COURS REGULATION INDUSTRIELLE GM&GI P1

17/03/2021
REGULATION INDUSTRIELLE
PRÉSENTATION DU COURS
Département Génie Electrique
2ème Année Cycle Ingénieur : GI/GM
Système de commande
Un système de commande est conçu pour assurer le fonctionnement
d’un procédé selon des critères prédéfinis.
Perturbation : w(t)
Entrée : e(t)
Sortie : y(t)
Correcteur
Actionneur
Système
Capteur

Asservissement : La sortie y suit exactement les variations du
signal yréf de référence  la sortie y est dite asservie à yréf.

Régulation: La sortie y reste constante et égale à yréf quelque
soient les perturbations  la sortie y est dite régulée à yréf.
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Composantes

Système :
Organe principal à commander, il dispose d’un ensemble entréessorties permettant de le connecter aux éléments externes.

Actionneur :
Organe de puissance permettant de générer les actions motrices en
fonction des signaux de contrôle.

Correcteur :
Organe d’intelligence de la structure de commande. Sa fonction
consiste à entreprendre les actions correctives nécessaires.

Capteur :
Organe de mesure permettant de transformer une grandeur
physique (température, pression, vitesse) en un signal électrique.
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Performances
Les performances escomptées d’un système de commande sont :
 Stabilité.
 Précision.
 Rapidité.
D’autres aspects qualitatifs sont également pris en compte :
 Sécurité du personnel et des installations.
 Optimisation de l’énergie.
 Respect de l’environnement.
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Exemple 1. Asservissement de vitesse
Considérons l’asservissement de vitesse d’un moteur électrique :
Régulateur
Consigne
c(t)
+
Erreur
(t)
Perturbation
w(t)
Procédé instrumenté
Correcteur
Action
u(t)
Variateur
Tension
v(t)
Vitesse
y(t) = (t)
Moteur
Capteur
À partir de l’information issue du capteur de vitesse, le régulateur
génère le signal de commande u(t) permettant au variateur d’entamer
les actions de correction par le moteur.
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Exemple 2. Régulation de température
Considérons la régulation de température dans une salle :
Régulateur
Consigne
c(t)
+
Erreur
(t)
Procédé instrumenté
Correcteur
Action
u(t)
Élément
chauffant
Puissance
p(t)
Perturbation
w(t)
Température
y(t) = (t)
Salle
Capteur
À partir de l’information issue du capteur de température, le régulateur
génère le signal de commande u(t) permettant à l’élément chauffant
d’entamer les actions de correction de température.
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Exemple 3. Régulation de niveau
Considérons la régulation de niveau d’eau dans un réservoir :
Régulateur
Consigne
c(t)
+
Erreur
(t)
Procédé instrumenté
Correcteur
Action
u(t)
Vanne
Débit
q(t)
Perturbation
w(t)
Niveau
y(t) = h(t)
Réservoir
Capteur
À partir de l’information issue du capteur de niveau, le régulateur
génère le signal de commande u(t) permettant à la vanne motorisée de
produire le débit nécessaire.
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Objectifs du cours
Au terme de ce cours, l’étudiant devrait être en mesure de :
 Appliquer la transformée de Laplace aux systèmes linéaires.
 Synthétiser la représentation des systèmes par fonction de transfert
et variables d’état.
 Identifier et modéliser les procédés industriels (modèle simplifié).
 Analyser les systèmes de commande en boucle fermée.
 Paramétrer un régulateur industriel.
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Contenu du cours
 Introduction
à
l’Automatique
:
Outils
mathématiques.
Représentation dynamique des systèmes physiques (mise en
équations, modélisation des systèmes, notion de fonction de
transfert).
 Systèmes fondamentaux : Analyse transitoire des systèmes.
Application aux systèmes du 1er et 2ème ordre. Analyse fréquentielle
des systèmes (lieu de transfert). Identification des systèmes linéaires.
 Performances des systèmes asservis : Fonctionnement en boucle
ouverte et en boucle fermée. Rapidité, précision, stabilité. Critères de
stabilité (Rooth, revers).
 Synthèse de régulateurs : Régulateurs P, PI, P.I.D.
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Format de l’enseignement
Volume horaire (VH)
Élément(s) du module
Activités
VH
Évaluation
Pratiques
global
Cours
TD
TP
Machines électriques
10h
6h
6h
2h
24h
Régulation industrielle
10h
6h
6h
2h
24h
Métrologie
tridimensionnelle
16h
6h
2h
24h
VH global du module
36h
18h
12h
6h
72h
% VH
50%
25%
16,66%
8,33%
100%
Travaux Pratiques (sous forme de projet de simulation)
Procédé de régulation d’un système industriel.
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Évaluation
Le système d’évaluation prévu pour ce module est le suivant :
 Élément 1 : Motorisation électrique : Examen (70%) + TP (30%)
 Élément 2 : Régulation industrielle : Examen (70%) + TP (30%)
 Élément 3 : Métrologie : Examen (100%)
Note du module : Motorisation électrique (34%) + Régulation
industrielle (33%) + Métrologie (33%)
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OUTILS ET REPRÉSENTATIONS
MATHÉMATIQUES
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Partie 1
Outils mathématiques
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Plan
 Introduction
 Transformée de Laplace et son inverse
 Propriétés de la transformée de Laplace
 Résolution des équations différentielles linéaires
 Transmittance d’un système
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Introduction
La transformée de Laplace (T.L.) est une technique permettant de lier
les fonctions du temps f(t) avec celles de la variable complexe (s = j):
Transformée de Laplace
Domaine
temporel
Domaine
complexe
Transformée de Laplace Inverse
Ce sont des outils mathématiques puissants élaborés pour résoudre
les problèmes de l’automatique et de la commande.
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Transformée de Laplace
On considère une fonction réelle f(t) de la variable t, définie pour t  0.
La transformée de Laplace (T.L) de la fonction f est une fonction F(s)
de la variable complexe s = j définie par :
F  s   L  f  t   

