chap 1

Chap. I : Produit scalaire - Espaces préhilbertien et euclidien
(1)
ENSA Marrakech
S. B. (www.ensa.ac.ma)
Algèbre III
1 / 24
Introduction
Forme bilinéaire
Définition
Soit E un R-espace vectoriel. On appelle forme bilinéaire sur E toute application
ϕ : E × E −→ R
(u, v) 7−→ ϕ(u, v)
vérifiant les propriétés suivantes :
1
Pour tout a, u, v ∈ E, l’application E −→ R, y 7−→ ϕ(a, y) est linéaire, i.e.,
∀(u, v) ∈ E × E, ∀λ ∈ R, ϕ(a, u + λv) = ϕ(a, u) + λϕ(a, v)
2
linéarité à droite
Pour tout b ∈ E, l’application E −→ R, x 7−→ ϕ(x, b) est linéaire, i.e.,
∀(u, v) ∈ E × E, ∀λ ∈ R, ϕ(u + λv, b) = ϕ(u, b) + λϕ(v, b)
S. B. (www.ensa.ac.ma)
Algèbre III
linéarité à gauche
2 / 24
Introduction
Autrement dit, pour tous a ∈ E et b ∈ E, les applications y 7−→ ϕ(a, y) et x 7−→ ϕ(x, b)
sont des formes linéaires, d’où le terme « forme ».
Exemple
1
Pour E = R, l’application (x, y) 7−→ xy est une forme bilinéaire sur E.
2
Pour E = Rn , l’application
ϕ : E × E −→ R
n
X
(x, y) 7−→
xi yi
i=1
est une forme bilinéaire sur E.
3
Soit E = Mn (R), on pose :
∀A, B ∈ Mn (R), ϕ(A, B) = tr(AB).
Alors ϕ est une forme bilinéaire sur E.
S. B. (www.ensa.ac.ma)
Algèbre III
3 / 24
Introduction
3
Soit E = C([0, 1]) le R-espace vectoriel des applications continues de [0, 1] dans R.
L’application
ϕ : E × E −→ R
Z 1
(u, v) 7−→
u(t)v(t)dt
0
est une forme bilinéaire sur E.
Définition
Soit E un R-espace vectoriel. Soit ϕ une forme bilinéaire sur E. On dit que :
ϕ est symétrique si
∀(u, v) ∈ E 2 ,
ϕ(u, v) = ϕ(v, u)
ϕ est positive si
∀u ∈ E,
ϕ(u, u) > 0
ϕ est définie si
∀u ∈ E,
S. B. (www.ensa.ac.ma)
ϕ(u, u) = 0 ⇒ u = 0.
Algèbre III
4 / 24
Introduction
Produit scalire
Définition (Produit scalaire réel)
On appelle produit scalaire réel sur E, toute forme bilinéaire symétrique et définie
positive, i.e. toute application ϕ : E × E → R telle que
1
∀x ∈ E, ϕx : y 7→ ϕ(x, y) est linéaire
E2,
linéarité à droite
2
∀(x, y) ∈
3
∀x ∈ E, ϕ(x, x) > 0
positive
4
∀x ∈ E, ϕ(x, x) = 0 =⇒ x = 0
définie.
symétrie
ϕ(x, y) = ϕ(y, x)
Définition (Espace préhilbertien réel, espace euclidien)
E muni du produit scalaire ϕ est appelé un espace préhilbertien réel.
Si E est un espace préhilbertien réel de dimension finie, on dit que E est un
espace euclidien.
S. B. (www.ensa.ac.ma)
Algèbre III
5 / 24
Introduction
Notations
Le produit scalaire scalaire ϕ(x, y) de deux vecteurs x et y est noté hx , yi, ou encore
x · y, hx | yi, (x | y) . . .
Remarque
1
La linéarité à droite et la symétrie impliquent la linéarité à gauche.
2
Si l’un des vecteurs est nul, le produit scalaire est nul.
