tableau-transformees-de-laplace

Dernière mise à jour
26/09/2017
Allure
Tableau
SLCI 1
Fonction 𝒇(𝒕)
Denis DEFAUCHY
Aide
Transformée de Laplace
𝑭(𝒑) = 𝓛(𝒇(𝒕))
Pôles de 𝑭(𝒑)
𝑡𝛿(𝑡)
RAS
1
Impulsion de DIRAC
𝑡𝑓(𝑡) = 𝒖(𝒕)
Echelon unitaire
𝐹(𝑝) =
1
𝑝
𝐹(𝑝) =
1
𝑝2
Double
𝑛!
0
𝑝𝑛+1
D’ordre 𝑛 + 1
1
𝑝+𝑎
−𝑎
𝑡𝑓(𝑡) = 𝑡𝑢(𝑡)
Rampe
𝑡𝑓(𝑡) = 𝑡 𝑛 𝑢(𝑡)
Fonction puissance
𝑡𝑓(𝑡) = 𝑒 −𝑎𝑡 𝑢(𝑡)
Exponentielle
𝑡𝑓(𝑡) = 𝑡𝑒 −𝑎𝑡 𝑢(𝑡)
𝑡 𝑛−1 −𝑎𝑡
𝑡𝑓(𝑡) =
𝑒 𝑢(𝑡)
(𝑛 − 1)
𝑡𝑓(𝑡) = sin 𝜔𝑡 𝑢(𝑡)
Sinus
𝑡𝑓(𝑡) = cos 𝜔𝑡 𝑢(𝑡)
Cosinus
𝑡𝑓(𝑡) = 𝑒 −𝑎𝑡 sin 𝜔𝑡 𝑢(𝑡)
Sinus amorti
𝑡𝑓(𝑡) =? ? ?
𝑡𝑓(𝑡) = 𝑒 −𝑎𝑡 cos 𝜔𝑡 𝑢(𝑡)
Cosinus amorti
𝑡𝑓(𝑡) =? ? ?
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𝐹(𝑝) =
𝐹(𝑝) =
1
(𝑝 + 𝑎)2
1
𝐹(𝑝) =
(𝑝 + 𝑎)𝑛
𝐹(𝑝) =
𝐹(𝑝) =
𝐹(𝑝) =
0
−𝑎
Multiple
𝑝2
𝜔
+ 𝜔2
±𝑗𝜔
𝑝2
𝑝
+ 𝜔2
±𝑗𝜔
𝜔
(𝑝 + 𝑎)2 + 𝜔 2
𝜔
𝐹(𝑝) =
[(𝑝 + 𝑎)2 + 𝜔 2 ]𝑛
𝐹(𝑝) =
𝑝+𝑎
(𝑝 + 𝑎)2 + 𝜔 2
𝑝+𝑎
𝐹(𝑝) =
[(𝑝 + 𝑎)2 + 𝜔 2 ]𝑛
𝐹(𝑝) =
0
−𝑎 ± 𝑗𝜔
Multiple
−𝑎 ± 𝑗𝜔
Multiple
Dernière mise à jour
26/09/2017
Tableau
SLCI 1
Denis DEFAUCHY
Aide
𝑡𝑓(𝑡)
𝐹(𝑝)
𝑡𝑓 ′ (𝑡)
ℒ(𝑓 ′ (𝑡)) = 𝑝𝐹(𝑝) − 𝑓(0+ )
𝑡𝑓 ′′ (𝑡)
ℒ(𝑓 ′′ (𝑡)) = 𝑝2 𝐹(𝑝) − 𝑝𝑓(0+ ) − 𝑓 ′ (0+ )
𝑡𝑓 ′ (𝑡)
𝑓(0+ ) = 0
ℒ(𝑓 ′ (𝑡)) = 𝑝𝐹(𝑝)
...................
............................
𝑡𝑓 (𝑛) (𝑡)
ℒ (𝑓 (𝑛) (𝑡)) = 𝑝𝑛 𝐹(𝑝) − 𝑝𝑛−1 𝑓(0+ ) − 𝑝𝑛−2 𝑓 ′ (0+ ) − ⋯ − 𝑓 (𝑛−1) (0+ )
𝑡𝑓 (𝑛) (𝑡)
𝑓(0+ ) = 0
…
{𝑓(𝑛−1) (0+ ) = 0
ℒ(𝑓 𝑛 (𝑡)) = 𝑝𝑛 𝐹(𝑝)
{
𝑡
{
𝑡 ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 = 𝑓𝑝 (𝑡)
𝑡
0
ℒ (∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡) =
𝑓𝑝 (0+ ) = 0
0
𝐹(𝑝)
𝑝
𝑓𝑝 primitive de 𝑓
𝑡𝑡 𝑛 𝑓(𝑡)
ℒ(𝑡 𝑛 𝑓(𝑡)) = (−1)𝑛 𝐹 (𝑛) (𝑝)
𝑡𝑒 −𝑎𝑡 𝑓(𝑡)
ℒ(𝑒 −𝑎𝑡 𝑓(𝑡)) = 𝐹(𝑝 + 𝑎)
Théorème du retard
ℒ(𝑓(𝑡 − 𝑇)) = 𝑒 −𝑇𝑝 𝐹(𝑝)
Théorème de la valeur finale
lim 𝑓(𝑡) = lim+ 𝑝𝐹(𝑝)
𝑡→+∞
Théorème de la valeur initiale
𝑝→0
lim 𝑓(𝑡) = lim 𝑝𝐹(𝑝)
𝑡→0+
𝑝→+∞
Equivalents
+
0 (𝑝)
𝑄(𝑝) ~+ 𝑄𝑒𝑞
𝑏𝑚 𝑝𝑚 + ⋯ + 𝑏1 𝑝 + 𝑏0 𝑏0
~
𝑎𝑛 𝑝𝑛 + ⋯ + 𝑎1 𝑝 + 𝑎0 0+ 𝑎0
0
+∞ (𝑝)
𝑄(𝑝) ~ 𝑄𝑒𝑞
+∞
lim 𝑄(𝑝) =
𝑝→0+
0+ (𝑝)
lim 𝑄𝑒𝑞
𝑝→0+
𝑏𝑚 𝑝𝑚 + ⋯ + 𝑏1 𝑝 + 𝑏0
𝑏𝑚 𝑝𝑚 𝑏𝑚 𝑚−𝑛
~
=
𝑝
𝑎𝑛 𝑝𝑛 + ⋯ + 𝑎1 𝑝 + 𝑎0 +∞ 𝑎𝑛 𝑝𝑛
𝑎𝑛
+∞ (𝑝)
lim 𝑄(𝑝) = lim 𝑄𝑒𝑞
𝑝→+∞
𝑝→+∞
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