Artin - Quadratische Körper im Gebiete der höheren Kongruenzen I+II

Quadratische K~rper im Gebiete der h~here1~
Kongruenzen. I.
(Arithmetisaher Teit.)
Von
E. Artin in Hamburg.
w
Einleitung.
Die Dedekindsehen Untersuchungen iiber h5hera Kongruenzen 1)
legen folgende Erweiterung der Theorie nahe.
Es werde dem KSrper K der rationalen Funktionen modulo p die
Funktion }/D($) adjungiert, wo D ( t ) eine ganze im Sinne D e d e k i n d s
quadra~freie Funktion des Parameters t ist. Der entstehande quadratisehe
KSrper K ( ~ / ~ )
weist dann/~hnliche Eigensehaften auf wie ein quadra.
tiseher ZahlkSrper.
So gilt zum Beispiel der Satz tiber eindeutiga Zerlegbarkait der
Ideale in Primideale, der Satz yon der Endlichkeit der Klassenzahl, die
S/itze iiber die Einheiten.
Zur Klassenzahlformel gelangt man durch Einfiihrung der Zetafunktionen. Hier liiB~ sieh die Frage naeh der Riehtigkeit der R i e m a n n schen Vermutung in jadem speziellen Fall entscheiden. Eine Durahrechnung der ersten F/ille - - es handelt sieh um zirka vierzig K S r p e r ergab stets die Riehtigkeit der R i e m a n n s c h e n Vermutung. Einem
allgemeinen Bewais ihrer Riehtigkeit seheinen sich aber noah Sehwierigkeiten ~hnlieher Art wie beim R i e m a n n s e h e n ~(8) entgegenzustellen,
doeh ]iegen die Verh~ltnisse bier insofern klarer und durchsichtiger, als
es sich (ira wesentliehen) um ganze rationale Funktionen handelt. Auf
Fragen, die damit im Zusammenhang stehen, werde ieh noch zuriickkommen.
Von den sonstigen Eigensehaften unserer Zetafunktionen sei noah
hervorgehoben: Sie besitzen eine einfaehe Funktionalgleiahung, welche als
1) J o u r n . fiir die r, u. a. M a t h . 54 (t857), S, 1--26.
Mathematische Zeitschrift. XIX.
11
154
E. Artin.
Folge merkwiirdige Reziprozit~itsbeziehungen gevdsser Charaktersummen
nach sieh zieht. Ihre Nullstellen stehen in einfachem Zusammenhang
mit den Wurzeln einer algebraisehen Gleichung wodurch eben die Entscheidung fiber die R i e m a n n s c h e Vermutung gef~ltt werdcn kann.
Setzt man die Riehtigkeit der Riemannsehen Vermutung ffir alte
KSrper voraus, so l~iBt sich fiir alle p der Nachweis erbringen, dab es
nur endlieh viele imagin~ire KSrper mit einklassigen Gesehleehtern gibt.
Endlieh sei aueh noeh auf den Zusammenhang mit einer Arbeit .yon
Kornblum'-'), der am Schlusse des zweiten Tells dieser Arbeit hergestellt
wird, hingewiesen. Es gelingt dabei, das K o r n b l u m s c h e Resultat iiber
die Existenz unendlich vieler Primfunktionen in arithmetischen Progressionen wesentlich zu verschhrfen.
Bemerkt sei noch, dab ich der kiirzeren Bezeiehnung halber einige
im Gebiete der Zahlen verwendete Symbole sinngem~B auf die Funktionen
(rood p) iibertragen habe. Dies reehtfertigt sich aueh sehon dadurch, dab
dann die Analogie unserer Resultate mit denen in ZahlkSrpern deutlicher
zutage tritt. Eine Verwechslang ist dabei wohi nicht zu befiirchten, da
die Symbole nur gem/iB unserer Definition verwendet werden.
w
Erste Erweiterung des Rechengebietes.
Nach D e d e k i n d
heiBen
ft
zwei Funktionen Fl(t)~fl_.,'a~t"
n
F~ (~)-----Z, b~t" kongruent modulo p, in Zeiehen
v=O
und
~'=0
Fx(t ) "~_F~(t) (rood p),
wenn fiir a l l e v gilt
a~ ~ b~ (mod p).
Dabei bedeutet p eine in den ganzen Entwieklungen festgehaltene
Primzahl.
Wir wollen in diesem Falle die Funktionen und Zahlen direkt ,,gleich"
nennen und also einfach schreiben
F I(t)=F.~(t),
wenn
a~=b,.
Von Viel[achen yon p ist hierbei eben abgesehen.
Ferner verstehen wir, wenn a # 0 (d. h. naeh der vorigen Festsetzung a ~ 0 (mod p)), unter ab eine Zahl x, fiir welche a x = b ist
(d. h. wieder ax=~b (rood p)). Zum Beiupiei ist, wenn p ungerade, unter
I
der h/iufig auftretenden Zahl ~ die ganze Zahl p- -+2i- zu verstehen.
~) Mathem. Zeitschr. 5 0919), S. 100.
Quadratische K/irper im Gebiete der hSheren Kongruenzen. L
!55
Nun lassen wir - - und darin besteht unsere Erweit~rung -- auch
negative Potenzen yon t in endlicher oder unendlicher Anzahl zu. Wir
betraehten also Funktionen der Form
F ( t ) ---- ., ~' a , , t'
=-a
n r ~-, a , _ 2 ~ n - z ~ - . . .
wobei wieder zwei Funktionen ,,gleich" sein sollen, wenn die Koeffizienten
entsprechender t-Potenzen ,,gleich" sind.
Man beachte, dal~ dem Buchstaben t keinerlei numerisehe Bedeutung
zukommt, und er lediglieh als Reehensymbol zu betraehten ist, so dab
im Falls unendlieh vieler negativer Potenzen von t der Konvergenzfrage
keinerlei Bedeutung zukommt. Da er ferner im allgemeinen derselbe
bleibt, unterdriieken wit ~-~inftighin seine Bezeichnung, sehreiben also kurz
F
statt
F(t).
Zahlen mSgen stets mit kleinen lateinischen Buchstaben und den allgemein iiblichen Summationsbuehstaben /x, v bezeichnet werden, alle
iibrigen Buchstaben seien den Funktionen vorbehalten.
Sei nun F = Z , a, t", wobei a , + 0 vorausgesetzt sei.
F heii~e ganz, wenn die Koeffizienten aller negativen Potenzen von t
versehwinden, wenn es also sine Funktion im Dedekindschen Sinne ist.
Ferner heiSe fiir ganzes und nieht ganzes F :
1. Wie bei D e d e k i n d , n d e r Grad von F.
2. Die Zahl p~ der ,,Betrag" I F l = p" von F. Diese Bezeiehnung
wird sich in der Fo|ge rechtfertigen. Fiir jetzt sei nur bemerkt, da$ im
Falls eines ganzen F die Zahl p"----]F I die Anzahl der Restklassen der
ganzen Funktionen modulo F i s t .
In der Dedekindsehen Bezeichnung
(modd io, F (t)). Fiir von Null verschiedene ZaMen a gilt dann ] a i ---- 1.
Ferner werde [01-----0 gesetzt.
3. Der Koeffizient a, der hSchsten Potenz yon t, der schon bei
D e d e k i n d die Rolls des ,,Vorzeichens" yon F spielt, werde mit
a , = sgn F
bezeichne~. Diese Definition hat natiirlieh nur einen Sinn, wenn F ~ 0
ist, d.h. wenn es nichtversehwindende Koeffizienten iiberhaupt gibt. Dann
ist sgn F + 0.
4. Mit D e d e k i n d nennen wir die yon Null verschiedenen Zahlen
l, 2, . . . , (p -- 1) die rationalen Einheiten, da sie in ttnserem Sinne Teller
der Eins sin&
5. Wenn sgn $' = 1 ist, heiBe F prim/ir.
gef~hr den positiven Zahlen.)
(Es entsprieht dies un11"
156
E. Artin,
Fiir unsere Symbole gelten nun ersichtlich die gewShnlichen Reehenregeln:
IpG!= IFI-IGt,
sgn (FG) = s g n F - s g n G.
Wir erwiihnen noch die folgenden hiiufig zur Verwendung gelahgenden
Regeln:
1. Wenn I F I < I G I , so ist
I '+al=Ial.
Hier hat ja Y auf den Grad des Resultats keinen Einflul~.
gilt unter der gleiehen Voraussetzung
Ebenso
sgn ( F + G) ~-- sgn G.
2. Wenn t F [ = I G I u n d sgn F - t - sgn G # 0 ist, gilt
und
IF + a
sgn ( F + G) -= sgn F -f- sgn G.
3. Wenn ! F I = IGI und sgn F + s g n G = 0 ist, haben wit
!p + a i < I l-- a I
Der Beweis dieser S~itze folgt unmittelbar aus Gradbe~rachtungen.
Das Rechnen mit Grenzwerten erhalten wir dutch folgende Definition :
Eine Folge yon Funktionen F1, F~, F a . . . . konvergiert gegen einen
Grenzwert, in Zeiehen F = lira F , , wenn sich naeh. Vorgabe eines beliebig kleinen positiven ~ ein n so finden ls
dab fiir alle v __> n gilt
IF.-Fi< .
Das heist ein beliebig gegebener Absclmigt yon F kommt yon einer
Stelle n a b in allen F~ vor.
Ersichtlieh ist hierfiir notwendig und hinreiehend, wenn eine Stelle n
existiert, so dal~ flit /~, v _> n gilt
Aus dem Grenzwertbegriff folgt unmittelbar
vergenz und der Summe einer unendlichen Reihe
der Begriff der Kon-
~F~.
Sie konvergiert und hat die Summe S, wena 2 = lim 2 , existiert,
n
S,, :~ x7~ F
v~a~
wo
Quadratische KSrper im Gebiete der h6heren Kongruenzen. I.
157
~'iir die Konvergenz ist notwendig and hinreichend, dat~ flit alle ge~
niigend gro$eu u und v ~ / ~ die Betr/ige der Ausschnitte E , @ F~+, ~- ... @ F,.
beliebig klein werden.
Da nun einerseits die Betriige dieser Ausschnitte nach unseren Rechenregeln die der einzdnen Glieder nie iiberschreiten k6nnen und andererseits
als Aussehnitte fiir ,u,~--,v die einzelnen Glieder selbst auftreten, erhalten
wir das einfaehe Konvergenzkriterium:
Far die Konvergenz der unendlichea Reihe (1) is~ notwendig und
hinreichend, dal3
lim I iv,, ] = O.
Insbe~omtere erhalten wit fiir ,,Potenzreihen"
~'a,,F",
deren Koeffizienten Zahlen sind, dal~ sie sicher konvergieren fiir
Dean dann isl
,F'l
< v-',
arso
li
l ,F i =
~,:
o.
ac
Ebenso leicht erhalten wir die Resultate:
a ede konvergente Reihe konvergiert unbedingt, d. h. ihre Glieder
kSmmn beliebig vertauscht werden.
Fiir das Produkt zweier konvergenter Reihen gilt die Cauchysche
Produktregel.
F eine
D e f i n i t i o n . Wenn G=t=0 islb, verstehen wir unter H - ~ G
Funktion, fiir welche H G = F i s t .
Um die Existenz einer solchen Funktion nachzuweisen; sei
a,, _ , t ~ - j -t- . . . = a . t
wobei a,,~= 0 vorausgesetzt wird. Hier ist
(I----%t"-1-
q~_~
~. ~t--1
a. :t-e___
also
"
O--q'),
q}i<p-ll
Demnach konvergiert
\ 7 qb"
and es ist
(1 - - q~) _\" r
\ ', q / ' - -
v q~"---~l.
Setzen wir also
ac
H - - ' ~ a - ~ l t - ' ~ . F 9--\T q~",
158
E. Artin.
so gilt H G : F .
Also ist H eine Funktion der gesuchten Art. Aus
A B = 0 und ,4 4 = 0 folgt aber durch Betraehtung der Betr~ge B -~ 0.
W/~re also H 1 eine zweite Funktion, flit die H1G = F ist, so w~re
(H--HI)G:=0.
deutig bestimmt.
Wegen G 4 =0 folgt H = H
Aus
folgt die Rechenregel
v
Also ist H = ~
ein-
!Ff=tHGf=lHt lal
-----Iol
und analog ist
F
sgn F
sgn ~ -- sgn G"
Endlieh definieren wir:
D e f i n i t i o n . Alle Funktionen, die sich als Quotient zweier ganzer
Funktionen darstellen lassen, heil~en rational, alle iibrigen irrational.
w
Quadratische Gleichungen und Imaginiire.
Fiir das Weitere beschriinken wit uns auf ungerade Primzahlmoduln p.
Wir untersuchen nun die quadratisehe Gleiehung
X~:A.
Wit erkennen leieht, dab diese Gleiehung keine unserem bisherigen
Reehengebiete angehSrige LSsung haben kann, wenn
1. A ungeraden Grad hat, oder
2. sgn A quadratischer Niehtrest modulo p ist.
Wenn dagegen ,4 yon geradem Grade und sgn_4 = a ~ ein quadratischer Rest ist, hat unsere Gleiehung stets genau zwei nut dureh das
,Vorzeichen verschiedene LSsungen. Denn dann hat A die Form
__
t~
~ ...
aO-t'~(l+r
wobei
q~ __ a.z~-I
t-e - ] - . . . ,
a ~ t - I + ao~n-.,
a'
also
I(Pl__~p -1.
Nun ist
(-~)
=
oder
=
~-.(--{)...(-~---,,+1)__
( - - 1 ) ~-1 1 . 3 - 5 . . . ( 2 , ' - - 3 )
v!
-- " 2 ~
v!
2 2 , , - x ( v - - 1)
(2,,;2) =
,
29,,-i v
(?7)
Quadratische KSrper im Gebiete der hSheren Kongruenzen. L
159
Aus der letzten Gleichheit geht, da ( ~ - 1) und ~ zueinander prim
sind, hervor, da~ im Nenner von
nut Potenzen yon 2 auftreten kSnnen,
Da wir die Primzahl p a l s ungerade voraussetzen (der Grand dafiir ist
das soeben festgestellte Verhalten), kSnnen wir ~ dutch die ganze Zahl
2
ersetzen.
Die so entstehende ganze Zahl
gehorch~ dann den-
selben Gesetzen wie das gewShnliche Symbol, falls nut die Gteichheitszeichen in unserem Sinne als Kongruenzen gelesen werden.
Demnach ist das Quadrat der naeb dem Friiheren wegen !r
konvergenten Potenzreihe
=< p-1
~=0
~naeh der Cauehysehen Reget bereehnet) gleieh l @ q ~, da dies im gew6hnliehen Zahlgebie~ der Fall ist.
Die Funkfion
-',:--- ~
"r = 0
. Z ~ 2 ..~_
r
is~ also eine LSsung yon
A. W/s noeh X~=: A, so h/~tten wit
X ~ - - - M = 0 oder (X + X~)(X -- X ~ ) = 0, somit ent,,~eder X = X~ oder
Wit schreiben 1/A = X, wo das Vorzeiehen noch beliebig w~hlbar
ist, und nennen V~J in diesem Falle reell.
Um das Symbol 1/A aueh in den ausgeschlossenen, ,, imagin/iren ':
F~llen zu definieren, gehen wit so vor:
Sei g eine wimitive Kongruenzwurzel modulo T, die im weiteren
Verlaufe fesggehalten werde.
Wit f;ahren nun die beiden ,,Imagmaren
trachten Funkt, ionen der Art:
9
..
r
1/g und V~" ein und be-
L A § BV ,
2. A-~-B1/t,
".3. A + B1/~t.
Unter Aufreehterhaltung der formalen Rechenregeln fiir Addition and
Multiplikation setzen wir lest, dal~ A @ B~/t--= C @ D V't dann and nur
dann zutrifft, wenn A = C und B = D
is~. Analog in den fibrigen
F/fllen. Mit den drei Arten werde aber nicht simultan gerechnet. Man
iiberzeugt sieh teicht, daf~ die Aufreehterhaltung tier Rechenregeln auf
keinen Widerspruch fiihr~, und dal3 aus dem Verschwinden eines Produk~es
160
E. Artin.
auf das Versehwinden eines der Faktoren geschlossen werden darf.
der Tat, wird die Imagin~ire mit i bezeichnet, so folgt aus
also
(A+iB)(C-}-iD)=O
(A--iB)(C--iD):-=O,
anch
( A ' - - i~B')(C ~
In
i~D")=0.
Ist nun A--~ l B . + O, das heil]t verschwinden A und B nicht gleichzei~ig, so sind flit i - ~ l / t oder i = = ] / ~ die Grade yon A ~ und i~B ","
sieher versehieden (gerade und ungerade), fib i-----~/g sicher die ,,Signa".
Also ist auch A 2 - i~ B" + O. Somit C "~- i: D ' = O. Nach dem eben
Gezeigten geht dies nut, wenn C - ~ D = O, also C + i D - = 0 ist.
Von der MSgliehkeit und Eindeu~igkeit der Division tiberzeugt man
sich ebenfalls sofort durch ,,Rationalmachen" des Nenners.
Fib die beiden ausgeschlossenen F~lle ergib~ nun eine einfaehe Betraehtung folgende M6glichkeiten:
.
~ ist reel]-~ ~/-A[,
1.
roell =
Es ist hier der Ort darauf hinzuweisen, dab es oft zweckmg$ig ist,
den Parameter t einer linearen Transformation 4er Form gx ~ at @ b zu
unterweffen. Durch diese wird offenbar keine zahlentheoretische Eigenschaft unserer Funktionen ge~indert und doch manche Vereinfachung erzielt. So tgl~t sich zum Beispiel durch t~-----gt Fall 3 auf Fall 2 zuriickfiihren, so ,dab es geniigte, die Diskussionen Iiir die ersten beiden Fglle
durchzufiihren. Wir werden gelegentlich yon diesen Lineartransforma~ionen
Gebraueh zu machen haben.
Die LSsungen yon X ~ - - A lassen sieh also in vier Klassen teilen
(V'A[ bedeute eine reelle Wurzel):
1. ~/5 reen,
2. v~ = r
3. V q = V ~ . ~ ,
r
~. v - J =
r
r
wobei Fall 3 und 4 nieht wesentlich versehieden sin&
Fiir die LSsung der quadratischen Gleichung
(A 4= 0)
AX~+BX+C=O
ergibt sich nun in bekannter Weise
X----Bi
V~--4AO
2A
- B +v'~
2A
Quadra~isehe KSrper im Gebiete der hSheren Kongruenzen. I.
](~1
w
Quadratische Kiirper.
in
der zuletzt aufgestellten quadra~ischen Gleichung mSgen nun
ganze Funktionen sein. Zcrlegen wit A ~ B 2 - 4 A C in seine
Primfaktoren, so k6nnen wir A in die Form setzen
A, B,C
-~M".D,
wo D cluadratfrei ist und iiberdies entweder s g n D = l
oder sgnD ~-g.
(Indem n~mlieh ein quadratiseher Rest zu M gezogen wird.)
Dann ist t/A--:-M.V.D. Man erkennt leicht, dal~ V D nur im Fat]e
D = 1, den wir weiterhin als trivial ausschliel]en, reell und rational ist.
Die LSsmag unserer Gleichung hat dann die Form
x = - B • Mr
2A
Funktionen dieser Form nennen wit quadratisehe Irrationalit~ten und
zwar reell oder imaginiir, je naehdem I/D reell oder imagin~ir ist.
Die Gesamtheit aller rationalen Funktionen modulo p bilde~ nun
offenbar einen K6rper K.
Wit untersuehen nun den KSrper ~2, der dutch Adjunktion einer
quadratisehen Irrationalitiit zu K entsteht. Diese Adjunktion kann offenbar
ersetzt werden durch Adjunktion yon u
Wir definieren also (Vorzeichen yon V D beliebig lest gew~hlt):
Ist D ~: 1 eine ganze quadratfreie Funktion mod p und sgnD = l
oder g, so entsteht der ,,quadratisehe KSrper" ~ = K(1/LJ) dutch Adjunktion yon ~/D zum KSrper K. Der K6rper heiBt reell oder imagin~ir,
je naehdem ob 1/]~ reell oder imagin~r ist.
Die Funktionen des K5rpers K ( I / D ) Iassen sieh darstellen in der
Form
, - = A + B1/D,
wo A und B rational sind.
Sie lassen sieh aueh nm' auf eine Weise so darstellen, dena aus
A -/- B I / D ~---C + E 1/D wiirde im Falle B =b E folgen I/1) -----E-----z~'VA- so
dab ~/D reell rational w~re.
~ geniigt der gleichung
r
Aus B = E folgt abet wieder A = C.
-- 2 A n + ( A ~ -- D B ~') = O.
Die zweite Wurzel dieser Gleichung
~'=:.A .-BVD
162
E. Artin.
heiBt die zu tr konjugierte Funktion.
Endlich heiBt a a ' die Norm yon ~:
N (a) = ~a' = A ~ - - B ~"D .
D e f i n i t i o n . Eine Funktion a des K6rpers .(2 ~ K (l/D) heigt ,,ganz",
wenn sie einer Gleichung
a~'--~ A i a + A., = 0
mit ganz rationalem A 1 und A~ geniigt.
Es gilt der Satz:
Wenn a ganz und rational ist, so ist es ganz ratione.1.
F
g = ~ , wo $' und G prim sind, folgt
Denn aus
.F ' + A1G .F --{- A . G ~~ O.
Also muff F ~" durch G teilbar sein, was nut geht, wenn G eine
rationale Einheit ist. Dana ist abet ~ ganz rational.
Wenn aber r ganz und nicht rational ist, kann es nur einer quadratisehen Gleichung der Form
geniigen.
Denn aus
folgte
(A 1 -- B1)e, -]- (A.._--B~) ~---O,
was nur fiir A~ = B 1 riehtig sein kann, da sonst , doch rational wiire.
Aus t I = B 1 folgt aber A. = B...
Gehen wir nun auf die Darstellung a ~ A ~ - B 1/~ und die zugehSrige
Gleiehung
a ' - - 2A,-+- ( A " - - D B ' ) - = . 0
zuriick, so finden wir, wenn a rational ist, B ~ 0, also A ganz.
Wenn aber er nicht rational ist, mug die hingeschriebene Gleichung,
da es dann nur eine dieser Form gibt, ganze rationale Koeffizienten haben.
Es ist also 2 A und demnaeh A ganz. Ferner ist A ~ - - D B e, also auch
D B " ganz.
W~.re nun B nicht gaaz, so bestiinde sein Nenner aus mindestens
ei'nem Primfaktor, der im Nenner yon B " quadratisch vorkiime und sich
gegen D nicht heben kSnnte, da D nur einfache Primfaktoren besitzt.
Also ~;iire D B 0~ auch nicht ganz.
Ist umgekehrt A und B garm, so ist ersichtlich , --~ A + B ~
ganz.
Wit haben also:
S a t z . Alle ganzen Funktionen des KSrpers lassen sich in der Form
(: = - X qF Y V ~ darstellen, wo X und Y ganz sine
Quadratische KSrper im Gebiete der hSheren Kongruenzen. t.
163
D e f i n i t i o n . gedes Paar rol,~o., yon ganzen Funktionen des KSrpers
heil~t eine Basis, wenn sich alle ganzen Funktionen von [2 in der Form
X 031 @ Yo)~ darstellen lassen.
Dann kSnnen wit also sagen:
Das Funktionspaar 1,~/D bildet eine BasiS.
Durch ein gleiches Verfahren wie in Zahlk6rpern beweist man:
Jede Basis des KSrpers hat die Form:
~1-~ A1 + A., 1 / ~ I ,
oJ._=B I-B~.I/D~
wo
t A 1 As'
I B I B ~" = a
ist.
Dabei ist A1, A~, B 1, B. ganz rational und a eine rationale Einheit.
Aus dem Multiplikationstheorem fiir Determinanten folgt sofort, went.
f
r / c~.2
die Konjugierten der Basis wl, ~o, sind:
091 o)~
II O)~,
(D.,,
I'
~ Dj
a~
,
wo al eine Einheit ist.
Man kann ersichtlich die Basis so w~ihlen, dat~ a 1 ein beliebiger
Rest, zum BeispieI 1 wird.
Aus diesem Grunde heil3t D die Diskriminante des KSrpers K (!/D).
Aus der Basisdarstellung ergibt sieh sofort, das Summe, Differenz
und Produkt ganzer Funktionen aus D wieder ganz sind, dab mit a aueh
a' ganz ist, und da~ N ( a ) ganz rational ist.
Definition.
Eine
Funktion fi, wenn sieh
fi heigt aueh Teiler von
D e f i n i t i o n . Jeder
ganze Funktion t~ heiilt teilbar dutch die ganze
ein ~, (ganz) finden liigt, so dag g~---fl), ist.
~.
Teiler der 1 heigt Einheit des K6rpers.
Zu den Einheiten geh6ren also z. B. die rationalen Einheiten
i, 2 , 3 , . . . , ( p - 1), die wir auch triviale Einheiten nennen wollen.
Es gilt der Satz:
Eine ganze Funktion ~' ist dann und nur dann Einheit, wenn N ( e )
eme triviale Einheit ist.
t~
B e w e i s . Aus N ( e ' ) = - a - - e~" folgt s ' = - . Es ist also a und somit
ganz, d. h. e eine Einheit.
1
Sei umgekehrt e eine Einheit nnd q ~ T' also eq--~-~ 1.
Dann ist
aueh ~' '
1, also N ( t : ) . - h r ( q ) ~ l .
Die einzigen ganzen rationalen
Teiter yon 1 sind aber die trivialen Einheiten, so daft N ( e ) ~ - a ist.
Ferner gilt ersiehtlich:
M i t e ist aueh --1 e' und-1 eine Einheit.
164
E. Artin.
Das Produkt zweier Einheiten ist selbst eine Einheit.
D e f i n i t i o n . Zwei wechselseitig durcheinander teilbare ganze Funktionen ~ und fl heil~en assoziiert.
Dann sind also die beiden Quotienten ~ und -~ ganz, sind also Einheiten. Alle zu a assoziierten Funktionen sind also f l ~ ea, w o e irgendeine KSrpereinheit ist.
Insbesondere sind alle Einheiten untereinander und mit 1 assoziiert.
w
Die Ideale.
D e f i n i t i o n . Ein System ganzer Funktivnen von K ( V ~ ) hei~t ein
Ideal, wenn mit den Funktionen ~l und % aueh Zl~l ~ Z2% zum Ideal
gehSrt, wobei ~'1,~'e beliebige Funktionen des KSrpers sind.