 f t  e
 st
dt
0
La fonction f(t) est nommée fonction originale de F(s).
Exemple :
f  t   e t
Soit :
F  s   L  e    e t e  st  dt   e 1 st  dt
0
0
1
F  s 
s1

t



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Transformée de Laplace Inverse
On considère une fonction F(s) de la variable complexe s = j telle que
F est la transformée de Laplace d’une fonction de temps f(t).
La transformée de Laplace inverse (T.L.I) de la fonction complexe F(s)
est donnée par la relation suivante :
 j
f  t   L-1  F  s   
Exemple : F  s  
1
F  s  e st ds
j2  j

1
s1
 j
Soit :
1
 1 
 1 st 
f t  = L 

e ds  e t

 s  1  j2  j  s  1 
-1

En règle générale, on utilise les transformées des fonctions usuelles.
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Tableau des transformées
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Tableau des transformées
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Tableau des transformées
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Tableau des transformées
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Propriétés de la Transformée de Laplace
1. Linéarité
On considère deux fonctions réelles f1(t), f2(t) dont les transformées
de Laplace sont respectivement F1(s) et F2(s).
Soit a1 et a2 deux constantes réelles.
La linéarité de la T.L. se traduit par la relation suivante :
F  s  L a1 f1 t   a2 f2 t   a1 L  f1 t   a2 L  f2 t 
Soit : F  s   a1 F1  s   a2 F2  s 
La linéarité de la T.L.I. se traduit par la relation suivante :
L-1 a1 F1  s   a2 F2  s   a1 f1 t   a2 f2 t 
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Propriétés de la Transformée de Laplace
2. Dérivée et intégrale
Soient une fonction réelle f(t) et sa transformée de Laplace F(s).
La T.L. de la fonction intégrale de f(t) s’écrit :
t
 F  s
L  f  x  dx  
s
 0