3
Le caractère « défini positif » du produit scalaire peut s’établir en montrant que
∀x ∈ E, hx , xi > 0 et hx , xi = 0 =⇒ x = 0
4
Si F est un R-sous-espace vectoriel de E, tout produit scalaire réel sur E induit un
produit scalaire réel sur F .
S. B. (www.ensa.ac.ma)
Algèbre III
6 / 24
Introduction
Exemples fondamontaux
Produits scalaires canoniques sur Rn et Mn,p (R)
1
Produit scalaire canonique sur Rn : il est défini par
∀x = (x1 , . . . , xn ), ∀y = (y1 , . . . , yn ),
hx , yi =
n
X
x k yk
k=1
2
Produit scalaire canonique sur Mn,1 (R) : il est défini par
2
∀(X, Y ) ∈ Mn,1 (R) ,
hX , Y i = tXY =
n
X
xk yk
k=1
3
Produit scalaire canonique sur Mn,p (R) : il est défini par
X
2
∀(A, B) ∈ Mn,p (R) , hA , Bi = tr(tAB) =
ai,j bi,j
i,j
S. B. (www.ensa.ac.ma)
Algèbre III
7 / 24
Introduction
Nous retrouvons ici les produits scalaires usuels auxquels nous sommes habitués dans le
plans R2 et l’espace R3 en coordonnées de vecteurs. Par exemple dans R2 , pour
~u = (x, y) et ~v = (x0 , y 0 ), ~u · ~v = xx0 + yy 0 .
Remarque
De nombreux produits scalaires peuvent
sur un même espace vectoriel. Par
exister
2 1
exemple l’application (X, Y ) 7−→ t X
Y = 2x1 y1 + x1 y2 + x2 y1 + 3x2 y2 est un
1 3
produit scalaire sur R2 distinct du produit scalaire canonique.
1
2
3
Symétrie et bilinéarité évidentes.
2 :
Positive
:
pour tout X = (x1 , x2 ) ∈ R
2x1 + x2
tX 2 1 X = x
= 2x21 + 2x1 x1 + 3y 2 = x21 + 2x22 + (x1 + x2 )2 > 0
1 x2
1 3
x1 + 3x2
2 1
t
Définie : si
X
X = 0, alors comme x21 , x22 et (x1 + x2 )2 sont positifs :
1 2
x1 = x2 = x1 + x2 = 0, donc : X = (0, 0).
S. B. (www.ensa.ac.ma)
Algèbre III
8 / 24
Introduction
Exemple
Soit x0 , . . . , xn ∈ R distincts. L’application (P, Q) 7−→
scalaire sur Rn [X].
En effet.
1
3
k=0 P
(xk ) Q (xk ) est un produit
Symétrie et bilinéarité : Symétrie évidente, donc la linéarité par rapport à la première
variable suffit. Pour tous P, Q, R ∈ Rn [X] et λ, µ ∈ R :
n
n
n
X
X
X
(λP + µQ) (xk ) R (xk ) = λ
P (xk ) R (xk ) + µ
Q (xk ) R (xk )
k=0
2
Pn
k=0
k=0
Pn
2
Positivité : Pour tout P ∈ Rn [X] : k=0 P (xk ) > 0.
P
Définie : Si nk=0 P (xk )2 = 0, alors comme on somme des réels positifs :
P (xk ) = 0 pour tout k ∈ J0, nK, i.e. x0 , . . . , xn sont des racines de P. Le polynôme
P de degré inférieur ou égal à n possède ainsi n + 1 racines distinctes, donc est nul.
L’espace Rn [X] muni de ce produit scalaire est un espace euclidien.