Satz. In jedem Ideal a gibt es eine Basis. Darunter ist ein
Funktionspaar col, e% zu verstehen, so dab man dutch X c%-~-Y e% alle
Funktionen des Ideals und nut diese erh~lt, falls X und Y alle ganzea
rationalen Funktionen durehlaufen.
Beweis. Ist a eine Funktion aus a, so ist auch c " - a ~ N ( ~ ) eine
Funktion des Ideals. Im Ideal gibt es also ganze rationale Funktionen.
T sei der grSBte gemeinsame Teller aller ganz rationalen Funktionen
aus a. Da dieser durch passende lineare Zusammensetzung erhalten
werden kann, gehSrt er selbst dem Ideale an. Ebenso sei R ~ S ~/D
jene Idealfunktion, flit die S der grSBte gemeinsame Teller der Koeffizienten
yon ~/D in den Idealfunktionen ist. Dann ist
eine Basis des Ideals.
Denn wenn a-~--A-~-B t/D zu a gehSrt, ist jedenfalls B dutch S
teilbar: B - ~ Y S .
M i t r gehSrt auch g - - Yw~-----A--YR dem Ideale
an. Als ganze rationale Funktion yon ~ ist sie durch T teilbar:
g -- Y we ~- X T. Demnach ist
a = X% ~ Y%.
Es ist also w i, w~ eine Basis.
Gleiehzeitig haben wit erkannt, dab die Basis stets i, der speziellen
Form
w~ihlbar ist.
Man erkennt auch leieht, d a ~ l R I <:i TI angenommen werden darf.
Diese Form der Basis nennen wir die adaptierte. T und S sind in ibr
Quadratisehe KSrper im GebieSe der hSheren Kon~uenzen. I.
1 65
bis auf triviale Einheiten als Faktor eindeutig bestimmt. Nimmt man
die Bedingung [ . R I ~ ! T I hinzu, so ist mi~ der Wahl yon 8 auch R eindeutig fes~gelegt. Denn wenn R q - S V ~ und R~ ~ - S ~ / D dem Ideal angehSren mit 1 / ~ l < l r l
und l / ~ i / < l T I ,
so geh6rt aueh / g - - R~ dem
,Ideal an und ist dutch T teilbar.
Da I R - - R ~ I < IT I ist, muff
R ~ R 1 sein.
Wit beweisen nun den
Satz. Die notwendige und hinreiehende Bedingung dafiir, dab
a, ~= T, w:-~ R + S V D die Basis eines Ideals bildet, ]autet: Es
mull gelten
B~_D
T = 2CS,
.R~ BS,
~c = 2 A ,
wo A , B, C ganze rationale Funktionen sin& Die Basis hat also die Form
co~-----2GS,
~:=S(B+I/D),
wo
D=B~
und umgekehrt ist dann wl, co~ Basis eines Ideals.
Beweis: 1. Mit ~o~ ~ T gehSrt aueh o~lV1)~ T ~ / D zum Idea~,
mul~ sbh also dureh die Basis dars~ellen lassen:
Also:
T=SY
Nun muB sein
oder,
Y--2C
TX
gesetzt,
T~-2GS.
i- R Y ~ O ,
oder nach dem eben gezeigten
SYX
~-RY~O.
Da iP=~=0, aiso Y ze 0 ist, mul3 sein
R~
--SX
oder,
X~--B
gesetzt,
R~BS.
Mit ~o~ == S ( B + ~J~) gehSrt auch c%(U -- V D ) = s
~"-- D) zum
B
~
_
D
Ideal. Es muff durch T ~ 2C~Q teilbar sein, also ist --2-0-- ganz. Unsere
Bedingungen sind also notwendig.
2. Dal~ die Bedingungen hinreiehen, zeigen wir so.
c%----2CS,
o~S(B@]/D)
und
Sei
B"~--.D=4AC.
Die Menge der Funktionen Yl ~ q-7~ ms, wo 71 und 7.- irgendwelche
ganze Funktionen aus K (VD) sind, bilden offenbar ein Ideal ct. gede
Zahl a a u s a hat die Form
166
E, ArCin.
a -~ (X + Y ~/D) r q-- (X, + Yj l/D) w~
= ~q(2CX + BX,-]- Y,D) -~ S ( 2 C Y + BY,~, X,)V-D
S ( 2 C X -1- BX,-~- Y~D -- 2C, B Y -- B~YI -- BX1)
+ x ( 2 e Y + B Y , + XI).(B +
VD)
--=-2 C S ( X -- 2A Y, -- B Y ) + (2 CY-]- BY~-~ X~).S(B .-}-VD)
X~ 0)1+ Y~ o)~,
wo X~ und Y, ganz rational sind. co,, e% sind also eine Basis yon a.
Die Basis eines ]eden Ideals hat also (wenn sie adaptiert ist) die
Form w,.~2C~t , eo,,=S.(B-I-I/-D), wo D = B ~ - - 4 A C ist. C und S
sind dabei bis auf triviale Einheitsfaktoren bestimmt. Nimmt man noch
[B[ < [ C [ hinzu, so ist such B vollkommen eindeutig festgelegt.
S a t z . Die garmen rationalen Funktionen A, B , C haben keinen gemeinsamen Teller.
Es folgt dies aus D ~ B " - - 4 A C und daraus, dal] D keinen quadratisehen Teiler hat. Denn einen soleheu miillte es geben, wenn ein gemeinsamer Primfaktor von A und C aueh in B aufginge.
Wenn ein Ideal a aus den Funktionen a,, a2, . . . . e~ so gebildet ist,
dab jede Funktion a a u s a die Form
a ~ 2, a, ~ 2~a~ -1-... -1- ~ a
(),~ gauze KSrperfunktionen)
hat, and umgekehrt jede Funktion dieser Form zu a gehSrt, so schreiben
wit:
Ersichtlich gilt, wenn oh, e% eine Basis ist,
a
=
(~,, ~0.).
Jedes Ideal liil~t sieh also dutch hSehstens zwei Funktionen aufbauen.
Aus jeder ganzen Funktion a bilden wit das Ideal (a), bestehend
aus der Gesamtheit aller dutch a teilbareu Funktionen von K(I/D). Diese
Ideale heil~en Hauptideale.
Insbesondere ist das System aller ganzen Funktionen des KSrpers
ein Hauptideal, das Hauptideal (1).
Wit erkennen wieder, dab as~oziierte Funktionen und nur die~e dasselbe ttauptideal erzeugen. Aus diesem Grunde lassen wir oft bei Hauptidealen die Klammern weg und sehreiben kurz a stat~ (a).
Von den Basen eines Ideals zeigt man leieht:
Satz. Sind ~o,, c% und co*, o)~* zwei Basen des Ideals a, so ist
~~176176176
B, eo,+
co* ~
w o a eine Einheit ist.
B,o)~
)
mit ] AxA~ t
B, B.2 = a,
Quadr~isehe l~Srper im Gebiete der hSheren Kengruenzea. L
Dies hat zur Folge, dab
~67
0)10)1'a~'
%~ ~ bis auf einen quadratischea Rest
als Faktor yon der Wahl der Basis unabhiingig ist und nur veto Ideal
abh/ingt. Die adaPtierte Basis ergibt dafiir den Wert (4GS~')~D. Wit
k6nnen also setzen
i ah, 0)3, l ~- =
0)1 ~
ct
we a ~ ein quadratischer Rest und N a ganz rational prim/ir ist.
N a heil~t die Norm des Ideals a, ihr Betrag i n n ! die absolute
Norm.
Fiir N a ergibt die adaptierte Basis den Wart
N a -~ a 1 9C S o-,
we a 1 eine passende rationale Einheit ist; und zwar wird, da sgn N a -= 1 ist,.
N a - ~ - - - -OS ~
sgn C8""
Definition.
Sind a und b zwei Ideale, so ist die Menge der Funktionen . Z Z . ~ f l , we r u n d f l Funktionen yon a bzw. b, 7 aber beliebige
K6rperfunktionen sind, ein Ideal c, welches das Produkt yon a und 5
genannt werde :
C-~--ab.
Es gilt, wie man leich~ erkennt,
und
Fiir Hauptideale finder man
=
Also ist
a.(i)=a.
Endlich gilt, wenn a = (%, %) und b = (fl~ s
ist,
Definition.
Ersetzt man in einem Ideal a alle Funktionen durch
ihre Konjugierten, so cntsteht wieder ein Ideal a ~, welches das zu a konjugierte Ideal genannt werde.
Ist 0)1, coo. eine Basis yon a, so ist 0)~, w~ eine Basis yon a'.
Das konjugierte Ideal zu a 5 ist a ' 5 ' .
Endlieh: Ist a = ( a , fl), so ist a ' = = ( # , f l ' ) .
Definition.
Ein mit seinem konjugierten identisehes Ideal, fiir
welches also a - - a ' is~, heil~t ambiges Ideal.
168
s. Artin.
S a t z . Es ist a . a ' - ~ ( N a ) also ein Hauptideal.
B e w e i s . Sei
o)~-~S(B+V-D),
col---- 2 U ~ ,
die adaptierte Basis yon ~.
a.a'=
D=B~--4AC
Dann ist:
( 2 C 8 , S ( B '-b 1 / D ) ) . ( 2 C S , S ( B -- lf-D))
= (s ~) (2v, B + V ~ ) (2V, S - V]~)
= ( 8 9 ) ( 4 0 ~, 2CB + 2G1/D, 2CB -- 2cV-D, B ~
D)
= (S ~) (C ~, CB, AC, C1/-J)
= (O.S~).(A, B, O, ~/D).
Da nun A , B , C keinen gemeinsamen Teiler haben, kommt im letzten
Ideal (1) vor.
Es ist also
a-a'=
(c.s').(1)
= (ira).
Hieraus folgern wir:
Satz. Die Norm des Produktes zweier Ideale ist gleieh dem Produkt
ihrer Normen. Denn es ist
(N (ab)) = (a ~).(ab)' = a a ' . 5 ~ ' = (N (a).iv (5)).
Daher ist N([II~) assoziiert mit tVa.Nb. Da beide rational und prim~ir
sind, gilt also
N(ab) = Na.lV~.
Ebenso erh~lt man:
Satz. Die Norm eines Hauptideals ist, bis auf eine triviale Einheit
als Faktor, gleich der Norm der zugehS~igen Funktion.
Wie man sieht, laufen die Schliisse denen im ZahlkSrper vollkommen
parallel. Es wird also geniigen, die weiteren Definitionen und S~tze anzufiihren.
D e f i n i t i o n . Ist r eine Funktion des Ideals a, so schreiben wir
Ebenso besagt
a ~ 0 (mod a).
a ~ fl (mod a),
dab e r fl eine Funktion aus a ist.
S a t z I. Aus ( r ) . a = ( ~ ' ) - b folgt a = b .
Satz II. Aus a . c ~ . c
folgt a ~ b .
D e f i n i t i o n e n . 1. Ist a = 6 c , so heil~t a teilbar durch b und 5
ein Teller von a.
2. Ein Ideal, welches nut dutch (1) und sich selbst teitbar ist, heii~t
Primideal. (Dabei soll es yon (1) verschieden sein.)
Quadratische Kbrper im Gebiete der hbheren Kongruenzen. I.
169
Welter haben wit die Siitze:
IIL Ist b Teller yon a u n d a - - 0 (rood a), so gilt aueh ~--- 0 (rood b).
IV. Ein Ideal ct hat nur endlich viele Teller.
V. Wenn fiir jade Funktion fl des Ideals 15gilt fl ~ 0 (rood a), so ist b
durch a teilbar, und umgekehrt. Insbesondere heigt also a 2~ 0 (modct):
Das Hauptideal (a) isg dutch a teilbar.
VI. Sind a u n d b zwei Ideale, so hat das Ideal b, welches durch
Vereinigung der Funktionen yon a u n d b gebildet ist, alle Eigensehaften
des gr6gten gemeinsamen Tellers yon a und b und ist dureh diese eindeutig bestimmg. Es heigt deshatb aueh der grbl]te gemeinsame Teller
yon a u n d b: b = ( a , b ) .
Wenn (a, b) -- (1) ist, heigen die Ideale a u n d b relativ prim. Dann
gibg es also aus a u n d b je eine Funktion a u n d fl so, dal~ a + fl = 1 ist.
VII. Wenn das Produkt a5 zweier Ideale dutch das Primideal p
teilbar ist, mug einer der Faktoren dureh p teilbar sein.
Nunmehr kann der Hauptsatz fiber die Eindeutigkeit der Zerlegung
in Primideale leieht ersehlossen warden.
Sa~z. Jedes Ideal a liil3t sich auf eine, und his auf die Anordnung
aueh nut auf eine Weise in Primideale zerlegen.
Beweis. Wenn a nicht selbst Primideal ist, liil?t es sich als Produkt
zweier Ideale darstellen. Auf diese werde die Betraehtung erneut angewendet. Naeh IV muB dies einmal abbreehen, wodureh man die gewiinsehte Zerlegung erhiilt:
Aus VII ersehliegt man die Identigii~ zweier gegebener Zerlegungen.
w
Primideale.
Sa~z. Jades Primideal p geht in einer und nur einer rationalen
Primfanktion P auf. (Gemeint is~ natfirlieh das Hauptideal (P),)
Beweis. Da PP'---/YV ist, erkennen wir, wenn N~=PI_P ~ . . . P
die Zerlegung yon N p in Primfimktionen ist, aus p p ' = P~P~... P~,
dag ~ in wenigstens einer der Primfunktionen rechterhand aufgeht.
Isg andrerseits P ~ 0 ( m o d ~ 0 ) und Q~_0(modV), wo P und Q
verschiedene Primfunktionen sind, so ist aueh 1 Funktion yon I~, da ja
P und Q relativ prim sind. Das geht nieht.
Um alle Primideale zu erhalten, geniigt es also alle prim~iren Primfunktionen P zu zerlegen.
Mathematische Zeitschrift, X1X,
12
170
E. Artin.
Es gehe p auf in P :
also
P~-p.a,
N(P) = P~= Np.hra.
Es kann also nur entweder N o ~ P oder N p = P~ sein.
Sei nun o~1= 2CS, ~%= S(B + VD) eine Basis yon O, wobei C
und S primer sind. Dann gilt
Np -----CS ~.
1. Die Kongruenz X ~ D ( m o d P ) sei unlSsbar. Dann kann C
nieh~ den Wert P haben, da ja fiir alle B:(B ~ - D) dureh P nieht teilbar ist, Wegen CS~= P oder P~ muB also C = 1 und S = P sein, also
N o = P ~. Da man IBI < !el anne~men kann, ist B = 0, also
p = (2P, P V D ) = (P).(1,V-D)=: (P).
P
2.
a)
B prim
ist also unzerlegbar, somit selbst Primideal.
Es sei die Kongruenz X~
15sbar.
P sei prim zu D; B eine L6sung der Kongruenz. Dann ist aueh
zu P. Wir bilden das Ideal p mit der Basis %
P, co,.-----B ~ ~/D,
wo also S = I , 2 C - ~ F i s t .
ist dann
p ----(P, B -~ 1/s
B~_D
B~_.D
Das geht, da 2----0--=---2---ganz ist. Es
p ' = (P, B -- ~/D),
NO : P.
Wegen N p = P ist p sieher ein Primideal, and zwar ist Arp = p p'-~ P.
Ferner ist p und p, verschieden, denn ihr grSBter gemeinsamer Teller ist
(P, B + V D ,
B -- ~'-D)~- (P, B, v'D) = (1).
P ist dann also das Produkt zweier verschiedener Primideale ~ u n d ~ ' ,
deren Norm P ist.
b) P sei ein Tei]er yon D, also D=PD', wo D' prim zu P ist,
da D keine quadratisehen Teiler enthglt. Wit bilden das Ideal p mit
der Basis wI==P, % : ~ ,
so dab also S = I , 2 C = P , B ~ 0
ist.
Dann ist B~--D
- ~ 2 ~ - ~ - - ~ - ~D
D' ganz. Wit haben
Es ist also p ein Primideal und sein Quadrat gleieh P.
Fiihren wir mit D e d e k i n d das Symbol [D t ein (analog zum
Legend os~
elehes (;)gosohriebe
erde),
olohes +--1 sei, io
naehdem die Kongruenz X~=~D(modP) 15sbar oder unlSsbar ist, und
wo D und P relativ prim seien, so haben wir bewiesen:
Quadratische KSrper im Gebiete tier hSheren Kongruenzen. !.
t 71
S a t z . 1. Ist P Teiler der Diskriminante D, so ist P das Quadrat
eines Primideals
P = p':,
wo
~ = (P, VD)
die Basisdarstellung yon p ist.
2. Ist P prim zu D und [ + j = @ 1, so zerfallt P in das Produk~
zweier verschiedener konjugierter Primideale
wo
ihre Basisdarstellung ist, und B eine Wurzel der Kongruenz
X " -----_D (rood P ) .
3. Ist P prim zu D u n d [ D ] = - -
1, so ist P selbst Primideal und
P--~ (P, PLOD)
seine Basisdarstellung.
Als ambig erkennt man also nut die Primideale der ~'/~lle 1 und 3.
Sei nun a ein ambiges Ideal a - a'. Mit jedem P~imideal p geht also
auch ~' in a auf. Entweder also geht ~-p' in a auf (rationaler Teller),
oder aber lJ ist selbs~ ambig p--~-~p'. Ziehen wir alle rationalen Teller
zusammen, so erhalten wir also
a = (A).Pl
wo A ganz rational ist, und*p~, po. . . . . , p, versehiedene Primideale des
Falles 1 sind. Denn Fall 3 liefert ja rationale Faktoren.
Wir erwiihnen noeh eine Reihe yon Siitzen, deren Beweis man a n
der Hand der iibliehen Beweise' leieht konstruieren kann.
Werden niimlieh die t~unktionen des K6rpers in Klassen geteilt, so
dab in eine Restklasse alle nfodulo a einander kongruenten Funktionen
zu liegen kommen, so gilt:
S a t z . Die Anzahl der Restklassen modulo a, also die Anzahl der
einander inkongruenten Funktionen des KSrpers, ist gleieh der absoluten
Norm yon a, also gleieh IN tIIFal]t man nut die primen Restklassen ins Auge (welehe dine Gruppe
bilden), so gilt, wenn ihre Anzahl mit q~v(a) bezeiehnet wird:
I. Ist , prim zu b, so ist #v(ab)=#~(ct).#z~(b).
II. Ist a = ~0~',Og, ... ~',, die Zerlegung yon a in Primideale, so gilt
fiir Primideale also speziell:
= JNrl-
1.
12"
172
E. Artin.
Aus der Gruppeneigensehaft der
F e r m a t s e h e Satz :
III. Ist r prim zu a, so gilt
r
primen Restklassen
folgt
der
1 (mod a).
Ist also a : ~ e i n Primideal, so gilt fiir jede nicht dutch p tellbare Funktion c~
al lvr I-1 ~ 1 (rood p).
IV. Eine Kongruenz naeh einem Primideal als Modul kann nicht
mehr inkongruente Wurzeln haben, als ihr Grad betr/igt.
V. Die Anzahl der zum Teller d yon ( I N p l - - 1 ) als Exponent geh6rigen primen Restklassen modp ist ~v(d), wo qg(d) die elementare
Eulersehe Funktion ist.
VI. Die Anzahl der Primitivfunktionen nach einem Primideal
betr~igt
q~(INp I - - 1 ) .
w
Die Idealklassen des Kiirpers.
D e f i n i t i o n . Zwei Ideale a und b heil~en ~iquivalent, wenn es zwei
ganze Funktionen des KSrpers, a und fl, gibt, so daft
ist.
a =
Wit sehreiben:
b
Die :(quivalenzbeziehung kfnnen wit symbolisch auch so ausdriieken:
a
c~
w o e eine, bis auf eine willkiirliche KSrpereinheit feste (nicht notwendig
ganze) Funktion des KSrpers ist. Denn aus (fll)a=-(al)~ folgt durch
Multiplikation mit (fl), dal~ (fll)(a)=(al)(fl) oder afl~=a~fle, wo ~:
eine Einheit ist. Also:
r
(Xl
Sofort erkennen wit die Richtigkeit folgender Behauptungen:
1, Aus a ~,~ b und 5 ,,~ r folgt a ~ r
2. Aus a ' , ~ 5 und c " ~ b folgt a c ~ b b .
3. Aus a c " ~ b b und a ~ b folgt r
4. Aus a-,~ b folgt a','~ b'.
Qua,dratische K6rper im Gebiete der hSheren Kongruenzen. L
175
5. Mit (1) sind die Hauptideale und nur diese iiquivalent.
a
6. Wean ~ ~- ~ und wi, w, eine Basis von 5 is~, so ist 9o)1, 6~e~.,
eine Basis yon a.
ct
Beweis. Sei (fl)a=(a)b und e = ~ fll sei eineFunktion aus b,
also afl~ eine Funktion aus (fi)a. Es ist also ~ i ganz, so dal~ eft, ganz
ist und zwar zu a gehSrt. Also sind ~oh und ~oe% g~nz und Funktionen
von a. Also auch jedes X.(O0)~)+ Y(o%). Wenn nun , zu a gehSrt,
ist -~ ganz und zu b gehSrig.
o
somit
Also gilt
-~
6~ = X % + Y % ,
u = X.e%+
Y'e%.
Auf Grund yon 1 kSnnen wir sagen:
Alle untereinander iquivalenten Ideale liegen in einer Klasse~ einer
Idealklasse ~ des KSrpers."
Nach 5 bilden insbesondere die Hauptideale eine Klasse, die Hauptklasse ~o. In ihr liegt das Ideal (1).
Wegen 2 kSnnen wir definieren:
Das Produkt ~1 ~-. der beiden Idealklassen ~l und ~ ist jene Klasse,
welehe die Produkte der Ideale aus ~l mit jener aus ~o en~h~itt:
Die Multiplikation der Idealklassen ist ersichtlieh kommuta~iv und
assoziativ. Fiir die Hauptklasse 2~o gilt ~9~o ..... ~, wenn ~ irgendeine
Klasse ist.
Aus 4 folgt, dal] die Ideale, welche zu jenen einer Idealklasse ~'
konjugiert sind, auch eine Idealldasse bilden, welehe durch einen Akzent
gekennzeichnet werde: ~'.
Dann ergibt sieh aus
klasse ist.
aa'=(Na),
da~ ~ ' = ~ 0 ,
wo ~o die Haupt-
Punkt 3 kann so gesehrieben werden : Aus ~l ~T~= ~i ~:~ folgt :~.~= ~:r
Endlich k5nnen wit in der Gleichung ~ l ~ e - - ~
irgend zwei Klassen
beliebig vorsehreiben, wodureh dann die dritte eindeutig bestimmt ist.
In der Tat folgt, wenn e~wa ~ und ff~ gegeben sind, aus g~ ~. = ,~.~
dutch Multiplikation mit ~ :
und umgekehrt ist dann auch
] 74
E. Artin.
Aus dem Bisherigen folgt, dab die Idealklassen eine Abelsche Gruppe
bilden.
Dabei ist ~o das Einheitselement und ~ ' das zu ~ inverse : ~-~-~ ~'.
Eine Idealklasse heil~t ambig, wenn ~ = ~ ' ist (oder ~ = ~-~ oder
=
Unse~ niiehstes Ziel ist nun, die Endliehkeit der Anzahl der Idealklassen, die wir mit h bezeiehnen, naehzuweisen.
w
~quivalente
Funktionen.
Es sei w - ~ X + Y V A - ( X ,
Y rational, A quadratfrei trod sgn A ~ 1
oder g) eine quadratische Irrationalitiit. Dann geniigen o~ und seine Konjugierte co' = X -- Y 1/A- der Gleichung
Setzen wir
A
X ~ - - ,~ y " -~ ~--O ,
2X ~
B
--d-,
wo A, B, C ganz und ohne gemeinsamen Teiler seien. Die drei Funktionen sind dann bis auf einen rationalen Einheitsfaktor eindeutig bestimmt. Die Gleichung fiir co lautet:
Cm ~-+ A----- Beo.
Die Diskriminante B ' - - 4 A C dieser G]~iehung werde nun mit D
bezeiehnet (D braueht also hier nieht gerade quadratfrei zu sein). D ist
dann bis auf einen quadratisehen Rest als Faktor festgelegt.
Um nun die Einheitsfa~oren zu normieren, sei zungchst das Vor-
1r
zeichen von ~ / ~ so gewiihlt, da$ entweder ~/A- selbst, oder ~g
1
-bzw. ,7--~/z~ primer ist.
Nun findet man leieht D = 4C~Y~z/.
Da A quadratfrei ist, mug wieder, wie schon friiher einmal, 4C~Y '',
also 2 C Y gan z sein.
Der A , B , C gemeinsame willkiirliche Einheitsfaktor werde nun so
gew~hlt, dal~ sgn (2C Y) = - + 1 ist. Dann ist
sgn D = sgn ~4.
Nun Sebzen wir noeh lest:
V D = 2C Y.~/A,
also
YVA-~ 2~0.
Quadratische K6rpor im GebieSe der hSheren Kongruenzen. I.
175
Auf diese Art sind w und die Funktionen A , B, C eindeutig aufeinander bezogen. Wit schreiben:
o9 = {A, B , C } - -
B+~/D
2C '
wobei zum Beispiel:
o9'= {" A , - B , - e l =
B-r
2C
Und zwar is~ die Beziehung umkehrbar eindeutig.
D e f i n i t i o n . Zwei Funktionen ~ = {A, B , G} lind o9~ = {A 1B~ C1}
heigen iiquivalent, wenn sie miteinander dutch eine Beziehung der Form
verkniipft sind,
ogl
wor
~,co+~
7
fl, ~,, 6 ganz rational sind, und a eine Criviale Einheit ist.
Ohne weiteres zeigt man:
kus w ~ o9~ und o91 "~ o9~ folgt o9 ~ co,.
Aus co ~ co~ folg~ ogl "~ co.
Dureh die Xquivalenzdefinition zerfallen also die Funktionen in Klassen.
Wir haben nun die Transformation der Funktionen A, B, C her
zuleiten. Sei
Dann ist
o9 - x + Y. V 3 ,
o91 = xl + ~ Y-~.
xl + Y~v q = ~x+~+rrVx'
also
~i-
aY
-(~X +~)rY +(zX +~)aY
(rx+~)~,r2y~A
- r ~ ( X * _ y ~ - A ) + 2 X r 6 + ~ ~-"
Nach Einfiihrung von A , B, C wird daraus
(I)
a YC = (AT ~ @ B"/d @ CO').I71.
Aus C , , ~ @ A = Bo) erh~ilt man fikr o91 wegen co
Beziehung
die
- r m~+
odor
(AT ~ @ BT,~ + C3 ~') co;'--~. (Ac~ ~-+ B,~fl + Cfl ~-)
= ( 2 A ~ 7 + B ( a d +f17) + 2Cfl~)091.
