Université Sultan Moulay Slimane Faculté Polydisciplinaire Béni Mellal Module M29 Mécanique des fluides et énergie éolienne Année universitaire 2021 - 2022 Licence Professionnelle Energie Renouvelable Pr Soufiane BELHOUIDEG Docteur en Mécanique & Matériaux Ingénieur d’Etat en Génie Mécanique "L'éducation authentique ne se fait pas de A vers B, ni de A sur B, mais par A avec B, par l'intermédiaire du monde." Paulo FREIRE - Pédagogie des opprimés. Paris, Maspéro, 1974. 1 Introduction La mécanique des fluides a pour objet l’étude macroscopique des mouvements des fluides (liquides et gaz). • Opposition Fluide / Solide - Un fluide est un milieu sans rigidité - Un fluide n ’a pas de forme propre : il prend la forme du récipient qui le contient - Un fluide est facilement déformable 2 • Fluide 1- Définitions • un fluide est un matériau continu et déformable formé d ’un très grand nombre de très petites particules capables de se déplacer les unes par rapport aux autres sous l ’action de très faibles efforts. • Fluide parfait • un fluide parfait est un fluide à l ’intérieur duquel les forces de cohésion sont nulles. Dans un fluide parfait, les forces de contact sont perpendiculaires aux éléments de surface sur lesquels elles s ’exercent. • Fluide réel • dans un fluide réel, les forces de contact ont deux composantes : une normale et une tangentielle s ’opposant au glissement du fluide (viscosité). 3 1- Définitions • Fluide incompressible • le volume occupé par une masse donnée de fluide ne varie pas en fonction de la pression extérieure. • la masse volumique ρ du fluide reste constante. – Exemple : les liquides • Fluide compressible • le volume occupé par une masse donnée de fluide varie en fonction de la pression extérieure. • la masse volumique ρ du fluide est variable. – Exemple : les gaz 4 1- Définitions • Deux familles de Fluides : – les gaz – les liquides • Grandeurs caractéristiques : L’état d’un fluide est entièrement défini lors de son mouvement, par la connaissance : • p (x,y,z,t) : pression • T (x,y,z,t) : température • ρ (x,y,z,t) : masse volumique • v (x,y,z,t) : vecteur vitesse 5 1- Définitions • Statique des fluides : – le fluide est supposé immobile en état d ’équilibre – les grandeurs caractéristiques restent constantes au cours du temps • • • • p (x,y,z) : pression T (x,y,z) : température ρ (x,y,z) : masse volumique v = 0 : pas de vecteur vitesse 6 1- Définitions • Dynamique des fluides : – le fluide est en mouvement : • • • • p (x,y,z,t) : pression T (x,y,z,t) : température ρ (x,y,z,t) : masse volumique v (x,y,z,t) : vecteur vitesse – régime « permanent » ou « stationnaire » : • • • • p (x,y,z) : pression T (x,y,z) : température ρ (x,y,z) : masse volumique v (x,y,z) : vecteur vitesse 7 2- Propriétés d ’un fluide • 2-1 Masse volumique : – définition kg / m3 kg m ρ= V m3 1 litre d ’eau pèse ??? 