7 les-ensembles-de-nombres-n-z-q-d-et-r-cours-et-exercices-corriges

Cours avec Exercices avec solutions
PROF : ATMANI NAJIB
Tronc CS
Ensemble des nombres réels et sous-ensembles
Leçon : Ensemble des nombres réels et sous-ensembles
Présentation globale
I) Ensembles de nombres.






Les entiers naturels
Les entiers relatifs
Les décimaux
Les rationnels
Les réels
Schéma d'inclusions successives
II) opérations dans l’ensemble des nombres réels
III)Racine carrée
IV)Les Puissances et Écriture scientifique
V)Identités remarquables
I.Ensembles de nombres.
Il existe différentes sortes de nombres. Pour les classer, on
les a regroupés dans différents ensembles remarquables :
1°) L'ensemble des entiers naturels.
Rappel de notations : ={0 ; 1 ; 2 ; ... ; n ; ...},
*= \{0} ( privé de 0).
2°) L’ensemble des entiers relatifs :
Tous les entiers qu'ils soient négatifs, positifs ou nuls, sont
des entiers relatifs
Exemple : -45, -1, 0 et 56 sont des entiers relatifs.
L'ensemble des entiers relatifs est noté . Tous les entiers
naturels sont des entiers relatifs. On dit alors que
l'ensemble est inclu dans l'ensemble Cette inclusion est
notée :
Le symbole " " signifie "est inclu dans".
3-2) critère pour reconnaître un nombre décimal sous
forme fractionnaire :
Pour savoir si un nombre rationnel est décimal ou pas, on peut
mettre ce nombre sous la forme d’une fraction irréductible ;
si le dénominateur est de la forme 2 p  5q , p et q étant des
entiers naturels, alors ce nombre est décimal, sinon il ne l’est
pas.
54 126 75
Exemples : Les nombres
sont-ils des
,
,
40 450 90
décimaux ?
4°) L'ensemble des rationnels.
Les nombres rationnels sont les fractions de la forme p/q où
p et q sont des entiers (non nul pour q). .
Par exemple, 2/3 et -1/7 sont des rationnels.
Tous les nombres décimaux sont des nombres rationnels
notations : ={... ; -3 ; -2 ; -1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; ... }
exemple 1,59. C'est en fait le quotient des entiers 159 et 100
car 159 / 100 = 1,59.
*= \{0} ( privé de 0) ;
De même, tous les entiers sont des décimaux. Prenons
l'exemple de -4. On peut dire que -4 est le quotient de -4 et
3°) L'ensemble des décimaux.
3-1) L'ensemble des décimaux est l'ensemble des nombres de 1 car -4 / 1 = -4.
On résume cela par :
dits "à virgule". Cet ensemble est noté .
a

Par exemple, -3,89 et 5,2 sont des décimaux. Ils peuvent être   / a  ; b    Écriture en compréhension
b

négatifs ou positifs.
1
1
Les entiers relatifs sont aussi des décimaux.
 0.333333....... est rationnel mais  D
3
3
En effet :-4 = -4,000
Remarque1
:
un
rationnel
non
décimal
a une écriture
on dit alors que l'ensemble est inclu dans l'ensemble .
décimale
périodique
infinie
:
Ce qui se note :
17 2.4285714285714285714285714285714… ;
donc on a :

7
a


D  a  10 n  n / a  ; n   Écriture en
428571 se répète
10


3
Remarque2: 2  Q ; 
Q;Q
compréhension
2
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1
5°) L'ensemble des réels.
Tous les nombres utilisés en Seconde sont des réels. Cet
ensemble est noté .
Remarque1 : Parmi les nombres réels, il y a les entiers
naturels, les entiers relatifs, les nombres décimaux, les
nombres rationnels. Les nombres réels qui ne sont pas
rationnels sont appelés nombres irrationnels.
Et on a :   D  
Remarque2 : un irrationnel a une écriture décimale non
périodique infinie :
Par exemple : 1.4142135623730950488016887242097 …
; 