Vergleieht man dies mit G 1 o~ @ A 1 = B 1 a~l, so erhellt, dab sich die
Koeffizienten der beiden Gleiehungen nur um einen Faktor untersoheiden
kSnnen. Ich behaupte, dab dieser Faktor a ist, dal] also
176
(1)
(2)
(3)
E. Artin.
aAx =Aa'+Bafi+Cfi
2,
}
aBl=2Aa~,+B(aO+~,fi)+2Cfl~,
a~--fiy=a.
aCI~A)," + ByS+C~',
Denn jedenfalls bestehen Gleiehungen der Form (1), (2), (3), wo a eine
Funktion ist. Setzt man andererseits ~o1 = aco+~
~,o)+,5 in Clio ~ + A 1 = Bleo i
ein, so erhiilt man Formeln, die aus (1), (2), (3) jedenfalls hervorgehen,
indem A, B, C mit A1, Bx, C a vertauseht werden, a dutch 5, a durch e~
ersetzt werden, und fi, ), alas Vorzeiehen wechseln. Etwa:
b A -~- d l ~ " -- S l fl e} -nL c
fi',
1 wo b wieder eine
b B ~ -- 2 A~ ~,J -~ B 1 (gO -t- fiT) -- 2 C~ a fi , ~[ ganze Funktion ist.
b C ~ A i r " -- B l a 7 -t-Cl~" ,
Das Einsetzen in (1) ergibt naeh Multiplikation mit b
a b A a ~- A a (gO -- fir)",
also
ab = (a5 -- f i r ) ' ,
so dal~ also a und b Einheiten sein miissen. (I) ergibt, wenn wit voriibergehend ~ 5 - fit mit a' bezeiehnen:
a' Y C = a t] C 1.
Da s g n ( 2 Y C ) = s g n ( 2 Y ~ C ~ ) = l
ist, haben wit a ' = a ,
Aul]er (1), (2), (3) gelten also die Formeln:
(4)
(5)
(6)
(7)
also auch b ==a.
2 v c - - 2Y,
aA =A1J"--B15fi@Cafl'-',
aB=--2Ai~,~5@Bx(aO@fl~,)--2Cxafl,
a C = A l ~ ' ' - - Bla~' + C ~ r
t~5 - - f l y ~ - - a .
Sei nun D 1 die Diskriminante von w a ~ X 1 @ Ira VA.
Da = (2 C~Y~)" A.
Also wegen (4)
somit:
Satz.
Dann ist
- -
DI=(2CY)"A~D~B"
2
4 A C - - - - ' B i - - 4 A 1 C l,
~(quivalen~e Funktionen haben die gleiche Diskriminante.
w
Beziehung zwisehen Funktionsklassen und Idealklassen -- Identit~it
der Klassenzahlen.
Wit betraehten jetzt nur Funktionen (o mit quadratfreier Diskriminante D und fassen zugleich den K6rper K (Y~) ins Auge.
Sei a ein Ideal des KSrpers mit der Basis
wl~--2CS ,
r
= S (B -~ I/D),
D=B'--4AC.
Quadratisehe KSrper im Gebiete der hSheren Kongruenzen. 1.
~77
Wit se~zen
CO
~
co.,
o~
---~- =
B+VrD
~
20
Dann ist ro wegen D ~ B ~ ' - - 4 A C ,
da ja A, B, C keinen gemeinsamen Teller haben, eine quadratische Irrationalit~it mit der Dis~iminante D.
Jede andere Basis yon a hat die Form
eo:=6o~,+7o_~.,. ]
mit
[~/~
wo a, fl, 7, 6 ganz rational sind, und umgekehr$ ist jedes Funktio~spaar
dieser Form eine Basis yon a . Wir bilden
co* = -'~ == a o~ + fl
~o *
~, o , + - , ~
'
so da$ also o)* ~,~ co.
Ordnen wir also jedem Ideal seine Basisquotienten zu, so ist ersichtlich jedem Ideal genau eine Ktasse ~quivalenter Funktionen zugeordnet.
Sei nun b ein mit a ~quivalentes Ideal: B = ~ a. Wenn co* co* eine
Basis von a ist, ist r
e co* eine Basis yon 5, und umgekehrt.
oco~ co~*~ o ~ .
Dem Ideal 5 sind also zuzuordnen seine Basisquotienten e~o----~ = ~o~
Dem Ideal 5 ist also genau die gleiehe Funktionsklasse zugeordnet. Es
kann ferner die Basis stets so gew~ihlt werden, daI~ eine beliehige Funktion der Funktionsklasse entsteht.
Es mSge nun umgekehrt a und 5 der gleichen Funktionsklasse zugeordne~ sein. Wir wiihlen in a und 1~ je eine Basis w~, ~ bzw. co*, w :
derart, daI~ dutch die Basisquotienten die gleiehe Funktion entsteht: dies
geht nach dem eben Gesagten.
Es ist also =------=
~~ o~2 Also gilt
CO1
0 ) 1 :re ~
~=e%,
~=e~.
Dann ist ersichtlich b ~ ) a ,
da 0 eine Funktion des KSrpers ist.
Es ist also jeder Idealklasse genau eine Funktionsklasse zugeordnet
und v0rschiedenen Idealklassen verschiedene Funktionsklassen.
Es entsteht aber aueh jede Funk$ionsklasse der Diskriminante D.
V ~ mit D = B" - - 4 A C
Denn gehSrt ihr etwa r~)~ B +2----C--
an,
so ist
~o: -~ B -4- VD, co1 ~- 2 C die Basis eines Ideals a, dem der Basisquotient o).,
zuzuordnen is~.
co,
Es ist also eine ein-eindeutige Zuordnung zwischen den Idealklassen
des KSrpers K (1//)) und den Funk~ionsklassen der Diskriminante D erreicht.
Ist also die Klassenzahl der Funktionsklassen der Diskriminante D endiieh, so ist es auch die der Idealldassen, und ihre Anzahl stimmt iibeeein.
178
E..Attire
Im weiteren Verlaufe wollen wir jedoch die Voraussetzung, dab D
quadratfrei ist, wieder fallen lassen, da dadureh keine Vereinfaehung erreieht wird.
Die Theorie der Einheiten werden wir auf dieser Grundlage gleiehzeitig miterledigen.
Wir beginnen mit dem einfacheren Fall des imaginiiren KSrpers.
lo.
Die Endliehkeit der Klassenzahl fSr imagin~re Funktionen.
Wir fiihren folgende Bezeichnung ein.
X
a,,t q-a._~
und n > 0.
Sei
+...-4-a~tq--aoq-a_~t-~q-a_~t ~ . . .
Dann sehreiben wir
B(X)-----a,f'+a, ,t"-'-4-.,. +ao.
Im F a l l e n < 0 dagegen sei
(X) = 0.
Das Symbol E ( X ) steht in Analogie zum Symbol ,,n~iehst kleinere ganze
Zahl".
D e f i n i t i o n . Die imaginiire quadratisehe Irrationalitgt r = X ~ Y ~/A
heiflt reduziert, wenn sie folgenden Bedingungen geniigt:
<1)
ixl<l,
(2)
(3)
sgn 2 t " =
1.
Bedingung (2) ist wegen (1) vollkommen gleiehbedeutend mit
(4)
I r al > 1.
S a t z. aede imagingre quadratische Irrationalitgt r = X + Y V~- ist
~quivalent mit einer Reduzierten.
B e w e i s . Die Funktion ~ = o) -- E(X) geniigt ersichtlich der Be1
dingung (1). Geniigt sie der Bedingung (2) nieht, so setzen wit co1 -- -= X 1 q- Y1V)I, we ~ ,~ co, o~1 -~ o~ ist, und bilden ~ -~ % -- E (X1).
1
751 geniigt wieder (1). Geniigt es (2) nicht, so sei wieder o). = - - ~
= X~ -4- Ya~/A- und ~ ~- w~ -- E(X~). So fahren wir fort.
Ich behaupte: Die Funktionen ~ , , = co~--E (X~), wobei r
1
= - ~,_~
ist, welehe alle der Bedingung (1) geniigen und mit ~o ~iquivalent sind,
geniigen sehlielMieh der Bedingung (2).
179
Quadmtische KSrper im. Gebiete der hSheren Kongruenzen. L
Beweis.
Dann ist
Wir setzen R,.== ~ . ~ '
(-
(R~ ist also als Norm rational!).
1
-- - r
Also :
Xvs
Aus ~ - -
1
~- +- 1
folgt
1
-- Y~
m, =
da ja
1
eo~+l
I
A
E (X,)
I
-
-
-
-
r
+ 1
~
,
also
9
g
x , + Y , 1 / - J = F_, ( X , ) - -
~'+~l
= E (X,)
-
R,.~;+~.
Somit:
r , v~-= R, r,§
Wegen
v-~'
falls o~ = {A,., B,., C,} gesetzt wird, und wobei D = B~ -- 4A~C, ~st
(da ja ~qui~alente Funktionen gleiehe Diskriminante haben), finden wir:
G,+I = R, C,.
Solange nun I R~ [ < 1 ist, finden wit
Iv,+ll < IV,[.
Da es aber nur endlieh viele ganze rationale Funktionen abnehmenden Grades geben kann, und C,, + 0 ist, mu~ sehlieBlieh einmal ]R,.I ~ 1
sein. Wegen R~=~,.~J~ bedeutet dies: ~,. geniigt der Bedingung (2).
Setzt man nun
so geniigt die Funktion
O) ~ ~
~
2 sgn ~~,
allen drei Bedingungen, und es ist ~o*~-~co.
Die Reduziertenbedingung flit die Funktion .4, 23, C finden wir, wenn
B
wir in (1), (2) (4) einsetzen X ~ - ~C' Y~/A-~
IBt.<IC[~I/-~
und
~/~
Sie lauten:
sgn C = I .
Gleichzeitig mug D = B ~ - 4 A C
sein, wegen IB~ < l D t
also
A C l = ! D[ gelten.
Daraus folgt unmittelbar, da$ es zu gegebener Diskriminante nut
endlich viele reduzierte Funkfionen geben kann, dal$ also die Klassenzahl
yon Funktionen gegebener Diskriminante endlieh ist.
180
E. Artin.
Fiir quadratische KSrper, also quadratfreie Diskriminanten folgt
speziell:
Sa~z. Die Anzahl der Idealklassen im imaginiiren KSrper K (1/70) ist
endlieh.
Wir fragen nun, wann zwei redtmierte Funktionen einander iiquivalent
sin&
Seien c o = { A , B . , O} und
% = { A 1 , Bl, C1) zwei ~iquivalente
reduzierte Funktionen:
,o 1
r~o+ ~ ,
wo I'
= a.
Dann folgt aus w 8, (3):
,4aOO1 = ( 2 C ~ + BX)" - D r ' .
Wenn nun der Betrag wenigstens einer der Funktionen 0 und C~
kleiner ist als V ID], also lOG , I < [ D ] i s t ,
so folgt:
[ ( 2 0 0 + B~') ~ - D r ~ l
< ID].
Wiire nun r + 0, so kSnnten sich, da V-D imagini~r ist, also D entweffer ungeraden Grad hat oder sgn D = g i s t , die h6ehsten Potenzen
linker Hand hie heben, so dal~ der Betrag der linken Seite ~ i D I wiire.
Also ist y = 0. Dies hat a = a (~ zur Folge, so dab also e und (3 triviale
Einheiten sin& Aus w 8, (2), (3) folgt dann
a G l ~ C ~ ~,
aBl = Ba~@ 2Cfi~,
somit wegen sgn C = sgn 01 ~ 1 :
a=gd=~
'
also
a-~5.
Wi~re nun fl # O, so erhielte man wegen I BI < Ic I, aa aus
GMchung t Ct = I C~ 1 folgt, I B~ 1> [C t = I C~ 1, was nieht geht.
also f l = ~ , = 0 ; c~,~5. Somit:
(I) 1
~
(O
ers~n
Es ist
.
Ist nun der Grad yon n ungerade, so ist stets IOl<lr
Da,,
sind also alle reduzierten Funktionen untereinander nich~ ~iquivalent und
ihre Anzahl die Klassenzahl.
Falls aber der Grad yon D gerade ist, kann es reduzierte Funktionel)
mit I o l = r
geben. Die Funktionen mit tC[<V]DI sind dann
sicher untereinander und zu denen mit I C I = 1/iD[ nieht iiquivalent.
Es bleibt also nur noeh der Fall
ICi = t e l l
zu erledigen.
= ~/}Di
Wegen ]A C 1= [DI ist dann
iAI=IA~I =VIDI
Quadratische KSrper im Gebiete der hSheren Kongruenzen. I.
181
Nun leitet man aus w S, (1), (3) folgende vier Formeln ab;
4aAAI
= ( 2 A e + B#)" -- D3 ~,
4 a C A~ -= (2C, fl + B a ) [ -- D a ~,
4 a A (?1 = (2 A y -Jr-B d ) "2 -- D,~',
4aCCI
--~ (2C~3 -t- By)" -- D r ' .
Die Betr/ige der linken Seiten sind genau I D]. Wenn nun eine einzige
der Funktionen a, fl, ~,, d keine Zahl wi~re, so wiirde dies in mindestens
einer Formel auf einen Widerspmch fiihren. Wgre z. B. I fi[ > P, so
wfirden sich rechterhand in der ersten Formel die h5ehsten Potenzen nieht
wegheben kSnnen, da ja 1/D imagingr ist. Der Betrag der rechten Seite
wiire also mindestens I Dfi" I, entgegen dem Betrag der linken Seite.
Die Funktionen a, fl, y, d miissen also Zahlen sein.
Nun gehen wit aus yon den Relationen w 8, (1), (2), (3), (6).
beaehten:
IOI--IClt=iAI=IA,
IBII<VIDI,
I = I / I D !,
Wir
pBi<l/-f-E-I,
sgnC=sgnC
1=1,
sowie :
sgn D -= g == sgn (B ~--- 4A C) = sgn (-- 4A C) = - 4 sgn A ,
so dag also:
sgn A = sgn A 1 --~
g
4
ist. Wit vergleiehen nun die hSchsten Koeffizienten rechts und links.
In (2) und (6) miissen sich wegen [B I < l Vl die h6chsten Koeffizienten
reehts heben.
Wir erhalten so die Formeln
- - a = o=a =
-'~-,~ § r
~-'~r §
-- g- y" @
~3"
~0 .... f l ~ , = a §
o = - g-;,,~ § ~fl
Wenn umgekehtt
IBi<lCt,
und
sgn A
g4
mit
sgnO==l
D = B" - - 4 A C
182
E. Artin.
ist, und die angeschriebenen Relationen effiillt sind, so folgt aus (1), (2), (3),
d al] dann
1,4, [ = [ G1 [ -----1 / ] - ~
] B 1 [ < 1/[ D [ '
'
sgn Cl = 1 und sgn A~ =
ist. DaB also auch das transformierte co~ reduzier~ ist.
sind also sowohl notwendig wie hinreichend.
1.r
also
Fernor a---- - / 3 r
--flT=-a: fl=~O,
= - ~ r~;
P = ~ r-
7+0;
g4
Unsere Relationen
f18----0,
also
Also = = 8 = 0 ,
6-~0.
/3 = ~ r ,
somit w~ = ~g- - - ~1.
2. 8 ~ 0, also - - / 3 7 - - a +
3. 7 2 0 ,
also a S = a = } = 0 ;
somit ~% = oJ.
4. f l = 0 ;
=8=a+0;
0; a/3----0, also a ~
/38=0;
a r=0,
0, d. h. Fall 1.
8=0,=8=82
also r = 0 ,
, somit = = 8 ,
also Fall 3.
Wenn also eine unserer Zahlen verschwindet, kann es sich nut entweder um die triviale J~quivalenzbeziehung oJ -----col, oder um
g
1
handeln.
Unsere vier Zahlen seien also alle yon Null versohieden.
Aus
und ~ r S = a f l
folgt durch Division a ' ~ ~ .
4
W ~ e nun a ~ - - 8 ,
so h/itte man - - ~ r ~ / 3 .
Also
g-g--ar~/38
a = a 8 - - f i r = - - 8~ -f" -~ r ~.
g 7 o. ist, wiirde a ~ - Da aber a ~ 8* -- -~nicht geht.
Es ist also r = 8 und ~ r = fl-
a,
also a ~
0 folgen, was
Darm sind aber aueh alle unsere
Relationen befriedigt und die zugehfrige, mit o~ ~iquivalente Funktion w~,
da wie bereits gesagt, die Relationen notwendig und hinreichend sind, auch
reduziert. Da noch eine unserer Zahlen beliebig w~hlbar ist, w~ihlen wir
7-----4, so dab fl = g wird. Die /Iquival.enzbeziehung lautet dann:
=~+g
( ~ = l , 2, 3, . .., ( p -
t)).
Lassen wit auch noch = ~ 0 zu, so kommen wit zur berei~s gefundenen
1
&q uivalenzbeziehung eo~------g- . __
4
co"
Sei nun ]D[ > 1.
(Der Fail D ~ g
soll gleich erledigt werden.h
Q u a d r a t i s c h e K 6 r p e r im Gebiete der h 6 h e r e n K o n g r u e n z e a .
183
L
Dann sind unsere ~quivalenten Funktionen auch wirklich voneinander
verschieden. Denn
~m+g
alco+g
4eo+a
4o~+%
hat zur Folge (a -- a l ) ( 4 w : -- g) = 0.
Somit, wenn r =~ % ist, o~ -~ 89
Also der ausgesehlossene Fall
D -- g. Aus
a~o+g
4o~+a
folgt'auch 4 o7~"~ g, also D ----g.
Zusammenfassung.
Fiir imagin~ixe quadratische Irrationalit~ten
sind die reduzier~en Funktionen:
1. In, Falld ungeraden Grades yon D nie untereinander ~quivalent.
Die Klassenzahl ist also g!eich der Anzahl der reduzierten Funktionen.
2. Im Falle geraden Grades yon D und D =~ g sind die Funktionen
mit t Ct < ~/iD! weder untereinander noeh zu denen mit I Cl ==-V IDI
~iquivalent. Ihre Anzahl sei r.
Die Funktionen ,mit Jel = V lDI ~erfallen i~ Gruppen von je (19 q- 1)
untereinander iiquivalenten Funktionen. Ist o) eine Funktion dieser Gruppe,
so sind die p iibrigen gegeben dureh
r
_
4a o~~o++g a
(a-~ O, 1 , '),
....
, ~0 - -
1).
Funktionen aus verschiedenen Gruppen sind miteinander nieht
~iquivalent.
I s t s die Anzahl der reduzierten Funktionen mit I C l ~ ~/tDJ, so
i s t s stets durch p-~- 1 teilbar, und die Klassenzahl ist
8
h = r - ~ p +----~ .
3. I m F a l l e D ~ - - - g m u B l V t _ ~ l , a l s o C = l sein. F e r n e r i B l < t C t ,
also B ~--0. Dies liefert die einzige reduzierte FunkCion ~)
Die
Klassenzahl ist also eins.
Wenn D quadratfrei ist, ordnen wir den reduzierten Funk~ionen
B+vr-DD
das Ideal a yon K ( V D )
mit der Basisdarstellung
a7
2C
a : (2C, B + ~ / D ) zu. Dieses Ideal nennen wir ein ,reduziertes Meal".
Dann gibt es in jeder Idealklasse reduzierte Ideale. Fiir sie gilt, da N a ~ C
ist, INal =< CfDi.
Da die adaptierte Basis, wenn sgn C ~-~ 1 vorgeschrieben ist, dutch
das Ideal eindeutig bestimmt ist, sind verschiedenen reduzierten Funktionen
versehiedene reduzierte Ideale zugeordnet. Nach dem Friiheren entspreehen
ferner iiquivalenten Idealen ~iquivalente Funktionen und umgekehrt.
184
E. Artin.
Beispiele.
1. D ~-g. Hier haben wir nur das reduzierte Ideal.
a=(2,~/g)=(l).
Die Klassenzahl ist also h = l .
2. D = t ~- a. (Der Fall D -~ gt -~ a ist nicht wesentlich versehieden.)
Es muff I C I ~ I ,
also C ~ - l ,
B - ~ 0 sein.
Es gibt also nur die
reduzierte Funktion o ) = ~ 1 / t - ~ - a , im KSrper nur des reduzierte Ideal
a = (2, y ' D ) -~ (1). Wieder ist h ---- 1.
3. D sei quadratiseh, s g n D = g ;
also I D I = P : ,
so dai~ I C ] ~ P
sein mul~. Fiir 0 : 1 ,
B=0
liefert dies wieder o J - ~ I ~ V D .
Hier haben wir aber noeh das Vorkommen linearer C zu beriicksiehtigen. Zu diesem Zweeke denken wit uns in D durch passende
Lineartransformation des Adjunktionsbuchstabens t (dies fiihrt auf einen
isomorphen KSrper) den Koeffizienten von t zum Verschwinden gebracht.
Dann kann fiber die Transformation noch so verfiigt werden, dab naeh
Hinzufiigung passend gew~ihlter quadratischer Reste als Faktoren D eine del
Formen
annimmt.
a)
D-~gt "~-g,
D - - g ( $ ' ~ - - 1).
D~gt
2-
1,
D-gt
Hier w~ihle man C : t ~ - l ,
~
B=0
und erh~lt
die reduzierte Funktion w 1 ~ - 2 ( t + 1 ) "
b) D ----g ($ ~"-- g - l ) . Es gibt nun sicher eine Zahl b so, dab b ~ ~- 1
Nichtrest wird. (Denn andernfalls giibe es ja nur Reste.) Fiir dieses b
ist g-l(b~ + 1) sieher Rest, also b ~ -- D ~- -- g[$~ -- g - ~ ( 1 -~ b')] sieher
keine Primfunktion. b e -- D hat also sieher einen Linearteiler t ~- a .
Nun setzen wir O ~ $ + a, B : b und erhalten die reduzierte Funktion
b+VD
co---= 2(t +a)"
c) D
gt". ttier ist D -- b ~ = g ( t ~ -- g - ~ b ~ stets Primfunktion,
wenn b 0 = 0 ist. Nun muff aber, wenn C linear ist, B eine Zah] sein.
Soll D - b ~ einen Linearteiler C haben, so muB also B = b - - 0 sein und
C:t,
A ~--g--t.
Dann ist abet A, B , C nieht teilerfremd.
Also
gibt es hier keine Reduzierten mit [ C I ---- P" Doch kommt dieser Fall fiir
KSrper nicht in Betracht, da ja D durch ein Quadrat teilbar ist.
Wenn C linear ist~ gibt es fiir B nur die MSglichkeiten
B = 0, 1, 2 , . . . , p - - 1 .
Zu jedem B kann es nun hSchstens zwei
reduzierte Funktionen geben, n~imlieh die eventuell linearen Teiler yon
B 2 - D. h n ganzen gibt es also hSchstens 2 p Funktionen unserer Art,
somit, da ihre Anzahl durch p + 1 teilbar sein soll, entweder gar keine
oder genau p-~-1 ~iquivalente. In den beiden uns allein interessierenden
Fiillen a ) b ) tritt, da wit die Existenz einer Reduzierten unserer Art
festgestellt haben, des letztere ein.
Quaclratische KSrper im Gebiete tier h5heren Kongruenzen. L
185
Wit haben also:
Ist D quadratfrei und quadratisch, so ist die Klassenzahl des imagini~ren
K6rpers A~(1/D) stets h = 9.
Dann gibt es zwei Arten reduzierter Ideale:
I. Das Hauptideal a -- (2, l / D ) = (1).
IL Nichthauptideale der Form a = (t ~- a, b + V D ) , wo t ~- a ein
Teller yon b ~ - D ist (a, b Zahlen). Und zwar gibt es genau p ~ 1
verschiedene miteinander ~quivalente.
w 11.
Die Anzahl der ambigen Klassen.
Sara. Enth•lt eine ambige Klasse ein ambiges Ideal, so enth~.lt sie
auch ein ambiges reduziertes Ideal.
Beweis. Die Klasse .~ enthalte das ambige Ideal a mit der
Basisdarstellung a-~(2CS,(B+I/D)S)~--(S).(2C, B4-1/~[5). Da
a'=(S)(2C, B--V--D) ist, muB (2C,B + I/D)=(2C, B--VD) sein
(da ja a ~ a' ist). Nun ist a ~ (2C, B ~- V-D), so dab wir yore ambigen
Ideal t~ == (2 C, B 4- ~/D) ausgehen. In ihm k6nnen wir annehmen, es
sei sgn C-~--1. Dann ist die adaptierte Basis eindeutig bestimmt. Da
a'=(,C,B V-D) (2C, B-~I/D) a ist, muB also B =
B,
also B ~ 0 sein. Wegen D = - - 4 A C
ist alsoG einTeiler v o n D . (Es
wurde natiirlich stillschweigend I B] < IC! vorausgesetzt, was wir annehmen diirfen. Denn nur dann ist die adaptierte Basis eindeutig.) Es
ist also a = ( 2 C , V~D). Setzen wit D-~CC'sgnD, so ist s g n C ' ~ t
und C und C' relativ prim. Demnach, wenn b = (2 C', l / D) gesetzt wird :
a. b = (2C, l / D ) (2 C', V D ) = (4CC', 2C' V D , 2 O V D , D)
= (D, V D) = (V-d).
Also ist a b == (V-D), somit, wegen a-~ a':
oder
5
a.
Is~ also ! e l >__V'jD] so ist tO'! __<1/iD!. Eines der Ideale a und b
ist also reduziert. Da a ~ b ist, gibt es also in ~ ein ambiges reduziertes
Ideal, dessen Basisdarstellung dann lautet:
a=(2O,1/-D)
mit
IOis
wo C ein Teller yon D.
Durchliiuft C diese Teller, so erh~lt man alle ambigen reduzier~en
Ideale. Die mit [C t < V ID I sind nach unseren Ergebnissen sicher untereinander und mit denen mit ] C i ---=1/I D-[ nieht iiquivalent. Zwei verschiedene Ideale a = ( 2 e , V D ) , b-----(2C',VD), wo C und C' zwei
Mathematische Zeitschrift. XIX.
13
186
E. Artin.
Funktionen des Betrags V[ D[ sind und zu den Teilern yon D gehSren,
sind nach dem Friiheren dann und nur dann i~quivalent, wenn die zugeordneten Funktionen co = -~-~,
co~,= -C0-7 es sind.
Xquivalenzbeziehung die Form haben
e'O1 ~--- 4~coo+
+ ag
Femer muB die
(r = O, 1, 2 . . . . , p -- 1).
Dies liefert
D +a
Somit
=a
CC'
+g.
