MINISTERE DE L’ENSEIGNEMENT SUPERIEUR ET DE LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE USTHB Département Construction Mécanique COURS Présenté par: Mr: MAHFOUD Company LOGO 3ème Année Licence S2_2O22 .O CHAPITRE 1 Transfert par Conduction CHAP 2 – Transfert thermique- MAHFOUD 2022 2 La conduction- Définition C’est le transfert d'énergie thermique dans un milieux, sans déplacement de la matière Cette énergie est diffusée par: Agitation moléculaire (dans les gaz et les liquides en repos) Vibrations des réseaux cristallins (dans les solides non-conducteurs) Déplacement d'électrons libres (dans les métaux conducteurs) CHAP 2 – Transfert thermique- MAHFOUD 2022 3 La conduction- Loi de Fourier La théorie de la conduction repose sur l’hypothèse de Fourier la densité de flux est proportionnelle au gradient de température: 𝑞 = −𝑘. 𝐴 𝑔𝑟𝑎𝑑(𝑇) 𝜕𝑇 𝑞 = −𝑘. 𝐴 𝜕𝑥 Avec: 𝑞 Flux de chaleur transmis par conduction [W] 𝑘 Conductivité thermique du milieu [W.m-1°K-1] 𝑥 Variable d’espace dans la direction du flux [m] 𝐴 Section de passage du flux de chaleur [m²] Le signe (−) indique que le transfert de chaleur se fait dans la direction des températures décroissantes. 𝑇 𝑠𝑢𝑝 ↘ 𝑇 𝑖𝑛𝑓 CHAP 2 – Transfert thermique- MAHFOUD 2022 4 La conduction- Conductivité thermique 𝑞𝑐𝑜𝑛𝑑 𝜕𝑇 𝑇1 − 𝑇2 = −𝑘. 𝐴 = 𝑘𝐴 𝜕𝑥 𝑒 Cette relation indique (𝑞) proportionnel (Δ𝑇). ↗ avec 𝑘. 𝑇1 ⇝ 𝑇2 où 𝑇1 > 𝑇2 . Φ= 𝑞 ⟶𝐹𝑙𝑢𝑥 𝐴 ⟶𝑆𝑒𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛 → Densité de flux CHAP 2 – Transfert thermique- MAHFOUD 2022 5 La conduction- Equation générale En général, pour étudier la variation de la température à l’intérieur d’un corps quelconque; Ceci, nécessite la formulation de l’équation générale qui gouverne le transfert par conduction dans ce corps CHAP 2 – Transfert thermique- MAHFOUD 2022 6 La conduction- Equation générale Pour trouver l’équation différentielle On applique le 1er principe de la thermodynamique à un élément de volume 𝑑𝑉 = 𝑑𝑥. 𝑑𝑦. 𝑑𝑧 pendant un temps 𝒅𝒕. 𝑑𝐻 = 𝛿𝑈 − 𝑉𝑑𝑝 Au repos, la transformation est isobare (𝑃 = 𝑐𝑠𝑡)𝑑𝐻 = 𝛿𝑄 𝑃 = 𝑐𝑠𝑡 𝑃 = 𝑐𝑠𝑡 𝑑𝐻 = 𝛿𝑊 + 𝛿𝑄 − 𝑉𝑑𝑝 Figure : Bilan thermique sur un élément de volume CHAP 2 – Transfert thermique- MAHFOUD 2022 7 Equation générale Le bilan thermique pendant le temps 𝒅𝒕 𝑑𝑄 = 𝑑𝐻 𝑑𝑄 = (𝑞𝑒𝑛𝑡𝑟é𝑒 + 𝑞𝑠𝑜𝑢𝑟𝑐𝑒 – 𝑞𝑠𝑜𝑟𝑡𝑖𝑒 ) = la variation de l’enthalpie (𝛿𝐻) 𝑞𝑥 + 𝑞𝑦 + 𝑞𝑧 dt + 𝑞′′′ 𝑑𝑉dt − 𝑞𝑥+𝑑𝑥 + 𝑞𝑦+𝑑𝑦 + 𝑞𝑧+𝑑𝑧 dt = ρ. 