الامتحان-الوطني-في-الرياضيات-2017-الدورة-الاستدراكية-شعبة-العلوم-التجريبية
publicité
الصفحة
االمتحان الوطني الموحد للبكالوريا
الدورة االستدراكية 2017
-الموضوع -
المركز الوطني للتقويم واالمتحانات والتوجيه
1
3
RS 22
الرياضيات
المادة
P3
مدة اإلنجاز a g e
شعبة العلوم التجريبية بمسالكها
الشعبة أو المسلك
المعامل
7
3
تعليمات عامة
يسمح باستعمال اآللة الحاسبة غير القابلة للبرمجة ؛ يمكن للمترشح إنجاز تمارين االمتحان حسب الترتيب الذي يناسبه ؛ -ينبغي تفادي استعمال اللون األحمر عند تحرير األجوبة .
مكونات الموضوع
يتكون الموضوع من أربعة تمارين و مسألة ،مستقلة فيما بينها ،وتتوزع حسب المجاالت كما يلي :التمرين األول
الهندسة الفضائية
3نقط
التمرين الثاني
حساب االحتماالت
3نقط
التمرين الثالث
األعداد العقدية
3نقط
التمرين الرابع
المتتاليات العددية
2.5نقط
المسألة
دراسة دالة عددية و حساب التكامل
8.5نقط
االمتحان الوطني الموحد للبكالوريا -الدورة االستدراكية – 2017الموضوع
-مادة :الرياضيات -شعبة العلوم التجريبية بمسالكها
الصفحة
RS 22
2
3
3
التمرين األول 3 ( :نقط )
الفضاء منسوب إلى معلم متعامد ممنظم مباشر O , i , j , k
نعتبر الفلكة ) ( Sالتي معادلتها x 2 y 2 z 2 2 x 2 y 2 z 1 0و المستوى ) ( Pالذي معادلته y z 0
0.5
0.5
0.5
)1أ -بين أن مركز الفلكة ) ( Sهو النقطة 1 , 1 , 1و شعاعها هو 2
ب -احسب d , P و استنتج أن المستوى ) ( Pيقطع الفلكة ) ( S
وفق دائرة C
ج -حدد مركز و شعاع الدائرة C
)2ليكن ) ( المستقيم المار من النقطة A 1 , 2 , 2و العمودي على المستوى ) ( P
0.25
0.75
0.5
أ -بين أن u 0 , 1 , 1متجهة موجهة للمستقيم ) (
ب -بين أن A u 2 u
و استنتج أن المستقيم ) ( يقطع الفلكة ) ( Sفي نقطتين.
ج -حدد مثلوث إحداثيات كل نقطة من نقطتي تقاطع المستقيم ) ( و الفلكة ) ( S
التمرين الثاني 3 ( :نقط )
يحتوي صندوق على 10كرات ال يمكن التمييز بينها باللمس :
خمس كرات بيضاء و ثالث كرات حمراء و كرتان خضراوان (انظر الشكل جانبه).
نسحب عشوائيا و في آن واحد أربع كرات من الصندوق.
1.5
)1نعتبر الحدث " : Aمن بين الكرات األربع المسحوبة توجد كرة خضراء واحدة فقط
B
B
B
R
R
V
B
B
R
V
".
و الحدث " : Bمن بين الكرات األربع المسحوبة توجد بالضبط ثالث كرات من نفس اللون
8
بين أن
15
)2ليكن Xالمتغير العشوائي الذي يربط كل سحبة بعدد الكرات الخضراء المسحوبة.
2
p ( X 2)
أ -بين أن
15
p ( A)
0.5
1
0.75
وأن
19
70
".