2C
D ~ gCC',
a ~ O.
Es sind also genau zwei reduzierte Ideale einander ~quivalent.
Die Anzahl der einander nieht ~iquivalenten reduzierten Ideale ist also
genau die halbe Teilerzahl yon / ) . Denn ist C ein Teiler, und setzen
w i t D ~ G C , ' s g n D , so ist jedem Teller C mit [C t < ] V ~ ] ein anderer
mit I CI > V i D ] zugeordnet. Die Teiler mit ]O t = V ] D ! liefern aber
nur halh so viel Klassen, wie eben gezeigt wurde.
Wenn also:
D - - g ' P 1 P.~ " " P~ die Zerlegung von D in Primiunktionen ist, so
ist die Anzahl der ambigen Idealklassen, welche ambige Ideale enthalten,
genau 2~-~.
Sei nun ~ eine ambige Idealklasse ohne ambiges Ideal und a ein
reduziertes Ideal der Basisdarstellung" Q = (2C, B + l / D ) .
Dann ist
B 4= 0, da sonst a ambig wgre. Es ist also, da die Basisdarsteltung eindeutig ist, d - ~ - ( 2 C , - - B + ]/-D) ein yon a verschiedenes und zwar ersichtlich gleichfaUs reduziertes Ideal. Nun soll a ~ a' sein. Dies geht
nur, wenn IC! = I/[Di (nach dem vorigen Paragraphen) und somit der
Grad yon D gerade ist. Ist der Grad yon D ungerade, so gibt es also
keine ambigen Klassen ohne ambiges Ideal.
B+C
Wenn nun D geraden Grad hat, seien oJ ~
2C ' ~
die beiden a und a' zugeordneten Funktionen.
Damit die Klasse ~ ambig ohne ambiges Ideal sei, ist folgendes
notwendig und hinreichend:
1. Es muB sein a ~'~ a', also eo ~ o~, somit
was
liefert, und schlieBlich
wo I A i = I C t = V I D I
4 0,
"~+g
oJ-
4o~+~
+
-
(a = 0 , 1, 2 , . . . , p --1),
= g
4 A + aB+gC----- 0,
und t B [ < I O
I.
Quadra$is~he KSrper im Gebiote der hShereu Kongruenzen. L
187
2. Es darf die Idealklasse kein ambiges Ideal, also, da jede Klasse
mit ambigem Ideal ein ambiges reduziertes enths
kein ambiges reduziertes Ideal enthalgen, dessen Basis (2C,, l/D) lautet. Mit oJ sind aber
iquivalent nut dis Reduzierten
4~+~
(fl = 0, I, 2 . . . . .
p - 1),
wo sich dann die Funktionen A, B, C nach w 8, (1), (2), (3) transformieren. Dafiir ist notwendig und hinreichend, dab in w 8, (2) das
transformier~e B, Iiir alle fl yon 0 versehieden ist, dab also
aB,----- 8Aft-+ B(fle + 4 g ) ~ 2C9fl =p O.
3. Mu~ D ~ B e - 4 A C sein.
Gibt es andrerseits drei Funktionen A, B, C mit sgu C == 1, welche
1. 2. 3. befriedigen, so bilden sie ein Ideal, welches einer ambigen Idealklasse ohne ambiges Ideal angehSrt. In
8Afl + B(fle+ 4g)--~ 2Cgfl + O fiir alle /3
setzen wir nun ein 4 A - - - a B - gO und erhalten
oder, da B + 0 ist,
oder endlich
s176
/(~-
2~fl + 4g) + O
2~fl+
4g+
o
.)~- + .,, _ ~ g .
Dies mull fiir jedes fl ge!ten. Daan kann also links ieder Rest
stehen, wie a u e h a gews
sei. Damit die Relation befriedigt wird, mu]
also a e - 4g Niehtrest werden.
Fiir wenigstens eines dieser a soll also
4A = - - a B - - g C
zugleich mit
bestehen.
sein oder
Also mu~
D---- B ~ - 4 A G
D = B" ~ aBC_'r- gC ~
4gD = (2gC ~ e,B) e - (a ~ - 4g).B ~.
Setzt man D : g D , , so wird also die notwendige und hinreichende
Bedingung dafiir, dab es eine ambige Idealklasse ohne anabiges Ideal
gibt, an die Existenz einer Zahl a gekniipft, fiir die ( ~ ' - - 4 g ) Niehtrest
wird und
wird.
I3.
188
E. Artin.
Wegen I C I > I B[ zeigt eine leichte Uberlegung, dal] dazu notwendig
mad hinreiehend ist, dal~ D 1 eine Darstetlun$ in der Form
D I = X ~ - - g Y ~ mit
IXl>lYl
gestattet, e kann dabei sogar beliebig gew~ihlt werden, nur muft a ~ - 4g
Niehtrest werden, was stets geht.
Diese letz~e Bedingung ist aber vollstgndig gquivalent mit der, dal~
es iiberhaupt eine Darstdlung der Form
D i = e ( X ~ - gY~')
gibt, w o e irgendeine rationale Einheit ist.
sofort die neuen DarsteUungen
Vl=
wo
e
a~--b~g
(a~_b~g)(X~-_gy~)=
Xl=aX-kbgY,
Denn aus ihr erhalten wit
_ ~b ~ ( M - - g r ~ ) ,
g
Yl=aYq-bX
ist und a, b irgendwelche nieht gleiehzeitig versehwindende Zahlen sind.
Wenn nun t X I @ l Y t i s t , so wird, wenn a 4= 0, b 4= 0 gewiihlt wird,
eine Darstellung mit [ X l I = I YI[ erhalten. Wir kSnnen also voraussetzen,
es sei ! X I = [ r [ .
Da sich dann des Faktors g wegen die hSehsten Potenzen sicher nicht
wegheben, mul3 [D[ = I X~[ = I Y~[ sein, was wegen sgn D1 : 1 zu der
Relation fiihrt
1 =- e ((sgn X ) ~ -- g (sgn Y)~).
Nun setzen wit a = c sgn X , b ----- -- c sgn Y. /)ann heben sich sieher
in Yx reehterhand die hSchsten Potenzen, in X 1 abet nicht; so dal~
I X i l > I Yl[ wird. Ferner ist
a ~ -- b ~ g = c ~ ((sgn X ) ~ -- g (sgn Y)~) = c.
Wir haben also wirklieh eine Darstellung
g r 1 mit I X i [ > I r:l
erhalten.
Da wir nun in w 15 sehen werden, dab D 1 darn und nur dann eine
Darstellung der Form D 1 =-c ( X ~ - - g Y~) gestattet, wenn es dureh keine
Primfunktion ungeraden Gerades teilbar ist, so kfnnen wir, wenn wir dies
hier vorwegnehmen wollen, unser Ergebnis so ausspreehen (ist D von
ungeradem Grade, so ist es ja sieher dureh eine Primfunktion ungeraden
Grades teilbar) :
Im imagin~iren KSrper K(~/IJ) existiert dann und nur dann eine
ambige Idealklasse, welehe kein ambiges Ideal enth~ilt, w,enn D dutch
keine Primfunktion ungeraden Grades teilbar ist.
Quadratische KSrper im Gebiete der hSheren Kongruenzen. I.
189
Unsere Entwicklungen gestatten auch die Repr~sentanten dieser
Klassen zu berechnen.
H i l f s s a t z . Sei K(Yl)) ein beliebiger KSrper (imagini~r oder reell),
~ eine ganze oder gebrochnene Funktion des K6rpers, fiir wetche/Y (a) ~-~ -~- 1
ist. Dann gibt es eine ganze Funktion fl des KSrpers, so da~
wird.
Beweis. Sei N(~z)=aez'=-~1. Wit whhlen A ganz rational so,
dal] fl = A (1 -~ ~) ganz wird. Dann ist fi'• A (1 -~- ~') und somit
_~
l+~z
er +~z)
~z(1+ ~z) a.
~, -~ i-~-~
-
~+~'
=
~----+T =
Sei jetzt ~ eine beliebige ambige Idealklasse ohne ambiges Ideal
a
u n d a einIdeal aus ~. Da a ",-a' is~, kSnnen wir setzen ~ ,
wo
eine bis auf eine K6rpereinheit feste, ganze oder gebrochene Funk~ion
ist. Dutch Normenbildung geht hervor, dal] N ( a ) = a ist, wo a eine
rationale Einheit ist. Dutch Hinzufiigung einer passenden rationalen
Einheit zu r kann erreicht werden, dal] N ( r
oder N ( a ) = g
wird.
Aus N ( u ) = 1
wiirde folgen, dai] ein ganzes fl existiert, so dab r = ~ ist. Dana w~ire ( f i n ) : (fin)', also fla ein ambiges Ideal. Da aber nun
a ~ fla ist, kann dies nicht zutreffen, da g~ kein ambiges Ideal enth~lt.
Es ist also N ( ~ z ) ~ g .
Sei jetzt ~ eine zweite ambige Klasse ohne ambiges Ideal, der das
Ideal a~ angehSrt. Wieder ist:
fix
a'--%
und somit
ist.
.a . ., . .(a,:)
. .
mit
N(gl)=g
~
wo jetz~
N ( ;~) : 1
Es gibt also eine ganze Funktion fl, so dal] a
a a~
(aa[)'
fl
fl, oder
fl ist.
Also ist
aa~fi'= (naVy)'.
Da nun a ~ a~ also a a~fl',~ a a~ und somlt aa~fl' ein Ideal aus
~
ist, enth~ilt die Klasse ~
ein ambiges Ideal and ist also eine
Klasse ~.~ mit ambigen Idealen.
Aus ~ ~ -- Ro folgt abet wegen ~ ~ ~ 2 o = Hauptklasse : ~ ~ ~ ~ ,
wo ~: ambig and mit ambigem Ideal ist.
Ist andrerseits ~' ambig ohne ambiges Ideal, ~ ambig mit ambigem
Ideal, so wegen ~ ' ~ ~, ~ : ~o auch ( ~ ) ' =
~'~., also R ~ ambig.
190
E. /krtin.
Enthielte ~ R,., ein ambiges Ideal a 1, so wiire, ~ ~, ~ R1 geset~t, ~ ~ ~1R-.Ist nun % ein ambiges Ideal yon ~ , so ist al a.. ein ambiges Ideal aus ~.
Es muB also ~ ~ ~ ~ ambig ohne ambiges Ideal sein. Aus der Gruppeneigenschaft erhellt noch, dab lauter versehiedene Klassen erhalten werden,
wenn in ~ ~ der zweite Faktor alle ambigen Klassen mit ambigem Ideal
durcht~uft.
Alle ambigen Klassen ohne ambiges Ideal erhiilt man also aus einer
yon ihnen etwa ~ dutch Bildung von ~ ,
wo ~ nile ambigen Klassen
mit ambigem Ideal durehliiuft.
Entweder gibt es also iiberhaupt keine ambigen Klassen ohne amblges
Ideal, oder ihre Anzalal ist genau so grol~ wie die der Klassen, welehe
ambige Ideale enthalten.
Daraus folgt:
Satz. Wenn D - ~ a . P ~ P o P:~ ... P~ die Zerlegung yon D in
Primfunktionen ist, so ist die Anzahl der ambigen Klassen des imagin~iren
KSrpers K(~/iJ) gleieb
2 8-1
oder
2 s,
je naehdem D dutch eine Primfunktion ungeraden Grades teilbar ist
oder nicht.
Dies ist dann fiir die Gruppe der Idealklassen die Anzahl der Gesehleehter. Fiir die Klassenzahl gilt in den beiden Fiillen die Zerlegung
h ~ 2 8-~.f bzw. h ~ 2 ~ - f ,
wo f ganz ist.
Ungerade kann also die Klassenzahl nut sein, wenn D eine Primfunktion ungeraden Grades ist.
w 12.
Kettenbriiehe.
Sei F eine reelle Funktion, E ( F ) das in w 10 definierte Symbol.
D e f i n i t i o n . Unter der Kettenbruehentwieklang einer Funktion F
verstehen wir folgenden Algorithmus:
Wit setzen sukzessive
1
1
1
.
.
.
.
,
.
.
. o
Quadragische KSrper im Gebiete der h6horen Kong~uenzen. I.
t91
Dabei soll der Prozel3 abbrechen, wenn einmal F,, ganz ist, also
F,.= E(F,)
wird.
Anderenfalls werde er beliebig weir fortgesetzt.
Aus
1
folgt far ~ ~ 1 wegen der Bedeutung des Symbols E(F), dat3
[ ] 1_ < p - J , ~
also
.'F~I>P,=
trod demnach auch
1E(~'~)i >= p.
Brieht die Entwicklung mit F~ ab, ist also F = E (Fn), so erkennen
wir sukzessive: F~ ist rational, also auch F~_I, usw. Es ist also F
rational.
Sei umgekehrt F rational: F --R~,
R wo R und R o ganz rational
sind.
Der Algorithmus ergibt:
R) R1
f --~ ~o +RZ'
JR, j<i~.l,
~o
s ol <
R"-~=E
§ R
jg,,+~[ < R,,r
Da die Grade stets abnehmen, und unsere Funktionen ganz rational
sind, muB sehliel~lich einmal R,,+I ~ - 0 sein, also unser Prozel~ abbrechen.
Die Kettenbruchentwieklung bricht also dann und nux dann nie ab,
wenn F irrational ist.
~Vir wollen nun weiterhin 2' als irrational voraussetzen. Im A!go1
setzen wir zur Abkiirzung E ( F , ) -- A,.
rithmus F~ ~- E (~,) + ~,+~;
Dann ist also
und es is~
iA,]~p
F = A~ +
flit
~>_1,
1 + ..
4- A~,
1
+ A~_I + y i.
Die Funktion F n werde Schlul~unktion genannt.
lichen Kettenbruch gilt die Formel
F.
P,F,+P,,-~
Wie beim gew6hn-
192
E. Artin.
wobei P,, und Q. ganz rational sind und naeh den Rekursionen
P..a=P~A,,+P,,_~ ! mit { P o = I ;
Q,,+~-= Q A,, + Q._~ j
Qo=O;
berechnet werden. Es ist daher
Q~=A~,
also
Qs=Q.A~+I,
also
Q4=Q3Aa+Q:, also
P~=Ao
Q~=I
]Q~t-=IQ1A~I_>_p,
IQsI=[Q~A~I>IQ.i,
[Q4I----IQaAaI>IQ=I,
somit dutch Induktion:
IQ, I=IQ._~A._I[, also [Q;}-=IA,-~A,-~,...A~I.
Wegen IA,. I ~ P f i i r r >__1 finden wir
IQ,[>=p .-1 Iiir , > 1 .
Ferner liefert das Rekursionssystem;
P.Q,~_~-- Q~P._~ -- ( - 1)".
Dies zeigt, dab P,, und Q. prim sind.
Satz. Bei einem unendlichen Kettenbruch ist die Folge der N~herungsbriiehe: Po G
konvergent und es ist:
Qo' Q I ' " ' "
lim ~ = F
Beweis.
Aus
F=
fotgt
F-
~
~,~',+ -P,,-t
Q,P,+G-1
P'-IQ"-PvQ~'-I =
~,,,+Q,,-1)
Q,, = Q,,(Q~,
(-1)"-1
Q. ( Q ; F , + Q , , _
1)
9
Fiir v => 1 ist abet F . = A . + R., also, da IR. ] ~ p-1 ist,
Also
]Q,F, + Q,,-I [ = [Q, A, I = t Q,+I [.
l v_
1
= ,_,,,_,
= I Q,Q,,+t f <
Daraus geht unsere Behauptung unmittelbar hervor.
Kettenbruehentwieklung
w 13.
quadratischer Irrationalit~iten
der Klassenzahl'
--
Endliehkeit
D e f i n i t i o n Eine reelle quadratische Irrationalit/it o~ heist reduziert,
wenn ihr Betrag grSBer als eins, der ihrer Konjugierten aber kleiner als
eins ist:
I'0'1 < 1
Quadratische KSrper im Gebiete der h6heren Kongruenzen. L
193
Satz. gede reelle quadratische Irrationalit~t ~ ist /iquivalent mit
einer Reduzier~en.
B e w e i s . WAr entwiokeln o~ in einen Kettenbruch, dessen Schlut]zahlen oJ, seien. Da r SchluBfunktion ist, gilt
co, l >
Ferner ist
P~ o~ + P ~ - i
1.
mit
Q,,,o,+Q,-1
P,
P,-i
Q,Q,_~
~)',
=(-
so da~ co ~ eo~,.
Durch AuflSsung erhglt man
also
m .r
(1)
.
Q,,-lm'-B~,-1
.
Qr-1 "
.
Q,
Setzen w i t nun i ~ 1 7 6
c~ -
Q~' -- 1
(o,_o)+(o_Q~
so gilt sAchet fiir ~
irj ~-2
P,-I] ~ p-(~,-3) ~ p-(~ I~1+1)
q,_~S, =
=
,
so dab im zweiten Bruch rechterhand (1) Z~hler und Nenner den gleichen
Betrag haben. Fib u ~ I rl + 2 gilt also
Q,_I]
[~,[=
1
= T~,:Ti < p-~ < 1,
was mat ]oJ, ] > 1 zusammen die Reduziertenbedingung ausmacht.
Sa~z.
is~ co reduziert, und setzen war o~ = E(eo)-~ i ,
so ist auch
w 1 reduziert. Wegen % ~ co hat % die gleiohe Diskriminante wie ~.
Beweis. W e g e n i ~ o - - E ( e o ) t < l gilt 1 % 1 > 1 " D a n u n l w l > l ist, ist auch i E ( c o ) I > 1. Wegen [ w ' [ < 1 ist also
somit
i
'i=
%'
Also ist % auch reduziert.
Satz.
I
~,__
1
E
(~,) 1
<1.
1 seien o) uad c% reduziert.
In der Beziehung r = E ( m ) - ~ ~o~
Dann ist nach Vorgabe von w~ bereits o~ eindeutig bestimmt.
Beweis. W i r h a b e n w ' ~ - - - E ( w ) @ ~ , , wo [ c o ' I < 1 und 1Ir 1 [ > 1
ist.
E. Artin.
194
Also ist
somit
womit o) bestimmt ist.
Daraus folgt: Die SchluBfunktionen ~o~ in der Kettenbruehentwicklung
einer reellen quadratisehen Irrationalit~it co sind schlieBlich reduzier~, und
mit einer von ihnen sind es auch alle folgenden.
Ist speziell co reduziert, so sind alle SchluBfunktionen reduziert, und
mit einer von ihnen sind nicht nut alle folgenden, sondern auch alle
vorhergehenden eindeutig bestimmt.
Fiir die Funktionen A, B, G lautet wegen
(~0
- -
B+~-~
2C '
-
-
co'
- -
B--~fD
20
-
-
die Reduziertenbedingung
]B--VDI<[O
<[B+VD[.
Ware nun ] B I = ~ I V D [ , so ware B + V D I = [ B - - V D i ,
so dab die
Ungleiehheitszeiehen nicht stehen kSnnten. Es is~ also ] B t ---- I)/DI.
Ferner miissen, da ja beide Ungleichheitszeiehen gelten sollen, die Grade
yon B -- VD und B + VD sieh also um mindestens zwei Einheiten unteIseheiden miissen, die beiden hSehsten Potenzen von B und VD iibereinstimmen. Dies gibt nar endlieh viel MSglichkeiten fiir B, falls D vorgegeben ist, und unserer Ungleichung halber zu jedem B nur endlich
viele C, die noeh dutch die Bedingung D = B ~ 4 A C eingeschriinkt
werden.
E s gibt also zu gegebener Diskriminante D nur endlich viele
Reduzierte, also ist die Klassenanzahl der Funktionen der Diskriminante
D endlich.
Wenn D quadrat/rei ist, Iolgt speziell:
Satz. Im reellen quadratischen KSrper K 0 / D ) ist die Anzahl der
Idealklassen endlieh.
Ferner allgemein:
Die Kettenbruehentwieklung einer reduzierten quadratisehen Irrationalitat und nur einer solehen, ist rein periodisch. Die der iibrigen (quadratisehen) Irrationalitaten gemischt periodisch.
B e i s p i e l . Der einfachste reelle KSrper ist K ( 1 / t ~ + a l t + a ~ ) , wo
a ~ - 88
a~ 4 = 0 sein muB, da sonst D ein volles Quadrat is~. Wit haben
1/D = t + 89
a1 + ....
Da die beiden ersten Potenzen von B und 1/I-~
Quadratische K6rper im Gebiete der hSheren Kongruenzen. I.
!95
iibereinstimmen, ist B == t -[- ~1 a l , also D - B ? = a~ - 1~ a~2 =~ 0. Also
mul~ C eine Einheit b sein. Die reduzierten Funktionen sind also:
c ( t q- 89 q-1/1)). Sie sind miteinander iiquivalent, also ist die Klassenzahl unseres KSrpers h,----1.
Die Kettenbruchentwicklung der Reduzierten finden wit nach leichter
Rechnung ( E ( I / D ) = t - ri- ~1 a l ) zu:
o~=c(2t+a~)+c
t + 1 al -}-V/-D
1
9
-t--ga~
+i'D
=c(2t+a~)+
,
1
l a~) ~ c ( t _ I
2tA-a 1
1
l a~ ) [-- ~o
2t+a I
--
1.....
~ '
t + -~ al + ~/D
--
Also haben wir
+I/z)
2 t q- aI
_~_
1
c(2t+al)+
2t+al
.47 ..
1
Nine eingliedrige Periode gibt es unter den reduziergen Funk~ionen
1 ~
1
1
------~ ist.
Wean also
also nut, wean c----- ( c a~-u
o) oder a.2 - - u
a~
--
1 a i~ quadratischer Rest ist.
~
I m KSrper K ( I / D ) ordnen wit nun wieder den reduzierten Funktionen
das ,,reduzierte Ideal"
m - - B-t-~/D
2C
a = (2 c , B +
zu.
~/~)
Dann gibt es in jeder Klasse reduzierte Ideale.
Es gilt wieder
pN a i < i I/iJ i.
w 14.
Die Einheiten des quadratischen Kiirpers.
Die ganze Funktion t - U - ~ - V I / D ist dann und nur dana eine
Einheit, wenn 2 V ( e ) = c ist, wo c-eine triviale Einheit ist.
Die Bestimmung aller Einheiten ist also iiquivalent mit der AuftSsung der ,, P e tl schen Gleichung"
U '~ - - g ~ D = c.
196
E. hrtin.
I. Der K6rper K (l/D) sei imagin~ir.
(1)
D---- g,
U 2 -- V'~g = c.
D a sich, wenn IV I > 1 ist, die hSehsten Potenzen nicht wegheben
kSnnen, mu[~ v eine Zahl b und demnach aueh U ei.ne Zahl a sein
Alle Einheiten haben also die Form
e=a+b
Yr-~,
wo a und b zwei nicht gleiehzoitig verschwindende Zahlen sind.
Ihre Anzahl ist also w ~ - p " - - 1 .
Ferner ist h r (e) = a" -- b "2g und kann ersichtlich jede triviale Einheit
sein. Die Anzahl der Einheiten gegebene Norm ist p - ~ 1,
(2)
IDl_>--p,
U"
Wgre V =~ 0, so k6nnten sich wieder die hSchsten Potenzen nicht
heben. Aus V = 0 folgt aber, dag U eine triviale Einheit ist. Die
trivialen Einheiten sind also bier die einzigen. Ihre Norm mug quadratischer Rest sein, und zu gegebener Norm gibt es zwei nut dutch das
Vorzeichen verschiedene Einheiten. Die Anzahl der Einheiten ist hier
w=p--1.
II. Der KSrper K (I/D) sei reell.
Sei co eine zur Diskriminante D geh6rige reduzierte Funktion. Wit
entwickeln eo in einen Kettenbrueh mit den Schlugfunktionen wl, o)~, o~8, . . . .
Da er rein periodisch ist, mug unter ihnen schliel31ich einmal co wieder
auftreten. Sei etwa w~ ~ co. Dann ist
fD--
odor
Q,~ a) + Q . - 1
Q~ co ~ - P , , _ I = ( P , - Q , ,
~)co.
Vergleichen wit dies mit
Co~ ~ -~ A ~ Bco,
so erhellt, da A , B, C ohne gemeinsamen Teiler sind, und eo irrational
ist, dal] die erste Gleiehung aus der zweiten dureh Multiplikation mit
einer ganzen Funktion 2 g hervorgeht. D a n ~ 1, ist Q~ ~ 0, also aueh
V + 0. Wir haben also:
Q, = 2 g C,
P,- 1 = - 2 VA,
P , -- Q~-I = 2 V B .
Setzen wir noeh P , - - - - V B + U, so haben wit:
P,, : V B q- U,
Q~ --- 2 g G,
P , -1 --- - 2 IrA,
Der Iddntitiit
P,,Q,,_,--Q,,P,,_I-----(--1)"
Qn-1 =- - V B -~- U.
Quadratische
K6rper im Gebiete der h5heren
Kongruenzen. I.
197
entnehmen wir:
U~ - V : B ' + 4 V o ' A U = ( - 1 ) " ,
d.h. U " ~ - V ~ D = ( - 1 ) " .
Es ist also
u + vCD
eine Einheit, und zwar wegen V @ 0 sieher keine triviale. Die Existenz
nieht trivialer Einheiten im reellea KSrper K (l/D) ist also erwiesen.
Wir fragen nun naeh Einheiten ~, deren Betrag = 1 ist. Aus
t ~ . l = l und t~V(e) l = l e e ' ] = l
folgt I , ' l = 1 ' . Nun kann, wenn V + 0
ist, ersiehtlieh nieht gleiehzeitig ]U + V1/DI = 1 und [U -- V~/Z) I = 1
sein. Denn sonst kSnnen sich die hSchsten Potenzen nieht wegheben. Es
ist also V--= 0 und demnaeh e eine triviale Einheit.
Die nioht trivialen Einheiten haben also stets einen Betrag 4= 1.
Zwei Einheiten ,~,% von gleichem Betrage l , x l = l eo. l sind durch eine
Relation e~ = a% verbunden, wo a eine triviale Einheit ist. In der Tat
ist ~-~ auch eine Einheit und [ *~J-~ 1, so dab *~ = a ist.
Da m i t e aueh 1_ eine Einheit ist, gibt es sicher Einheiten, deren
Betrag > 1 ist. Von diesen seien die Einheiten a eo jene mit dem
kleinsten Betrag > 1. Die triviale Einheit a werde so gewahlt, da$
V(a o)
1 odor g
wird. Das Vorzeiehen von a ist dabei noch beliebig und werde irgendwie
lest gewahlt. Die so normierte Einheit nennen wit die Grundeinheit des
KSrpers. Sie werde kiinftighin m i t e 0 bezeichnet. Es ist also N ( % ) = 1
oder g.