;
0


; 0
; 1;3; 8 
;
; 7
3



;
1
2
;
16 
D;
1
;
D
3
II) opérations et règles de calcul dans l’ensemble des
nombres réels
a et b et c et d  et k 
a  b  b  a ; a  b  c    a  b  c  a  b  c
 a L’opposé de a
 a   a  a   a   0 et a  0  0  a  a
a  b  a   b  et   a  b   a  b
6°) Représentation par ensembles
a  b  b  a  ab  ba et a  bc    ab  c   ac  b  abc
1 l’inverse de a et a
1
 a
a
b
b
Si : a  0; a  1  1
a
k  a  b   ka  kb et
k  a  b   ka  kb
 a  b  c  d   ac  ad  bc  bd
a c ac
a c ac
et a  c  ad  bc et  
 
b d bd
b b
b
b d
bd
Si bd  0
a c ad  bc et a c ac et k  a  ak
 
 
b b
b d bd
b d
bd
a
a
c ac
a d ad
b
et
 a   ; bc  0
  
b
c b c bc
b b
c
d
Remarque3 :
- « soit x un nombre quelconque » sera désormais remplacé
par : « soit x  IR » ou « soit x un nombre réel »
- Le signe * placé en haut à droite de la lettre désignant un
ensemble de nombres, prive celui-ci de zéro.
Ainsi IR* désigne les réels non nuls.
- Le signe + ou - placé en haut à droite de la lettre désignant
un ensemble de nombre, prive celui-ci des nombres négatifs
positifs
Ainsi IR+ désigne l’ensemble des réels positifs (avec zéro)
IR– désigne l ‘ensemble des réels négatifs (avec zéro)
Exercice1 :compléter par :  ;  ;  ; 
6...
2
 ...
3
 ...
;
2
...
3

;
; 0...
1;3; 8...
;
2
...
3

;
2...
;
6
...
2
7
;  ...
3

2...
;
...
; 100 ...
;
1
2
16...
...D
;
1
...
;
; 0...

Exercice 2 :calculer et simplifier : A  3  5  7
4 3 6
B
;
2
;
100

5
F
1
3
D
3
2
2
5
2
7
4

12  21
G   a  c    a  b    c  a    b  c 
;
3 5 7 9 20 14 9  20  14 15 5
Solution : A       
 
4 3 6 12 12 12
12
12 4
...D
;
2 7 1
2 5
  2 C   
3 6 4
3 2
1
 1  2
E  1    1  
3
5
2


...
;
b
3
2
Solution : 6 ;  ; 2 
3
2
2
 ;    ;  ; 6
3
3
2
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;
...
;
5

;
...
;
a  b
alors a  c  b  d
c  d
a c
si et seulement si ad=bc
Si bd  0 
b d
a
 0 ssi a  0
Si on a : 

;
;

;
B
2 7 1
8 14 3 24 8  14  3  24 21 7
  2    


3 6 4
12 12 12 12
12
12
4
 2 5   4  15   11   11 121
C    
 
  2 
6
36
3 2  6   6 
2
2
2
2
2
Exemple : résoudre l’équation suivante x 2  100
1 16
3  3  16  2  32
D
3
1
3 1
3
2
2
2
5
x 2  100 si et seulement si x 
100 ou
x   100 ssi x  10 ou x   10
Donc : S   10;10
1   3 1  4 10 5  2  4  10  5  2  9  2 3  3 3
 1  2
E  1    1           
 Quelques valeurs exactes à connaître :
   
2   3 3  10 10 10  3  10  3  10  3 5  2 5
 3  5
0 1 4 9 16 25 36 49
a
7
F
7  4
4

12  21
F
7  4




12  21
1
7  4



1
7  4
1


12  21

12  21
√a
0 1 2 3 4
G  a c  a b c  a b  c  a c
III)Racine carrée
Activité : On considère un triangle ABC rectangle en A
1)Sachant que AB = 3 cm et AC = 4 cm,
a) Calculer la valeur exacte de BC.
b) Quels sont les nombres qui ont pour carré 25
? Pourquoi a-t-on BC = 5 ?
c) Compléter la phrase suivante :
« BC est le nombre positif dont le carré est … »
2)On suppose maintenant que AB = 2 cm et AC = 3 cm.
« BC est le nombre positif dont le carré est ... »
Rechercher la valeur exacte de BC
On dira que la valeur exacte de BC est la racine carrée de
13 que l’on notera 13
3)Peut-on obtenir la racine carrée de -16 ?
La racine carrée d’un nombre négatif existe-t-elle ?
Définition : a est un nombre positif. La racine carrée de
a, notée a , est le nombre positif dont le carré est
Égal à a.
4 =2;
exemple :
7
100
8
9
10
Exercice 3 : calculer et simplifier :
28
9
; B
; C  3 20  4 45  2 80  180
2
14
A
D