p( B)
4
ب -حدد قانون احتمال المتغير العشوائي Xو بين أن األمل الرياضي E X يساوي
5
التمرين الثالث 3 ( :نقط )
)1حل في مجموعة األعداد العقدية
المعادلة z 4 z 8 0
2
)2نعتبر ،في المستوى العقدي المنسوب إلى معلم متعامد ممنظم مباشر ، O , u , v النقط Aو Bو Cاللتي ألحاقها
على التوالي هي aو bو cبحيث a 2 2 iو b 4 4 iو
0.5
0.75
أ -ليكن zلحق نقطة Mمن المستوى و z لحق النقطة M صورة Mبالدوران Rالذي مركزه Aو زاويته
2
بين أن z i z 4
ب -تحقق من أن النقطة Bهي صورة النقطة Cبالدوران Rو استنتج طبيعة المثلث ABC
)3ليكن لحق النقطة منتصف القطعة
0.5
0.5
c 4 8i
BC
أ -بين أن c 6
ب -بين أن مجموعة النقط Mذات اللحق zبحيث z 6هي الدائرة المحيطة بالمثلث ABC
االمتحان الوطني الموحد للبكالوريا -الدورة االستدراكية – 2017الموضوع
-مادة :الرياضيات -شعبة العلوم التجريبية بمسالكها
RS 22
الصفحة
3
التمرين الرابع 2.5 ( :نقط )
نعتبر المتتالية العددية un المعرفة بما يلي :
0.5
0.5
u0 17
1
un 12
4
و
3
3
un 1 لكل nمن IN
)1أ -بين بالترجع أن un 16لكل nمن IN
ب -بين أن المتتالية un تناقصية و استنتج أن المتتالية un متقاربة.
)2لتكن vn المتتالية العددية بحيث vn un 16لكل nمن IN
0.5
أ -بين أن vn متتالية هندسية.
n
0.5
0.5
1
ب -استنتج أن un 16 لكل nمن IN
4
ج -حدد أصغر قيمة للعدد الصحيح الطبيعي nالتي يكون من أجلها un 16, 0001
ثم حدد نهاية المتتالية un
المسألة 8.5 ( :نقط )
)Iلتكن gالدالة العددية المعرفة على IRبما يلي :
y
1
g ( x) 1 ( x 1) e x
)1تحقق من أن g ( 0 ) 0
2
0.25
1
)2انطالقا من التمثيل المبياني Cg للدالة ( gانظر الشكل جانبه)
بين أن
وأن
2 x
0
1
C
g ( x) 0لكل xمن ,0
g ( x) 0لكل xمن 0 ,
g
-1
-3
-2
-4
-1
-2
)IIنعتبر الدالة العددية fالمعرفة على IRبما يلي f ( x) x 1 x 2 1 e x :
و ليكن C f المنحنى الممثل للدالة f
في معلم متعامد ممنظم O , i , j
( الوحدة ) 2 cm :
2
0.75
0.5
0.25
0.5
0.25
0.75
x x
)1أ -تحقق من أن f ( x) x 1 4 e 2 e xلكل
2
xمن IRثم استنتج أن lim f ( x)
x
ب -احسب lim f ( x) x 1 واستنتج أن المستقيم D ذا المعادلة y x 1مقارب للمنحنى C f بجوار
x
ج -بين أن المنحنى C f يوجد تحت المستقيم D
)2أ -بين أن ( lim f ( x) يمكنك كتابة )f ( x
x
1
على الشكل x e x
x
1
) x 1
x
ب -بين أن المنحنى C f يقبل بجوار ، فرعا شلجميا يتم تحديد اتجاهه.
