PROBLEME 1. On considère un solénoïde formé de 800 spires par mètre parcouru par un courant de 5. 10−2 𝐴. 1.1/ Faire le schéma du solénoïde en précisant un sens pour le courant, et donner les caractéristiques du champ magnétique crée par ce courant en son centre C. On donne : 𝜇0 = 4 × 10−7 𝑆𝐼. 1.2/ Déterminer l'angle de déviation d'une petite aiguille aimantée sur pivot placée en son centre si l'axe Δ du solénoïde est perpendiculaire au méridien magnétique (schéma obligatoire). 2. L'aiguille aimantée est retirée et remplacée par une bobine plate carrée de côté 8cm, comportant 100 spires. Le solénoïde est 𝜋 traversé par un courant variable 𝑖 𝑡 = 0,2 cos 100𝜋𝑡 + 2 2.1/ Donner les expressions du flux magnétique à travers la bobine, le moment du couple électromagnétique et de la force électromagnétique induite en fonction du temps et déterminer leurs valeurs maximales figure 1. 2.2/ Que détecte un oscilloscope branché aux bornes de la bobine en circuit ouvert. Donner l'allure de cette courbe pour t ∈ [0;20ms]. 3. On réalise le montage de la figure2 qui comporte le solénoïde précédent de résistance r = 4Ω et d'inductance L = 0,1 H monté en série avec un dipôle ohmique de résistance R = 10 Ω. Le circuit est alimenté par un générateur de tension délivrant des signaux triangulaires. On observe sur la voie 1 la courbe de la figure 3. [email protected] 3.1/ Trouver les expressions de la tension 𝑈𝐶𝐷 aux bornes de la bobine visualisée sur la voie 2. 3.2/ Calculer l’énergie emmagasinée dans la bobine à 𝑡 = 35𝑚𝑠. [email protected] 1.1/ Schéma du solénoïde et caractéristiques du champ magnétique crée par ce courant en son centre Caractéristiques du vecteur champ magnétique : Origine : milieu du solénoïde Direction : l’ axe du solénoïde (∆) Sens : donné par la règle de la main droite Intensité : 𝐵𝑆 = 𝜇0 𝑛𝐼 𝐵𝑆 = 4𝜋 × 10−7 × 800 × 5 × 10−2 = 5,03 × 10−5 𝑇 1.2/ Déterminons l'angle de déviation d'une petite aiguille 𝐵𝑆 On a ∶ tan 𝜃 = 𝑜𝑟 𝐵𝐻 = 2 × 10−5 𝑇 𝐵𝐻 −5 𝐵 5,03 × 10 𝑆 A. N ∶ 𝜃 = tan−1 = tan−1 = 68,3° 𝐵𝐻 2 × 10−5 [email protected] 𝜋 2. Soit