2
1) a  a 2  a
2)
3) a  b  ab
Remarque :
 a
4)
n
a
a

;b
b
b
28
28

 2
14
14
C  3 20  4 45  2 80  180  3 4  5  4 9  5  2 16  5  36  5
C  3  2 5  4  3 5  2  4 5  6 5  6 5  12 5  8 5  6 5   6  12  8  6  5
C4 5

D
D

 
3 2 5 
  5   3
2
2
3 2 
D2 6
3 5
E
3 5
E
3 5

3 5


2
2
2
2
2 3
3 5
   3  5   3
 3   5
3 5
2

   3  2   5 
2   2   5  3  2 3 2  2  5
3 2  5
2

3  2 15  5  3  2 15  5
 3   5
2
2
  3  5 
5  3  5 
3 5 

3
2 3 5
2
0
 5    3 
 3   5
2
2
2
3 5
2 3 5 
9  16  25  5
x  y ssi x  y
2
E
2
5 7
5 2

2 7
2 7
5 7

2 7
E
E

5 7
5 2

2 7
 2  7   5 2  2  7 
 2  7  2  7 
5 7 2 5 7 7 5 2 2 5 2 7
 2  7
2
2

35  10
 2  7
2
2

45
 9 
5

x 2  a si et seulement si x  a ou x   a
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2
  3  2 15  5  3  2 15  5  4 15  2 15
2
 3   5
2
Exercice 5 : calculer et simplifier
A
2 2 2  2 2 2  2 2  2
3

 5 
Montrer que : E est nombre entier relatif
Solution :
Et 9  16  3  4  7
Propriété : x  0 et y  0
Propriété : a 
3 2 5
Exercice 4 : soit
ab  a  b
9  16  9  16 car :
3 5
3 5

3 5
3 5

3 2 5 : E 
B

 an ; n 

 
0=0
Un nombre négatif n’a pas de racine carrée.
Propriétés : soient a et b deux nombres positifs ou nuls
3 2 5
Solution : A  9  9  3  3 2  3 2 2  3 2
2
2
2
2
2 2
2

E
En effet :
6
81
1
1

3  7  4 
3
G   a  c    a  b    c  a   b  c    a  c  a  b    c  a  b  c 
 
5
64
2 
2 
Solution : A 
A  22 

2
2
2 2
 2 

2 2  2 2  2


2 2  2  4 2 2  2 2  2
A  2  2  2  2  2  22 
 2
2
 2  2 2  2
Exercice6 : Rendre le dénominateur rationnel du quotient
1
2 1
Solution : on multiplie le dénominateur par son conjugué
suivant: A 


4
3
1
1

4
2 16
1
5
2
10
1
5
2
10
B   3   3   3   3    3    3   3   3
1
1
B  31  35  32  310  315 2 10  32  2 
3
9
A
4
5
2
5
2
35  42 9 3   2 
32 3   2   3
C




3
3
2
123
22
 3  2 2  2  3  26  2 2
2
35   2   32
4
1
2 1
2 1
2 1
=
= 2
=
= 2 1
1
2  1 2  1 2  1 2  12
A
A  23   2 2    2 5   23  2 24  2 53  23815  2 4
C

 3
3
2 2
6
 35  24  32   3  26  22  353 2  2462
3
2
6
C  3  212
IV)Les Puissances
1)Définition et notations : a 


et n 
et b
D
 2 
3
  42   8
1

23  42
 1
 23
23   22   23
2

1024   16 
1024   23 
210   23 
Le produit de n facteurs égaux à a et noté an et s’appelle la
2
3 4  310 12
3 4
puissance n-ième de a » ; n est appelé exposant :
 24  16
D  23   2 2   23  2 10   2   2
‫عد‬
1
En particulier : Pour a ≠ 0
an
10  1000 0; n 
a-1 =
1
a
4°) Écriture scientifique d’un nombre décimal
La notation scientifique d’un nombre décimal est de la forme
p
a  10 où a est un nombre décimal ( 1  a 10) et p un
nombre entier relatif.
(n zéros)
n
n
10 n  0, 000 01; n 
(n zéros)
Ex : 593,7  5,937  102
n