Mit e0 sind aueh alle Funktionen e = a. e~ (a eine Einheit, k irgendeine positive odor negative Zahl) Einheiten.
Satz.
Jede Einheit von K ( 1 / D ) hat die Form
k
8 m-~--a . s 0 .
B e w e i s . W~re e nieht in dieser Form enthalten, so miiBte sieh wegen
i e o ] > 1 eine Zahl v so finden lassen, dal~
141<t
1<14+
1 9
Gleiehheitszeichen k6nnten nicht stehen, da sieh Einheiten gleiohen
Betrages nur um triviale Einheiten als Faktor unterseheiden, und somit
e doeh in die Form e = a eok zu setzen ware.
Aus unserer Ungleiehung folgt
1 < t'o"
l < I ot.
198
E. Artin.
Nun ist aber ~["~ auch eine Einheit. Es g~be also, entgegen der
Definition der Grundeinheit, doeh eine Einheit, deren Betrag zwisohen 1
und l re[ liegt. Widerspruch.
Fiir die Normen der Einheiten finden wit
we.n N(,o)=I,
N (e) -- a ~ (N (,))u -- [ a ~g~, wenn N (%) ~- g.
Wenn also / V ( e o ) = 1 ist, sind die Normen quadratisehe Reste; fiir
N ( % ) = g kSnnen sie jede rationale Einheiten sein.
Satz. Ist K ( 1 / D ) ein reeller quadratischer KSrper, we D eine
Primfunktion ist, und ist *o seine Grundeinheit, so haben wir
N
Beweis.
= g.
W~re N (%)-~--1, so k6nnten wir nach dem Hilfssatz des
w 11 eine ganze Funktion 8 des KSrpers finden, so dal~ eo = ~ tip ist. Dann
wiire 8 ' ~ e o f l , also 8 und 8' assoziiert. Es wiire also (8) ---- (8'), und
somit (8) ein ambiges Hauptideal. Naeh w 6 hat also (8) die Gestalt
8=(A)p,~...~,
we die p~ voneinander versehiedene Primideale sind, welehe in der
Diskriminante aufgehen. Da D Primfunktion ist~ gibt es nur ein Primideal dieser Art:
O = (D, V D ) = ( l / D ) .
Also hat (8) eine der Formen
A ist rational ganz.
(fl) = (A)
Es ist also
oder
fl ~ A e
oder
8 = A
(8) = A
we e eine Einheit ist, somit entweder
Act
t,
~" ~
a . e r~
oder
E0 ~
Ayr~ r
--
a
e ,
so dab eo nicht die Grundeinheit w~re. Also ist N ( % ) ~ g.
Nehmen wit ein Resultat des n~ichsten Paragraphen zu Hilfe, so gilt der
Satz. Wenn im reellen KSrper K ( 1 / D ) die Diskriminante D dutch
eine Primfunktion ungeraden Grades teilbar ist, gilt N ( % ) - ~ 1.
Beweis. Aus der L6sbarkeit der Pellschen Gleichung
U ~ __ V ~ ' D
~_ g
wiirde, wenn P unser Primteiler ungeraden Grades ist, die L6sbarkeit
der Kongruenz
U 9 -- g (rood P )
Quadratische KSrper im Gebiete der h6heren Kongruenzen. I.
199
folgen. Unabh~ngig von diesem Satz werden wir abet in w 15 zeigen~
dab sic nicht lSsbar ist. Mso ist N (%)-~ 1.
Nun beweisen wir (unabhgngig yon dem eben abgeleiteten Resaltat) den
Satz. Die Klassenz~ahl des KSrpers K(I/D), wo D eine Primfunktion ist, ist ungerade, e s s e i denn, dal3 D einen geraden Grad hat, und
der KSrper imagingr ist (dann ist sic bekanntlich gerade).
Bowels. Wgre n~mlieh die Klassenzahl gerade, so miil3te es mindestens eine yon der Hauptklasse verschiedene ambige Klasse ~ geben
(deren Quadrat eben die tIauptklasse ist).
Dann ggbe es also ein Nichthauptideal a, fiir welches a ,,~ a' ist, also
a ~
--~---r
wo u eine ganze oder gebrochene Funktion ist, deren Norm, wie
a
man sich durch Normenbildung iiberzeugt, eine trivia]e Einheit a ist. Dabei ist u bis aui eine KSrpereinheit festgelegt.
1. Grad yon D ungerade.
Wir setzen ~ = E +
YV]).
Dann solI
Xi~"- Y:D = a sein, w o a eine triviale Einheit und X , Y rational ist.
Da nun Y~D auch ungeraden Grad hat, kSnnten sich, wenn :ry 2 D j, >
=p
w~re, die hSchsten Potenzen yon X ~- und Y~ nicht heben. Es ist also
!Y~D] ~ p-l, und somit }X I -- 1. earaus ~olgt
a = sgn ( x
-
Y
'D) = ( s g . X )
= b
0r
a ist also quadratischer Rest. Ersetzt man a durch das gleichwertige T = %'
so hat man
a p
------%
a
mit
N(%)=l.
2. Grad von D gerade, KSrper reell, also s g n D = 1. Sei eo die
Grundeinheit. Dann ist N ( e o ) = g. W/ire N(a) Niohtrest, so kSnnten
wir ~ durch das gleichwertige %a ersetzen, dessen Norm dann ein Ross ist.
Wit kSnnen also voraussetzen, e s s e i N ( r
~. Ersetzen wit c~ dutch
das gleichwertige % = ~-, so haben wit
r p
-a- = ~ ,
mit
N(%)=l.
Es gilt also in beiden Fgllen
el'
-------%
r
mit
N(%)=l.
Dann gibt es ein ganzes fi, so dab % =-flfl' isV, also
Das Ideal aft wiire also ambig. Da D eine PrimfunkCion is~, hat
also, wie sebon einmal ausgefiihrt wurde, aft entweder die Form (A) odor
200
E. Artin.
(A VD). Es ist also auf jeden Fall aft ein Hauptideal, also wegen a ,,~ aft
unsere Klasse ~ die Hauptklasse, entgegen unserer Annahme.
Beispiel. Der reelle K6rper K ( I / D ) (D = t ~ + a 1 $ + a~) hat die
Grundeinheit
we c passend gew~hlt ist.
Seine Norm ist
N(eo)=c~(la:--a.).
Da nun
D - = ( t + g a ,1)
u- - ( l a : - - a , )
ist, ist also N ( % ) = g oder 1, je naehdem ob D Primfunktion ist oder
nicht. Wit bestiitigen also unsere Siitze.
w 15.
Das ~ Reziprozitiitsgesetz.
Wit wollen nun das von D e d e k i n d ohne ausgefiihrten Beweis angegebene Reziprozitiitsgesetz herleiten.
I. Der Ergiinzungssatz.
Sei P eine primiire Primfunktion geraden Grades. Dann hat der reelle
KSrper K(1/D) die Grundeinheit e0 mit der Norm N ( e o ) = g.
Die P ellsehe Gleichung
X ~-__ p y ~ = g
ist also 15sbar und demnaeh erst recht die Kongruenz
X~-----g (rood P).
+l.
Im KSrper K(1/g) ist also die Primfunktion P zerlegbar in zwei
(konjugierte) Primideale. Dieser KSrper hat abet die Klassenzahl 1, so
da~ jedes Ideal em Hauptideal ist. Demnach besteht eine Zerlegung der Form
V = (a).(a'),
w e ~ = X + t I/g eine ganze Funktion des K6rpers K (I/-g)ist. Demnaeh ist
p=c(X~--gy"),
we X, Y ganz rational sind, und e eine triviale Einheit ist: P ist also
darstellbar in dieser Form.
Sei nun P primiix von ungeradem Grade. Wgre [gl ----+ 1, so miiBte
sieh P darstellen lassen in der Form
p --. c ( X ~ -- gy").
Quadratische KSrper im Gebiete der hSheren Kongruenzen. L
20
Da sich die hSehsten Potenzen der rechten Seite nicht heben kSnnen, is~
der Grad der~ reehten Seite .gerade. P kann sich also nicht durch diese
Form darstellen lassen.
Es mul] also, wenn P ungeraden Grad hat, [-~] = - - 1 sein; die
Kongruenz
X ~ g (rood P )
ist also unlSsbar. Dies ist die im vorigen Paragraphen verwendete Behauptung.
Sei nun Dj irgendeine ganze Funk~ion, Q einer ihrer Primteiler yon
ungeradem Grade. Sei D 1 darstellbar in der Form
D1 = c ( X
-
gY ),
Setzen wir a ~ - X ~ - Y l/g, so hat dies die Zerlegung
(D,) = (~).(a')
zur Folge.
E"I
Im KSrper K ( I / 9 ) ist nun wegen ~- = -- 1 der Primgeiler Q selbst
Primideal und geht demnaeh in einem der Fak~oren reehter Hand auf.
Da er ein ambiges Primideal ist, geht er in jedem der konjugierten
Ideale (g) und (~') gleieh oft auf. In D 1 muB er demnaeh in gerader
Potenz aufgehen. Soll sieh also D~ dureh unsere Form darstel|en lassen,
so daft D1 Primfunktionen ungeraden Grades nur in gerader Potenz enthalten. Isg dies aber der Fall, so kSnnen wir /)1 in die Form segzen
=
...p
.a',
wo a eine Einheit, P , Primfunktionen geraden Gerades und A eine ganze
rationale Funkgion sind.
Sei nun
P,=c,(X,+
Y, f g ) ( X , . - L I / g ) .
Setzen wir
A (X, q- Y, Vg) (X, ~- Y, Vg) ... (X, -k Y, Vg) = X -k Y V g
und c ~ ac, % . . . % , so ist
D 1 = c (X ~ - Y~g).
Eine Funktion D~ ist also dann und nur dann in unserer Form darstellbar, wenn Da Primfaktoren ungeraden Grades nur in gerader Poteaz
enth/ilto
Ist D~ spezietl quadratfrei, so haben wir den in w 11 verwende~en
Sa~z fiber die Darstellbarkeit quadratfreier Funktionen durch unsere Form
bewiesen.
~dathematische Zeitsehtift. XIX.
14
202
E. Artin.
Sei P eine beliebige primgre Primfunktion.
erhglt man den Erggnzungssatz:
wo
d=
o on ro o o +m
Da stets [ ~ 1 = - ~ l
ist,
o,
II. Das Reziprozitgtsgesetz fiir primgre Primfunktionen P und Q.
1. Wenigstens eine der beiden Primfunktionen hat geraden Grad.
ist, ist seine Klassenzahl sieher ungerade: h = 2 k + 1.
Q ist wegen
[Q] = -}-1 im KSrper zerlegbar in zwei konjugierte Primideale: Q = O q'Sei ~ die Klasse, der q angeh6rt. Nach dem F e r m a t s e h e n Satze der
Gruppentheorie ist ~h die Hauptklasse, also q2k+l ein Hauptideal (r wo
a -----X 4- Y Vff ganz ist. Somit q,e,+~ __ (a'). Dies liefert
Q~k+, = (a.a') = (X 2 yOp),
-
also
-
Q~k+l = ~.(X ~ _ r ~ . p ) ,
wo c eine triviale Einheit.
a) Grad yon P ungerade. Dann ist Q von geradem Grade, also
auch Q~k+l. Da nun rechter Hand Y~P ungeraden, X 2 abet geraden Grad
hat, ist [ X ' [ > I ]z~p I, und wegen
sgn Q --- 1
mul~ sein
1 = e (sgn X) ~,
also c quadratischer Rest: c----a +. Sehreiben wir --X
a '* _Y
{z an Stelle yon X
und Y, so wird also
Q~k+l = X " - - Y~""P.
,b) Grad yon P gerade. Sei % = U q - V ~ / f f die Grundeinheit von
K ( V ~ ) . Dann ist N ( % ) ~---g. Setzen wir
so haben wir
~o( x + r VP) = x l + Y~~/~,
Q~k+~ : e ( X ~ ' -
C
Y~'P)--5'~o)
(X:
-
-
Y:P)~- g.(X:-- Y:P).
Nun ist eine der beiden Zahlen c und /g sicher Rest. Wir kSnnen also
annehmen, c sei quadratiseher Rest: c ~ a ~. Ersetzen wir wieder X und Y
dureh --X
_Y
wird
a'
a ~s o
Q~+I __ X ~ _ y~- p .
Quadratische KSrper im Gebiete der hSheren Kongruenzen.
L
208
In beiden F~llen erkennen wit, wenn wit die Gleichungen als Kontgruenzen schreiben, dalil die Kongruenz
X ~-~ Q~k+l (rood P )
fQ" +'l
15sbar ist. Es ist also L----B--J-----~- 1 und nach den Multiplikationsregeln,
die bei D e d e k i n d angegeben sind,
[ Q79.k+1
~-
, wenn
wenigstens eine der Primfunktionen geraden Grad hat.
2. P und Q haben ungeraden Grad.
Wenn hier ~
-~ (--1)" ist (n == 0 oder 1), so ist naeh dem Er-
ganzungssatz and den Multiplikationsregeln
[#]
=
+,.
Es ist also Q im KSrper K ( V g " P ) , dessen Klassenzahl des ungeraden
Grades von P wegen sicher ungerade ~ 2./c ~-1 ist, zer~egbar: Q ~ q q'.
Wieder ist q.o~+l ein Hauptideal (ez), wo a = X - ~ - Y ) / g " p
eine ganze
Funktion yon K ( V g " P ) ist. Man erh~lt wieder
Qek+l ~ c ( X ~
Y~'g'~P).
Q2k+i hat ungeraden, X " geraden Grad. Diesmal riihrt aJso der hSchste
Koeffizient rechter Hand yon Y : g ~ P her. Wegen
sgnP=sgnQ=l
ist also
l=-cg"(sgnY)~.
c hat also die Form c - - - - g-na~'.
Ersetzt man wieder X und Y durch X
h- und a~"' so wird
Q~k+l --__ g _ n ( X ~ - y ~ g , , p ) .
Dies zeigt also die LSsbarkei~ der Kongruenz
X ~ ~ __ gnQ~k+i (rood P ) ,
so da~
[~-g"Q~+l-]-~+l,
also
[Q]~k+l
=
[~_1] [g,]
LffJ"
Wir haben also
14"
204
E. Artin.
Im ganzen ist also
je nachdem wenigstens eine der Primfunktionen geraden Grad hat oder
beide ungeraden Grades sin&
)Iennen wir also die Grade ~ und ~, so ist damit das Reziprozit~tsgesetz bewiesen:
w 16.
Yerallgemeinerung.
Seien nun M und N zwei beliebige teilerfremde Funktionen, davon
_N prim~ir. /V----Q1 Qs " - sei die Zerlegung yon zV in Primfunktionen.
Wit fiihren nun alas dem J a e o b i s e h e n entsprechende Symbol ein:
Das Symbol hat folgende Eigensehaften, die unmittelbar aus denen
VOI1
[ ~ t folgen:
I.
[ - ~ j - [ - ~ ] ~- [M~vM~]
2.
Sei
Dann ist erst reeht
well [ Q : ] - [ - ~ ] = [M, M:]
'
L
Q~ J "
Mm-- Ms (modzV).
M 1 ~ M s (modQi),
also
Es ist also
8. Es sei aueh _M = P~ P~ ... primiir. ~1, P~, "-" semn die Grade
von P1, P~ . . . . , rl, r2 . . . . die yon Q~, Q., . . . . , ~ sei der yon M und
der von N. Dann ist:
v
~- ~" u~,
also
k
Wegen
E -I
= R
i,k( T )
=
/~ ~' --~ Z ~uivki/r
= tx-p']r "
"
Quadratische K6rper im Gebiete der hSheren Kongruenzen. I.
205
Ferner ist
i
Ist also M and N prim~ir und teilerfremd, so gilt das Reziprozit/itsgese~z
(wenn # und 'r die Grade sind)
und der Erg/~nzungssatz
versehieden,
wenn gleiehzeitig M und N ungeraden Grad haben und p _-- 3 (rood 4) ist.
Beachten wir
IMI-I__
p--I
umt analog
p~--I
p--1
-- 1 d--p+p"~d
- ..~ d-
p'-l~-#
(rood 2)
INI-I_
(mod2),
p--1 __r
sowie
(~p~) = ( - - 1 ) ~ - ~-- (--1)(v--~)
und
(p), -----a~-v-~
(Eulersches Kriterium), so kSnnen wir dem Gesetz die Form geben:
!MI-I lZql-1
IMI-1
_:~Tj MJ
"
,
---- a
,
in der die Analogie mit dem gewShnlichen Reziprozitiitsgesetze am deutlichsten ist.
Sei nun A eine prim/~re Funlaion, die nicht gerade ein volles Quadra~
ist. Dann enth/i]t 4 mindestens eine Primfunktion P in ungerader Potenz.
Wit setzen 3 : P ~ k + l A x , we zl 1 prim zu P ist. Naeh D e d e k i n d besitzt P mindestens einen Nichtrest B. Wir bestimmen nun die zu :l
prime Funktion 2' dureh die Kongruenzen
F ._-: 1 (mod ~1) ,
F~_B(modP),
was immer geht.
Dann ist
Nun betraehten wir die Summe
(G,A)~I
erstreckt fiber ein Repriisentantensystem der primen Restklassen modulo J .
206
E. Art,in.
Quadratische KSrper im Gebiete der hiSheren Kongruenzen. I.
Mit G durchl/iuft dann aueh F G ein solehes Repr~sentantensystem.
ist also
(q, A)=I
Es
(q, _4)=]
Daraus fotgt
S=-0.
Wenn also A kein volles Quadrat ist, verschwindet ~X~[~] erstreckt
fiber ein Repr~sentantensystem primer Restklassen.
Es sei nun K (l/D) irgendein KSrper. Dann fiihren wir die GrSBen ein :
IFI=~ ~
wo die Summe fiber alle prim~ren, zu D primen Funktionen F yore v-ten
Grad zu erstreeken ist.
Satz. I s t D # g und D vom n-ten Grade, so gilt
a~,=0
fiir
v=>n.
B e we is. Wir setzen D : a A , wo a =: sgn D ist. Dann ist A wegen
D ~= g quadratfrei and prim~ir, also sieher kein volles Quadrat.
Nach dem Reziprozit~tsgesetze ist nun (v Grad yon F )
[~] =
C-;] [~1--(~)'. (~)'" [f]"
Setzen wir also b = a . ( - - 1 ) n, so wird
I~)--(~)' f~)
Seinunv>=n. DannhatFdieForm$'=K-A~A,
wo I ' 4 1 < [ A
und K ganz, prim~ir und von Null versehieden ist. F durchl~uft nun
alle prim~ren zu A primen Funktionen des Grades v, wenn A alle zu A
primen (nieht nut prim~iren) Funktionen niedrigeren Grades als A (also
ein Repriisentantensystem primer Restklassen) durchl~iuft, und gleichzeitig
unabh~ingig K alle ganzen prim/iren Funktionen ( v - n)-ten Grades. Fiir
v _> n ist also
o~= z [~]-(~)" ~
i~,f=/~ v
x i%+-~-?=(~)'z[~-] 21.
[K]=/~ ~'-n (A, ,3)=1
IAI<A
A
Naeh dem vorhin Gezeigten grit also die Behauptung.
(Eingegangen a m 14. Oktober 1921.)
K
Quadratische KSrper im Gebiete der hiiheren
Kongruenzen. II.
(Analytischer Teil.)*)
Von
E. Artin in Hamburg.
w 17.
Die Z e t a f u n k t i o n e m
Analog zur Funktion ~(8) in ZahlkSrpern fiihren wir ein
z( )=ZIxol,,
1
a
die Summe erstreekt iiber a]]e [deale yon K ( ~ / ~ ) .
Wo]len wir dabei
die Abhi~ngigkeit vom KSrper zum Ausdruek bringen, s o schreiben wit
z~(s).
Um die Konvergenz dieser Reihe zu untersuchen, beSrachten wit das
Produkt
//
erstreckt fiber alle Primideale yon
1
1
K(1/D).
Dieses Produkt ist fiir {R(s) ~ 1 q- J absolut und gleichmiil]ig konvergent. Denn wenn # ein Teller der larhn&ren ]?rimfunktion P ist, is~
I N # ] ~ t P ] , und zu jedem P gehSren h6ehstens zwei Primideale. Also
ist fiir ~R(s) > 1 ,-k
SNyl* =
I P ~~(s) < 2
1Yi '+~
*) Vgl. E. Artin, Quadratische KSrper im Gebiete der hSheren Kongruenzen. L
(Arithmetischer Tell.) Math. Zeitsehr. 19 (1924), S. 153--206.
208
E. Artin.
wo die letzte Summe fiber alle Funktionen erstreckt ist.
zi
z ,-
Also
Y
Die letzte Summe ist a~er eine konvergente geometrisehe Reihe.
Wie in ZahlkSrpern weist man nun die Identit~t
I/
1
tN~t"
2'
nach, und dab auch die Reihe ffir ~R(s)_> 1 + ~ absolut und gleichm~Big
konvergierL
Ffir ~ ( s ) > 1
(1)
ist also Z ( , ) reguli~r, und es gilt
Z(*)=
i~l
=]- /
1
Nunmehr unterscheiden wir unsere drei Arten von Primidealen:
1. ~ ' ~
P, p =b P'. Dann i s t P prim z u D und [~t ---- + 1 (Pprim~r).
Die zu P gehSrigen Primideale liefern im Produkt den Beitrag
1
1
INvl *
1
llVv'l"
1
.
.
.
.
1
.
IPI'
1
IPI*
1
I__L
IPI'
E -I
1----
2. p = ~ ' = P, also die prim~re Primfunktion P selbst Primideal.
Dann ist
------ 1 und N p ~ P~-. Als Beitrag kommt
1
1 ------
1
1
1
1
1 - - - -
3. P ein Teller von D.
halten wit als Beitrag
.1 . . . .
1
1
1
1
1
1 + - -
1----
l
Dann ist P == p" und zYp ~ P.
1
Also er-
1
1
1
12v~l"
IPI'
Bilden wir das Produkt fiber alle prim~iren Primfunktionen, so kSnnen
wit das erste Glied der Beitr~ge 1 und 2 mit dem dritten Beitrag zu
//
1
P 1---
1
vereinigen, wo das Produkt fiber alle prim~ren Primfunktionen
zu erstrecken ist.
Es erh~ilt aber nun nach einfacher Umformung den
209
Quadratische KSrper im Gebiete der h6heren Kongruenzen. H.
Weft . ~ - Y ~ ,
erstreckt fiber alle primiiren ganzen Funktionen.
Ver-
einigen wir die Glieder gleichen Grades, so erhalten wit
V
i _ =37~
~_
1
Demnach ergibt sich
(~)
,
z(8)=
:--"
l~_p-(,-1)
1
//-
FD]
1
'
we das letzte Produkt fiber alle zu D primen prim~ren Primfunktionen
zu erstreeken ist.
Die Eulersche Umformung des Produktes ergibt
(3)
z(8) = ~-
1
_(._~.
ZI
]'
F
IF
L~ ~
~ ( 8 ) > 1,
we die letzte Summe fiber alle zu D primen prim~ren Funktlonen zu
erstreeken ist.
Vereinigen wit alle Funktionen gleichen Grades, so wird
1
Z (8) = 1 - ~ - ( ' - 1 ~ "
~
~v
%
_-~,
~--0 2~
wo o~, die im vorigen Paragraphen eingefiihrten GrSl]en sind:
(4)
a~ = ~x~ [~]
mit s g n F -----1, D, F relativ prim.
1. Z) =+=g. Dann hatten wir a~ -----0 ffir v ~ n gezeigt. Es kommen
also nur die Gr6~en %, a~, %, . . . , %_~ in Betraeht. Dabei ist n d e r Grad
yon D, der nun immer so bezeiehnet werde. Unter Or wollen wir weiterhin
nur diese Zahlen verstehen. Dabei ist %-----1. Es wird also
~
n--1
(5)
z(8)=
~_p_,,_,,. Z
=~"
Die Zetafunktion ist also in der ganzen Ebene mit eventueller Ausnahme der Stellen s - ~ l +
regul~ir.
~2k~i (kganz),
welehe Pole sein
kSnnen~
2~i
Ferner ist ersichtlieh Z(s) periodisch mit der Periode l~ogp' eine
Eigensehaft, die spgter sehr nfitzlich sein wird.
Die Zahlen a~ zeichnen sieh, wie bald gezeigt werden sell, durch
hSchst merkw(irdige Reziprozit~tsbeziehungen aus. Wir werden fiberhaupt
sehen, da~ sie eine wiehtige Stellung in der Theorie einnehmen.
210
E. Artin.
Fiir jetzt seien noch einige elementare Eigensehaften der Zahlen o ~
hergeleitet. Wollen wir ihre Abhingigkeit vom KSrper kennzeiehnen, so
sehreiben wir o~(D).
Aus dem Erginzungssatz des Reziprozititsgesetzes folgt leicht
(6)
o, ~/D) = (-- 1)" a, (D).
Ist ferner K('I/D) reell, so ist s g n D - ~ I , also
2
(A, b ) = l
=0
wenn A ein Repdisentantensystem der primen Restklassen, etwa alte
Funktionen niedrigeren Grades als D, welche zu D relativ prim sind,
durehl~uft. Dies ist der Fall, wenn in A ~ aS', E alle zu D primen
Funktionen mit IF I < ! D I u n d a alle trivialen Einheiten durehl~uft.
Dann ist aber, w e i r D geraden Grad hat,
Also
~OB!
a=l
Somit ist
-P
2:
-P
=0
sgn i~'=l
Ordnen wit nach Graden, so erhalten wir den
Satz. Wenn K(1/D) reell ist, gilt:
(7)
s + ~i + o.~+ . . . + ~.-1 = 0.
Wit werden bald sehen, da$ dies auch nut in diesem Falle gilt, denn
in "jedem anderen wird sieh die Summe als die Klassenzahl herausstellen
und ist also wesentlieh positiv.
Fiir Z(s) ergeben sieh daraus zwei eIementare Eigenschaften. Zuniehst ist nimlieh
1
(al(D)
(D)
o~_~(D)~
Aus (6) abet folgt
1
Z D (8) = 1 - - a v ~ (
1 o~_~D)+ (D___);v~8
% --
-~- "'" -[- ( -
1~-lj ~,~-1,~~(D)~/"
Wit erhalten also dutch Division die Funktionalgleiehung
(s)
ZD
+ ~l u ]S p / =
1 +p-~s-1)
.Zg~ (8).