)3أ -بين أن ) f ( x) g ( xلكل xمن IR
0.75
ب -بين أن الدالة fتزايدية على , 0و تناقصية على 0, ثم ضع جدول تغيرات الدالة fعلى IR
0.75
ج -بين أن المنحنى C f يقبل نقطتي انعطاف أفصوالهما 3و 1
1
0. 5
0.75
0.5
)4أنشئ ،في نفس المعلم ، O , i , jالمستقيم D و المنحنى ( C f نأخذ f 3 2,5و ) f 1 0,75
)5أ -تحقق من أن x 1 ex
H : xهي دالة أصلية للدالة xe x
2
ب -باستعمال مكاملة باألجزاء ،بين أن 1 e x dx 3 1
e
2
h : xعلى IRثم بين أن 1
e
2
x
0
1
x e x dx
1
ج -احسب ،ب ، cm 2مساحة حيز المستوى المحصور بين المنحنى C f و المستقيم D
و المستقيم الذي معادلته x 1
0
و محور األراتيب
م
ا
ا
نا ط
ا
2017
را
ﺘﺼﺤﻴﺢ اﻝﺘﻤرﻴن اﻷول
(1أ -ﻝدﻴﻨﺎ :
) M ( x , y , z ) ∈ (S
⇔ x 2 + y 2 + z 2 − 2x − 2 y − 2 z − 1 = 0
⇔ x 2 − 2x + y 2 − 2 y + z 2 − 2 z = 1
2
)⇔ x 2 − 2 (1) x + (1) + y 2 − 2 (1) y + (1) + z 2 − 2 (1) z + (1) = 1 + (1) + (1) + (1
2
2
2
2
2
⇔ ( x − 1) + ( y − 1) + ( z − 1) = 4
2
2
2
2
) ⇔ ( x − (1) ) + ( y − (1) ) + ( z − (1) ) = ( 2
2
2
2
إذن ) ( Sﻫﻲ اﻝﻔﻠﻜﺔ اﻝﺘﻲ ﻤرﻜزﻫﺎ ) Ω (1,1,1و ﺸﻌﺎﻋﻬﺎ R = 2
ب-
)(1) − (1
=0
2
2
2
)( 0 ) + (1) + (1
ﺒﻤﺎ أن d ( Ω, ( P ) ) < Rﻓﺈن ) ( Pﻴﻘطﻊ اﻝﻔﻠﻜﺔ ) (Sوﻓق داﺌرة ) (C
= ) ) d ( Ω, ( P
ج -ﺒﻤﺎ أن d ( Ω, ( P ) ) = 0ﻓﺈن ) ( Pﻴﻘطﻊ اﻝﻔﻠﻜﺔ ) ( Sوﻓق داﺌرة ) ) (Cاﻝداﺌرة اﻝﻜﺒرى (
و ﻤﻨﻪ ﻤرﻜز اﻝداﺌرة ) (Cﻫو اﻝﻨﻘطﺔ ) Ω (1,1,1و ﺸﻌﺎﻋﻬﺎ ﻫو . 2
) ﻤرﻜز اﻝداﺌرة ﻫو اﻝﻤﺴﻘط اﻝﻌﻤودي ﻝﻤرﻜز اﻝﻔﻠﻜﺔ ﻋﻠﻰ اﻝﻤﺴﺘوى ) ( Pأي ﻓﻲ ﻫذﻩ اﻝﺤﺎﻝﺔ ﻫو اﻝﻨﻘطﺔ Ω
و ﺸﻌﺎﻋﻬﺎ ( r = R 2 − d 2 ( Ω, ( P ) ) = 22 − 02 = 2
