Les vecteurs
Les matrices
Multiplication matricielle
Type de matrices
Propriétés
Les vecteurs
Les matrices
Multiplication matricielle
Type de matrices
Propriétés
Les vecteurs
Matrices
Vincent Nozick
Un vecteur (colonne) : x =
x1
x2
..
.
xn
Vincent Nozick
Les vecteurs
Matrices
Les matrices
1 / 47
Multiplication matricielle
Type de matrices
Propriétés
Vecteurs et transposé
x=
x1
x2
..
.
Les vecteurs
Matrices
Les matrices
x> =
x1 x2 · · ·
xn
x=
x1
x2
..
.
xn
x1
x2
..
.
Multiplication matricielle
Type de matrices
Propriétés
Autrement dit:
2 / 47
Addition de vecteurs
xn
y=
y1
y2
..
.
x+y =
x 1 + y1
x 2 + y2
..
.
x n + yn
yn
=
x1 x2 · · ·
xn
>
Conditions : x et y sont de même dimension.
xn
Vincent Nozick
Vincent Nozick
Matrices
3 / 47
Vincent Nozick
Matrices
4 / 47
Les vecteurs
Les matrices
Multiplication matricielle
Type de matrices
Propriétés
Produit scalaire
Les vecteurs
Les matrices
Multiplication matricielle
Type de matrices
Propriétés
Produit scalaire
Propriété géométrique :
x=
x1
x2
..
.
y=
y1
y2
..
.
yn
xn
produit scalaire :
x> · y = x
P1 y1 + x2 y2 + · · · + xn yn
= ni=1 xi yi
Le produit scalaire est l’intensité (signée) de la projection d’un vecteur
sur un autre.
Conditions : x et y sont de même dimension.
Vincent Nozick
Les vecteurs
Matrices
Les matrices
Multiplication matricielle
5 / 47
Type de matrices
Propriétés
Produit scalaire
Vincent Nozick
Les vecteurs
Matrices
Les matrices
6 / 47
Multiplication matricielle
Type de matrices
Propriétés
Produit vectoriel
Propriété géométrique :
x1
x = x2
x3
u · v = kukkvk cos α
où α est l’angle entre u et v (valable pour toutes dimensions).
y1
y = y2
y3
x 2 y3 − x 3 y2
z = x × y = x 3 y1 − x 1 y3
x 1 y2 − x 2 y1
Applications géométriques :
→ trouver l’angle entre 2 vecteurs : α = ± cos−1
→ trouver la projection de u sur v : projv (u) =
Vincent Nozick
Matrices
u·v
kukkvk
!
u·v v
·
kvk kvk
Conditions : défini uniquement en dimension 3.
7 / 47
Vincent Nozick
Matrices
8 / 47
Les vecteurs
Les matrices
Multiplication matricielle
Type de matrices
Propriétés
Norme de vecteurs
Les vecteurs
Les matrices
Multiplication matricielle
Type de matrices
Propriétés
Les matrices
Propriétés :
• kxk > 0 ssi x 6= 0
kxk = 0 ssi x = 0
et
• kkxk = |k|.kxk
• kx + yk ≤ kxk + kyk
Norme L1 :
kxk1 =
Pn
Norme L2 :
kxk2 =
p
x21 + ... + x2n
Norme Lp :
kxkp =
P
Norme L∞ :
kxk∞ = max |x1 |, ..., |xn |
i=1 |xi |
n
p
i=1 |xi |
Vincent Nozick
Les vecteurs
(norme de Manhattan)
(norme euclidienne)
1
p
Matrices
Les matrices
m11 m12 m13
Une matrice : M = m21 m22 m23
m31 m32 m33
Multiplication matricielle
9 / 47
Type de matrices
Propriétés
Les matrices
Vincent Nozick
Les vecteurs
Les matrices
10 / 47
Multiplication matricielle
Type de matrices
Propriétés
Addition matricielle
Élément d’une matrice : Mij
m11 m12 m13
M = m21 m22 m23
m31 m32 m33
{z
}
|
m11 m12 m13
M = m21 m22 m23
m31 m32 m33
n11 n12 n13
N = n21 n22 n23
n31 n32 n33
m11 + n11 m12 + n12 m13 + n13
A = M + N = m21 + n21 m22 + n22 m23 + n23
m31 + n31 m32 + n32 m33 + n33
i : lignes
j : colonnes
Matrices
i
j
Vincent Nozick
Matrices
Aij = Mij + Nij
11 / 47
Vincent Nozick
Matrices
→ O(n2 )
12 / 47
Les vecteurs
Les matrices
Multiplication matricielle
Type de matrices
Propriétés
Multiplication matrice-vecteur
Les vecteurs
Les matrices
Multiplication matricielle
m11 m12 m13
x1
= m21 m22 m23 x2
m31 m32 m33
x3
y> = x> M
m
m
m
11
12
13
x3 m21 m22 m23
m31 m32 m33
m>
→ produit scalaire
1• x
>
→ produit scalaire
m2• x
Mx =
→ produit scalaire
m>
x
3•
>
x> m•1
→ produit scalaire
>
>
→ produit scalaire
x m•2
x M=
→ produit scalaire
x> m•3
eme ligne de M
où m>
i• correspond à la i
Les vecteurs
où m•j correspond à la j eme colonne de M
Matrices
Les matrices
13 / 47
Multiplication matricielle
x1 x2
=
>
m11 x1 + m21 x2 + m31 x3
= m12 x1 + m22 x2 + m32 x3
m13 x1 + m23 x2 + m33 x3
m11 x1 + m12 x2 + m13 x3
= m21 x1 + m22 x2 + m23 x3
m31 x1 + m32 x2 + m33 x3
Vincent Nozick
Propriétés
Multiplication vecteur-matrice
y = Mx
Type de matrices
Type de matrices
Propriétés
Produit extérieur
Vincent Nozick
Les vecteurs
Matrices
Les matrices
Multiplication matricielle
14 / 47
Type de matrices
Propriétés
Multiplication matricielle
Produit scalaire : x> y = u
Produit externe :
x1
x2
..
