑐 + 𝑑) = (𝑎 × 𝑐) + (𝑎 × 𝑑) − (𝑏 × 𝑐) − (𝑏 × 𝑑) (𝑎 − 𝑏) × (𝑐 − 𝑑) = (𝑎 × 𝑐) − (𝑎 × 𝑑) − (𝑏 × 𝑐) + (𝑏 × 𝑑) Image mentale : inspire-toi des distributivités ci-dessus. Propriété 4 : Division d’une somme Si a et b désignent des nombres quelconques et c un nombre non nul, alors (𝑎 + 𝑏): 𝑐 = (𝑎: 𝑐) + (𝑏: 𝑐) - Pour diviser une somme par un nombre, on peut diviser successivement par ce nombre chacun des termes de la somme et additionner les résultats. ATTENTION si on travaille dans les nombres naturels, cette propriété est correcte uniquement si les deux quotients « tombent juste ». Image mentale : division-partage (Partager 10 bonbons en 2 et 26 bonbons en 2 revient à partager 36 bonbons en 2) Propriété 5 : Compensation croisée pour la multiplication Pour multiplier un nombre par un autre, on ne change pas le produit si on multiplie un des facteurs par un nombre et divise l’autre facteur par le même nombre. Exemple: 5× 24=10 ×12=120 Propriété 6 : Compensation parallèle pour la division Pour diviser un nombre par un autre, on ne change pas le quotient si on commence par diviser par un même nombre le dividende et le diviseur. Exemple : 240 : 60 = (24 × 10) : (60 × 10) = 24 :6 =4 Image mentale : multiplication-opérateur (prendre 5 paquets de 24 billes revient à prendre 10 paquets de 12 billes) Image mentale : division-partage (Partager 36 cartes entre 4 joueurs revient à partager 18 cartes entre 2 joueurs) ou division-contenance (60 rentre le même nombre de fois dans 240 que 6 dans 24). Remarque : Cette liste de propriétés n’est pas exhaustive. Elle ne suffit pas à justifier toutes les procédures utilisées par les enfants. Il faut entrer dans le formalisme des structures mathématiques pour obtenir les propriétés des toutes les opérations. Les tables de multiplication : La construction des tables se fait : • En utilisant diverses images mentales • En faisant des liens au sein d’une même table • En faisant des liens entre les tables On les rassemble dans un tableau appelé table de Pythagore : On les mémorise et ensuite il n’y a plus qu’à utiliser ces résultats et les propriétés pour multiplier et diviser de plus grands nombres. Procédures : On retrouve 3 grandes familles de procédures : 5 Monica Gonzalez Berridi Q2 à Groupements : 8 × 7 × 125 = (8 × 125) × 7 = 1000 × 7 = 7000 à Décomposition à Décomposition en somme ou différence : àDécomposition en produit ou quotient : Lorsque le deuxième élément d’un produit ou d’un quotient est 0,5 ; 50 ; 500 ; ... ; 0,2 ; 20 ; 200 ; ... ; 0,4 ; 40 ; 400 ; ... ; 0,25 ; 2,5 ; 25 ; 250 ; ..., Il est plus facile de considérer ce nombre comme un produit ou un quotient de deux nombres (ou plus), et donc de remplacer un opérateur par une succession de deux opérateurs (ou plus). Quelques décompositions utiles sont reprises dans le tableau suivant. Les procédures de cette famille peuvent se représenter sous forme de graphe fléché́. Cette notation va permettre de trouver certains procédés par opération réciproque. En combinant les décompositions en produit/quotient et les décompositions en somme ou différence, on peut réaliser assez facilement des opérations comme : x21 x51 x19 x0,16,… àCompensation àCompensation croisée dans la multiplication : Un produit ne change pas si je multiplie l’un des facteurs par un nombre (non nul) et si je divise l’autre facteur par le même nombre. Quand l’utiliser ? Notamment quand l’un des facteurs est plus petit que 1, et l’autre divisible par 10 ; autre exemple : lorsque l’un terme est pair, et que l’autre est 5, 50, 500... àCompensation parallèle dans la division : Un quotient ne change pas si je multiplie ou je divise les deux termes par un même nombre (non nul). Quand l’utiliser ? Lorsque les deux nombres sont multiples d’un même nombre, surtout de 2 ou d’une puissance de 10. Le calcul écrit : à Les éléments indispensables à la compréhension des procédures conventionnelles sont : - L’importance de savoir distinguer les différents rangs - La nécessité d’organiser les résultats partiels d’après les rangs - L’utilité de la propriété de distributivité de la multiplication sur l’addition - Les principes de compensations - ETC. à La multiplication écrite : - D’abord, on travaille avec un multiplicateur à un chiffre (car plus facile d’utiliser la représentation dans l’abaque) - Ensuite, on construit le procédé conventionnel avec un multiplicateur à plusieurs chiffres : 6 Monica Gonzalez Berridi Q2 Pour ce faire : § L’enfant doit se forger une image mentale de la distributivité en s’aidant de la représentation rectangulaire : ex = 567x23 L’enfant adopte alors la procédure découverte pour un multiplicateur à un chiffre (en prenant toujours conscience de l’importance des rangs) EX : o - à La division écrite : - D’abord, la division est vécue comme divisionpartage, dans des situations où le dividende ne contient que 1 chiffre : comment partager 150 graines, 150 € entre 4 personnes ? o Ces premières situations sont l’occasion de se rappeler qu’une division peut générer un reste, toutes les divisions ne « tombent pas juste » ! - Que ce soit en travaillant avec le matériel Multibase dans l’abaque (exemple ci-dessous) ou avec des billets de banque, la découverte essentielle est qu’il s’agit ici de travailler avec les plus gros rangs d’abord ... La procédure conventionnelle est dans un premier temps construite dans l’abaque (pour le dividende et pour le diviseur), avant d’être travaillée « à nu ». - - Pour diviser par un nombre à deux chiffres ou plus = division-contenance. Pour effectuer 5304 : 13, par exemple, il est difficile de visualiser « 53 partagé en 13 », se demander « combien de fois 13 est contenu dans 53 » se résout plus aisément. à On cherchera le plus grand multiple de 13 contenu dans 53, en s’aidant d’une table des multiples de 13 afin de focaliser son attention sur l’algorithme plutôt que sur l’aspect calculatoire. Si le dividende est un nombre à virgule, celle-ci est « transportée » vers le quotient au moment où̀ elle est rencontrée : le raisonnement est le même pour partager des billets de 10 € ou des pièces de 10 cents ! Si le diviseur est un nombre à virgule, on utilisera la compensation parallèle pour le rendre entier ... Méthodologie : Il est indispensable de construire les procédures de calcul écrit avec les enfants. Pour cela, il est intéressant de respecter les étapes suivantes : 1. 2. 3. 4. Faire concrètement l’opération, avec du matériel en base 10 Dessiner ce qui a été fait Transcrire dans l’abaque, avec les dessins et puis avec les nombres Déduire la procédure conventionnelle Le calcul écrit ne sera utilisé que dans des situations où il prend son sens : inutile de passer par ce procédé pour calculer, par exemple, 25 x 3 ! 7 Monica Gonzalez Berridi Q2 Autres techniques de calcul écrit : Observer et comprendre différentes techniques de multiplications et divisions écrites utilisées à travers l’histoire est un riche support de réflexion pour les enfants comme pour les adultes. Revoir les PowerPoint du cours !!!! 8