(2أ -ﻝدﻴﻨﺎ y − z = 0ﻫﻲ ﻤﻌﺎدﻝﺔ دﻴﻜﺎرﺘﻴﺔ ﻝﻠﻤﺴﺘوى ) ( Pإذن ) u ( 0,1, −1ﻫﻲ ﻤﺘﺠﻬﺔ ﻤﻨظﻤﻴﺔ ﻝﻠﻤﺴﺘوى
و ﺒﻤﺎ أن ) ( ∆ ) ⊥ ( Pﻓﺈن ) u ( 0,1, −1ﻤﺘﺠﻬﺔ ﻤوﺠﻬﺔ ﻝﻠﻤﺴﺘﻘﻴم
) (P
)∆(
ب-
ﻝدﻴﻨﺎ u ( 0,1, −1) :و )ΩA ( 0, −3,1
إذن k = 2.i
0
0
−3 1
j+
0
0
1 −1
i −
1
−3
−1
1
= ΩA ∧ u
و ﻤﻨﻪ ΩA ∧ u = 2
5/17
ا
ا
م
نا ط
ا
2017
را
و ﻝدﻴﻨﺎ = 2 :
2
)( 0 ) + (1) + ( −1
2
2
= u
و ﺒﺎﻝﺘﺎﻝﻲ ΩA ∧ u = 2 u :
ﻝدﻴﻨﺎ = 2 :
ΩA ∧ u
u
= ) ) ∆ ( d ( Ω,
إذن ﺒﻤﺎ أن d ( Ω, ( ∆ ) ) < Rﻓﺈن اﻝﻤﺴﺘﻘﻴم ) ∆ ( ﻴﻘطﻊ اﻝﻔﻠﻜﺔ ) ( Sﻓﻲ ﻨﻘطﺘﻴن
ج -ﺘﻤﺜﻴل ﺒﺎرﻤﺘري ﻝﻠﻤﺴﺘﻘﻴم ) ∆ ( ﻫو :
) (t ∈ ℝ
x =1
y = −2 + t
z = 2 −t
ﻝﻨﺤدد ﻤﺜﻠوث إﺤداﺜﻴﺎت ﻜل ﻨﻘطﺔ ﻤن ﻨﻘطﺘﻲ ﺘﻘﺎطﻊ اﻝﻤﺴﺘﻘﻴم ) ∆ ( و اﻝﻔﻠﻜﺔ
) (t ∈ ℝ
x =1
y = −2 + t
⇔
z = 2 −t
( x − 1)2 + ( y − 1)2 + ( z − 1)2 = 22
) (S
) M ( x , y , z ) ∈ ( ∆ ) ∩ (S
ﺒﻌد اﻝﺘﻌوﻴض ﻨﺤﺼل ﻋﻠﻰ اﻝﻤﻌﺎدﻝﺔ t 2 − 4t + 3 = 0
ﻝدﻴﻨﺎ ∆ = 4 :
إذن t = 3 :أو t = 1
x =1
y = −2 + 1 = −1 : t = 1
z = 2 −1 = 1
x =1
y = −2 + 3 = 1 : t = 3
z = 2 − 3 = −1
6/17
م
ا
ا
نا ط
ا
را
2017
ﺘﺼﺤﻴﺢ اﻝﺘﻤرﻴن اﻝﺜﺎﻨﻲ
اﻝﺘﺠرﺒﺔ " ﺴﺤب ﻓﻲ آن واﺤد أرﺒﻊ ﻜرات ﻤن اﻝﺼﻨدوق "
ﻝﻴﻜن Ωﻜون إﻤﻜﺎﻨﻴﺎت ﻫذﻩ اﻝﺘﺠرﺒﺔ
ﻝدﻴﻨﺎ card Ω = C 104 = 210 :
(1
" : Aﻤن ﺒﻴن اﻝﻜرات اﻷرﺒﻊ اﻝﻤﺴﺤوﺒﺔ ﺘوﺠد ﻜرة ﺨﻀراء واﺤدة ﻓﻘط "
VVVV
ﻝدﻴﻨﺎ cardA = C 21 × C 83 = 2 × 56 = 112 :
cardA 112 8
إذن :
=
=
card Ω 210 15
= ) p (A
" : Bﻤن ﺒﻴن اﻝﻜرات اﻷرﺒﻊ اﻝﻤﺴﺤوﺒﺔ ﺘوﺠد ﺒﺎﻝﻀﺒط ﺜﻼث ﻜرات ﻤن ﻨﻔس اﻝﻠون "
BBB B
أو
RRR R
ﻝدﻴﻨﺎ cardB = C 33 × C 71 + C 53 ×C 51 = 1× 7 + 10 × 5 = 57 :
cardB
57 19
إذن :
=
=
card Ω 210 70
= ) p (B
(2ﻝﻴﻜن Xاﻝﻤﺘﻐﻴر اﻝﻌﺸواﺌﻲ اﻝذي ﻴرﺒط ﻜل ﺴﺤﺒﺔ ﺒﻌدد اﻝﻜرات اﻝﺨﻀراء اﻝﻤﺴﺤوﺒﺔ .
