CC1-A1-corrige

UM HAS101X - Outils math´ematiques 1 2021-22
CC1 - PCSI Chimie Groupe A - Version 1 - Corrig´e
Ecercice 1. f(x) = ln(x2−3x).Le domaine de d´efinition de fest
Df=x∈R|x2−3x > 0={x∈R|x(x−3) >0}=] − ∞,0[∪]3,+∞[.
Exercice 2. Par croissances compar´ees,
lim
x→+∞
x2
ln x= +∞.
Exercice 3. f(x) = 3e−2x.
1. Si y > 0 et x∈R,y=f(x) si et seulement si y/3 = e−2x, c’est `a dire ln(y/3) = −2x, c’est `a dire x=−1
2ln y 3.
Si y > 0,l’´equation y=f(x) a donc une unique solution, donn´ee par
x=−1
2ln y 3.
2. Pour tout x∈R,f(x) = 3e−2x>0. Donc Si y60, l’´equation y=f(x) n’a pas de solution.
3.
•L’´equation y=f(x) a une solution si y > 0 et n’en a pas si y60. Donc l’image de fest
f(R) =]0,+∞[.
•Pour tout y∈f(R) =]0,+∞[, l’´equation y=f(x) a une unique solution. Donc fest bijective de Rsur ]0,+∞[.
•D’apr`es ce qui pr´ec`ede, la bijection r´eciproque f−1de fest donn´ee par :
∀y > 0, f−1(y) = −1
2ln y 3.
Exercice 4. f(x) = exsi x60,
2xsi x > 0.
lim
x→0−
f(x) = lim
x→0−
ex=e0= 1,lim
x→0+f(x) = lim x→0+2x= 0.
Les limites `a gauche et `a droite de fen 0 ´etant diff´erentes, fn’est pas continue en x= 0.