La T.L. de la fonction dérivée de f(t) s’écrit :
 df  t  

L
  s F  s   f  0  avec :
 dt 
f  0    lim f  t 
t 0
 d2 f t  
df  0 
2

L
  s F  s   s f 0  
2
dt
dt


23
Propriétés de la Transformée de Laplace
3. Théorèmes des valeurs limites
Soient une fonction réelle f(t) et sa transformée de Laplace F(s).
Théorème de la valeur initiale :
f  0   = lim f  t   lim s F  s 
t 0 
s 
Théorème de la valeur finale :
f    = lim f  t   lim s F  s 
t 
s 0
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Propriétés de la Transformée de Laplace
4. Changement de l’unité de temps
Soient une fonction réelle f(t) et sa transformée de Laplace F(s).
La T.L permet le changement de l’unité de temps par la relation :
  t 
L  f    a F  a s
  a 
La T.L.I permet le changement de l’unité de fréquence par la relation :
  s 
L-1  F     a f  a t 
  a 
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Propriétés de la Transformée de Laplace
5. Translation temporelle
Soient une fonction réelle f(t) et sa transformée de Laplace F(s).
Lorsqu’on effectue une translation T  0 dans le domaine temporel,
la T.L. de la fonction f(t-T) s’écrit :
L  f  t  T   esT F  s
La variable T est choisie telle que : f  t  T   0 pour t  T
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Propriétés de la Transformée de Laplace
6. Translation complexe
Soient une fonction réelle f(t) et sa transformée de Laplace F(s).
Lorsqu’on effectue une multiplication de la fonction f par e-at, la T.L.
subit une translation complexe :
L e at f t   F  s  a 
La variable a est une constante réelle.
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Propriétés de la Transformée de Laplace
7. Dérivation complexe
Soient une fonction réelle f(t) et sa transformée de Laplace F(s).
Lorsqu’on effectue une multiplication de la fonction f par (-t), la T.L.
subit une action dérivée :
L  t f  t  
dF  s 
ds
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Théorème du retard
Énoncé
Soit une fonction échelon unité w(t) définie par :
0 si t 0
w t   
1 si t  0
La T.L de la fonction retard introduite par a est :
L  f  t  a   w t  a   e s a F  s 
L  f  t  e s t   F  s  s0 
0
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Théorème de convolution
Énoncé
Soient deux fonctions réelles f1(t), f2(t) dont les transformées de
Laplace sont respectivement F1(s), F2(s).
La T.L.I du produit s’écrit :
L-1  F1  s   F2  s   
t

f1    f 2  t    d 
0
Exemple : F  s  
t

t
 f t    f
1
2
   d
0
s
 s²  1 s  1
t


s
1

 F  s   F2  s 
 s²  1  s  1 1
t

L-1  F  s    cos  e t  d  cos  t    e  d  e t cos  e  d 
0
0
0
1
 cost  sint  e t 
2
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Théorème de convolution
Décomposition en éléments simples
On considère la fonction complexe F(s) suivante :
F  s 
s
a
b
c



 s  j  s  j   s  1  s  j   s  j   s  1
Calculons les coefficients a, b, c :
a  F  s   s  j 
b  F  s   s  j 
s  j
s j


c  F  s    s  1 s 1 
j
2j 1  j 
j
2j  1  j 
1
1

 j  1  j  1  j  1 j  1
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Résolution des équations différentielles
On désire résoudre l’équation différentielle linéaire suivante :
d3 y  t 
d 2 y  t  dy t 
d 2 x t 

3


6y
t

 x t 


dt 3
dt 2
dt
dt 2
Les conditions initiales de ces paramètres sont :

dy  0 
d2 y 0 
y
0


0
;
1



dt
dt 2

dx  0 

x 0  
0

dt
Calculons la transformée de Laplace de ces différents éléments.
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Résolution des équations différentielles
Utilisons la propriété de la dérivée pour la fonction y(t) :
 dy  t  
L
  sY  s   y  0   sY  s 
 dt 
 d2 y t  
dy  0 
 dy  t   dy  0 
L
 s  sY  s   y  0   
 s2 Y  s 
  sL