1 kg ρ eau = 1000 kg / m 3 8 2- Propriétés d ’un fluide • 2-1 Masse volumique – Evolution Coefficient de compressibilité à T cste (Pa-1) dρ ρ = β T dp − β p dT Coefficient de compressibilité à p cste (K-1) – Pour l ’eau à 20°C : β T = 4.68 10 −5 bar −1 et β p = 2.07 10 −4 K −1 9 – Exemples d ’évolution de la masse volumique en fonction de la température à pression constante 10 Pour les gaz 𝜌𝜌 ≠ 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 , c’est-à-dire varie avec la pression et la température. Pour un gaz parfait : 𝑃𝑃𝑃𝑃 = 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛 → 𝑃𝑃𝑃𝑃 𝑛𝑛 𝑃𝑃 = 𝑅𝑅𝑅𝑅 → = 𝑟𝑟𝑟𝑟 𝑚𝑚 𝑚𝑚 𝜌𝜌 11 La densité : est le rapport entre la masse volumique d’un corps et la masse volumique d’un corps de référence à la même température et à la même pression. 𝜌𝜌 𝑑𝑑 = 𝜌𝜌𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 Pour les liquides, le corps de référence est l’eau : 𝜌𝜌𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 = 𝜌𝜌𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 𝜌𝜌𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑑𝑑𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 = avec 𝜌𝜌𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 = 1000 𝐾𝐾𝐾𝐾/𝑚𝑚3 𝜌𝜌𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 Pour les gaz, le corps de référence est l’air : 𝜌𝜌𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 = 𝜌𝜌𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑑𝑑𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔 = 𝜌𝜌𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔 𝜌𝜌𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 P=1.013 Bar. avec 𝜌𝜌𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 = 1.293 𝐾𝐾𝐾𝐾/𝑚𝑚3 à T=20 °C et 12 2- Propriétés d ’un fluide • 2-2 Viscosité • les fluides réels possèdent une propriété qui est en quelque sorte l ’imperfection de la fluidité, appelée la « viscosité » La viscosité : est la propriété qui exprime la résistance à une force tangentielle. Elle est due principalement à l’interaction entre les molécules du fluide. – force de viscosité dFT dF Force tangentielle dFn S Force normale 13 2- Propriétés d ’un fluide • 2-2 Viscosité v – force de viscosité dFT v dz dS Contrainte de cisaillement dFT dv =µ dS dz z h Viscosité dynamique 14 2- Propriétés d ’un fluide • 2-2 Viscosité – unités Poiseuille Poise µ eau = 0.001 Pl Viscosité dynamique µ µ essence = 0.006 Pl 1 Pa.s = 1 Pl = 10 Po 0.01 < µ huiles < 0.04 Pl Viscosité cinématique ν =µ / ρ 1 m².s-1 = 104 St Stockes ν eau =10 −2 St 15 2- Propriétés d ’un fluide • 2-2 Viscosité – fluide newtonien ou