.
xn
xy>
=A
A = MN
y1 , y2 , · · · , ym =
···
···
..
.
x 1 ym
x 2 ym
..
.
xn y1 xn y2 · · ·
x n ym
x1 y1
x2 y1
..
.
x 1 y2
x 2 y2
..
.
>
>
m>
1• n•1 m1• n•2 m1• n•3
>
>
= m>
2• n•1 m2• n•2 m2• n•3
>
>
>
m3• n•1 m3• n•2 m3• n•3
eme ligne de M
où m>
i• correspond à la i
eme
et n•j correspond à la j
colonne de N
Aij = xi yj
Vincent Nozick
Matrices
m11 m12 m13
n11 n12 n13
= m21 m22 m23 n21 n22 n23
m31 m32 m33
n31 n32 n33
15 / 47
Vincent Nozick
Matrices
16 / 47
Les vecteurs
Les matrices
Multiplication matricielle
Type de matrices
Propriétés
Multiplication matricielle
Les vecteurs
Les matrices
Multiplication matricielle
Type de matrices
Propriétés
Strassen
Introduction :
• multiplication matricielle standard : O(n3 )
• avec la méthode de Strassen : O(nlog2 7 ) = O(n2.81 )
• méthode récursive.
• efficace seulement sur les grosses matrices.
Pour chacune des m × n case de A :
1 produit scalaire de l éléments.
complexité : O(lmn) ∼ O(n3 )
Vincent Nozick
Les vecteurs
Matrices
Les matrices
17 / 47
Multiplication matricielle
Type de matrices
Propriétés
Strassen
Vincent Nozick
Les vecteurs
Matrices
Les matrices
18 / 47
Multiplication matricielle
Type de matrices
Propriétés
Strassen
Méthode :
ae+bg
r
s
a
b
u
c
d
ce+dg
g
a
b
cf+dh
e
f
g
h
×
=
f
×
=
t
e
af+bh
c
d
h
8 produits de sous matrices
4 additions de sous matrices
Vincent Nozick
Matrices
19 / 47
Vincent Nozick
Matrices
20 / 47
Les vecteurs
Les matrices
Multiplication matricielle
Type de matrices
Propriétés
Strassen
s
af+bh
t
ce+dg
u
cf+dh
a
b
Multiplication matricielle
Type de matrices
Propriétés
f
×
c
d
définit :
= af − ah
= ah + bh
= ce + de
= dg − de
= ae + ah + de + dh
= bg + bh − dg − dh
= ae + af − ce − cf
Les vecteurs
e
=
Vincent Nozick
g
P1
P2
P3
P4
P5
P6
P7
h
tel que :
r = P5 + P4 − P2 + P6
s = P1 + P2
t = P3 + P4
u = P1 + P5 − P3 − P7
Matrices
Les matrices
Multiplication matricielle
21 / 47
Type de matrices
Propriétés
Strassen
P1
P2
P3
P4
P5
P6
P7
Les matrices
Strassen
r
ae+bg
on
P1
P2
P3
P4
P5
P6
P7
Les vecteurs
= a(f − h)
= (a + b)h
= (c + d)e
= d(g − e)
= (a + d)(e + h)
= (b − d)(g + h)
= (a − c)(e + f )
r = P5 +P4 −P2 +P6
s = P1 + P2
t = P3 + P4
u = P1 +P5 −P3 −P7
Vincent Nozick
= af − ah
= ah + bh
= ce + de
= dg − de
= ae + ah + de + dh
= bg + bh − dg − dh
= ae + af − ce − cf
Vincent Nozick
Les vecteurs
P1
P2
P3
P4
P5
P6
P7
= a(f − h)
= (a + b)h
= (c + d)e
= d(g − e)
= (a + d)(e + h)
= (b − d)(g + h)
= (a − c)(e + f )
Matrices
Les matrices
Multiplication matricielle
22 / 47
Type de matrices
Propriétés
Strassen
Remarques :
→ 7 produits de sous matrices
→ 18 additions de sous matrices
• efficace sur les grosses matrices, mais pas sur les petites.