2
dt
dt
dt
dt




 d3 y t  
dy  0  d 2 y  0 
3
2
L

s
Y
s

s
y
0

s

 s3 Y  s   1





3
2
dt
dt
dt


Faisons de même pour la fonction x(t) :
 d2 x t  
dx  0 
 dx  t   dx  0 
L
 s  s X  s   x  0   
 s2 X  s 
  sL

2
dt
dt
dt
dt




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Résolution des équations différentielles
L’équation différentielle peut se mettre sous la forme :
s3 Y  s   1  3s2 Y  s   sY  s   6Y  s   s2 X  s   X  s 
3
2
2
Soit : Y  s   s  3s  s  6   X  s   s  1  1
La fonction complexe Y(s) devient :
Y  s 
s
2
 1
s  3s  s  6
3
2
X  s 
SASM dépendant de x 
1
s 3  3s 2  s  6
SSSM dépendant des CI 
34
17
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Transmittance
Considérons un système dont l’équation entrée-sortie s’écrit :
d3 y  t 
d 2 y  t  dy t 
d 2 x t 

3


6y
t

 x t 


dt 3
dt 2
dt
dt 2
En considérant toutes les conditions initiales nulles :
Y  s   s3  3s2  s  6  X  s   s2  1
On définit ainsi la transmittance G(s) :
G  s 
 s2  1
Y  s
 3
X  s  s  3s2  s  6
Entrée : x(t)
Transmittance
Sortie : y(t)
G(s)
35
Transmittance d’un système
Cette méthode peut s’étendre à un système d’équations différentielles :
 dy1  t 
 a1 y1  t   a2 y2  t   u  t 

dt

 dy2  t   b y  t   b y  t 
1 1
2 2
 dt
Avec : y1(0) = y2(0) = 0
u(t) : entrée d’excitation déterminée.
Calculons la transformée de Laplace de ces différents éléments.
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Transmittance d’un système
On obtient le système suivant :
sY1  s   a1 Y1  s   a2 Y2  s   U  s 

sY2  s   b1 Y1  s   b2 Y2  s 

 s  a1  Y1  s   a2 Y2  s   U  s 


 s  b2  Y2  s   b1 Y1  s   0
Il s’agit de résoudre un système d’équations algébriques :

 s  b2 
U  s
Y1  s  
 s  a1  s  b2   b1a2


b1
 Y  s 
U  s
 2
s

a
s
 b2   b1a2


1

Y1(s)
G1(s)
U(s)
Y2(s)
Y1  s   G1  s  U  s 

 Y2  s   G2  s  U  s 
G2(s)
37
Représentations symboliques
Résistance
On traduit la relation courant-tension dans une résistance R :
Circuit réel
i(t) R
Équation différentielle
v  t   Ri  t 
Éléments
symboliques
V  s  R I  s
v(t)
Conditions
initiales :
i(0) = i0
Circuit symbolique
I(s) R
V(s)
i t  
v t 
R
I  s 
1
V  s
R
38
19
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Représentations symboliques
Inductance
On traduit la relation courant-tension dans une inductance L :
Circuit réel
i(t) L
v(t)
Équation différentielle
di  t 

v  t   L
dt

i  0   i0

Éléments
symboliques
V  s   Ls I  s   Li0
Circuit symbolique
Impulsion
I(s) Ls
L i0
V(s)
Échelon
Conditions
initiales :
i t  
i(0) = i0
t
1
v  t  dt  i0
L0

I  s 
i
1
V  s  0
Ls
s
Ls
I(s)
i0/s
V(s)
39
Représentations symboliques
Condensateur
On traduit la relation courant-tension dans un condensateur C :
Circuit réel
i(t)
C
v(t)
Équation différentielle
dv  t 

i  t   C
dt

v  0   v0

Éléments
symboliques
Circuit symbolique
Impulsion
I  s   C sV  s   C v0
1/Cs
I(s)
C v0
V(s)
Échelon
Conditions
initiales :
v(0) = v0
v t  
t
1
i  t  dt  v0 V  s   1 I  s   v0
C0
Cs
s