S. B. (www.ensa.ac.ma)
Algèbre III
9 / 24
Introduction
Produits scalaires sur R[X]
Produits scalaires sur l’espace des polynômes à coefficients réels ; si I est un intervalle et
w une fonction continue sur I et à valeurs réelles (strictement) positives, telle que, pour
tout entier n, t 7→ tn w(t) soit intégrable sur I, l’application
Z
2
(P, Q) ∈ R[X] 7→ hP , Qi = P (t)Q(t)w(t) dt
I
est un produit scalaire. Les cas classiques sont
R1
1
I = [−1, 1], w(t) = 1 et hP , Qi = −1 P (t)Q(t) dt
(Legendre)
R
1
1
dt
2
I = ]−1, 1[, w(t) = √1−t
et hP , Qi = −1 P (t)Q(t) √1−t
(Chebychev)
2
2
R
+∞
3
I = [0, +∞[, w(t) = e−t et hP , Qi = 0 P (t)Q(t)e−t dt
(Laguerre)
R
2
2
+∞
4
I = ]−∞, +∞[, w(t) = e−t et hP , Qi = −∞ P (t)Q(t)e−t dt
(Hermite)
S. B. (www.ensa.ac.ma)
Algèbre III
10 / 24
Introduction
Produit scalaire sur l’espace des fonctions continues
1
Produit scalaire sur l’espace des fonctions continues sur le segment [a, b] et à valeurs
réelles :
Z b
2
∀(f, g) ∈ C([a, b], R) , hf , gi =
f (t)g(t) dt
a
2
Produit scalaire sur l’espace des fonctions continues, 2π-périodiques sur R et à
valeurs réelles :
Z π
2
1
∀(f, g) ∈ C2π (R) , hf , gi =
f (t)g(t) dt
2π −π
3
Produit scalaire sur l’espace des fonctions continues et de carré intégrable sur
l’intervalle I, et à valeurs réelles :
Z
2
∀(f, g) ∈ L2 (I, R) , hf , gi = f (t)g(t) dt
I
S. B. (www.ensa.ac.ma)
Algèbre III
11 / 24
Introduction
Exemple
Soient a, b ∈ R avec : a < b.
scalaire sur C([a, b], R).
Démonstration
L’application (f, g) −→
Rb
a
f (t)g(t)dt est un produit
Symétrie et bilinéarité évidentes.
Rb
Définie postive : pour tout f ∈ C([a, b], R) : a f (t)2 dt > 0
Rb
et si : a f (t)2 dt = 0, t 7→ f (t)2 étant continue et positive ⇒ f (t)2 = 0
∀t ∈ [a, b], donc : f = 0.
Attention !
Muni du produit scalaire défini ci-dessus, C([a, b], R) n’est pas un espace euclidein car ce
n’est pas un R-espace vectoriel de dimension finie. C’est seulement un espace
préhilbertien réel.
S. B. (www.ensa.ac.ma)
Algèbre III
12 / 24
Introduction
Norme et distance associée à un produit scalaire réel
E désigne un espace préhilbertien réel dont le produit scalaire est noté h , i.
Définition (Norme et distance associée)
On appelle norme associée au produit scalaire h , i l’application k · k : E → R+
définie par :
p
∀x ∈ E, kxk = hx , xi
La distance associée au produit scalaire est définie par :
p
∀(x, y) ∈ E 2 , d(x, y) = ky − xk = h(y − x) , (y − x)i
Dans la suite on va démontrer que k · k vérifie effectivement les propriétés d’une norme,
c’est-à-dire : séparation, homogénéité et inégalité triangulaire.
S. B. (www.ensa.ac.ma)
Algèbre III
13 / 24
Introduction
Proposition
p
x 7→ kxk = hx , xi est une application de E sur [0, +∞[ qui vérifie
1
∀x ∈ E, kxk = 0 ⇐⇒ x = 0
2
∀(λ, x) ∈ R × E, kλxk = |λ| kxk
axiome de séparation ;
axiome d’homogénéité.
Démonstration.
0 = kxk2 = hx , xi ⇐⇒ x = 0 ;
p
p
kλxk = hλx , λxi = λ2 hx , xi = |λ|hx , xi
L’inégalité triangulaire sera démontrée dans la suite.