parfaitement visqueux dv dz T = cste pente 1 / µ Le coefficient de viscosité dynamique est indépendant de la vitesse de cisaillement. IL ne dépend que de la température et la pression. dFT dS 16 2- Propriétés d ’un fluide • 2-2 Viscosité – rhéologie : • étude du comportement du fluide – rhéo-épaississant : la viscosité augmente quand la force de frottement augmente – rhéo-fluidifiant : la viscosité diminue quand la force de frottement augmente rhéo-fluidifiant dv dz pente 1 / µ T = cste – applications : rhéo-épaississant – vernis et peintures dFT dS 17 2- Propriétés d ’un fluide • 2-2 Viscosité – évolution en fonction de la pression µ T = cste A température constante, le coefficient de viscosité dynamique croît avec la pression. gaz liquide p 18 2- Propriétés d ’un fluide • 2-2 Viscosité – évolution en fonction de la température µ Pour les gaz : loi de SUTHERLAND B µ = A T 1 + T p = cste gaz Pour les liquides : liquide T B T µ = A exp 19 2- Propriétés d ’un fluide • 2-2 Viscosité – application : huile de vidange 5W 40 –5W: – viscosité cinématique (mm²/s) à froid ; plus le nombre est petit, plus l ’huile à froid est fluide, meilleure est la lubrification lors du démarrage. – 40 : – viscosité cinématique à chaud ; plus le nombre est élevé, plus l ’huile reste visqueuse à chaud pour assurer une bonne lubrification. – Ajout d ’additifs 20 pression de vapeur saturante : pva 21 22 Efforts dans un milieu fluide Un système matériel en mouvement est soumis à des efforts qui déterminent son mouvement. Les efforts agissant sur D sont : 1- Actions à distance : sont exercées sur les particules à l’intérieur du domaine D, en général se sont des forces volumiques ou massiques. 𝑔𝑔⃗ Soit 𝑓𝑓⃗ 𝑀𝑀, 𝑡𝑡 un champ de force volumique : 𝑓𝑓⃗ 𝑀𝑀, 𝑡𝑡 = �𝐸𝐸 𝐵𝐵 23 La force qui s’exerce sur l’élément dV : 𝑑𝑑𝐹𝐹𝑉𝑉 = 𝑓𝑓⃗ 𝑀𝑀, 𝑡𝑡 𝑑𝑑𝑑𝑑 Le moment de la force par rapport à un point O : 𝑑𝑑𝑀𝑀𝑜𝑜 = 𝑂𝑂𝑂𝑂 ˄ 𝑑𝑑𝐹𝐹𝑉𝑉 = 𝑂𝑂𝑂𝑂 ˄𝑓𝑓⃗ 𝑀𝑀, 𝑡𝑡 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑂𝑂𝑂𝑂 ˄𝑓𝑓⃗ 𝑀𝑀, 𝑡𝑡 : Moment en unité de volume La 𝑓𝑓⃗ 𝑀𝑀, 𝑡𝑡 est continue alors la somme des moments est une intégrale. La force et le moment total : 𝐹𝐹𝑉𝑉 = � 𝑑𝑑𝐹𝐹𝑉𝑉 = � 𝑓𝑓⃗ 𝑀𝑀, 𝑡𝑡 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑀𝑀𝑂𝑂 = � 𝑂𝑂𝑂𝑂˄𝑓𝑓⃗ 𝑀𝑀, 𝑡𝑡 𝑑𝑑𝑑𝑑 24 2- Actions de contact (Surfacique) : Sont exercées sur la frontière S du domaine D. Ce sont des forces surfaciques de densité 𝑇𝑇 𝑀𝑀, 𝑡𝑡 telle que : 𝑑𝑑𝐹𝐹𝑆𝑆 = 𝑇𝑇 𝑀𝑀, 𝑡𝑡 . 𝑑𝑑𝑑𝑑 La force et le moment total : 𝐹𝐹𝑆𝑆 = � 𝑑𝑑𝐹𝐹𝑆𝑆 = � 𝑇𝑇 𝑀𝑀, 𝑡𝑡 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑀𝑀𝑂𝑂 = � 𝑂𝑂𝑂𝑂˄𝑑𝑑𝐹𝐹𝑆𝑆 = � 𝑂𝑂𝑂𝑂˄𝑇𝑇 𝑀𝑀, 𝑡𝑡 𝑑𝑑𝑑𝑑 Remarque : Le vecteur densité surfacique 𝑇𝑇 est en fonction de M, t et 𝑛𝑛 normale à la surface frontière : 𝑇𝑇 = 𝑇𝑇(𝑀𝑀, 𝑛𝑛, 𝑡𝑡). 