Produit scalaire, espaces préhilbertiens et euclidiens

Chap. I : Produit scalaire - Espaces préhilbertien et euclidien
(1)
ENSA Marrakech
S. B. (www.ensa.ac.ma) Algèbre III 1 / 24

Introduction
Forme bilinéaire
Définition
Soit Eun R-espace vectoriel. On appelle forme bilinéaire sur Etoute application
ϕ:E×E−→ R
(u, v)7−→ ϕ(u, v)
vérifiant les propriétés suivantes :
1Pour tout a, u, v ∈E, l’application E−→ R,y7−→ ϕ(a, y)est linéaire, i.e.,
∀(u, v)∈E×E, ∀λ∈R, ϕ(a, u +λv) = ϕ(a, u) + λϕ(a, v)linéarité à droite
2Pour tout b∈E, l’application E−→ R,x7−→ ϕ(x, b)est linéaire, i.e.,
∀(u, v)∈E×E, ∀λ∈R, ϕ(u+λv, b) = ϕ(u, b) + λϕ(v, b)linéarité à gauche
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Introduction
Autrement dit, pour tous a∈Eet b∈E, les applications y7−→ ϕ(a, y)et x7−→ ϕ(x, b)
sont des formes linéaires, d’où le terme « forme ».
Exemple
1Pour E=R, l’application (x, y)7−→ xy est une forme bilinéaire sur E.
2Pour E=Rn, l’application
ϕ:E×E−→ R
(x,y)7−→
n
X
i=1
xiyi
est une forme bilinéaire sur E.
3Soit E=Mn(R), on pose :
∀A, B ∈Mn(R), ϕ(A, B) = tr(AB).
Alors ϕest une forme bilinéaire sur E.
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Introduction
3Soit E=C([0,1]) le R-espace vectoriel des applications continues de [0,1] dans R.
L’application
ϕ:E×E−→ R
(u, v)7−→ Z1
0
u(t)v(t)dt
est une forme bilinéaire sur E.
Définition
Soit Eun R-espace vectoriel. Soit ϕune forme bilinéaire sur E. On dit que :
ϕest symétrique si
∀(u, v)∈E2, ϕ(u, v) = ϕ(v, u)
ϕest positive si
∀u∈E, ϕ(u, u)>0
ϕest définie si
∀u∈E, ϕ(u, u)=0⇒u= 0.
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Introduction
Produit scalire
Définition (Produit scalaire réel)
On appelle produit scalaire réel sur E, toute forme bilinéaire symétrique et définie
positive,i.e. toute application ϕ:E×E→Rtelle que
1∀x∈E, ϕx:y7→ ϕ(x,y)est linéaire linéarité à droite
2∀(x,y)∈E2, ϕ(x,y) = ϕ(y,x)symétrie
3∀x∈E, ϕ(x,x)>0positive
4∀x∈E, ϕ(x,x) = 0 =⇒x=0définie.
Définition (Espace préhilbertien réel, espace euclidien)
Emuni du produit scalaire ϕest appelé un espace préhilbertien réel.
Si Eest un espace préhilbertien réel de dimension finie, on dit que Eest un
espace euclidien.
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