Chap4-Espaces vectorieles et applications linèaires

COURS DE Math´ematiques
ALGEBRE 1 :
Chapitre 4 : Espaces vectoriels
ENSA Marrakech
Ann´ee Universitaire : 2020-2021
KHCHINE ABDELMJID

Table des mati`eres
1 Introduction .............................................. 3
2 Espaces vectoriels .......................................... 3
2.1 Structure d’espace vectoriel ................................ 3
2.2 Sous-espaces vectoriels ................................... 5
2.3 Familles libres, familles g´en´eratrices ........................... 12
3 Espaces vectoriels de dimension finie ............................... 17
3.1 Existence de bases ..................................... 17
3.2 Th´eor`eme de la base incompl`ete ............................. 18
3.3 Espace vectoriel produit .................................. 20
3.4 Coordonn´ees d’un vecteur dans une base ........................ 20
3.5 Sous-espaces vectoriels en dimension finie ....................... 21
4 Applications lin´eaires ........................................ 24
4.1 G´en´eralit´es .......................................... 24
4.2 Noyau et image d’une application lin´eaire ....................... 26
4.3 Structure de LK(E,F)................................... 28
4.4 Endomorphismes particuliers ............................... 29
4.5 Image d’une famille finie de vecteurs par une application lin´eaire ......... 31
4.6 Espaces vectoriels isomorphes ............................... 32
4.7 Formes lin´eaires et hyperplans .............................. 33
4.8 Rang d’une application lin´eaire .............................. 34

Dans tout ce chapitre K=Rou C.
1. Introduction
Beaucoup de probl`emes math´ematiques, physiques ou ´economiques, v´erifient la propri´et´e suivante :
si uet vsont solutions alors u+vest solution ainsi que λu,o`u λest un r´eel. De tels probl`emes sont
dits lin´eaires, et ils sont habituellement plus faciles `a r´esoudre que les probl`emes plus g´en´eraux dits
non-lin´eaires.
En fait, un grand nombre de probl`emes provenant de toutes les branches des math´ematiques, ainsi que
des applications `a la physique (´equations de la chaleur, cordes vibrantes, ...), `a la chimie, `a l’´economi,
... sont lin´eaires du moins en premi`ere approximation. On comprend d`es lors l’int´erˆet qu’il peut y avoir
`a d´egager un cadre math´ematique commun `a ce type de probl`emes, de mani`ere `a pouvoir d´eterminer
des m´ethodes et des algorithmes adapt´es. Ce cadre math´ematique commun est la notion d’espace
vectoriel.
2. Espaces vectoriels
2.1. Structure d’espace vectoriel
2.1.1. Généralités
D´efinition 1.
Soit Eun ensemble muni d’une loi de composition interne ”+” et d’une loi de composition externe
”.”. On dit que (E,+, .) est un espace vectoriel sur Kou un K-espace vectoriel si et seulement si :
1. (E,+)est un groupe ab´elien.
2. ∀x∈E, 1.x=x.
3. ∀α∈K,∀(x,x0)∈E2,α.(x+x0)=α.x+α.x0.
4. ∀(α,β)∈K2,∀x∈E, (α+β).x=α.x+β.x.
5. ∀(α,β)∈K2,∀x∈E,α.(β.x)=(αβ).x.
Tout ´el´ement de Eest appel´e vecteur et tout ´el´ement de Kest appel´ee scalaire.
Proposition 1 (R`egles de calcul dans un espace vectoriel).
1. ∀x∈E,λ∈K, 0K.x=0Eet λ.OE=0E.
2. ∀α∈K,∀x∈E, (α.x=0E⇐⇒α=0ou x=0E).
3. ∀x∈E, (−1).x=−x
4. ∀α∈K,∀x∈E, (−α).x=α.(−x)=−(α.x).
5. ∀(α,β)∈K2,∀x∈E, (α−β).x=α.x−β.x.
6. ∀α∈K,∀(x,x0)∈E2,α.(x−x0)=α.x−α.x0.
D´emonstration. 1. Soient x∈Eet λ∈K. On a :
•0E+0K.x=0K.x=(0K+0K).x=0K.x+0K.x.
En soustrayant 0K.x`a droite des deux membres de cette ´egalit´e, on obtient 0E=0K.x.
•0E+λ.0E=λ.0E=λ.(0E+0E)=λ.0E+λ.0E.
En soustrayant λ.0E`a droite des deux membres de cette ´egalit´e, on obtient λ.0E=0E.
2. Soient α∈Ket ∀x∈Etels que α.x=0E. Si α=0K,alors d’apr`es le point (1), α.x=0E.Sinon, si
α6=0Kalors αest inversible dans K(car Kest un corps). D’o`u :
x=1.x=(α−1.α).x=α−1.(α.x)=α−1.0E=0E
et donc x=0E.La r´eciproque est ´evidente (r´esulte de (1)).
3. Soit x∈E. On a
x+(−1)x=1.x+(−1).x=(1 +(−1)).x=0K.x=0E,
donc (−1).xest l’oppos´e de x. On peut alors ´ecrire (−1)x=−x.