25 Soit un domaine D. La force qui s’exerce de Dext sur D à travers l’élément dS : 𝑑𝑑𝐹𝐹𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 = 𝑇𝑇 𝑀𝑀, −𝑛𝑛, 𝑡𝑡 𝑑𝑑𝑑𝑑 La force qui s’exerce de D sur Dext à travers l’élément dS : 𝑑𝑑𝐹𝐹𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 = 𝑇𝑇 𝑀𝑀, 𝑛𝑛, 𝑡𝑡 𝑑𝑑𝑑𝑑 D’après le principe d’action et de la réaction : 𝑑𝑑𝐹𝐹𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 = −𝑑𝑑𝐹𝐹𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 donc : 𝑇𝑇 𝑀𝑀, 𝑛𝑛, 𝑡𝑡 = −𝑇𝑇 𝑀𝑀, −𝑛𝑛, 𝑡𝑡 Le vecteur 𝑇𝑇 est impair (𝑓𝑓 −𝑥𝑥 = −𝑓𝑓 𝑥𝑥 ) 26 Théorème : Toute fonction vectorielle impaire est forcément linéaire, c’est-àdire il existe un tenseur 𝜎𝜎(𝑀𝑀, � 𝑡𝑡) telle que : 𝑇𝑇 𝑀𝑀, 𝑛𝑛, 𝑡𝑡 = 𝜎𝜎� 𝑀𝑀, 𝑡𝑡 . 𝑛𝑛 𝜎𝜎11 𝑇𝑇1 𝑇𝑇2 = 𝜎𝜎21 𝜎𝜎31 𝑇𝑇3 𝜎𝜎𝑖𝑖𝑖𝑖 = 𝜎𝜎11 , 𝜎𝜎22 , 𝜎𝜎33 faces 1, 2 et 3. 𝜎𝜎12 𝜎𝜎22 𝜎𝜎32 𝜎𝜎13 𝜎𝜎23 𝜎𝜎33 𝑛𝑛1 𝑛𝑛2 𝑛𝑛3 → 𝑇𝑇𝑖𝑖 = 𝜎𝜎𝑖𝑖𝑖𝑖 . 𝑛𝑛𝑗𝑗 𝑑𝑑𝐹𝐹𝑆𝑆 = 𝜎𝜎. � 𝑛𝑛. 𝑑𝑑𝑑𝑑 les contraintes normales respectivement aux 𝜎𝜎𝑖𝑖𝑖𝑖 (𝑖𝑖 ≠ 𝑗𝑗) se sont les contraintes tangentielles. 27 Remarque : 𝜎𝜎� = (𝜎𝜎𝑖𝑖𝑖𝑖 ) dépend de M et ne dépend pas de 𝑛𝑛 , par contre 𝑇𝑇(𝑀𝑀, 𝑛𝑛, 𝑡𝑡) dépend de M, 𝑛𝑛 et t. 𝜎𝜎� est un tenseur symétrique : 𝜎𝜎𝑖𝑖𝑖𝑖 = 𝜎𝜎𝑗𝑗𝑗𝑗 Si on a un fluide parfait les contraintes tangentielles sont nulles : 𝜎𝜎𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑖𝑖 ≠ 𝑗𝑗 = 0 𝜎𝜎11 0 0 𝜎𝜎� = 0 𝜎𝜎22 0 0 0 𝜎𝜎33 Soit en mouvement ou à l’état statique car 𝜎𝜎𝑖𝑖𝑖𝑖 = 𝜏𝜏 = 𝜇𝜇 Si 𝑉𝑉 = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 et on a un fluide réel on aura 𝜎𝜎𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑖𝑖 ≠ 𝑗𝑗 = 0 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 . 28 Notion de pression : Si le fluide est en repos (uniformément accéléré 𝑎𝑎⃗ = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 ), on a : 𝜎𝜎𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑖𝑖 ≠ 𝑗𝑗 = 0 et 𝜎𝜎𝑖𝑖𝑖𝑖 = −𝑝𝑝 avec p est la pression. −𝑝𝑝 0 0 𝜎𝜎� = 0 −𝑝𝑝 0 0 0 −𝑝𝑝 Définition : La pression p désigne la force 𝑑𝑑𝑑𝑑 par unité de surface qui s’exerce perpendiculairement à un élément de surface 𝑑𝑑𝑑𝑑 de normale 𝑛𝑛 : 𝒏𝒏 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑝𝑝. 𝑛𝑛. 𝑑𝑑𝑑𝑑 29 – mise en évidence de la pression 30 Equation fondamentale de l’hydrostatique Soit un élément de volume parallélépipédique 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑, fixe dans un repère orthonormé. La force qui s’exerce sur l’élément dV suivant l’axe (oz) : 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑑𝑑𝑑𝑑1 + 𝑑𝑑𝑑𝑑2 Par projection sur z : 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑧𝑧 = 𝑑𝑑𝑑𝑑1 − 𝑑𝑑𝑑𝑑2 = 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑧𝑧 − 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑧𝑧 + 𝑑𝑑𝑑𝑑 Rappel : 𝑓𝑓 𝑥𝑥 + 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑓𝑓 𝑥𝑥 + 