𝑑𝑉 . 𝐶𝑝 . 𝑑𝑇 𝑚 Où: 𝑞𝑥 = 𝑘𝐴 𝜕𝑇 𝜕𝑥 et 𝑞𝑥+𝑑𝑥 = 𝑞𝑥 + 𝜕𝑞𝑥 𝑑𝑥 𝜕𝑥 𝜕 𝜕𝑇 𝜕 𝜕𝑇 𝜕 𝜕𝑇 𝑑𝑇 ′′′ 𝑘 + 𝑘 + 𝑘 𝑑𝑉 + 𝑞 𝑑𝑉 = ρ. 𝑑𝑉. 𝐶𝑝 . 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑦 𝜕𝑧 𝜕𝑧 𝑑𝑡 𝑑𝑖𝑣 𝑘. 𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑇 + 𝑞 ′′′ 𝑑𝑇 = ρ. 𝐶𝑝 . 𝑑𝑡 L’équation de la conduction dans sa forme générale. CHAP 2 – Transfert thermique- MAHFOUD 2022 8 Eq générale – cordonnées cartésiennes L’équation générale de la conduction en coordonnées cartésiennes, qui est valable pour des milieux homogènes isotropes (𝒌 = 𝐜𝐬𝐭): 𝛁² → 𝐥𝐚𝐩𝐥𝐚𝐜𝐢𝐞𝐧 𝜕2𝑇 𝜕2𝑇 𝜕2𝑇 𝑞′′′ 1 𝑑𝑇 + 2+ 2 + = 2 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 𝑘 𝛼 𝑑𝑡 𝑄𝑠 1 𝑑𝑇 𝛻²𝑇 + = 𝑘 𝛼 𝑑𝑡 𝒌 2 𝒂=𝜶= → 𝐝𝐢𝐟𝐟𝐮𝐬𝐢𝐯𝐢𝐭é 𝐭𝐡𝐞𝐫𝐦𝐢𝐪𝐮𝐞 [𝒎 𝒔] 𝝆. 𝑪𝒑 𝑄𝑠 = 𝑞 ′′′ → 𝐒𝐨𝐮𝐫𝐜𝐞 𝐝𝐞 𝐜𝐡𝐚𝐥𝐞𝐮𝐫 Cas particulier: 𝑑 𝜕2 𝜕2 -Régime stationnaire (permanant)(𝑑𝑡 = 0); unidimensionnel(𝜕𝑦2 = 𝜕𝑧2 = 0), sans source𝑞′′′ = 0 𝜕2 𝑇 𝜕2 𝑇 𝜕2 𝑇 Exemple ; Régime stationnaire sans source (éqs Laplace) 2 + 2 + 2 = 0 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 CHAP 2 – Transfert thermique- MAHFOUD 2022 9 Eq générale – cordonnées cylindriques 𝑞 ′′′ 1 𝑑𝑇 𝛻²𝑇 + = 𝑘 𝛼 𝑑𝑡 𝒌 𝜶= 𝝆. 𝑪𝒑 2 → 𝐝𝐢𝐟𝐟𝐮𝐬𝐢𝐯𝐢𝐭é 𝐭𝐡𝐞𝐫𝐦𝐢𝐪𝐮𝐞 [𝒎 𝒔] 𝜕 2 𝑇 1 𝜕𝑇 1 𝜕 2 𝑇 𝜕 2 𝑇 𝑞 ′′′ 1 𝑑𝑇 + + + 2 + = 2 2 𝜕𝑟 𝑟 𝜕𝑟 𝑟² 𝜕𝜙 𝜕𝑧 𝑘 𝛼 𝑑𝑡 cas stationnaire unidimensionnelle, sans source: 𝜕 2 𝑇 1 𝜕𝑇 1𝜕 𝜕𝑇 + = 𝑟 2 𝜕𝑟 𝑟 𝜕𝑟 𝑟 𝜕𝑟 𝜕𝑟 CHAP 2 – Transfert thermique- MAHFOUD 2022 =0 10 Eq générale – cordonnées sphériques 𝝍 𝝍 𝝍 𝝍 𝝍 𝝍 𝝍 1 𝜕2 1 𝜕 𝜕𝑇 1 𝜕2𝑇 𝑞′′′ 1 𝑑𝑇 𝑟𝑇 + sin 𝜓 + + = 2 2 𝑟 𝜕𝑟 𝜕𝜓 𝑘 𝛼 𝑑𝑡 𝑟² sin 𝜓 𝜕𝜓 𝑟²𝑠𝑖𝑛²𝜓 𝜕𝜙 cas stationnaire unidimensionnelle, sans source: CHAP 2 – Transfert thermique- MAHFOUD 2022 1 𝜕2 𝑟 𝜕𝑟 2 𝑟𝑇 =0 11 Application Considérons un milieu dans lequel l'équation de conduction thermique est donnée sous sa forme la plus simple comme ; ∂ T ∂ T ∂T ∂x ∂y α ∂t (a) Le transfert de chaleur est-il permanent ou transitoire? (b) Le transfert de chaleur est-il unidimensionnel, bidimensionnel ou tridimensionnel? (c) Y a-t-il une génération de chaleur dans le milieu? (d) La conductivité thermique du milieu est-elle constante ou variable? CHAP 2 – Transfert thermique- MAHFOUD 2022 12 Conditions aux limites Pour résoudre l‘équation générale de la conduction; Appliquer les hypothèses simplificatrices Intégrer l’équation simplifier Calculer les constantes on appliquons les conditions aux limites; Condition du 1er type (Dirichlet) On impose une température de surface constante. 