4. Soient α∈Ket x∈E,on a :
(−α).x=(−1.α).x=(−1).(α.x)= −(α.x)=(−1.α).x=(α.(−1)).x=α.((−1).x)=α.(−x),
d’apr`es le point pr´ec´edent.
5. Soient (α,β)∈K2et x∈E, on a : (α−β).x=(α+(−β)).x=α.x+(−β.x)=α.x−β.x.
6. Soient α∈K,et (x,x0)∈E2,on a : α.(x−x0)=α.(x+(−x0)) =α.x+α.(−x)=α.x−α.x0.
(K,+,×)est un K-espace vectoriel.
En particulier :
•(R,+,×)est un R-espace vectoriel.
•(C,+,×)est un C-espace vectoriel.
Remarque
Exemples 1
1. (C,+,.) est un R-espace vectoriel.
2. Soit n∈N∗. On d´efinit sur Knune loi de composition interne ”+” et une loi de composition
externe ”.” par : Pour tout α∈K, (x1,...,xn), (y1,...,yn)∈Kn,
(x1,...,xn)+(y1,...,yn)=(x1+y1,...,xn+yn)et α.(x1,.. . , xn)=(αx1,...,αxn).
Proposition 2.
(Kn,+,.) est un K-espace vectoriel. En particulier : Pour tout n∈N?
•(Rn,+,×)est un R-espace vectoriel.
•(Cn,+,×)est un R-espace vectoriel.
3. Soient Eun K-ev et Xun ensemble non vide. On d´efinit sur EXune loi de composition
interne ”+” et une loi de composition externe ”.” par : ∀α∈K,∀(f,g)∈¡EX¢2,
f+g:X→E
x7→ f(x)+g(x)
et α.f:X→E
x7→ α.f(x)
.
Proposition 3.
¡EX,+,.¢est un K-espace vectoriel. En particulier :
(a) Si E=K,¡KX,+,.¢est un K-espace vectoriel.
(b) Si X=Net E=K,KNest le K-espace vectoriel des suites `a valeurs dans K.
(c) Si X=Iest un intervalle de Ret E=R,RIest le R-espace vectoriel des fonctions
r´eelles `a variable r´eelle.
Exercice 1
On pose E=R∗
+×Ret on d´efinit sur Ela loi de composition interne +par
(x,y)+(x0,y0)=(x x0,y+y0)et la loi de composition externe 00.00 par α.(x,y)=(xα,αy).
Montrer que (E,+,.) est un R-espace vectoriel .
2.1.2. Produit cartésien d’espaces vectoriels
Soient E,Fdeux K-espaces vectoriels. Le produit cart´esien E×Fdes deux ensembles Eet Fest
muni d’une loi de composition interne ”+” et d’une loi de composition externe ”.” d´efinies par :
∀α∈K,∀(x,y)∈E×F,∀(x0,y0)∈E×F,½(x,y)+(x0,y0)=(x+x0,y+y0)
α.(x,y)=(α.x,α.y)

Proposition 4.
(E×F,+,.) est un K-espace vectoriel.
Proposition 5 (G´en´eralisation).
Si E1,...,Ensont des K-espaces vectoriels, (E1×···×En,+,.) est un K-espace vectoriel.
En particulier :
Si (E,+, .) est un K-ev et n∈N∗, alors (En,+, .) est un K-ev.
Dans toute la suite de ce paragraphe Ed´esigne un K-ev.
2.2. Sous-espaces vectoriels
D´efinition 2.
Soient Eun espace vectoriel et Fun sous-ensemble non vide de E.On dit que Fest un sous-espace
vectoriel de Es’il est un espace vectoriel pour l’addition et la multiplication externe de E.
La notion prend tout son int´erˆet grˆace au th´eor`eme suivant. ;
Th´eor`eme 1.
Soient Eun espace vectoriel et F⊂Eun sous-ensemble non vide de E.Les assertions suivantes sont
´equivalentes
1. L’ensemble Fest un sous-espace vectoriel de E.
2. Pour tout v,w∈F,et tout λ∈K,on a :
v+w∈F,et λv∈F.(2.1)
D´emonstration. Si Fest un sous-espace vectoriel de E, alors c’est un espace vectoriel et (2.1) est vrai.
Montrons la r´eciproque. Parmi les propri´et´es de la d´efinition (1), celles qui ne font intervenir l’asso-
ciativit´e, la commutativit´e et la distributivit´e, puisqu’elles sont vraies dans E,restent vraies dans F
`a cause de (2.1). Il suffit donc de v´erifier les 2 propri´et´es impliquant une existence (´el´ement neutre et
oppos´e). Nous devons d´emontrer que Fcontient le vecteur nul, ainsi que l’oppos´e de tout vecteur de
F. D’apr`es le premier point de la proposition (1), le vecteur nul s’´ecrit 0.vpour tout vecteur vde E,
donc pour tout vecteur de F. Comme Fest non vide, il est donc dans F. De mˆeme si vest un vecteur
de F,alors son oppos´e, qui s’´ecrit (−1).vd’apr`es le second point de la proposition (1), est aussi dans
F.
1. {0E}et Esont des sous-espaces vectoriels triviaux de E.
2. Observons que tout sous-espace vectoriel de E contient au moins le vecteur nul.
3. Si Fest sous-espace vectoriel de E, alors (F,+,.) est un K-espace vectoriel.
Remarque
Proposition 6.
Soient (E,+,.) un K−ev et Fune partie non vide de E.Les affirmations suivantes sont ´equivalentes.
1. Fest un sous-espace vectoriel de E.
2. ∀α,β∈K,∀(x,y)∈F2,α.x+βy∈F.
3. ∀α∈K,∀(x,y)∈F2,α.x+y∈F.
D´emonstration.
1=⇒ 2) Supposons que Fest un sous-espace vectoriel de E.Soient α,β∈Ket (x,y)∈F2.D’apr`es le
th´eor`eme 9, on a α.x∈Fet βy∈F,donc α.x∈F+βy∈F.
2=⇒3) Il suffit de prendre β=1.
3=⇒1) Soient α,∈Ket (v,w)∈F2.On a α.v=α.v+0∈Fet v+w=1.v+w∈F.En utilisant le th´eor`eme
9, on obtient Fest un sev.