S. B. (www.ensa.ac.ma)
Algèbre III
14 / 24
Introduction
Proposition (Règles de calcul )
Soit E un espace préhilbertien réel. Alors pour x, y ∈ E :
i) Identités remarquables :
kx + yk2 = kxk2 + 2hx , yi + kyk2
kx − yk2 = kxk2 − 2hx , yi + kyk2
kxk2 − kyk2 = hx + y , x − yi.
ii) Identités de polarisation :
1
1
hx, yi = (kx + yk2 − kyk2 − kxk2 ) = (kx + yk2 − kx − yk2 ).
2
4
iii) Identité du parallélogramme :
kx + yk2 + kx − yk2 = 2(kxk2 + kyk2 ).
S. B. (www.ensa.ac.ma)
Algèbre III
15 / 24
Introduction
Démonstration.
Utilisons la linéarité à droite et à gauche, et la symétrie du produit scalaire
kx + yk2 = hx + y , x + yi = hx , xi + hx , yi + hy , xi + hy , yi
= kxk2 + 2hx , yi + kyk2
En changeant y en −y, on obtient
kx − yk2 = kxk2 − 2hx , yi + kyk2
Il suffit d’additionner les deux formules pour obtenir le résultat annoncé.
S. B. (www.ensa.ac.ma)
Algèbre III
16 / 24
Introduction
La deuxième égalité s’interprète dans la plan par
Corollaire (Egalité du parallélogramme)
La somme des carrés des longueurs des côtés d’un parallélogramme est égale au double
de la somme des carrés des longueurs des diagonales.
x−y
x
y
x+
y
y
x
Remarque
L’égalité du parallélogramme caractérise les normes euclidiennes, i.e. les normes qui sont
associées à un produit scalaire (réel).
S. B. (www.ensa.ac.ma)
Algèbre III
17 / 24
Introduction
Inégalité de Cauchy-Schwarz
Théorème (Inégalité de Cauchy-Schwarz)
Soit E un espace préhilbertein réel. Pour tout x et y de E, on a
|hx , yi| 6 kxk kyk
L’égalité a lieu si, et seulement si la famille (x, y) est liée. Autrement x et y sont
colinéaires.
Preuve:
Si kxk = 0, x est le vecteur nul, l’inégalité, qui devient une égalité dans ce cas, est
vérifiée, et la famille (x = 0, y) est une famille liée.
Si kxk =
6 0, on pose, pour λ ∈ R,
T (λ) = kλx + yk2 = λ2 kxk2 + 2λhx , yi + kyk2 .
S. B. (www.ensa.ac.ma)
Algèbre III
18 / 24
Introduction
T (λ) est un trinôme du second degré, que l’on écrit sous sa forme canonique
hx , yi 2 kxk2 kyk2 − hx , yi2
+
0 6 T (λ) = kxk2 λ +
kxk2
kxk2
,yi
En donnant la valeur particulière λ0 = − hx
, on obtient l’inégalité annoncée.
kxk2
Dans le cas de l’égalité de Cauchy-Schwarz, on a
hx , yi 2
T (λ) = kxk2 λ +
kxk2
,yi
Donnant à λ la valeur particulière λ0 = − hx
, on obtient 0 = T (λ0 ) = kλ0 x + yk2 ,
kxk2
soit λ0 x + y = 0 et la famille (x, y) est une famille liée.
