Algèbre de Boole 20

Logique combinatoire
Algèbre de Boole
•1854 : algèbre de Boole élaborée par Georges Boole ;
•1938 : son utilisation dans le décryptage des circuits
électroniques.
Les systèmes logiques fonctionnent utilisent le binaire : "0"
ou "1". Ces valeurs "0" et "1" correspondent à des plages
définies à l’avance. La logique combinatoire concerne les
systèmes dont les sorties (réponses) sont exclusivement
définies à partir de combinaisons des variables d’entrées.

Principe : une proposition est vraie ou fausse,
mais ne peut être les deux à la fois.
Une lampe est allumée ou éteinte ; un interrupteur
est fermé ou ouvert,…Ces états sont représentés par
des bits (0 ou 1) suivant deux logiques aux
conventions symboliques opposées :
•logique positive qui fait correspondre à une
affirmation le symbole "1" et à une infirmation
"0"
•logique négative qui attribuera "0" à l’affirmation
et "1" à l’infirmation.
Algèbre de Boole

Illustration :
•Electronique (logique TTL) : logique posive (5V→
1 ; <5V→ 0) ; logique négave (5V→ 0 ; <5V→ 1)
•Pneumatique : présence de pression → 1 et
l’absence de pression → 0.
Algèbre de Boole
Propriétés
Comme en algèbre classique, l’algèbre de Boole
possède des propriétés de :
* symétrie : A=B B=A
* réflexivité : A=A
* transitivité : A=B et B=C A=C

Axiomes
Somme de produits (∑∏)
Produit des sommes (∏∑)
Associativité (A+B)+C = A + (B+C) = A+B+C (A.B).C = A.(B.C) =A.B.C = ABC
Commutativité A + B =B + A A.B = B.A
Distributivité A.(B+C) = AB + AC A + (BC) = (A+B).(A+C)
Elément neutre A + 0 = A A.1 =A
Complément
1AA 
0
AA 
Théorèmes
Idempotence A + A = A A.A = A
Absorption A + (A.B) = A
A + 1 = 1
A. (A + B) = A
A.0 = 0
Involution
AA
AA
Loi de De Morgan
BABA 
BABA 
Consensus de 1
ère
espèce
BABAA 
AB
BAA  )(
Consensus de 2
ème
espèce
AC
CBABCBAB 
))()(())(( CACBBACBBA 
Propriétés
Propriétés

Propriétés
•Dualité
Deux expressions se correspondent par
dualité si l'on obtient l'une en changeant
dans l'autre, les "ET" par des "OU", les "OU"
par des "ET", les "1" par des "0" et les "0"
par des "1"
Si Alors