1/Cs
I(s)
v0/s
V(s)
40
20
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Partie 2
Systèmes linéaires et représentations
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Plan
 Notions de systèmes
 Propriétés des systèmes linéaires
 Modes de représentations
 Commande des systèmes linéaires
 Diagrammes fonctionnels
 Modélisation des systèmes
42
21
17/03/2021
Notions de systèmes
On considère un dispositif possédant une entrée e(t) et une sortie y(t) :
Entrée : e(t)
Sortie : y(t)
Système de
Commande
 Un système de commande est un dispositif pour lequel la grandeur
de sortie y(t) est une fonction de la grandeur d’entrée e(t).
 Un signal d’entrée e(t) est une excitation du système de commande.
Elle est appliquée à partir d’une source extérieure.
 Un signal de sortie y(t) est la réponse effective obtenue du système.
Elle dépend des paramètres du système et du signal d’entrée e(t).
43
Notions de systèmes
 Un système peut posséder plusieurs entrées :
 Une entrée principale de commande : e(t).
 Des entrées secondaires (conditions extérieures, perturbations) : p i(t).
e(t)
Système de
Commande
p1(t)
p2(t)
Sortie : y(t)
 Un système peut posséder plusieurs sorties de natures différentes.
Entrée : e(t)
y1(t)
Système de
Commande
y2(t)
y3(t)
44
22
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Notions de systèmes
 Un système est dit en Boucle Ouverte (BO) si le signal d’entrée est
indépendant du signal de sortie.
Entrée : e(t)
Système de
Commande
Sortie : y(t)
 Un système est dit en Boucle Fermée (BF) si le signal appliqué à
l’entrée est fonction du signal de sortie.
Entrée : e(t)
f(t)
Sortie : y(t)
Système de
Commande
Chaîne
de retour
45
Propriétés des systèmes
1. Linéarité
Un système est linéaire s’il est décrit par des équations différentielles
à coefficients constants.
e1(t)
e2(t)
en(t)
 e1 
 y1 
 
 

 
 
e 
y 
 n
 n
y1(t)
Système de
Commande
soit:
 a1e1 
y2(t)
Linéarité locale
yn(t)
 an e1n 
 a1 y1 
 an yn 
En général, on considère les linéarités locales.
46
23
17/03/2021
Propriétés des systèmes
2. Variance
Considérons la réponse y(t) d’un système suite à une entrée e(t).
e(t)
y(t)
Système de
Commande
e(t)
y(t)
t
t
On applique à ce système l’entrée décalée e(t–t0).
yinv(t)
e(t)
yvar(t)
Système
Invariant
yinv  y  t  t0 
t
Système
Variant
t
t0
t
t0
t0
47
Propriétés des systèmes
3. Continuité
Considérons la réponse y(t) d’un système suite à une entrée e(t).
e(t)
y(t)
e(t)
Système de
Commande
y(t)
t
t
 Un système est continu si la sortie y(t) et l’entrée e(t) sont reliées
par une fonction continu du temps.
 Un système est discontinu si la sortie y(n) et l’entrée e(n) sont
reliées par une équation récurrente.
48
24
17/03/2021
Représentations des systèmes linéaires
Considérons un circuit RC comme exemple d’étude.
C
Entrée : e(t)
R
e(t)
y(t)
Système de
Commande
Sortie : y(t)
Le système étudié peut être représenté par :
 Des équations différentielles.
 Une fonction de transfert.
 Des équations d’état.
49
Représentations des systèmes linéaires
1. Représentation par équation différentielle
On écrit les équations d’équilibre du système :
C
e  t   vR  t   vcR  t 
e(t)
R
y(t)
 vR  t   y  t 

avec : 
1
vC  t   RC y  t  dt


On obtient l’équation différentielle suivante :
dy  t 
de  t 
1

y t  
Conditions initiales : e  0   e0 ; y 0   y0
dt
RC
dt
L’analyse de la sortie y(t) passe par la résolution de cette équation.
50
25
17/03/2021
Représentations des systèmes linéaires
2. Représentation par fonction de transfert
On écrit les équations différentielles du système :
C
R
e(t)
de  t 
 dy  t 
1

y t  

RC
dt
 dt
 e  0   e0 ; y  t   y0

y(t)
Effectuons la transformée de Laplace de cette équation :
1
Y  s   s E  s   e0
 sY  s   y0  
RC
soit :  s  1  Y  s   s E  s    y0  e0 
RC 