𝑻 𝟎, 𝒕 = 𝑻𝒔 CHAP 2 – Transfert thermique- MAHFOUD 2022 13 Conditions aux limites Condition du 2ème type (Neumann) On impose une densité de flux aux limites du milieux. 𝒒 𝝏𝑻 𝚽𝒔 = = −𝒌 𝑨 𝝏𝒙 𝒙=𝟎 Si la parois est adiabatique ou une surface isolante (𝚽𝒔 = 𝟎). 𝝏𝑻 𝟎 = −𝒌 𝝏𝒙 𝒙=𝟎 CHAP 2 – Transfert thermique- MAHFOUD 2022 14 Conditions aux limites Condition du 3ème type (Fourier) Sur la surface il y a échange par convection 𝒒 𝝏𝑻 𝚽𝒑 = = −𝒌 = 𝒉 𝑻∞ − 𝑻 𝟎, 𝒕 𝑨 𝝏𝒙 𝒙=𝟎 CHAP 2 – Transfert thermique- MAHFOUD 2022 15 Conditions aux limites Condition du 4ème type (interface solide - solide) Égalités des températures et des densités de flux. 𝑻𝑨 = 𝑻𝑩 Conservation de la densité de flux. 𝚽𝑨 = 𝚽𝑩 𝝏𝑻𝑨 𝝏𝑻𝑩 −𝒌𝑨 = −𝒌𝑩 𝝏𝒙 𝒙=𝑳 𝝏𝒙 𝒙=𝑳 CHAP 2 – Transfert thermique- MAHFOUD 2022 16 CHAPITRE 2 PARTIE 1 Conduction unidimensionnelle 1 seule coordonnée spatiale CHAP 2 – Transfert thermique- MAHFOUD 2022 24 Les applications de l’éqs de la conduction q’’’ = 0 q’’’ ≠ 0 CHAP 2 – Transfert thermique- MAHFOUD 2022 25 Les applications de l’éqs de la conduction Conduction stationnaire sans source En régime permanent 𝜕 𝜕𝑡 = 0 sans sources 𝑞′′′ = 0 , la répartition des températures dans un milieu isotrope et homogène obéit a l’équation: 𝑘 𝜕2𝑇 𝜕2𝑇 𝜕2𝑇 𝑞 ′′′ 𝑑𝑇 + 2+ 2 + = 2 ρ. 𝐶𝑝 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 ρ. 𝐶𝑝 𝑑𝑡 𝜕2𝑇 𝜕2𝑇 𝜕2𝑇 + 2+ 2 =0 2 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 CHAP 2 – Transfert thermique- MAHFOUD 2022 26 Mur simple (paroi plane) 1°/ Mur simple: Soit un mur plan d’épaisseur (e) sans source, dont les surfaces sont maintenues à température (T1>T2). Le bilan thermique: L’équation de la conduction pour un mur est: 𝜕 2 𝑇 𝑑2𝑇 → 2= 2=0 𝜕𝑥 𝑑𝑥 On va essayer de résoudre cette équation pour trouver la distribution de la température et le flux de chaleur qui traverse cette paroi: CHAP 2 – Transfert thermique- MAHFOUD 2022 27 Profil de (T) - Mur simple 1°/ Par double intégration de