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝜕𝜕𝜕𝜕 31 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 = − 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑧𝑧 = − 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑧𝑧 = 𝑃𝑃 𝑧𝑧 − 𝑃𝑃 𝑧𝑧 − La force qui s’exerce sur l’élément dV suivant l’axe (oy) : 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑦𝑦 = − 𝜕𝜕𝜕𝜕 La force qui s’exerce sur l’élément dV suivant l’axe (ox) : 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥 = − 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑠𝑠 = 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥 𝚤𝚤⃗ + 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑦𝑦 𝚥𝚥⃗ + 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑧𝑧 𝑘𝑘 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝚤𝚤⃗ + 𝚥𝚥⃗ + 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑠𝑠 = − 𝑘𝑘 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑠𝑠 = −𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑃𝑃. 𝑑𝑑𝑑𝑑 32 Le principe fondamental de la dynamique (PFD) appliqué à l’élément dV : � 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 = 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑎𝑎⃗ Alors : 𝜌𝜌𝜌𝜌𝜌𝜌𝑎𝑎⃗ = −𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃 + 𝜌𝜌𝑔𝑔𝑑𝑑𝑑𝑑 ⃗ 𝜌𝜌𝑎𝑎⃗ = −𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑃𝑃 + 𝜌𝜌𝑔𝑔⃗ C’est l’équation fondamentale de dynamique des fluides parfaits (l’absence des frottements). Pour un fluide au repos : 𝑎𝑎⃗ = 0 , le PFD devient l’équation fondamentale de la statique des fluides : 𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑃𝑃 = 𝜌𝜌𝑔𝑔⃗ 33 Dans le cas ou : 𝑔𝑔⃗ = −𝑔𝑔𝑘𝑘 on aura : 𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑃𝑃 = −𝜌𝜌𝜌𝜌𝑘𝑘 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝚤𝚤⃗ + 𝚥𝚥⃗ + 𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑃𝑃 = 𝑘𝑘 = −𝜌𝜌𝜌𝜌𝑘𝑘 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝜕𝜕 Ce qui implique 𝜕𝜕𝜕𝜕 = 0 → 𝑃𝑃 𝑛𝑛𝑛𝑛 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑥𝑥 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝜕𝜕 = 0 → 𝑃𝑃 𝑛𝑛𝑛𝑛 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑦𝑦 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝑑𝑑𝑑𝑑 = −𝜌𝜌𝜌𝜌 = → 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑧𝑧 = −𝜌𝜌𝜌𝜌𝜌𝜌𝜌𝜌 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝑑𝑑𝑑𝑑 Application : Cas d’un fluide incompressible 𝜌𝜌 = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑑𝑑𝑑𝑑 = −𝜌𝜌𝜌𝜌𝜌𝜌𝜌𝜌 𝑃𝑃 = −𝜌𝜌𝜌𝜌𝜌𝜌 + 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑃𝑃 + 𝜌𝜌𝜌𝜌𝜌𝜌 = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 = 𝑃𝑃0 + 𝜌𝜌𝜌𝜌𝑧𝑧0 P0 et z0 sont des données d’un état de référence. 