51
Représentations des systèmes linéaires
On définit la fonction de transfert par le quotient sortie/entrée :
C
Entrée : e(t)
R
e(t)
Y  s 
y(t)
Fonction de
transfert
G(s)
Sortie : y(t)
s
1
E  s 
 y0  e 0 
s   1 RC 
s   1 RC 
G s
G0  s 
soit : Y  s   G  s  E  s   G0  s   y0  e0 
Solution forcée
(avec second membre)
Solution libre
(sans second membre)
52
26
17/03/2021
Représentations des systèmes linéaires
3. Représentation par des équations d’état
Considérons le circuit RLC suivant :
x2(t)
L
Variables d’état :
e(t)
R
x1 : tension aux bornes du condensateur.
y(t)
C
x2 : intensité du courant dans le circuit.
x1(t)
dx  t 
e t   L 2
 Rx2  t   x1  t 
dt
dx1  t  1
 x2  t 
dt
C
y  t   R x2  t 
dx1  t  1
 x2  t 
dt
C
dx2  t 
1
R
1
  x1  t   x2  t   e  t 
dt
L
L
L
y  t   R x2  t 
53
Représentations des systèmes linéaires
 x  t 
En utilisant la matrice x des variables d’état : x  t    1
 x2  t 
 dx1  t  1
 x2  t 

dt
C

dx
t


1
R
1
 2
  x1  t   x2  t   e  t 
 dt
L
L
L
y  t   R x2  t 
On obtient l’écriture matricielle :
 dx
 t   A x t   B e t 
 dt
 y  t   C x  t 
1 


 0 
 dx
 0

C
  t   
x
t

    1  e t 
  
 1  R 
 dt


 L

L
 L

 y  t    0 R  x  t 
CI : x1  0  ; x2  0 
x : vecteur des variables d’état.
Avec :
A : matrice d’état.
B : vecteur de commande.
C : vecteur de sortie.
54
27
17/03/2021
Représentations des systèmes linéaires
Tout système linéaire peut être représenté par un triplé (A, B, C) :
 dx
 t   A x t   B e t 
 dt
 y  t   C x  t 
x t  
Résolution de
l’équation d’état
e At x  0 
Sans Second Membre
t

 e A t  Be  d
0 Avec Second Membre
Ce qui conduit au diagramme suivant :
e
dx
dt
+
B
x
C
y
+
A
55
Représentations des systèmes linéaires
La représentation par équations d’état s’écrit :
 dx
 t   A x t   B e t 
 dt
 y  t   C x  t 
Transformée
de Laplace
s X  s   A X  s   B E  s 

Y  s   C X  s 
Ce qui correspond aux équations suivantes :
 s I  A  X  s   B E  s   X  s    s I  A 1 B E  s 


1
 Y s  C s I  A B E s

Y  s   C X  s 
La fonction de transfert s’écrit :
Y  s
1
G  s 
C s I  A B
E  s
56
28
17/03/2021
Exemple
Considérons un système, d’entrée u(t) et de sortie y(t), dont l’évolution
est décrite par les équations suivantes :
Équations d’état
 dx1  t 
  4 x1  t   0.5 x2  t   0.5 u  t 

 dt
 dx2  t 
Équations de sortie
 8 x1  t 

 dt
 dx3  t 
 x2  t 

y  t   0.25 x2  t   0.05 x3  t 
 dt
Déterminer :
 Le modèle d’état du système.
 La fonction de transfert : G  s  
Y  s
U  s
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Représentations des systèmes linéaires
Un système linéaire peut être représenté par :
Entrée : e(t)
Équations
différentielles
Système
Linéaire
Fonctions de
transfert
Sortie : y(t)
Équations
d’état
Relations de passage
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29