l’équation de la conduction: 𝑑2𝑇 𝑑𝑥 2 =0→ 𝑑2 𝑇 𝑑𝑥 2 =0→ 𝑑𝑇 𝑑𝑥 = 𝐶1 → T(x) = 𝐶1 𝑥 + 𝐶2 2°/ Appliquons les conditions aux limites: 𝒙 = 𝟎 → 𝑻(𝟎) = 𝑻𝟏 𝒙 = 𝒆 → 𝑻(𝒆) = 𝑻𝟐 𝑇1 = 𝐶1 0 + 𝐶2 → 𝐶2 = 𝑇1 𝑇2 = 𝐶1 𝑒 + 𝐶2 → 𝐶1 = → T(x) = 𝑇2 − 𝑥 𝑇1 𝑒 𝑇2 −𝐶2 𝑒 + 𝑇1 = 𝑇1 − CHAP 2 – Transfert thermique- MAHFOUD 2022 = 𝑇2 −𝑇1 𝑒 𝑥 𝑒 𝑇1 − 𝑇2 28 Profil de (T) - Mur simple 2°/ Le profil de température est donc linéaire. La densité de flux de chaleur traversant le mur s’en déduit par la relation: 𝑞 𝜕𝑇 𝑇2 − 𝑇1 Φ = = −𝑘 = −𝑘 𝐴 𝜕𝑥 𝑒 𝑞 𝑄 Φ= = →𝑄=𝑞= 𝐴 𝑆 Avec 𝑅𝑡 = 𝑒 𝑇1 −𝑇2 𝑒 𝑘.𝐴 = 𝑇1 −𝑇2 𝑅𝑡 𝑘.𝐴 On remarque que le flux ne dépond pas de (x): q (x=0) = q (x=e) CHAP 2 – Transfert thermique- MAHFOUD 2022 29 Analogie électrique - Résistance Notion de résistance thermique (Analogie électrique): Electricité Loi d’Ohm ∆𝑈 = ℛ𝑒𝑙𝑐 . 𝐼 Thermique Flux de chaleur ∆𝑇 𝑞= → ∆𝑇 = ℛ𝑡 . 𝑞 ℛ𝑡 On établit la correspondance suivante : Potentiel électrique ΔU Potentiel thermique ΔT Intensité électrique I Flux thermique q Résistance électrique Relc Résistance thermique Rth CHAP 2 – Transfert thermique- MAHFOUD 2022 31 Analogie électrique - Résistance Matériaux composé Rth en série et en parallèle Epaisseur de mur 𝑅𝑡 = 𝑒 𝑘.𝐴 Conductivité thermique des matériaux = 𝐿 𝜆.𝑆 Section de la surface de passage 𝑹𝒔é𝒓𝒊𝒆 = 𝑹𝟏 +𝑹𝟐 +𝑹𝟐 +…. 𝟏 𝑹𝒑𝒂𝒓𝒂𝒍𝒍è𝒍𝒆 CHAP 2 – Transfert thermique- MAHFOUD 2022 = 𝟏 𝟏 𝟏 + + +…. 𝑹𝟏 𝑹𝟐 𝑹𝟑 32 Mur multicouches en contact avec deux fluides En régime permanent, le flux de chaleur se conserve lors de la traversée du mur multicouches et s’écrit : 𝑞 = ℎ1 𝑆 𝑇𝑓1 − 𝑇1 𝑘𝐴 𝑆 𝑇1 − 𝑇2 𝑘𝐵 𝑆 𝑇2 − 𝑇3 𝑘𝐶 𝑆 𝑇3 − 𝑇4 = = = = ℎ2 𝑆 𝑇4 − 𝑇𝑓2 𝑒𝐴 𝑒𝐵 𝑒𝐶 𝑇𝑓1 − 𝑇𝑓2 𝑄=q= 𝑅𝑡 Résistance de convection 𝑇𝑓1 − 𝑇𝑓2 𝑄=q= 𝑒 𝑒 𝑒 1 1 + 𝐴 + 𝐵 + 𝐶 + ℎ1 𝑆 𝑘𝐴 𝑆 𝑘𝐵 𝑆 𝑘𝐶 𝑆 ℎ2 𝑆 CHAP 2 – Transfert thermique- MAHFOUD 2022 33 Conduite cylindrique creuse Le transfert de chaleur se fait dans une seule direction (r): Pour un rayon donné (r) la surface normale au flux de chaleur radial 2𝜋𝑟𝐿 . → 𝒒𝒓 = 𝒒𝒓+𝒅𝒓 Donc l’équation général s’écrit: 𝜕 2 𝑇 1 𝜕𝑇 1 𝜕 𝜕𝑇 + = 𝑟 =0= 2 𝜕𝑟 𝑟 𝜕𝑟 𝑟 𝜕𝑟 𝜕𝑟 𝜕𝑇 𝑟 = 𝐶1 → 𝑇 𝑟 = 𝐶1 ln 𝑟 + 𝐶2 𝜕𝑟 CHAP 2 – Transfert thermique- MAHFOUD 2022 34 Conduite cylindrique creuse 2°/ Appliquons les conditions aux limites: 𝒓 = 𝒓𝟏 → 𝑻(𝒓𝟏 ) = 𝑻𝟏 𝒓 = 𝒓𝟐 → 𝑻(𝒓𝟐 ) = 𝑻𝟐 𝑇2 −𝑇1 𝑙𝑛 