X = 2 → VV V V
أ-
C 22 × C 82 1× 28 2
=
=
210
210 15
= )p ( X = 2
ب-
X =0 → VVVV
C 84
70 1
=
=
210 210 3
= )p ( X = 0
X =1 → V V V V
8
15
= ) p ( X = 1) = p ( A
7/17
ا
ا
م
نا ط
ا
را
2
15
2017
= )p ( X = 2
ﻗﺎﻨون اﺤﺘﻤﺎل : X
2
2
15
1
8
15
0
1
3
xi
) p (X = x i
اﻷﻤل اﻝرﻴﺎﻀﻲ :
2 12 4
1 8
= = E ( X ) = 0 × + 1× + 2 ×
3 15 15 15 5
ﺘﺼﺤﻴﺢ اﻝﺘﻤرﻴن اﻝﺜﺎﻝث
(1ﻝﻨﺤل ﻓﻲ ℂاﻝﻤﻌﺎدﻝﺔ z 2 + 4z + 8 = 0
ﻝدﻴﻨﺎ ∆ = ( 4 ) − 4 (1)( 8) = 16 − 32 = −16 :
2
ﺒﻤﺎ أن ∆ < 0ﻓﺈن اﻝﻤﻌﺎدﻝﺔ ﺘﻘﺒل ﺤﻠﻴن ﻋﻘدﻴﻴن
−4 + i 16 −4 + 4i
=
= −2 + 2i
)2 (1
2
−4 − i 16 −4 − 4i
=
= −2 − 2i
)2 (1
2
= z
أو
= z
إذن S = {−2 − 2i , −2 + 2i } :
8/17
ا
ا
م
نا ط
ا
را
2017
(2أ-
−π
i
2
z ′−a =e
)(z − a
) ) z ′ − ( −2 + 2i ) = −i ( z − ( −2 + 2i
) z ′ + 2 − 2i = −i ( z + 2 − 2i
z ′ + 2 − 2i = −iz − 2i − 2
z ′ = −iz − 2i − 2 − 2 + 2i
z ′ = −iz − 4
ب-
ﻝدﻴﻨﺎ :
−ic − 4 = −i ( 4 + 8i ) − 4
= −4i + 8 − 4
= 4 − 4i
=b
إذن B :ﻫﻲ ﺼورة اﻝﻨﻘطﺔ Cﺒﺎﻝدوران R
AC = AB
ﻝدﻴﻨﺎ R (C ) = Bإذن
−π
] AC , AB ≡ 2 [ 2π
)
(
و ﻤﻨﻪ اﻝﻤﺜﻠث A BCﻤﺘﺴﺎوي اﻝﺴﺎﻗﺴن و ﻗﺎﺌم اﻝزاوﻴﺔ ﻓﻲ . A
(3أ -ﻝدﻴﻨﺎ Ωﻤﻨﺘﺼف اﻝﻘطﻌﺔ
] [ BC
b + c 4 − 4i + 4 + 8i 8 + 4i
=
=
إذن = 4 + 2i :
2
2
2
=ω
و ﻤﻨﻪ c − ω = ( 4 + 8i ) − ( 4 + 2i ) = 6i = 6 :
ب -ﻝﻨﺤدد ﻤﺠﻤوﻋﺔ اﻝﻨﻘط Mذات اﻝﻠﺤق zﺒﺤﻴث z − ω = 6
z − ω = 6 ⇔ ΩM = 6
إذن ﻤﺠﻤوﻋﺔ اﻝﻨﻘط Mﻫﻲ اﻝداﺌرة اﻝﺘﻲ ﻤرﻜزﻫﺎ Ωو ﺸﻌﺎﻋﻬﺎ 6
و ﻝدﻴﻨﺎ Ωﻤﻨﺘﺼف اﻝﻘطﻌﺔ ] [ BCو c − ω = 6إذن ΩC = ΩB
9/17
ا
ا
م