i 𝑡 = 0,2 cos 100𝜋𝑡 + 2 2.1/ Expressions du flux magnétique à travers la bobine, le moment du couple électromagnétique et de la force électromagnétique induite en fonction du temps Selon l’orientation du courant dans la bobine, le vecteur normal 𝑛 de la surface est sortant, s’opposant au vecteur champ magnétique 𝑆Ԧ (voir figure ci-contre). Flux magnétique Φ(𝑡) Φ = 𝑁𝐵𝑆 cos 𝜃 avec 𝜃 = 𝐵, 𝑛 = 𝜋 donc Φ = −𝑁𝐵𝑆 Or 𝐵 = 𝜇0 𝑛𝑖 alors Φ = −𝑁𝑆𝜇0 𝑛𝑖 𝜋 Φ 𝑡 = −100 × 0,082 × 4𝜋 × 10−7 × 800 × 0,2 cos 100𝜋𝑡 + 2 𝜋 Φ 𝑡 = −1,29.10−4 𝑐𝑜𝑠 100𝜋𝑡 + ⟹ Φ𝑚𝑎𝑥 = 1,29.10−4 𝑊𝑏 2 Moment du couple électromagnétique Γ = 𝑀⋀𝐵 = 𝑀𝐵 sin 𝜃 = 𝑁𝑖𝑆𝐵 sin 𝜃 𝑜𝑟 𝜃 = 𝜋 𝑎𝑙𝑜𝑟𝑠 Γ 𝑡 = 0 Force électromotrice induite 𝑑Φ 𝜋 𝜋 −4 𝑒=− = −100𝜋 × 1,29.10 sin 100𝜋𝑡 + = −0,04 sin 100𝜋𝑡 + ⟹ 𝑒𝑚𝑎𝑥 = 0,04𝑉 𝑑𝑡 2 2 [email protected] 2.2/ Allure de cette courbe de la tension aux bornes de la bobine pour t ∈ [0;20ms] L’oscilloscope détecte la tension u aux bornes de la bobine. L’intervalle [0;20ms] correspond à une période 𝜋 T=20ms. Bobine idéale : 𝑢(𝑡) = −𝑒(𝑡) = 0,04 sin 100𝜋𝑡 + 2 [email protected] 3.1/ Expressions de la 𝑈𝐷𝐶 aux bornes de la bobine visualisée sur la voie 2 𝑑𝑖 La tension aux bornes de la bobine est donnée par : 𝑈𝐷𝐶 = 𝐿 + 𝑟𝑖 (1) 𝑑𝑡 La tension aux bornes de la résistance R a pour expression : 𝑈 𝐿 𝑑𝑈𝐴𝐶 𝑟 𝑈𝐴𝐶 = 𝑅𝑖 soit 𝑖 = 𝐴𝐶 dans (1), on a : 𝑈𝐷𝐶 = + 𝑈𝐴𝐶 𝑅 𝑅 𝑑𝑡 𝑅 Détermination de la tension 𝑈𝐴𝐶 (t) sur chaque intervalle : Pour 𝑡 ∈ 0; 30𝑚𝑠 15−0 𝑈𝐴𝐶 = 𝑎𝑡 avec 𝑎 = = 0,5 alors 𝑈𝐴𝐶 = 0,5𝑡 30−0 0,1 4 𝑈𝐷𝐶 = × 0,5 + × 0,5𝑡 𝑎𝑙𝑜𝑟𝑠 𝑈𝐷𝐶 𝑡 = 0,2𝑡 + 5 × 10−3 10 10 0−15 = −1,5 𝑒𝑡 𝑑 = 1,5 × 40 × 10−3 40−30 0,1 4 𝑈𝐷𝐶 𝑡 = × −1,5 + × −1,5𝑡 + 0,06 10 10 Pour 𝑡 ∈ 30; 40𝑚𝑠 𝑈𝐴𝐶 = 𝑐𝑡 + 𝑑 avec 𝑐 = = 6 × 10−2 Alors 𝑈𝐴𝐶 (𝑡) = −1,5𝑡 + 6 × 10−2 ⟹ = −0,6𝑡 + 9 × 10−3 3.2/ Energie emmagasinée dans la bobine à t=35ms. Pour 𝑡 = 35𝑚𝑠 ∈ 30; 40𝑚𝑠 la tension aux borne de la résistance est : 𝑈𝐴𝐶 (𝑡) = −1,5𝑡 + 6 × 10−2 𝑈𝐴𝐶 𝑡 −1,5𝑡 + 6 × 10−2 Or 𝑖 𝑡 = = = −0,15𝑡 + 6 × 10−3 𝑅 10 −3 A t=0,035s : 𝑖 = −0,15 × 0,035 + 6 × 10 = 7,5 × 10−4 𝐴 1 2 1 𝐸𝑚 𝑡 = 0,035𝑠 = 𝐿𝑖 = × 0,1 × 7,5 × 10−4 2 = 2,81 × 10−8 𝐽 2 2 [email protected]