Quadra~isehe K6rper im Gebiete der h~heren Kongruenzen. IL
211
Aus (7) folgt ferner, dab Zo(s) fiir reelle K6rper K ( 1 / D ) in s = 0
eine Nullstelle besitzt. Aus (8) folgt dann welter, dal~ ZD(s) fiir imaginiire KSrper, deren Diskriminante geraden Grad hat, in s = lo--~- eine
Nullstelle hat.
2kai
Der Periodizitiit wegen sind natiirlieh aueh die um T~gv vermehrten
Stellen Nullstellen.
Endlieh finden wir allgemein
(9)
1
z(o)=
n--1
Za~,
,=o
l i m ( s - - 1 ) Z ( s ) = l~gp
,=1
1 " Z 7 , ,%"
(10)
9=0 P
2. Fiir D
g ist o , = p
(11)
Zg(s) =
sowie
Z(0) =
. ( - - 1 ) , also finden wir
1
1
1 _ p - ( 8 - 1 ) " 1 q_p- (8-1l'
1
.v~- 1'
1
lim(s -- 1 ) Z ( s ) -- 21ogp "
S=I
huBer der Funktion Z(s) fiihren wir noeh ein die ,,Zetafunktion der
Klasse ~ " : Z ( s, ~ ).
Sei n~imlieh ~ eine Idealklasse yon K (~/D), dann setzen wit (a durchlaufe alle Ideale aus ~):
(12)
Z(s,~)=
Z
aaus~
I
12~a[ s
.
Die Reihe konvergiert, da sie einen Teil der Reihe von Z(s) darstellt, absolut und gleichmgl~ig fiir 3~ (s) > 1 + &
Ferner ist klar, da$
(13)
Z ( s ) = ~ V ' Z (s, ~),
erstreekt iiber alle Idealklassen.
Nun sei a ein Ideal der ILlasse ~ - ~ = ~'. Wenn dann D ein Ideal
aus ~ ist, ist ab ein ttauptideal (a). Und umgekehrt, wenn das Hauptideal (a) dureh a teilbar ist, ist (t~) = ab und b ein Ideal aus ~ . ab durchl~uft also alle durch a teilbaren tIauptideale, wenn b die Ideale aus ~'
durehl~uft. Es ist daher
z(s, )=INal'.
l~aus ~ I N a b Is
Z'
1
a--__--O(moda)I N ~ f s,
wo der Akzent anzeigt, dab iiber alle nieht assoziierten Funktionen des
Ideals a summiert wird. Da nun abet ersiehtlieh Z(s, ~ ) = Z(s, ~')
ist, k a n n a auch als in ~ gelegen angenommen werden.
212
E. Artin.
Satz.
Ist a ein beliebiges Ideal aus ~ , so gilt
(14)
Z(s, ~ ) = - I N a l S
9
die Summe erstreekt
Ideals a (a + 0).
fiber
alle
Z
P
1
u=__O(moda)]Net is'
nieht
assoziierten Fanktionen
des
w is,
Die Anzahl tier Idealklassen im imaginiiren KiJrper.
Im imagin~iren KSrper K ( I / D ) gibt es nur endlich viele Einheiten.
Nennen wir ihre Anzahl w (es ist w = p~ -- t ffir D = g, sonst w = p -- 1),
so finden wir aus (14), da assoziierte Funktionen die gleiehe absolute
Norm besitzen,
(1)
Z(s, ~ ) = I ~ t s
Z
"a _~
1
d a)
wo jetzt die Summationsbeschr/inkung bis auf a ~= 0 aufgehoben ist.
Es werde nun a als reduziertes Ideal der Klasse ~ gew~hlt.
geht; denn in jeder Klasse gibt es reduzierte Ideale.
Dann ha~ a eine Basisdarstellung
D=B~'--4AC,
a = (2C, B + l / D ) ,
wo
IBI<ICl<=VIDI.
(2)
Ferner folgt aus (2)
(3)
tO] =
IAOI
und
No]-= [C t.
Es ist nun
a =2OX+(B+YD)Y,
. ' = 2 c x + ( B - Y~) y ,
also
Na = (2CX + BY) ~- DYe,
wo X , Y ganze, nieht gleiehzeitig verschwindende ~unktionen sind.
Dann ist
z(s, ~) = i ct" " . ~
(4)
x,:r 1(2CX+BY)~-DYO~Is
Es bestehen nun zwei MSgliehkeiten:
1.
[2BX + BY!~> IDY~I,
so dab
!(2cx +BY)"-- oY'[ =-[2cx+BYl'.
Dies
Quadratische KSrper im Gebiete der hSheren Kongruenzen. II.
213
Dann ist fiir Y + 0
]ze
+ B 1> V LDI;
wegen IBI < V lDI mull also
sere. Ist umgekehrt dies der Fall, so gelangen wir zur Ausgangsrelation.
Wegen 1•1 < VlDI ist d a n n
ICXl>lBrl,
so dab
t2cx+Brl~=loxI
ist.
~,
a~o
IN~i=loxl
~"
I m Falle Y = 0 ist dies ohne weiteres klar. Wit haben also: Fiir
tCX'I>IAY'I
(5)
gilt
I~r
= IOXi"
und nut dann.
Es Iolgt dies n~imlieh leieht aus I D t =
2.
so dab
t 2 C X 2 + B Y t ~~ ID Y'I = IAC, Y2I,
IAOI.
I(2CX-I- B Y ) ' - - D r ' ] ~- IACY~I .
Dies ist, da V ID I imagingr ist, auch im Falle des G!eichheitszeichens
riehtig. Hier karm Y nmc mit X versehwinden, was nieht geht. Es ist
also Y + 0, also
20 X
Wegen [ B [ < 1/1 D 1 muB also aueh
sein, oder
ICX~I~IAY~ I.
Wir haben also: Fiir
(6)
!CX'Is
gilt INai = l(2CX--t- B Y ) ' - - D Y ' I - ~ I a o r ' t .
Die Gleiehungen (5), (6) ergeben fiir Z ( s , ~) (nach (4)):
(7)
Z (8, ~) =
1
1
w.lal'" I~'X*l
Z ---+
>IAI'21
Diese beiden S u m m e n
Wit setzen
1
Z
lOX*l
1
-
~=
< I~I,~I
k5nnen nun jede fiir sich summlert
werden.
214
E. _hrtin.
Dann ist wegen ~ A C i = I D
welter: r =
[~-~j,
Iund lO!~]/}DI,
wo [] die
a--b~O.
Wirsegzea
nichstkleinere ganze Zah] bedeuCe~.
I. In der ersten Summe halten wir zuniichst Y lest.
Ffir Y = 0 ist einfach iiber alle X ~ 0 zu summieren.
Beitrag (vom Grade v gibt es ( p - 1 ) p ~ Funktionen):
i
. y(~_-L)v"_
~-~
Dies gib~ als
i
wtOI s ~=o~ p"~,,s --w]Ols" 1-:-p-(~.s-1) "
Ffir J Y l = P" ist fiber jene Werte yon X zu summieren, fib dic
a-b
X i>p
~ *~' ist, also, [ X l ~ - p "
sehliel~lieh ~ > r q - #
(p-
ist.
gesetz~, ffir die v >
a--b
2 + #'
oder
Dies gib~ als Bei~rag:
Wird nun fiber alle Y =p O, d.h. fiber alle ~u (wobei jedes # genau
1)p. " - r e a l zu berfieksichtigen ist) summiert, so erhilt man:
p 1 p-(r+l)(~,-1) 2
wiClS " 1--~o-(:,-~) "
- -
p=O
(P -- 1) p~''p-"('~-~)
- - (2-- 1)~ p-(r+l)(~s-1)_ . Z p _ e ~ , ( s _ l ) = ( p - - 1 ) u 9 p-(r+l)(~s-1)
wlC[S (1 -- p-('zs-1)) ~=o
w {CI s 1 -p-(~s-1)
o
1 -- p-~ r
Die erste Summe hat also den Wert
p-- 1
1
(p -- 1) u
p-(r+l)(:s-1)
I oft" 1-~-(~,-1~ q ~v~-o-v "(1 - p - ( ~ , - , ) ( 1 _p-~(,-1)) 9
II. hi der zweiten Summe werde X festgehalten. Fiir X = 0 ist fiber
alle Y =p 0 zu summieren, was liefer~:
wlAt s ~
Pe's
,--w[A[S'l--p-(~s-l) ~
b--a
- - "
b--is
T
Fiir I X I = p , soll nun ! Y I == P~ ~ P ~ ~g sein oder ~, ~ -N--. -t- # ,
also v ~ / x r . Aul~erdem solI natfirlich, da Y ganz ist, ~, nieht nega~iv
sein. Solange nun /z < r is~, ist einfach fiber alle :Y =t= 0 zu summieren.
Dies liefert fiir jedes X :
p - 1 . ~ P__L"= p - 1
1
w[A] s ,=o'~]l ~ s
w[A[ s 1--p-(~s-1)"
Quadratisehe KSrper im Gebiete der hSheren Kongruenzen. II.
215
Im ganzen also, wenn fiber alle in Betraeht kommenden X , das ist
ffir /~ < r, summiert wird:
p--I
w]--~[s
1
(p--l) ~ pr--I
I
~ - - 1 1--p-(~8-1)"
I_p-(o.s-x)'Z
,~=o (P-- X)P~'--~- w[A[S
Die beiden bis jetzt behandelten Beitr~ge geben zusammen
p--1
pr
w[AIS 1 - l~-',~ s-l) "
Ffir # _> r ist aber v > # -- r, also v nieht nega~iv.
1.
~
w l A iS =~_r
(p
1)p~
_ p-1
pu~s
9 p-(g-~')(~s-1)
w IA [S 1--p-('-'s-1) "
Wird dies fiber alle in Betracht kommenden X ,
summiert, so erhalten wit:
p
pr(o~s-1)
1
Dies gibt
~!X[' "i - v-(~.-~i" /2r
p-s(~s-~). (p
also tiber # > r
1) p~
( p _ l ) -~ pr(~8-1)
p-o.r(s-1) = ( p - - l ) ~ .
lot
= ~ l A - i Y ~ s ' l - - p - ( : s - ~ ) ' l - - p - : ( s -~)
wlAlS (1--p-(~'-~l)(i--lD-:(s71))"
Der Wert der zweiten Summe ist also:
p -- 1
pr
(p--l) ~
w]AlS 1--~-(~s-1) -}- wiAlt
pr
(1--p-(~s-a~)(1--p-~(*-l))"
Dies gibt fiir Z ( s , ~ ) :
w (1 --p-(~s-1))
/p-(r+l)(o~s-1) . pT )
+[
Io1'
(p--l) ~
~ - I - X ~ . ~(1-~-(~'-~)(1-v-~
Aus (8) folgt flit s = 0
p-1
(P-l) ~
(p,+l+p,)
Z (0, ~ ) = (pY-}- 1). w ( 1 - p ) ~- w ( 1 - p ) ( 1 - p ~ )
--
P"+~
W
av*
1-w'
also
(9)
z(o,~)--
1
w.
Aus w 17, (13) folgt also
Z (0) = Z
also
Z (0, 2 ) - -
h
W ~
wo h die KtassenzahI ist,
h = - wZ(O).
216
E. Artin.
Fiir D = g ist w ~ p ~ - - 1 , so dab w 17, (11) den bekannten Wert
h - ~ 1 wiedergibt. Der triviale Fall D - - g werde nun kiinftighin stets
ausgesehlossen. Dann ist u y = p - 1, und w 17, (9) gibB
n--1
(10)
h = 2 a ~ = % + a1 + % + . . .
+ ~--1.
Dies ist, da h der Bedeutung naeh stets positiv ist, die Ergiinzung
ztt w 17, (7).
Einen anderen, weniger einfaehen Ausdruek f i i r h erhal~en wit aus
den Residuen fiir s = 1. Es ist n~imlieh
(p
',i m ( s - -,1 ) Z ( " ~=) = w ( 1 ,
1. N o e h m a l s D -----g:
1) 9
l)21og
. (p-r-~
pr
\-T-d~-HTXT) "
- -
Hier ist also
I V] = I ~ d
!A I = ! ,
r -- 0,
w = p ] - - 1, somit
p
1
lira (8 -- 1) Z (s, ~) -~ 2(p+ 1)logp" (P-~ ~ 1) = 2 l--bg-T
~=t
Also gibt w 17 (11) wieder h
:
1.
2. Grad von D ungerade: _4us [ A C [ = I D t folgt, daI~ a-i-b, als,,
auch a -
b ungerade und demnach r ~ a -2 b
~--b
1 ist.
2'
Also :
1
V~
Somit
lira,=1(s -- 1 ) Z ( , , ~ ) =
~l--~g-~"~-~ 1 / ~
+ ~/-~ ~/]~-0-/]] = ~/IDI ]ogp"
Das Residuum ist also yon der Klasse unabhgngig und somit
lira ( s - - 1 ) Z ( 8 ) =
Wegen w 17, (10) ist
(11)
h=l/i'l.~
~"p. h
n--1
~
3. Grad von D gerade: Dann ist r = T ,
also
lira Z ( 8 ) 8=1
(~,+1)h
~V[DI .logp
also
C '
Quadratisehe K6rper im Gebiete der hSheren Kongmenzen. II.
217
ttlld
(lla)
h=2v'lDIp+l " ~ F "'' "
Die Beziehung zwisehen ( 1 0 ) und (11), (11 a) werden wir sp/iter
erkennen. Fiir die Zetafunktion hat unsere Residuenbildung die Erkenntnis
2kxi
wirklieh Pole erster Ordnung sin&
z u r Folge, daft die Stellen s -----1 4- y~g
w
Die Anzahl der Idealklassen im reellen K~rper.
Essei K ( r
ein reeller KSrper, % = U + V1/D seine Grundeinheit.
Dann ist V + O und I % ] > 1 , sowie [ e g I - - - - - I U - - V 1 / D I < I . In e~
miissen sieh also die hSchsten Potenzen heben, so dal] sie sieh in eo nieht
heben kSnnen. Es ist also
Sei nun , eine gauze Funktion des KSrpers.
Lage yon ]r in der hatervallfo]ge
....
I~ol -~,
I~oi -1,
1,
]~oi,
Wir betraehten die
t~ol ~,
.,.
Dann muff es ein und nur ein r geben," so dab
i,~W,l<i,~t<t~V"t,
also
t~oI__<i,~"t<t~ol
~-.
Da nun a mit a % " assoziiert ist, gibt es zu jeder Funktion eine mit
ihr assoziierte, die jetzt m i t a bezeiehnet werde, Iiir die ]% [ s I a I < leo [~,
und zwar gibt es zu jeder Funktion genau p -- 1 assoziierte, welehe diese
Bedingung befriedigen, n~imlich die Funktionen a a (a ~---1, 2, 3, ..., p -- 1 ).
Die Betrgge der Normen dieser p -- 1 Funktionen sind alle dieselben. Aus
w 17, (14) folgt also
I)v.!"
m i t d e r Nebenbedingung
(2)
y,
1
a--*=0(moda) I iVcz
t~ol < I~l < I~o I'.
Ffir das Ideal a w/i2alen wir nun wieder ein reduziertes Ideal aus
mit tier Basis ~-----(2C, B + ~ / D ) . Dann ist bekanntlich
(:~)
IB--VD[<]C]<]B+V-D]=[B[=ICDI und
In ( 1 ) ] s t also ~. set~en ~ = 2 0 X + ( B + V ~ ) Y
aehtung yon (2) fiber alle X, :Y zu summieren.
Mathematische Zeltschrift. XIX.
tNaI=]G[.
.~d unte~ Be15
218
E. Argin.
Fiir unsere Zweeke geniigC es nun,
tim(s--1)Z(s,~) zu bilden.
g=l
Dabei komm~, es ersiehtlieh nieht auf endlich vide Glieder der Summe an.
Diskussion yon (2) und (3):
L Sei
i2CXJ>IB+VDI.IYI.
t)ann is~ l al =
!CXl, ,and (2) ergibg
!~ol < l c x l < l~ol~.
Dies kann nut fiir endlieh viele X eintreten. Zu jedem solchen X
soll mm IB4-V-DI'IYi <1203~I sein. Dies liefert auch nut endlieh
viele Y. Unsere Annahme gibt also nur endlieh vide Glieder der Summe.
II. Sei
i2CXt < {B-t- VDI'i YI.
Dann ist lal=-I(B+~/D)Yt und nach (2)
!~ol < [(B + r
< I~ i'.
Auch dieser Fall kann nur flit endlich viele Y und endlieh viele X
zutreffen, liefert also auch nur endlieh viele Glieder.
III. Sei
12oxl---I(B+VD)YI.
Dann ist also wegen (3) sieher
[2CX I > ] ( B - - V:O)Y!,
also
(4)
l~'i = i 2 v x + (B -- r
I= laX.
Aus
i~ot < t 2 v x + (B + r
~ i~oi~
folgt wegen [B @ ~/D I = [1/Di
(5)
j~ol ~
I t~0i
• t = < ~2ex
+ @ + Y ] <lv~---5"
Wegen III. gibt es nun zu jedem X nut endlieh viele Y. Es gibt
also nut endlich viele Glieder der Summe, fiir die B2 0X
~
~ - 1t e0 [o ist.
Wit kSnnen also annehmen, es sei
2CX , >
Am Anfang dieses Paragraphen
I~:ot '~
zeigten wir nun ~D-~t ~ 1.
Der
Quadratische Kfrper im Gebiete der hSheren Kongruenzen. II.
219
mittlere Teil von (5) hat also sieher keinen negativen Grad. Wir k6nnen
also alle negativen Potenzen weglassen, so dal~ (5) gleiehbedeutend ist mit
t~Oi < E( 2CX ~
(Uber E siehe w 10.)
(7)
y
I~ol~
Setzen wir also
Y=--E
~
2cx
~-F
( F ganz),
so m u B gelten
(s)
Sei umgekehrt (8) erffillt und Y dureh (7) bestimmt.
gilt ersr recht
2fiX
>l~'l,
also
Wegen (6)
1 ~vx
trl=
B+~-D
somit
1 2 C X I = I(B-{- 1/D). Y I.
Dies ist also Bedingung III. Dal~ (5) erfiill~ ist, folgt aus (7) und
(8) unmittelbar.
Wir haben also fiir alle (6) geniigenden X fiir Y (7) zu setzen, we
F der Bedingung (8) geniigt, und fiber alle in Betraeht kommenden X
~'md F zu summieren. Nun ist aber wegen (7) und (8)
--
I~f=t2VX+(B§
und naeh (4)
2GX
~ + r
=lr
t~'l--- I v x f .
Also ist
IN,,I = I~'l = IoV~t. IxP[.
Start nun fiber alle X, welche (6) genfigen, zu sumrffieren, kSnnen
wit fiber alle X iiberhaupt summieren, wenn nut erneut das Resultat um
endlich viele Glieder korrigiert wird.
We~en (1) ist also
Icl' " Z Z
"
~-]
x
t
F
1
IC'~/-DXPI "+G'
we fiber alle X und fiber alle (8) genfigenden F zu summieren ist, und
G eine endliehe Anzahl Glieder bedeutet.
Somit ist
Z(s, ~) = 0 , - I)I~D I'
"
+ a.
15"
220
E. Artin:
Setzen wit nun
(9)
I % l = p R,
9
also
R:
l~176
logp
'
so dag R die Rolle des ,,Regulators" iibernimmt und jedenfalls positiv
ganz ist, Ierner
} v ~ l = p 7 , wo ~" ganz ist,
da ein reeller K6rper vorliegt, so wird
(~.R-
(10)
Z(s,~)=(~
1 ):i ~ [ , .=o
2(p-
T -~)
(P-:)P~§
p#S
=(R- ~$1)
1--P -R(s-1) ~-(R- n
~-~(,-1> -t- G.
l--p-(s-x) "
~)p"
a
p--1
l~/.DIS(1-p -('-1))
Da G nur aus endlieh viel Oliedern besteht, ist l i m ( s 8=1
Demnach finden wir
( p - l)
(1l)
lira(s-- 1 ) Z ( s , R ) =
1 )G = 0.
s=l
also ein yon der Klasse
w 17, (13), (10):
(12)
unabhiingiges Residuum.
lim(s -- 1 ) Z ( s ) =
s=l
Es
ergib~ also
(p-1)Bh_ ,
[ I/D [log p
n--1
(1~)
I~=
( p - ~ ) a Z-:.
v=0 1~
9
Die Zetafunktion hat also aueh hier in s
Ordnung.
2 k~i
1 q- lT~gp Pole
erster
w 20.
Das Nichtverschwinden yon Z ( s ) a u f der Geraden ~ ( s ) =
1.
Setzen wir
[ 21/tDI
. . . . . . .
-I~--?~-T-' raus ~raa yon ~ geraue
(I)
}
K6rper imagin~r.
x~
V-~"
falls Grad yon D ungerade
1 ~ 1 - ~ / ~ ' falls Grad yon D gerade, K6rper reell.
so isB
(2)
lim(8-1)Z(~)----- z logp
h ~ O.
s=l
Quadratische KSrper im Gebiete der hSheren Kongruenzen. II.
Die Pole erster Ordnung sind die Stellen $ = 1-~ 2k~i
log p"
221
Sonst ist
Z ( s ) iiberall regul~. Die Produktdarstellung w 17, (1)lel~t, da6 Z(s)
in der Halbebene ~ (s) > 1 keine Nullstellen besitzt. Wir wollen zeigen,
daft aueh auf ~ (s)----1 keine Nullstelle liegt.
+ 1p) ~i sind keine Nullstellen yon Z (s).
Die Stellen s ~ 1 + (2 klog
2~ri
Beweis. Da Z ( s ) periodisch mit der Periode ~
ist, gentigt der
Satz.
Nachweis fiiz s = 1 + l o g p "
Aus w 17, (8) folgt nun
limZD(s.=l -4- ~l~--~-p)= ~1l i m 1 - , , - ( ' - " .lim(s -- 1)Zgo(s).
s=l
s-
1
s=l
Bezeichnet man also mit h' und ~' die Gr68en des K6rpers K(I/gD),
so ist
h'
q.e.d.
Satz. Z ( s ) hat auf der Geraden ~ l ( 8 ) = 1 keine Nullstelle.
Beweis. Naeh dem soebe~ Gezeig~en darien wir die Stellen e ~ 1 + log
k~ip
a,usschliel~en.
Wit setzen 8 = o + it. (Der Buchstabe t hat natiirlieh nichts mit
unserem Adjunktionsbuchstaben t zu tun; ich w~ihle diese Bezeiehnung nur,
um den Ansch]ul~ an die iibliehen Beweise zu haben.)
Naeh w t7 ist dann
z
= ]/
> 1
1
tlvpl'
Daraus folgt wie belcannt
Z'(s)
~-~loglNV t
Z (s) =-,.--
---"
~---~ "
Sei nun l + t o i eine Nullstelle k-ter Ordnung ( k > _ l ) , wobei
v~
Dann ist 1 + 2toi sieher kein Pol. Es ist also eine Nullto =1=logp"
stelle l-ter Ordnung mit l ~ 0.
Der weitere Beweis verl~uft so vollstiindig analog dem gewShnliehen,
da6 seine weitere Ausfiihrung unterdriiekt werden darf. Ieh verweise etwa
auf L a n d a u , Theorie der algebraischen Zahhn und Ideale, Seite 101.
Wie dort finder man
<3--I
k=~,
also wegen l>__0,
b~u
3
entgegen
k>___l.
Satz. Die obere Grenze 0 der reellen Teile der Nullstelle yon Z (s)
~st kleiner als eins 0 < l
222
E. Artin.
Beweis.
Fiir ~ ( 8 ) ~
1 besitzt Z ( , ) keine Nul!stelle. Da Z ( s ) abet
2~i
die rein imaginiire Periode 1 ~ hat, kSnnen wir seialiet~en, dab die obere
Grenze der reellen Teile der Nullstellen yon Z (a) kleiner als eins ist.
w 21.
Die Funktionalgleichung yon Z (s) und die Relationen zwisehen den a~.
Wir kehren zur Formel (8) des w 18 zuriiek und diskutieren die
versehiedenen, fiir imagin~ire KSrper sieh ergebenden F/~lle.
1. I ~ ) 1 = ~ ~ §
Wir setzen I A l = ~ o , . Wegen ID[=!AC, i wird
IC{=P'~m-~+~,
also
r=
[,'-- (2,2-- v + 1)~ = v - - m - - l ,
w-----p-1.
Wir haben dann
z ( , , ~) = ~~--~7;--. -~
1 _ ~ - (~s-l)
(~-- 1)'~v--~--1
-~-(1--p-(~s-~))(1--p-(s-~))(] +~-(s-l)~
p,,-m-:t +p(~,,-2~-z)e
__
-~. ~,.-m-1 + ~(2~.-2m-I), -- p v-ra-~-
p -
| (~9-- ($--1) -~ 1).
~,,s
(ll~-- l)p ~'-m-1
p*'s (1 --p-(2 s-l))(1
(s-l) _ ~
. p20"-m-l)s
+ p~,-m _ p ~.-m-1
Daraus ersieht man unmittelbar, dal] Z(a, ~ ) i n a==~ keinen Pol
hat.
Es ist also iiberall bis auf die Pole s = 1 + ~2 k x i
regular.
Ferner ist
Z (1
-
-
~, ~)
-
-
~(~,--~-1) o - ~ _ ~,.-,~-~ . ~ , _ p . p.~o.-m-1)(,-~)+p,,-~
Erweitern wir den Bruch mit p(,-,~-~)(~,-~) so wird
p ~ , - m . ,p - s _ p(e , , - e m - 1 ) 8 - - p , . - m + p . p 9 0 " - m - 1~
Quadratische KSrper im Gebiete der hfheren Kongruenzen. II.
223
Demnach haben wit die Funktionalgleichung
(l)
Z(1
a, ~)
1--P -(s-l)
9
(]./'~_1'~"
']--LY{ "'~
1 --p~
2, IDl----p ~-,,.
also IOl=p-'~-,;
iAl----p "
Z(8,~.)=(p"-m4
1
\ p*'s -- ~(2m-.)s
(p-1 )
)
r=,,~m.
1
"l__p-('~s-l)
p,.-m 1
( p - (,.-rn+ i) (,s-!)
+ (~_~,-~.~Si~_~,-.,s-,,
~ .
