Problème ( suites de cauchy)

MPSI 1 Lyc´ee d’excellence Benguerir
Probl`eme n˚10
( Suites de Cauchy-Th´eor`eme du point fixe de Banach )
I. Suites de Cauchy
On appelle suite de Cauchy toutes suites num´eriques (un)ntelle que :
∀ε > 0,∃N∈N/∀p, q ≥N:|up−uq|< ε.
1. Montrer que toute suites de Cauchy est born´ee.
2. Montrer que toute suite convergente est de Cauchy.
3. Montrer que toute suite de Cauchy est convergente.
II. Th´eor`eme du point fixe de Banch
Soient a, b ∈R(a < b) et f: [a, b]−→ [a, b] une fonction strictement
contractante, c’est `a dire :
∃k∈[0,1[/∀x, y ∈[a, b],|f(x)−f(y)| ≤ k|x−y|.
On se propose de montrer le th´eor`eme suivant (dit th´eor`eme du point fixe
de Banach) : Toute fonction strictement contractante de [a, b] dans [a, b]
admet un unique point fixe.
4. Montrer que si fadmet un point fixe alors ce dernier est unique.
5. Montrer que fest continue sur [a, b].
Soit α∈[a, b] fix´e. On consid`ere la suite (un)nd´efinie par :
u0=α
un+1 =f(un),∀n∈N
6. Montrer que :
∀p, q ∈N,|up−uq| ≤ kp
1−k|u1−u0|
7. Montrer que (un)nest de Cauchy.
8. En d´eduire que fadmet un point fixe.
9. Expliquer pourquoi le r´esultat reste vrai si on remplace [a, b] par :
[a, +∞[,]− ∞, b] ou R
mais pas par :
]a, b],[a, b[,]a, b[,]a, +∞[ ou ] − ∞, b[
Fin
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