• pas très stable numériquement.
ce qui comporte moins d’opérations que 8
produits de sous matrices 4 additions de
sous matrices
Matrices
• gestion spécifique de la mémoire.
23 / 47
Vincent Nozick
Matrices
24 / 47
Les vecteurs
Les matrices
Multiplication matricielle
Type de matrices
Propriétés
Vérification du produit matriciel
Les vecteurs
Les matrices
Type de matrices
Propriétés
Vérification du produit matriciel
Exemple :
Méthode :
Soit C = AB
Le produit de la matrice A avec le vecteur somme-des-lignes b de la
matrice B doit être égal au vecteur somme-des-lignes c de la matrice
C.
Ab = c
Si Ab 6= c, alors il y a une erreur de calcul.
La réciproque n’est pas forcément vraie.
Vincent Nozick
Les vecteurs
Multiplication matricielle
c=
Matrices
Les matrices
25 / 47
Multiplication matricielle
Type de matrices
Propriétés
Vérification du produit matriciel
2 + 15
4 + 22
2 15
4 22
=
Vincent Nozick
Les vecteurs
C = AB
1 3
2 3
=
2 4
0 4
17
26
b=
2+3
0+4
=
Matrices
Les matrices
Multiplication matricielle
5
4
26 / 47
Type de matrices
Propriétés
Différents types de matrices
Exemple :
c=
17
26
b=
Ab =
Vincent Nozick
17
26
=
17
26
1 3
2 4
5
4
=
17
26
5
4
• matrices carrées
• matrices triangulaires
• matrices diagonales
• matrices creuses
• ...
⇒ Le calcul est probablement exact
Matrices
27 / 47
Vincent Nozick
Matrices
28 / 47
Les vecteurs
Les matrices
Multiplication matricielle
Type de matrices
Propriétés
Matrices diagonales
Les vecteurs
···
···
···
..
.
0
0
0
..
.
···
mnn
U=
29 / 47
Multiplication matricielle
Type de matrices
Propriétés
Matrices triangulaire (inférieure)
L=
m11
m21
m31
..
.
Multiplication matricielle
Matrices
Les matrices
Les matrices
0
m22
m32
..
.
0
0
m33
..
.
···
0
···
..
.
mn1 mn2 mn3 · · ·
m11 m12 m13
0
m22 m23
0
0
m33
..
..
..
.
.
.
0
0
0
Vincent Nozick
Les vecteurs
Matrices
···
···
···
..
.
m1n
m2n
m3n
..
.
Propriétés
···
mnn
Matrices
Les matrices
Multiplication matricielle
30 / 47
Type de matrices
Propriétés
Matrice transposée
0
0
0
..
.
Soit M> la transposée de M, on a :
M>
ij = Mji
mnn
Remarque :
Vincent Nozick
Type de matrices
Matrices triangulaire (supérieure)
m11
0
0
0
m22
0
0
0
m33
..
..
..
.
.
.
0
0
0
Vincent Nozick
Les vecteurs
31 / 47
Vincent Nozick
(AB)> = B> A>
Matrices
32 / 47
Les vecteurs
Les matrices
Multiplication matricielle
Type de matrices
Propriétés
Matrice symétrique
Les vecteurs
Les matrices
∀i, j
Mij = −Mji
autrement dit : M = M>
(→ M est carrée)
Les vecteurs
33 / 47
Multiplication matricielle
Type de matrices
Propriétés
Matrice hermitienne
∀i, j
Vincent Nozick
Les vecteurs
Matrices
Les matrices
34 / 47
Multiplication matricielle
Type de matrices
Propriétés
Matrices identité
Mij = Mji
∀i, j
Id =
exemple : matrice Hamiltonienne en mécanique quantique
Vincent Nozick
Propriétés
autrement dit : M = −M>
(→ M est carrée et Mii = 0)
Matrices
Les matrices
Type de matrices
Matrice antisymétrique
Mij = Mji
Vincent Nozick
Multiplication matricielle
Matrices
35 / 47
Vincent Nozick
1 0 0 ···
0 1 0 ···
0 0 1 ···
.. .. .. . .
.
. . .