34 Exercice d’application 1 Sachant que : 𝑧𝑧0 − 𝑧𝑧1 = 0.2 𝑚𝑚 ; 𝑧𝑧3 − 𝑧𝑧2 = 0.1 𝑚𝑚 ; 𝑧𝑧1 + 𝑧𝑧2 = 1 𝑚𝑚 𝑘𝑘𝑘𝑘 𝑘𝑘𝑘𝑘 Et 𝜌𝜌1 = 𝜌𝜌𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 = 1000 3 ; 𝜌𝜌2 = 𝜌𝜌𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 = 13600 3 𝑚𝑚 𝑚𝑚 𝑘𝑘𝑘𝑘 𝜌𝜌3 = 700 3 𝑚𝑚 Calculer : 𝑧𝑧1 , 𝑧𝑧2 et 𝑧𝑧3 . ; 35 Exercice d’application 2 : Expérience de Torricelli Trouver la pression atmosphérique en fonction de H. 36 Cas d’un fluide compressible : (air) EFH : 𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑃𝑃 = 𝜌𝜌𝑔𝑔⃗ donc : −𝜌𝜌𝜌𝜌 = 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 (z ascendant) On a une seule équation et on a 2 inconnues, il faut ajouter une autre équation. Il faut déterminer 𝑃𝑃(𝑧𝑧) et 𝜌𝜌(𝑧𝑧). Pour compléter le système, il faut ajouter l’équation d’état : 𝑓𝑓 𝑃𝑃, 𝜌𝜌, 𝑇𝑇 = 0 Pour un gaz parfait : 𝑃𝑃 = 𝜌𝜌𝜌𝜌𝜌𝜌 (r dépend du gaz) 𝑑𝑑𝑑𝑑 � 𝑑𝑑𝑑𝑑 = −𝜌𝜌𝜌𝜌 𝑃𝑃 = 𝜌𝜌𝜌𝜌𝜌𝜌 Alors EFH d’un fluide compressible : 𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑃𝑃 = 𝜌𝜌𝑔𝑔⃗ � 𝑓𝑓 𝑃𝑃, 𝜌𝜌, 𝑇𝑇 = 0 37 Si l’atmosphère est un milieu isotherme 𝑇𝑇 = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑃𝑃 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 = − 𝑔𝑔 → = − 𝑔𝑔 → � = � − 𝑔𝑔 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑟𝑟𝑟𝑟 𝑃𝑃 𝑟𝑟𝑟𝑟 𝑃𝑃 𝑟𝑟𝑟𝑟 𝑃𝑃2 𝑧𝑧2 − 𝑧𝑧1 → ln = −𝑔𝑔 𝑃𝑃1 𝑟𝑟𝑟𝑟 Fluide isotherme : 𝑃𝑃2 −𝑔𝑔 = 𝑒𝑒 𝑃𝑃1 Fluide isotherme compressible 𝑔𝑔 𝑃𝑃2 = 𝑒𝑒 𝑟𝑟𝑟𝑟 𝑧𝑧1−𝑧𝑧2 𝑃𝑃1 𝑧𝑧2 −𝑧𝑧1 𝑟𝑟𝑟𝑟 = 𝑔𝑔 𝑒𝑒 𝑟𝑟𝑟𝑟 𝑧𝑧1−𝑧𝑧2 Fluide incompressible 𝑃𝑃2 − 𝑃𝑃1 = 𝜌𝜌𝜌𝜌 𝑧𝑧1 − 𝑧𝑧2 38 Fluide dans un repère uniformément accéléré : L’équation fondamentale de la dynamique pour un fluide parfait : 𝜌𝜌𝑎𝑎⃗ = −𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑃𝑃 + 𝜌𝜌𝑔𝑔⃗ 𝑎𝑎⃗ : vecteur accélération de la particule fluide. Si le fluide est uniformément accéléré : 𝑎𝑎⃗ = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑃𝑃 = 𝜌𝜌(𝑔𝑔⃗ − 𝑎𝑎) ⃗ = −𝜌𝜌𝑔𝑔′ avec 𝑔𝑔′ = 𝑎𝑎⃗ − 𝑔𝑔⃗ Donc, un fluide uniformément accéléré peut être traité comme un fluide au repos dans un champ 𝑔𝑔′ = 𝑎𝑎⃗ − 𝑔𝑔. ⃗ 39 Exercice d’application 3 Trouver l’expression de la pression. 40 Exercice d’application 4 Un fluide dans un cylindre vertical tournant à vitesse angulaire constante. Trouver l’expression de la pression. 41 Forces hydrostatiques Puisque l’équation fondamentale de la statique des fluides permet de déterminer la pression en tout point du fluide, il est possible de déterminer les forces s’exerçant sur les parois d’un solide totalement ou partiellement immergé. 