𝑟 𝑙𝑛 2 𝑟1 𝑇 −𝑇 𝐶1 = 2𝑟2 1 𝑙𝑛 𝑟1 𝑇1 = 𝐶1 ln 𝑟1 + 𝐶2 → 𝐶2 = 𝑇1 − 𝑇2 = 𝐶1 𝑙𝑛 𝑟2 + 𝐶2 → 𝑟 𝑟1 𝑇1 − 𝑇2 𝑟 𝑙𝑛 2 𝑟1 𝑟1 𝑙𝑛 𝑇 𝑟 = 𝑇1 − On déduit le flux à travers un surface (A): 𝑑𝑇 𝑞 = −𝑘(2𝜋𝑟𝐿) 𝑑𝑟 𝐴 𝑞 = 2𝜋𝑘𝐿 𝑇1 −𝑇2 𝑙𝑛 𝑟2 𝑟1 → 𝑇1 −𝑇2 𝑙𝑛 𝑟2 𝑟1 CHAP 2 – Transfert thermique- MAHFOUD 2022 2𝜋𝑘𝐿 ℛ𝑡 𝑟 𝑟2 𝑙𝑛 𝑟1 = 2𝜋𝑘𝐿 35 Conduite cylindrique creuse Cette relation est sous la forme : 𝑇1 − 𝑇2 ⇛𝑞= ℛ1−2 ℛ1−2 𝑟2 𝑙𝑛 𝑟1 = 2𝜋𝑘𝐿 Conduite cylindrique multicouches/ fluide 𝑇𝑓1 − 𝑇𝑓2 𝑇𝑓1 − 𝑇𝑓2 𝑞= = ℛ𝑡 ℛ𝑓1 + ℛ1 + ℛ2 + ℛ3 + ℛ𝑓2 1 /ℛ𝑓1 = ℎ1 (2𝜋𝑟1 𝐿) CHAP 2 – Transfert thermique- MAHFOUD 2022 36 Sphère creuse 𝜕 2 𝑇 2 𝜕𝑇 1 𝜕 𝜕𝑇 2 + = 2 𝑟 =0= 2 𝜕𝑟 𝑟 𝜕𝑟 𝑟 𝜕𝑟 𝜕𝑟 𝜕𝑇 −𝐶1 2 𝑟 = 𝐶1 → 𝑇 𝑟 = + 𝐶2 𝜕𝑟 𝑟 𝑇 𝑟 = 𝑇1 − 1 1 − 𝑟 𝑟1 𝑇1 − 𝑇2 1 1 − 𝑟2 𝑟1 𝑇1 − 𝑇2 ⇛𝑞= ℛ1−2 ℛ1−2 1 1 1 = − 4𝜋𝑘 𝑟1 𝑟2 CHAP 2 – Transfert thermique- MAHFOUD 2022 ⇛ 𝑆 = 4𝜋𝑟 2 37 La conduction avec source de chaleur Cas de Mur simple l'expression de l’équation de la conduction est de la forme suivante: 𝜕 2 𝑇 𝑞 ′′′ 𝜕2𝑇 𝑞 ′′′ + =0→ 2=− 2 𝜕𝑥 𝑘 𝜕𝑥 𝑘 par intégration 𝑞′′′ 2 → T(x) = − 𝑥 + 𝐶1 𝑥 + 𝐶2 2𝑘 Avec les conditions aux limites T(0) = 𝑇1 et T(2L) = 𝑇2 CHAP 2 – Transfert thermique- MAHFOUD 2022 38 La conduction avec source de chaleur T(x) = 𝑇1 + 𝑇2 − 𝑇1 𝑞′′′ + 2𝐿 − 𝑥 𝑥 2𝐿 2𝑘 Pour le cas le plus simple où: 𝑇2 = 𝑇1 = 𝑇𝑠 T(x) 𝑞′′′ = 𝑇𝑠 + 2𝐿 − 𝑥 𝑥 2𝑘 On déduit le flux à travers un surface (A): 𝑑𝑇 𝑞 = −𝑘. 𝐴 𝑑𝑥 𝑞= 𝑥=0 𝑞′′′ 𝐿 𝑞′′′ 𝑥 = −𝑘. 𝐴 − 𝑘 𝑘 −𝐴𝑞′′′ 𝐿 CHAP 2 – Transfert thermique- MAHFOUD 2022 - 𝑥=0 A.L ½ du volume (-) q la direction négative de (x) 39 La conduction avec source de chaleur Paroi cylindrique (pleine) Soit un cylindre long (k = cst), son énergie interne par unité de volume (q ’’’), l’éqs est de la forme 𝑑 2 𝑇 1 𝑑𝑇 𝑞 ′′′ + + =0 2 𝑑𝑟 𝑟 𝑑𝑟 𝑘 éqs différentielle 2ème ordre, deux conditions aux limites sont nécessaire pour la résoudre; 1er intégration 1 𝑑 𝑟 𝑑𝑇 = − 𝑞′′′ → 𝑑𝑇 = − 𝑟 𝑞′′′ + 𝐶1 𝑟 𝑑𝑟 𝑑𝑟 𝑘 CHAP 2 – Transfert thermique- MAHFOUD 2022 𝑑𝑟 2 𝑘 𝑟 40 La conduction avec source de chaleur 2ème intégration → T(r) = 𝑟 2 𝑞′′′ − 4 𝑘 + 𝐶1 ln 𝑟 + 𝐶2 Avec les conditions aux limites 𝑑𝑇 → 𝐶1 = 0 𝒓=𝟎→ =0 𝑑𝑟 𝑟 2 𝑞 ′′′ → 𝐶2 = 𝑇𝑠 + 𝒓 = 𝒓𝒔 → 𝑻(𝒓𝒔) = 𝑻𝒔 4 𝑘 2 ′′′ 𝑟𝑠 𝑞 𝑟 𝑇 − 𝑇𝑠 = + 1− 4𝑘 𝑟𝑠 2 Si T=Tcentre une forme adimensionnelle est conseillée: 𝑇 − 𝑇𝑠 𝑟 =1− 𝑇𝑐 − 𝑇𝑠 𝑟𝑠 CHAP 2 – Transfert thermique- MAHFOUD 2022 2 41 PARTIE 2 Les Ailettes Une technique pour améliorée le transfert de chaleur CHAP 2 – Transfert thermique- MAHFOUD 2022 42 Les ailettes Amélioration du flux de chaleur Observons la formule du flux suivante: 𝑞 = ℎ 𝑆 𝑇𝑝 − 𝑇𝑓 Soit on augmente le coefficient (h). 