~,,~,~-,),
+--~-;
. . p.V-m
. 4-. p~O'-m)~
. .
l
( p _ 1) p,-ra(l + p(~-i))
p"* (1 _p-(.~s-i)) ' p,S (1--p-('%-i))(1 --p-u(~-~))
pv-m+pe(r-*,,),~ p,.-m.p- 2 (s-. 1)__T~ p'~.f~-m-1)s4-pv-ra-14-p~,-m+l .p- (2S-1) pr-m ~av-m p- (Us-l)
p,.8 ( 1 - p - ( ' ~ ' - l ) ) ( 1 - p-a(~-~))
p9 b.-m)s _ p9 ~2 (J,-m-1)e 4- ~v- ~n+l p~,-m+l.p- 98
p~s ( 1 - p - ~usTx~)(1 - p - 2(8-x))
Daraus ersieht man wieder die Regulari~it fiir s = ~.
tiberall regul~ir bis auf die Pole s = 1 q- kni
log p"
Z ( s , R) ist
Ferner ist
Z( 1 ~ 8, ~)-~ psO,-~), p-~.(~.-ra)S__p2(~-ra),p-s(,,-m-x)s 4_p,,-m+l p,,-ra-1 pUS
p,(1-s) ( 1 -- p~S-i ) (1 -- p~ s)
Erweitern wir mit p-0'-m-l).p~("-m-1) ~, so wird
p,.,. p-r~("s-~) (p- (~s-~)__ 1) (1 - p2s)
= pro(us-i). 1---p- ~(s-1)
Demnach lautet die Funktionalgleichung
(2)
Z(1--s,@)=
11 ~ - "
-~)(1/T-~)~*-I z ( s ' ~ )
Summation iiber alle Klassen liefert die gesuchte Funktionalgleichung
flit die Zetafunktion:
(3)
Z
(1 -- s) =
] _
Z
p8
(s),
falls Grad yon D ungerade,
(4)
,
Z ( 1 - - s) ~---1p - ' a ( , - 1 ,
l_p~
( 1 / ~ ) , _ , , _ 1 Z (s'l,
falls Grad yon D gerade, KSrper imaginiir.
,
,
224
E. Ar~in.
Um auch ffir reelle KSrper die Funkgionalgleichung
gehen wir aus yon w 17, (8):
Z ~ ) ( s 4, Tg~-g~)
~i ~l = I+~-(,-,Z~-*t-P-('-~)
zu gewinnen,
(~ "
Wenn nun K ( V g D ) reell ist, steht links der Zetaftmktion des
lmaginfiren KSrpers K(V))), welehe die FunktionMgleiehung (4) ha.t.
~i und beriieksiehtigt (5) und die
Ersetzt man also in (4) s dureh s @ log--pPeriodizitgt yon Z(s) und p*, so erhglt man, wenn Z(s) jetzt die Ze~afunktion des reellen KSrpers ist:
i _ p-'qs-1)
T-(s-l)
:l-p'
,+p" Z ( 1 - - s ) =
1l+p-(~-,
"(V[~-l)~.-~'z(~)"
a-~,'"
Demnaeh, talls KSrper reell, das Resultat
z(t-~)= ~ ~
(~)
I--N)~' ~z(~).
Aus der Funk~ionalgleiehung folgt, da Z ( s ) fiir ~ ( s ) ~ 1 keine
2k~i
Nullstelle besi~zt und die. Pole erster Ordnung 1 @-i-6ogp hat. nach einfacher Diskussion:
In der Halbebene ~ ( s ) <
0 liegt keine Nullstelle yon Z(s).
1. Grad yon D ungerade. 1 ( s ) h a ~ aueh auf der Geraden ~ (s):=0
keine Nullstelle.
2. Grad yon 39 gerade, KSrper imagingr. Auf ~ ( s ) ~ 0 liegen Jmr
die Nullstellen ers~er Ordnung: s = ( 2 k + l ) ~ i
log 79
3. Grad yon D gerade, KSrper reell. Auf ~ ( s ) = 0 liegen ~mr die
Nullstellen erster Ordnung: s ~---2 k,~_~/
log p "
Alle iibrigen ,,nieht trivialen" Nullstellen gehSren dem Streife~
0<1--0~(8)~0<1
an, wo 0 die obere Grenze ihrer reellen
Teile ist.
8ie liegen symmetriseh zur Geraden ,~(s)----,~1 und zur
reellen Achse.
Beim reellen KSrper ist also s ~ 0 Nullstelle erster Ordnung. Wir
ver~vendea die Funktionalgleichung (6) dazu, eine elegantere Formel fiir
die Klassenzahl des reellen KSrpers zu gewinnen. Es folgt ngmlieh ans (6),
da Z(0)-----0 ist, naeh w 20, (1), (2):
Z ' ( 0 ) ~- li,=o
~-lim,=o ---7
(1 _ p_ (s_l~)._, 9lira s . Z ( I - - e )
i~
(log p) e
(p-l) ~
~=~
....
=~
P - ] 9l o g p .
Quadratische KSrper im Gebiete der hSheren Kongruenzen. II.
225
Also
h . . . . RP-log~l~ 9z '
Setzt man nun
(o).
n--1
L(8)----(1
-
v-(.-1,)z(8)=~X'
"
p,,s
~=0
,
so folgt aus Z(0)~---0:
L'(0) = (1 - p ) z ' ( o ) =
.~
~ , logp.
~'~0
Als0 ist
1
1
~ = R--Wgog~L'(0) =
n--I
R ~',o,..
Fiir reelle KSrper haben wir also dio Formel
1
n--1
(7) ~ = - ~ - ~ ' , , o , . =
1
~(~,~+2o.+3~,.~+...+(,-1)o,,_~,,
wo R ~ log
~ l.01 der Regulator von K ( F ' D ) ist.
Die Funktionalgleichung hat nun merkwiirdige Relationen zwischen den
Zahlen o. zur Folge, welehe zum Beispiel die Bereehnung der Klassenzahl
sehr vereinfachen und die Beziehung zwischen unseren beiden Arten von
Klassenzahlformeln aufdecken:
1. Grad von D ungerade: I D] = pem+l. Aus (3) folgg, daft die
Funktion
IS)
Z ( s ) = p , ~ ( , _ ~ ) f f , j, o,.
Z(s) = ( 1 -- p-(*-~))
2m
m
v~O
der Funktionalgleiehung geniigt:
Lg)
E(1 - - s ) =
.~(s).
.Nun ist
2m
m
z(1 - s) _ ~ v , ~,.p- Y. p,~-,, f(,,-~,~,
~,~0
:= Z
2m
m
a2m-,, p - ~-" p,.-m . p(m-,.~ .
~'~0
Vergleieht man gleiche Potenzen yon p% so resultiert
o,. p o ~---a~_,. p - -~T ''-m.
226
E. Artin.
Daraus ergibt sich sofort unsere R e z i p r o z i t ~ t s b e z i e h u n g :
(10)
o , ~ _ . = p " ~ - " o..;
speziell fiir v--~ 0 wegen %-----1,
(11)
o".m = pra
Aus w 18, (10) folgt also
(12) h = ( 1 +pro) + ( i + p m - , ) o ~ + ( 1 + p , , - , ) , , . , + ... + ( l + p ) o ~ _ ~ + o,,.
Dies erteichtert sehr die Berechnung der Klassenzahl, da die Berechmmg
yon o~ fiir hShere Werte yon v recht miihselig ist.
'2. Grad yon D gerade: i D l = p TM. K6rper imagingr. Hier ist
nach (4)
(13)
Z(s)----- (1 -- p - - ~ ( ' - l ' ) ( 1 / ~ l ) ~ - } Z (8)
'2m--1
*,=0
=p--~(14-~).Zo.pI,~-,').
2m--1
--
p(~-,.)s @ Z
~'~0 "
P o,. p~,n-,.-~)~
~'=D
P~
eine Funktion mit der Funktionalgleichung (9).
~ ( I -- s ) = p
=(#-0"-'
"
ra
-
......-,.)
"-> --p,,,- I ~*-.... .
m
Wegen
2m--1
.'-'
,=.
....
erhiilt man hier
(14)
O ~ m - , ' "-~ P O e m . . . . 1 =
p ~ - - " (O,, @ p O v _ l ) ,
1G~<2m--1;
und
(1.~)
OSm_ 1 ~
~]~m--I
Durch einfache Rechnung erhiilt man daraus
~.16) ~,~_~ = p ~ - " [o,.-1+ ( p " 1) (~,._. - - ~,._,+ ~,,_,-- "-... + (-- 1)'-'%)],
giiltig fiir 2 ~ v ~< 2 m.
Quadratisehe KSrper im Gebiete der hSheren Kongruenzen. II.
227
Die Beziehungen (15) und (16) ergeben nun aus %, oz, %, . . . , o~_ I
die m iibrigen GrSBen, indem (16) fiir 2_~<~_<m verwendet wird. Aus
2m--1
berechnet sich dann die Klassenzahl. Wit wollen den Ausdruck, der nichts
Bemerkenswertes bietet, nicht erst hinschreiben.
Mit Hilfe yon w 17, (6) linden wit aus (14), (15), (16) sofort die
entsprechenden Formeln iiir reelle KSrper:
(17)
0 , , _ . -- V oo.,~_,._~ ---- io'~-" (a, -- V o.-,),
(18)
o~,~-i =
--
I _ < ~ , _ < 2 m - - I;
~om-~;
(~9) ,,~,_, = ~o'---[- ~,._~+(~0 - 1 ) (o._~+o,,_~+.._~+ ... + o,+o0)],
giiltig fiir 2 ~ v ~ 2 m .
Aus ihnen und
2m--1
1 X~O~ '
ergibt sich die Klassenzahl.
w 22.
Die Anzahl der Ideale mad Primideale gegebener Absolutnorm.
Es ist
~--I
m
z(,) = i-~,-('-~)",,=0 ~ =
n--1
~,"--;" = 1,""
Daraus folgt
z ' ~ l' =
1 ;~- ~ ~ 1 7 6 1 7 6 ~
a~, +
po, + o~
" ~
-"
~n 3 ~
"
,p(et-~)s
.
+ ~"-"
~gvO0+ ~,--1 fiX+_.....~ ~---(,--1) O,_1
+
Bezeichnet man nun mit H ( x ) die Anzahl der Ideale mit t2Va[ = x ,
so ist andererseits
ao
1
)-THO,').
,'=0
Es let also fiir ~ ~ ~ -
P
1
p=O 'P
wo x durch w 20, (1) gegeben ist.
H(x)
hat natiirlich nut einen Sinn,
228
E. Artin.
wenn x v o n d e r Form p" ist, und dies wollen wir voraussetzen.
ist aber
~)
Hi*) =~h- x
fiir
Dana
jDI
x~
Fiir x ~ }Di ist der Ausdruck anders, doch kommt dies fiir unsere
P
asymptotischen Uberlegungen nicht in Betracht. Aus
l
Z(8)=i-v-(;-">
(%_~_
a, ~ _
o~
~_ . . - L
v" : p ~ '
o"-I
,~,(~---ziCz)
erkennen wir, da6 alle Nullstellen ~ yon Z(8) dureh den zweiten Term
geliefert werden. Setzt man i o ' = z, so erh/ile man zur Bestimmung der
Nullstellea die algebraisehe Gleiehung
(2)
z "-1 + ~lz "-~ + %z "-~ +...
+ %_, =0.
Nennen wit ihre Wurzeln ill, fi~., . . . , fl,--x (diese Bezeiehnung werde
aueh weiterhin festgehalten), so finden wir die Nullstellen o der Zetafunktion dureh die Gleiehung
,.'t)
/~,. ~- ~o.~ .
Dadureh werden abet aueh die trivia|en Nullstellen auf .'}~(s)-----~)
gegeben.
Wenn also der Grad yon D gerade ist, hat (2) die einfaehe Wurzel
+ 1 oder -- l, je naehdem der KSrper reell oder irrtagin~r ise. Wen,~ D
ungeraden Grad hat, gibt es keine ,,triviale" Wurzel yon (2).
Ist D = a t - t - b linear, so ist (2) von nulltem Grade, Z ( s ) hat also
iiberhaupt keine Wurze/n.
Ist D quadratiseh, so ist (2) vom ersten Grade, Z Is) hat also mlr
Vriviale Wttrzeln.
Nieht triviale Wurzeln sind also erst yon kubisehem D an vorhandem
Sei nun 0 die obere Grenze der reellen Teile der Nullstellen yon Z (s).
Von den beiden besproehenen Ausnahmefs
wo fiberhaupt keine Wur~el
vorhanden oder 0-----0 ist, abgesehen, ist dann stets
1<
y_0<l
i a s (3) folgt dana
(C
i~, i <=,po
(~ <=0 <1),
und (4) ist jedenfalls auch in den Ausnahmefs
riehtig.
nur vom KSrper ab.
Fiir Z(s) erb~lt man nun die Produktdarsteilung
n--1
(5)
z ( ~ ) - - ~ _ p _1 ( , _ , - / / ( 1
- fl,~-~).
O h~ngt dabei
Quadratische KSrper im Gebiete dot hSheren .Kongruenzen. II.
229
Einerseits ist also
*t--1
(6i
logZ(s)------log(1--p-ts-~))+~log(1--flup
-')
#t----1
--,
=
~.
.
.
.
~ - a-o,-'"--P~-I
flit
~(s)>l.
Andererseits aber ist, wenn ~ (x) die Anzahl der Primideale ~ mit
der Absolutnorm ]N~]-----x bedeutet (wo z wieder nut die Werte p" annehmen soll):
(7)
log Z ( s ) = - - X
1
log (1 --IAro 1 - ' ) = ~ Y ' ,,I N~ I'"
| ~ d~(~)
~---I
t'=l
Aus (6) und (7) Iolgt aber
~8)
2:~(#)
dl,
= v"
~ , - #~. - - . . -
~,-~.
l~s ist dies die genaue Formel fiir ~ ( x ) und etwa die Analogie zu der
R i e m a n n - M a n g o l d t s o h e n Formel.
Nach unseren Resultaten fiber die Norm yon Primidealen ist nun
~(p~) h6chstens gleich der doppelten Anzahl der Primfunktionen des'
d
Grades d plus der Anzahl der Primfunktionen vom Grade ~. Es gibt
also eine absolute Konstante C, so dab
pd
Spaltet man also in (8) den Teller d-----v ab, so ist der Rest sicher
kleiner als
~ = (p~) + ~ = ( ~ )
+ . . . +-~ =(~:,)
L"
L'
~_
"=<_o ( ~ + v~ + v, + ... + p~)
Also wird
_ _ < c ( ~ + , v 3) = o (~,~).
t*
, . . (~,-) + o ( F - ) = v ~ - ~ ; - ~; - . . .
Wegen (4) ist
lfl~l _<~o,;
- ~-~.
230
E. Artin.
also ist:
j,
,.~(v')
-- p" + o ( ~ ) + o(po~) - p~ + o(~o~),
~(p~)=T+o
logx
Da nun, wenn x = lo" gesetzt wird, v ~ tog
p ist, erhalten wiI:
(9)
n(p")= FoXg-~.logp+O(,~"
\rag x]~
'
w 23.
Yafeln der KlassenzahL
Im folgenden soll eine kleine Tafel fiir die Klassenzahlen wiedergegeben werden. Zuni~chst wollen wir aber die bereits gefundenen Resultate
fiir quadratisches D best/~tigen.
1. I/D imagin~r; [ D [ = p ~ ; r e = l ;
h = % + a l = l + a I. Nach
w 21, (15) ist o1 = 1, also h = 2.
2. 1/Dreell. Naeh w
1
h----~. Also muB R - = I ; h = l
ist 0 1 = - : 1 ,
sdn.
sodas w
ergibt
Ffir kubische Diskriminanten ist m = 1 und w 21, (12) ergibt
(1)
Bei
eigneten
ohne die
man aus
(2)
h=p+l+,,.
der Herstellung einer Tafel beaehte man welter, da$ t einer gelinearen Transformation t'~-at+ b unterworfen werden kann,
Klassenzahl za hndern. Da ferner o I ( g D ) ~ - e~(D) ist, findet
(1)
hD-}- h~v= 2(p + l ).
Aus der Klassenzahl yon K ( V D ) finder man also, wenn D kubisch
ist, ohne weiteres die Klassenzahl yon K(I/g-D).
Dutch lineare Transformation yon t k5nnen wir uns (nachdem ein
eventueller quadratischer Rest abgestol3en ist) D in die Form gesetzt denken:
D = f +at-+-b.
Nut im Falle p-----3 geht dies nieht.
sehr einfach:
la-I
L
Die Berechnung yon o~ ist nun
t--c
J
(wobei eventuelle Lineart~iler yon D wegzulassen sind).
ro .o * l
Nun ist
231
Quadra.tische KSrper im Gebiete der hiiheren Kongruenzen. II.
also
v-t eaq_ae+b
e=0
)
Es ist also o~ in einfaehster Weise dureh L e g e n d r e s y m b o l e ausgedriiekt.
Beispiel.
p = 7, D = t~q - 3t q- 2 (Primfunktion).
=
1 --
1 -}- 1 -- 1 +
1 -~- 1 -- 1 =
1.
Somit h = 9. Dies ist aueh die Klassenzahl fiir die dutch Littearttansformation hervorgehenden Diskriminanten t s -- 3t q- 2, t s -- t -]- 2. Dagegen haben die Diskriminanten gD, das sind (naeh Lineartral~formation)
t'~q- 3 t - 2 ,
t~--2t-2,
is_t_2,
die Klassenzahl h = 7 (naeh (2)).
Auf diese Art wurde Tabelle I bereehnet, welehe die Klassenzahlen
fiir p = 3 , p : 5 ,
p = 7 gibt.
Die zugehSrige Gleiehung fiir die Nullstellen yon Z ( s ) lautet
Ihre Wurzeln sind
= - - ~o,+lVo
--~
_4p.
Sind sie komplex, so ist ]ill = l/T, also wenn p die Nullstellen yon Z ( s )
sin& ~ ( p ) - 1 Dies erfordert
oder
fiir p - - 3 :
fiir p = 5 :
--3~o 1~q-3,
--4<o~.~q-4,
fiir I 0 = 7 :
--5___<o1_---<+5.
Die Tabelle lehrt, daft diese Relationen wirklieh erfiillt sind.
Also liegen die Nullstellen alle auf ~ ( s ) Fiir biquadratisehe D ergibt sieh im imagin~iren Falle:
%~-p--lq-~.
Also ist
h = 2 p ~ 2o I 9
%-----~,
kueh bier geniigt die Bereehnung von a~. Fiir p ~ - 3 ist g ~ - Dies liefert Tabelle II.
Fiir reelle KSrper ist % = - - - p , % - ~ l o - - l - - o x ,
also
1
h = - ~ ( a x ~- 2a,. q- 3%) =
1
+ 2 +
1.
232
E. Ar~in.
I.
p=3
D
Zertegung
D
I o~
ta--ff - 1
ta_tz_t
ta+t~+t--1
t a + t ~__ 1
--1
D
Zerlegung
I ox
ta+l
ta_l
t8+2
ta_2
( t + l ) ( t z - t + l)
(t--1)(t~+t+ l)
(t--2)(tg+2t--1)
(t+2)(t~--2t--1)
t3--t+l
t.s--t - 1
ta_t
ta+t+2
ta+t-2
ta+t
t 3 --t~+ 1
Ita_t~_t -
--2
Primfunktion
0
(t+2)(t'z-2t--2
(t--2) ( t ~ + 2 t - 2 +2
t(t-1)(t+l)
(t+l)(t~-t+2)
( t - 1 ) ( t : + t + 2) --2
t(t+2)(t-2)
I a~ t h
i
t a + t ~ + t + l ( t + l ) (t~ + 1)
ta+t'z+ 1 (t--1)(t~--t--1) + 2
t(t~+t - 1)
ta+t~_'.t
( t - - l ) (t~'+ 1)
(t+t)(t~+t--1)
t(t"-t-~)
Zerlegung
3
6
8
4
t~--t+ l
t:~--t -- 1
ta+t+ 1
t~ +t-- I
ta+t
t ~--t
Primfunktion
I+1
(t.1)(t~+t_l)l
(t+l)(t~
t(t~+l)
t(t--1) ( t + l )
Zerlegung
t3+l
ta--t + 1
ta--2t+l
t3+3t+l
(t+ 1) (t--3) (t+2)
(t--2)(t'+2t+3) + 4
(t--1)(t~+t--1)
(t+3)(t'--3t--2)
t~+t+3
t~+2t+3
ta--3t+3
ta--t+3
t:~-- 2t + 3
ta+St+3
(t+2)(t~--2t--2)
(t+l)(t~--t+3)
(t-3)(t"+3t--l'~
--2
(t+3)(t:--3t+l)
(t--2)(t:+2t+2)
(t--1)(t~+t--3)
t'~+t
t3+2t
t3-3t
t
t (t~-+ 1)
t (t'~
t (t'--3)
0
0
4
D
Zerlegung
o1
h
ta+ 2t
ta--2t
ta+t+l
ts+t--1
t(t~+2)
t(t~-2)
--4
+4
2
10
+8
9
--3
3
+1
7
--1
5
t~--t + 2
ta--t--2
ta+2t+l
ts+2t--1
t~-2t+2
t ~ - 2t-- 2
I
Primfunk$ion
Zerlegu
h
D
12
ta_l
t:~_t_ l
ta-- 2t - 1
ta+ 3t-- 1
(t-- 1) (t+3, (t--2)I
(t+2)(t ~(t+])(t'-t(t--3)(t~'+3t -
6
t~+t--3
t'J + 2 t _ 3
ta--3t-3
t:~_t_ 3
t:~_ 2 t _ 3
t~+3t-3
(t--2)(t~+2t(t--1)(t~+t+
(t+3)(t'- -
8
7
1
i
i
~=7
D
+3
--3
t ~--t
ta--2t
ta+3t
(t-s)(t-"+
(t+2)(t ~( t + l ) ( t ~- - -
t ( t + I ) (t--1
t ( t + 3 ) (t--3
t ( t + 2 ) (t--2
233
Quadratische KSrper im Gebiete der hSheren Kongruenzen. IL
p = 7, Primfunktionen
oil h
D
ta_t_2
h
D
t
t'--2t--2
t~+3t--2
ta_2
13
§
--1! 7
}
ta+t+l
t'~+2t+ 1
ta--3t+ l
5
h
D
a~
h
+1
9
t~8
t~+t--I
t~+2t--1 +3
t~- 3t--1
ll[[ta+3t+2
i t.+2
II.
p=3
D
Zerlegung
- ( t ~ + ~)
--(t~+t--1)(t~-t-1)
- (t ~ - 1)
- ( t - D (t+~) (t~+ ~)~
-(t"+t-(t~-t-
o~
D
_(t~+t~
!
l
Primfunktion
- - ( t 4 + t ' ' - 1)
-(t*+to-+t + 1)
-- ( t ~ + t ~ + t)
- - t ( t - 1 ) (t"+ t - - 1)
-(t~+t~-t)
- t (t + 1)
p = 3
(t~--t -- 1)
reelle Kiirper.
D
t4+t+ t
t~--t+ 1
t~+l"+t+ I
t:~+t"--t + 1
t4~ t~'+ t
t 4 'te t
tt--t"+t + 1
t "~- t~--t + 1
t*+t-- 1
t~--t - 1
t~+t~
- 1
t ~ + t ' - t -- 1
t 4 - t'-'-- 1
f
......
4
t~+ 1
t~_l
t4-f- t 'z- 1
Mathematisehe Zeitsehrift. XIX.
h
+ 2 10
-(ta+t~--t,--1
- - ( t ~ + t + 1)
--2 2
--(t~--t § l) --(t + l ) ( t a - - t ~ + t + l)
-- (t ~-- t ' - t)
- (t * - t ~ + t -I- I)1
- t ( t " - t + 1)
- t ( t ~ - t - 1)
- (t + 1)
(t~-t~+
0
6
+3
12
1)
--(t-- l) (ta+t ~ - 1)
[ --(t*--t ~
1)
Primfunktion
IIL
e~
i ~
(t ~ t " - t ~+ t ~+ t;' - t~+ 1) + (t ~ - t 4 - t ~ - t"-+ t) ~/D
( t ~ + t a - t a - t 4 + t ~ it- t ~ - 1) + (to+ t 4 - t3+ tz+ t) ~/D
( t ~ - t ~ - - t 4+ t:~--t" + t) + (t4--t3 + t + 1) ~/D
(t~ +t~'-ta-t~--t~'--t) + (t4+t:)--t + 1)
(tr'--t4--t~+t - 1) + (t~- t'z-- t + 1) ~/35
(t ~+ t % t~+ t + U + ( t % t "~ t - 1) ~/D
(t~'--t~ + t 0"- 1) + (ta--t~-t) ~/~
&+ t ~ - t ' + ~) + (t~+ t "~- t) ~/~
(t"- t : * - - t ' - t - 1) + ( t ' - t - 1)~tD
t4+t~-Ft
o~
] - (t+ 1 ) ( t a - t " z - t - l )
- (t * - t " + t)
-1
1)
Zerlegung
D
h._
+1 i 8
1)
1)
-(t'+t~
oa
7
7
6
6
5
5
5
5
4
4
+.)
+.)
+!
+(,
(
(
1
0
-1
-1
-2
-2
-3
( ? - t ' - t) + (t - 1) ~/~
C + t~- t) +(t + ~) ~/~
3
3
2
C + t " - t + 1) +(t+ 1) r
(t~_ t~
l) + (t_ l) ~[)
t ~ + ~i)
3
3
2
2
+1
--1
-1
2
2
+1
3
t~ + ~/~
(t ~ - 1) +
r
16
+1
234
E. Artin.
Sei nun a: die o-Summe des imagini~ren K6rpers
p
a1~--%Also
K(~/D).
Dann ist
1
h=~(p+2-~0.
Aus der Tabelle ][I lesen wir fiir die verschiedenen Gruppen die
Klasseazahlen /4t ' R6 ' R3 ' R7' R5 ' //2 ab.
Da sowohl h wie _R ganzzahlig
und wegen l eol ~ ~/]-~ = P~, R ~ 2 ist, ergeben sich fiir die vier
letzten F~lle- R-~--3, 7, 5, 2, also h == 1. Eine einfache Diskussion liefert
aueh die Entseheidung in den iibrigen F~llen.
In Tabelle I I I ist dies im Falle p = 3 zusammengestelit. Wir geben
auch die expliziten Werte der Grundeinheiten~ aus denen wir die Richtigkeit der vorigen Diskussion besti~tigen.
Was nun die Nullstellen
Gleichung
yon Z ( s )
anbetrifft, so haben wir die
(wobei es gen(igt, den imagin~ren Fall zu betraehten). Nach Abspaltung
des trivialen Faktors z -~ 1 uuter Beriicksichtigung der Relation
%=p--]
'~-a~ erh~ilt man
z~§
(o~ - - 1) z §
p =
0.
Stud die Wurzeln komplex, so liegen wieder die Nullstellen
(~) = ~. Dies ist dann und nur dann der :Fall, wenn
auf
also fiir p == 3:
Dies ist abet d e r Fall.