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑃𝑃𝑛𝑛𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝐹𝐹1 la force exercée par le fluide sur la paroi 𝑑𝑑𝐹𝐹𝑎𝑎 la force exercée par l’atmosphère sur la paroi 42 𝑑𝑑𝐹𝐹1 = 𝑃𝑃𝑛𝑛𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑 𝐹𝐹⃗ = 𝑑𝑑𝐹𝐹1 + 𝑑𝑑𝐹𝐹𝑎𝑎 avec �𝑑𝑑𝐹𝐹 = −𝑃𝑃 𝑛𝑛𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑎𝑎 0 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿 L : largeur de parois 𝑑𝑑𝑑𝑑 = −(𝑃𝑃0 −𝑃𝑃)𝑛𝑛𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑛𝑛 = 𝚥𝚥⃗ 𝑑𝑑𝑑𝑑 = −(𝑃𝑃0 −𝑃𝑃)𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿⃗𝚥𝚥 D’après l’équation de l’hydrostatique : 𝑃𝑃 = 𝑃𝑃0 + 𝜌𝜌𝜌𝜌𝜌 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝜌𝜌𝜌𝜌𝜌𝜌𝜌𝜌𝜌𝜌𝜌⃗𝚥𝚥 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝜌𝜌𝜌𝜌𝜌 𝑥𝑥 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿 ℎ(𝑥𝑥) = sin 𝛼𝛼 → 𝑥𝑥 𝐻𝐻 𝑑𝑑𝑑 = 𝑑𝑑𝑑𝑑 sin 𝛼𝛼 → 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝜌𝜌𝜌𝜌𝜌𝜌𝜌𝜌𝜌𝜌 sin 𝛼𝛼 𝜌𝜌𝜌𝜌𝜌𝜌 𝜌𝜌𝜌𝜌𝜌𝜌 𝐻𝐻 𝜌𝜌𝜌𝜌𝜌𝜌 𝐻𝐻 2 ℎ𝑑𝑑𝑑 = � ℎ𝑑𝑑𝑑 = 𝐹𝐹 = � sin 𝛼𝛼 sin 𝛼𝛼 sin 𝛼𝛼 2 0 0 43 Exercice d’application 5 Calculer la force qui s’exerce sur les parois horizontales et les parois verticales d’un bac rectangulaire. 44 Poussée d’Archimède Soit S un corps solide immergé totalement ou partiellement dans un fluide de masse volumique 𝜌𝜌𝑓𝑓 . La force de pression exercée par le fluide sur le solide : 𝐹𝐹⃗ = � −𝑝𝑝𝑛𝑛𝑑𝑑𝑑𝑑 = − � 𝑝𝑝𝑛𝑛𝑑𝑑𝑑𝑑 D’après le théorème du gradient, on sait que : ∯ 𝑝𝑝𝑛𝑛𝑑𝑑𝑑𝑑 = ∭ 𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑝𝑝. 𝑑𝑑𝑑𝑑 D’après la loi de l’hydrostatique : 𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑝𝑝 = 𝜌𝜌𝑓𝑓 𝑔𝑔⃗ donc : 𝐹𝐹⃗ = − � 𝜌𝜌𝑓𝑓 𝑔𝑔𝑑𝑑𝑑𝑑 ⃗ = −𝑔𝑔⃗ � 𝜌𝜌𝑓𝑓 𝑑𝑑𝑑𝑑 = −𝑔𝑔⃗ � 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 ∭ 𝜌𝜌𝑓𝑓 𝑑𝑑𝑑𝑑 : la masse du fluide déplacé 45 La poussée d’Archimède : 𝐹𝐹⃗ = −𝑚𝑚𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 × 𝑔𝑔⃗ Pour un fluide incompressible : 𝜌𝜌𝑓𝑓 = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝐹𝐹⃗ = −𝜌𝜌𝑓𝑓 × 𝑉𝑉𝑓𝑓𝑓𝑓 × 𝑔𝑔⃗ 𝜌𝜌𝑓𝑓 : la masse volumique du fluide. 𝑉𝑉𝑓𝑓𝑓𝑓 : le volume du fluide déplacé. La poussée d’Archimède est une force qui s’exerce dans le sens opposé à 𝑔𝑔⃗ et dont l’intensité est égale au poids du liquide déplacé par le corps immergé. 46 Remarque : Le centre ou point d’application de la poussée d’Archimède est le barycentre du volume déplacé. Condition de flottabilité d’un solide : Pour étudier les conditions de flottabilité, il faut comparer le poids et la poussée d’Archimède : - Si P>F : le corps s’enfonce vers le bas. → 𝜌𝜌𝑠𝑠 > 𝜌𝜌𝑓𝑓 𝜌𝜌𝑠𝑠 𝑔𝑔𝑉𝑉𝑠𝑠 > 𝜌𝜌𝑓𝑓 𝑔𝑔𝑉𝑉𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 = 𝜌𝜌𝑓𝑓 𝑔𝑔𝑉𝑉𝑠𝑠 - Si P=F : 𝜌𝜌𝑠𝑠 = 𝜌𝜌𝑓𝑓 le corps reste fixe - Si P<F : 𝜌𝜌𝑠𝑠 < 𝜌𝜌𝑓𝑓 le corps monte vers le haut jusqu’à F=P, une partie du corps va rester immergée et l’autre non immergée. 47 Exercice d’application 6 Un corps solide de densité ρs = 850 kg/m3 sous forme d’un parallélépipède de longueur L, de largeur l et de hauteur H est immergé dans l’eau. Trouver la partie immergée ? TD 48