0 0 0 ···
0
0
0
..
.
1
→ matrice carrée
→ matrice diagonale
matrice : Id.M = M
vecteur : Id.x = x
matrice : M.Id = M
vecteur : x> .Id = x>
Matrices
36 / 47
Les vecteurs
Les matrices
Multiplication matricielle
Type de matrices
Propriétés
Matrice de permutation
P=
0
0
1
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
Les vecteurs
Les matrices
Multiplication matricielle
Type de matrices
Propriétés
Matrice inverse
Soit M une matrice carrée, on a :
→ un 1 par ligne
→ un 1 par colonne
→ 0 pour le reste
M−1 M = MM−1 = Id
Si M−1 n’existe pas, M est dite singulière,
sinon M est régulière.
P est une matrice orthogonale
P permute les éléments d’une matrice ou d’un vecteur
Vincent Nozick
Les vecteurs
Matrices
Les matrices
Multiplication matricielle
37 / 47
Type de matrices
Propriétés
Matrice inverse
Vincent Nozick
Les vecteurs
Matrices
Les matrices
Multiplication matricielle
38 / 47
Type de matrices
Propriétés
Matrice orthogonale
Propriétés :
−1
M−1
=M
>
−1
• M>
= M−1 = M−>
•
M−1 = M>
• (AB)−1 = B−1 A−1
exemple : une matrice de rotation
• [diag(mi )]−1 = [diag( m1 )]
i
Vincent Nozick
Matrices
39 / 47
Vincent Nozick
Matrices
40 / 47
Les vecteurs
Les matrices
Multiplication matricielle
Type de matrices
Propriétés
Produit vectoriel
Les vecteurs
Les matrices
Multiplication matricielle
Type de matrices
Propriétés
Matrice de Householder
Produit vectoriel :
>
v = v1 , v2 , v3
u2 v3 − u3 v2
z = u × v = u3 v1 − u1 v3
u1 v2 − u2 v1
u = u1 , u2 , u3
>
Hu = Idn − 2
uu>
kuk2
Forme matricielle :
→ matrice de réflexion par rapport à l’hyperplan de normale u.
0
−u3 u2
0
−u1
[u]× = u3
−u2 u1
0
avec
z = [u]× v
(produit matrice-vecteur)
Vincent Nozick
Matrices
Les vecteurs
Les matrices
41 / 47
Multiplication matricielle
Type de matrices
Propriétés
Matrice creuse
Vincent Nozick
Les vecteurs
Matrices
Les matrices
Multiplication matricielle
42 / 47
Type de matrices
Propriétés
Rang d’une matrice
Matrice qui contient beaucoup de 0.
M=
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
Vincent Nozick
1
0
0
0
0
0
2
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
6
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
5
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
7
0
0
0
0
0
0
0
0
0
4
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
2
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
4
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
6
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
6
0
0
0
0
3
0
0
Matrices
0
0
0
0
4
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
9
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
2
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
8
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
7
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
2
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
6
0
2
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
7
0
0
0
Définition :
Le rang d’une matrice est le nombre maximal de vecteurs lignes
(ou colonnes) linéairement indépendants.
43 / 47
Vincent Nozick
Matrices
44 / 47
Les vecteurs
Les matrices
Multiplication matricielle
Type de matrices
Propriétés
Rang d’une matrice
Les matrices
Multiplication matricielle
Type de matrices
Propriétés
Rang d’une matrice
Exemple :
Exemple :
1
0
1
1
1
0
1
1
0
1
1
2
Vincent Nozick
Les vecteurs
Les vecteurs
0
1
1
2
1
0
1
1
Matrices
Les matrices
45 / 47
Multiplication matricielle
Type de matrices
Propriétés
Rang d’une matrice
1
0
1
1
Vincent Nozick
Les vecteurs
0
1
1
2
0
1
1
2
⇒ rang 2
Matrices
Les matrices
Multiplication matricielle
45 / 47
Type de matrices
Propriétés
Trace d’une matrice
Exemple :
1
0
1
1
1
0
1
1
0
1
1
2
0
1
1
2
Définition :
⇒ rang 2
La trace d’une matrice carrée est la somme des éléments de sa
diagonale.
n
X
T r(M) =
aii
i=1
→ L3 = L1 + L2
→ L4 = L1 + 2L2
→ L1 et L2 sont indépendants
⇒ matrice de rang 2
Vincent Nozick
Matrices
45 / 47
Vincent Nozick
Matrices
46 / 47
Les vecteurs
Les matrices
Multiplication matricielle
Type de matrices
Propriétés
Noyau d’une matrice
Définition :
Le noyau (kernel / right null space) d’une matrice M est l’ensemble
des vecteurs x tels que :
Mx = 0
Vincent Nozick
Matrices
47 / 47