UM
HAS101X - Outils mathématiques 1
2021-22
CC1 - PCSI Chimie Groupe A - Version 1 - Corrigé
Ecercice 1.
f (x) = ln(x2 − 3x). Le domaine de définition de f est
Df = x ∈ R | x2 − 3x > 0 = {x ∈ R | x(x − 3) > 0} =] − ∞, 0[∪]3, +∞[.
Exercice 2.
Par croissances comparées,
x2
= +∞.
x→+∞ ln x
lim
Exercice 3. f (x) = 3e−2x .
1. Si y > 0 et x ∈ R, y = f (x) si et seulement si y/3 = e−2x , c’est à dire ln(y/3) = −2x, c’est à dire x = − 21 ln
Si y > 0, l’équation y = f (x) a donc une unique solution, donnée par
y
3
.
1 y
.
x = − ln
2
3
2. Pour tout x ∈ R, f (x) = 3e−2x > 0. Donc Si y 6 0, l’équation y = f (x) n’a pas de solution.
3.
• L’équation y = f (x) a une solution si y > 0 et n’en a pas si y 6 0. Donc l’image de f est
f (R) =]0, +∞[.
• Pour tout y ∈ f (R) =]0, +∞[, l’équation y = f (x) a une unique solution. Donc f est bijective de R sur ]0, +∞[.
• D’après ce qui précède, la bijection réciproque f −1 de f est donnée par :
∀y > 0,
Exercice 4.
f (x) =
ex
2x
1 y
.
f −1 (y) = − ln
2
3
si x 6 0,
si x > 0.
lim f (x) = lim− ex = e0 = 1,
x→0−
x→0
lim f (x) = lim+ 2x = 0.
x→0+
x→0
Les limites à gauche et à droite de f en 0 étant différentes, f n’est pas continue en x = 0.