Fiir p =: 5 miiBte - - 3 ~ ~1~ 5 sein. Wir zeigen noch, d a ] dies
zutrifft. Trivial ist zun~ehst -- 5 ~ % ~ 5. Nun ist aber %-~- -- 5 unmSglich, da sonst h ~ 0 wAre. Es ist also nocb oj ~ - - 4 in Betracht
zu ziehen.
Dann mul~ % die Summe yon genau vier 8ymbolen
t--~j
sein (da bei fiinf 8ymbolen % ungerade ist), deren jedes den Wert - - 1
hat. D mug also einen und nur einen Lineaffaktor enthalten, den wir
naeh passender Lineartransformation als t selbst nehmen kSnnen. Also,
da g - - 2 ist : D ~ 2 t D~ (sgn Di --~ 1, D~ PrimNnktion). Nun ist
DI
Also ist
D1 -
f"l
.
.
.
.
Quadratische KGrper im Gebiete der hfheren Kongruenzen. II.
235
Nennen wir o~ die a-Summe in K(1/D-~), so ist, da D 1 Primfunktion
ist, nach dem eben Gezeigten o1 = [~-~l == • 1. Nach Tabelle I hat also D~
die Form ( t ~ a ) 3 - + - 2 ( t ~ a ) - ~ - I
oder ( t - ~ - a ) 8 - - 2 ( t ~ a ) ~ 2 .
Eine
Durchreehnung der fiinf sich schlielllich ergebenden F~lle ergibt ~ # ~ 4,
so dal3 wieder ~(0)-=-~ ist.
Endlich wurde im Falle ~o-= 3 durch /~hnliche Diskussion gezeigt,
da$ aueh im Falle n = 5 alle Nullstellen auf der Geraden ~ ( 0 ) =
liegen. Der Diskussion entziehen sich nut die Primfunktionen; fiir die
also die Rechnung dariiber zu entscheiden hat.
w 24.
Der Zusammenhang zwischen der Klassenzahl und den Nullstellen
yon Z ( s ) . -- Die Anzahl der Klassen in den Geschlechtern imaginiirer
KiJrper.
Wir kehren nun zur Formel w 22, (5) zuriick:
(1)
l
rt--1
z(s) = ~_p_(,_,,.
_// (1 - # , , v - ' ) .
Nach w 18 gilt nun fiir imaginiire KSrper {n > 2):
(2)
~ = - wz(o)
=//(1
-
g),
wo fir die Wurzeln von z ~ - I + ol z ~-2 ~ . . . A- o,~_~ - - 0 sind, und fl,.= pe,
wo 0 die Nullstellen yon Z (8) durchl~uft.
In (1) mSge fl~_~ die triviale Wurzel sein (falls eine vorkommt).
Fiir reelle KSrper ist fl~_~ = -+-1, und aus w 21 folgt
v - 1 lira Z (s)
1 n-2
Demnaeh haben wir, wenn fl,. nur die nicht trivialen Wurzeln bedeutet:
n--1
(3)
/t = / / ( f l ~ -
1),
falls n ungerade,
(4)
h = 2 . / T ( & - - 1), falls n gerade, KSrper imagin/ir.
(5)
h ~-~--,.__~1 (p" --1),
tt--1
falls n gerade, KSrper reell.
16"
E. Artin.
236
Ist nun fl,, die Wurzel in K (V D ), so ist - fl ,. w egen z,. (D) = ( -- 1)'~o,, (g D)
die Wurzel in K ( 1 / D ) . Nennt man also h' die Klassenzaht im letzteren
KSrper, so erh~ilt man aus (3), (4), (5) :
n--1
~i)
h h ' = I[(fl~-- 1), falls n ungerade.
7)
hh' -= ~r H(fl,, -- 1), falls n gerade.
Nun brauchen wir noch eine einfache Abseh/itzmlg yon h. Es ist,
der Bedeutung von ~,, naeh, I o ~ t ~ P'"
1. n ungerade,
oem . . . . ~am-''. o,.. Also I.~._, ! =< p-,
somit
t ~,, i < Pro- Wegen
n--1
h=-II(~,
ist also
(s)
h < ~. p " = ~(V~) "--~.
2. n gerade, KSrper reell.
Aus w 21, (19) folgt
i o~m_, [ ~ p'~-~ (p'-~ + (p -- 1) (T"-2+ p ~ - a + . . . 4- P + 1)
pm-"(2p"-I -- 1) < 2 p ~-*.
Aus w 21 (7)
(,)
a~so
h<= ~2 - ( n -- 1)" lo~-~ = ~,2 (n -- 1) 2 (~/p)n-~.
Es werde nun die Richtigkeit, der R i e m a n n s c h e n Vermu~ung vorausgesetzt. Dann ist I fl~ I == Vp. Es sei nun K ( V ~ ) ein imagin~rer KSrper.
Die F~ille n = 1, n = 2 lassen wit als genau bekannt beiseite. Es sei
also n___ 3. Dann fotgt aus (3) und (4)
(lO)
( r --
1 ~t--t _ < h < ( V - ~ + l )
"-~, falls ~ unge~'ade,
(11)
2 (~/p-- 1 ) " - " ~ h _< 2 ( 1 / ~ + 1) "-3, falls n gerade,
Die unteren Grenzen sind aber fiir ~ - = 3 trivial. Deshalb haben
wit noeh andere Formeln abzuleiten. Aus (6} und (7) folgt n~mlich
(12)
;13~j
hh'>= (p -- 1) "-2,
falls n ungerade,
2
hh'>__ ~ ( p - - 1) n-~, falls n gerade.
Wenden wir nun auf h ~ die Formeln (8) und (9) an, so resultiert
1 (~0-- 1 ~ n-1
(14)
h>=n\-~)
(15)
hZ
, falls n ungerade,
1
p--1 n-2
(n-1)'(~
, falls n gerade.
Quadratische K6rper im Gebiete der h6heren Kongruenzen. !I.
237
Fiir p =-3 folgt daraus
1 (1,15)n-1
h> n
bzw
h~
1
.
,-~
_ (n_ 1)~ (1,!5)
Daraus und aus (10) und (11) folg$ nun, dai~ es nut endlieh vieie
KSrper gegebener Klassenzahl gibt, sogar wenn T und n > 3 gleiehzeitig
variieren. Aus (10) und (11) folgt insbesondere, da$ es fiir p => 5, n ~ 3
keine KSrper mit der Klassenzahl 1 gibe. Ffir p ~ 3 gib~ es noeh endlich viele. Wahrscbeinlieh ist abet K ( 1 / U - - t - 1) der einzige KSrper
mit der Klassenzahl 1.
Nennen wit nun f die Anzahl der Klassen eines Geschlec~tes und s
die Anzahl der Primfaktoren yon 39, so ist naeh w 11
f>
-
-
h
2s-1"
Also haben wh'
f~
_
(%/P- 1) n-I
2s_1
(n ungerade),
2,_~
f=> (~/~~)"-' (n gerade).
Nun ist sicher s ~ n .
Es ist niimlieh nur dann s = n, wenn alle
Primfaktoren linear sind. Also haben wir
f>(-~)'--"
(n gerade).
Dies ergibt fiir p >_ 11, n ~ 3 s~e~s [ > 1, so dab es also Ifir ~ ~ 11,
u ~ 3 keine KSrper mit einklassigen Gesehleeh$ern gibt. Es zeigt sieh
sogar, dab dann f m i t n und p (jedes auch einzeln) fiber alle Grenzen
w/ichst, so dab es nut endlich viele KSrper gibt mit vorgesehriebener
Anzahl von Klassen in jedem Geschlecht. Dies habeu wir noeh ffir
p = 7, 5, 3 zu zeigen.
Fiir p = 7 folgt aus (14), (15)
1( 6
f >-n k ~ )
(n ungerade),
(n gerade).
2(~--t)*
Dies liefert unmittelbar das Gewfinschte.
Ffir p--= 5 liefert (14), (15):
h >_ L (1,78) .-~
bzw. h > ( n _ l ) ,
(1,7s).-.
E. Artin.
238
Hier kann D, da es quadratfrei ist, hSehstens fiinf lineare Primteiler
haben. Schlimmstenfalls sind also die iibrigen quadratiseh. Also fiir
n_~5:
n--5
- 5 oder 2~-1__~24.
s ~ 5 -~- n--2-_
2 ~ ~-24 (V/-2)~-~.
Also ist
f__>
bzw.
h ~ ~n_ 1)~. 2~-(1,78)8 \ 1 - ~ /
1,78
Wegen ~ > 1 haben wir wieder unser Resultat.
Fiir ~o~ 3 hatten wit
1(1,15)n_1
bzw.
h ~ ( n _1l ) ~ (1,15)~_-,.
D hat h6ehstens 3 lineare, 3 quadratische, 8 lmbische und 18 biquadratische Primfaktoren.
Also gilt ftir n ~ 105
~ ~ 32-~ .--105
5 '
2,-I_~ 2al. (~/-~),-10~ 2at. (1,149).-loa.
Also ist
f~}
1 .(1,15)1o4. ( 1,15 ~n-Io5
" ~i
~1,--~9"
( 1,15
woraus wegen ~ 1 , ~ / >
bzw.
)n-lO.,
1
10a( 1,15
f ~-nl-. ~ i (1,15)
/1,149/
1 unsere Behauptung Iolgt.
Satz. Die Richtigkeit der Riemannsehen Vermutung vorausgesetzt,
gilt fiir die Klassenzahl in imagin~iren KSrpern, yon linearen und qnadratischen Diskriminanten abgesehen:
1. Fiir alle p und n gibt es nut endlich viele KSrper vorgegebener
Klassenzahl. Insbesondere kann es nut flit p ~ 3 KSrper mit der Klassenzahl 1 geben. (Wahrscheinlich nut einen.)
2. Fiir alle p und n gibt es nur endlich viele KSrper, bei denen
die Anzahl der Klassen im einzelnen Geschleoht einen vorgesohriebenen
Weft hat. Insbesondere gibt es nut endlich viele KSrper mit einklassigen
Geschlechtern, und zwar nur fiir die Primzahlen p -----3, p ==- 5 und p ~ 7.
Seispiele sind: K(Vt "~- i), K ( 1 / ~ $ ) , K ( 1 / ~ - - 1 ) .
w 25.
Die reellen Charaktere.
H i l f s s a t z . Ist P eine Primfunktion und n ein beliebig vorgegebener
Exponent, so existiert stets eine primitive Kongruenzwurzel G (mod P )
im Sinne D e d e k i n d s , fiir welehe
G Let-l- 1 (rood P"I.
Quadratisehe KSrper im Gobiete der hSheren Kongruenzen. II.
239
Beweis. Der Satz ist fiir , n = l naeh D e d e k i n d richtig. Er sei
bis zum Exponenten n bewiesen. Dann gibt es also eine primitive
Kongruenzwurzel G, fiir welche
GIPl-I~-(1 -~- H P " )
ise.
Dasselbe leistet dann jedes
G+XP'*.
Es ist nun:
( G + X P~)tPt-I ~ GIPI-I + ([P] -- 1)X P ~. aIPi-~(modP'+~)
~_ GTvl -~ _ XPnGIV1-~(modP~-I )
-----1 - ~ - ( H - X. GIPJ-72) P* (mod pn+l).
Bestimmen wir nun X aus der Kongruenz
X.GIPt-~'~ H (modP),
so gilt fiir die primitive Kongruenzwurzel G 2;_ Xp'~:
(G + X P " ) rPl-~=
_ 1 (rood P"+~).
Nun sei K irgendeine primiire Funktion und K = P~*'P.',.'~'... P~""
Jhre Zerlegung in Primfunktionen. Wit setzen
M=~P~...
P.
Wenn nun r
die Anzaht der primen Restklassen modulo K bedeutet, ist nach D e d e k i n d
r
= [ P ~ f r ~ l P , ~ ! ~ - ~ . . . i pr!nr-l(]_D1]
-- p ~ v (M),
- 1)(tP~ ! -- 1 ) . . . (t/-'~ f - l)
wo pt eine gewisse Potenz von p, q)(M) dagegen, da M nur einfaehe
Primfaktoren enth~lt, zu p prim ist.
Wir betraehten nun die Gruppe | der primen Restklassea modulo K
yore Grade p Z ~ ( M ) .
Es seien G~, G.,,..., G,. primitive Kongruenzwurzeln modulo bzw.
PJ, Pe, " ", P,., fiir welche
G,'v~'-I ~ 1 (rood P,,~").
Sind dann al, a.~. . . . . a~. irgendwelehe Zahlen (nieht im Sinne modulo p),
so ist das System der Kongruenzen
X ~ O:' (mod/~x~')
,
9
*
.
.
.
.
,
x =_ ag"(mod W')
240
E. Artin.
stets 15sbar, und zwar liegen ersichtlieh alle LSsungen in einer und nur einer
Restklasse S modulo K . Ferner iindert sich, wegen G rl,~ t - , ~ 1 (rood P ~ ) ,
S nicht, wenn die Zahlen a, um Vidfache yon I P,, t - 1 vermehrt werden.
Ebenso folgt aus G ~ " ~ G,.b'' (rood P ~ ) , da ja G~ primitive Kongruenzwurzel ist, dab sieh av und b~ nur um ein Vielfaehes von I P,, ] - - 1 unterseheiden.
Lassen wir also die Zahlen a,, alas System der Werte 0 ~ a,, ~ I/),, I -- 2
durchlaufen, so erhalten wit lauter versehiedene Restklassen S in der Anzah]
(IP1i--1)...
(IPr[-
1) = ~ ( / ) .
Diese Restklassenbilden nun ersiehtlich eine Gruppe (~1 veto Grade ~ ( M ) ,
welehe Untergruppe yon ~ ist.
Nennen wir mm S~ jene Restklasse yon (~1, deren Repr~isentant X
den Kongruenzen (1) geniigt, we a , = 0 fiir # + v, dagegen a~ ~ 1 fiir
u = v ist, so bilden die Restklassen 81, S : , . . . , S,., wie man leicht erkennt, eine Basis yon O x. Wit erhalten dann aim Restklassen yon (~
in der F o r m
S-~S~'S2"...X~ ,
we
'0~a,~Jt),.t--2.
Da nun der Grad yon $ den Weft pt(I)(M) hat, und q)(zM) ( d a s
ist der Grad von ~ , ) prim ist zu pl, liiBt sich nach bekannten Siitzen
(~ darstellen als direktes Produkt:
we ( ~ eine weitere Untergruppe yon (~ ist, und zwar den Grad p~ hat.
Jede Restklasse S aus (~, d.h. ]ode prime RestkIasse modulo K
l~iBt sieh also darstellen in der Form
(2)
S
=&
~ &,~ . . .
85" 9T,
we T eine Restklasse aus (be ist.
Jeder Charakter yon (~ hat ulso die Form
&
9 S$9.z..(T).
Dabei ist ;~1 ein Charakter der Untergruppe (~1,)~. ein solcher yon ~e.
Nuu hat-~,2 den ungeraden Grad p l also ist dec Itauptcharakter von ~ .
ihr einziger reeUer Cb~rakter.
Sell also Z ein reeller Charakter yon (~ sein, so muff g~ der Hauptcharakter yon ( ~ , Zl abet ein reeller Charakter yon (~1 sein. Fiir reelle
Charaktere ist a l s o
13)
z ( S ) = (• 1)a~(• 1 ) ' = ( • 1)"~... ( • 1) '*',
we also, wenn Z ein fester Charakter ist, jeder Primfunktion P,. ein bestimmtes Vorzeiehen + 1 zugeordnet ist.
Qundratische KSrper im Gebieto der hbheren Kongruenzen. II.
241
Sei nun Q das Produkt jener P~, denen fil (3) ein negatives Zeiehen,
R das Produkt jener P~, denen ein positives Zeichen zukommt. Ferner
sei A ein Repriisentant yon S, B ein Repriisentant der Klasse T in (2).
Dana ist
(3a)
A - G,a,"B ( m o d / ) f ' ) .
Nun ist T eine Restklasse aus (~ vom Grade p~, also T V ' = l ,
wenn ps der Exponent yon T ist, der ja in p~ aufgehen mul3. Also ist
I
(4)
BV"~_l
(modK)
und um so mehr
1
B v' ~-1 (mod
P,.).
Wir betraehten nun den Exponenten von B modulo P,. (also nur
erste Potenz!). Einerseits mull er im Grade der Gruppe der primen Restklassen mod P~, also in ( I P , ' I - l ) aufgehen, andererseits aber nach (4)
in dem dazu primen ps. Dieser Exponent mull also 1 sein. Demnaeh
(5)
B ~ 1 (modP,,).
Aus (3a) und (5) folgt also
A =~-G,?"(rood P,,) ;
yon nun an sei A primgr.
FG,]
Wegen L-P~J = - 1 (dies folgt unmittelbar aus der Definition der
primitiven Kongruenzwurzel) ist also
I"!
N =
Also folgt
(- ~)"
IQ Produkt aller _P,,, denen ein Minuszeichen entspricht).
Sei nun n d e r Grad yon Q, # der yon A. Dann ist
Z ( A ) = LQ"
a ==\,--:~
p ]
Setaen wir also
9
!•
LAJ
D=
\\-pC
]
L-A---J"
Q.R',
z(A)-~ ]D] 9
K ~ Q R N ist, ist es
so ist nach dem Erggnzungssatz
9
LAJ
Wenn nun A prim zu
aueh prim zu D und
umgekehrt. Fiir die reellen L-Reihen finden wir also
L (s, Z) = ~-" z (A)
(.A.K)=I
~
(, A . D )_= I
1
H
= ~~
(P, D J = I
1
r
1-i_~-
j'I-pl
-*
242
E. Artin.
I. 7- der Haupteharakter.
und wir haben
Dann ist Q = 1, n
(P,D)=t 1 - i P I
9
~=~
-s
--
1/'. I*
0, also D = R".
1 --
IPI -~
$.
_
1
-H
l -- p-(s-l) ' v = l
1--1_p~ ]i
2. 7- ein veto Hauptoharakter versehiedenet reeller Oharakter.
Wit
setzen D = D 1 R ~, wo also D ~ = ( ~ J ) ~ Q und ] Q [ > 1 quadratfrei ist.
Dann ist D~ Diskriminante eines quadratisehen KSrpers. Wegen M - - Q R
ist endlieh D 1 prim zu R . Die in /~ aufgehenden verschiedenen Primfunktionen mSgen R,, R . , . . . , R~ heil~en. Dann ist
//
' D 1
'
H
1
(A, Dr)= 1
Also
w
Die Anzahl
der Primfunktionen gegcbenen Grades in ariihmetisehen
Progressionen.
8atz. Sei 7- irgendein Charakter mod K. Dann besitzt L ls, 7.) auf
der Geraden ,~ ( s ) = 1 keine Nullstelle.
Beweis. l. 7. sei ein reeller Charakter. In (6) und (7) haben die
Faktoren der Form (1 -4-!PI -*) nur Nullstellen auf ,~(s) ~ 0. (6"} hat
keine Nullstelle. In (7~ kiirzen sich die Nullstellen des mittleren Faktors
gegen die Pole yon Z (s). .Ferner hat auch ZD,(Sb keine Nullstelle auf
~(s)=: t. Also hat L(s, 7-) keine Nullstelle auf 9~(s~---~l.
'2. 7. sei ein komplexer Charakter. Wir wenden das Beweisverfahren
aus L a n d a u , Handbuch der Lehre yon der Vertei]ung der Primzahlen,
S. 460, an.
Es ist
\~t
L(s, Z ) ~ L ( s ) = e l~
=
Z tpm)
e ~''PmlPIm~ 9
Quadratische K6rper im Gebiote der hSheren Kongruenzen. iI.
243
wo der Akzent am Summenzeichen bedeu~et, dab fiber die zu K primen
Primfunktionen P zu summieren ist.
Setzt man mit L a n d a u Z ( P r a ) = e io(pm), so ergibt sich wie dort,
wenn s = a -4- i t gesetzt is~ (wo natfirlieh a > 1),
.d~l co8 (to(Pra) - rat log IP!)
] L ( s , Z)i = e ~ . P
a
Ans der Ungleichung cos 9 ~
[L(*)i__>e
~
ralPI ~
~ cos 2 ~v finder man
,.I-I"
~ra,p
- I - I ra~
Hier ist
m~p ' ,
,
1
1 = -- log(1 -- p-(,,-1)),
Iv['
1ielra"=
.._~ m,~,~m _ ~ Ira~ = log H
,
~lso
P
X,p
e
1 - - - -
1
'~,~" ra
~(1
und wie bei L a n d a u
--1 Z ' co~(~o, (pra)- .orat~og IpJ)
1)
ralelra~
e ~'~,P
]
),'
=1 e
4~7'pmlPlra(a+2ft)
I 9
Nun ist (Z IA))~ such ein Charakter modulo K , und zwar sicher nicht
der FIauptcharakter, da sonst g (A) reell wiire, entgegen der Voraussetzung.
Im Exponenten rechts in (1) steht also such der Logarithmus einer
L-Reihe, wir nennen sie Ll(s). Sie ist sicher nicht die des Hdupto
f.harakters. Es wird
i L(,) / > (1 _ p_,,,_,):/,.
=
Also ist
( Z 1 (a + 2 t i ) ) V' "
( 1 - p-(--1)~ V.
~ >
1
=
~-~_]
/
1
((o_ 1) L~ (a + 2ti))'h "
Der in der Einleitung (I, w 1) genannten Arbeit yon K o r n b l u m entnehmen wir nun, dab L ( s ) fiberall regulgr isL fails Z nicht der Hauptebarakter ist. Also hat L 1 (s) nirgends einen Po].
Wir machen nun den Grenzfibergang a--~ 1. ~regen
lim 1--P-(~-~)
~ -- 1
(i=
logp + 0
I.
strebt die rechte Seite fiber alle Grenzen und somit such die linke.
L ( s ) kann also in 1 + i~ keine Nullstelle haben.
Nml ist wieder L(s, Z)9 periodisch mi~ der Periode log
2S-----/
p" Da die
Gerade ,s)i(s)= 1 und ersichtlich auch die Halbebene ~(~)__~ 1 frei yon
244
E. Artin.
bTullstellen sind, schlie~en wit wieder, dais die obere Grenze 0 der ~aellen
Teile der Nullstellen aller zum Modul K gehSrigen L-Reihen kleiner
ais 1 ist:
(2)
0<1.
Nun gilt abet fiir Nichthauptcharaktere (nach K o r n b l u m , S. 102 i,
wenn m der Grad yon K ist,
ff$--I
,,=o
]al=~
WO natiirlich A primer und prim zu D i s t .
o,(z):2z(A)
IAl=~"
Setzen wir
und
p.:z,
so wird flit die Nullstellen yon L(s,7.) die Gleichung gefunden
z~-~ + o~ (z)z ~-'- + . . . + ~ - ~ ( z ) = o.
Ihre Wurzeln seien fl~(Z), fl~(Z),..., fl~-,(Z).
Dann ist wieder
~--1
L(s, z ) = 1 1 ( 1 - /~,(z) "~-~).
Fiir den Hauptcharakter aber folgt aus dem vorlgen Paragraphen
n
1
L (8, Xo) : - 1 - p-(,-1)
. /,=1
/ ( 1 -/~,(Zo ~p-'),
w o n eine gewisse ganze Zahl ist.
Wit numerieren nun die Charaktere: go, 7,~, . . . , Z,p(~)_l. Zo sei der
ttauptcharakter. Dann ist
(3)
logL(s,~.)=2.j
ffir X + ;~o
(4)
log L(s, go) =2./p'-#;(z~
~|
and allgemein
(5)
log L(s, z)
~,p ~ I ~ I ~ "
Sol nun L Repr~isentant irgendeiner zu K primen Restklasse.
bestimmen L~ aus der Kongruenz
LL 1
I (modK)
Wir
Quadratisehe KSrper im Gebiete der hSheren Kongruenzen. II.
und bilden
245
oh(K)--1
~ , ;~,,(L,)logL(s, Z~,)=~,' .=o
~,=1
,~,P m !B I''~
(6)
Da, nun
~(K,-~
XZ'(F)=
p=O
{ ~ ( K ) , wenn $'~_~1 ( m o d K ) ,
0 , wenn F ~ I
(modK)
ergibt sieh
~(g)-1
1
X~,,(L1)logL(s,Z,,)==-q~(K) Z
(7)
,u=0
.jpl~s
KL(s).
pm~j 5 ~
(mod ~l
Nennen wir nun
welche ]Pnt= x und
ztz(x,n) die Anzahl der Primfunktionen P , fiir
Pn~__L(modK) ist, so wird
Z-~(P1~a')a
(8)
KL(~) = ~ ( K ) . 2 ` , d~,,
*,=1
p,,s
Andererseits ist nach (3) und (4)
_ y,p,,-zzf'
KL(~)-7,~
(9)
'
wo ~VZfl~ eine Summe iiber Charaktere und die v-ten Potenzen der
Wurzeln ist. Wegen (2) ist
iz,'l<p..
und, da es nur endlich vide fi und Z gibt,
ZX, fl"=O(p"~
(10)
wo 0 < 1.
Aus (8) und (9) folgt aber
qb(K)~-dz~L(p",d)=-V"-~-TZfl'=p"+O(pO').
(11
dJ,*
Nun ist zt(p', d) hSchstens gieich der Anzahl der Primfunktionen
p
vom Grade -~, also
1,
y
PA
J,
Somi~ ist
Z " ~,(p",d)<= d=2
2," p ~ = # +
d [ ,v
d~2
lg
d
Z p~<~-c+,,p~=O(pY).
-
d=3
246
E. Argin. Quadratische KSrper im Gebiete der h~iheren Kongruenzen. II.
Somi~ gilt, wenn wir d : l
abspalten und : t L ( x , 1 ) = ~rL(x) se~zen,
so dal$ also :zL(x) gleich der Anzahl der Primfunktionen P mit [P[ = x
und P ~ L ( m o d K ) ist,
Setzen wit nun also. und dies kSnnen wir tun, 0 >= 1 voraus, so gilt
~ L ( v " ) --- , .
~(K) + 0
Also, wenn wieder x nut Werte p" annimmt,
(12)
:~(x)=
logp
r
x
(xv~~
O..v~s.. ,
1<0<1
wo ' 2 =
9
Es gibt also yon einem gewissen Grade an Primfunktionen jeden
Grades in der arighmetischen Progression, und die Primfunkgionen gegebenen
Grades (primiir) vergeilen sieh asymptotiseh gleiekmiiflig auf die Versohiedenen Progressionen gleiehen Moduls. Dies isg eine wesengliehe Versehiirfung
der yon K o r n b l u m und L a n d a u gewonnenen Resultate.
(Eingegangen am 14. Oktober 1921.)