𝒉 𝒄𝒐𝒏𝒗𝒆𝒄𝒕𝒊𝒐𝒏 ≪ Soit on augmente la surface d’échange (S). Généralement on procède à l’augmentation de la surface d’échange en ajoutant des surfaces à la surface du corps initiale. Ces surfaces ajoutées sont appelées ailettes. CHAP 2 – Transfert thermique- MAHFOUD 2022 43 Les ailettes - Utilisation Ils sont utilisées, en particulier dans les échangeurs industriels, les radiateurs de véhicule, de chauffage centrale et pour le refroidissement des montages électroniques pour augmenter l’échange thermique. CHAP 2 – Transfert thermique- MAHFOUD 2022 44 Les ailettes - Types Il existe des ailettes de section uniforme (rectangulaire, circulaire) et des ailettes de section non uniforme (triangulaire, conique…..). Longitudinales Transversales CHAP 2 – Transfert thermique- MAHFOUD 2022 Épines 45 Les ailettes – équations générale Appliquons le bilan thermique sur un élément (dx); 𝑄𝑥 = 𝑄𝑥+𝑑𝑥 + 𝑞𝑐𝑣 𝑸𝒙 = −𝒌 𝑨 𝑸𝒙+𝒅𝒙 𝒅𝑻 𝒅𝒙 𝒅𝑻 = −𝒌 𝑨 𝒅𝒙 𝒙 𝒙+𝒅𝒙 𝒒𝒄𝒗 = 𝒉𝒇 (𝒅𝒙. 𝑷𝒙 ) 𝑻𝒑 − 𝑻𝒇 /𝑃𝑥 = 𝜋𝑑 → 𝑃é𝑟𝑖𝑚è𝑡𝑟𝑒 −𝑘 𝑑𝑇 𝐴 𝑑𝑥 𝑥 𝑑𝑇 𝑘𝐴 𝑑𝑥 = −𝑘 𝑑𝑇 𝐴 +ℎ (𝑑𝑥. 𝑃𝑥 ) 𝑑𝑥 𝑥+𝑑𝑥 𝑓 𝑑𝑇 − 𝑑𝑥 𝑥+𝑑𝑥 𝑇𝑝 − 𝑇𝑓 𝑑2 𝐴=𝜋 → 𝑆𝑒𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛 4 − ℎ𝑓 𝑑𝑥. 𝑃𝑥 𝑇𝑝 − 𝑇𝑓 = 0 𝑥 CHAP 2 – Transfert thermique- MAHFOUD 2022 46 Les ailettes – équations générale On devise sur (dx); 𝑘𝐴 𝑑𝑇 𝑑𝑥 − 𝑥+𝑑𝑥 𝑑𝑇 𝑑𝑥 𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑇 𝑘𝐴 𝑑𝑥 𝑑𝑇 − 𝑑𝑥 𝑥+𝑑𝑥 ℎ𝑓 𝑑𝑥. 𝑃𝑥 𝑇𝑝 − 𝑇𝑓 − =0 𝑑𝑥 𝑥 𝑑𝑥 − ℎ𝑓 𝑃𝑥 𝑇𝑝 − 𝑇𝑓 = 0 Si 𝐴 ne varie pas avec (x) 𝑘𝐴 lim 𝑑𝑥→0 𝑑𝑇 𝑑𝑥 − 𝑥+𝑑𝑥 𝑑𝑇 𝑑𝑥 𝑑𝑥 CHAP 2 – Transfert thermique- MAHFOUD 2022 𝑥 𝑑2 𝑇 = 2 𝑑𝑥 47 Les ailettes – équations générale 𝑘 𝑑2 𝑇 𝐴 2 𝑑𝑥 − ℎ𝑓 𝑃𝑥 𝑇𝑝 − 𝑇𝑓 = 0 Donc l’équation générale est sous la forme: 𝑑 2 𝑇 ℎ𝑓 𝑃𝑥 − 𝑇𝑝 − 𝑇𝑓 = 0 2 𝑑𝑥 𝑘𝐴 Si 𝐴 varie avec (x) 𝑑 𝑑𝑇 𝑘 𝐴𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥 − ℎ𝑓 𝑃𝑥 𝑇𝑝 − 𝑇𝑓 = 0 CHAP 2 – Transfert thermique- MAHFOUD 2022 48 Les ailettes – à section rectangulaire A partir de l’équation générale: 𝑑 2 𝑇 ℎ𝑓 𝑃𝑥 − 𝑇𝑝 − 𝑇𝑓 = 0 2 𝑑𝑥 𝑘 𝐴𝑐 