101  10 ; 101  0,1 ; 102  0, 01 ; 100  1

2)Propriétés des puissances : a 
n

; m

et b 

et
1)
et
3
7300  7, 3  10
2328423 = 2,328423106  et
0, 051  5, 1 10
-0,00032 = -3,210-4 sur la calculatrice -3.2
2
E-4
Exercice 8 : Ecrire en notation scientifique le nombre
n
a  a  a n  bn  ab n ;
 
 
bn  b 
n
4
E
‫م رةال‬
et on a : a  n 
4
108 109 107 104
 108 109 107 104 102 103 105
102 103 105
1
1
E  108 9  7  4  2 35  102 

 0.01
2
10
100
1
0
a n  a  a  a  a Cas particulier : a  a; a  1
‫د‬
4
a 
n m
 a nm ; a n  a m  a n  m ; A = 9  10-3 + 0,4  10-2 – 9  10-4 en mettant d’abord 10-4
en facteur et sans utiliser de calculatrice.
an
 a nm
m
a
et b
V) Identités remarquables : a
2
2
3)Remarque : a) La puissance d’un nombre négatif est 1)  a  b   a  2ab  b 2)  a  b   a  2ab  b
positive si l’exposant est pair
3) a 2  b 2   a  b  a  b  4) a3  b3   a  b  a 2  ab  b2
2
2
2
2

b) La puissance d’un nombre négatif est négative si 5) a  b   a  b   a  ab  b  Somme de deux cubes
l’exposant est impair.
3
6)  a  b   a3  3a 2b  3ab2  b3 Cube d'une Somme
3
Ex :  1
2020
 12020  1 et
 1
2019
 12019  1
3
2

2
7)  a  b   a3  3a 2b  3ab2  b3 Cube d'une différence
3
Ces formules sont pour développer et pour factoriser
Exercice7 : simplifier et écrire sous forme d’une puissance Factoriser une expression, c'est l'écrire sous la forme
A  23   22    2 5 
4
B   3   3   3   3
3
1
35  42 9
C
 2
123
2
8
D
10 10 10 10
102 103 105
Solution :
E
9
7
4
Prof/ATMANI NAJIB
 2 
5
3
4

2 1
1024   16 
2
8
4
10
d'un produit.
Exemple1: x 
A

5 2 
 
C

2 1
2

3
développer et calculer et simplifier
5 2

2
et B  

D   3x  2 
3

2 3


2 3 

2
E   x  2  x2  2x  4
F   200520052006   200520052005  200520052007
2
(Lorsque la calculatrice tombe en panne ou ne peut pas calculer)
4
Solution :

Exercice 10 : a 

et b 
et a  b
  5   2 5 2   2    5   2 5 2   2   Montrer que :
2
a  a b 
 a b  a b
2
A  5  2 10  2   5  2 10  2   5  2 10  2  5  2 10  2  4 10
Solution : pour montrer que deux nombres positifs sont
B   2  3  2  3      2    3     2  3   1  1 égales on pourra montrer que leurs carrés sont égaux


C   2  1   2   3  2  1  3 2 1  1  2 2  3  2  3 2  1
 a  a b   a  a b
A

 
2
5 2 
2
2
5 2 
2
2
2
2
3
2
3
2 2
2
2
2
2
2
2
3
2
2


C 5 2 7
3
3
2
2
3
D   3x  2    3x   3  3x   2  3  3 x   2    2 
D  27 x 3  54 x 2  36 x  8
E   x  2  x2  2 x  4    x  2   x2  2  x  22   x3  23  x3  8
 2

 2

2
2


2
2
2

 2
a  b  a  b   
 

 2 








a b  a b


2
2
2
2
1
  a b  a b   a b  2 a b a b  a b
4
2
2
F   200520052006   200520052005  200520052007
2
2
1
  a  b  a  b   a  b  2  a  b  a  b   a  b
On remarque que les nombres : 200520052006 et 200520052005 4
2
Et 200520052007 différent par leurs chiffes des unités
1
  2a  2  a  b  a  b   a   a  b  a  b   a  a 2  b 2
Pour simplifier on pose : x  200520052006
2
2
Donc : 200520052005  x 1 et 200520052007  x  1
2
 a  a 2  b2    2