نا ط
ا
را
2017
و ﻤن اﻝواﻀﺢ أن a − ω = −2 + 2i − 4 − 2i = −6 = 6إذن ΩA = ΩC = ΩB
و ﺒﺎﻝﺘﺎﻝﻲ :ﻤﺠﻤوﻋﺔ اﻝﻨﻘط Mﻫﻲ اﻝداﺌرة اﻝﻤﺤﻴطﺔ ﺒﺎﻝﻤﺜﻠث ABC
ﺘﺼﺤﻴﺢ اﻝﺘﻤرﻴن اﻝراﺒﻊ
(1أ-
ﻤن أﺠل : n = 0
ﻝدﻴﻨﺎ u 0 = 17
إذن u 0 > 16
ﻝﻴﻜن : n ∈ ℕ
ﻨﻔﺘرض أن u n > 16
و ﻨﺒﻴن أن u n +1 > 16؟
ﺤﺴب اﻹﻓﺘراض ﻝدﻴﻨﺎ u n > 16 :
1
إذن u n > 4 :
4
1
إذن u n + 12 > 4 + 12 :
4
و ﻤﻨﻪ u n +1 > 16 :
ﻨﺴﺘﻨﺘﺞ أن u n > 16 :
ﻝﻜل nﻤن ℕ
ب-
ﻝﻴﻜن : n ∈ ℕ
1
−3
−3
1
ﻝدﻴﻨﺎ u n +1 − u n = u n + 12 − u n = − 1u n + 12 = u n + 12 = (u n − 16 ) :
4
4
4
4
−3
ﺤﺴب ﻨﺘﻴﺠﺔ اﻝﺴؤال (1أ -ﻝدﻴﻨﺎ u n > 16 :إذن u n − 16 > 0إذن (u n − 16 ) < 0
4
و ﻤﻨﻪ u n +1 − u n < 0ﻝﻜل nﻤن ℕ
10/17
ا
ا
م
نا ط
را
ا
2017
وﺒﺎﻝﺘﺎﻝﻲ ) (u nﺘﻨﺎﻗﺼﻴﺔ.
ﺒﻤﺎ أن ) (u nﺘﻨﺎﻗﺼﻴﺔ و ﻤﺼﻐورة ﻓﺈن ) (u nﻤﺘﻘﺎرﺒﺔ .
(2أ -ﻝﻴﻜن : n ∈ ℕ
1
1
1
1
ﻝدﻴﻨﺎ v n +1 = u n +1 − 16 = u n + 12 − 16 = u n − 4 = (u n − 16 ) = v n :
4
4
4
4
1
إذن v n +1 = v n :ﻝﻜل nﻤن ℕ
4
1
و ﻤﻨﻪ اﻝﻤﺘﺘﺎﻝﻴﺔ ) (v nﻫﻨدﺴﻴﺔ أﺴﺎﺴﻬﺎ = qو ﺤدﻫﺎ اﻷول v 0 = u 0 − 16 = 17 − 16 = 1 :
4
ب -ﻝﻴﻜن : n ∈ ℕ
n
n
1 1
ﻝدﻴﻨﺎ v n = v 0 × q n :إذن v n = 1× = :
4 4
وﻝدﻴﻨﺎ v n = u n − 16 :إذن u n = 16 + v n :
n
1
و ﻤﻨﻪ u n = 16 + :ﻝﻜل nﻤن ℕ
4
ج-
n
1
⇔ 16 + < 16,0001
4
u n < 16,0001
n
1
⇔ < 0,0001
4
1 n
)⇔ ln < ln ( 0,0001
4
1
)⇔ n .ln < ln ( 0,0001
4
)ln ( 0,0001
>⇔n
1
ln
4
إذن :أﺼﻐر ﻗﻴﻤﺔ ﻝﻠﻌدد اﻝﺼﺤﻴﺢ اﻝطﺒﻴﻌﻲ nاﻝﺘﻲ ﻴﻜون ﻤن أﺠﻠﻬﺎ u n < 16,0001ﻫﻲ n = 7 :
11/17
م
2017
را
ا
ا
ا
نا ط