On écrit la section de conduction 𝐴𝑐 = 𝑆 = 𝑤 𝑡 𝑃𝑥 = 2 𝑤 + 𝑡 𝒅𝟐 𝑻 𝒉𝒇 𝑷𝒙 − 𝑻𝒑 − 𝑻𝒇 = 𝟎 𝟐 𝒅𝒙 𝒌 𝑨𝒄 𝑇𝑝 = 𝑇𝑏𝑎𝑠𝑒 Pour résoudre cette équation on suppose que CHAP 2 – Transfert thermique- MAHFOUD 2022 49 Les ailettes – à section rectangulaire Pour résoudre cette équation on suppose que; 𝜃 = 𝑇𝑝 − 𝑇𝑓 ℎ𝑓 𝑃𝑥 𝑛² = 𝑘 𝐴𝑐 𝑑2 𝜃 → 2 − 𝑛²𝜃 = 0 𝑑𝑥 avec: 𝑛 = ℎ𝑓 𝑃𝑥 𝑘 𝐴𝑐 C’est une équation différentielle de deuxième ordre, d’une solution de forme; 𝑛𝑥 −𝑛𝑥 𝜃 𝑥 = 𝐶1 𝑒 + 𝐶2 𝑒 Les constantes seront déterminées par les CAL à𝑥 =0 CHAP 2 – Transfert thermique- MAHFOUD 2022 à𝑥 =𝐿 50 Ailettes à section rectangulaire- CAL Pour résoudre cette équation on suppose que; →𝑥=0 → *à la base de l′ ailette → 𝜃 0 = 𝑇𝑝 − 𝑇𝑓 = 𝜃𝑝 →𝑥=𝐿 1° 𝐮𝐧𝐞 𝐚𝐢𝐥𝐞𝐭𝐭𝐞 𝐢𝐧𝐟𝐢𝐧𝐢𝐞 → 𝜃 𝐿 = ∞ = 0 → 𝑑𝜃 2° 𝐮𝐧𝐞 𝐚𝐢𝐥𝐞𝐭𝐭𝐞 à 𝐮𝐧𝐞 𝐞𝐱𝐭𝐫é𝐦𝐢𝐭é 𝐚𝐝𝐢𝐚𝐛𝐚𝐭𝐢𝐪𝐮𝐞 → −𝑘𝐴 𝑑𝑥 𝑑𝜃 3° 𝐮𝐧𝐞 𝐚𝐢𝐥𝐞𝐭𝐭𝐞 à 𝐮𝐧𝐞 𝐞𝐱𝐭𝐫é𝐦𝐢𝐭é à 𝐜𝐨𝐧𝐯𝐞𝐜𝐭𝐢𝐨𝐧 → −𝑘𝐴 𝑑𝑥 =0 𝐿 = ℎ𝐴 𝜃𝐿 𝐿 4° 𝐮𝐧𝐞 𝐚𝐢𝐥𝐞𝐭𝐭𝐞 𝐚𝐯𝐞𝐜 𝐭𝐞𝐦𝐩é𝐫𝐚𝐭𝐮𝐫𝐞 à 𝐥′𝐞𝐱𝐭𝐫é𝐦𝐢𝐭é → 𝜃 = 𝜃𝑝 CHAP 2 – Transfert thermique- MAHFOUD 2022 51 Ailettes à section rectangulaire- CAL 1° Ailette infinie 𝐿 = ∞ 𝜃 𝑥 = 𝐶1 𝑒 𝑛𝑥 + 𝐶2 𝑒 −𝑛𝑥 𝐿→∞ 𝜃 0 = 𝑇𝑝 − 𝑇𝑓 = 𝜃𝑝 𝑪. 𝑨. 𝑳 → 𝜃 𝐿 = 𝑇𝐿 − 𝑇𝑓 = 0 → 𝐶1 + 𝐶2 = 𝜃𝑝 𝐿→∞ ≠0 𝐶1 𝑒 𝑛𝐿 + 𝐶2 𝑒 −𝑛𝐿 = 0 𝐶1 𝑒 𝑛∞ + 𝐶2 0 = 0 → 𝑪𝟏 = 𝟎 On remplace 𝐶1 = 0 dans la première éqs 𝑪𝟐 = 𝜽𝒑 𝜃 𝑥 = 𝜃𝑝 𝑒 −𝑛𝑥 𝑇 𝑥 − 𝑇𝑓 = 𝑇𝑝 − 𝑇𝑓 𝑒 𝑞𝑝𝑒𝑟𝑑𝑢 = −𝑘𝐴 CHAP 2 – Transfert thermique- MAHFOUD 2022 𝑑𝜃 𝑑𝑥 − 𝑓 𝑃 𝑘𝐴 = −𝑘 𝐴 𝜃𝑝 −𝑛 𝑒 −𝑛𝑥 𝑥=0 𝑥 𝑥=0 Profil de la température → 𝑞 = 𝑛 𝑘 𝐴 𝜃𝑝 52 Ailettes à section rectangulaire- CAL CHAP 2 – Transfert thermique- MAHFOUD 2022 53 Les ailettes – Rappel mathématique CHAP 2 – Transfert thermique- MAHFOUD 2022 54 Ailettes à section rectangulaire- CAL 2° Ailette finie à une extrémité adiabatique 𝜃(𝑥) = 𝐶1 𝑒 𝑛𝑥 + 𝐶2 𝑒 −𝑛𝑥 𝜃 0 = 𝑇𝑝 − 𝑇𝑓 = 𝜃𝑝 𝑑𝜃 𝑪. 𝑨. 𝑳 → 𝜃 𝐿 = =0 𝑑𝑥 𝑥=𝐿 𝒆𝒏𝑳 𝐶1 + 𝐶2 = 𝜃𝑝 → 𝐶2 = 𝜃𝑝 −𝐶1 → 𝑪𝟐 = 𝜽𝒑 𝒏𝑳 𝒆 + 𝒆−𝒏𝑳 𝑛𝐶1 𝑒 𝑛𝐿 − 𝑛𝐶2 𝑒 −𝑛𝐿 = 0 ⟹ 𝑒 −𝑛𝐿 𝒆−𝒏𝑳 𝐶1 − 𝜃𝑝 − 𝐶1 𝑛𝐿 = 0 → 𝑪𝟏 = 𝜽𝒑 𝒏𝑳 𝑒 𝒆 + 𝒆−𝒏𝑳 1 𝑒 −𝑛𝐿 𝑒 𝑛𝑥 𝑒 𝑛𝐿 𝑒 −𝑛𝑥 𝑒 𝑛(𝐿−𝑥) + 𝑒 −𝑛(𝐿−𝑥) 𝜃 𝑥 = 𝜃𝑝 𝑛𝐿 + 𝑛𝐿 = 𝜃𝑝 →𝑋12 −𝑛𝐿 −𝑛𝐿 𝑛𝐿 −𝑛𝐿 𝑒 +𝑒 𝑒 +𝑒 𝑒 +𝑒 2 cosh 𝑛 𝐿 − 𝑥 𝑑𝜃 𝜃 𝑥 = 𝜃𝑝 𝑞𝑝𝑒𝑟𝑑𝑢 = −𝑘𝐴 → 𝑞 = 𝑛 𝑘 𝐴 𝜃𝑝 tanh(𝑚𝐿) 𝑑𝑥 𝑥=0 cosh 𝑛 𝐿 CHAP 2 – Transfert thermique- MAHFOUD 2022 55 Ailettes à section rectangulaire- CAL 3° Ailette finie à une extrémité à convection 𝜃(𝑥) = 𝐶1 𝑒 𝑛𝑥 + 𝐶2 𝑒 −𝑛𝑥 𝜃 0 = 𝑇𝑝 − 𝑇𝑓 = 𝜃𝑝 𝑑𝜃 𝑪. 