Réciproquement, si la famille (x, y) est une famille liée, par exemple y = µx, alors
|hx , yi| = |hx , µxi| = |µ|hx , xi = |µ| kxk2 = kxk kµxk = kxk kyk
~
S. B. (www.ensa.ac.ma)
Algèbre III
19 / 24
Introduction
Exemple
Voici quelques exemples d’application de l’inégalité de Schwarz :
1
cas de Rn :
n
n
n
X
1 X
1
X
2
2
|hx , yi| = |
xk yk | 6 kxk kyk =
x2k
yk2
k=1
2
k=1
cas de Mn,1 (R) :
|hX , Y i| =
|tXY
n
n
n
1 X
1
X
1 t
1 X
2
2 2
t
2
2
|=|
xk yk | 6 XX
=
xk
yk2
YY
k=1
3
k=1
k=1
k=1
cas de Mn,p (R) :
|hA , Bi| =
|tr(tAB)|
X
1
1 X 2 12 X 2 12
t
t
2
=|
ai,j bi,j | 6 tr( AA)
tr( BB) 2 =
ai,j
bi,j
i,j
S. B. (www.ensa.ac.ma)
i,j
Algèbre III
i,j
20 / 24
Introduction
4
cas de C([a, b], R) :
b
Z
|hf , gi| =
f (t)g(t) dt 6
a
5
Z
2 12 f (t) dt
a
b
g(t)
2
dt
1
2
a
cas de L2 (I, R) :
Z
|hf , gi| =
f (t)g(t) dt 6
Z
I
6
b
Z
I
f (t)
2
dt
1 Z
2
g(t)
2
1
2
dt
I
cas de R[X] :
Z
|hP , Qi| =
P (t)Q(t)w(t) dt 6
I
Par exemple :
R +∞
S. B. (www.ensa.ac.ma)
−∞
1 2
2
P (t) w(t) dt
Z
I
2
P (t)Q(t)e−t dt 6
R
+∞
−∞
Algèbre III
Z
1
2
2
Q(t) w(t) dt
I
2 2 12 R +∞
2 −t2 21
P (t) e−t dt
Q(t)
e dt
−∞
21 / 24
Introduction
Écart angulaire entre deux vecteurs
L’inégalité de Cauchy-Schwarz montre que, pour deux vecteurs non nuls x et y de E,
−1 6
hx , yi
61
kxk kyk
Un réel que l’on écrit cos θ, pour un θ unique du segment [0, π], i.e. θ = arccos
ce qui donne la définition suivante.
hx ,yi
kxk kyk
;
Définition (Écart angulaire entre deux vecteurs)
Si x et y sont deux vecteurs non nuls d’un espace préhilbertien réel, il existe un unique
θ ∈ [0, π] tel que
hx , yi = kxk kyk cos θ
θ est appelé l’angle (non orienté) entre x et y ; cet angle est défini à π près.
S. B. (www.ensa.ac.ma)
Algèbre III
22 / 24
Introduction
Proposition (Inégalité de Minkowski)
On a l’inégalité, dite de Minkowski,
∀(x, y) ∈ E 2 , kx + yk 6 kxk + kyk
Démonstration.
Développons kx + yk2 et utilisons l’inégalité de Schwarz :
2
kx + yk2 = kxk2 + 2hx , yi + kyk2 6 kxk2 + 2kxk kyk + kyk2 = kxk + kyk
Corollaire
x 7→ kxk =
p
hx , xi est une norme sur E.
S. B. (www.ensa.ac.ma)
Algèbre III
23 / 24
Introduction
Remarque
Cette norme est appelée norme hilbertienne si E est de dimension quelconque,
norme euclidienne si E est de dimension finie.
E muni de cette norme est un espace vectoriel normé. Si de plus (E, k · k) est
complet, i.e. toute suite de Cauchy de E est convergente, on dit que (E, k · k) est un
espace de Hilbert, qu’on note aussi par (E, h· , ·i).
De manière plus générale, on sait que tout espace normé (sur R ou C) de dimension
finie est complet, donc tout espace euclidien est un espace de Hilbert.
David Hilbert (1862-1943)
Mathématicien allemand, considéré comme l’un des plus grands mathématiciens de tous les
temps et le dernier à maîtriser, à défaut de connaître, presque toutes les mathématiques connues
à son époque. Il a aussi influencé toute la physique du 20ème siècle, à travers la mécanique
quantique notamment, par ses travaux sur les équations aux dérivées partielles et la relativité
générale.
S. B. (www.ensa.ac.ma)
Algèbre III
24 / 24