Donc
on
a
:
2


Donc : F  x   x  1 x  1
a  b  a  b 

  2

2
2
2
2
Donc : F  1
 x  x 1  x  x  1  1
Donc : a  a 2  b 2  2 a  b  a  b



2




Exemple2: Factoriser les expressions suivantes : x 
1) 49 x 2  81
2) 16x² - 8x + 1
3) x3-8
4) C = (a + 1) (2a - 3) + 6(a + 1) D = 27x3 + 1
Solution :1) On regarde l’expression, pour choisir l'identité
remarquable à appliquer.
L'expression semble être de la forme : a² - b².

2



Exercice 11 : Factoriser les expressions suivantes : x 
A  16 x 2  8 x  1 ; B  16  25 x 2 ; C  1  1  3x 
2
3
12
6
3
D   2 x  1  8 ; E  27  x ; F  x  2 x  1
5
3
2
H  x3  1  2  x2  1   x  1 et G  x  x  x  1
49 x2  81   7 x   92   7 x  9    7 x  9  il s'agit
Solution : A  16 x2  8x  1   4 x   2  4 x 1  12   4 x  1
2
2
d'un produit. L'expression est factorisée.
B  16  25x2   4    5 x    4  5 x  4  5 x 
2)16x² - 8x + 1 = (4x) ²-8x+1²=(4x) ²+2×(4x) ×+1=(4x-1) ²
2
2
C  1  1  3x   12  1  3x   1  1  3x   1  1  3x  
3) x3-8= x3-23=(x-2) (x2+2x+22) =(x-2) (x2+2x+4)
4) (a + 1) est le facteur commun.
C  1  1  3x 1  1  3x   3x  2  3x 
C = (a + 1)(2a - 3 + 6) Donc C = (a + 1) (2a +3)
3
3
D   2 x  1  8   2 x  1  23 
5)D = 27x3 + 1 -> Il n'y a pas de facteur commun.
-> L'expression semble être de la forme a3+ b3.
On a : a3  b3   a  b   a 2  ab  b2 
3
3
3
2
2
D = 27x + 1=( 3x) - 1 =( 3x+1) ( ( 3x) -1( 3x) +1 )
2
donc : D    2 x  1  2   2 x  1   2 x  1  2  22
= ( 3x+1) ( 9x2 - 3x +1)
Donc : Méthodes : Pour factoriser une expression, on doit :
2
D   2 x  3  2 x   4 x  1  4 x  2  4   2 x  3   4 x 2  3 
- identifier une identité remarquable ou
- identifier un facteur commun
E  27  x3  33  x3   3  x   32  3x  x 2 
Attention : on ne peut pas toujours factoriser une expression
3
3
2
2
exemple :16x² + 8x + 3 = (4x+1) ² + 2 ; cette expression ne On a : a  b   a  b   a  ab  b 
peut pas être factorisée sous la forme d'un produit de deux
E   3  x   9  3x  x 2 
facteurs de degré 1
2
2
2
Exercice9 : Remplissez les blancs suivants :
F   x 6   2 x 6  1   x 6   2 x 6  1  12   x 6  1
2
2


10  4 6  ...  ... et 4  2 2  ...  ...
2
Solution :1)
4  2 3  4  2  3 1  3  2  3  1  1 
42 3 


3 1
2

2
2
2
10  4 6  2  6


G  x5  x3  x2  1  x3  x 2  1   x 2  1   x3  1 x 2  1
 3  2
10  4 6  10  2  2  6   2   2  6  2 

 6
3 1  1
2
H  x3  1  2  x2  1   x  1  x3  13  2  x2  12    x  1
H   x  1  x2  x  12   2  x  1 x  1   x  1
H   x  1  x2  x  1  2  x  1  1   x  1  x 2  x  1  2 x  2  1
2
H   x  1  x2  x  2 
2
Prof/ATMANI NAJIB
2
Factoriser c’est écrire sous la forme
d'un produit
5