ﺘﺼﺤﻴﺢ اﻝﻤﺴﺄﻝﺔ
.I
g ( 0 ) = 1 − ( 0 + 1) e 0 = 1 − 1×1 = 0 (1
2
: ( ﻤﺒﻴﺎﻨﻴﺎ2
g ( x ) ≥ 0 : ( ﻴوﺠد ﻓوق ﻤﺤور اﻷﻓﺎﺼﻴل إذنC g ) ﻝدﻴﻨﺎ: ]−∞,0] ﻋﻠﻰ اﻝﻤﺠﺎل
g ( x ) ≤ 0 : ( ﻴوﺠد ﺘﺤت ﻤﺤور اﻷﻓﺎﺼﻴل إذنC g ) ﻝدﻴﻨﺎ: [ 0,+∞[ و ﻋﻠﻰ اﻝﻤﺠﺎل
.II
-( أ1
: x ∈ ℝ ﻝﻴﻜن
2
2
x x
x2 x
f ( x ) = x + 1 − ( x + 1)e = x + 1 − x e − e = x + 1 − 4 × e 2 − e x = x + 1 − 4 e 2 − e x
4
2
2
x
2 x
x
2
x x
ℝ ﻤنx ﻝﻜلf ( x ) = x + 1 − 4 e 2 − e x : إذن
2
2
x x2
lim f ( x ) = lim x + 1 − 4 e − e x = −∞
x →−∞
x →−∞
2
lim x + 1 = −∞
x →−∞
x x2
e = 0 : ﻷن
xlim
→−∞ 2
x
lim e = 0
x →−∞
-ب
2
x x2
lim f ( x ) − ( x + 1) = lim − 4 e − e x = 0 : ﻝدﻴﻨﺎ
x →−∞
x →−∞
2
12/17
ا
ا
م
نا ط
ا
2017
را
x x2
e =0
xlim
ﻷن :
→−∞ 2
x
lim e = 0
∞ x →−
ﺒﻤﺎ أن lim f ( x ) − ( x + 1) = 0 :ﻓﺈن اﻝﻤﺴﺘﻘﻴم ) ( Dذا اﻝﻤﻌﺎدﻝﺔ y = x + 1ﻤﻘﺎرب
∞x →−
ﻝﻠﻤﻨﺤﻨﻰ
)
(C fﺒﺠوار ∞−
ج -ﻝدﻴﻨﺎ f ( x ) = x + 1 − ( x 2 + 1)e x :ﻝﻜل xﻤن ℝ
إذن f ( x ) − ( x + 1) = − ( x 2 + 1)e x :ﻝﻜل xﻤن ℝ
و ﻤﻨﻪ f ( x ) − ( x + 1) < 0 :ﻝﻜل xﻤن ℝ
و ﺒﺎﻝﺘﺎﻝﻲ :اﻝﻤﻨﺤﻨﻰ
)
(C fﻴوﺠد ﺘﺤت اﻝﻤﺴﺘﻘﻴم
) (D
1
1
(2أ -ﻝدﻴﻨﺎ lim f ( x ) = lim x 1 + − x + e x = −∞ :
∞x →+
∞x →+
x
x
∞lim x = +
∞x →+
1
lim
1
+
=1
∞x →+
x
∞ lim − x + 1 = −
x →+∞
x
x
∞lim e = +
∞x →+
ﻷن :
ب -ﻝدﻴﻨﺎ lim f ( x ) = −∞ :
∞x →+
) f (x
1
1
و ∞= lim 1 + − x + e x = −
∞x →+
∞x →+
x
x
x
lim
إذن اﻝﻤﻨﺤﻨﻰ
)
(C fﻴﻘﺒل ﺒﺠوار ∞ ، +ﻓرﻋﺎ ﺸﻠﺠﻤﻴﺎ ﻓﻲ اﺘﺠﺎﻩ ﻤﺤور اﻷراﺘﻴب .