𝑨. 𝑳 → 𝜃 𝐿 = −𝑘 𝐴 = ℎ 𝐴 𝑇𝑝 − 𝑇𝑓 𝑑𝑥 𝑥=𝐿 𝒉 𝒆𝒏𝑳 𝒏𝒌 𝐶1 + 𝐶2 = 𝜃𝑝 → 𝐶2 = 𝜃𝑝 −𝐶1 → 𝑪𝟐 = 𝜽𝒑 𝒉 𝒆𝒏𝑳 + 𝒆−𝒏𝑳 + 𝒆𝒏𝑳 − 𝒆−𝒏𝑳 𝒏𝒌 𝒉 𝟏− 𝒆−𝒏𝑳 𝒏 𝒌 −𝑘𝐴 𝑛𝐶1 𝑒 𝑛𝐿 − 𝑛𝐶2 𝑒 −𝑛𝐿 = ℎ𝐴 𝐶1 𝑒 𝑛𝐿 + 𝐶2 𝑒 −𝑛𝐿 → 𝑪𝟏 = 𝜽𝒑 𝒉 𝒆𝒏𝑳 + 𝒆−𝒏𝑳 + 𝒆𝒏𝑳 − 𝒆−𝒏𝑳 𝒏𝒌 𝟏+ ℎ sinh 𝑛 𝐿 − 𝑥 𝑛𝑘 ℎ cosh 𝑛𝐿 + sinh 𝑛𝐿 𝑛𝑘 cosh 𝑛 𝐿 − 𝑥 + 𝜃 𝑥 = 𝜃𝑝 𝑞𝑝𝑒𝑟𝑑𝑢 = −𝑘𝐴 CHAP 2 – Transfert thermique- MAHFOUD 2022 𝑑𝜃 𝑑𝑥 tanh 𝑛𝐿 + → 𝑞 = 𝜃𝑝 𝑘𝐴𝑛 𝑥=0 1+ ℎ 𝑛𝑘 ℎ tanh( 𝑛𝐿) 𝑛𝑘 56 Ailettes à section rectangulaire- CAL 4° Ailette finie avec température à l’extrémité 𝜃(𝑥) = 𝐶1 𝑒 𝑛𝑥 + 𝐶2 𝑒 −𝑛𝑥 𝜃 0 = 𝑇𝑝 − 𝑇𝑓 = 𝜃𝑝 𝑪. 𝑨. 𝑳 → 𝜃 𝐿 = 𝑇𝐿 − 𝑇𝑓 = 𝜃𝐿 𝜽𝒑 𝒆𝒏𝑳 − 𝜽𝑳 𝐶1 + 𝐶2 = 𝜃𝑝 → 𝐶2 = 𝜃𝑝 −𝐶1 → 𝑪𝟐 = 𝟐 𝐬𝐢𝐧𝐡(𝒏𝑳) 𝐶1 𝑒 𝑛𝐿 + 𝐶2 𝑒 −𝑛𝐿 = 𝜃𝐿 ⟹ 𝑑𝜃 𝜽𝑳 − 𝜽𝒑 𝒆−𝒏𝑳 𝑒 −𝑛𝐿 𝜃𝐿 𝑞 = −𝑘𝐴 𝑝𝑒𝑟𝑑𝑢 𝐶1 + 𝜃𝑝 − 𝐶1 𝑛𝐿 = 𝑛𝐿 → 𝑪𝟏 = 𝑑𝑥 𝑥=0 𝑒 𝑒 𝟐 𝒔𝒊𝒏𝒉(𝒏𝑳) 𝜃𝑝 cosh(𝑛𝐿) − 𝜃𝐿 → 𝑞 = ℎ 𝑘 𝐴𝑃 𝜃𝐿 sinh(𝑛𝑥) + 𝜃𝑝 sinh 𝑛(𝐿 − 𝑥) sinh(𝑛𝐿) 𝜃 𝑥 = sinh(𝑛𝐿) 𝐴𝑖𝑙𝑒𝑡𝑡𝑒 𝑚𝑖𝑛𝑐𝑒 ∶ 𝑤 ≫ 𝑡 𝑒𝑡 𝑃 ≈ 2𝑤 → 𝒏 ≈ 𝟐𝒉𝒇 Remarque → 𝐴𝑖𝑙𝑒𝑡𝑡𝑒 𝑏𝑎𝑟𝑒 𝑐𝑦𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑖𝑞𝑢𝑒 à 𝑟 𝑟𝑎𝑦𝑜𝑛 → 𝒏 = CHAP 2 – Transfert thermique- MAHFOUD 2022 𝒌𝒕 𝟐𝒉𝒇 𝒌𝒓 57 Efficacité et rendement des Ailettes Par définition, l’efficacité de l'ailette est donnée par 𝜺= 𝒒𝒓é𝒆𝒍 𝒒𝒎𝒂𝒙 = 𝑭𝒍𝒖𝒙 é𝒄𝒉𝒂𝒏𝒈é 𝑭𝒍𝒖𝒙 (𝒂𝒊𝒍𝒆𝒕𝒕𝒆 𝒊𝒅é𝒂𝒍𝒆) 𝒒𝒓é𝒆𝒍 𝑑𝑇 = −𝑘𝐴 𝑑𝑥 𝑥=0 𝒒𝒎𝒂𝒙 = ℎ 𝐿 𝑃𝑥 𝑇𝑝 − 𝑇𝑓 𝒒𝒊 = ℎ 𝐴𝑖 𝑇𝑖 − 𝑇𝑓 3 𝒒𝒊 = ℎ 𝑃𝑥 𝑑𝑥 𝑇𝑖 − 𝑇𝑓 𝑖=0 𝒒𝒊 → 𝒒𝒎𝒂𝒙 si 𝑇0 = 𝑇1 = 𝑇2 = 𝑇3 = 𝑇𝑝 CHAP 2 – Transfert thermique- MAHFOUD 2022 58 Efficacité des Ailettes - exemple 1° Ailette finie à une extrémité adiabatique 𝜺= 𝒒𝒓é𝒆𝒍 𝒒𝒎𝒂𝒙 = 𝑛 𝑘 𝐴 𝑇𝑝 −𝑇𝑓 tanh(𝑛𝐿) 𝐿 𝑃𝑥 𝑇𝑝 −𝑇𝑓 𝜀= 𝑡𝑎𝑛ℎ(𝑛𝐿) 𝑛𝐿 1 𝑛² 2° Ailette finie avec transfert à l’extrémité tanh 𝑛𝐿 + 𝜃𝑝 𝑘𝐴 𝑛 𝜺= 𝒒𝒓é𝒆𝒍 𝒒𝒎𝒂𝒙 = 𝑛𝑘 1+ tanh( 𝑛𝐿) 𝑛𝑘 𝐿 𝑃𝑥 𝑇𝑝 −𝑇𝑓 1 𝑛² CHAP 2 – Transfert thermique- MAHFOUD 2022 tanh 𝑛𝐿 + 𝜺= 𝑛𝐿 + ℎ 𝑛𝑘 ℎ𝐿 tanh( 𝑛𝐿) 𝑘 59 Efficacité des Ailettes - exemple 3° Efficacité globale d’une surface ailettée 𝜺𝒈𝒍𝒐𝒃𝒂𝒍𝒆 𝒒𝒓é𝒆𝒍 = 𝒒𝒎𝒂𝒙 𝑞𝑟é𝑒𝑙 = 𝑞𝑛𝑜𝑛 𝑎𝑖𝑙𝑒𝑡𝑡é𝑒 + 𝑞𝑎𝑖𝑙𝑒𝑡𝑡𝑒 𝑞𝑟é𝑒𝑙 = ℎ 𝐴𝑛𝑜𝑛 𝑎𝑖𝑙𝑒𝑡𝑡é𝑒 𝑇𝑝 − 𝑇𝑓 + ℎ 𝐴𝑎𝑖𝑙𝑒𝑡𝑡𝑒 𝑇𝑝 − 𝑇𝑓 𝜀𝑎𝑖𝑙𝑒𝑡𝑡𝑒 𝑞𝑚𝑎𝑥 = ℎ 𝐴𝑔𝑙𝑜𝑏𝑎𝑙𝑒 𝑇𝑝 − 𝑇𝑓 𝐴𝑔𝑙𝑜𝑏𝑎𝑙𝑒 = 𝐴𝑛𝑜𝑛 𝑎𝑖𝑙𝑒𝑡𝑡é𝑒 + 𝐴𝑎𝑖𝑙𝑒𝑡𝑡𝑒 𝐴𝑎𝑖𝑙𝑒𝑡𝑡𝑒 = 3(2𝐿𝑤 + 𝑡𝑤) 𝜺𝒈𝒍𝒐𝒃𝒂𝒍𝒆 = 𝜺𝒈𝒍𝒐𝒃𝒂𝒍𝒆 𝐴𝑛𝑜𝑛 𝑎𝑖𝑙𝑒𝑡𝑡é𝑒 = 𝐻𝑤 − 3𝑡𝑤 𝐴𝑛𝑜𝑛 𝑎𝑖𝑙𝑒𝑡𝑡é𝑒 𝑇𝑝 −𝑇𝑓 + 𝐴𝑎𝑖𝑙𝑒𝑡𝑡𝑒 𝑇𝑝 −𝑇𝑓 𝜀𝑎𝑖𝑙𝑒𝑡𝑡𝑒 𝐴𝑔𝑙𝑜𝑏𝑎𝑙𝑒 𝑇𝑝 −𝑇𝑓 𝐴𝑛𝑜𝑛 𝑎𝑖𝑙𝑒𝑡𝑡é𝑒 + 𝐴𝑎𝑖𝑙𝑒𝑡𝑡𝑒 𝜀𝑎𝑖𝑙𝑒𝑡𝑡𝑒 = = 𝐴𝑔𝑙𝑜𝑏𝑎𝑙𝑒 CHAP 2 – Transfert thermique- MAHFOUD 2022 1 + 𝜀𝑎𝑖𝑙𝑒𝑡𝑡𝑒 1+ 𝐴𝑎𝑖𝑙𝑒𝑡𝑡𝑒 𝐴𝑛𝑜𝑛 𝑎𝑖𝑙𝑒𝑡𝑡é𝑒 𝐴𝑎𝑖𝑙𝑒𝑡𝑡𝑒 𝐴𝑛𝑜𝑛 𝑎𝑖𝑙𝑒𝑡𝑡é𝑒 60