13/17
ا
ا
م
نا ط
ا
2017
را
(3أ -اﻝداﻝﺔ fﻗﺎﺒﻠﺔ ﻝﻼﺸﺘﻘﺎق ﻋﻠﻰ . ℝ
ﻝﻴﻜن : x ∈ ℝ
)′
(
= x + 1 − ( x 2 + 1)e x
) f ′( x
= 1 − ( x 2 + 1)′ e x + ( x 2 + 1)(e x )′
)
(
= 1 − 2xe x + ( x 2 + 1)e x
= 1 − ( x 2 + 2x + 1)e x
= 1 − ( x + 1) e x
2
) = g (x
إذن f ′ ( x ) = g ( x ) :ﻝﻜل xﻤن ℝ
ب -ﻝدﻴﻨﺎ f ′ ( x ) = g ( x ) :ﻝﻜل xﻤن ℝ
ﻋﻠﻰ اﻝﻤﺠﺎل ] g ( x ) ≥ 0 : ]−∞,0إذن f ′ ( x ) ≥ 0
و ﻤﻨﻪ fﺘزاﻴدﻴﺔ
ﻋﻠﻰ اﻝﻤﺠﺎل [∞ g ( x ) ≤ 0 : [ 0, +إذن f ′ ( x ) ≤ 0 :و ﻤﻨﻪ fﺘﻨﺎﻗﺼﻴﺔ
ﺠدول ﺘﻐﻴرات اﻝداﻝﺔ : f
ج -اﻝداﻝﺔ f ′ﻗﺎﺒﻠﺔ ﻝﻼﺸﺘﻘﺎق ﻋﻠﻰ ℝ
ﻝﻴﻜن : x ∈ ℝ
14/17
ا
ا
م
نا ط
ا
را
2017
) = ( f ′ )′ ( x
) = g ′( x
)′
) f ′′ ( x
(
= 1 − ( x + 1) e x
2
(
)
= − ( 2 ( x + 1)e
2 ′
2
= 0 − ( x + 1) e x + ( x + 1) (e x )′
)
+ ( x + 1) e x
2
x
)= − ( x + 1)e x ( 2 + x + 1
= − ( x + 1)( x + 3)e x
ﻝدﻴﻨﺎ e x > 0 :إذن إﺸﺎرة ) f ′′ ( xﻫﻲ إﺸﺎرة )− ( x + 1)( x + 3
ﺒﻤﺎ أن f ′′ﺘﻨﻌدم و ﺘﻐﻴر إﺸﺎرﺘﻬﺎ ﻋﻨد اﻝﻌددﻴن −3و −1ﻓﺈن اﻝﻤﻨﺤﻨﻰ
)
(C fﻴﻘﺒل ﻨﻘطﺘﻲ اﻨﻌطﺎف أﻓﺼوﻻﻫﻤﺎ −3
و −1
(4
y
2 x
1
0
-1
-2
-3
-4
-5
-1
-2
-3
(D):y=x+1
-4
-5
-6
-7
-8
-9
15/17
ا
ا
م
نا ط
ا
را
2017
(5أ-
اﻝداﻝﺔ Hﻗﺎﺒﻠﺔ ﻝﻼﺸﺘﻘﺎق ﻋﻠﻰ ℝ
ﻝﻴﻜن : x ∈ ℝ
H ′ ( x ) = ( ( x − 1)e x )′ = ( x − 1)′ e x + ( x − 1) (e x )′ = 1.e x + ( x − 1)e x = xe x
إذن ﻝﻜل xﻤن H ′ ( x ) = h ( x ) : ℝ
2
x
x 0
= ( −1) − ( −2e −1 ) = − 1
xe
dx
=
x
−
1
e
(
)
∫−1
−1
e
0
ب-
2
u ′ ( x ) = 2x
u ( x ) = x + 1
ց
↓
x
x
v
x
=
e
(
)
v ′ ( x ) = e
= ( x 2 + 1)e x − ∫ 2xe x dx
0
0
−1
−1
+ 1)e x dx
2
∫ (x
0
−1
0
= 1 − 2e −1 − 2 ∫ xe x dx
−1
2
2
= 1 − − 2 − 1
e
e
2 4
=1− − + 2
e e
6
= 3−
e
2
= 31 −
e
ج -ﻤﺴﺎﺤﺔ اﻝﺤﻴز اﻝﻤﺴﺘوى اﻝﻤﺤﺼور ﺒﻴن اﻝﻤﻨﺤﻨﻰ
)
(C fو اﻝﻤﺴﺘﻘﻴم ) ( Dو ﻤﺤور اﻷراﺘﻴب و اﻝﻤﺴﺘﻘﻴم اﻝذي ﻤﻌﺎدﻝﺘﻪ
x = −1
16/17
م
2017
A
را
ا
نا ط
ا
ا
= ∫ f ( x ) − ( x + 1) dx × i × j
0
−1
=∫
0
−1
( ( x + 1) − f ( x ) )dx × 2cm × 2cm
=∫
0
−1
(x
2
+ 1)e x dx × 4cm 2
2
= 3 1 − × 4cm 2
e
2
= 12 1 − .cm 2
e
つづく
17/17